Metodologia do Ensino da Matemática 2005
Aula Teórica 3 – 28 Fevereiro
As diversas áreas do currículo de Matemática
Currículo e Programas de Matemática. Diferentes
tipos de tarefas
João Pedro da Ponte
Departamento de Educação
1
Currículo e Programa

Do conceito de programa ao conceito
de currículo
2
Os grandes domínios da Matemática
História, objectos e processos, papel no mundo de hoje...
Geometria


Grécia, Renascimento, geometrias não euclideanas,
computação gráfica...
Pontos, rectas/segmentos/figuras, planos/poliedros,
espaços abstractos...
Aritmética


Antiguidade, Grécia, Indus, Gauss, Peano...
Números (naturais/racionais(reais) e suas operações.
3
Os grandes domínios da Matemática
Álgebra


Antiguidade, indus e árabes, estudo equações, estrut. abstractas...
Relações matemáticas abstractas (equações, estruturas definidas
por operações em conjuntos).
Análise


Época moderna (Newton e Leibniz)...
Processos infinitos (que geram infinitésimos, infinitamente
grandes, etc.).
Probabilidades


Época moderna...
Experiência aleatória.
Estatística


Época moderníssima...
Dados e suas distribuições.
4
O NCTM é a associação de professores de Matemática dos
Estados Unidos da América e Canadá (ver site)
Principles and standards (NCTM, 2000)
Princípios






Equidade – expectativas elevadas e forte apoio a todos os alunos,
Currículo – é mais do que uma colecção de actividades: deve ser
coerente, focado em matemática importante e bem articulado,
Ensino – compreender o que os alunos sabem e precisam de
aprender, desafiá-los e apoiá-los,
Aprendizagem – os alunos devem aprender Matemática com
compreensão, construindo activamente o novo conhecimento a
partir da sua experiência e conhecimento prévio,
Avaliação – deve apoiar a aprendizagem de Matemática
importante e fornecer informação útil a alunos e professores,
Tecnologia – é essencial para o ensino e a aprendizagem,
influencia a Matemática que é ensinada e favorece a
aprendizagem dos alunos.
5
Principles and standards (NCTM, 2000)
Normas de conteúdo





Números e operações
Álgebra
Geometria
Medida
Análise de dados e probabilidade
Normas de processo





Resolução de problemas
Raciocínio e demonstração
Comunicação
Conexões
Representação
6
Currículo de âmbito nacional, disponível na Web
Irlanda (Junior cycle) 12-14 anos
Níveis Superior e Comum








Conjuntos
Sistemas de números
Aritmética aplicada e medida
Álgebra
Estatística
Geometria
Trigonometria
Funções e gráficos
Nível Inferior







Conjuntos
Sistemas de números
Aritmética aplicada e medida
Álgebra
Estatística e análise de dados
Geometria
Relações, funções e gráficos
7
Portugal – orientações transversais
2º e 3º ciclos do ensino básico


Programas (1991): Resolução de problemas
Currículo nacional (2001):


Experiências de aprendizagem: Resolução de problemas,
actividades de investigação, realização de projectos, jogos,
Aspectos transversais da matemática: comunicação, prática
compreensiva de procedimentos, exploração de conexões.
Secundário - Temas transversais






Comunicação matemática,
Aplicações e modelação matemática,
História da matemática,
Lógica e raciocínio matemático,
Resolução de problemas e actividades investigativas,
Tecnologia e matemática.
8
Portugal (2º ciclo)
Geometria (43%)






Sólidos geométricos
Perímetros
Ângulos, triângulos, quadriláteros
Simetria em relação a uma recta
Áreas
Volumes
Números e cálculo (40%)



Números inteiros e números decimais; Operações
Números racionais absolutos; Operações
Números inteiros relativos; Operações
Estatística (11%)
Proporcionalidade (06%)
9
Portugal (3º ciclo)
Geometria (40%)



O espaço e o plano (sólidos geométricos, áreas e volumes, planos e
rectas no espaço (// e –!), construção dedutiva),
Análise de figuras: Medição. Construção (ângulos, const. triângulos,
quadriláteros, Pitágoras, circunferência e polígonos),
Transformação de figuras (ampliação, redução, semelhança,
trigonometria, translações, rotações, isometrias).
Números e cálculo (39%)


Números e cálculo numérico (problemas e jogos sobre números,
potências, racionais relativos, dízimas, reais),
Variáveis e cálculo algébrico (expressões, equação 1º grau, equação 2º
grau, equações literais, sistemas, inequações).
Funções (12,5%)

Proporcionalidade directa e inversa, função afim, gráficos sit. reais.
Estatística (08,5%)

10
Recolha e organização de dados, med. tendência central, probabilidades.
Portugal (secundário-A)
Temas transversais






Comunicação matemática
Aplicações e modelação matemática
História da matemática
Lógica e raciocínio matemático
Resolução de problemas e actividades investigativas
Tecnologia e matemática
Conteúdos




Cálculo diferencial
Geometria (no plano e no espaço)
Funções e sucessões
Probabilidades (com Análise combinatória) e Estatística
11
Portugal (secundário-A)
Conteúdos







Resolução de problemas: 9+0+0
Geometria (no plano e no espaço): 27+30+0
Funções e sucessões:27+24+12
Cálculo diferencial: 30+30
Estatística: 15+0+0
Probabilidades e Análise combinatória: 0+0+30
Números complexos: 0+0+12
04%
23%
26%
24%
06%
12%
05%
12
Portugal – traços marcantes
Ensino básico




Grande peso da Geometria
Grande ênfase no cálculo
Ausência da Álgebra (que se reduz a cálculo
algébrico + funções)
Ausência da Medida
Ensino secundário A




Grande peso do cálculo diferencial
Peso significativo da Geometria
Ausência da Matemática discreta
Ênfase na tecnologia (calculadoras)
13
Tarefas matemáticas
14
Actividade e tarefa


A tarefa é o objectivo da actividade
A partir de uma situação podem
formular-se tarefas...





fáceis ou difíceis
abertas ou fechadas
contextualizadas ou não
...
Uma vez proposta, uma tarefa pode dar origem a
diversas actividades por parte dos alunos, dependendo


da capacidade e da atitude dos alunos e
do modo de actuação do professor
15
Diferentes tipos de tarefa
Na aprendizagem da escrita
 Cópia – Ditado – Redacção
 Texto orientado – Texto livre
Na Matemática
 Exercícios – Problemas
 Investigações
16
Problemas
1.
Em 18 quilogramas de café-mistura há
15 quilogramas de café de S. Tomé.
¿Que quantidade dêste café haverá em
270 gramas da mesma mistura?
18 --- 15
270 --- x
18 270

15
x
270  15
x=
= 225
18
270  15
x=
= 225
18
17
Problemas

Grau de dificuldade significativo, para o aluno,
que não dispõe de um método que o permita
resolver de modo imediato

Claramente formulado o que é dado (condições)
e o que é pedido (objectivo)

Em aberto: o plano ou a estratégia de resolução
18
Exercícios
Simplifica:
a)
6

12
b)
17  5

13 (11 7)
c)
20
18  9

(15  10)  2
3
19
Exercícios

Grau de dificuldade reduzido para o aluno,
que dispõe de um método que o permite
resolver de modo imediato

Claramente formulado o que é dado
(condições) e o que é pedido (objectivo)

Em aberto: forma de aplicar o método
20
Investigações
Vai a um supermercado e verifica se existem
diferentes tipos de pacotes de café de uma mesma
marca. No caso de estares interessado em adquirir
uma grande quantidade de café (por exemplo, para
abastecer o bar da escola), qual a melhor opção de
compra?
21
Investigações
Grau de dificuldade significativo, para o aluno, que
não dispõe de um método imediato de resolução
Não está claramente formulado o que é dado
(condições) e/ou o que é pedido (objectivo)
Em aberto:

A concretização dos objectivos e das condições

o plano ou a estratégia de resolução
22
Diferentes tipos de tarefas
Exercício
Simplifica:
a)  6
21
17  2

b) 3  (10  7)
20
18  9

c)
(15  10)  2
3
Problema
Qual o mais
pequeno número
inteiro que,
dividido por 5, 6 e
7 dá sempre resto
3?
Investigação
1. Escreve a
tabuada dos 9,
desde 1 até 12.
Observa os
algarismos das
diversas colunas.
Encontras alguma
regularidade?
2. Vê se encontras
regularidades nas
tabuadas de outros
números.
23
Diversos tipos de tarefa
Acessível
Exercício
Exploração
Fechado
Aberto
Problema
Investigação
Complexo
24
Explorações
1. Qual o valor médio dos pacotes de café do
supermercado?
2. Qual o valor médio da altura dos alunos da tua
turma?
Diferença no grau de dificuldade:
 se o aluno puder começar a trabalhar desde logo, sem muito
planeamento, estaremos perante uma tarefa de exploração
 caso contrário, será talvez melhor falar em tarefa de investigação
 entre as tarefas de exploração e os exercícios a linha de
demarcação nem sempre é muito nítida – tudo depende dos
conhecimentos prévios dos alunos
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Duração das tarefas
Curta
Exercícios
Média
Problemas
Tarefas de exploração
Tarefas de investigação
Longa
Projectos
26
Referência contextual
Realidade
Semi-realidade
Matemática pura
Exercícios (aplicações, modelação)
Exercícios
Problemas (aplicações, modelação)
Problemas
Investigações (aplicações, modelação)
Explorações (aplicações, modelação)
Investigações
Explorações
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