Análise do Lugar das Raízes
6.4. Desenhando o Lugar das Raízes com o MATLAB
6.5. Sistema com Realimentação Positiva
6.6. Sistemas Condicionalmente Estáveis
6.7. Sistemas com Retardo de Transporte
Prof. André Marcato
Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição –
Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA
1
Introdução (1)
Aula 2

Dada a equação característica:

A mesma pode ser modificada para:

Que pode ser escrita como:
Introdução (2)
Aula 2
Introdução (3)
Aula 2
Introdução (3)
Aula 2
Exemplo 6.3. (1)
Aula 2
Exemplo 6.3. (2)
Aula 2
Exemplo 6.3. (3)
Aula 2
Exemplo 6.3. (4)
Aula 2
Exemplo 6.3. (5)
Aula 2
Exemplo 6.3. (6)
Aula 2
Exemplo 6.4. (1)
Aula 2
Exemplo 6.4. (2)
Aula 2
Exemplo 6.4. (3)
Aula 2
Exemplo 6.4. (4)
Aula 2
Exemplo 6.4. (5)
Aula 2
Exemplo 6.5. (1)
Aula 2
Exemplo 6.5. (2)
Aula 2
Exemplo 6.5. (3)
Aula 2
Exemplo 6.5. (4)
Aula 2
Lugares com  Constante e Lugares
com ωn constante

No plano complexo, o coeficiente de amortecimento  de um
par de pólos complexos pode ser expresso em termos de um
ângulo , que é medido em relação ao eixo real negativo.

O coeficiente de amortecimento determina a localização
angular dos pólos, enquanto que a distância entre o pólo e a
origem é determinada pela freqüência natural não
amortecida ωn. Os lugares de ωn constantes são círculos.
Aula 2
Traçando Grades Polares no
Gráfico do Lugar das Raízes (1)

Aula 2
Comando sgrid

 = 0 ~ 1 com incremento 0.1

ωn constantes.
Traçando Grades Polares no
Gráfico do Lugar das Raízes (2)
Aula 2
Traçando Grades Polares no
Gráfico do Lugar das Raízes (3)
Aula 2
Traçando Grades Polares no
Gráfico do Lugar das Raízes (4)

Aula 2
São traçadas determinadas linhas com 
constante (0,5 e 0,707) e determinados
círculos com ωn constante (0,5 e 1).
Traçando Grades Polares no
Gráfico do Lugar das Raízes (5)
Aula 2
Traçando Grades Polares no
Gráfico do Lugar das Raízes (6)
Aula 2
Traçando Grades Polares no
Gráfico do Lugar das Raízes (7)
Aula 2
Traçando Grades Polares no
Gráfico do Lugar das Raízes (8)
Aula 2
Ortogonalidade do Lugar das Raízes
e Lugares de Ganho Constante (1)

Considere o sistema cuja função de transferência de
malha aberta é G(s)H(s).

No plano G(s)H(s):



Aula 2
|G(s)H(s)| = constante: Círculos com centro na origem
G(s)H(s) = ±180o(2k+1), onde (k = 0,1,2,...) se situam
no eixo real negativo.
Como os lugares de fase constante e ganho constante
são ortogonais no plano G(s)H(s), os lugares das raízes e
os lugares de ganho constante no plano s são ortogonais.
Ortogonalidade do Lugar das Raízes
e Lugares de Ganho Constante (2)
Aula 2
Ortogonalidade do Lugar das Raízes
e Lugares de Ganho Constante (3)
Aula 2
Ortogonalidade do Lugar das Raízes
e Lugares de Ganho Constante (4)
Aula 2
Determinando o Valor do Ganho K em um
Ponto Arbitrário no Lugar das Raízes
Aula 2
Exemplo 6.6. (1)
Aula 2
Exemplo 6.6. (2)
Aula 2
Exemplo 6.6. (3)
Aula 2
Sistema de Fase Não Mínima (1)

Se todos os pólos e zeros de um sistema
estiverem localizados no semiplano
esquerdo do plano s, o sistema será
chamado de fase mínima.

Se tiver pelo menos um pólo ou um zero
no semiplano direito do plano s, então o
sistema será chamado de fase não mínima.
Aula 2
Sistema de Fase Não Mínima (2)
Aula 2
Sistema de Fase Não Mínima (3)
Aula 2
Sistema de Fase Não Mínima (4)
Aula 2
Sistema de Fase Não Mínima (5)
Aula 2
Sistema com Realimentação
Positiva
Aula 2
FT Malha Fechada Interna
Equação pode ser resolvida por método análogo ao utilizado para
realimentação negativa. Só ocorre alteração na condição de ângulo
Módulo
Aula 2
Ângulo
Regras Modificadas (1)
Aula 2
Regras Modificadas (2)
180o
Aula 2
Exemplo (1) – Regra 1
Aula 2
Exemplo (2) – Regra 2
Aula 2
Exemplo (3) – Regra 3
Aula 2
Exemplo (4) – Regra 4
Aula 2
OK!
Não satisfazem condição angular. Não
são pontos de partida nem de chegada.
Exemplo (5)
Aula 2
Exemplo (6)
Aula 2
Comparação
Realimentação
Positiva
Aula 2
Realimentação
Negativa
Comparação dos Gráficos Realimentação Positiva e Negativa(1)
Aula 2
Comparação dos Gráficos Realimentação Positiva e Negativa(2)
Aula 2
Sistemas Condicionalmente
Estáveis
Aula 2
Sistemas Condicionalmente
Estáveis
Aula 2
Lugar das Raízes com Sistema de
Retardo de Transporte (ou tempo morto)
Aula 2
Retardo do Transporte (ou tempo
morto) (1)
Tempo Morto
Aula 2
Retardo do Transporte (ou tempo
morto) (2)
Aula 2
Retardo do Transporte (ou tempo
morto) (3)
Aula 2
Retardo do Transporte (ou tempo
morto) (4)
k=0
w=0
s 1  180
w=w1
s 1  180  57,3 w1T
o
o
jw
o
w1
180º 57,3w
º1T
180
w2
57,3w2T
s
-1
º-180
º-180
57,3w2T
57,3w1T
Aula 2
w2
w1
Retardo do Transporte (ou tempo
morto) (5)
Aula 2
Retardo do Transporte (ou tempo
morto) (6)
RAMO DOMINANTE. OS OUTROS RAMOS NÃO SÃO TÃO
IMPORTANTES E PODEM SER DESPREZADOS.
Aula 2
Retardo do Transporte (ou tempo
morto) (7)
1
Aula 2
Aproximação do Retardo de
Transporte ou Tempo Morto
Aula 2
Aproximação do Tempo Morto com
o Matlab
Aula 2
Aproximação do Tempo Morto com
o Matlab
Aula 2