Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 16 – GRAVITAÇÂO
23. O problema seguinte foi apresentado na “Olimpíada” da Universidade Pública de Moscou, em
1946 (veja a Fig. 40): Numa esfera de chumbo de raio R, faz-se uma cavidade esférica de tal
modo que a sua superfície toca a superfície externa da esfera de chumbo e passa pelo centro
desta. A massa da esfera antes que a cavidade fosse feita era M. Com que força, de acordo com
a lei da gravitação universal, a esfera de chumbo irá atrair uma pequena esfera de massa m, que
está à distância d do centro da esfera de chumbo, sobre uma linha reta que une os centros das
esferas e da cavidade?
(Pág. 52)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
d - R/2
R
m
F
R/2
A simetria esférica e o alinhamento dos corpos permitem a solução do problema por diferença. Ou
seja, podemos calcular a força gravitacional exercida pela esfera sem a cavidade (F1) e a força
gravitacional (F2) que a cavidade exerceria caso fosse uma esfera de raio R/2, localizada a uma
distância d − R/2 da massa m. Logo:
(1)
F= F1 − F2
O módulo de F1 vale:
GMm
F1 =
d2
Agora vamos calcular o módulo de F2. A massa M da esfera grande vale:
(2)
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 16 – Gravitação
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Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
4
M ρ=
V ρ π R3
=
3
A massa M’ da esfera pequena vale:
3
4 R
4
1
M ρ=
=
π   ρ π R3
3 2
3
8
'
M' =
M
8
Portanto:
M 
G m
1 GMm
 8 
F2 =
=
2
2
8
R
R

d − 
d − 
2
2


Substituindo-se (2) e (3) em (1):
(3)




GMm 1 GMm
1
1


−
=
F=
GMm 2 −
2
2
d
8
d2
R
R

 
8 d −  

d − 
2
2 







GMm 
1

F
1−
=
2
d2 
R

 
 8 1 −
 
 2d  

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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 16 – Gravitação
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