Funções Reais:
Caminhos e Descaminhos
Wanderley Moura Rezende
Departamento de Matemática Aplicada IM – UFF
[email protected], [email protected]
O Ensino de Cálculo: Dificuldades de
Natureza Epistemológica, USP/2003

Origem – Mapeamento das dificuldades de
aprendizagem de natureza epistemológica
infinito
sistematização
variabilidade
discreto
local
global
contínuo
permanência
construção
finito
Lugar Matriz - omissão/“evitação” das idéias básicas e
dos problemas construtores do Cálculo no ensino de
Matemática em sentido amplo
O lugar-matriz e o ens. básico de Matemática
emersão das idéias do Cálculo no ensino básico de Matemática
Ensino básico em três vias
O Projeto

Uma Proposta de Natureza Didática de Emersão das
Idéias Fundamentais e dos Problemas Construtores do
Cálculo no Ensino Básico de Matemática

Objetivos:
construir mapas que possibilitem explicitar as idéias do
Cálculo que se encontram escondidas no processo
didático do ensino básico de matemática;
elaborar uma proposta de natureza didática de
emersão das idéias fundamentais e dos problemas
construtores do Cálculo no ensino básico de
matemática


Etapa 1 - mapeamento das idéias e dos
problemas construtores do Cálculo que se
encontram camuflados no ensino básico de
matemática


Três linhas diretrizes:
problema da variabilidade (funções reais)


problema geométrico da medida (áreas e volumes de corpos
redondos)


monografias de Leila Botelho e Sandro Sá
monografia de José Carlos Gaspar
problema aritmético da medida (número real)

monografia de Joice Camargo dos Santos
Introdução

Caraça (1989): o conceito de função se estabelece como
uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a
entender os processos de fluência e de interdependência
que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso
Universo.

Rezende (2006): Saber que a variação de uma grandeza
depende da variação da outra é um aspecto importante no
estudo do conceito de função, mas que se torna
incompleto do ponto de vista epistemológico, se não
estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não
conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de
variação.
Objetivo

Reflexão sobre o ensino de funções
reais na educação básica, tendo como
referência o seu caminho histórico de
construção e os descaminhos de
natureza pedagógica e epistemológica.

Sierpinska (1987), Cabral (1998),
(Rezende, 2003b), Botelho (2005) e
Souza Sá (2005) entre outros.
A Origem Histórica

Conceito de função // conceito de variável

O uso de símbolos na matemática:


álgebra desenvolvida na Grécia por Diofanto (200/214284/298); álgebra hindu...
Viète (1540-1603) - fez uso, em seus trabalhos de

“uma vogal, para representar uma quantidade suposta
desconhecida ou indeterminada e uma consoante para
representar uma grandeza ou números supostos conhecidos
ou dados”
A noção de movimento e a
noção de infinito

Primeiro rompimento com o pensamento
aristotélico:


Roger Bacon (1214-1294) e Guilherme de Ockham (13001349): ciência experimental - as verdades científicas
deveriam, necessariamente, ser obtidas através da
experiência.
Rompimento definitivo:


Galileu (1564-1642)
(...) o espaço percorrido por um corpo em queda livre é
diretamente proporcional ao quadrado do tempo levado
para percorrer este espaço.
Filósofos escolásticos - “matematização”
do conceito de função

Representação duplamente significativa:


por um lado mostra duas grandezas relacionadas entre si,
variando ao mesmo tempo, e por outro lado ilustra esta
variação através de um gráfico.
O conceito de função se estabelece,
implicitamente, por meio da curva (uma reta) ...
Geometria Analítica e Cálculo

Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665):
Geometria Analítica

Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716):
Cálculo Infinitesimal

O conceito de função “evoluiu”
 (...) sai, gradativamente, do âmbito do Cálculo,
enquanto relação entre quantidades variáveis, para o
âmbito da Teoria dos Conjuntos, como uma operação
especial entre conjuntos (início do século XX).
Descaminhos Pedagógicos:
Alguns Indicadores

Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (2003a)

fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem
dos conceitos básicos do Cálculo.

Problemas de taxas relacionadas e de otimização.

Cabral (1998)

quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o
funcional e o diferencial, identificando entre eles uma
hierarquia de natureza epistemológica
 Os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns
 “O difícil mesmo é encontrar a função”
 Relação intrínseca entre o terceiro e o quarto nível
Caminho natural para o estudo das funções reais
seria caracterizá-las conforme a maneira que
variam... Mas, será que este caminho é seguido na
educação básica?

Botelho (2005) e Souza Sá (2005):

Predominância da representação algébrica





injetividade/sobrejetividade x crescimento/decrescimento, ou quanto
e como cresce/decresce
zeros da função x pontos críticos da função
Ausência de tópicos que analisem o comportamento da
variabilidade e de exercícios de modelagem
Gráfico - “plotado” através de uma tabela de valores “notáveis”
Correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y”
1G - Bianchini
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
DEFINIÇÃO
ZERO DA
FUNÇÃO
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
INEQUAÇÕES
ESTUDO DO
SINAL
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
1G – Dante
POSIÇÃO RELATIVA
ENTRE DUAS RETAS
TABELA DE
VALORES
FUNÇÃO
LINEAR
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
DEFINIÇÃO
TAXA DE
VARIAÇÃO
ESTUDO DO
SINAL
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
PROPORCIONALIDADE
ZERO DA
FUNÇÃO
EQUAÇÃO DO
1° GRAU
INEQUAÇÕES
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
2G - Machado
DOMÍNIO
TABELA DE
VALORES
IMAGEM
VALOR
MÁXIMO
E VALOR
MINIMO
DEFINIÇÃO
VÉRTICE
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
PONTO DE
MÁXIMO E
PONTO DE
MÍNIMO
CONCAVIDADE
RAÍZES E
SINAIS DA
FUNÇÃO
EQUAÇÃO DO
2° GRAU
INEQUAÇÕES
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
2G - Dante
EIXO DE
SIMETRIA
INCLINAÇÃO DA
RETA TANGENTE
Definição
Tabela de
valores
Gráfico no
Plano
Cartesiano
Taxa de
variação
COORDENADAS
DO Vértice
Abertura da
parábola
Equação do 2°
grau
Concavidade
SINAL DA
FUNÇÃO
Imagem da
Função
Valores
Máximo e
Mínimo
Inequações
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
EXP - Smole
SITUAÇÕES
PROBLEMA
DEFINIÇÃO
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
EQUAÇÃO
EXPONENCIAL
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
PROPRIEDADES
DA FUNÇÃO
EXPONENCIAL
PROPRIEDADES
DAS POTÊNCIAS
INEQUAÇÃO
EXPONENCIAL
FUNÇÃO
CRESCENTE E
DECRESCENTE
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
EXP - Dante
PROPRIEDADE
S DA
POTÊNCIA
TABELA DE
VALORES
PROBLEMA
INTRODUTÓRIO
DEFINIÇÃO
DOMÍNIO E
IMAGEM
EQUAÇÃO
EXPONENCIAL
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
INJETIVIDADE
INEQUAÇÃO
EXPONENCIAL
FUNÇÃO
CRESCENTE E
DECRESCENT
E
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
LOG - Smole
EQUAÇÃO
EXPONENCIAL
DEFINIÇÃO
TABELA DE
VALORES
EQUAÇÃO
LOGARITMICA
OPERADOR
LOGARITMO
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
FUNÇÃO INVERSA
DA FUNÇÃO
EXPONENCIAL
PROPRIEDADES
DOS
LOGARITMOS
FUNÇÃO
CRESCENTE E
DECRESCENT
E
INEQUAÇÃO
LOGARÍTMICA
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
LOG - Iezzi
OPERADOR
LOGARITMO
DEFINIÇÃO
FUNÇÃO
CRESCENTE E
DECRESCENTE
PROPRIEDADES
DOS LOGARITMOS
PROPRIEDADES
DA FUNÇÃO
LOGARÍTMICA
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
EQUAÇÃO
LOGARÍTMICA
INEQUAÇÃO
LOGARÍTMICA
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
Algumas Considerações



Qual o motivo desta omissão?
Qual a dificuldade em se tratar, no ensino
médio, de assuntos como “variabilidade” ou
“taxa de variação”?
Precisamos recuperar os “escolásticos”...
Alguns
Problemas
1) A tabela abaixo mostra a variação de posição de
um trem que passava no quilômetro 40 de uma
ferrovia quando o movimento começou a ser
observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o
início da viagem, o trem passou pelo quilômetro
120 da ferrovia?
Tempo
(horas)
Espaço
(km)
0
1
2
3
4
40
70
100
130
160
dt =
1
t
0
1
2
3
4
S(t)
40
70
100
130
160
ΔS
Δ2S
dt =
1
t
0
1
2
3
4
S(t)
40
70
100
130
160
ΔS
30
30
30
30
Δ2S
0
0
0
Algumas propriedades preliminares
y = ax3 + bx2 + cx + d
a=
b=
c=
d=
dx =
1
1
0
0
2
x
y
Δy
Δ2y
Δ3y
Δ4y
2,00
12,00
4,00
80,00
68,00
6,00
252,00
172,00
104,00
8,00
576,00
324,00
152,00
48,00
10,00 1100,00
524,00
200,00
48,00
0,00
12,00 1872,00
772,00
248,00
48,00
0,00
1068,00
1412,00
1804,00
2244,00
2732,00
296,00
344,00
392,00
440,00
488,00
48,00
48,00
48,00
48,00
48,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14,00
16,00
18,00
20,00
22,00
2940,00
4352,00
6156,00
8400,00
######
s(t) = at +b
Substituindo, temos:
40 = s(0) = a.0 + b = b → b = 40
70 = s(1) = a.1 + b → a = 70 – b = 70 – 40 = 30
Logo, s(t) = 30t + 40
Como estamos procuramos s(120), basta substituir:
120 = 30.t + 40 → t = 8/3
Ou seja, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia
depois de 2h e 20min.
2) Um estudante anotou a posição de um móvel ao
longo do tempo e obteve a seguinte tabela:
Tempo
(s)
0
10
20
30
40
50
Posição
(cm)
17
45
81
125
177
237
Calcular a posição do móvel nos instantes 5 s e 35 s.
dt =
10
t
0
10
20
30
40
50
s(t)
17
45
81
125
177
237
Δs
2
Δs
dt =
10
t
0
10
20
30
40
50
s(t)
17
45
81
125
177
237
Δs
28
36
44
52
60
2
Δs
dt =
10
t
0
10
20
30
40
50
s(t)
17
45
81
125
177
237
Δs
28
36
44
52
60
2
Δs
8
8
8
8
Algumas propriedades preliminares
3
2
y = ax + bx + cx + d
a=
b=
c=
d=
dx =
0
1
1
1
1
Δy
Δ2y
Δ3y
Δ4y
x
y
1,00
3,00
2,00
7,00
4,00
3,00
13,00
6,00
2,00
4,00
21,00
8,00
2,00
0,00
5,00
31,00
10,00
2,00
0,00
0,00
6,00
43,00
12,00
2,00
0,00
0,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
57,00
73,00
91,00
111,00
133,00
14,00
16,00
18,00
20,00
22,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
s(t) = at2 +bt + c
Substituindo, temos:
17  s(0)  a.0 2  b.0  c  c  c  17
45  s(10)  a.102  b.10  c  100a  10b  17 
 100a  10b  17  45

2
81  s(20)  a.20  b.20  c  400a  20b  17
 400a  20b  17  81
Resolvendo o sistema, temos:
200a  20b  34  90

400a  20b  17  81
200a  17  9
8
1
1
48 12
a

 400  20b  17  81  b 

 2, 4
200 25
25
20 5
2
Logo,
 t  12
s(t )     t  17
5
5
Como queremos a posição do móvel nos instantes 5s e 35s, basta achar
s(5) e s(35):
2
 5  12
s(5)      5  17  30
5
5
2
 35  12
s(35)      35  17  49  84  17  150
5
 5 
Ou seja, a posição do móvel no instante 5s era 30cm e no instante 35s era
150cm.
3) Uma escala N de temperatura foi feita com base nas
temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A
correspondência com a escala Celsius é a seguinte:
ºC
ºN
18º
0º
43º
100º
Em que temperatura a água ferve na escala N?
dt =
25
t
t(c)
18
43
0
100
Δt
2
Δt
t(c) = ac +b (???)
Substituindo, temos:
t (c)  a.c  b
0  a.18  b
18a  b  0

 25a  100  a  4  b  72


100  a.43  b  43a  b  100
Logo,
t (c)  4c  72
Como estamos procuramos t(c) quando c = 100º C, basta substituir:
t (c)  4.100 72  400 72  328
Ou seja, na escala N, a água ferve a 328º.
4) Uma pessoa possui um gravador de
vídeo dotado de um contador que
registra o número de voltas dadas pelo
carretel da direita. A fita, de seis horas
de duração, está parcialmente gravada.
O contador indica 1750 ao final do
trecho gravado e 1900 ao final da fita.
Medindo o tempo de gravação
correspondente às primeiras 100, 200,
300 e 400 voltas, foram encontrados os
dados ao lado:
Quanto tempo de gravação resta
na fita?
Volta
(n)
100
Tempo
(t)
555
200
1176
300
1863
400
2616
dn =
100
n
100
200
300
400
t(n)
555
1176
1863
2616
Δt
2
Δt
dn =
100
n
100
200
300
400
t(n)
555
1176
1863
2616
Δt
621
687
753
2
Δt
dn =
100
n
100
200
300
400
t(n)
555
1176
1863
2616
Δt
621
687
753
2
Δt
66
66
t(n) = an2 +bn + c
Substituindo, temos:
t (100)  a.1002  b.100 c  555  10000a  100b  c  555
 
t (200)  a.2002  b.200 c  1176  40000a  200b  c  1176
90000a  300b  c  1863
t (300)  a.3002  b.300 c  1863
 
Resolvendo o sistema, temos:
10000a  100b  c  555I 

40000a  200b  c  1176II   de ( I ), tem osque c  555 10000a  100b
90000a  300b  c  1863III 

Logo, substit uindo em (II)e (III), temos:
40000a  200b  555 10000a  100b  1176 30000a  100b  621
30000a  100b  621



90000a  300b  555 10000a  100b  1863 80000a  200b  1308  40000a  100b  654
33
33
522
 30000.
 100b  621 100b  621 99  b 
10000
10000
100
33
522
c  555 10000.
 100.
c0
10000
100
 10000a  33  a 
Logo,
t (n)  0,0033n2  5,22n
Vamos encontrar agora o f(x) quando o contador marca o final do trecho
gravado, ou seja:
t (1750)  0,0033.17502  5,22.1750 10.106,25  9.135 19.241,25
O tempo de gravação que ainda resta na fita é a diferença entre o tempo
total da fita (6h = 6h.60min = 360min = 360min.60s = 21.600s) e o tempo de
gravação (19.241,25s):
21.600s - 19.241,25s = 2.358,75s ou seja, 39min e 31s
5) Um ônibus de 48 lugares foi alugado para uma
excursão. O preço por passageiro é de R$ 30,00
reais acrescido de uma taxa de 1 real por lugar
vazio no ônibus. Determinar uma função que
relacione o número de lugares vazios com a
rentabilidade do dono do Ônibus.
6) (UERJ-2002) O movimento uniformemente
acelerado de um objeto pode ser representado
pela seguinte progressão aritmética:
7
11
15
19
23
27...
Estes números representam os deslocamentos,
em metros, realizados pelo objeto, a cada
segundo. Determine a função horária que
descreve a posição deste objeto. (adaptado)
Algumas propriedades preliminares
y = a(b^cx)
a=
b=
c=
dx =
x
1
2
1
1
Δ2y
Δy
y
Δy/y
1,00
2,00
2,00
4,00
2,00
3,00
8,00
4,00
2,00
0,50
4,00
16,00
8,00
4,00
0,50
5,00
32,00
16,00
8,00
0,50
6,00
64,00
32,00
16,00
0,50
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
128,00
256,00
512,00
1024,00
2048,00
64,00
128,00
256,00
512,00
1024,00
32,00
64,00
128,00
256,00
512,00
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
Avaliação Final
Referências

BOTELHO, L.M.L. (2005) Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma
Proposta. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói.

BOYER, C. B. História da Matemática. (1991) 2a edição. Edgard Blücher,
São Paulo, tradução de Elza Gomide de título original, Edgard Blucher, S.
Paulo, 1974.

BOYER, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual
Development. Dover Publications Inc., New York.

CABRAL, T. C. B. (1998) Contribuições da Psicanálise à Educação
Matemática: A Lógica da Intervenção nos Processos de Aprendizagem.
Tese de Doutorado. USP, São Paulo.
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CARAÇA, B. de J. (1989) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a
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