Sinais e Sistemas
Mecatrónicos
Transformadas de Laplace
K. Ogata, Modern Control Engineering, Prentice-Hall
José Sá da Costa
P1 – Transformada de Laplace
1
Definição
Definição
L [f (t)] = F (s)
=
=
lim
!
T
ε→0,T →∞ ε
! ∞
−st
f (t)e
f (t)e−st dt,
0<ε<T
dt
0
f (t): função real de variável t, definida para t > 0
s = σ + jω : variável complexa
ε → 0: útil para funções descontínuas em t = 0
P1 – Transformada de Laplace
Electrónica & Instrumentação – p.1/
2
Propriedades
Propriedadesdas
dasTransformadas
Transformadas
L [Af (t)] = AF (s)
L [f1 (t) ± f2 (t)] = F1 (s) ± F2 (s)
d
L± [ dt
f (t)] = sF (s) − f (0±)
!n
dn
n
L± [ dtn f (t)] = s F (s) − k=1 sn−k f (k−1) (0±)
"
"
F (s)
1
L± [ f (t)dt] = s + s [ f (t)dt]t=0±
"
"
L± [ · · · f (t)(dt)n ] =
"
"
!n
F (s)
1
k]
+
[
·
·
·
f
(t)(dt)
n
t=0±
n−k+1
k=1 s
s
"t
L [ 0 f (t)dt] = F (s)
s
P1 – Transformada de Laplace
3
Propriedades das
das Transformadas
Transformadas
Propriedades
!∞
0
f (t)dt = lims→0 F (s) se
L [e−at f (t)] = F (s + a)
!∞
0
f (t)dt existir
L [f (t − α)1(t − α)] = e−αs F (s),
L [tf (t)] = − dFds(s)
L [tn f (t)]
=
dn
n
(−1) dsn F (s),
α≥0
n = 1, 2, 3, · · ·
P1 – Transformada de Laplace
4
Teoremas
do
Valor
Final
e
Inicial
Teorema do Valor Final e Inicial
Teorema do Valor Final: se f (t) e df (t)/dt tiverem
transformada de Laplace, se F (s) = L [f (t)] e se
limt→∞ f (t) existir, então
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
Teorema do Valor Inicial: se f (t) e df (t)/dt tiverem
transformada de Laplace, se F (s) = L [f (t)] e se
lims→∞ sF (s) existir, então
f (0+) = lim sF (s)
s→∞
P1 – Transformada de Laplace
5
Transformada Inversa
Transformada Inversa
L −1 [F (s)] = f (t)
1
=
2πj
!
c+j∞
F (s)est dt
c−j∞
c: constante real maior que as partes reais de todos
os pontos singulares de F (s)
P1 – Transformada de Laplace
6
Electrónica & Instrumentação – p
Tabela de Transformadas
Tabela de Transformadas
f (t)
F (s)
1
Impulso unitário δ(t)
1
2
Degrau unitário 1(t)
3
t
1
s
1
s2
n!
5
tn ,
(n = 1, 2, 3, · · · )
6
7
e−at
tn e−at ,
(n = 1, 2, 3, · · · )
sn+1
1
s+a
n!
(s+a)n+1
P1 – Transformada de Laplace
7
Electrónica & Instrumentação – p
Tabela
de
Transformadas
Tabela de Transformadas
f (t)
F (s)
10
sin ωt
s2 +ω 2
11
cos ωt
s2 +ω 2
12
sinh ωt
14
15
16
1
a (1
− e−at )
1
−at − e−bt )
(e
b−a
1
−bt − ae−at )
(be
b−a
ω
s
ω
s2 −ω 2
1
s(s+a)
1
(s+a)(s+b)
s
(s+a)(s+b)
P1 – Transformada de Laplace
8
Tabela
de Transformadas
Tabela
de Transformadas
17
18
19
20
f (t)
F (s)
1
1
−at − ae−bt )]
[1
+
(be
ab
a−b
1
−at − ate−at )]
(1
−
e
2
a
1
−at )]
(at
−
1
+
e
2
a
e−at sin ωt
1
s(s+a)(s+b)
1
s(s+a)2
1
2
s (s+a)
ω
(s+a)2 +ω 2
s+a
(s+a)2 +ω 2
2
ωn
2
s2 +2ξωn s+ωn
21
22
√ωn
1−ξ
e−at cos ωt
!
−ξω
t
2t
n
e
sin
ω
1
−
ξ
n
2
P1 – Transformada de Laplace
9
Tabela
de Transformadas
Tabela
de Transformadas
f (t)
23
24
25
−√
1−
1
e−ξωn t
2
1−ξ
√1
1−ξ
!
ξ2 t
tan−1
1−ξ2
ξ
1−
− φ), φ =
√
!
1−ξ2
−1
t
−ξω
2 t + φ), φ = tan
n sin(ω
e
1
−
ξ
n
ξ
2
sin(ωn
1 − cos ωt
26
ωt − sin ωt
27
sin ωt − ωt cos ωt
28
F (s)
√
1
t sin ωt
2ω
P1 – Transformada de Laplace
s
2
s2 +2ξωn s+ωn
2
ωn
2)
s(s2 +2ξωn s+ωn
ω2
s(s2 +ω 2 )
3
ω
s2 (s2 +ω 2 )
2ω 3
(s2 +ω 2 )2
s
(s2 +ω 2 )2
10
Solução
Diferenciais
Solução de
de Equações
Equações Diferenciais
Exemplo: Obter solução x(t) da equação diferencial
ẍ + 3ẋ + 2x = 0, com x(0) = a e ẋ(0) = b
Solução:
Transformada Laplace ⇒ solução X(s)
L [ẍ + 3ẋ + 2x] =
s2 X(s) − sx(0) − ẋ(0) + 3[sX(s) − x(0)] + 2X(s)
P1 – Transformada de Laplace
11
Solução de Equações Diferenciais
Solução de Equações Diferenciais
s2 X(s) − sa − b + 3sX(s) − 3a + 2X(s) = 0
as + 3a + b
as + 3a + b
X(s) = 2
=
s + 3s + 2
(s + 1)(s + 2)
Transformada Laplace Inversa ⇒ solução x(t)
s
1
X(s) = a
+ (3a + b)
(s + 1)(s + 2)
(s + 1)(s + 2)
= k1 F1 (s) + k2 F2 (s) → ver tabelas
P1 – Transformada de Laplace
12
Electrónica & Instrumentação – p.1
Solução de Equações Diferenciais
Solução de Equações Diferenciais
Recorrendo às tabelas anteriores:
!
"
s
1
−1
L
=
(βe−βt − αe−αt )
(s + α)(s + β)
β−α
"
!
1
1
−1
=
(e−αt − e−βt )
L
(s + α)(s + β)
β−α
obtém-se para α = 1 e β = 2:
x(t) = (2a + b)e−t − (a + b)e−2t , t ≥ 0
P1 – Transformada de Laplace
13
Electrónica & Instrumentação – p.
Expansão
em
Expansão
emFracções
FracçõesParciais
Parciais
(s)
Se a função G(s) = N
D(s) não existir nas tabelas, é
necessário desenvolver em fracções parciais.
1. Factorizar D(s) = (s + a1 )(s + a2 ) · · · (s + an ), com −ai
(a) raízes reais distintas
(b) raízes complexas conjugadas
(c) raízes reais de multiplicidade r > 1
P1 – Transformada de Laplace
14
Expansão
em
Fracções
Expansão
em
FracçõesParciais
Parciais
2. Expansão em fracções parciais
(a) D(s) apenas com raízes reais distintas
α1
α2
αn
N (s)
=
+
+ ··· +
D(s)
s + a1 s + a2
s + an
(b) D(s) com 2 raízes complexas conjugadas e raízes
reais distintas
N (s)
α1 s + α2
α3
αn
=
+
+ ··· +
D(s)
(s + a1 )(s + a2 ) s + a3
s + an
P1 – Transformada de Laplace
15
Expansão
em
Expansão
emFracções
FracçõesParciais
Parciais
(c) D(s) com raiz real de multiplicidade r > 1 e raízes
reais distintas
N (s)
β1
βr
α2
αn
=
+ ··· +
+
+ ··· +
r
D(s)
s + a1
(s + a1 )
s + a2
s + an
P1 – Transformada de Laplace
16
Expansão
em
Fracções
Parciais
Expansão em Fracções Parciais
3. Cálculo dos resíduos das raízes
(a) D(s) apenas com raízes reais distintas
"
!
N (s)
(s + ak )
= αk
D(s)
s=−ak
(b) D(s) com 2 raízes complexas conjugadas e raízes
reais distintas
!
"
N (s)
(s + a1 )(s + a2 )
= [α1 s + α2 ]s=−a1
D(s)
s=−a1
P1 – Transformada de Laplace
17
Expansão
Expansãoem
emFracções
FracçõesParciais
Parciais
(c) D(s) com raiz real de multiplicidade r > 1 e raízes
reais distintas
! r−k "
#$
N (s)
1
d
r
βk =
(s
+
a
)
, 1≤k ≤r−2
1
r−k
(r − k)! ds
D(s)
s=−a1
···
#$
! "
d N (s)
(s + a1 )r
βr−1 =
ds D(s)
s=−a1
!
$
N (s)
βr =
(s + a1 )r
D(s)
s=−a1
P1 – Transformada de Laplace
18
Electrónica & Instrumentação – p.17
Expansão em Fracções Parciais
Expansão em Fracções Parciais
Exemplo:
Exemplo: Calcule
Calcule a
a Transformada
Transformada de
de Laplace
Laplace Inversa
Inversa da
da
função
função
2s
+
12
2s
+
12
F
(s)
=
F (s) = (s22 + 2s + 5)(s + 2)
(s + 2s + 5)(s + 2)
Resolução:
Resolução:
1.
1. Pólos
Pólos do
do denominador
denominador
λ
= −a 1,2 =
λ1,2
= −1
−1 ±
± 2j,
2j,
1,2 = −a1,2
√
√
ω
rad/s,, ξξ =
=
ωnn =
= 55 rad/s
11
√
√
55
λ
λ33 =
= −a
−a33 =
= −2
−2
P1 – Transformada de Laplace
19
Electrónica & Instrumentação – p.18
Electrónica & Instrumentação – p.18
Expansão
em
Fracções
Parciais
Expansão em Fracções Parciais
2. Expansão em fracções parciais:
N (s)
α1 s + α2
α3
F (s) =
= 2
+
D(s)
s + 2s + 5 s + 2
3. Cálculo dos resíduos
"
!
N (s)
(s + a3 )
= α3
α3 :
D(s)
s=λ3
#
2s + 12 ##
8
α3 = 2
=
#
s + 2s + 5 s=−2 5
P1 – Transformada de Laplace
20
Expansão em Fracções Parciais
Expansão em Fracções Parciais
α1 , α2 :
!
"
N (s) 2
(s + 2s + 5)
= [α1 s + α2 ]s=λ1
D(s)
s=λ1
#
2s + 12 ##
= α1 (−1 − 2j) + α2
#
s+2
s=−1−2j
10 − 4j = −α1 − 4α1 + α2 − 2α2 j
8
α1 = − ,
5
α2 = 2
P1 – Transformada de Laplace
21
Expansão em Fracções Parciais
Expansão em Fracções Parciais
8
− 85 s + 2
F (s) = 2
+ 5
s + 2s + 5 s + 2
8
s
2
5
8 1
=−
+ 2
+
2
5 !s + "#
2s + 5$ 5 !s + "#
2s + 5$ 5 !s "#
+ 2$
23
22
%
6
'
&
1
8
−ξωn t
−&
e
sin(ωn 1 − ξ 2 t − φ) +
f (t) = −
5
1 − ξ2
&
2 ωn
8 −2t
−ξωn t
2
&
e
sin(ωn 1 − ξ t) + e
2
5 1−ξ
5
P1 – Transformada de Laplace
22
Electrónica & Instrumentação – p