UFPE, 2-o semestre de 2007
Disciplina MA-521 “Analise 1A”. Carga horaria 60
Professor André Toom, sala 333.
Prova Final
Problema 1. Dada uma seqüência (xn ) de números reais.
a) Definimos o conjunto G assim:
G=
∞
[
[xn − 1,
xn + 1] .
n=1
Podemos concluir que G é fechado? (15 pontos)
b) Definimos o conjunto H assim:
H=
∞
\
(xn − 1,
xn + 1) .
n=1
Podemos concluir que H é aberto? (15 pontos)
Problema 2. Há três seqüências (xn ) , (yn ) e (zn ) de números reais, onde
zn = min(xn , yn ) para todos n .
a) Se p é o limite de (xn ) e o limite de (yn ) , podemos concluir que p é o
limite de (zn ) ? (15 pontos)
b) Se p é um ponto de aderência de (xn ) e um ponto de aderência de (yn ) ,
podemos concluir que p é um ponto de aderência de (zn ) ? (15 pontos)
Problema 3. Uma função f (x) é limitada e Lipschitz na toda reta. Outra
função é definida assim: g(x) = f 2 (x) para todos x .
a) Podemos concluir que g(x) é limitada na toda reta? (15 pontos)
b) Podemos concluir que g(x) é Lipschitz na toda reta? (15 pontos)
Problema 4.
Dada qualquer seqüência (xn ) de números reais positivos.
Definimos outra seqüência (yn ) assim:
∀ n : yn =
2xn+1
xn
+
.
xn
xn+1
a) Quais números podem ser limites da seqüência (yn ) ? (15 pontos)
b) Sabemos também que xn+1 ≥ xn para todos n . Quais números podem
ser limites da seqüência (yn ) neste caso? (15 pontos)
GABARITOS
Problema 1. Dada uma seqüência (xn ) de números reais.
a) Definimos o conjunto G assim:
∞
[
G=
[xn − 1,
xn + 1] .
n=1
Podemos concluir que G é fechado?
Resposta: não. Contra-exemplo: xn = 1 + 1/n . Neste caso G = (0, 3] , não
fechado pois não inclue seu ponto de aderência 0 .
b) Definimos o conjunto H assim:
H=
∞
\
(xn − 1,
xn + 1) .
n=1
Podemos concluir que H é aberto?
Resposta: não. Contra-exemplo: xn = 1 + 1/n . Neste caso H = (1, 2] , não
aberto pois inclue 2 qual não é seu ponto interior.
Problema 2. Há três seqüências (xn ) , (yn ) e (zn ) de números reais, onde
zn = min(xn , yn ) para todos n .
a) Se p é o limite de (xn ) e o limite de (yn ) , podemos concluir que p é o
limite de (zn ) ?
Resposta: sim. Sabemos que
∀ ε > 0 ∃ k1 (ε) ∀n > k1 : |xn − p| < ε,
∀ ε > 0 ∃ k2 (ε) ∀n > k2 : |yn − p| < ε.
Para provar
∀ ε > 0 ∃ k3 (ε) ∀n > k3 : |zn − p| < ε,
basta tomar k3 (ε) = max(k1 (ε), k2 (ε)) .
b) Se p é um ponto de aderência de (xn ) e um ponto de aderência de (yn ) ,
podemos concluir que p é um ponto de aderência de (zn ) ?
Resposta: não. Contra-exemplo:
xn = (−1)n ,
yn = −(−1)n ,
zn = −1.
O número 1 é um ponto de aderência de (xn ) e de (yn ) , mas não de (zn ) .
Problema 3. Uma função f (x) é limitada e Lipschitz na toda reta. Outra
função é definida assim: g(x) = f 2 (x) para todos x .
a) Podemos concluir que g(x) é limitada na toda reta?
Resposta: sim. Seja ∀ x : |f (x)| ≤ C . Logo |f 2 (x)| = |f (x)|2 ≤ C 2 .
b) Podemos concluir que g(x) é Lipschitz na toda reta?
Resposta: sim. Seja |f (x) − f (y)| ≤ L · |x − y| . Logo
|g(x) − g(y)| = |f 2 (x) − f 2 (y)| = |f (x) − f (y)| · |f (x) + f (y)| ≤ 2C · L · |x − y|.
Problema 4.
Dada qualquer seqüência (xn ) de números reais positivos.
Definimos outra seqüência (yn ) assim:
∀ n : yn =
xn
2xn+1
+
.
xn
xn+1
a) Quais números podem ser limites da seqüência (yn ) ?
√
Resposta: todos números em [2 2, ∞) . Para obter qualquer número
√
L ≥ 2 2 como limite de (yn ) , basta tomar
n
xn = q ,
L+
r
onde q =
L2 − 8
.
4
b) Sabemos também que xn+1 ≥ xn para todos n . Quais números podem
ser limites da seqüência (yn ) neste caso?
Resposta: todos números em [3, ∞) . Para obter qualquer número L ≥ 3
como limite de (yn ) , basta usar a mesma formula. Veja o gráfico.
O gráfico da função
L(q) = 2q +
L
6
1
q
para q > 0 . O valor mini√
mal de L é 2 2 , se-realiza no
s
min
ponto
1
q=√ .
2
No item a) podemos usar todos
valores positivos de q , mas no
item b) podemos usar só q ≥ 1 .
0
s
√1
2
s
1
-
q