Explicações de Matemática A - 12o Ano
Trigonometria
1.
Mostra que, para os valores em que as expressões têm significado:
tan a + tan b
sin(a + b)
=
.
tan a − tan b
sin(a − b)
µ
¶
µ
¶
2π
4π
1.b sin x + sin x +
+ sin x +
= 0.
3
3
1.a
2.
1.c tan(4x) =
sin(8x)
.
1 + cos(8x)
1.d sin(2x) =
2 tan(x)
.
1 + tan2 (x)
Seja f a função de domı́nio R definida por f (x) = sin x + cos x.
2.a Mostra que f admite perı́odo 2π.
2.b Estuda a função quanto à monotonia e existência de extremos no
intervalo [0, 2π] e tira conclusões acerca do contradomı́nio de f .
2.c Mostra que o gráfico de f tem uma infinidade de pontos de inflexão
que coincidem com os zeros da função.
3.
Seja g a função de domı́nio R definida por g(x) = x − sin(2x).
3.a Estuda g quanto à monotonia, existência de extremos, sentido das
concavidades e pontos de inflexão do seu gráfico no intervalo [−π, π]. Será
que o estudo feito te permite tirar conclusões acerca do contradomı́nio de g?
3.b Usa a calculadora para obter uma representação gráfica de g e
justifica, por vis analı́tica que o gráfico não tem assı́mptotas.
4.
A função h definida por h(x) = sin x · esin x de domı́nio R tem
perı́odo 2π. Estuda a função quanto à monotonia e existência de extremos
no intervalo [0, 2π] e determina o seu contradomı́nio.
5.
Seja g a função de domı́nio R definida por g(x) = x − cos(2x).
5.a Estuda o gráfico de g quanto à existência de assimptotas.
5.b Escreve uma equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto
de abcissa π.
5.c Mostra que as rectas tangentes ao gráfico de g nos seus pontos de
inflexão têm todas declive igual a −1 ou igual a 3.
1
Explicações de Matemática A - 12o Ano
6. Na figura está representado um lago artificial de forma rectangular.
Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os
pontos P1 e P2 , tal como ilustra a figura. A ponte tem um ponto de apoio A,
situado a 12m de uma das margens e a 16 m da outra. Seja x a amplitude
do ângulo P2 P1 B.
6.a Mostra que o comprimento da ponte, em metros, é dado por
c(x) =
16 sin x + 12 cos x
sin x · cos x
6.b Considerando que a localização de P1 e de P2 pode variar, determina o comprimento da ponte para o qual se tem BP1 = BP2 . Apresenta o
resultado em metros, arredendado às décimas.
6.c Admite que, num dia de verão, a temperatura da água do lago,
em graus Celsius, pode ser dada, aproximadamente, por
·
¸
π(t + 7)
f (t) = 17 + 4 cos
12
onde t designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia.
(Considera que o argumento da função co-seno está expresso em radianos.)
Numa pequena composição, com cerca de 15 linhas, indica como varia a
temperatura da água do lago, ao longo do dia.
Não deixes de referir os seguintes aspectos:
• quando é que a temperatura aumenta e quando é que diminiu;
• a que horas é que a temperatura é máxima e qual é o valor desse
máximo;
• a que horas é que a temperatura é mı́nima e qual é o valor desse mı́nimo;
• as melhores horas para se tomar banho, admitindo que um banho só é
realmente bom se a temperatura da água não for inferior a 19o C.
Utiliza a calculadora, se considerares que te pode ser útil.
2
Explicações de Matemática A - 12o Ano
7.
Considera a figura:
• [ABC] é um triângulo isósceles;
• AC = CB = 5 dm;
• x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CAB.
7.a Mostra que a área do triângulo [ABC] pode ser dada em dm2 e
em função de x, por
i πh
A(x) = 25 sin x cos x, x ∈ 0,
.
2
7.b Determina analiticamente o valor de x para o qual a área do
triângulo [ABC] é máxima.
7.c Mostra que a equação A(x) = 25 cos x não tem soluções no intervalo considerado.
8.
Considera a figura:
• [ABCD] é um trapézio rectângulo;
• x designa a amplitude, em radianos, do ângulo ABC.
8.a Mostra que a área e o perı́metro do trapézio são dados, em função
de x, respectivamente por:
i πh
A(x) = 10 sin x + sin(2x), P (x) = 12 + 2 cos x + 2 sin x, x ∈ 0,
2
8.b Determina, recorrendo à calculadora, o valor de x para o qual
a área do trapézio é máxima e indica esse valor. Apresenta o resultado
aproximado às centésimas.
8.c Recorrendo a processos analı́ticos, determina o valor de x para o
qual o perı́metro do trapézio é mı́nimo e indica-o.
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