Análise de Risco
Fundamentos
de
Estatística (1)
Prof. E.A.Schmitz
Escolas de probabilidade

Lógica

Empírica

Subjetivista
Escola lógica



Baseado em simetria
Princípio da razão insuficiente de Laplace
Def: Se um evento incerto apresenta N resultados, equiprováveis,
mutuamente exclusivos e coletivamente completos e se um evento A contém
Na destes resultados, a probabilidade do evento A é P(A)=Na/N.
Empírica

Baseado em experimentos
Observação de resultados

Def: Se um evento incerto ocorre um grande número de vezes M e o resultado de

cada tentativa é independente dos anteriores e se um evento A ocorre Ma vezes então
a probabilidade do evento A é igual a sua freqüência relativa, isto é P(A)=Ma/M.
Subjetivista

Baseado na percepção individual sobre o resultado de
um processo
“Probabilidades não existem” (De Finetti)

Def: A probabilidade subjetiva de um evento A é um número entre 0 e 1,

representando o grau de crença do indivíduo na ocorrência do evento A.

Subjetividade deve ser coerente.
Probabilidade – visão empírica

Espaço amostral: conjunto de pontos que representa o
resultado de um experimento.



Quando o experimento é repetido - cada resultado aparece com
uma determinada freqüência.
Aumentando o número de vezes do experimento : cada resultado
começa a aparecer com uma determinada freqüência com relação
aos outros.
Probabilidade: freqüência relativa de ocorrência de cada
resultado quando o número de experimentos 
Variável aleatória


Variável aleatória (VA): variável numérica definida
num espaço amostral .
Variável aleatória discreta (X):


o número de valores para os quais X tem probabilidade
diferente de zero é finita
cada intervalo da escala real contém um número finito
de valores
Função de probabilidade
X= { x1,x2,….xn} e {p1,p2,….pn}



f(xi) = pi se x=xi (f(xi) = 0 se x  xi)
f(x) é a função de probabilidade de X.
 f(xi) = 1
P(a <X<b) =  f(xi) xi in { a..b}
Se a variável aleatória X é continua:
f(x) >= 0

f(x) dx=1
Exemplo 1

Função de probabilidade para a variável aleatória X = “total de
pontos obtidos ao jogar um dado”.
Função distribuição cumulativa

Funções discretas


F(b) = P(X <= b)=  f(xi) onde xi in { -..b}
Funções contínuas
 f(x) dx

F(b) =
x in { -..b}

P( a <X<b ) = F(b) - F(a)
Exemplo 2
Função distribuição cumulativa para o total de pontos obtidos ao jogar
um dado.
1
2
3
4
5
6
Exemplo 3-Total de pontos ao jogar
dois dados
1
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
Exemplo 3
Função de probabilidade para o total de pontos obtidos ao jogar dois
dados.
Parâmetros das distribuições: Média
m =  xi*f(xi) - discreta
m =  x* f(x) dx - discreta

Média representa o centro de massa do gráfico
Parâmetros das distribuições:
Variância
s2= (xi - m)2*f(xi) - discreta
s2 =
 (x- m )2* f(x) dx - contínua
Variância representa a dispersão
desvio padrão = s = s2 =
Exemplo 4


X = “valor obtido ao jogar uma moeda”.
Cara = 0, Coroa = 1
X = {0,1} {1/2,1/2}
m= 0*1/2+1*1/2=1/2
s2 = (0-1/2)2*1/2 + (1-1/2)2*1/2= 1/4
Distribuição contínua 0..1



X = variável contínua entre 0..1 onde todos os
valores são eqüiprováveis.
m=
s2 =
 x* f(x) dx =  x* 1 dx= x2/2 ]= 1/2
 (x- m )2* f(x) dx=1/12
Distribuição Triangular
X = variável contínua onde : otimista (a), mais provável(m)
e pessimista (b)


m= (a+m+b)/3
s2= (a (a-m)+b(b-a)+m(m-b))/18
0.4
0.0
0.0
2.3
4.6
6.8
9.1
Teoremas importantes (1)
Parâmetros das distribuições
Seja X uma VA média=m e desvio padrão =s

Teorema 1: se X1=c1*X + c2

Então X1 têm como parâmetros



m1 = c1*m + c2
s12= c12 *s2
Se c1=(1/s) e c2=(-m/s) então...
Teoremas importantes (2)
Soma de n variáveis aleatórias independentes
Z=  xi i  {1..n}
 Teorema 2: Se (mi,si ) são os parâmetros de xi.
então Z tem como parâmetros:
 m=  mi
2
2
 s =  si
Distribuição Normal (1)


-1/2 ((x- m)/ s)
f(x) = k*e
k = 1/(s.2)
2
Distribuição Normal (2)

m =0 e s=1..10
Distribuição Normal (3)
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
3
2,6
2,2
1,8
1,4
1
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
-1,4
-1,8
-2,2
-2,6
-3
Normal Reduzida (0,1)
Distribuição Normal (4)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
3
2,6
2,2
1,8
1,4
1
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
-1,4
-1,8
-2,2
-2,6
-3
 = cumulativa da normal reduzida
Distribuição Normal (5)

Números importantes da normal reduzida:
P(m-s  x m-s)= 0.68 (68%)
P(m-2s  xm+2s)=0.95 (95%)
P(m-2.3s  xm+2.3s)=0.98 (98%)
P(m-3s  xm+3s)=0.995 (99,5%)
Teoremas importantes (3)

Uso da distribuição normal reduzida
Seja X normal e sua distribuição cumulativa com
parâmetros F (m , s).

Teorema 3: Seja  a normal cumulativa reduzida
(m=0 e s=1), então:

P(a<x<=b)=F(b)-F(a)=((b- m)/ s )-((a- m)/ s )
Teoremas importantes (4)
Soma de n variáveis aleatórias independentes
Z=  xi i  {1..n} onde xi segue uma normal.
 Teorema 4: Se (mi, si) são os parâmetros de xi .
Então Z segue uma distribuição Normal com :
 Média(Z) = m=  mi
2
2
 Variância(Z) = s =  si
Teoremas importantes (5)

Teorema 5- Teorema central do limite (TCL)
(forma forte)
Z=  xi i  {1..n} xi (distribuição qualquer)

Se (mi, si) são os parâmetros de xi

então Z tende a uma distribuição normal:


Média(Z) = m =  mi
Variância(Z) = s2 =  si
2
(n  , na prática n>30)
Exercícios com CoRisco (1)
1-Simule um jogo de cara ou coroa. Verifique a freqüência do número de caras com: 10,
100 e 1000 lançamentos.
2-Simule o lançamento simultâneo de 20 moedas. Verifique a freqüência relativa do
número total de caras para 10, 100 e 1000 lançamentos. Calcule a média e a variância
do número total de caras.
3-Obtenha uma aproximação empírica para a soma de de 12 variáveis aleatórias que
seguem uma distribuição uniforme 0..1. Calcule a média e a variância e faça um gráfico
da distribuição de freqüência.
4-Obtenha uma aproximação empírica para a soma de n (n= 2,5,10) distribuições
triangulares. Suponha que a distribuição i tem como parâmetros (i-1,i,i+1).Calcule a
média e a variância e compare com os resultados teóricos.
Exercícios com CoRisco (2)
4- Obtenha uma aproximação empírica para o produto de duas distribuições normais com
média =0 e variância =1.
5-Obtenha estimativas para a função Máximo( Xi) (i=2,5,10) que representa a distribuição
de probabilidade do máximo dentre i VAs cada uma delas representando uma
Normal(0,1).
6-Compare os resultados obtidos nos exercícios 2 a 4 com aqueles obtidos usando-se o
TCL.
7-Suponha um fluxo de caixa com 20 valores, cada um deles seguindo uma triangular com
valores (8,10,12) descontados a uma taxa de 1% por período. Obtenha uma
aproximação empírica para a distribuição de probabilidade do VPL e compare com o
resultado obtido usando o TCL. Comente o resultado. O valor presente de um fluxo de
caixa futuro, n períodos a frente é de:
VP= VF/(1+t)n
Geração de números aleatórios (1)




Seja X uma VA uniforme 0..1
Seja Y uma VA com distribuição cumulativa
G(y).
Queremos:
P(Xx)=P(Y  y) (para todo y)



P(X x)=U(x)=x
U(x) = G(y)
x=G(y)  y=G-1(x)
Geração de números aleatórios (2)
F(t)
1
(t)
F-1(t)
2
B A
t
Gerando amostras com densidade de
probabilidade f(t)
A
M
Função de Densidade de
Probabilidade Triangular
B
t