Sistemas Não-lineares
Prof. Daniel J. Pagano
[email protected]
Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC
Departamento de Automação e Sistemas- DAS
2006
1
Objetivos do curso
• Introduzir os conceitos básicos dos sistemas não lineares.
Apresentar as principais técnicas de análise e projeto de
controladores para sistemas não lineares.
• Colocar ao aluno frente à problemática de controle considerando
as não linearidades presentes nas aplicações práticas.
• Introduzir os princípios básicos relacionados com o controle Não
Linear de processos assim como as principais ferramentas de
análise e projeto.
2
Programação do curso
• Análise de Sistemas Não-lineares
1. Sistemas dinâmicos não-lineares. Modelagem matemática e
principais não linearidades em sistemas de controle (saturação,
zona morta, histerese, etc). Representação por variáveis de
estado. Espaço de estados (plano de fase).
2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos. Atratores: equilíbrios,
ciclos limites e comportamento aperiódico. Teorema da
linearização. Noção de Bifurcações.
3. Sistemas lineares com restrições na ação de controle. Antiwindup. Métodos aproximados de análise: método da função
descritiva.
3
Programação do curso (cont.)
• Controle de Sistemas Não-lineares
4. Métodos de síntese de controladores de sistemas não lineares:
linearização por realimentação, estrutura variável (modos
deslizantes).
Aplicações em eletrônica de potência. Exemplos.
4
Avaliação
• lista de exercícios
• trabalho
• Prova
5
Bibliografia
[1] L.H.A Monteiro. Sistemas Dinâmicos Não lineares. Ed. Livraria
da Física. 2da Edição. 2006. *
[2] Nonlinear Systems, Khalil, Prentice-Hall, 3rd edition. 2002.**
[3] Castrucci, P. e R. Curti. Sistemas Não Lineares. Vol. 2. Editora
Edgard Blucher, 1981.
[4] Slotine, J.J. and W. Li. Applied Nonlinear Control. Prentice
Hall, 1991.
[5] Ogata, K. “Engenharia de Controle Moderno”, Capítulo 8, 2nd
Edition, Prentice-Hall, 1995.
*, ** livros recomendados.
6
Revisão Sistemas Lineares
• Definição: um sistema é linear se
u(t)
S
y(t )  S ( u )   S (u )
Principio de
y(t )  S (u1  u2 )  S (u1 )  S (u2 )
superposição
y(t)=S(u)
• Representação por equações diferenciais ordinárias (EDO)
Ex. equação de 2da ordem
y(t )  b y (t )  a y(t )  u(t )
7
Revisão Sistemas Lineares
• Representação por Função de Transferência(FT)
s 2 Y ( s)  b s Y ( s)  a Y ( s)  U ( s)
Trans. de
Laplace
Y ( s)
1
 2
 G( s)
U ( s) s  b s  a
• Representação por Variáveis de estado
Definindo
x1  y
x2  y
x1  x2
x2  a x1  b x2  u
y  x1
8
Revisão Sistemas Lineares
• Representação por Variáveis de estado
 x1 
   A
 x 2 
yC x
 x1 
   B u
 x2 
onde
1 
 0
 0
 ; B    ; C  1 0
A  
  a  b
1
n
Forma geral: x 
x  A x  B u
y C x
G(s)  C sI  A B
1
9
Revisão Sistemas Lineares
• Diagrama de Espaço de Estados
x1
t2
t3
x2
t1
x1
t
t
10
Revisão Sistemas Lineares
• Conceito de Pólos / Autovalores
Pólos = raízes da equação característica
s2  b s  a  0
Polinômio Denominador de G(s)
zeros = raízes do Polinômio numerador de G(s)
ESTABILIDADE
Pólos de G(s)
s 2  b s  a  s  p1  s  p2   0
jω
Plano complexo S
Estabilidade
e ( )  0
σ
11
Revisão Sistemas Lineares
• Conceito de autovalores (a-valores) da matriz A
a-valores de A definem a estabilidade do sistema
Determinação dos a-valores de A
Exemplo:
 I  A 0
onde
1 
 0

A  
 a  b
  b a  0
2
 I  A 0
1
2
b  Det. ( A)
a   Tr ( A)
12
Revisão Sistemas Lineares
a-valores de A
12
12
b2  4 a
b
 
2
2
(Tr ( A))2  4 Det.( A)
 Tr ( A)


2
2
Estabilidade
Implica que
jω
Det. ( A)  0
 Tr ( A)  0
 I  A 0
e ( i )  0 Sistema estável
 I  A 0
e ( i )  0 Sistema instável
 I  A 0
e ( i )  0 Caso especial a ser estudado13
σ
Revisão Sistemas Lineares
Noção de Equilíbrio
Derivadas iguais a zero
dx
x 
0
dt
x  A x  B u
A x  B u  0  x   A1 B u
Se u  0
x  A x  x  0
y C x
• 1 único equilíbrio
Sistemas Lineares
• global estável ou instável
• Não Existe outro comportamento dinâmico
14
Revisão Sistemas Lineares
• Seja o sistema
x  A x
onde A matriz de dimensão nxn
x  0  x  0
1 único equilíbrio
Estabilidade do equilíbrio
Solução da equação
 I  A 0
x(t )  x0 e At
Exemplo: caso unidimensional x1
x  a x
x(t )  x0 ea t
a  0  x Estável
a  0  x Instável
a  0  Caso especial
15
Revisão Sistemas Lineares
x2
Exemplo: caso bidimensional (plano)
 x1 
 x1 
   A  
 x2 
 x 2 
x1  0
x2  0
1 único equilíbrio
Estabilidade do equilíbrio
Se
Re (2 )  0
( x1 , x2 )  (0, 0)
x(t )  x0 e At
Solução da equação
Re (1 )  0
A de dimensão 2x2
então
1
2
 I  A 0
( x1 , x2 )  (0, 0)
é Estável
16
Revisão Sistemas Lineares
• a-valores complexos conjugados
Re (1 )  0
Re (1 )  0
Re (2 )  0
Re (2 )  0
Foco
estável
Foco
instável
• a-valores reais - mesmo sinal
1  0
2  0
Nó estável
1  0
2  0
Nó instável
17
Revisão Sistemas Lineares
• a-valores reais - sinais opostos
• a-valores imaginários puros
Ponto de sela (instável)
Observação: Sistemas lineares não
podem apresentar oscilações isoladas,
comportamentos periódicos assintoticamente estáveis
Centro
18
1. Sistemas Não-Lineares
• Sistema não linear
x 
dx
 f (x )
dt
x  n  x1, x2 , x3 ,, xn 
Condição inicial
x(t  0)  x0
Sistema Autônomo f(x) não depende de t explicitamente
Exemplo:
x0
x   x  x  x(t ) 
x0 1  et  et
2


Solução: x(t) que satisfaz à Equação diferencial e à condição inicial x0
• Ideal: obter expressões analíticas da solução - informação quantitativa
• Realidade: na maioria dos casos não é possível conformarmos com
obter uma informação qualitativa
19
1. Sistemas Não-Lineares
• Sistemas Lineares
1 único Equilíbrio
(estável ou instável)
• Sistemas Não Lineares
- Múltiplos Equilíbrios
- Oscilações periódicas (ciclos limites)
- Atratores estranhos (“caóticos”)
20
1. Sistemas Não-Lineares
• Pendulo simples
  b  a sen( )  0
x1   ; x2  
L
x1  x2
x2  a sen ( x1 )  b x2
Diagrama
de
Espaço de Estados
b0
θ
b0
equilíbrios
x2
x2
x1
x1
21
1. Sistemas Não-Lineares
• Oscilador de Van der Pol
x1  x ; x2  x
x1  x2



d 2x
dx
2


x

1
x0
2
dt
dt
Equilíbrio (foco instável)

2
x2   x1   x1  1 x2
x1 (t )
x2
x2 (t )
Ciclo limite
Estável
t [seg ]
x1
22
1. Sistemas Não-Lineares
x1  x2
x2  x3
• Atrator de Rossler
x3   x1 1  x1   x2  0.5 x3
x1
x2
x3
x3
x2
x1
t
23
2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
Exemplo: Equação logística
1) Equilíbrios
x  x  x 2  f ( x)
x  0  x  x 2  0
xe1  0
1  x  0  xe 2  1
2) Estabilidade dos equilíbrios (classificação)
df (0)
 1  x  x  0  x
Para x  0 
dx
df (1)
 1  x  1( x  1)
Para x  1 
dx
df ( x)
f (x) 
 1 2x
dx
'
X(t)
1
0
t
24
2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
• Linearização: se df(x)/dx ≠0 então as soluções do sistema não
linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se
como as do sistema Linear
Desenvolvimento serie
de Taylor
x  f ( x)
Desprezar termos de
ordem superior
df ( x )
x  x   
x  f ( x ) 
dx
df ( x )
x  x 
x 
Aproximação linear
dx
df ( x )
0
dx
Aproximação linear
válida
25
2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
x  f ( x)  x 2 ; x  0  x  0
• Exemplo
df ( x )
 2x
dx
df (0)
 0  x  ?
Para x  0 
dx
Solução
x(t ) 
Como
x
Equilíbrio
0
t0=1/x0
t
 x0
x0t  1
df (0)
0
dx
Não podemos estudar o
equilíbrio a partir do sistema
linearizado
26
2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
• Exemplo
x1  2 x1 x2
x2   x1  x2  x1 x2  x2 3
Equilíbrios
x1, x2   0,0 , 0,1 , 0,1
 2 x1 x2  0
 x1  x2  x1 x2  x2  0
3
Matriz da
(Jacobiano)
linearização
 0
 0 0

Df (0,0)  
 1
2  1
 1 1 
  2
0
 2
  1
Df (0,1)  
2  2
 0  2
 2
0
 2
  1
Df (0,1)  
  2  2  2  2
 2 x1 
  2 x2
Df ( x1 , x2 )  
2


1

x
1

x

3
x
2
1
2 

Não posso concluir nada
Nó assintoticamente estável
Ponto de sela (instável)
27
2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
• Caso Geral
x  f ( x)
; x n
x  f ( x )  Df ( x) x  x   
x  Df ( x) x  x 
• Jacobiano
 f1

 x1
 f 2
Df ( x)   x1

 
 f n
 x
 1
f1
x2
f 2
x2

f n
x2




Sistema linearizado
f1 

xn 
f 2 
xn 

 
f n 
xn 
28
2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
Tarefa 1: determinar os equilíbrios dos seguintes sistemas e
classificá-los segundo a sua estabilidade
x1  x2
x2  a sen( x1 )  b x2
1. Sistema Pendulo simples
2. Sistema Oscilador
x1  x2

a 0
b0

2
x2   x1   x1  1 x2
3. Sistema (pag. 267 do livro do Monteiro)
x    a x  b x
2
com
a 0
0     max
29
3. Método da Função Descritiva
• Necessidade de ter um método prático embora aproximado para a
detecção de ciclos limites
•Principais funções (estáticas) não lineares na engenharia
• Saturação
• Relê
• Quantizador
• Histerese
• Zona morta
30
3. Método da Função Descritiva
u(t )  a sen(t )

u(t)
Φ
y(t)=Φ(u)
y(t )  (u)  (a sen (t ))
y(t )  C0  [ Ak cos(kt )  Bk sen(kt )]
k 1
Coeficientes
de Fourier
Serie de
Fourier
1 T
1 2
C0   (u ) d 
(u ) dt

0
0
T
2
2 T
1 2
Ak   (u ) cos(k ) d   (u ) cos(kt ) dt
T 0
 0
2 T
1 2
Bk   (u ) sen(k ) d   (u ) sen(kt ) dt
T 0
 0
31
• Se consideramos somente a aproximação de 1ra ordem
(componente fundamental) da serie de Fourier
k=1
y(t )  C0  A1 cos(t )  B1sen(t )
Se Φ(u) é uma função impar  Φ(-u)
= -Φ(u)
Ak=0

y (t )  C0   B sen(kt )
k
k 1
Ou na aprox. de 1ra ordem
Em geral C0=0
y(t )  C0  B1sen(t )
y(t )  B1sen(t )
32
• Qual é a relação entre os sinais u(t) e y(t) ?
y(t ) B1 sen(t ) B1
N (a) 


u (t ) a sen(t )
a
• A relação de amplitudes dos sinais de entrada e de saída é
denominada de função descritiva de Φ(u)
N (a )
Ganho Não
Linear
equivalente
33
• Exemplo 1: Determinar a função descritiva da não linearidade ligadesliga (relê)
 M se u (t )  0
y(t )   (u )  
 M se u (t )  0
y
M
u (t ) a sen( t )
u
0
-M
y(t )   (u)  B1 sen( t )
2 T
2 
B1    (u ) sen( ) d    (u ) sen(t ) dt
T 0
 0
4M
B1 
N(a)

y(t ) B1 4M
N (a) 
 
u (t ) a  a
0
a
34
• Exemplo 2: Determinar a função descritiva da Saturação
y
M se u (t )  0

M
y(t )   (u )   u (t ) se  h  u (t )  h
h
 M se u (t )  0

u (t ) a sen( t )
y(t )   (u)  B1 sen( t )
2 T
2 
B1    (u ) sen ( ) d    (u ) sen (t ) dt
T 0
 0
M
u
0
-M
N(a)
M/h
0
h
a
M

se 0  a  M

y (t ) B1 
h
N (a) 
 
u (t ) a  2  sen 1 (h / a )  h 1  (h / a ) 2 
se a  M


 
a

35
• Detecção de ciclos limites
r(t)
+
u(t)
e(t)
C(s)
ua(t)
Φ
P(s)
y(t)

G(s)  C (s) P(s)
N(a)
Y
G( s)

R 1  N (a) G ( s )
1  N (a) G ( s )  0
s  j
1
G ( j ) 
N (a)
36
• Detecção de ciclos limites
A interseção entre
G ( j )
e
permite obter
1
N (a)
-1/N(a)
ωoo
G(0)
ω=0
-1
c
ac
G(jω)
de um possível ciclo limite
Condição
ImG ( jc )  0
ReG( jc )
1
N (ac )
c
ac
37
Exemplos
Umax=1
Exemplo 1: Sistema com saturação
Umin= -1
1
G( s) 
; k  10
3
( s  1)
1  N (a)
k
0
3
( s  1)
ImG( jc )  0
1
ReG( jc )
 1.24
N (ac )
c  1.75
ac  1.58
N (a)  0.806
~c  1.83
a~c  1.5788
38
Exemplo 2: Sistema com saturação
Umax=0.4
Umin= -0.4
s 1
G (s)  2
s
s 1
1 k 2  0
s
 x1   0 1   x1   0 
   
      u
 x2   0 0   x2   1 
 x1 
y  1 1  
 x2 
39
Exemplo 3: Sistema com saturação
Umax=1
Umin= -1
2

s  1
G( s) 
s3
1 k
s  12  0
s3
 x1   0 0 0   x1   2 
  
   
 x2    2 0 0   x2    0  u
 x   0 0.5 0   x   0 
 3 
  3  
 x1 
 
y  0.5 1 1 1  x2 
x 
 3
40
Exemplo 2: Sistema
com saturação
Exemplo 3: Sistema com
saturação
41
Exemplo 4: Sistema com saturação
Umax=0.1
Umin= -0.1
1
G( s)  2
s s  0.2s  1


1
1 k 3
0
2
s  0.2s  s
1 0   x1   0 
 x1   0
  
   

0 1   x2    0  u
 x2    0
 x    0.2  1 0   x   1 
 3 
  3  
 x1 
 
y  0 0 1  x2 
x 
 3
42
Exemplo 4: Sistema com saturação
43
Exemplo 4: Sistema com Filtro
44
Servo válvula
Exemplo 5: Sistema com servo válvula
+
r(t)
e(t)
C(s)
  x3
C ( s)  k
1 k
u(t)
1
0
2
s  1
(X3)
2
2
X3
1/s
(X3)
2
Φ
y(t)
G(s)
1
1
G( s)  2

s  2s  1 s  12
x1  x2
x 2   x1  2 x2  x3
x3  k  yr  x1 
2
y  x1
X3
Característica válvula
45
Equilíbrios
x1  x2
x 2   x1  2 x2  x3
x3  k  y r  x1 
2
x1  0
x2  0
2
x2  0   x1  x3  0  x3   yr ;  yr  0
x3  0
x1  yr

xe  yr , 0 ,  yr

46
Espaço de estados
Ciclo limite estável
Ramo equilíbrios
estáveis
x3   yr
x3
Ramo equilíbrios
instáveis
x3   yr
x1  yr
Colapso do Ciclo limite
estável com o equilíbrio
instável 47
4. Método de Lyapunov
48
5. Controle de Sistemas Não Lineares
• Métodos de síntese de controladores de
sistemas não lineares:
- linearização por realimentação
- estrutura variável (modos deslizantes)
49
8. Aplicações em eletrônica de potência
• Circuitos de Eletrônica de potencia são
sistemas não lineares
- Interruptores (Mosfet, IGBT, tiristores,
etc.)
- Diodos
-Topologia do circuito
- Cargas
• Devem ser modelados por equações de
estado
• Controle não linear + apropriado
50
Fluxograma
de
modelagem e
projeto
51
•
Modelagem do
conversor Boost
q0
di L
EL
 V0
dt
C
q 1
dV0 V0

 iL
dt
R
di L
0
dt
dV0 V0
C

0
dt
R
EL
di L
 1  q V0
dt
dV0
V0
C

 1  q  iL
dt
R
EL
52
Modelo por variáveis
de estado Boost
di L
1
E
  1  q V0 
dt
L
L
dV0
V0
1
  1  q  iL 
dt
C
RC
Definindo
x1  iL
x2  Vc  V0
Modelo
Instantâneo
Boost
1
1
x1   1  q  x2  E
L
L
1
1
x 2  1  q  x1 
x2
C
RC
q0
com
q 1
53
x1  x2  0
• Equilíbrios
 1  qX 2  E  0
1
X1 
X 22
ER
1  q X 1  1 X 2  0
R
X2
 para
R=200
15
0
B
10
0
 para
R=40
A
X2A=X2B
E = cte
50
0
0
X1B
2
4
X1A
6
8
10
X1
54
• A curva de equilíbrios do sistema (Boost) depende de R, E
• Todos os possíveis pontos de equilíbrio estão sobre essa curva
• Dinâmica para q=0 e q=1
55
• MODELO PELA MÉDIA (“AVERAGED”) DO BOOST
1 T
d (t )   q ( )d
T t T
Razão cíclica
média
onde q(t) é periódica de período T
1 T
V0 (t )   V0 ( )d
T t T
1 T
iL   iL ( )d
T t T
Valor médio da tensão
de saída
Valor médio da corrente no
indutor
56
• Modelo por valores médios

diL (t )
1

qV0 (t )  V 0 (t )  E
dt
L

dV 0 (t )
1 
V 0 (t ) 

iL (t )  qiL (t ) 

dt
C
R 
• Sob certas condições: V0(t) e iL(t) (valores instantâneos) não se
desviem significativamente dos valores médio no intervalo [ t - T, T ]
qV0 (t )  q(t ) V 0 (t )  d (t ) V 0 (t )
qiL (t )  q(t )  i L (t )  d (t )  i L (t )
57

d iL (t ) 1
 d (t )  1V0 (t )  E
dt
L

d V0 (t ) 1 
V0 (t ) 
 1  d (t ) iL 

dt
C
R 
Modelo
por
valores
médios
x1  i L (t )
x2  V0 (t )
1
1 
 1  d  x2  E 
x
L
2 
x
1 
x2 


1

d
x

1
C
R


58
• Equilíbrios para o Modelo por
valores médios
2
1
X1 
X2
RE
Razão cíclica média
ton
d D
T
E
X1 
2
R1  D 
E
X2 
1 D
Observação 0 < d(t) < 1
Limitação (restrição) sobre a ação de controle
59
• Controle do Boost
a) Diretrizes para o projeto de controladores em Eletrônica de Potência
• Funcionamento do dispositivo
Considerações sobre o modo de condução
Considerações sobre ruído audível
• Condições de operação
Flutuações nas fontes de alimentação
Perturbações de carga
• Especificações de desempenho
Regime permanente / Regime transitório / Robustez
• Limitações sobre as variáveis de controle
Saturação / Limitação de taxa / Natureza das variáveis
60
• Controle do Boost
b) Características intrínsecas que influenciam o controle
Natureza discreta das variáveis de
controle
1
0
q
Saturação do controle
61
• Controle do Boost
c) O problema da rejeição de perturbação
150
R = 200
R = 120
E = 100
150
R = 71.8
D = 0.35
E =56.2
D = 0.5
R = 43.0
D = 0.2
D = 0.60
D = 0.6
E =31.6
R = 25.8
D = 0.50
100
D = 0.0
E = 17.7
D = 0.35
R = 15.5
D = 0.20
R = 9.2
D = 0.00
0
R = 5.6
R = 3.3
R = 2.0
x
2
E = 10
50
E = 48
0
2
4
6
0
8
10
0
2
4
6
8
10
x
Variação de R
Variação de E
Objetivos de controle:
Manter tensão regulada – ação integral
Reduzir comportamento transitório
62
• Controle do boost
63
• Controle do Boost
64
• Controle do Boost
65
• Controle do Boost
66