Fı́sica 1
3.1
EEA + ETC
SISTEMAS de PARTÍCULAS
3.1.1
Equilı́brio do corpo rı́gido
1. O bloco representado na figura pesa
400 N e é mantido em equilı́brio por
meio da corda AB e pela acção da força
horizontal F~ . Dado AB = 150 cm e
sabendo que o ponto B dista 90 cm da
parede, calcule o módulo da força F~ e
a tensão na corda.
A
B
F
M
R: 300 N , 500 N
60
B
2. O bloco da figura, de 500 kg de massa,
está suspenso pelos cabos AB e AC. Determine a tensão em cada um desses cabos.
A
60
C
R: T (AC) = 4900 N , T (AB) = 8487 N
3. A barra representada na figura abaixo encontra-se dividida em 10 porções de
10 cm de comprimento cada. Considerando o sistema de forças representado,
determine:
y
F3
F
30
2
F1 = 60 N
O
x
F1
F2 = 50 N
F3 = 80 N
P
F
4
F4 = 70 N
P
= 40 N
(a) a resultante do sistema de forças
Fı́sica 1
Sistemas: 1
Fı́sica 1
EEA + ETC
(b) o momento resultante em relação ao ponto O
(c) o módulo, direcção e ponto de aplicação da força F~5 que é necessário aplicar
à barra para que esta fique em equilı́brio
~ res = −26 êz (N m); 106 N , fazendo um ângulo de 49◦ com
R: F~res = −69.3 êx − 80 êy (N ); M
a horizontal, no ponto x = 0.325 m;
θ
30
Τ2
Τ1
4. Uma barra homogénea e de secção recta uniforme, pesando 120N, está suspensa
de duas cordas, como se mostra na figura acima. Uma criança de peso 400N
pendura-se na barra, a 14 do seu comprimento total, a partir da extremidade
esquerda. Determine o valor das tensões T1 e T2 e o ângulo θ entre a corda da
esquerda (2) e a vertical.
R: T1 = 185 N , T2 = 372 N , θ = 14.4◦
(b)
(c)
(a)
35
0.4 L
40
30
0.6 L
0.7 L
corda
700 N
0.3 L
Q
5. A barra uniforme representada na figura (a), de peso 1600 N, tem uma articulação numa das extremidades e uma corda amarrada na outra extremidade.
Determine a tensão T na corda, bem como as componentes horizontal e vertical
da força na articulação.
R: T = 670 N , Fh = 670 N , Fv = 1600 N
Fı́sica 1
Sistemas: 2
Fı́sica 1
EEA + ETC
6. A barra uniforme representada na figura (b) pesa 500 N e suporta uma carga
de 700 N. Determine a tensão no cabo e a força da articulação na barra.
R: T = 2900 N , F = 2040 N a 35◦ abaixo da horizontal
7. Na figura (c) a viga uniforme pesa 500 N. Se a corda suportar 1800 N, qual é
a carga máxima Q que pode ser colocada na posição indicada?
R: 930 N
8. A escada AB representada na figura tem 4.0 m de
comprimento e pesa 200 N. A extremidade A da
escada está assente sobre uma superfı́cie rugosa, a
1.5 m da parede. Sabendo que não há atrito entre
a escada e a parede vertical, determine as reacções
nos apoios.
B
A
~ A = −40.5 êx + 200 êy (N ); R
~ B = 40.5 êx (N )
R: R
θ
9. Uma escada de peso desprezável encontra-se
encostada à parede como mostra a figura. O
coeficiente de atrito é 0.4 nos dois apoios e a
massa do homem é igual a 70 kg. Calcule o
valor do ângulo θ que permite que o homem
suba metade da escada sem que esta escorregue.
R: ≈ 44◦
10. A figura a seguir representa uma ponte constituı́da por um tabuleiro de 100 m
de comprimento, com as extremidades apoiadas sobre duas colunas verticais.
Fı́sica 1
Sistemas: 3
Fı́sica 1
EEA + ETC
y
x
O tabuleiro da ponte pode ser considerado uma trave homogénea e uniforme, de
massa total M = 10 000 kg. Sobre a ponte encontram-se três carros, de massas
m1 = 1500 kg, m2 = 1000 kg e m3 = 1200 kg, respectivamente a 20 m, 30 m e
40 m da extremidade esquerda da ponte.
(a) A que distância da extremidade esquerda da ponte se encontra o centro de
massa do sistema ”ponte + 3 carros”?
(b) Qual a força que cada uma das colunas (esquerda e direita) exerce na
ponte?
R: 43.4 m; 7.47 × 104 N , 5.96 × 104 N
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
11. O andaime representado na figura acima é constituı́do por uma barra homogénea, de peso 1000 N, suspensa de duas cordas. Determine a distância
máxima que o pintor se pode afastar do centro da barra, para a direita, sem
Fı́sica 1
Sistemas: 4
Fı́sica 1
EEA + ETC
que aconteça um acidente. Considere as massas do pintor e do balde de tinta,
respectivamente, 75 kg e 7 kg.
R: 3.73 m
12. Um homem levanta uma barra AB de
peso 200 N e 6 m de comprimento, com
o auxı́lio de uma corda, tal com representado na figura. Determine os valores da tensão na corda e da reacção no
ponto A.
45
30
A
R: 334 N , 435 N
3.1.2
Centro de Massa
13. Considere os sistemas representados na figura seguinte. Nos dois primeiros casos, as chapas esquematizadas são homogéneas, com espessura constante. A
terceira figura representa duas barras cilindricas de igual secção recta mas massas diferentes, unidas pelas extremidades.
y
10
6a
8
4a
2a
2
a
2a
3a
4a
0
1.5
Fı́sica 1
3
5
x
Sistemas: 5
Fı́sica 1
EEA + ETC
B
A
AB = 20 cm
C
BC = 20 cm
m(AB) = 20 kg
m(BC) = 60 kg
Determine a posição dos respectivos centros de massa.
R: 2a, 3a; 1.77, 4.23; 5 cm à direita de B;
3.1.3
Colisões e explosões
14. Três partı́culas A, B e C, de massas 1.0 kg, 2.0 kg e 3.0 kg, respectivamente, estão
sujeitas apenas às suas interacções mútuas. No instante t = 0 s, as partı́culas
ocupam as posições indicadas na figura.
y(m)
C
As velocidades iniciais das partı́culas
são, respectivamente:
2
1
B
1
x(m)
2
A
~vA = ı̂ + 2̂ (m s−1 )
~vB = 2ı̂ (m s−1 )
~vC = 3̂ (m s−1 )
(a) Determine a posição e a velocidade do centro de massa do sistema no
instante inicial (t = 0 s).
(b) Caracterize a trajectória do centro de massa do sistema e indique, justificando, qual o tipo de movimento do CM.
(c) Sabendo que ao fim de 2 s a partı́cula B se encontra parada e a partı́cula
C tem velocidade ~vC = −3̂ (m s−1 ), calcule a velocidade da partı́cula A
nesse mesmo instante de tempo.
R: ~rCM =
Fı́sica 1
ı̂+5̂
6
(m), ~vCM =
5ı̂+11̂
6
(m s−1 ); recta, m.r.u. ; ~vA = 5ı̂ + 20̂ (m s−1 )
Sistemas: 6
Fı́sica 1
EEA + ETC
15. Uma partı́cula (A) de massa 200 g, movendo-se com a velocidade de 0.4 m s−1 ao
longo do eixo dos xx, colide com outra partı́cula (B) de massa 300 g, inicialmente
em repouso. Após a colisão, a primeira partı́cula (A) move-se com a velocidade
de 0.2 m s−1 , segundo uma direcção que faz um ângulo de 40◦ com o eixo dos
xx. Determine:
(a) o módulo e a direcção da velocidade da segunda partı́cula (B), após a
colisão;
(b) a variação de velocidade e de quantidade de movimento de cada partı́cula,
durante a colisão.
R: 0.186 m s−1, 27◦ 30′ abaixo do eixo dos xx; ∆~p = −0.049ı̂ + 0.026̂ (kg m s−1 ),
∆~vA = −0.247ı̂ + 0.128̂ (m s−1 ), ∆~vB = 0.1645ı̂ − 0.0857̂ (m s−1 )
16. Um sistema é constituı́do por três partı́culas discretas, de massas m1 = 2 kg,
m2 = 4 kg e m3 = 6 kg que, num dado instante, têm os seguintes vectores de
posição e de velocidade:
~r1 = 7 êx + êy + 8 êz (m)
~r2 = êx + êy + 5 êz (m)
~r3 = êx + êy (m)
~v1 = êx + êz (m s−1 )
~v2 = 2 êx + 2 êy (m s−1 )
~v3 = 3 êy + 3 êz (m s−1 )
Determine, no instante considerado:
(a) a quantidade de movimento do sistema
(b) a energia cinética do sistema
(c) a posição do centro de massa
(d) a velocidade do centro de massa
R: p~ = 10 êx + 26 êy + 20 êz (kg m s−1 ); Ec = 72 J; ~rCM = 2 êx + êy + 3 êz (m);
~vCM = 1.2 êx + 2.17 êy + 1.7 êz (m s−1 )
17. Considere três massas pontuais que no instante t = 0 s se encontram em repouso,
nas seguintes posições: a massa m1 = 2 kg situa-se sobre a origem do sistema
de eixos, a massa m2 = 4 kg encontra-se no ponto A de coordenadas (1, 3) e a
Fı́sica 1
Sistemas: 7
Fı́sica 1
EEA + ETC
massa m3 = 2 kg está localizada no ponto B, de coordenadas (2, 2). Sobre as
partı́culas 2 e 3 actuam as seguintes forças (supostas constantes):
F~2 = êx + êy (N)
F~3 = 4 êx + 4 êy (N)
Determine:
(a) as coordenadas do centro de massa do sistema para t = 0 s
(b) a velocidade adquirida pelas partı́culas, ao fim de 2 s
(c) a quantidade de movimento do sistema, para t = 2 s
(d) a posição de cada uma das três partı́culas, para t = 2 s
(e) a posição do centro de massa do sistema, para t = 2 s
(f) os vectores velocidade e posição do centro de massa em função do tempo
R: (1, 2); ~v1 = 0 (m s−1), ~v2 = 0.5 êx + 0.5 êy (m s−1 ), ~v3 = 4 êx + 4 êy (m s−1 );
p~t=2 s = 10 êx + 10 êy (kg m s−1 ); (0, 0,
(1.5,
0),
3.5), (6, 26); (2.25,
3.25);
5t
5t2
5t
−1
~vCM = 8 (êx + êy ) (m s ); ~rCM = 16 + 1 êx + 16 + 2 êy (m)
18. Um carrinho de 1.5 kg de massa move-se ao longo de um trilho a 0.2 m s−1
até chocar contra um pára-choque fixo na extremidade do trilho. Determine
a variação da quantidade de movimento do carrinho, bem como a força média
que sobre ele exerce o pára-choque, sabendo que a colisão demora 0.1 s e, após
o choque, o carrinho:
(a) fica em repouso
(b) recua com a velocidade de 0.1 m s−1
R: −0.3 kg m s−1, −3 N ; −0.45 kg m s−1, −4.5 N
19. Uma esfera de 300 g de massa desloca-se com uma velocidade de 1 m s−1 e
embate frontalmente noutra esfera, de 200 g, que se encontra em repouso. Após
o choque observa-se que ambas as esferas seguem na direcção da primeira. O
choque é elástico.
Fı́sica 1
Sistemas: 8
Fı́sica 1
EEA + ETC
(a) Calcule a quantidade de movimento do sistema constituı́do pelas duas esferas e a sua energia cinética antes do choque.
(b) Calcule as velocidades de ambas as esferas depois do choque.
(c) Supondo que o embate teve a duração de 0.01 s, calcule a intensidade da
força, suposta constante, que actuou sobre qualquer das esferas.
R: 0.3 kg m s−1 , 0.15 J; 0.2 m s−1, 1.2 m s−1; 24 N
20. Três bolas de bilhar, de massas iguais,
encontram-se nas posições indicadas na
figura ao lado. Um jogador dá uma tacada
na bola 1, que embate na bola 2 e, depois
desse choque, segue na direcção da bola 3.
Suponha que a massa de cada bola é 500 g e
que as grandezas das velocidades da bola 1,
antes e depois do choque com a bola 2, são
respectivamente 10 m s−1 e 2 m s−1.
2
45º
30º
1
3
(a) Calcule a variação da quantidade de movimento da bola 1.
(b) Qual a direcção seguida pela bola 2?
(c) O choque é elástico?
R: ∆~p1 = −3.63ı̂ + 3.21̂ (kg m s−1 ); faz um ângulo de 41.4◦ com a horizontal; não, mas quase
21. Uma espingarda de 20 kg dispara, horizontalmente, uma bala de massa 20 g.
Sabendo que a velocidade da bala, ao sair do cano, é de 200 m s−1, calcule a
velocidade de recuo da espingarda (considere a velocidade da bala constante no
interior do cano).
R: 0.20 m s−1
22. O carrinho 1 desloca-se com a velocidade 0.5 m s−1 quando colide com o carrinho
2, inicialmente em repouso. Após a colisão, o carrinho 1 recua, sem mudar de
Fı́sica 1
Sistemas: 9
Fı́sica 1
EEA + ETC
direcção, com a velocidade de 0.1 m s−1, enquanto o carrinho 2 passa a deslocarse com a velocidade 0.3 m s−1 . Repete-se a experiência adicionando uma massa
de 1 kg ao carrinho 1, mantendo a sua velocidade inicial de 0.5 m s−1. Após
esta segunda colisão, o carrinho 1 fica parado e o carrinho 2 move-se com a
velocidade de 0.5 m s−1 . Determine a massa dos dois carrinhos.
R: 1 kg, 2 kg
23. Uma granada, inicialmente em repouso, explode fragmentando-se em três estilhaços: dois deles, de igual massa, seguem em direcções perpendiculares entre
si com a velocidade de 30 m s−1; o terceiro estilhaço tem uma massa 3 vezes
superior à de qualquer dos outros dois. Determine a velocidade deste último
estilhaço, logo após a colisão.
R: 14 m s−1
24. Um bloco de massa M = 990 g encontra-se em repouso sobre uma superfı́cie
tal sem atrito, estando ligado a uma parede
fixa por uma mola de constante elástica k =
horizon- 900 N m−1 . O bloco é atingido por uma bala de
v
massa m = 10 g e velocidade inicial 300 m s−1, que
se aloja nele.
(a) Determine a velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
Após a colisão, o bloco ligado à mola executa um movimento harmónico simples
(MHS) no plano horizontal. Determine:
(b) A frequência angular e o perı́odo do movimento.
(c) A energia mecânica total do oscilador e a amplitude de oscilação.
(d) Escreva a equação das posições do bloco em função do tempo, tomando
para origem do sistema de coordenadas a posição inicial do bloco em repouso e considerando que o movimento teve inı́cio em t = 0 s.
R: 3 m s−1; 30 rad s−1 , 0.21 s; 4.5 J, 10 cm; x(t) = 0.1 sen (30t) (m)
Fı́sica 1
Sistemas: 10
Fı́sica 1
EEA + ETC
25. Uma granada lançada verticalmente do solo atinge a altura máxima de 39.2 m
e nesse instante explode, dividindo-se em três fragmentos
√ de massas iguais. Um
deles move-se na vertical, atingindo o solo ao fim de 2 s. Outro adquire, após
a explosão, uma velocidade inicial igual, em módulo, à do primeiro, mas na
horizontal.
(a) Qual a direcção e grandeza da velocidade adquirida pelo terceiro fragmento?
(b) Determine a posição do centro de massa do sistema no instante em que o
primeiro fragmento toca no solo.
(c) Verifique que a posição do centro de massa calculada na alı́nea anterior
coincide com a posição que a granada teria, nesse mesmo instante, se tivesse
caı́do sem rebentar.
R: 29.4 ms−1, fazendo um ângulo de 135◦ com o vector velocidade do primeiro fragmento; 29.4 m
acima do ponto de lançamento da granada.
Fı́sica 1
Sistemas: 11