Séries – 2. Seqüências e Seqüências Limitadas
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
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Subseqüências
Conceito: Se os termos de uma seqüência aparecem em outra seqüência na
ordem dada delas, chamaremos a primeira de subseqüência da segunta.
Exemplo:
an : 1 2 3 4 . . . n . . .
↓ ↓ ↓ ↓
↓
1.
1 8 27 64 . . . n3 . . .
an : 1 2 3 4 . . .
n
...
↓ ↓ ↓ ↓
↓
2.
1 9 25 49 . . . (2n − 1)2 . . .
Importância:
1. Em alguns casos, sabendo que uma seqüência converge, pode ser mais
fácil calcular o valor do limite usando uma das subseqüências de {an}.
2. Se qualquer subseqüência de uma seqüência {an} diverge ou se duas
subseqüência têm limites diferentes, então {an} diverge.
Por exemplo: {an} = {(−1)n} = {−1, 1 − 1, 1, . . . }.
Neste caso, para n ı́mpar, temos a subseqüência {−1, −1, −1, . . . }.
Para n par: {1, 1, 1, . . . }. As duas subseqüências convergem para valores diferentes. Logo {(−1)n} é divergente.
Seqüências Crescentes, Decrescentes, Monotônicas
Definição:
Uma seqüência {an} é crescente se:
an ≤ an+1 ∀ n ∈ N
Uma seqüência {an} é decrescente se:
an ≥ an+1 ∀ n ∈ N
Toda seqüência crescente ou decrescente é chamada de monotônica (ou
monótona).
Exemplos:
5
n+4
1
n+
n
1. {an} =
5 5
= 1, , , . . . é decrescente.
6 7
1
1
= 2, 2 + , 3 + , . . . é crescente.
2
3
n
Exemplo (1): Mostre que an = 2
é decrescente.
n +1
2. {an} =
Seqüências Limitadas
Definição:
A seqüência {an} é limitada superiormente se existir um número M tq
an ≤ M,
∀n ≥ 1
E é limitada inferiormente se existir um número m de forma que
m ≥ an,
∀n ≥ 1
Se ela for limitada superiormente e inferiormente, então {an} é uma
seqüência limitada.
Exemplos:
1. {an} = n é limitada inferiormente (an > 0) mas não superiormente.
2. {an} =
n
n+1
é limitada, pois 0 < an < 1, para todo n.
3. {an} = (−1)n é limitada inferiormente e superiormente (−1 ≤ an ≤ 1),
mas não é convergente.
Seqüência Monotônica
Teorema: Toda seqüência limitada, monotônica, é convergente.
Seqüências Recursivas: São seqüências cujo termo an+1 é definido a partir
do termo an. Para isto precisamos conhecer:
• o termo inicial;
• a regra de formação da seqüência, chamada fórmula recursiva.
Exemplo (2): Investigue a seqüência {an} definida pela relação de recorrência:
1
(an + 6) , para n = 1, 2, 3, . . .
2
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas: 19 e 20;
Exercı́cios: 1 à 24.
a1 = 2,
an+1 =