Instituto Superior de Ciências do Trabalho e da Empresa
Lisboa
1o Semestre 2006/07
Matemática I
Caderno 2
Matrizes e Determinantes
Organização e Gestão de Empresas
Gestão e Engenharia Industrial
Conteúdo
1
1
Matrizes
1.1
1.1.1
Síntese
Definições e generalidades
Definição 1 Designa-se por matriz de números reais de elemento genérico
aij , em que o primeiro índice (i = 1, 2, ...., m) indica a linha e o segundo
índice (j = 1, 2, ...., n) indica a coluna, a um quadro do tipo:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
a11
a21
..
.
am1
a12 ... a1n
a22 ... a2n
..
..
.
.
am2 ... amn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Definição 2 Diz-se que uma matriz é do tipo m × n se tem m linhas e n
colunas.
1.1.2
Álgebra das matrizes
Definição 3 A adição (subtracção) de matrizes consiste na soma (diferença)
dos elementos homólogos (isto é, os que estão situados na mesma linha e
coluna). Donde resulta que só se podem somar (subtrair) matrizes do mesmo
tipo.
Definição 4 O produto de duas matrizes consiste na multiplicação das linhas do primeiro factor pelas colunas do segundo. A multiplicação de duas
matrizes só é possível quando o número de colunas da primeira matriz é
igual ao número de linhas da segunda matriz.
1.1.3
Transposição de matrizes. Matrizes simétricas.
Definição 5 Chama-se matriz transposta de uma matriz A e representa-se
por AT , a uma matriz cujas colunas são as linhas de A (pela mesma ordem)
sendo, consequentemente, as suas linhas as colunas de A.
Definição 6 Matriz simétrica é uma matriz que coincide com a sua transposta: A = AT . Se A = −AT diz-se que A é anti-simétrica.
Resultado 1 A transposição de matrizes verifica as seguintes propriedades:
1. (A + B)T = AT + B T
2
¡ ¢T
2. AT = A
3. (AB · · · C)T = C T · · · B T AT
4. O produto de duas matrizes é uma matriz simétrica sse os factores
comutam.
1.2
Exercícios Propostos
1. Sejam as matrizes
⎡
⎤
¸
∙
1 2
1
0
−1
T
.
A=⎣ 0 1 ⎦ eB =
2 1
1
−1 3
Calcule a matriz X, por forma a que se verifique a seguinte igualdade:
¡ T
¢T
B − 3X − 3A = 2B.
2. Sendo
∙
2
A=
⎡1
1
⎣
C= 0
1
¸
3
4
⎤
0 1
1 1 ⎦
0 1
∙
2
B=
⎡1
2
⎣
D= 0
0
0
0
0
1
2
(a) Calcule, se possível AB ; BA ; ABC ; CD.
1
⎤2
¸
⎦
(b) Calcule BD e DB e analise o resultado a que chegou.
£
¤
£
¤
3. Seja AT = 1 2 −1 e B T = 3 −2 1 . Calcule AT B e AB T .
4. Seja A uma matriz do tipo 3 × 1, de elementos unitários. Calcule AAT
e AT A.
5. Sendo
I=
∙
1 0
0 1
¸
eJ=
∙
0 1
−1 0
¸
,
prove que [aI + bJ] + [aI − bJ] = 2aI.
6. Dadas as matrizes:
⎡
⎤
2 −3
5
4
0 ⎦
A = ⎣ −1
−2
1 −5
⎡
⎤
1 3
B=⎣ 2 4 ⎦
1 2
3
⎡
⎤
−1
0
C = ⎣ −1 −3 ⎦
1 −1
(a) Mostre que (AB)T = B T AT .
(b) Calcule (AB)T + C T .
7. Determine as matrizes X e Y que satisfaçam o sistema
½
2X + 3Y = B
.
−X − Y = C
Utilize para B e C as matrizes do exercício anterior.
1.3
1.
2.
3.
4.
6.
7.
Soluções dos Exercícios Propostos
¸
4
− 43
0
3
X=
− 83 − 43 − 10
3
¸
∙
7 0 8
(a) AB =
6 0 9
BA não é possível (o número de colunas de A é diferente do número
de linhas de B)
∙
¸
15 0 15
ABC =
15 0 15
⎡
⎤
2 2
CD = ⎣ 0 3 ⎦
2 2
⎡
⎤
¸
∙
4 0 2
4 2
e DB = ⎣ 1 0 2 ⎦, conclui-se que a multipli(b) BD =
2 4
2 0 4
cação de matrizes não é uma operação comutativa.
⎡
⎤
3 −2 1
AT B = −2 e AB T = ⎣ 6 −4 2 ⎦
−3 2 −1
⎡
⎤
1 1 1
AAT = ⎣ 1 1 1 ⎦ e AT A = 3
1 1 1
¸
∙
0 6 −4
T
T
(b) (AB) + C =
4 10 −13
⎡
⎤
⎡
⎤
2 −3
−1 3
5 ⎦ e Y = ⎣ 0 −2 ⎦
X=⎣ 1
−4 1
3
0
∙
4
2
Dependência e Independência Lineares de
Filas Paralelas de uma Matriz; Operações
Elementares; Característica de uma Matriz
2.1
Síntese
Designa-se por combinação linear de linhas de A uma expressão do tipo
λ1 L1 + λ2 L2 + ....... + λm Lm em que:
• λ1 , λ2 , ......, λm são números reais quaisquer
• L1 , L2 , ......, Lm representam respectivamente as m linhas da matriz A.
A expressão λ1 L1 +λ2 L2 +.......+λm Lm = 0 conduz-nos a um dos seguintes
resultados:
1. λ1 = λ2 = ...... = λm = 0 , neste caso as linhas de A dizem-se linearmente independentes;
2. Caso a expressão anterior também se verifique com pelo menos um λi 6=
0, (i = 1, 2, ......, m), as linhas de A dizem-se linearmente dependentes.
A dependência ou independência linear das filas de uma matriz não é
alterada pelas seguintes operações (designadas por operações elementares):
1. troca entre si de duas filas paralelas da matriz;
2. multiplicação de uma fila por um número real diferente de zero;
3. substituição de uma fila pela que se obtém somando outra, multiplicada
por um número real qualquer (Operação de Jacobi).
A característica de uma matriz A, r (A), corresponde ao número máximo de filas paralelas linearmente independentes. A característica obtém-se
condensando a matriz, isto é, transformando a matriz inicial ,aplicando as operações elementares, numa matriz triangular superior de elementos principais
significativos de maior ordem possível (condensação vertical).
5
2.2
Exercícios Propostos
⎡
⎤
1
2 −1
0 ⎦
1. Considere a matriz A = ⎣ 2 −1
3
1 −1
(a) Recorrendo à definição, mostre que as linhas de A são linearmente
dependentes.
(b) Do resultado obtido na alínea anterior, que conclui relativamente
às colunas de A ?
(c) Exprima a terceira linha como composição linear das restantes.
2. Recorrendo à definição, mostre que as colunas da matriz B são linearmente independentes, sendo
⎤
⎡
1
2 −1
0
2 ⎦
B=⎣ 2
−1 −2
0
3. Usando as operações elementares (O1, O2 e O3) mostre como passa de
A a B, sendo
⎡
⎤
0 2 3 4
A = ⎣ 2 3 5 4 ⎦
4 8 13 12
∙
¸
I2 0
B =
0 0
4. Determine a característica das matrizes:
⎡
1
A=⎣ 1
1
⎡
1
⎢ 3
C=⎢
⎣ 5
7
⎤
0 −1
2
1 ⎦
1
1
2
1
5
4
⎤
0
3
2 −1 ⎥
⎥
2
5 ⎦
4
1
6
⎡
1
⎢ −1
B=⎢
⎣ 0
1
2
0
2
0
⎤
0 −1
2
1 ⎥
⎥
2
0 ⎦
2
1
5. Mostre que as linhas da matriz
⎡
1 −1
⎢ 3
2
⎢
⎣ −1
0
0
4
⎤
0
2
3
1 −2
0 ⎥
⎥
2 −3
1 ⎦
3 −9 −5
são linearmente dependentes.Qual o número máximo de linhas independentes?
6. Seja
⎡
⎤
1 2
A=⎣ 0 c ⎦
2 4
(a) Considerando c 6= 0, qual o valor máximo que a característica de
A pode assumir?
(b) Discuta a característica de A, em função do parâmetro c.
7. Mostre que
⎡
⎤
1
⎢ 0 ⎥
⎥
A1 = ⎢
⎣ 1 ⎦
0
⎤
0
⎢ 0 ⎥
⎥
A2 = ⎢
⎣ 1 ⎦
1
⎡
são linearmente dependentes.
⎤
1
⎢ 1 ⎥
⎥
A3 = ⎢
⎣ 1 ⎦
0
⎡
⎤
−1
⎢ 0 ⎥
⎥
A4 = ⎢
⎣ 0 ⎦
1
⎡
8. Considere a matriz
⎡
⎤
1
1 −3a
1
a −2 ⎦
A = ⎣ 2 −1
7 −2
0 −5
(a) Expresse a terceira linha como composição linear das restantes.
(b) Serão as colunas de A, linearmente independentes? Justifique.
9. Considere a matriz
⎡
⎤
1
k
k−1 1
1
0
k ⎦
A = ⎣ −1
0 −k − 1 1 − k k 2
7
(a) Diga que valores pode assumir, em função do parâmetro k, a característica de A, justificando.
(b) Analise a dependência linear das filas de A.
(c) Faça k = 1 e prove, recorrendo à definição, que as colunas são
linearmente dependentes.
2
10. Uma matriz quadrada P é idempotente
¡ T T se
¢ P = P . Mostre que se
A.B = A e B.A = B então B e A .B
são idempotentes.
→
→
→
11. Prove que os vectores não nulos v1 , v2 , . . . , vm são linearmente
→
dependentes se um deles, por exemplo vi , for uma combinação linear
→
→
→
dos vectores precedentes vi = ai vi + ... + ai−1 vi−1
2.3
Soluções dos Exercícios Propostos
1. (b) Também são linearmente dependentes porque o número máximo
de linhas independentes é igual ao número máximo de colunas independentes. Como o número máximo de linhas independentes é
inferior a 3 também o número máximo de colunas independentes
é inferior a 3. Conclui-se que as colunas são linearmente dependentes porque são
(c) L3 = L1 + L2
4. rA = 3, rB = 3 e rC = 2
5. O número máximo de linhas independentes é 3.
6. (a) rA = 2, para c 6= 0
(b) Se c 6= 0, rA = 2;
Se c = 0, rA = 1.
8. (a) L3 = L1 + 3L2
(b) As colunas são linearmente dependentes.
9. (a) rA = 3, ∀k.
(b) As linhas são linearmente independentes.As colunas são linearmente dependentes.
8
3
Inversão de Matrizes
3.1
Síntese
Uma matriz inversa de A (neste caso denominada por B) tem de verificar
a seguinte igualdade: AB = BA = I. Quando B existe designa-se por A−1
e a igualdade anterior assume o seguinte aspecto: AA−1 = A−1 A = I. Em
suma, a matriz A tem de ser quadrada e tem de ter característica igual à
ordem.
3.2
Exercícios Propostos
1. Sendo A e B matrizes de ordem n e regulares, prove que:
−1
(a) (A−1 )
=A
(b) (A.B)−1 = B −1 .A−1
¡ ¢−1
T
(c) AT
= (A−1 )
2. Sendo A, B e C matrizes regulares e da mesma ordem, generalize o
resultado da alínea (b) provando a igualdade (ABC)−1 = C −1 B −1 A−1 .
3. Prove que, se A−1 .A = I e C.A−1 = I
então C = A.
4. Calcule se possível, as inversas das seguintes matrizes:
⎤
⎡
⎡
⎤
⎡
⎤
1 2 3 1
1 3 3
1 3 5
⎢ 1 3 3 2 ⎥
⎥
a) ⎣ 1 4 3 ⎦
c) ⎣ 1 3 5 ⎦
b) ⎢
⎣ 2 4 3 3 ⎦
1 3 4
1 4 7
1 1 1 1
3.3
Soluções dos Exercícios Propostos
⎡
7
−3 −3
0
4. (a) ⎣ −1 1
−1 0
1
⎡
1
−2 1
⎢ 1
−2 2
(b) ⎢
⎣ 0
1
−1
−2 3
−2
⎤
⎦
⎤
0
−3 ⎥
⎥
1 ⎦
3
(c) A matriz não possui inversa porque as linhas são linearmente dependentes (L1 = L2 )-matriz singular.
9
4
Determinantes
4.1
Síntese
Definição 7 Determinante é um valor real associado a uma matriz quadrada.
É a soma dos termos pares da matriz com os termos ímpares, estes últimos
afectados do sinal menos.
4.1.1
Algumas propriedades muito utilizadas
• |A−1 | =
1
|A|
• |AB| = |A| . |B|
• |kA| = kn . |A|
¯ ¯
• ¯AT ¯ = |A|
• |A| + |B| 6= |A + B|
4.1.2
Cálculo de determinantes
O cálculo de determinantes por definição torna-setanto mais fastidioso quanto
maior for a ordem da matriz. Daí recorrer-se a outros modos de calcular
determinantes, como a Regra de Sarrus para matrizes de ordem 3 e o Teorema
de Laplace para qualquer que seja a ordem.
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos complementos algébricos.
4.2
Exercícios Propostos
1. Determine i e j por forma a que seja par o termo a1i .a32 .a4j .a25 .a53
de uma matriz de 5a ordem.
2. Calcule, justificando, os seguintes determinantes:
¯
¯
¯
¯
¯ 2 2 2 ¯
¯ 1
3 0 ¯¯
¯
¯
¯
1 0 ¯¯
B = ¯¯ 2 3 4 ¯¯
A = ¯¯ 2
¯
¯
¯ 3 −1 0 ¯
¯ 1 1 1 ¯
¯ 1 −1 2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 2 ¯
¯
¯ 0
¯
1
2
D
=
C = ¯¯
¯
¯
−1 2 ¯
¯ 0
0 2 ¯
10
(a) Comente a dependência ou independência das filas de cada uma
das matrizes a que os determinantes anteriores estão associados.
(b) Qual a característica de cada uma das matrizes anteriores.
3. Calcule os valores dos seguintes determinantes:
¯
¯
¯
¯
¯ 2 3 ¯
¯ 1 2 ¯
¯
¯
¯
¯
(b) ¯
(a) ¯
¯
¯
1
5
3
4
¯
¯
¯
¯
¯ 2 −3 −4 ¯
¯ 2 3 5 ¯
¯
¯
¯
¯
0 −2 ¯¯
(d) ¯¯ 1
(c) ¯¯ 1 0 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 −5 −6
¯
¯ 2 1 0
¯
¯ 2 −1 2 −1 ¯
¯
¯ 4 2 −1
2
¯
¯
¯
¯
¯ 1 3
¯ 2
2 −3 ¯¯
4 0 −2 ¯¯
¯
¯
(f) ¯
(e) ¯
¯
0 ¯¯
¯ 5 1 −4 −2 ¯
¯ 1 −3 2
¯
¯ 1 0
¯
3 −1
0 3
4 ¯
¯
¯ −1
¯
¯ 1 −1
¯
¯
2
0
3
¯
¯
¯ a 0 0 0 ¯
¯
¯ 1
¯
¯
2
−2
1
−1
¯
¯
¯ 0 0 0 b ¯
¯
¯
¯
1
2 ¯¯
(h) ¯ 0 −3 −1
(g) ¯
¯
¯ −1
¯ 0 c 0 0 ¯
2
0
3 −1 ¯¯
¯
¯ 0 0 d 0 ¯
¯ 1
2
1 −1
0 ¯
¯
¯
¯ 1
¯
0 −2
0
1 ¯
¯
¯ 3 −1 −2
1
3 ¯¯
¯
¯
0
1 −2
1 ¯¯
(i) ¯ 0
¯ −1
0
2
3 −1 ¯¯
¯
¯ 1
2 −1 −1 −1 ¯
4. Resolva a equação:
¯
¯
¯ x −4
0 ¯¯
¯
¯ 1 −3 −1 ¯ = 2
¯
¯
¯ 2
x
5 ¯
5. Resolva a seguinte equação:
¯
¯ 0
x−2
0
0
¯
¯ x−1
0
x
0
¯
¯ 0
x
0
x
−
2
¯
¯ 0
0
x−1
0
11
¯
¯
¯
¯
¯=0
¯
¯
¯
6. Demonstre a igualdade:
¯
¯ 1
1
1
···
1
¯
¯ 1 1 + x1
1
···
1
¯
¯ 1
1
1
+
x
1
2
¯
¯ ..
..
..
...
¯ .
.
.
¯
¯ 1
1
1
· · · 1 + xn
7. Demonstre que
8. Prove que
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 ··· 1
2 1 ··· 1
1 3
1
..
. . . ..
.
.
1 1 1 ··· n
1
1
1
..
.
¯
¯ 1 1 1
¯
¯ a b c
¯ 2 2 2
¯ a b c
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = x1 x2 · · · xn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = (n − 1)!
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = (c − a) (b − a) (c − b)
¯
¯
9. Mostre, justificando adequadamente, que:
¯
¯
b
¯ a
¯
c
¯ 2 22
¯
2
¯ 2a b 2c ¯ = (a − b) (b − c) (c − a)
¯
¯
1
¯ 1
¯
1
2
10. Prove que
¯
¯ ¯
¯
¯ ax a2 + x2 1 ¯ ¯ ax ax2 a ¯
¯
¯ ¯
¯
¯ ay a2 + y 2 1 ¯ = ¯ y y 2 1 ¯
¯
¯ ¯
¯
¯ az a2 + z 2 1 ¯ ¯ z z 2 1 ¯
(Baseie-se nas propriedades dos determinantes e justifique os passos
utilizados.)
11. Calcule o valor de x que torna verdadeira a seguinte igualdade, justificando todos os passos:
¯
¯
¯ ¯
¯ 3k2
0 k2 ¯¯ ¯¯ 2 −2 4 ¯¯
¯ 3
¯ k − 6 −6 k ¯ = ¯ 0
x 4 ¯¯
2 ¯
¯ 2
¯
¯ −6 + k3 k3 −2 ¯ ¯ −1 −x 2x ¯
12
12. Determine os valores de x, z e w que verificam a equação, utilizando as
propriedades dos determinantes. Justifique todas as propriedades que
aplicar.
¯
¯ 2
¯ ax
a
0 ¯¯
¯
¯ 1 1+z w ¯=0
¯
¯
¯ 0
az aw ¯
13. Considere
¯
¯
¯
¯
|A| = ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
|B| = ¯¯
¯
6x3 − x1 4y3 − y1
−w32 + x1 x3 − 1
4x2
−y2
3x3
2y3
¯
y1
3y2
2y3 ¯¯
x1 −12x2 3x3 ¯¯
w1 −6w2 −5w3 ¯
0 −10w3 − w1
3
x2 − y2
0
2w2
0
−5w3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Recorrendo às propriedades dos determinantes, e justificando todas as
passagens, mostre que |A| = |B|
14. Considere
¯
¯ 5x1 + 6x2 5y1 − 2y2 5z1 + 4z2
¯
3x2
−y2
2z2
|A| = ¯¯
¯
5x3
3y3
7z3
¯
¯
¯
¯ y1
¯
¯
5y
3y
2
3
¯
¯
¯
¯ e |B| = ¯ x1 −15x2 5x3 ¯
¯
¯
¯
¯ z1 −10z2 7z3 ¯
¯
Recorrendo às propriedades dos determinantes, e justificando todas as
passagens, mostre que |A| = |B|.
15. Cada um dos dois primeiros elementos da segunda coluna da matriz
⎤
⎡
−1 x 1
B=⎣ 0 y 2 ⎦
1 1 1
é igual à soma do respectivo complemento algébrico com o terceiro
elemento dessa coluna. Calcule |B|.
16. Considere a matriz quadrada
A=
em que
f=
£
£
f | F
1 f2 f 3
13
¤
¤T
,
com f2 6= 0 e f3 6= 0 e
⎡
⎤
f11 f12
F = ⎣ f21 f22 ⎦
0
0
(a) Considere |A| = 0 . Mostre que fazendo f21 .A22 = f3 .A31 (em
que Aij é o complemento algébrico do elemento aij da matriz A),
se tem f12 = 0 ∨ f21 = 0.
(b) Considere f12 .f21 =
f11 6= (2f22 )−1 .
1
2
e f22 6= 0 . Mostre que
|A| 6= 0 sse
(c) Faça f2j = f2 .f1j (j = 1, 2). Mostre, recorrendo à definição,
que as colunas de A são linearmentes. Admitindo que f11 6= 0
∨ f12 6= 0, escreva a primeira linha como combinação linear das
restantes.
17. Sendo X uma matriz quadrada de ordem n, de forma que X + X T = 0
(matriz nula), mostre que, com n ímpar, se tem |X| = 0. (Tome em
consideração que, sendo A uma matriz quadrada de ordem n, se tem
|kA| = kn |A|).
4.3
Soluções dos Exercícios Propostos
1. i = 1; j = 4
2.
• Para A:
|A| = 0 (porque tem uma fila nula);
(a) as filas são linearmente dependentes porque o determinante é
nulo;
(b) r = 2;
• Para B:
|B| = 0 (porque linha 1 é proporcional à 3);
(a) as filas são linearmente dependentes porque o determinante é
nulo;
(b) r = 2;
• Para C:
|C| = 4;
(a) como o determinante não é nulo, as filas são linearmente independentes;
14
(b) r = 2;
• Para D:
|D| = 2 (o determinante de uma matriz triangular corresponde ao
seu termo principal);
(a) como o determinante não é nulo, as filas são linearmente independentes;
(b) r = 3;
3. (a) −2
(h) −12
(b) 7
(i) 33
(c) 9
(d) −18
(e) 275
(f) 0
(g) abcd
4. x = 2 ∨ x = 13
5. x = 1 ∨ x = 2
11. x = −1 ∨ x = −2
12. (x, z, 0) , ∀x, z
e (±1, z, w) , ∀z, w
15. |B| = 10
16. (b)
5
5.1
i. A primeira linha como combinação linear das restantes: l1 =
f1j
l.
f2j 2
Inversão de Matrizes pela Teoria dos Determinantes
Síntese
Uma matriz inversa de A (neste caso denominada por B) tem de verificar a
seguinte igualdadeAB = BA = I. Quando B existe designa-se por A−1 e a
igualdade anterior asume o seguinte aspecto AA−1 = A−1 A = I. Em suma,
a matriz A tem de ser quadrada e tem de ter característica igual à ordem
(|A| 6= 0). A sua fórmula de cálculo pela teoria dos determinantes é a seguinte
1
A−1 = |A|
Â, sendo  a matriz dos complementos algébricos transposta.
15
5.2
Exercícios Propostos
1. Considere as matrizes
⎤
1 −1 2
3 4
B=⎣ 2 0 1 ⎦
A=
1 2
⎡ 3 −1 2 ⎤
∙
¸
1 −1 2
1 2
C=
D=⎣ 0 1 2 ⎦
−1 2
0 0 2
∙
¸
⎡
Determine, se possível, as inversas de A, B, C e D, a partir das respectivas adjuntas.
2. Considere a seguinte igualdade matricial: B −1 X T |A| = B −1 Â − |A| I.
Explicite a matriz X em função das matrizes A e B.
3. Sejam A e B matrizes ¡regulares
¢ e seja k ∈ R. Dada a seguinte equação
−1 T
T −1
= KI, explicite X.
matricial: (XA ) + BA
iT
h¡ ¢
−1
X + (AB)−1 = BB −1
4. Considere a equação matricial AT
(a) Explicite X em ordem a A e B.
¸
¸
∙
∙
−1 2
3 −4
eB=
(b) Determine X, sendo A =
−1 3
0 2
³
´
5. Explicite X na seguinte equação ÂA − I (A − X)T = I |A|, sabendo
que |A| 6= 1
−1
6. Dada a seguinte equação matricial  (B −1 |A|) = A−1 X e sabendo
que A e B são matrizes regulares
∙
¸
∙
¸
1 2
2 −2
A=
eB=
3 4
3 12
Determine |X|.
7. Sabendo que as matrizes A e
⎡
1 0
⎣
A= 1 1
0 0
B são regulares, sendo
⎤
⎡
⎤
0
1 0 0
0 ⎦ eB=⎣ 0 2 0 ⎦
1
0 0 3
iT
h¡ ¢
T −1
X +(AB)−1 =
e que verificam a seguinte equação matricial: A
A, determine |X|.
16
⎡
⎤
4K 0
3
8. Considere a matriz A = ⎣ −1 1 K + 1 ⎦
K −K
0
(a) Calcule, pela teoria dos determinantes, para que valores de K
existe A−1 .
³
´
(b) Para K = 1 resolva a equação matricial AÂ − I (X − A)T = I
|A|
h¡
¢T i−1
|A| + AÂ =
9. Considere a seguinte igualdade matricial B T X −1
B −1 Â∙ ( em que¸ Â=adj ∙A). Explicite
X em função de A e de B. Faça
¸
−4 0
1 −2
e determine X. ( Se, para a detereB=
A=
3 2
1 −3
minação de X, tiver que inverter A ou B, faça-o através da respectiva
matriz adjunta.)
10. Prove , aplicando as propriedades que conhece, que:
i¯
¯
1 ³ ´−1 h
Â
AÂA−1 ¯B T A−1 ¯ |A| = I.
|B|
(Nota: |AB| = |A| |B|.)
11. Sabendo que |A| |B| = |AB| prove que |A−1 | =
1
|A|
, com |A| 6= 0.
12. Mostre que, sendo A uma matriz regular e |A| 6= 1, se tem
³
´−1
A
 − A−1
.
=
|A| − 1
13. Sejam A, B e C matrizes reais ½
simétricas de ordem n. As matrizes A
1 (i = j)
Estude as condições em
e B são tais que: aij − bij =
0 (i 6= j)
que é possível resolver em ordem a X a seguinte equação matricial:
¡ −1 T
¢T
A
C
X
C
+
B
= A2
|A−B|
5.3
Soluções dos Exercícios Propostos
1.
A−1 =
C
−1
∙
=
∙
1
−1
2
1
2
1
4
−2
3
2
−1
2
1
4
¸
¸
17
⎤
0 12
⎦
2 −3
B −1 = ⎣
2
⎡ 1 1 −1 ⎤
1 1 −2
−1
⎣
D = 0 1 −1 ⎦
0 0 12
⎡
−1
2
1
2
T
2. X = (A−1 − B)
T
3. X = K.A − (B −1 )
T
4. (a) X = AT − (B −1 )
¸
∙
6
1
(b) X =
−6 1
5. X = A −
|A|
I
|A|−1
6. |X| = 7, note que X = B.
7. |X| = 0, note que |X| = |A2 − B −1 |
8. (a) K 6= 0 ∧ K 6= −1
⎡ 36
⎤
0
3
7
2 ⎦, note que X = A +
(b) X = ⎣ −1 15
7
1
−1 87
∙
¸
7
−2
−1 T
T
9. X = (A ) − B , X =
−2 −3
|A|
I
|A|−1
13. X = 1, apenas possível se existir A−1 .
6
Aplicação dos Determinantes aos Sistemas
de Equações Lineares; Regra de Cramer;
Teorema de Rouché
6.1
6.1.1
Síntese
Taxonomia
Um sistema pode ser classificado, quanto à sua natureza, em:
Sistemas
⎧
⎨
⎩
Possíveis (têm pelo menos uma solução)
Impossíveis (não têm nenhuma solução)
½
Determinados (uma só solução)
Indeterminados (mais que uma solução)
O primeiro passo consiste em obter um determinante diferente de zero da
maior ordem possível, que nos dá a característica (r). Em seguida deve-se
comparar a característica (r) com o número de equações (m) e com o número
de incógnitas (n) surgindo as seguintes hipóteses possíveis:
18
1. r = m = n
Sistema Possível Determinado
2. r = m < n
Sistema Possível Indeterminado
3. r < m
tem que se verificar o teorema de Rouché para que o
sistema seja possível.
6.1.2
Teorema de Rouché
Teorema 1 (Rouché) Um sistema de equações lineares será possível se e
só se não existirem determinantes característicos ou, caso existam, sejam
todos nulos.
Se não se verificar este teorema estamos perante um Sistema Impossível.
No caso contrário (Sistema Possível) ter-se-à ainda de verificar se é Determinado ou Indeterminado.
6.1.3
Regra de Cramer
Quando o Sistema é Possível e determinado o valor de cada incógnita obtemse dividindo pelo determinante principal do sistema (aquele que nos dá a
característica) o determinante que dele resulta substituindo os coeficientes
dessa incógnita pelos termos independentes. No caso de ser Indeterminado o
procedimento é semelhante devendo ter-se em atenção que no determinante
principal deverão aparecer apenas as variáveis principais que resultaram do
apuramento da característica e que a coluna dos termos independentes deverá incorporar as variáveis secundárias, vindo assim as incógnitas principais
função das secundárias.
6.2
Exercícios Propostos
1. Resolva os seguintes sistemas por meio de determinantes:
⎧
x + 2y + z + 2t = 16
⎪
⎪
⎨
x + y + z + t = 10
(a)
4x
+ 2y + 3z + 4t = 33
⎪
⎪
⎩
4x + 3y + 2z + t = 20
⎧
x + y + 2z = 9
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 3x − 4y + 5z = 10
2x + y − z = 1
(b)
⎪
⎪
6x − 2y + 6z = 20
⎪
⎪
⎩
x − 5y + 6z = 9
19
(c)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
x − 5y + z = 4
2x + y − z = 1
x + 6y − 2z = −3
4x − 4y + z = 9
x − 16y + 4z = 9
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
x + 2y + z + t = 0
⎪
⎪
⎨
x−y+z+t=0
(d)
2x + y + z + t = 0
⎪
⎪
⎩
3x + y + z + t = 0
⎧
⎨ x−y−z =2
2x + y − z = 1
(e)
⎩
3x − y − z = −2
½
2x + y + z = 4
(f)
x + y + 2z = 1
2. Utilize a teoria dos determinantes para estudar os sistemas:
⎧
x1 + x2 + x3 = 1
⎪
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨ kx + y + z = 1
⎨ 2x1 + x2 − x3 = −1
x + ky + z = k
x1 + 3x2 + 2x3 = 2
(b)
(a)
⎩
⎪
⎪
x
+ y + kz = k2
2x
+
2x
+
3x
=
3
⎪
2
3
⎪
⎩ 1
x1 + x2 − 4x3 = k
3. Utilize a teoria dos determinantes para discutir, em função do parâmetro
(real) m, a natureza do seguinte sistema de equações lineares em x, y,
z e t:
⎧
⎨ x + y − mz + mt = 0
y + z + 2t = 1
⎩
x + 2y + (2 + m)t = 1
Fazendo m = 1, resolva o sistema pela regra de Cramer.
4. Seja o sistema de equações lineares
⎧
⎨ x + y + (1 − m)z = m + 2
(1 + m)x − y + 2z = 0
⎩
2x − my + 3z = m + 2
(a) Escreva o sistema na forma AX=B e calcule o determinante de A.
(b) Discuta a natureza do sistema em função do parâmetro m.
(c) Resolva o sistema
20
i. caso em que é possível e determinado
ii. no caso em que é homogéneo
iii. no outro caso em que o sistema é indeterminado.
5. Considere o sistema de equações lineares x, y, z e w:
⎧
x−y =a
⎪
⎪
⎨
y−z =b
z + w = −b
⎪
⎪
⎩
x − aw = a
Estude, em função dos parâmetros a e b, a natureza do sistema utilizando a teoria dos determinantes. Resolva-o, pela regra de Cramer,
para valores de a e b para os quais o sistema é possível e indeterminado.
6. Considere o sistema
⎧
⎨ −2x1 + 3x2 − x3 = 0
x1 + 3x3 = 0
⎩
3x1 − x2 + ax3 = b
Determine a e b de forma a que o sistema seja indeterminado e resolva-o
(pela teoria dos determinantes).
7. Considere o sistema em x, y e z seguinte:
⎧
⎨ ax − z = 0
3
x + (a − 1)y = a
⎩ 4
y − b = −z
(a) Escreva-o na forma matricial.
(b) Analise a natureza do sistema pela teoria dos determinantes em
função dos parâmetros a e b.
8. Considere o modelo Keynesiano na sua forma mais simples:
½
Y = C + I0 + G0
C = a + bY
Utilize a regra de Cramer para o cálculo das variáveis endógenas Y e
C.
21
9. Considere o sistema S, de quatro equações a quatro incógnitas (p, q, r
e s), sendo o seu determinante principal
(p)
¯
¯ 1
¯
4 = ¯¯ 0
¯ 0
(q)
0
1
1
(s)
¯
1 ¯¯
0 ¯¯
1 ¯
Considere ainda como não principal a equação (terceira) q +r +s = 2b
e seja
£
1 0 2b a
¤T
a matriz dos termos independentes.
Discuta a natureza de S em função dos parâmetros a e b (reais).
10. Dado o sistema linear em x, y, z e t com parâmetros c, d ∈ R
⎧
⎨ x−y+z =c+d+t
x+y−z−t=c−d
⎩
cx − cz − dt = 4 − dy
(a) Escreva-o na forma matricial.
(b) Discuta a sua natureza para os diferentes valores dos parâmetros
c e d, pela teoria dos determinantes.
(c) Faça c = 1 e d = 0
i. Resolva o sistema utilizando a regra de Cramer.
ii. Verifique, aplicando o teorema de Rouché, se a equação x +
y − z − t = −1 é compatível com o sistema.
11. Considere o sistema em x, y, z e t:
⎧
x+y =m
⎪
⎪
⎨
y + z = −n
z+t=p
⎪
⎪
⎩
x + mt = m
Estude, em função dos parâmetros m, n e p, a natureza do sistema utilizando a teoria dos determinantes. Resolva-o, pela regra de Cramer,
para valores de m, n e p para os quais o sistema é possível e indeterminado.
22
12. Considere o sistema S em x, y, w e t:
⎧
x + w + kt = 0
⎪
⎪
⎨
y+t=1
y + w + kt = 2a
⎪
⎪
⎩
y+w+t=b
Discuta a natureza de S em função dos parâmetros k, a e b (reais) pela
teoria dos determinantes. Resolva-o pela regra de Cramer para o caso
de indeterminado.
13. Considere o seguinte sistema de equações lineares em x, y e z:
⎧
⎨ 2x + 3y − z = β
x + 2y − 2z = 1
⎩
x + αy + z = −1
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Discuta, pela teoria dos determinantes, a natureza do sistema em
função dos parâmetros reais α e β.
(c) Faça α = 1 e β = 0. Resolva o sistema utilizando a regra de
Cramer.
14. Achar os valores reais de k para os quais o sistema
⎧
⎨ x + (k − 1)z = 0
ky + z = 0
⎩
kx + z = 0
tem soluções não nulas. Para um desses valores de K ache a solução
do sistema.
15. Considere o sistema homogéneo em x, y e z (reais):
⎧
⎨ x + ay + a2 z = 0
x + by + b2 z = 0
⎩
x + cy + c2 z = 0
Estude-o, usando determinantes, em função dos parâmetros a, b, e c
(reais).
Resolva-o, usando a regra de Cramer, no caso de indeterminado.
16. Considere o sistema de euações lineares Ax = b e o sistema homogéneo
associado Ax = 0. Mostre que: Se y1 e y2 forem duas soluções do
sistema completo Ax = b então z = y1 − y2 é uma solução do sistema
homogéneo Ax = 0.
23
6.3
Soluções dos Exercícios Propostos
1. (a) Sistema possível Determinado (SPD): (1, 2, 3, 4)
(b) Sistema possível Determinado (SPD): (1, 2, 3)
(c) Sistema Impossível (SI)
(d) Sistema Possível Indeterminado (SPI) com d=1: (0, 0, −t, t) , ∀t
¡
¢
(e) Sistema possível Determinado (SPD): −2, 12 , − 92
(f) Sistema Possível Indeterminado (SPI) com d=1: (3 + z, −2 − 3z,
z), ∀z
2. (a) k 6= −4: Sistema Impossível (SI); k = 4: Sistema possível Determinado (SPD)
(b) k 6= 1 ∧ k 6= −2: SPD; k = 1: SPI (d=1); k = −2: SI
3. m 6= 1: SPI (d=1); m = 1: SPI (d=2).
Para m = 1 tem-se: (−1 + 2z + t, 1 − z − 2t, z, t) , ∀z, t
⎡
⎤⎡ ⎤ ⎡
⎤
1
1 1−m
x
m+2
2 ⎦⎣ y ⎦ = ⎣ 0 ⎦
4. (a) ⎣ m + 1 −1
2
−m
3
z
m+2
|A| = m (m + 2) (m − 2)
(b) m 6= 0 ∧ m 6= ±2: SPD; m = 0: SPI (d=1); m = 2: SI; m = −2:
SPI (d=1)
¡ 1
¢
m+2
i. m−2
, − m+3
,
−
, para m 6= 0 ∧ m 6= ±2;
m−2
m−2
ii. (x, −x, 0) , ∀x, para m = −2;
¢
¡
iii. 1 − 3z2 , 1 + z2 , z , ∀z, para m = 0.
5. a 6= −1 ∧ ∀b: SPD; a = −1 ∧ ∀b: SPI (d=1). Para SPI tem-se
(−1 − w, −w, −b − w, w) , ∀w.
¡
¢
∧ b = 0: como solução tem-se −3x3 , − 5x33 , x3 , ∀x3.
6. a = 22
3
⎡
⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
a
0
−1
x
0
3
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
a−1 0
y = a ⎦
7. (a)
4
0
1
1
z
b
(b) a 6= − 12 ∧ a 6= − 32 ∧ ∀b: SPD; a = − 12 ∧ b = 13 : SPI (d=1);
a = 32 ∧ b = 3: SPI (d=1); a = − 12 ∧b 6= 13 : SI; a = 32 ∧ b 6= 3: SI.
24
8. b 6= 1 (SPD): Y =
I0 +G0 +a
1−b
∧C =
a+b(I0 +G0 )
;
1−b
b = 1 ∧ I0 + G0 + a = 0 (SPI): Y = C − a ∧ ∀C.
9. a = 2b: SPI (d=1); a 6= 2b: SI.
⎡ ⎤
⎡
⎤ x
⎡
⎤
1 −1 1 −1 ⎢ ⎥
c+d
y ⎥ ⎣
⎦
10. (a) ⎣ 1 1 −1 −1 ⎦ ⎢
⎣ z ⎦= c−d
c d −c −d
4
t
(b) d 6= c: SPI (d=1); d = c: SI
(c)
i. (1 + t, −3 + t, −3 + t, t) , ∀t.
ii. A equação é incompatível.
11. m 6= 1 ∧ ∀p ∧ ∀n: SPD; m = 1 ∧ p = −n ∧ ∀n: SPI (d=1); m = 1 ∧ p 6=
−n ∧ ∀n: SI; Quando é SPI a solução é (1 − t, t, −n − t, t) , ∀t.
12. k 6= 1∧∀a∧∀b: SPD; k = 1∧∀a∧b = 2a: SPI (d=1); k = 1∧∀a∧b 6= 2a:
SI; Quando é SPI a solução é (1 − 2a − t, 1 − t, 2a − 1, t) , ∀t.
⎤⎡ ⎤ ⎡
⎡
⎤
x
β
2 3 −1
13. (a) ⎣ 1 2 −2 ⎦ ⎣ y ⎦ = ⎣ 1 ⎦
1 α 1
z
−1
(b) α 6= 1: SPD; α = 1 ∧ β = 0: SPI (d=1); α = 1 ∧ β 6= 0: SI.
(c) SPI (d=1) e a solução é (−4z − 3, 3z + 2, z) ∀z.
14. k = 0 ∨ k =
√
1± 5
2
Para k = 0, a solução é (0, y, 0) , ∀y;
³ √
´
√
√
1+ 5
1− 5
1− 5
z, 2 z, z , ∀z;
Para k = 2 , a solução é
2
³
´
√
√
√
1− 5
1+ 5
1+ 5
Para k = 2 , a solução é
z, 2 z, z , ∀z.
2
15. a 6= b ∧ b 6= c ∧ a 6= c: SPD; a 6= b ∧ (a = c ∨ b = c): SPI (d=1);
a 6= c ∧ (a = b ∨ b = c): SPI (d=1); b 6= c ∧ (a = b ∨ c = a): SPI (d=1);
a = b = c: SPI (d=2)
Para a 6= b ∧ (a = c ∨ b = c), a solução é (abz, − (a + b) z, z) , ∀z
Para a 6= c ∧ (a = b ∨ b = c), a solução é (acz, − (a + c) z, z) , ∀z
Para b 6= c ∧ (a = b ∨ c = a), a solução é (bcz, − (b + c) z, z) , ∀z
Para a = b = c, a solução é (−ay − a2 z, y, z) , ∀y, z.
25
7
Exercícios de Revisão
1.
(a) Prove, aplicando as propriedades que conhece, que
i ¯
¯
1 ³ ´−1 h
. A.Â.A−1 . ¯B T .A−1 ¯ . |A| = I,
. Â
|B|
sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e onde  representa
a matriz adjunta de A.
(b) Resolva a equação matricial em X
¯
¯ x 0 −1
¯
¯ 1 x −1
¯
¯ 1 0 x−1
¯
¯ 0 1 −1
¯
¯ 0 1 −1
1
1
0
x
0
0
0
1
1
x
¯
¯
¯
¯
¯
¯=0
¯
¯
¯
¯
2. Considere a igualdade matricial B −1 X T |A| = B −1 Â − |A| I.
(a) Explicite a matriz X em função das matrizes A e B. Justifique.
(b) Seja a matriz A igual a
⎡
⎤
α 1 α
A=⎣ 1 1 1 ⎦
0 1 1
Calcule para que valores de α se verifica AÂ = I, sem calcular a
matriz adjunta de A (Â).
(c) Para o valor α encontrado na alínea anterior, determine |B −1 |
utilizando exclusivamente as propriedades dos determinantes e
sabendo que B = 2A. Justifique.
3. Sejam A, X e I matrizes quadradas de ordem n, em que I representa
a matriz identidade. Considere que |A| = 3 e que verifica a seguinte
igualdade matricial:
¡
¢T
AX (I + A) − X T AT A = A2 Â,
em que  representa a matriz adjunta de A.
26
(a) Mostre que é falsa a seguinte proposição: AX = X =⇒ A = I.
Que condição deve verificar a matriz X para que a proposição seja
verdadeira?
(b) Calcule |X|.
4. Considere os seguintes determinantes
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
2
1
b
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
a
3
¯ e |B| = ¯
|A| = ¯¯
¯
¯
¯
¯ −1 2 1 b ¯
¯
¯ 2 −1 a 1 ¯
¯
1
5 −1 2 ¯¯
−2 −3 −2 1 ¯¯
1
a
1 a ¯¯
b
3
b 1 ¯
Determine, sem efectuar o cálculo dos determinantes, |A|+|B|, sabendo
que o |B| se obtém de |A|.
5. Considere o seguinte sistema de equações lineares em x, y, z e w
⎧
⎨ y =z−w
ax = b − w
⎩
x − ay + z = a
(a) Escreva-o na forma matricial.
(b) Analise, pela teoria dos determinantes e em função dos parâmetros
a e b, a natureza do sistema.
(c) Para os valores a = 2 e b = 1 resolva o sistema pela regra de
Cramer.
6. Considere o seguinte sistema de equações lineares
⎧
⎨ 4x + 4y − 3z = 0
x+y−z =0
⎩
kx + 2y + 2z = 0
(a) Determine o valor de k por forma a que o sistema tenha solução
não nula. Neste caso, o que conclui sobre a dependência linear das
filas da matriz dos coeficientes do sistema?
(b) Faça k = 2 e resolva o sistema aplicando a regra de Cramer.
27
8
Soluções dos Exercícios de Revisão
1. (b) x = −1
T
2. (a) X = (A−1 ) − B T
(b) α = 2
(c) |B −1 | =
1
8
3. (a) É necessário que X seja regular para admitir inversa.
(b) |X| = |3I| = 3n .|A| + |B| = 0
4. |A| + |B| = 0
5. (b) Se
Se
Se
Se
a 6= 0 ∧ a 6= 1: SPI, d=1.
a = 0: SPI, d=1.
a = 1 ∧ b = 1, SPI, d=2.
a = 1 ∧ b 6= 1, SI.
(c) z = − 32 + 32 w, x =
6. (a) k = 2:
1
2
− 12 w, y = − 32 + 12 w
C1 = C2 e |A| = 0. Linhas linearmente dependentes.
(b) (x, y, z) = (x, −x, 0) , ∀x.
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