Matrizes e
Sistemas
Lineares
Aula Zero - Álgebra Linear
Professor: Juliano de Bem Francisco
Departamento de Matemática
Universidade Federal de Santa Catarina
agosto de 2011
Outline
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Matrizes
Sistemas Lineares
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Part I
Capı́tulo 1 - Matrizes
Definição:
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Consideremos o conjunto de 5 alunos que fizeram 4 avaliações.
Para representar esses dados de maneira organizada, podemos
fazer uso de uma tabela:
Ana
Beatriz
Carlos
Daniela
Edson
4,5
7,2
8,0
9,2
6,8
6,2
6,8
7,5
8,5
7,2
7,0
8,0
5,9
7,0
6,8
5,5
10,0
7,2
8,0
7,5
O tratamento por linhas, por colunas, por elementos fazem
desses objetos matemáticos instrumentos valiosos na
organização e manipulação de dados.
Definição:
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Uma matriz é um arranjo de números, sı́mbolos, letras, etc,
dispostos em linhas e colunas.
Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que a
matriz tem ordem m × n.
Exemplos:


0 −2 1 4
A =  3 −1 0 0 
2 5 −1 2
B=
√2 −1
3 5
A matriz A é de ordem 3 × 4 e a matriz B é de ordem 2 × 2.
Definição:
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Uma matriz A de ordem m × n é representada por:


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A= .
..
.. 
.
.
.
 .
.
.
. 
am1 am2 · · · amn m×n
Abreviadamente podemos escrever, A = [aij ]m×n , com
1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i, j ∈ N.
Na matriz A do exemplo anterior tem-se que a14 = 4 e
a22 = −1.
Tipos de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz Nula é aquela em que todos os seus elementos são
nulos.
Exemplo:
O=
0 0 0
0 0 0
O=
0 0
0 0
Matriz Linha é aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplo:
A=
2−1 1
√
3
2
Tipos de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Matriz Coluna é aquela que possui apenas uma coluna
(n = 1).
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplos:


1
A= 0 
−1
B=
5
−4
Um vetor no plano ou no espaço pode ser considerado como
uma matriz coluna. Usaremos essa forma ao representar a
solução de um sistema de equações.
Tipos de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao
número de colunas (m = n).
Exemplo:


2 1
0
−2 
A =  0 −1 √
2 π
3
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz Identidade é uma matriz quadrada cujos elementos
aij = 0 se i 6= j e aij = 1 se i = j.
Exemplo:

1
 0
A=
 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
1
Tipos de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada de ordem
n cujos elementos aij são nulos quando i > j, isto é:


a11 a12 · · · a1n
 0 a22 · · · a2n 


A= .
..
.. 
.
.
.
 .
.
.
. 
0
0
···
ann
Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada de ordem
n cujos elementos aij são nulos quando i < j, isto é:


a11 0 · · ·
0
 a21 a22 · · ·
0 


A= .
.. 
..
..
 ..
.
.
. 
an1 an2 · · ·
ann
Tipos de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Matriz Simétrica é uma matriz quadrada de ordem n, em que
aij = aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.
Exemplo:


4 3 −1
A= 3 2 0 
−1 0 5
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz Anti-Simétrica é uma matriz quadrada de ordem n,
em que aij = −aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.
Exemplo:
√
2
0
3
0
 −3
0
−1
1
A=
 0
1
0 −2
√
− 2 −1 2
0





Tipos de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz Elementar Uma matriz é denominada elementar se for
obtida por meio de uma única mudança na matriz identidade.
Essa mudança pode ser de um dos seguintes tipos:
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou
coluna);
2) A multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valor
α ∈ R;
3) A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor
α ∈ R, com outra linha (ou coluna).
Tipos de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplos:
a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha
1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 é dada por:
0 1
E1 =
1 0
b) A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha
3 por -3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem
3) é dada por:


1 0 0
E2 =  0 1 0 
0 1 −3
Igualdade de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Definição
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n são iguais quando
aij = bij , ∀ i, j.
Exemplo:
9 1 log 1
9 sen (π/2) 0
A=
e B=
2 22
5
2
4
5
são iguais.
Operações com Matrizes - Adição
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n , a matriz A somada com a matriz
B, resulta numa matriz C = [cij ]m×n , cujos elementos são:
cij = aij + bij , ∀ i, j. Denotamos por: C = A + B = [aij + bij ]m×n .

1
Exemplo:  4
2
 
0
−1
0  +  −2
1
5
 
4
1
5 = 2
0
3

3
5 .
5
Propriedades:
(a) Comutatividade: A + B = B + A.
(b) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C ).
(c) Elemento Neutro da Adição: A + 0 = 0 + A = A, onde
0 denota a matriz nula.
(d) Elemento Simétrico: A + (−A) = 0.
Produto de uma matriz por um escalar
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Seja k um número qualquer. Para multiplicar k por uma matriz
A de ordem m × n, basta multiplicar cada entrada aij de A por
k. Assim, a matriz resultante B será também m × n e seus
elementos serão bij = k aij .

 

2 10 1
−4 −20 −2
6
0 .
Exemplo: −2  1 −3 0  =  −2
0 −2 3
0
4
−6
Produto de uma matriz por um escalar
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Propriedades:
(a) Associativa: k1 (k2 A) = (k1 k2 )A.
(b) Distributiva à direita em relação as matrizes:
k(A + B) = kA + kB.
(c) Distributiva à esquerda em relação aos escalares:
(k1 + k2 )A = k1 A + k2 B.
(d) Elemento Neutro: 1.A = A.
(e) 0.A = 0.
Matriz transposta
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Dada uma matriz A = [aij ]m × n , podemos obter uma outra
matriz A0 = [bij ]n × m , cujas linhas são as colunas de A, isto é,
bij = aji . A0 é denominada a transposta de A.
3 −2 5
Exemplo: Seja A =
.
1 7 0  3 1 
A transposta de A é a matriz A0 =  −2 7  .
5 0
Propriedades:
(a) (A0 )0 = A.
(b) (A + B)0 = A0 + B 0 .
(c) A é simétrica se, e somente se, A = A0 .
(d) (kA)0 = kA0 ,
k é um escalar qualquer.
Produto de Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Sejam, A = [aij ]m×n e B = [brs ]n×p , então, seu produto A.B é
a matriz m × p dada por: C = [cuv ]m×p . Os elementos da
n
X
matriz produto cuv são dados por: cuv =
auk bkv .
k=1
Propriedades:
(a) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade.
(b) Associativa: (AB)C = A(BC ).
(c) Distributiva: A(B + C ) = AB + AC .
(d) (A + B)C = AC + BC .
(e) k(AB) = (kA)B = A(kB).
(f) (AB)0 = B 0 A0 .
Traço de uma Matriz
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Dada A = [aij ]n , o traço de A, denotado por Tr (A), é o número
dado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto é:
Capı́tulo 1
Matrizes
Tr (A) =
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
n
X
aii .
i=1
Propriedades:
(a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B);
(b) Tr (αA) = αTr (A);
(c) Tr (A0 ) = Tr (A);
(d) Tr (AB) = Tr (BA).
Determinantes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Cofator de uma Matriz: O cofator Aij do elemento na
posição (i, j) de uma matriz A é dado pelo valor do
determinante Mij , vezes o valor (−1)i+j . Isto é:
Aij = (−1)i+j det(Mij )
onde Mij é a matriz obtida eliminando a i-ésima linha e a
j-ésima coluna da matriz A.
Definição
Seja A uma matriz de ordem n, o cálculo do determinante da
matriz referido a linha k é dado por:
|A| = ak1 Ak1 + ak2 Ak2 + ... + akn Akn .
Similarmente é possı́vel fazer o desenvolvimento por colunas.
Propriedades do Determinante
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Considere A e B matrizes quadradas. Então, valem as
propriedades dos determinantes.
Propriedades:
(a) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros,
então, det (A) = 0;
(b) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais,
então, det (A) = 0;
(c) Se B é obtida de A multiplicando-se uma linha
(ou coluna) por um escalar α, então,
det (B) = α det (A);
Propriedades do Determinante
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Propriedades:
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
(d) Se B é obtida por troca das posições relativas de
duas linhas (ou colunas) da matriz A, então,
det (B) = −det(A);
(e) Se B é obtida de A, substituindo-se a linha i (ou
coluna) por ela somada a um multiplo escalar de
outra linha j (ou coluna) (j 6= i) então,
det (B) = det (A);
(f) det (A) = det (A0 );
(g) det (AB) = det (A) det(B).
Matriz Adjunta
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Dada A = [aij ]n , a matriz adjunta de A é dada por
Adj (A) = (Cof (A))0 ,
onde Cof (A) é a matriz cujos elementos são os cofatores Aij
da matriz A, ou seja, é a matriz onde cada elemento aij é igual
ao cofator Aij da matriz A.
Teorema
Se A é uma matriz de ordem n,
Adj (A) · A = A · Adj (A) = det (A) · In .
Matriz inversa
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Uma matriz é dita singular se o seu determinante é nulo. Caso
contrário, dizemos que a matriz é não singular.
Definição
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma
matriz A−1 , de mesma ordem, tal que A.A−1 = A−1 .A = In ,
então dizemos que A é inversı́vel e que A−1 é matriz inversa
de A.
Propriedades:
Se A é inversı́vel, então, A é não singular.
Matriz inversa
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Se det (A) 6= 0 então
A−1 =
adj (A)
·
det (A)
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Propriedades:
Se A e B são inversı́veis, então:
(a) (AB)−1 = B −1 A−1 .
(b) (A−1 )−1 = A.
(c) (A0 )−1 = (A−1 )0 .
1
(d) det (A−1 ) =
·
det (A)
Operações Elementares
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Operações elementares são realizadas na matriz com o objetivo
de invertê-la, reduzi-la ou simplesmente colocá-la num formato
especificado previamente. Elas podem ser de três tipos:
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou
coluna);
2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valor
α ∈ R, com α 6= 0;
3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valor
α ∈ R (α 6= 0) numa outra linha (ou coluna).
Forma Escada de uma Matriz
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Dizemos que uma matriz A = (aij )m×n está na sua forma
escada quando:
a) se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna
ki , então aij = 0 para todo i > ki . Em outras palavras, os
elementos da coluna ki que estão abaixo do primeiro elemento
não nulo da linha i são todos iguais à zero;
b) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas;
c) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas, e se o primeiro
elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki , então,
k1 < k2 < ... < kr .
Forma Escada de uma Matriz
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplos:
0 1 0
A1 =
0 0 0


0 1 5 0 3
A2 =  0 0 0 1 2 
0 0 0 0 0


1 −1 0
A3 =  0 1 0 
0 0 1
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Part II
Capı́tulo 2 - Sistemas Lineares
Sistemas de Equações Lineares
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Um sistema da forma


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..


.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
(1)
é chamado de sistema de equações lineares de ordem m × n.
Forma Matricial de um Sistema Linear
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
O sistema de equações (1) pode ser escrito


a11 a12 · · · a1n
x1
 a21 a22 · · · a2n   x2


 ..
..
..
..   ..
 .
.
.
.  .
am1
am2
···
na forma matricial:
 

b1
  b2 
 

 =  ..  ,
  . 
xn
bm
amn
ou ainda,
AX = B,
(2)
com



X =

x1
x2
..
.
xn






, A = 


a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
am2
···
amn






 e B=


b1
b2
..
.
bm



.

Exemplo
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Exemplos:
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares


x1 + 2x2 = 1
2x1 + x2 = 0


x1 − x2 = −1
Forma matricial:
X =
x1
x2




1 2
1
, A =  2 1  e B =  0 .
1 −1
−1
Interpretação Geométrica
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Considere o seguinte sistema:
(
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
Geometricamente temos as seguintes possibilidades:
Combinação Linear de Vetores
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
O sistema:
(
x + 2y = 5
3x + y = 5
pode ser escrito da forma
1
2
5
x
+y
=
3
1
5
Posto e Nulidade de uma Matriz
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Dada uma matriz A de ordem m × n, o posto da matriz, p(A),
é dado pela ordem da maior submatriz não singular da matriz
dada.
Exemplo:


1 2
A= 2 4 
, temos que p(A) = 1
1 2 3×2
Definição
Dada uma matriz A de ordem m × n, a nulidade da matriz,
nul(A), é dada pela diferença entre o número de colunas e o
seu posto (nul(A) = n − p(A)).
Posto e Nulidade de uma Matriz
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
As linhas linearmente independentes (L.I.) de uma matriz A
são as linhas não nulas de sua forma escada.
Exemplo: Seja

1 ∗
 0 0
à = 
 0 0
0 0
A tal que sua forma escada é

∗ ∗ ∗
2 ∗ ∗ 

números de linhas L.I. de A??
0 0 −1 
0 0 0
4×5
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Propriedades:
(a) Se A é m × n, então p(A) = (núm. de linhas L.I.)
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
(b) p(A) ≤ min{m, n}
Conclusão: Achar p(A) basta achar o posto de sua forma
escada!
Assim, se A é tal que sua forma escada

1 ∗ ∗ ∗
 0 0 −3 ∗
à = 
 0 0 0 0
0 0 0 0
é

∗
∗ 

2 
0
Então, posto de A é 3 e sua nulidade é 2.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Mais
exemplos:
2 ∗ ∗
 0 0 0
à = 
 0 0 0
0 0 0

2 ∗ ∗
 0 0 3
à = 
 0 0 0
0 0 0
∗
3
0
0
∗
∗
1
0

∗
∗ 

p(A) =?? nul(A) = ??
0 
0 4×5

∗
∗ 

p(A) =?? nul(A) = ??
1 
−2 4×5
Exercı́cio


1 2 −1 0
 2 −1 1 1 

Encontre o posto e nulidade de A = 
 1 −3 2 1 
0 −5 3 1
Matrizes Equivalentes e Sistemas Equivalentes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Definição
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
e são ditas matrizes equivalentes se uma
Duas matrizes A e A
delas e obtida ao fazermos operações elementares na outra.
Exemplo:


1
2
1
4
0
2
1  é equivalente a
A= 0
−1 −2 −1 −4


1 2 1 4
à =  0 0 1 1/2 
0 0 0 0
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Propriedade. Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto.
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Dado um sistema AX = B, com A m × n, definimos a matriz
aumentada/ampliada do sistema por Au = [A : B] (de ordem
m × (n + 1))
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Definição
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
e = B,
e são ditos equivalentes se as
Dois sistemas, AX = B e AX
matrizes aumentadas dos mesmos, Au = [A : B] e
e u = [A
e : B],
e são matrizes equivalentes.
A
Exemplo: Os sistemas


x + 2y + z − t = 1
2z − 2t = 2


−x − 2y − z + 2t = −1
são equivalentes.


x + 2y + z − t = 1
e
z −t =1


t=0
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Propriedades:
Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solução.
Ideia para resolver sistemas lineares: Aplicar operações
elementares em [A : B] e obter [Ã : B̃] na forma escada, e
então resolver ÃX = B̃ (mais simples)
Caracterização dos Sistemas Lineares
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Seja o sistema linear de m equações com n incógnitas
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
da forma: AX = B. O sistema linear pode ser:
a) Possı́vel, se possui solução. Neste caso, p(Au ) = p(A).
Determinado: quando a solução é única. Neste caso,
p(A) = n;
Indeterminado: quando há infinitas soluções. Neste caso,
p(A) < n.
b) Impossı́vel, se não possui solução (p(Au ) > p(A)).
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplo:
Considere o sistema AX = B onde

1
 0
A=
 0
0
∗
0
0
0
∗
1
0
0
∗
∗
0
0


∗
∗


∗ 
∗
, B=
 ∗
1 
0 4×5
z




4×1
Qual valor de z para que o sistema seja possı́vel? e
impossı́vel? Pode ser determinado?
Graus de Liberdade
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Considere um sistema indeterminado AX = B, com A m × n.
O número de graus de liberdade do sistema é
g = n − p(A) > 0 (que é o número de variáveis livres).
Exemplo:





1 2 −1 3 0
−1

 0 0 1 2 −1 
 0 





A=
,B = 
eX =



0 0 0 0 1
1

0 0 0 0 0
0
então, g =?? e as variáveis livres são ??
x1
x2
x3
x4
x5






Método de Gauss
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
O Método de Gauss para sistemas lineares: escolher
variáveis livres e, a partir delas, encontramos as outras variáveis
usando o sistema equivalente na forma escada.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplo
Encontre o grau de liberdade, as variáveis livres e o
conjunto de soluções para o sistema, indicando o posto e a
nulidade da matriz do sistema :


x + 2y − 3z − 2s + 4t = 1
2x + 5y − 8z − s + 6t = 4


x + 4y − 7z + 5s + 2t = 8
Escreva as soluções como combinação linear de vetores.
Sistemas Homogêneos
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Definição
Quando B = 0 dizemos que o sistema é homogêneo. Neste
caso, AX = 0.
Notação: SLh .
Observação
Ao aplicar operações elementares no sistema aumentado [A : 0]
a última coluna vai ser sempre 0, ou seja, teremos [Ã : 0].
Propriedades:
Em um sistema AX = B, a solucão geral é X = Xp + Xh , onde
Xp é uma solução particular do sistema e Xh é a solução geral
do sistema homogêneo Ax = 0.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Capı́tulo 1
Matrizes
Capı́tulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplo
Encontre o conjunto de soluções para o sistema homogêneo:


x + 2y − 3z − 2s + 4t = 0
2x + 5y − 8z − s + 6t = 0


x + 4y − 7z + 5s + 2t = 0