Projecto de controladores CONTROLO 3º ano – 1º semestre 2011-2012 Transparências de apoio às aulas teóricas Capítulo– Projecto Nyquist/Bode Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores 1/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Projecto de controladores Projecto no domínio da frequência Controlador + _ K0 C(s) Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2 Sistema a controlar 1 EXEMPLO s2 G(s) K=1 frequência de cruzamento arg G( jc ) 180º margem de fase M 0º sistema marginalmente estável 2/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal c 1.0 rad / s EXEMPLO Controlador + _ Sistema a controlar Projecto de controladores 1 K0 s2 C(s) G(s) Critério de Nyquist Contorno de Nyquist A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico -1 A pólo duplo -1 * : G( j*)C( j*) 1 argG( j*)C( j*) 180º 1 G( j*)C( j*) 0 sistema marginalmente estável j * é um pólo em malha fechada 3/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal xx EXEMPLO Controlador + K0 _ C(s) Sistema a controlar Projecto de controladores 1 s2 G(s) Root-Locus Estratégia de Controlo sz C(s) K z efeito estabilizador xx (PD) o 2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário xx Introdução de amortecimento artificial devido ao termo derivativo sistema marginalmente estável 4/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal pólo duplo EXEMPLO Controlador + _ exemplo Projecto de controladores Sistema a controlar sz K z s2 C(s) G(s) 1 K=1, z=0.1rad/s M 90º -1 GM Pode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade 5/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal sistema em c.f. estável Projecto de controladores Análise do compensador PD C(s) K arg C(s) sz z 90º 45º benefício de avanço de fase (rad / s) z compensador por avanço de fase sistema original -1 sistema compensado nova margem de fase 6/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1 Diagrama de Nyquist Projecto de controladores Compensador PD sz z p sz C(s) K z sp Controlador + _ K p sz z sp C(s) sistema realizável (com um pólo e um zero) Sistema a controlar 1 s2 G(s) avanço de fase 7/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal C(s) K Compensador de avanço de fase Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase lim C( j) K dB 1 1 T Ganho estático = K zero = - 1/T 1 T 90o pólo = - 1/T max max x 1 T 1 T 8/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 1 s 1 T C(s) K 1 s T Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase max ? max ? Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE C( j) K Ts 1 jT 1 K Ts 1 s j jT 1 arg C( j) c () arctg(T) arctg(T) Cálculo de max 1 T T 2 dc () 0 2 0 2 2 T 1 T 1 T d Em escala logarítmica, equidistante das frequências de corte do zero e do pólo max 1 T 9/Cap.12-ParteA M. Isabel Ribeiro, António Pascoal d c () T T 2 2 d 1 T 1 T Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase max 1 T max ? max c (max ) arctg(max T) arctg(max T) max 1 arctg 2 max 1 arcsin 1 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 1 arctg( ) arctg 10/Cap.12-ParteA Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase c (max ) Máximo AVANÇO DE FASE 90º 1 x p 1 T 0 z p z 1 T c (max ) 90º M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 1 11/Cap.12-ParteA Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase K dB C( jmax ) K 1 ? Porque é importante conhecer ? 1 T 1 T max max 1 T max 1 T 1 T • O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário. • Ao somar fase em wmax, também se aumenta o ganho. De quanto? • É o preço a pagar pelo avanço de fase M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 1 max arcsin 1 90o 12/Cap.12-ParteA Compensador por Avanço de Fase C( jmax ) K 1 ? 1 T 1 T max 1 max arcsin 1 90o max j T 1 C( j) K j T 1 1 j C( jmax ) K j 1 max 1 T max 1 T 1 T C( jmax ) 1 1 K M. Isabel Ribeiro, António Pascoal K dB Projecto de controladores 13/Cap.12-ParteA Projecto de controladores EXEMPLO 1 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) controlador + _ K(s) amplificador 100 s 100 motor com carga 1 s 36 1 s posição angular velocidade 1. 2. 3. 4. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador Erro de seguimento a rampa unitária eramp () 0.025 Margem de fase M 48o Margem de ganho GM 6 dB M. Isabel Ribeiro, António Pascoal Objectivos a atingir 14/Cap.12-ParteA Projecto de controladores EXEMPLO 1 + _ a projectar G(s) K(s) 100 s(s 36)(s 100) ~ K(s) K K(s) ~ K(0) 1 ganho estático unitário eramp () 1 1 lim sG(s)K(s) 40 s 0 lim sG(s)K(s) 40 s0 100K K 40 s 0 ( s 36)(s 100) 36 lim K 1440 escolha-se K 1440 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 2. Erro de seguimento a rampa unitária eramp () 0.025 15/Cap.12-ParteA a projectar EXEMPLO 1 + _ diagrama de Bode de ~ K(s) Projecto de controladores KG(s) 100 x 1440 s(s 36)(s 100) KG(s) M 34º 0dB 29.5rad / s 59.9rad / s Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida M. Isabel Ribeiro, António Pascoal GM 10.6 dB 16/Cap.12-ParteA Projecto de controladores a projectar EXEMPLO 1 KG(s) 100 x 1440 s(s 36)(s 100) ~ K(s) + _ Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist com ~ K(s) 1 Contorno de Nyquist -100 x x -36 34º P=0 -1 N=0 módulo=1 Z=P+N=0 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal x 17/Cap.12-ParteA a projectar EXEMPLO 1 _ 3. Margem de fase M 48o ~ K(s) 1 KG(s) 100 x 1440 s(s 36)(s 100) ~ K(s) + Para Projecto de controladores M 34º Aumento nominal de 48º - 34º = 14º No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL Compensador de avanço sistema original 0 db figura não à escala. Apenas ilustrativa 34º -180º sistema original Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso + aumento de fase Não basta um aumento de 14º M. Isabel Ribeiro, António Pascoal nova frequência de cruzamento 18/Cap.12-ParteA a projectar EXEMPLO 1 ~ K(s) + _ 3. Margem de fase M 48o Para ~ K(s) 1 M 34º Projecto de controladores KG(s) 100 x 1440 s(s 36)(s 100) Aumento nominal de 48º - 34º = 14º Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º max 24º avanço max 1 max arcsin 1 0.42 O parâmetro define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador M. Isabel Ribeiro, António Pascoal Determinação das características do compensador de avanço de fase 19/Cap.12-ParteA Projecto de controladores EXEMPLO 1 1 1 3.77dB dB 1.54 preço a pagar pelo avanço de fase Ganho estático do compensador unitário Todo o ganho necessário já foi considerado max 24º onde se coloca max ? • Conhecendo • Escolhendo wmax 1 T max 1 T wmax é a frequência a que o avanço de fase é maior • Calcula-se T max 1 T M. Isabel Ribeiro, António Pascoal max ? 20/Cap.12-ParteA Projecto de controladores EXEMPLO 1 onde se coloca max ? +3.77dB max f.t.c.a sistema compensado f.t.c.a sistema original Frequência à qual o ganho de malha K G(s) s j 3.77dB max 39 rad / s max 1 T 0.42 39 rad / s 1 max 25.3 rad / s T 1 60.2 rad / s T M. Isabel Ribeiro, António Pascoal max -3.77dB 21/Cap.12-ParteA a projectar EXEMPLO 1 + _ 1 1 ~ T K ( s) K K ( s) K 1 s T K(s) G(s) Projecto de controladores 100 x 1440 s(s 36)(s 100) s K ( s ) 3427 .2 s 25.3 s 60.2 s 25.3 s 60.2 f.t.c.a. do sistema compensado f.t.c.a. do sistema original*1440 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal K(s) 1440 2.38 f.t. do compensador com ganho estático unitáro 22/Cap.12-ParteA EXEMPLO 1 Projecto de controladores + K(s) _ 100 x 1440 s(s 36)(s 100) f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador f.t.c.a. do sistema compensado M 46o 48º Se não for satisfatório, refaça os cálculos M. Isabel Ribeiro, António Pascoal GM 11.5dB 6 dB 23/Cap.12-ParteA Projecto de controladores EXEMPLO 1 + _ K(s) 100 x 1440 s(s 36)(s 100) M 34 º nova margem de fase Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico M. Isabel Ribeiro, António Pascoal M 46o 24/Cap.12-ParteA Projecto de controladores Compensador de avanço - Sumário • Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa • Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência • O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador M. Isabel Ribeiro, António Pascoal • O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo 25/Cap.12-ParteA Projecto de controladores Compensador de Atraso de Fase ~ K ( 0) 1 ~ K(s) K K(s) 1 s 1 ~ T K(s) 1 s T 1 ~ Diagrama de Bode de K(s) 0 dB O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário 20log10 1 T zero = - 1/T pólo = - 1/T x 1 T M. Isabel Ribeiro, António Pascoal Ganho estático = 1 26/Cap.12-ParteA Compensador de atraso – Princípio de utilização Projecto de controladores • Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada. • Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador • Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB. – Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes da frequência de cruzamento a 0dB desejada. M. Isabel Ribeiro, António Pascoal – Até uma década após o zero 27/Cap.12-ParteA Projecto de controladores Compensador de Atraso de Fase 1 1 ~ T K(s) 1 s T s ~ Diagrama de Bode de K(s) 0 dB 1 T 1 T M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 20log10 28/Cap.12-ParteA Projecto de controladores EXEMPLO 2 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) controlador + _ K(s) amplificador 100 s 100 motor com carga 1 s 36 1 s posição angular velocidade 1. 2. 3. 4. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador Erro de seguimento a rampa unitária eramp () 1 / 162.2 Margem de fase M 59.2º Margem de ganho GM 12 dB M. Isabel Ribeiro, António Pascoal Objectivos a atingir 29/Cap.12-ParteA Projecto de controladores EXEMPLO 2 + _ a projectar G(s) K(s) 100 s(s 36)(s 100) ~ K(s) K K(s) ~ K(0) 1 ganho estático unitário eramp () 1 1 lim sG(s)K(s) 162.2 s 0 lim sG(s)K(s) 162.2 s0 100K K 162.2 s 0 ( s 36)(s 100) 36 lim K 5839 escolha-se K 5839 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 2. Erro de seguimento a rampa unitária eramp () 1 / 162.2 30/Cap.12-ParteA a projectar EXEMPLO 2 + _ KG(s) 100 x 5839 s(s 36)(s 100) KG(s) Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida? 14 .7rad / s M 59º , KG( j) 20dB Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso? M. Isabel Ribeiro, António Pascoal diagrama de Bode de ~ K(s) Projecto de controladores 31/Cap.12-ParteA a projectar EXEMPLO 2 + _ KG(s) 100 x 5839 s(s 36)(s 100) KG(s) desejada M 59.2º10º 69.2º factor de segurança Porque é necessário o factor de segurança? M 69.2º para 9.78rad / s KG( j) 9.78rad/s 24dB O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s M. Isabel Ribeiro, António Pascoal diagrama de Bode de ~ K(s) Projecto de controladores 32/Cap.12-ParteA EXEMPLO 2 Projecto de controladores Dimensionamento do compensador de atraso 20log10 24dB 15.84 0 dB 1 1 T 15.84T 1 T -24dB -90º Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho Onde “colocar” o compensador? M. Isabel Ribeiro, António Pascoal define o afastemento entre o pólo e o zero 33/Cap.12-ParteA EXEMPLO 2 Projecto de controladores Várias hipótess possíveis de “colocação” do compensador M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 0º 34/Cap.12-ParteA EXEMPLO 2 Estratégia de “colocação” do compensador de atraso Projecto de controladores Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada 0 dB 1 1 T 15.84T 1 T -24dB Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada -90º Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 1 0.98 rad / s T 1 0.062rad / s T 35/Cap.12-ParteA G(s) a projectar EXEMPLO 2 + 100 s(s 36)(s 100) K(s) _ Projecto de controladores Bode Diagram 1 s 1 T K (s) K K (s) K s 1 T f.t.c.a. do sistema f.t.c.a. do sistema original*5839 original*5839 50 System: sys Frequency (rad/sec): 10 Magnitude (dB): -0.175 f.t.c.a. do sistema compensado 0 f.t. do compensador f.t. do compensador f.t.c.a. do sistema compensado -50 s 0.98 K ( s ) 368.6 s 0.062 M 64º , GM 22dB especificações verificadas System: sys Frequency (rad/sec): 10 Phase (deg): -116 -90 -180 -270 -2 10 -1 10 0 10 1 10 Frequency (rad/sec) 2 10 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal 1 s 0.98 -100 15.84 s 0.062 0 Phase (deg) K ( s ) 5839 Magnitude (dB) 100 36/Cap.12-ParteA 10