SISTEMAS DE CONTROLE I - ELC 418
Prfof. Hélio Leães Hey
1 a LISTA DE EXERCÍCIOS

+∞
1. Usando a definição de Transformada de Laplace  L[ f ( t )] =
a)

−4 t
b) f ( t ) = e
f ( t ) = u ( t − 2,5)
∫ f (t )e
0
− st

dt  , obtenha a F(s) das seguintes funções:

c) f ( t ) = t
2) Dadas as funções abaixo, determine as suas transformadas de Laplace. Todas as funções são válidas para “t>0”.
a) f ( t ) = t ⋅ e
b) f ( t ) = −5 cos t
−3 t
f ( t ) = t 2 ⋅ sen wt
−0 , 4 t
d) f ( t ) = e
⋅ cos 12 t
−t
e) f ( t ) = 3te
c)
f) f ( t )
= 5 cos( 4 t + 30 ° )
f ( t ) = 6e − 2 t sen( t − 45° )
f ( t ) = sen( wt + α )
i) f ( t ) = 0,03 ⋅ (1 − cos 2 t )
j) f ( t ) = sen( 4t + π 3)
3
k) f ( t ) = t − 2t + 1
l) f ( t ) = t sen 3t
g)
h)
= 3 ⋅ sen(5t + 45° )
2
− at
n) f ( t ) = t ⋅ e
−2 t
o) f ( t ) = 3e
+ 4e − t cos( 3t + 4) + te − t
−0 , 5 t
p) f ( t ) = 7e
cos 3t
m) f ( t )
3) Dadas as funções abaixo, determine as suas transformadas inversas de Laplace.
1
s( s + 1)
5
d) F( s) =
s( s + 1)( s + 2 )
3
g) F( s) =
( s + 1)( s + 2)
10s
j) F( s) = 2
s + 5s + 4
a)
F( s) =
b)
F( s) =
s+1
s( s + s + 1)
2
5s + 2
( s + 1)( s + 2) 2
s − 30
h) F( s) =
2
s( s + 4s + 29)
3
k) F( s) =
( s − 1)( s + 2)
e)
F( s) =
4) Dada a transformada de Laplace
F( s) =
6s + 3
s2
1
f) F( s) = 2 2
s (s + w 2 )
2s + 1
i) F( s) = 2
s + 2s + 10
3s + 4
l) F( s) = 2
s + 3s + 2
c)
F( s) =
s+ 5
s + 4s + 13
2
a) Expresse a transformada inversa de Laplace em duas funções exponenciais complexas.
b) Manipule o resultado de a) para a forma
f ( t ) = Be − at sen( bt + φ )
c) Expresse a transformada inversa para a forma
f ( t ) = Ae − at cos( bt + φ )
5) O seno e o coseno hiperbólico são definidos como:
senh bt =
e bt − e − bt
e bt + e − bt
; cosh bt =
2
2
Faça a transformada de Laplace para essas duas funções. Expresse-as em funções racionais.
6) Faça a representação gráfica de f(t) sendo a sua transformada de Laplace :
F( s) =
e − t 1s − e − t 2 s
, t 2 > t 1;
s
A função f(t) é um pulso rectangular. Faça a transformada de Laplace para o pulso triangular do gráfico abaixo:
7) Dado f(t)
= 4 e −2
( t− 3)
,
df ( t ) 
L
dt  da derivada de f(t) e use a tabela das transformadas de Laplace.
 df ( t )  , usando o teorema da derivação.
b) Faça L
dt 

a) Faça
c) Repita (a) e (b) para a função
f(t) = 4 e −2 ( t − 3 ) u( t − 3) .
8) Faça a transformada de Laplace de:
(
)
f 1 (t) = 5 e −2 t −1
− 2 (t −1)
b) f 2 (t ) = 5 e
u(t − 1)
a)
c) Represente graficamente as duas funções.
d) Pôr que são duas transformadas diferentes?
F(s) =
9) A transformada de Laplace de uma função é:
a) Faça a transformada inversa de
3 s+ 4
s + 3s + 2
2
df ( t )
dt
t
b) Faça a transformada inversa de
∫ f(τ )dτ
0
c) Verifique o resultado de (a) e (b) fazendo a transformada inversa de f(t), realizando as operações indicadas.
10) Dados f 1 (t)
a) Resolva
b) Resolva
c)
= e − t e f 2 (t) = sen(10 t)
L[ f 1 (t)] ⋅ L[ f 2 (t) ] = F1 (s) ⋅ F2 (s)
L[ f 1 (t) ⋅ f 2 (t)] = F12 (s)
L[ f 1 (t) ] ⋅ L[ f 2 (t) ] = L[ f 1 (t) ⋅ f 2 (t)] ⇒ ?
t
[ F (s) ⋅ F (s)] = ∫ f (t − τ ) f (τ) d τ para fazer a transformada inversa do resultado da letra (a).
e) Verifique o resultado de (d) fazendo diretamente L [ F (t) ⋅ F (t)] .
d) Use a propriedade
−1
L
1
2
1
2
0
−1
1
2
d 2x
dx
11) Dada a equação diferencial
+ 4 x = 10u( t )
2 +5
dt
dt
x( t ) para as condições iniciais iguais a zero.
b) Resolva x( t ) para x( 0) = 1 e x
& ( 0) = 1 . Depois, utilize essa equação para resolver x( 0) e x& ( 0)
a) Resolva
12) Dada a equação diferencial
a) Resolva
d 2x
dx
+ x = 5, t ≥ 0
2 +2
dt
dt
x( t ) para as condições iniciais iguais a zero.
b) Resolva
x( t ) para x( 0) = 0 e x& ( 0) = 2 . Depois, utilize essa equação para resolver x( 0) e x& ( 0) .
15) Ache a função de transferência
C(s) R( s) para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais abaixo.
a) &&
c( t ) + 2c ( t ) = r ( t )
b) &&
c( t ) + 2c& ( t ) = r ( t − t 0 ) ⋅ u( t − t 0 ) + 3r& ( t )
c) &&&
c ( t ) + 3&&c( t ) + 2c& ( t ) + c( t ) = r& ( t ) + 3r ( t )
16) As equações L
[ k ⋅ f ( t)] = kF(s) e L[ f 1 ( t ) + f 2 ( t )] = L[ f 1 ( t )] + L[ f 2 ( t) ] = F1 ( s) + F2 (s) ilustra as propriedades
lineares da Transformada de laplace. Estes problemas ilustrativos abaixo demonstram certas propriedades lineares ou a nãolinearidade de certas operações.
a) Dado f 1 ( t ) =
e − t , resolva F1 ( s) = L[ f 1 ( t )] e L[f 12 ( t ) ] .
L[ f 12 ( t ) ] = [ F1 ( s)] ?; isto é, a transformada de Laplace do quadrado da função temporal é igual ao quadrado da
2
b) Em (a), é
transformada de Laplace desta mesma função?
 f ( t)

e − t e f 2 ( t ) = e −2 t , resolva F1 (s) , F2 ( s) e L 1 f ( t )  .
2
 f ( t)
 F1 (s)
d) Em (c), é L 1
f 2 ( t )  =

F2 ( s) ?; isto é, a transformada de laplace de um quociente de duas funções temporais é
c) Dados f 1 ( t ) =
igual ao quociente das transformadas de laplace destas funções?
17) Dadas as funções abaixo, determine as suas transformadas de Laplace.
a)
b)
c)
d)
e)
f)