Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 12
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues
Aula 12

Independência de Eventos (continuação)

Teorema de Bayes

Aplicações
Independência de Eventos

Se A e B são eventos independentes, a ocorrência de B
não traz qualquer informação adicional sobre A

Informalmente falando, um evento não tem
“nada a ver” com o outro!
Independência de Eventos
Dois eventos A e B são
estatisticamente independentes quando:
P(A  B)  P(A)  P(B)

Do contrário, A e B são eventos dependentes

Se P(A) e P(B) são ambos maiores que zero:
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)
Independência de Eventos

E se A e B são mutuamente exclusivos ... São também
independentes?
Suponha P(B) > 0
Mas A  B  
Suponha P(A) > 0
Mas A  B  
P(A | B) 
P(A  B)
P(B)
P(A  B)  0
P(B | A) 
P(A | B)  0
P(A  B)
P(A  B)  0
P(A)
P(B | A)  0
Independência de Eventos

Então
- Se P(A) e P(B) são estritamente positivos (>0) e A e B
são eventos mutuamente exclusivos:
Então A e B NÃO SÃO estatisticamente independentes,
pois P(A|B) = 0 ≠ P(A) e P(B|A) = 0 ≠ P(B)
- Logo, se os eventos A e B são independentes e
mutuamente exclusivos:
Pelo menos um deles tem probabilidade nula, pois é
a única forma de P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)
Independência de Eventos
Exemplo 1

Se P(A) = 0,35 , P(B) = 0,8 e P(A∩B) = 0,28, A e B são
independentes?
P(A).P(B) = 0,35.0,8 = 0,28
Como P(A).P(B) = P(A∩B), A e B são independentes
Exemplo 2

Se P(A|B) = 0,4 , P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6, os eventos A e B
são independentes?
Uma vez que P(A|B) ≠ P(A), os eventos não são
independentes
Independência de Eventos
Exemplo 3

Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem
mutuamente excludentes, eles serão independentes?
Se A e B são mutuamente excludentes, e admitimos que
eles são independentes, então:
P(A).P(B) = P(A∩B) = 0, pois pelo menos um deles tem
probabilidade nula
Mas ..
Como P(A).P(B) = 0,04 ≠ 0, os eventos A e B não são
independentes
Independência de Eventos
Exemplo 4

Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas em um
shopping-center com o objetivo de investigar a relação
entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito.

A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se:
existe independência entre “renda” e “posse de cartões
de crédito”?
Independência de Eventos

Se existe independência entre as duas variáveis, então:
P(Ai∩Bj) = P(Ai).P(Bj) para todos i e j

Onde Ai indica o nível de renda e Bj o número de cartões de crédito

Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA
célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes
Independência de Eventos
Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que:
P(renda abaixo de R$500 E nenhum cartão) = 260/1000 = 0,26
Mas:
P(renda abaixo de R$500) = 330/1000 = 0,33
P(nenhum cartão) = 530/1000 = 0,53
Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (≠0,26), segue-se que as
variáveis renda familiar e número de cartões de crédito
são dependentes.
Partição do Espaço Amostral

Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços
E
B1
Qual é o
B  B2 ?
conjunto 1
Qual é o
B  B5 ?
conjunto 4
B3
Qual é o
B1  B5 ?
conjunto
B2
B4
Qual é o conjunto
B5
B1  B2  B3  B3  B5
?
Partição do Espaço Amostral

Um conjunto de eventos {Bi}, i = 1,..., n constitui uma partição
do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a
seguir:
1) B i  B j   ,  i , j  1, ..., n ( i  j )
n
Bi  E
2)
i 1

Os eventos que compõem uma partição são
- mutuamente exclusivos e,
- quando unidos, englobam todo o espaço amostral
Partição do Espaço Amostral
1) B i  B j   ,  i , j  1, ..., n ( i  j )
n
Bi  E
2)
E
i 1
Teorema da Probabilidade Total
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então:
P(A U B) = P(A) + P(B)
P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek)
A
E1
E2
B
E3
E4
Teorema da Probabilidade Total
E
A
A
B∩A
B∩A
B
Como posso escrever B?
Como posso escrever
P(B)?
Teorema da Probabilidade Total
Probabilidade Condicional
P(A│B) = P(A ∩ B) / P(B)
P(A ∩ B) = P(A│B).P(B) = P(B│A).P(A)
P(B│A) = P(A ∩ B) / P(A)
Para uma situação representada pelo diagrama:
A
A
B∩A
B∩A
B
B = (B ∩ A) U (B ∩ A)
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) = P(B│A).P(A) + P(B│A).P(A)
Regra da probabilidade total para dois eventos quaisquer A e B
Teorema da Probabilidade Total
Na fabricação de semicondutores, seja 0,10 a probabilidade de que um chip que
esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha
no produto. A probabilidade é de 0,005 de um chip que não esteja sujeito a altos
níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em uma
corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de
contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto usando um desses chips
venha a falhar? Faça F denotar o evento em que o produto falhe e faça A denotar o
evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação.
F evento em que o produto falhe;
A evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação;
A evento em que o chip não está exposto a altos níveis de contaminação
P (F│A) = 0,10
P (F│A) = 0,005
P (A) = 0,20
P (A) = 0,80
P(F) = P (F│A).P(A) + P (F│A).P(A) = 0,10 . 0,20 + 0,005 . 0,80 = 0,024
Teorema da Probabilidade Total
Para uma situação representada pelo diagrama:
E2
E1
B ∩ E1
B ∩ E2
E3
E4
B
B ∩ E3
B ∩ E4
B = (B ∩ E1) U (B ∩ E2) U (B ∩ E3) U (B ∩ E4)
P(B) = P(B ∩ E1) + P(B ∩ E2) + ... + P(B ∩ Ek) =
P(B│E1).P(E1) + P(B│E2).P(E2) + ... + P(B│Ek).P(Ek)
Regra da probabilidade total para eventos múltiplos
quaisquer E1, E2, ..., Ek.
Teorema da Probabilidade Total
Continuando com o exemplo da fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade
seja:
- 0,1 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma
falha no produto;
- 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause
uma falha no produto;
-0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause
uma falha no produto.
Em corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de
contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de
contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe?
H é o evento em que um chip seja exposto a níveis altos de contaminação;
M é o evento em que um chip seja exposto a níveis médios de contaminação;
L é o evento em que um chip seja exposto a níveis baixos de contaminação;
P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L)
P(F) = 0,10.0,20 + 0,01.0,30 + 0,001.0,50
P(F) = 0,0235
Teorema da Probabilidade Total

Considere um evento A e uma partição do espaço amostral
{Bi}, i = 1,..., m. Para essa partição e esse evento, tem-se que:
m
P ( A) 
 P(A  B
j
)
j 1
Ou ainda:
m
P ( A) 
 P(A | B
j 1
j
)P(B j )
Teorema da Probabilidade Total
Demonstração
E
A  A E

A  A 


Bj
j 1

m
Teorema da Probabilidade Total

A  A 



Bj
j 1

m
Tendo em vista que a interseção é distributiva em relação à união,
tem-se que:

A 


( A  B j )
j 1

m
Como B j  B k   ,  j  k ( j , k  1,..., m ) pois {Bi}, é uma partição, então:
( A  B j )  ( A  Bk )  
Teorema da Probabilidade Total

Dessa forma, os termos de

A 


( A  B j )
j 1

m
são mutuamente exclusivos
Portanto:
m
P ( A) 
 P(A  B
j 1
j
)
Teorema de Bayes
Thomas Bayes (1702-1761)

no problema do semicondutor,
podemos querer saber: se o chip
semicondutor no produto falhar, qual
a probabilidade de que ele tenha sido
exposto a altos níveis de
contaminação?

antes queríamos saber qual a
probabilidade de falhar.
Agora, falhando , queremos saber uma
probabilidade associada a uma origem
da falha  procurando saber a causa
Teorema de Bayes

Considere uma partição do espaço amostral {Bj}, j = 1,..., m, com
P(Bj) > 0 para todo j. Seja ainda A um evento com P(A) > 0
Da definição
de probabilidade
condicional:

P(B j | A) 
P(B j  A)
P(A | B j ) 
P(A)
P(A  B j )
P(B j )
P(B j | A) 

iguais
 P(A  B j )  P(A | B j )  P(B j )
P(A | B j )  P(B j )
P(A)
Pelo teorema da probabilidade total:
P(A) 
m

k 1
P(A | Bk )  P(B k )
P(B j | A) 
P(A | B j )  P(B j )
m
 P(A | B
k 1
k
)  P(B k )
Teorema de Bayes
P ( B j | A) 
P ( A | B j ). P ( B j )
m
 P(A | B
k
j  1, ..., m
). P ( B k )
k 1

A expressão acima é conhecida como
Teorema de de Bayes
As probabilidades P(Bj) são conhecidas como probabilidades a priori, e
indica um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja
obtida qualquer informação adicional

As probabilidades P(Bj|A) são conhecidas como probabilidades a posteriori ,
e indica um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação
adicinal obtida posteriormente.

Resumo

Regra da adição
E
A
A∩B
B
A
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
E
B
Se A e B eventos mutuamente excludentes: P(A U B) = P(A) + P(B)
Resumo

Regra da multiplicação
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

estatisticamente independentes
Probabilidade condicional
E
A
P(A | B) 
A∩B
P(A  B)
P(B)
B faz o papel do espaço amostral
B
P(B | A) 
P(A  B)
P(A)
A
B
A faz o papel do espaço amostral
A∩ B
Resumo

Partição do espaço amostral
{Bj}, j = 1,..., m
Teorema da probabilidade total
1) B i  B j   ,  i , j  1, ..., n ( i  j )
n
Bi  E
2)
A
i 1
P(A) 
m
 P(A | B
k
)  P(B k )
k 1
P(Bj) > 0 para todo j.
Seja A um evento com P(A) > 0

Teorema de Bayes
P(B j | A) 
P(A | B j )  P(B j )
m
 P(A | B
k 1
k
)  P(B k )
Teorema de Bayes
Exemplo 1
Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem,
respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção.
A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%,
essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a
máquina C.
Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a
probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B?
Defeituosa dado que foi produzida pela máquina B
Defeituosa | produzida pela máquina B
d|B
Teorema de Bayes
Chamemos de B o evento fabricado pela máquina B, e de d o
evento defeituosa  Queremos, dessa forma, a probabilidade
P(B|d)
Quais os conceitos utilizados até o momento?
i  intacta
E
A
i=d
i
B
d
C
Teorema de Bayes
E
A
i
B
d
A∩d
C
B∩d
C∩d
Teorema de Bayes
d = (d ∩ A)U(d ∩ B)U(d ∩ C)
P(d) = P(d∩A)+P(d∩B)+P(d∩C) =
= P(d|A).P(A)+P(d|B).P(B)+
+ P(d|C).P(C)
d∩A
Por outro lado:
d∩B
P(B | d) 

P(B  d)
P(d)

P(d  B)
P(d)
d∩C

P(d | B)  P(B)
P(d)
P(B | d) 
P(d | B)  P(B)
P(d | A)  P(A)  P(d | B)  P(B)  P(d | C)  P(C)
Teorema de Bayes
P(B | d) 
0,35  0,01
0,40  0,02  0,35  0,01  0,25  0,03
 0,184  18,4%
d∩A
d∩B
d∩C
Teorema de Bayes
Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a
probabilidade P(B|d):
P(B | d) 
P(B  d)
P(d)

P(d  B)
P(d)

P(d | B)  P(B)
P(d)
Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir (origem
do problema) de qualquer uma das três máquinas (e só de uma).
Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes:
P(d)  P(A)  P(d | A)  P(B)  P(d | B)  P(C)  P(d | C)
P(d)  0,40  0,02  0,35  0,01  0,25  0,03  0,019
P(B | d) 
0,35  0,01
0,40  0,02  0,35  0,01  0,25  0,03
 0,184  18,4%
Teorema de Bayes
Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes:
Partição de interesse
P(B | d) 
0,35  0,01
0,40  0,02  0,35  0,01  0,25  0,03
Somatório em todas as
partições
Teorema de Bayes
A visualização do problema é facilitada pela utilização do
seu correspondente diagrama em árvore
d
0,02
i
0,98
Cada avanço por 1 ramo 
multiplicação
0,40
A
d
B
P(d)  P(A)  P(d | A)  P(B)  P(d | B)  P(C)  P(d | C)
0,01
P(d)  0,40  0,02  0,35  0,01  0,25  0,03
0,35
i
0,99
P(B | d) 
C
0,35  0,01
0,40  0,02  0,35  0,01  0,25  0,03
0,25
d
i
0,03
0,97
Somam-se os resultados dos
caminhos (avanços)
Teorema de Bayes
Exemplo 2
Um transmissor de localização de emergência de uma aeronave (TLE) é
um aparelho projetado para transmitir um sinal no caso de queda. A
Altigauge Manufacturing Company faz 80% dos TLEs, a Bryant Company
faz 15% deles, e a Chartair Company faz os outros 5%. Os TLEs feitos
pela Altigauge têm taxa de defeituosos de 4%, os da Bryant têm taxa de
defeituosos de 6%, e os da Chartair, taxa de 9% (o que ajuda a explicar
por que a Chartair tem a menor fatia do mercado).
(a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população original de
todos os TLEs, ache a probabilidade de que tenha sido fabricado pela
Altigauge Manufacturing Company;
(b) Se um TLE é selecionado aleatoriamente e testado e se verifica que
é defeituoso, ache a probabilidade de ele ter sido fabricado pela
Altigauge Manufacturing Company.
Teorema de Bayes
A = TLE fabricado pela Altigauge  P(A) = 0,80
B = TLE fabricado pela Bryant  P(B) = 0,15
C = TLE fabricado pela Chartair  P(C) = 0,05
D = TLE é defeituoso
D = TLE não é defeituoso (ou é bom)
Solução:
A
E
D
D
B
C
Teorema de Bayes
Exemplo 2
a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população geral de
todos os TLEs, a probabilidade de ter sido fabricado pela
Altiguage é 0,8 (porque a Altigauge fabrica 80% deles).
b) Se sabemos agora que o TLE foi testado e é defeituoso,
desejamos revisar a probabilidade da parte (a) de modo que a nova
informação possa ser usada. Desejamos encontrar o valor de
P(A│D), que é a probabilidade de que o TLE tenha sido fabricado
pela Altigauge, dado que é defeituoso. Com base na informação
dada, sabemos estas probabilidades.
P(D│A) = 0,04 Taxa de defeituosos da Altigauge é de 4%
P(D│B) = 0,06 Taxa de defeituosos da Bryant é de 6%
P(D│C) = 0,09 Taxa de defeituosos da Chartair é de 9%
Teorema de Bayes
D|A
D|A
0,80
A
0,8.0,04 = 0,032
0,04
D|B
B
0,06
0,15.0,06 = 0,009
0,15
D|B
C
0,05
D|C
0,09
0,05.0,09 = 0,0045
P(D) = 0,0455
D|C
P( A D ) 
P(A)  P( D A )
P(D)

P(A)  P( D A )
P(A)  P( D A )  P(B)  P( D B )  P(C)  P( D C )

0,032
0,0455
 0,703
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