Projecto de controladores
CONTROLO
3º ano – 1º semestre 2011-2012
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo– Projecto Nyquist/Bode
Todos os direitos reservados
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos
autores
1/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Projecto de controladores
Projecto no domínio da frequência
Controlador
+
_
K0
C(s)
Diagrama de Bode da
f.t.ca.=1/s2
Sistema a
controlar
1
EXEMPLO
s2
G(s)
K=1
frequência de cruzamento
arg G( jc )  180º
margem de fase
M  0º
sistema marginalmente estável
2/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
c  1.0 rad / s
EXEMPLO
Controlador
+
_
Sistema a
controlar
Projecto de controladores
1
K0
s2
C(s)
G(s)
Critério de Nyquist
Contorno
de
Nyquist
A imagem do contorno
de Nyquist passa pelo
ponto crítico -1
A
pólo
duplo
-1
* : G( j*)C( j*)  1  argG( j*)C( j*)  180º
1  G( j*)C( j*)  0
sistema marginalmente estável
j *
é um pólo em malha fechada
3/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
xx
EXEMPLO
Controlador
+
K0
_
C(s)
Sistema a
controlar
Projecto de controladores
1
s2
G(s)
Root-Locus
Estratégia de Controlo
sz
C(s)  K
z
efeito estabilizador
xx
(PD)
o
2 pólos da
f.t.c.f. no
eixo
imaginário
xx
Introdução de
amortecimento artificial
devido ao termo derivativo
sistema marginalmente estável
4/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
pólo
duplo
EXEMPLO
Controlador
+
_
exemplo
Projecto de controladores
Sistema a
controlar
sz
K
z
s2
C(s)
G(s)
1
K=1, z=0.1rad/s
 M  90º
-1
GM  
Pode aumentar-se o ganho
indefinidamente sem que se perca
estabilidade
5/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
sistema em c.f. estável
Projecto de controladores
Análise do compensador PD
C(s)  K
arg C(s)
sz
z
90º
45º
benefício de
avanço de fase
(rad / s)
z
compensador por avanço de fase
sistema
original
-1
sistema
compensado
nova
margem de
fase
6/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
O compensador de
avanço de fase
afasta o diagrama do
ponto -1
Diagrama de Nyquist
Projecto de controladores
Compensador PD
sz
z
p sz
C(s)  K
z sp
Controlador
+
_
K
p sz
z sp
C(s)
sistema
realizável (com
um pólo e um
zero)
Sistema a
controlar
1
s2
G(s)
avanço
de fase
7/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
C(s)  K
Compensador de avanço de fase
Projecto de controladores
Compensador por Avanço de Fase
lim C( j)

K 
 
   dB
 1
1
T
Ganho estático = K
zero = - 1/T
1
T
90o
pólo = - 1/T
max
max
x
1
T
1
T
8/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
1
s
1
T
C(s) K
1

s
T
Projecto de controladores
Compensador por Avanço de Fase
max  ?
max  ?
Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE
C( j) K
Ts  1
jT  1
K
Ts  1 s j
jT  1
arg C( j) c ()  arctg(T)  arctg(T)
Cálculo de
max
1
T
T
2
dc ()

0    2
0 
2
2
T 
1  T 
1   T 
d
Em escala logarítmica, equidistante das
frequências de corte do zero e do pólo
max 
1
T 
9/Cap.12-ParteA
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
d c ()
T
T


2
2
d
1  T 
1   T 
Projecto de controladores
Compensador por Avanço de Fase
max 
1
T 
max  ?
max  c (max )  arctg(max T)  arctg(max T)
max
1  

 arctg
2 


max
1  

 arcsin
1  
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
 1 
  arctg(  )
 arctg
 


10/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
Compensador por Avanço de Fase
c (max )
Máximo AVANÇO DE FASE
90º
1
x
p
1
T
0
z
p  z
1
T
c (max )  90º
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
 1
11/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
Compensador por Avanço de Fase
K 
 
   dB
C( jmax ) K 1  ?
Porque é importante
conhecer ?
1
T
1
T
max
max
1
T
max 
1
T
1
T 
• O compensador de avanço de fase usa-se
para aumentar a margem de fase, ou seja
somar fase na frequência em que o ganho da
f.t.c.a. é unitário.
• Ao somar fase em wmax, também se aumenta
o ganho. De quanto?
• É o preço a pagar pelo avanço de fase
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
1  

max  arcsin
1  
90o
12/Cap.12-ParteA
Compensador por Avanço de Fase
C( jmax ) K 1  ?
1
T
1
T
  max
1  

max  arcsin
1  
90o
max
j T  1
C( j) K
j T  1
1
j
C( jmax ) K

j  1
max
1
T
max 
1
T
1
T 
C( jmax ) 
1
1

K
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K 
 
   dB
Projecto de controladores
13/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
EXEMPLO 1
Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
controlador
+
_
K(s)
amplificador
100
s  100
motor com
carga
1
s  36
1
s
posição
angular
velocidade
1.
2.
3.
4.
K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador
Erro de seguimento a rampa unitária eramp ()  0.025
Margem de fase M  48o
Margem de ganho GM  6 dB
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Objectivos a atingir
14/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
EXEMPLO 1
+
_
a projectar
G(s)
K(s)
100
s(s  36)(s  100)
~
K(s)  K K(s)
~
K(0)  1
ganho estático unitário
eramp () 
1
1

lim sG(s)K(s) 40
s 0
lim sG(s)K(s)  40
s0
100K
K

 40
s 0 ( s  36)(s  100)
36
lim
K  1440
escolha-se
K  1440
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
2. Erro de seguimento a rampa unitária eramp ()  0.025
15/Cap.12-ParteA
a projectar
EXEMPLO 1
+
_
diagrama de Bode de
~
K(s)
Projecto de controladores
KG(s)
100 x 1440
s(s  36)(s  100)
KG(s)
 M  34º
0dB  29.5rad / s
  59.9rad / s
Os valores seriam diferentes se
tivesse sido usado o diagrama de
Bode assimptótico
Só com este ganho, o sistema em
cadeia fechada é estável, embora
não satisfaça a margem de fase
pretendida
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
GM  10.6 dB
16/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
a projectar
EXEMPLO 1
KG(s)
100 x 1440
s(s  36)(s  100)
~
K(s)
+
_
Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist
com
~
K(s)  1
Contorno de Nyquist
-100
x
x
-36
34º
P=0
-1
N=0
módulo=1
Z=P+N=0
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
x
17/Cap.12-ParteA
a projectar
EXEMPLO 1
_
3. Margem de fase M  48o
~
K(s)  1
KG(s)
100 x 1440
s(s  36)(s  100)
~
K(s)
+
Para
Projecto de controladores
 M  34º
Aumento nominal de
48º - 34º = 14º
No entanto é necessário
“dar” FASE ADICIONAL
Compensador
de avanço
sistema
original
0 db
figura não à escala.
Apenas ilustrativa
34º
-180º
sistema
original
Como a frequência de
cruzamento aumenta é preciso
+ aumento de fase
Não basta um aumento de 14º
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
nova frequência de
cruzamento
18/Cap.12-ParteA
a projectar
EXEMPLO 1
~
K(s)
+
_
3. Margem de fase M  48o
Para
~
K(s)  1
 M  34º
Projecto de controladores
KG(s)
100 x 1440
s(s  36)(s  100)
Aumento nominal de
48º - 34º = 14º
Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º
max  24º
avanço
max
1  

max  arcsin
1




  0.42
O parâmetro  define o afastamento
entre o zero e o pólo do compensador
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Determinação das características do compensador de avanço de fase
19/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
EXEMPLO 1
1

 1 

  3.77dB
 

 dB
 1.54
preço a pagar pelo
avanço de fase
Ganho estático do
compensador unitário
Todo o ganho necessário já
foi considerado
max  24º
onde se coloca max ?
• Conhecendo 
• Escolhendo wmax
1
T
max
1
T
wmax é a frequência a que o avanço de fase é maior
• Calcula-se T
max 
1
T 
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
max  ?
20/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
EXEMPLO 1
onde se coloca max ?
+3.77dB
max
f.t.c.a sistema compensado
f.t.c.a sistema original
Frequência à qual o
ganho de malha
K G(s)
s  j
 3.77dB
max  39 rad / s
max 
1
T 
  0.42
 39 rad / s
1
  max  25.3 rad / s
T
1
 60.2 rad / s
T
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
max
-3.77dB
21/Cap.12-ParteA
a projectar
EXEMPLO 1
+
_
1
1
~
T
K ( s)  K K ( s)  K
1

s
T
K(s)
G(s)
Projecto de controladores
100 x 1440
s(s  36)(s  100)
s
K ( s )  3427 .2 
s  25.3
s  60.2
s  25.3
s  60.2
f.t.c.a. do sistema
compensado
f.t.c.a. do sistema
original*1440
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K(s)  1440 2.38 
f.t. do compensador com
ganho estático unitáro
22/Cap.12-ParteA
EXEMPLO 1
Projecto de controladores
+
K(s)
_
100 x 1440
s(s  36)(s  100)
f.t.c.a. do sistema original
f.t. do compensador
f.t.c.a. do sistema compensado
M  46o  48º
Se não for satisfatório,
refaça os cálculos
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
GM  11.5dB  6 dB
23/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
EXEMPLO 1
+
_
K(s)
100 x 1440
s(s  36)(s  100)
M  34 º
nova margem de fase
Repita o projecto com base
no diagrama de Bode
assimptótico
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
M  46o
24/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
Compensador de avanço - Sumário
• Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento
a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e
melhorando assim a estabilidade relativa
• Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência
• O compensador de avanço é uma representação mais realista do
controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de
altas frequências do controlador
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no
intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco
significativo
25/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
Compensador de Atraso de Fase
~
K ( 0)  1
~
K(s) K K(s)
1
s
1
~
T
K(s)
1

s
T
 1
~
Diagrama de Bode de K(s)
0 dB
O compensador
que vai ser
apresentado
tem ganho
estático unitário
20log10 
1
T
zero = - 1/T
pólo = - 1/T
x
1
T
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Ganho estático = 1
26/Cap.12-ParteA
Compensador de atraso – Princípio de utilização
Projecto de controladores
• Tirar partido da atenuação do ganho de modo a
deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a
frequência que conduz à margem de fase desejada.
• Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de
influência do compensador
• Procura-se que a característica de fase original não seja
significativamente alterada na vizinhança da nova
frequência de cruzamento a 0dB.
– Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes
da frequência de cruzamento a 0dB desejada.
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
– Até uma década após o zero
27/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
Compensador de Atraso de Fase
1
1
~
T
K(s)
1

s
T
s
~
Diagrama de Bode de K(s)
0 dB
1
T
1
T
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
20log10 
28/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
EXEMPLO 2
Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
controlador
+
_
K(s)
amplificador
100
s  100
motor com
carga
1
s  36
1
s
posição
angular
velocidade
1.
2.
3.
4.
K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador
Erro de seguimento a rampa unitária eramp ()  1 / 162.2
Margem de fase  M  59.2º
Margem de ganho GM  12 dB
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Objectivos a atingir
29/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
EXEMPLO 2
+
_
a projectar
G(s)
K(s)
100
s(s  36)(s  100)
~
K(s)  K K(s)
~
K(0)  1
ganho estático unitário
eramp () 
1
1

lim sG(s)K(s) 162.2
s 0
lim sG(s)K(s)  162.2
s0
100K
K

 162.2
s 0 ( s  36)(s  100)
36
lim
K  5839
escolha-se
K  5839
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
2. Erro de seguimento a rampa unitária eramp ()  1 / 162.2
30/Cap.12-ParteA
a projectar
EXEMPLO 2
+
_
KG(s)
100 x 5839
s(s  36)(s  100)
KG(s)
Qual terá que ser a
frequência de
cruzamento a 0dB para
ter a margem de fase
pretendida?
  14 .7rad / s
M  59º , KG( j)  20dB
Chegará diminuir o
ganho de 20dB nesta
frequência com um
compensador de atraso?
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
diagrama de Bode de
~
K(s)
Projecto de controladores
31/Cap.12-ParteA
a projectar
EXEMPLO 2
+
_
KG(s)
100 x 5839
s(s  36)(s  100)
KG(s)
desejada
M
 59.2º10º  69.2º
factor de
segurança
Porque é necessário o
factor de segurança?
M  69.2º para   9.78rad / s
KG( j)
9.78rad/s
 24dB
O compensador de
atraso deve providenciar
um ganho de -24dB à
frequência de 9.8rad/s
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
diagrama de Bode de
~
K(s)
Projecto de controladores
32/Cap.12-ParteA
EXEMPLO 2
Projecto de controladores
Dimensionamento do
compensador de atraso
20log10   24dB    15.84
0 dB
1
1

T 15.84T
1
T
-24dB
-90º
Fase negativa = preço a pagar
pela diminuiçãode ganho
Onde “colocar” o compensador?
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
define o afastemento
entre o pólo e o zero
33/Cap.12-ParteA
EXEMPLO 2
Projecto de controladores
Várias hipótess
possíveis de
“colocação” do
compensador
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
0º
34/Cap.12-ParteA
EXEMPLO 2
Estratégia de “colocação” do
compensador de atraso
Projecto de controladores
Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada
0 dB
1
1

T 15.84T
1
T
-24dB
Na frequência de
cruzamento
desejada, a fase
negativa
introduzida pelo
compensador já é
pequena, embora
não nula
Isto justifica a
introdução de
fase adicional no
cálculo da
margem de fase
desejada
-90º
Fase negativa =
preço a pagar pela
diminuiçãode ganho
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
1
 0.98 rad / s
T
1
 0.062rad / s
T
35/Cap.12-ParteA
G(s)
a projectar
EXEMPLO 2
+
100
s(s  36)(s  100)
K(s)
_
Projecto de controladores
Bode Diagram
1
s
1
T
K (s)  K K (s)  K
 s 1
T
f.t.c.a. do sistema
f.t.c.a.
do sistema
original*5839
original*5839
50
System: sys
Frequency (rad/sec): 10
Magnitude (dB): -0.175
f.t.c.a. do sistema
compensado
0
f.t. do compensador
f.t. do compensador
f.t.c.a. do sistema
compensado
-50
s  0.98
K ( s )  368.6 
s  0.062
 M  64º , GM  22dB
especificações verificadas
System: sys
Frequency (rad/sec): 10
Phase (deg): -116
-90
-180
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
1
s  0.98
-100

15.84 s  0.062 0
Phase (deg)
K ( s )  5839
Magnitude (dB)
100
36/Cap.12-ParteA
10