Projeto TEIA DO SABER 2006
UNESP – Campus de Guaratinguetá
Secretaria de Estado da Educação, SP.
Departamento de Matemática
Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá
Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)
Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia
MATRIZES
É comum nos depararmos com conjuntos de números que são operados essencialmente da
mesma maneira. Isto sugere tratá-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é
possível através do uso de elementos matemáticos chamados Matrizes.
Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram sua importância detectada e
saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por
volta de 1826. Ele as chamou de tableau (= tabela). O nome Matriz só veio com James Joseph
Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858,
divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. O significado coloquial da palavra matriz
é: local onde algo se gera ou cria. Sylvester as via como "...um bloco retangular de termos... o que
não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos
formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p
colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ). Observe que
Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que
elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em
importância. A referência mais antiga a matrizes, entretanto, data de aproximadamente do ano
2500 a.C., no livro chinês Chui-Chang Suan-Shu (Nove capítulos sobre a arte matemática). Este
livro apresenta problemas sobre a mensuração de terras, agricultura, impostos, equações, etc. Um
destes problemas é resolvido com cálculos efetuados sobre uma tabela, tais como efetuamos hoje
com as matrizes.Atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de conhecimento.
Suas aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia e Computação, por exemplo.
Definição: Conjunto de números, funções, etc... dispostos numa forma retangular (ou
quadrada). Neste curso, só iremos usar números reais.
Notação: Use [ ] ou ( ).
NUNCA use | |, pois significa determinantes.
1
Teia do Saber
Exemplo:
1
A=
4
8
B=
−4 0
−3 2
7
C=
−2
1
3x2
0
D = 3
−34 2 0, 6
−2, 7 1
3x1
1
E=
5 1
0
A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas.
A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna.
A matriz C é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linhas e ___ colunas.
A matriz D é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ coluna.
A matriz E é uma matriz-linha ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ colunas.
De uma forma geral, uma matriz A mxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas
dimensões e sua representação genérica é a seguinte:
a 11 a 12 . . . a 1n
A=
a 21 a 22 . . . a 2n
...
...
...
...
a m1 a m2 . . . a mn
mxn
Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e colunas
uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la:
A = a ij  mxn ou a ij .com i = 1, … , m e j = 1, … , n m, n ∈ ℕ
Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de dois
números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e o
segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a 23 encontra-se na segunda linha e terceira
coluna.
Exercício 1: Dadas as matrizes:
A=
−1 5
8
0
−2 3
1
4
2
D=
5 4 −5
B=
6 −4 −2
4 −2
1
6
7
−8 9 10
2
5
−1 3
5
3
1
0
1
6
4 −3
8
4
2
3
0 5 −3 −1
2 7
0
2 3 −1 4 −5 2 1
2
−2
C=
1 2
6
5 −1 9 2
0 3 −3 5
4
0 4
3 4 −3 6
9
1 6
4
a) Determine a ordem de cada matriz acima.
b) Determine os elementos c 45 , c 16 , c 37 , d 51 , d 45 , a 34 , a 12 , b 32 e b 23 .
Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1).
2
Teia do Saber
8
Exemplo: Neste caso, B =
é um matriz coluna e E =
−2
1
é um matriz
5 1
1x2
3x1
linha.
Matrizes Especiais
Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero.
0 0 0 0 0
Exemplo:A =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3x5
Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por a ij = 0 para todos i e j.
Obs: Usa-se a notação A = 0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!!
Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Neste
caso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz.
7
Exemplo: A =
0
1
−34 2 0, 6
−2, 7 1
0
. Neste exemplo a matriz A é de ordem 3.
3x3
Os elementos a 11 , a 22 , a 33 , . . . , a nn constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada.
Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A =
a 11
7
−4 1
−9
3
6
5
1
0
.
3x3
Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, isto é,
+ a 22 + a 33 +. . . +a nn . O traço não está definido se a matriz A não for quadrada.
n
Notação: trA = a 11 + a 22 + a 33 +. . . +a nn = ∑ a kk = número real.
k=1
Exemplo: Do exemplo acima: trA = 7 + 3 + 0 = 10.
1
Exercício 2: Encontre o traço da matriz B =
2
3
−5 6
8
0
.
1 −3
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal
principal nulos.
3
Teia do Saber
7 0 0
Exemplo:A =
0 2 0
0 0 3
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: a ij =
0 se i ≠ j
d se i = j
onde d ∈ R.
Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos
iguais a 1. É geralmente denotada pela letra I.
1 0 0
Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I 3 =
0 1 0
0 0 1
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: a ij =
0 se i ≠ j
1 se i = j
para
i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , n.
Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2 , 4 e 5.
Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz A mxn é definida através da seguinte
relação:
a ij = a Tji , para todo i e todo j.
Exemplo.: Seja a matriz A =
−1 5
8
0
−2 3
1
4
2
−1 −2
2
5
3
6
8
1
−4
0
4
−2
, então sua transposta será A T =
6 −4 −2
.
Propriedade: A T  T = A
Exercício 4: Usando as matrizes do exercício 1, determine:
a) Os elementos da diagonal principal da matriz D.
b) O traço da matriz de D.
c) B T
d) C T
Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação:
a ij = a ji , isto é, A T = A.
4
Teia do Saber
Exemplo: A matriz A =
7
−1 4
−1
2
5
4
5
3
matriz transposta de A, A T =
é simétrica, pois A = A T . Verifique encontrando a
3x3
.
Propriedade: A T é simétrica.
Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz A nxn é definida através da
seguinte relação:
−a Tij para i ≠ j
a ji =
0 para i = j
isto é,
A = −A T .
0
−1
4
1
0
−5
−4
5
0
Exemplo: Seja a matriz A =
é uma matriz anti-simétrica.
3x3
Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todos
nulos. Por quê???
Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas ou anti-simétricas ou nenhuma das duas? Por
quê?
A=
3 −4
4
1
3 4
B=
4 0
C=
4
−3 0
−3
5
2
0
2
1
0 0 1
D=
0 0 2
1 2 0
E=
0
−3 6
3
0
7
−6 −7 0
Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal
principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior.
Exemplo: A =
7
0 0
5
2 0
−8 7 4
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: a ij =
∈ R.
5
0 se i < j
d se i ≥ j
onde d
Teia do Saber
Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da
diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior.
7 4
Exemplo: B =
3
0 2 −6
0 0
4
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: b ij =
0 se i > j
d se i ≤ j
onde d ∈ R.
Propriedades:
1.
A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
Exemplo:
2
0 0
3
3
5 0
2 −4 0
−4 1 6
2.
0
2
0
7
6
=
0
0
19 −20 0
1
2
38
6
A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
Exemplo:
2 3 1
3 −5
1
0 2 6
0
2
3
0 0 5
0
0
−4
6 −4
=
7
0
4
−18
0
0
−20
Operações com Matrizes
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se a ij = b ij , elemento por elemento.
3
Exemplo:
5
≠
3 4 6
3 5 −1
1 2 3
−1
Exemplo: Se A = B e A =
3 x+2
5
2
Exercício 6: Dadas as matrizes A =
A = B?
6
eB =
2
1
3 x+3
3 −4
5
2
eB =
3 4 6
≠
1 2 3
0 0 0
, então x = −6.
2 1
3 5
. Qual o valor de x para que
Teia do Saber
Exercício 7: Calcule os valores de x ,y e z para que as matrizes A e B sejam iguais.
A=
x 2 − 5x 7
e B=
y 2 −1
2
É possível que a matriz C =
8
x 2 − 5x 7
8
2 9 −1
seja igual a matriz A para algum valor de x e de
y2
2
6 −z
y? Justique a sua resposta.
Soma e Subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma
dimensão e é definida como c ij = a ij + b ij , onde C é matriz obtida da soma das matrizes A e B. A
subtração de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde c ij = a ij − b ij .
Exemplo: Considere as matrizes A =
2
1
0 3
−1
0
2 4
5
−2 7 6
e B=
−4 3
5
1
2
2
0
−1
3
2 −4
5
. Calcule
A + B e A − B.
Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas.
Propriedades:
Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem.
1) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
2) A + B = B + A (comutativa)
3) A + 0 = 0 + A = A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adição)
4) A-A = 0
5) A + B T = A T + B T
6) trA + B = trA + trB
7) Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer,
então:
A + B é simétrica.
Exemplo:
3
5 −1
5
6
2
−1 2
1
+
2
2
4
2
3
−5
4 −5
7
=
2
Exercício 8: Dadas as matrizes A =
A + B T e A T + B T .
7
7
3
7
9
−3
3 −3
8
3
−3 5
0
5
1
4 6
e B=
1 8
9 3
. Calcule A + B , A − B,
Teia do Saber
Multiplicação por uma constante
Multiplicar uma matriz por uma constante (k) implica em multiplicar todos os elementos da
matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C = k ⋅ A será c ij = k ⋅ a ij para todo i
e j.
Exemplo: Seja a matriz A =
2
1
0 3
−1
0
2 4
5
−2 7 6
2
Exercício 9: Dadas as matrizes A =
. Calcule 2A,
3
A e −A.
4 6
eB =
−3 5
0
1
2
1 8
1
. Calcule 2A + 3B e
1
3
A − 2B.
9 3
Multiplicação de matrizes
Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira
matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do produto de duas
matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas
da segunda matriz, ou seja, a multiplicação A mxn . B nxp terá como resultado uma matriz C mxp . A
multiplicação de matrizes é definida como sendo:
A mxn ⋅ B nxp = C mxp
n
Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: c ij =∑ a ik ⋅ b kj , para i = 1, . . . , m e
k=1
j = 1, . . . , p.
1 6
Exemplo: Dadas as matrizes A =
5 0
eB =
8 7
1 3 5 8
9 7 6 5
.
Qual é a dimensão da matriz C, onde C = A ⋅ B?
Qual é a dimensão da matriz D, onde D = B ⋅ A?
Então, só será possível encontrar a matriz C, que será:
Obs: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A ⋅ B ≠ B ⋅ A, em geral.
Propriedades
Sejam A e B matrizes de mesma ordem e α um escalar.
1) α ⋅ A + B = α ⋅ A + α ⋅ B
2) α ⋅ β ⋅ A = α ⋅ β ⋅ A
3) A ⋅ α ⋅ B = α ⋅ A ⋅ B
4) α + β ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A
8
Teia do Saber
5) k ⋅ A T = k ⋅ A T , para k uma constante real.
6) Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer,
então
k ⋅ A é simétrica.
7) trk ⋅ A = k ⋅ trA
Multiplicação de matriz por vetor
Esta operação segue a mesma regra da multiplicação de matrizes, uma vez que um vetor é um
caso particular de uma matriz e dá como resultado uma matriz.
Multiplicação de vetores
É feita de maneira análoga a multiplicação de matrizes. No caso da multiplicação de um vetor
linha por um vetor coluna, o resultado será um número.
Propriedades:
Sejam α e β dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam
realizar as operações.
1) A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C (associativa)
2) A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C (distributiva à esquerda)
3) A + B ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C (distributiva à direita)
4) I ⋅ A = A ⋅ I = A (I é matriz identidade e elemento neutro)
5) α + β ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A
6) A ⋅ B = 0 para A ≠ 0 e B ≠ 0 (0 é a matriz nula)
Exemplo:
1
−1
1 1
−1
1
1 1
=
0 0
0 0
7) A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0
8) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior.
9) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior.
10) A ⋅ B T = B T ⋅ A T
11) Se AB = AC com A ≠ 0, não implica que B = C, isto é, não vale a lei do cancelamento.
Exemplo: Sejam A =
1 2
3 6
, B=
3 −8
2
3
e C=
5
2
1 −3
. Verifique que AB = AC,
apesar de B ≠ C.
12) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica.
13) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, A T ⋅ A e A ⋅ A T são
simétricas.
9
Teia do Saber
Potenciação
Se A é uma matriz quadrada, definimos:
A0 = I
A1 = A
2
A = A⋅A
⋮
n
A =A ⋅ A ⋅ A⋯ ⋅ A, com n > 0
n vezes
Exemplo: Seja A =
−2 −5
−1
3
. Calcule A 2 .
Está completamente errado fazer:A 2 =
−2 2 −5 2
−1 2
=
32
4 25
1
9
Maneira correta de realizar a potenciação:
A2 =
−2 −5
−2 −5
−1
−1
3
3
=
4 + 5 10 − 15
2−3
=
5+9
9
−5
−1 14
Propriedades
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então:
1) A r ⋅ A s = A r+s
2) A r  s = A rs
Exercício 10: Sejam as matrizes A =
D=
2 −1
Encontre:
a) A + B
b) A ⋅ C
c) B ⋅ C
d) C ⋅ D
e) D ⋅ A
f) D ⋅ B
g) −A
h) −D
i) 2A − 3B
j)C T ⋅ A T
10
1 2
3
2 1 −1
, B=
−2 0 1
3
0 1
−1
, C=
2
4
e
Teia do Saber
Exercício 11: Sejam as matrizes A =
2
−1
−1
0
eB =
0 −2
2
.
0
Encontre:
a) A T ⋅ B T
b) B T ⋅ A T
c) A 2
d) B 2
e) AB
f) A + BA + B
Exercícios de Fixação
1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens:
B 4x5
C 5x2
D 4x2
E 5x4
A 4x5
Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão
definidas, dê a ordem da matriz resultante.
a) B ⋅ A
b) A ⋅ C + D
c) A ⋅ E + B
d) A ⋅ B + B
e) E ⋅ A + B
f) E ⋅ A ⋅ C
T
T
h) A + E ⋅ D
g) E ⋅ A
2. Considere as matrizes:
3
A=
0
−1 2
1
,B =
1
4 −1
0
,C =
2
Calcule (quando possível)
a) D + E
b) D − E
e) 2 ⋅ B − C
f) 4 ⋅ E − 2 ⋅ D
i) trD
j) trD − 3 ⋅ E
1 T
T
m) 2A + C
n) 2 C − 14 A
q) B 2
m)
11
7 2 4
3 5 7
n)
− 14
3
2
9
4
3
4
0
9
4
1 4 2
3 1 5
1
,D =
−1 0 1
3
c) 5 ⋅ A
g) −3 ⋅ D + 2 ⋅ E
k) 4 ⋅ tr7 ⋅ B
o) D T E T − ED T
o) matriz nula
p)
5 2
6
,E =
2 4
1 3
−1 1 2
4
1 3
d)−7C
h) A − A
l) trA
p) B T CC T − A T A
40 72
26 42
q)
16 −6
0
4
Teia do Saber
Respostas do exercícios
pág 10
Ex 10.
a)
−1 2 4
5
15
b)
1 0
6
c)
−4
−2
1
4
−2
8
−4
d)
1
e)
0 3 7
−7 0 1
g)
−1 −2 −3
−2 −1
−2 1
h)
1
8
i)
4
3
15 −4
j)
−5 2 −5
pag 11
2
Ex 11 a)
4
−2 0
b)
0 −2
−4 2
Exercícios de fixação
1) não é possível fazer: a, c, d, g,
2) não é possível fazer: e, L
7
a)
6 5
−2 1 3
7
,
3 7
22 −6 8
f)
m)
12
−2
4
6
10
0
4
7 2 4
3 5 7
4
0
−1 −1
−1
1
−1
e) 5x5
15
c)
1
d)
2 −3
b) 4x2
−5
b)
1 −6
c)
−2
−2
1
e)
f) 5x2
0
−5 10
5
5
d)
5
−4
0
0
−4
h) 5x2
−7
−28 −14
−21
−7
−35
−39 −21 −24
g)
−6
9
−15
h) matriz nula
i) 5
j) −25
k) 168
−33 −12 −30
n)
− 14
3
2
9
4
3
4
0
9
4
o) matriz nula
p)
40 72
26 42
q)
16 −6
0
4
f)