UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA REGIONAL DE CHAPECÓ
CENTRO TECNOLÓGICO
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS
E APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS
Paulo Roberto Simon
Chapecó
novembro 2006
2
PAULO ROBERTO SIMON
COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS
E APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS
Trabalho de Estágio Supervisionado II, apresentado ao Curso de
Engenharia Civil da Universidade Comunitária Regional de
Chapecó, como parte dos requisitos para obtenção de graduação em
Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Rodnny Jesus Mendoza Fakhye
Chapecó
novembro 2006
3
Dedico este trabalho a minha família, aos meus colegas e
amigos.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço a minha família que possibilitou a minha total dedicação aos meus estudos para
alcançar os resultados esperados.
Agradeço ao Prof. Rodnny Jesus Mendoza Fakhye, orientador deste trabalho, pelo tempo que
dedicou a me orientar nesse estudo, pelas dicas e explicações e também pelos materiais
cedidos, que foram de grande importância no desenvolvimento do trabalho.
Agradeço ao Prof. Mauro Leandro Menegotto, pelas dicas de formatação do trabalho.
5
Há muitas maneiras de avançar, mas só uma maneira de
ficar parado.
Franklin D. Roosevelt
6
RESUMO
SIMON, P.R. Comparação de Métodos de Cálculo Analíticos e Aproximados de Lajes Bidimensionais. 2006. 78 p. Relatório de Estágio Supervisionado II (Graduação em Engenharia
Civil) – Universidade Comunitária Regional de Chapecó, UNOCHAPECÓ, Chapecó, 2006.
As lajes armadas em cruz (bi-dimensionais) são aquelas que apresentam relação entre o
vão maior e o vão menor não superior a 2. Os momentos fletores nas duas direções são
importantes, o cálculo dos esforços deve ser feito levando-se em conta sua flexão biaxial, o
que aumenta a complexidade do problema. Neste trabalho é feito comparações dos resultados
dos momentos fletores máximos obtidos utilizando o Método de Marcus, Método de Czerny e
o programa GiD Plus (Método dos Elementos Finitos) em placas de dimensões variadas e de
diferentes condições de apoio, com a Solução Analítica proposta por Timoshenko. Nestas
comparações observou-se que o Método de Czerny apresentou bons resultados e sua
utilização é bastante simples e rápida, o Método de Marcus apresentou resultados um pouco
dispersivos e possui dificuldade quanto o uso das tabelas, fazendo variar, laje por laje, o que
seja direção x e direção y podendo com isso confundir o calculista e o programa GiD Plus que
utiliza o método das elementos finitos, apresentou resultados relativamente bons, para malhas
com número de elementos maiores.
Palavra-chave: Comparação de métodos, Cálculo Analíticos e Aproximados de Lajes Bidimensionais.
7
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................
09
1.1 TEMA..................................................................................................................................................
09
1.2 PROBLEMA.....................................................................................................................................
09
1.3 HIPÓTESES NA LITERATURA...............................................................................................
10
1.4 OBJETIVOS......................................................................................................................................
10
1.4.1 OBJETIVO GERAL.................................................................................................................
10
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS...............................................................................................
10
1.5 METODOLOGIA............................................................................................................................
10
2 COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS E
APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS...........................................................
2.1 MÉTODOS DE CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES EM
PLACAS..................................................................................................................................................
2.1.1 MÉTODOS APROXIMADOS.............................................................................................
11
2.1.1.1 Teoria das Grelhas....................................................................................................................
11
2.1.1.2 Fórmula Empírica de A. Mesnanager (placa apoiada)..........................................
12
2.1.1.3 Résal e Conselho Geral das Pontes e Estradas (1912) (placa apoiada).................
13
2.1.1.4 Fórmulas Empíricas de Pigeaud (1921) (placa apoiada articulada)......................
14
2.1.1.5 Método de Chaudy (1925).....................................................................................
15
2.1.1.6 Método de Marcus.................................................................................................
16
2.1.2 SOLUÇÀO ANALÍTICA......................................................................................
17
2.1.2.1 Fórmulas de Navier (carga distribuída).................................................................
17
2.1.2.2 Fórmulas de Résal (1912).....................................................................................
18
2.1.2.3 Fórmulas de Mesnager (1916)...............................................................................
18
2.1.2.4 Método de Ch. Dubas (1916)................................................................................
19
2.1.2.5 Teoria das Linhas de Ruptura................................................................................
20
2.1.3 MÉTODOS NUMÉRICOS....................................................................................
20
2.1.3.1 Método de Czerny..................................................................................................................
20
2.1.3.2 Método das Diferenças Finitas..............................................................................
20
2.1.3.3 Método dos Elementos Finitos..............................................................................
21
2.1.3.4 Programa GiD plus................................................................................................
21
2.2 Aplicação dos Métodos e Resultados Alcançados......................................................
23
2.2.1 Métodos utilizados..................................................................................................
23
2.2.2 Placas utilizadas......................................................................................................
23
2.2.3 Metodologia de aplicação das placas....................................................................
24
11
11
2.2.4 Resultados obtidos com o Método de Marcus.....................................................
25
2.2.4.1 Metodologia obtenção dos momentos utilizando a tabela de Marcus...................
25
2.2.4.2 Momentos obtidos.................................................................................................
26
2.2.5 Resultados obtidos com o Método de Czerny......................................................
28
2.2.5.1 Metodologia obtenção dos momentos utilizando a tabela de Czerny...................
28
2.2.5.2 Momentos obtidos.................................................................................................
29
2.2.6 Resultados obtidos com a Solução Analítica........................................................
31
2.2.6.1 Metodologia obtenção dos momentos utilizando a Solução Analítica.................
31
2.2.6.2 Momentos obtidos.................................................................................................
32
2.2.7 Resultados obtidos com o GiD Plus......................................................................
34
2.2.7.1 Metodologia obtenção dos momentos utilizando o GiD Plus...............................
34
2.2.7.2 Resultados dos momentos obtidos utilizando o GiD Plus.....................................
34
2.2.7.3 Gráficos de momentos gerados pelo GiD Plus......................................................
46
2.2.8 Comparação dos resultados obtidos com o Método de Marcus e Método de
Czerny com a Solução Analítica................................................................................
59
2.2.9 Comparação dos resultados obtidos com o GiD Plus com a Solução Analítica
73
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................................
77
REFERÊNCIAS..............................................................................................................
78
ANEXO 01 – TABELA DE MARCUS..........................................................................
79
ANEXO 02 – TABELA DE CZERNY...........................................................................
80
ANEXO 03 – TABELA DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS PROPOSTAS POR
TIMOSHENKO..........................................................................................................
81
9
1 INTRODUÇÃO
Uma laje ou placa é caracterizada por duas dimensões: sua largura, seu comprimento,
amplamente preponderantes em relação à terceira dimensão, a espessura.
Estes elementos são bastante utilizados na construção de pisos.
A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no andar, provenientes do
uso da construção (pessoas, móveis e equipamentos), e transferi-los para os apoios. Nos
edifícios usuais, as lajes maciças têm grande contribuição no consumo de concreto,
aproximadamente 50% do total.
Para o dimensionamento destes elementos em concreto armado é necessário o cálculo dos
momentos fletores, e suas deformações.
As lajes armadas em cruz (bi-dimensionais) são aquelas que apresentam relação entre o
vão maior e o vão menor não superior a 2. Os momentos fletores nas duas direções são
importantes, o cálculo dos esforços deve ser feito levando-se em conta sua flexão biaxial, o
que aumenta a complexidade do problema.
Existem, basicamente, três tipos de vínculo de bordas das lajes: borda livre, borda
simplesmente apoiada e borda engastada.
1.1 TEMA
Comparação de Métodos de Cálculo Analíticos e Aproximados de Lajes Bi-dimensionais de
Concreto Armado.
1.2 PROBLEMA
Qual a precisão dos métodos aproximados de cálculo estrutural utilizados no
dimensionamento?
10
1.3 HIPÓTESES NA LITERATURA
•
Que métodos são os mais adequados?
•
Para que tipo de problema os métodos tem precisão suficiente?
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GERAL
Determinar os métodos mais adequados para o cálculo de placas de concreto armado.
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
a) Verificar a precisão dos métodos aproximados para análise de placas;
b) Verificar a precisão dos métodos numéricos para análise de placas.
1.5 METODOLOGIA
Primeiro levantamento dos métodos.
Será realizada a análise estrutural para diversas condições de apoio e dimensões.
Será feita uma análise comparativa dos métodos, tentando identificar quais são os mais
adequados.
11
2 COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS E
APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS
2.1 MÉTODOS DE CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES EM PLACAS
Segundo Trautwein (2006), o cálculo das lajes pode ser feito por dois métodos: o elástico e o
plástico. O cálculo elástico dos esforços solicitantes pode ser feito pela teoria clássica de
placas delgadas (Teoria de Kirchhoff), supondo material homogêneo, isótropo, elástico e
linear. No cálculo plástico podem ser utilizadas tabelas, como as de Czerny, obtidas por
diferenças finitas.
2.1.1 MÉTODOS APROXIMADOS
Segundo Guerrin (19--), os métodos aproximados utilizado para o cálculo das lajes, são
obtidos da comparação com vigas, ou do método de equalização das flechas de Chaudy,
utilizando um coeficiente de efeito de placa.
2.1.1.1 Teoria das Grelhas
Conforme Araújo (2003), o método é destinado ao cálculo das lajes retangulares. Considerase, a laje simplesmente apoiada nos quatro lados. A laje é submetida a uma carga p
uniformemente distribuída por unidade de área. Os vãos são lx e ly. Consideram-se duas faixas
de largura unitária, uma em cada direção, as quais se cruzam no centro da laje. A carga total p
é dividida nos quinhões de carga px e py, correspondentes às direções x e y. Os quinhões de
carga devem obedecer à relação:
p = px + py
A flecha no centro da laje tem um valor único:
(1)
12
wx = w y
(2)
Definindo a relação entre os vãos como:
λ = l y lx
(3)
Segundo Araújo (2003), os quinhões de carga dependem apenas da relação entre os vãos da
laje. Conhecidos esses quinhões, pode-se calcular os momentos fletores nas duas direções:
Mx =
p x l x2
8
(4)
substituindo p x = k x p , resulta
M x = m x pl x2 ; m x = k x 8
(5)
e o momento máximo na direção y pode ser escrito na forma
M y = m y pl x2 ; m y = k y λ2 8 (6)
Nas expressões dos momentos fletores, o termo comum é pl x2 . Os coeficientes adimensionais
mx e my dependem apenas do parâmetro λ (relação entre os vãos da laje).
Araújo (2003), diz que a teoria das grelhas, é uma simplificação grosseira do comportamento
das lajes. A rigidez à torção da laje é desprezada e os efeitos da torção podem ser visualizados
considerando-se a situação, onde a faixa da direção y não passa pelo centro da laje. As
deflexões wx da faixa x provocam um giro de torção θ na faixa y. A rigidez à torção desta
faixa faz com que as deflexões sejam reduzidas e, haverá uma redução dos momentos fletores.
2.1.1.2 Fórmula Empírica de A. Mesnanager (placa apoiada)
Segundo Guerrin (19--), o coeficiente de efeito placa é obtido pela seguinte expressão:
α=
1
2,35
1+
ρ³
(7)
13
onde:
= coeficiente de efeito placa;
= b/a
b = lado maior da placa;
a = lado menor da placa.
2.1.1.3 Résal e Conselho Geral das Pontes e Estradas (1912) (placa apoiada)
Figura 01: retângulo concêntrico (GUERRIN, 19--).
Neste caso, o coeficiente de efeito placa depende da distribuição da carga:
carga distribuída uniformemente:
α=
1
1+
1
1
+ 4
ρ² ρ
(8)
14
carga concentrada no meio:
1
ρ²
α=
5
3+
ρ²
1+
(9)
onde:
= coeficiente de efeito placa;
= b/a
b = lado maior da placa;
a = lado menor da placa.
2.1.1.4 Fórmulas Empíricas de Pigeaud (1921) (placa apoiada articulada)
Segundo Guerrin (19--), o coeficiente de efeito placa é obtido pelas seguintes expressões,
dependendo da localização das cargas:
carga concentrada no centro:
2
2
1 1
+
+
P ρ
ρ³ ρ² ρ
α=
1
1
8
+
+1
4
ρ²
ρ
4
+
(10)
carga distribuída num retângulo concêntrico (figura 02): u, .
15
α=
P
8 1
1
1
+
+1
4
ρ²
ρ
2−
u 1
u
+
1−
a ρ²
a
3
1
ρ
+1−
ν
b
(11)
onde:
= coeficiente de efeito placa;
= b/a
b = lado maior da placa;
a = lado menor da placa;
P = carga concentrada na placa;
u = menor lado do retângulo concêntrico;
= maior lado do retângulo concêntrico.
2.1.1.5 Método de Chaudy (1925)
Segundo Guerrin (19--), para carga uniformemente distribuída, o processo de cálculo consiste
em considerar a placa, sobre quatro lados, como formada de dois planos fictícios repousando
sobre dois apoios, absorvendo cada um uma parte p1 e p2 do total p.
α=
1
1+
1
(12)
ρ4
carga no centro da placa:
α=
onde:
1
1
1+
ρ³
(13)
16
= coeficiente de efeito placa;
= b/a
b = lado maior da placa;
a = lado menor da placa.
2.1.1.6 Método de Marcus
Segundo Araújo (2003), no método de Marcus, os momentos fletores positivos corrigidos,
Mxo e Myo, são dados por
M xo = C x M x ; M yo = C y M y
(14)
onde Mx e My são os momentos fletores positivos calculados através da teoria das grelhas. Os
coeficientes Cx<1 e Cy<1 dependem das condições de contorno e da relação entre os vãos da
laje,
20k y λ
20k x
;
1
Cx = 1 −
C
=
−
y
3α y
3α x λ2
2
(15)
onde kx e ky são os coeficientes que definem os quinhões de carga e λ = l y l x .
Os coeficientes αx e αy dependem das condições de apoio nas duas direções:
a) Faixa biapoiada: α = 8
b)Faixa engastada e apoiada: α = 14,22
c)Faixa biengastada: α = 24.
Conforme Araújo (2003), os momentos fletores positivos nos vãos são escritos na forma
M xo = C x m x pl x2 ; M yo = C y m y pl x2
(16)
e os momentos negativos nos engastes, Mxe e Mye, nas direções x e y, podem ser escritos como
17
M xe = m xe pl x2 ; M ye = m ye pl x2
(17)
2.1.2 SOLUÇÕES ANALÍTICAS
Segundo Guerrin (19--), os métodos exatos consideram a placa como um elemento de
construção diferente da viga, pois baseiam-se nas teorias da Elasticidade.
2.1.2.1 Fórmulas de Navier (carga distribuída)
Segundo Timoshenko (1959), Navier resolveu a equação diferencial pelas séries. Com
complemento de Saint-Venant, em 1883, tem-se:
16 p (1 − η ² ) i = ∞
W =−
π 6ΕΙ i =1
j =∞
1
j =1 ij
sen
iπx
jπx
sen
a
a
2
i² j ²
+
a ² b²
(18)
sendo i e j números ímpares.
onde:
W = deslocamento vertical de um ponto qualquer do plano médio da placa;
= coeficiente de Poisson;
I = momento de inércia nos dois sentidos;
E = módulo de elasticidade;
p = carga distribuída;
b = lado maior da placa;
a = lado menor da placa.
18
2.1.2.2 Fórmulas de Résal (1912)
Segundo Guerrin (19--), Résal estudou o caso de uma carga pu
= P distribuída
uniformemente sobre um retângulo concêntrico.
p
a ²b 4
a−u
πu
(a − u ) sen πu e 3a
1−
cos e 3a +
4
4
a
b²
8 a + a ²b ² + b
3a
3a
− πu
Ma =
b −ν
νπ
1−
cos e
b
3a
2
−πν
3a
p
a ²b 2
b−u
(b − u ) sen πu e 3a
πu
1−
cos e 3a +
4
4
8 a + a ²b ² + b
3a
3a
b
a²
−πu
Mb =
−πu
a −ν
νπ
1−
cos e
3a
a
2
(19)
−πu
−πν
3a
(20)
onde:
Ma = momento no sentido a;
Mb = momento no sentido b;
p = carga distribuída;
b = lado maior da placa;
a = lado menor da placa;
u = menor lado do retângulo concêntrico;
= maior lado do retângulo concêntrico.
2.1.2.3 Fórmulas de Mesnager (1916)
Segundo Guerrin (19--), as expressões para os momentos no centro, por unidade de
comprimento, no caso de placa não engastada carregada uniformemente, são:
19
Ma =
p
(ηb²C `M + a ²C M )
8
(21)
Mb =
p
(b²C M + ηa ²C `M )
8
(22)
onde:
Ma = momento no sentido a;
Mb = momento no sentido b;
p = carga distribuída;
b = lado maior da placa;
a = lado menor da placa;
= coeficiente de Poisson;
CM = C’M = 1/ ;
= b/a.
2.1.2.4 Método de Ch. Dubas (1916)
Segundo Guerrin (19--), Ch. Dubas, estudando os problemas introduzidos pela deformação
das chapas esbeltas, generalizou o método de cálculo das placas por equações das flechas, que
lhe permitiu levar em conta, a tensão lateras (coeficiente
) e, os efeitos de torção, as
equações da estática aplicada, e eliminando a utilização das séries. Considerando a placa
como formada de malhas de vigas cruzadas ortogonais, mostra que a carga p se decompõe em
uma carga px atuando na viga longitudinal, em uma carga py atuando na viga transversal e em
uma carga 2pxy, atuando pela metade em cada uma dessas duas vigas.
20
2.1.2.5 Teoria das Linhas de Ruptura
Conforme Araújo (2003), a teoria das linhas de ruptura, introduzida por K. W. Johansen, é
uma alternativa para o cálculo de esforços e reações em lajes. É possível determinar os
momentos de ruína que serão utilizados para o dimensionamento das lajes de diferentes
formas, condições de contorno e carregamentos. A NBR-6118 permite o emprego da teoria
das linhas de ruptura quando as deformações das seções da laje estiverem nos domínios 2 ou 3
(peças subarmadas ou normalmente armadas). Deve-se ter x d ≤ 0,30 , onde x é a
profundidade da linha neutra e d é a altura útil das seções da laje.
2.1.3 MÉTODOS NUMÉRICOS
2.1.3.1 Método de Czerny
Conforme Henrique (2006), as tabelas de Czerny, baseadas na Teoria da Elasticidade, os
momentos fletores são dados pela seguinte equação:
M=
q.lx2/m
(23)
sendo m um coeficiente da tabela em função da relação entre os vãos e do tipo de apoio da
laje.
2.1.3.2 Método das Diferenças Finitas
Segundo Araújo (2003), o método das diferenças finitas é um método numérico que leva a
uma solução aproximada da equação diferencial da placa. As derivadas que aparecem na
equação diferencial são substituídas, por aproximações em diferenças, denominados pontos
nodais. Esses pontos são localizados nos nós de uma malha retangular, triangular ou de outra
forma, denominada malha de diferenças finitas. A função w(x, y), que representa a superfície
deformada da placa, é descrita por valores aproximados da deflexão nos diversos pontos
nodais. Quanto maior o número de pontos nodais, menor será o erro obtido.
21
2.1.3.3 Método dos Elementos Finitos
Conforme Araújo (2003), o método dos elementos finitos no caso da análise estrutural, pode
ser empregado tanto na formulação em deslocamentos, quanto na formulação em forças.
Essas duas formulações são análogas, aos bem conhecidos métodos da rigidez e método das
forças, utilizados na análise de estruturas reticuladas.
Segundo Araújo (2003), o primeiro passo do método dos elementos finitos consiste na
subdivisão do domínio do problema em um conjunto de pequenos elementos, denominados
elementos finitos. O domínio discretizado forma uma malha de elementos finitos. Cada
elemento é definido por sua geometria e pelo número de nós. Tem-se os elementos
triangulares de três e de seis nós, os elementos retangulares de quatro e de oito nós e os
elementos isoparamétricos. Esses últimos são elementos distorcidos, que permitem uma boa
modelagem de domínios irregulares. Um aumento progressivo do número de nós melhora as
características de precisão do elemento. A malha terá que ser mais refinada, quando for
utilizado um elemento com poucos nós.
2.1.3.4 Programa GiD plus
Segundo Marcipar (1999), GiD é um programa de pré e pós procesamento gráfico para a
análise por elementos finitos, Calsef é um módulo de cálculo de estruturas sólidas pelo
método dos elementos finitos. O programa GiD plus trabalha com a união de ambos
programas. A integração de ambos programas, permite aplicar todo potencial da tecnología
gráfica, facilitando a definição de um problema e a correta interpretação dos resultados
obtidos, e o módulo de cálculo Calsef, nos permite resolver empregando o método dos
elementos finitos nas diferentes estruturas.
Segundo Marcipar (1999), é necessário efetuar uma análise completa da estrutura sólida
sometida a ações externas pelo método dos elementos finitos, tal como a figura 10, a seguir:
22
Figura 02: esquema de funcionamento do GiD (MARCIPAR, 1999).
Figura 03: resultados conseguidos com o calsef (CIMNE, 2006).
23
2.2 Aplicação dos Métodos e Resultados Alcançados
2.2.1 Métodos utilizados
Para a verificação dos momentos fletores utilizou-se os seguintes métodos: Método de Marcus
(BOTELHO, 2003), Método de Czerny (BOTELHO, 2003), Soluções Analíticas propostas
por Timoshenko (TIMOSHENKO, 1959), o Programa de pré e pós-processamento GiD 6.2.1
(CIMNE, 2006) e o Programa Calsef 1.0 (CIMNE, 2006).
Utilizou-se o Método de Marcus e o Método de Czerny, por serem bastante empregados nos
cálculos em concreto armado.
2.2.2 Placas utilizadas
Foram utilizadas placas armadas em duas direções, com relação entre o vão maior e o vão
menor ( ), maior ou igual à 0,5 e menor ou igual à 2.
As dimensões (lyxlx) adotadas para as placas foram as seguintes: 2x2m; 2,4x2m; 2,8x2m;
3,2x2m; 3,6x2m; 4x2m.
Sendo λ = l y l x , a relação entre os vãos obtidos foram os seguintes:
=1; =1,2; =1,4;
=1,6; =1,8; =2.
As condições de apoio adotadas foram os seguintes:
a) caso 01 (simplesmente apoiadas nas quatro bordas);
b) caso 02 (uma borda engastada (ly) e três simplesmente apoiadas);
c) caso 03 (duas bordas engastadas(ly e lx) e duas simplesmente apoiadas);
d) caso 04 (duas bordas engastadas (2xly) e duas simplesmente apoiadas);
e) caso 05 (três bordas engastadas (2xly e lx) e duas simplesmente apoiadas);
24
f) caso 06 (engastada nas quatro bordas).
Figura 05: condições de apoio das placas.
A carga uniformemente distribuída adotada foi de 5 kN/m.
A espessura das placas analisadas foi de 10 cm.
2.2.3 Metodologia de aplicação das placas
Foram testadas todas as dimensões das placas citadas, nas diferentes condições de apoio
citadas e obtido os momentos fletores.
25
2.2.4 Resultados obtidos com o Método de Marcus
2.2.4.1 Metodologia obtenção dos momentos utilizando a tabela de Marcus
Para a obtenção dos momentos fletores devido à Marcus foram utilizadas as seguintes
expressões:
Mx =
plx ²
plx ²
plx ²
plx ²
(24); My =
(25); Xx =
(26); Xy =
(27); λ = l y l x (3).
mx
nx
my
ny
onde:
ly = maior lado da placa;
lx = menor lado da placa;
Mx = momento na direção x;
My = momento na direção x;
Xy = momento negativo na direção y (só ocorre com borda engastada);
Xx = momento positivo na direção x(só ocorre com borda engastada);
mx = coeficiente de cálculo,obtido na tabela;
my = coeficiente de cálculo,obtido na tabela;
nx = coeficiente de cálculo,obtido na tabela;
ny = coeficiente de cálculo,obtido na tabela;
Os valores mx, my, nx e ny são obtidos entrando com o valor de
na tabela.(anexo 01).
26
2.2.4.2 Momentos obtidos
Utilizando as tabelas de Marcus os resultados dos momentos fletores foram os seguintes:
Tabela 01: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso 01.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1° CASO
MÉTODO DE MARCUS
Mx(kN.m)
0,729
1,028
1,314
1,556
1,747
1,892
My(kN.m)
0,729
0,714
0,671
0,608
0,539
0,473
Tabela 02: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso 02.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2° CASO
MÉTODO DE MARCUS
Mx(kN.m)
My(kN.m)
0,668
0,544
0,857
0,469
0,998
0,391
1,096
0,323
1,166
0,268
1,215
0,224
Xx(kN.m)
-1,786
-2,096
-2,265
-2,356
-2,410
-2,439
Tabela 03: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso 03.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
3° CASO
MÉTODO DE MARCUS
Mx(kN.m)
My(kN.m)
0,538
0,538
0,740
0,514
0,904
0,461
1,026
0,401
1,114
0,344
1,178
0,294
Xx(kN.m)
-1,250
-1,686
-1,984
-2,169
-2,283
-2,353
Xy(kN.m)
-1,250
-1,171
-1,012
-0,847
-0,704
-0,588
27
Tabela 04: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso 04.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
4° CASO
MÉTODO DE MARCUS
Mx(kN.m)
0,534
0,626
0,685
0,724
0,749
0,767
My(kN.m)
0,359
0,283
0,223
0,178
0,144
0,118
Xx(kN.m)
-1,389
-1,520
-1,585
-1,617
-1,635
-1,646
Tabela 05: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso 05.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
5° CASO
MÉTODO DE MARCUS
Mx(kN.m)
0,453
0,567
0,645
0,696
0,730
0,754
My(kN.m)
0,396
0,342
0,284
0,234
0,193
0,161
Xx(kN.m)
-1,111
-1,343
-1,475
-1,548
-1,591
-1,616
Xy(kN.m)
-0,833
-0,699
-0,564
-0,454
-0,368
-0,303
Tabela 06: momentos devido à Marcus,em placas com condições de contorno do caso 06.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
6° CASO
MÉTODO DE MARCUS
Mx(kN.m)
0,359
0,489
0,587
0,656
0,702
0,733
My(kN.m)
0,359
0,340
0,299
0,256
0,216
0,183
Xx(kN.m)
-0,833
-1,124
-1,325
-1,449
-1,527
-1,563
Xy(kN.m)
-0,833
-0,781
-0,676
-0,565
-0,469
-0,392
28
2.2.5 Resultados obtidos com o Método de Czerny
2.2.5.1 Metodologia obtenção dos momentos utilizando a tabela de Czerny
Para a obtenção dos momentos fletores devido à Czerny foram utilizadas as seguintes
expressões:
Mx =
qlx ²
qlx ²
qlx ²
plx ²
(28); My =
(29); Xx =
(30); Xy =
(31); l y l x (32).
mx
xx
my
xy
onde:
ly = maior lado da placa;
lx = menor lado da placa;
Mx = momento na direção x;
My = momento na direção x;
Xy = momento negativo na direção y (só ocorre com borda engastada);
Xx = momento positivo na direção x(só ocorre com borda engastada);
mx = momento fletor positivo unitário máximo, na direção x;
my = momento fletor positivo unitário máximo, na direção y;
xx = momento fletor negativo unitário máximo, na direção x;
xy = momento fletor negativo unitário máximo, na direção y.
Os valores mx,my,xx e xy são obtidos entrando com o valor de l y l x na tabela.(anexo 02).
29
2.2.5.2 Momentos obtidos
Utilizando as tabelas de Czerny os resultados dos momentos fletores foram os seguintes:
Tabela 07: momentos devido à Marcus,em placas com condições de contorno do caso 06.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1° CASO
MÉTODO DE CZERNY
Mx(kN.m)
My(kN.m)
0,840
0,840
1,020
0,860
1,287
0,829
1,538
0,782
1,747
0,730
1,901
0,670
Tabela 08: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso 02.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2° CASO
MÉTODO DE CZERNY
Mx(kN.m)
My(kN.m)
0,720
0,600
0,800
0,560
0,948
0,503
1,050
0,436
1,128
0,372
1,176
0,324
Xx(kN.m)
-1,681
-1,860
-2,064
-2,222
-2,331
-2,404
Tabela 09: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso 03.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
3° CASO
MÉTODO DE CZERNY
Mx(kN.m)
My(kN.m)
0,540
0,540
0,660
0,540
0,814
0,509
0,942
0,456
1,050
0,392
1,110
0,344
Xx(kN.m)
-1,400
-1,600
-1,876
-2,079
-2,237
-2,331
Xy(kN.m)
-1,400
-1,480
-1,571
-1,612
-1,639
-1,639
30
Tabela 10: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso 04.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
4° CASO
MÉTODO DE CZERNY
Mx(kN.m)
My(kN.m)
0,620
0,400
0,680
0,360
0,751
0,303
0,792
0,242
0,822
0,196
0,834
0,172
Xx(kN.m)
-1,400
-1,480
-1,582
-1,646
-1,663
-1,674
Tabela 11: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso 05.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
5° CASO
MÉTODO DE CZERNY
Mx(kN.m)
0,520
0,580
0,507
0,758
0,804
0,828
My(kN.m)
0,420
0,380
0,343
0,282
0,234
0,198
Xx(kN.m)
-1,240
-1,360
-1,508
-1,604
-1,664
-1,688
Xy(kN.m)
-1,100
-1,140
-1,160
-1,154
-1,138
-1,126
Tabela 12: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso 06.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
6° CASO
MÉTODO DE CZERNY
Mx(kN.m)
0,420
0,500
0,608
0,704
0,766
0,802
My(kN.m)
0,420
0,400
0,354
0,316
0,254
0,218
Xx(kN.m)
-1,040
-1,180
-1,379
-1,516
-1,608
-1,656
Xy(kN.m)
-1,040
-1,100
-1,145
-1,160
-1,160
-1,160
31
2.2.6 Resultados obtidos com a Solução Analítica
2.2.6.1 Metodologia obtenção dos momentos utilizando a Solução Analítica
Para o cálculo dos momentos fletores, foi utilizando a Soluções Analíticas propostas por
Timoshenko, foram utilizadas as equações:
Mx = αql ² (33); My = β ql ² (34); Xx = γql ² (35); Xy = δql ² (36); b/a (37).
onde:
a = lado da placa (x);
b = lado da placa (y);
Mx = momento na direção x;
My = momento na direção x;
Xy = momento negativo na direção y (só ocorre com borda engastada);
Xx = momento positivo na direção x(só ocorre com borda engastada);
= coeficiente de cálculo;
= coeficiente de cálculo;
= coeficiente de cálculo;
= coeficiente de cálculo;
l = menor valor de a e b.
Os valores , , e são obtidos entrando com o valor de b/a na tabela. (anexo 03).
32
2.2.6.2 Momentos obtidos
Utilizando à solução analítica os resultados dos momentos fletores foram os seguintes:
Tabela 13: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do
caso 01.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1° CASO
SOLUÇÃO ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,884
1,184
1,446
1,672
1,854
1,998
My(kN.m)
0,884
0,898
0,878
0,828
0,782
0,734
Tabela 14: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do
caso 02.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2° CASO
SOLUÇÃO ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,734
0,896
1,014
1,100
1,154
1,250
My(kN.m)
0,614
0,558
0,504
0,446
0,396
0,354
Xx(kN.m)
-1,680
-1,960
-2,150
-2,278
-2,360
-2,500
Tabela 15: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do
caso 03.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
3° CASO
SOLUÇÃO ANALÍTICA
Mx(kN.m)
My(kN.m)
0,562
0,562
0,752
0,558
0,902
0,520
1,014
0,472
1,092
0,426
1,148
0,382
Xx(kN.m)
-1,356
-1,690
-1,950
-2,136
-2,268
-2,360
Xy(kN.m)
-1,356
-1,472
-1,530
-1,576
-1,570
-1,574
Mmax(kN.m)
0,61
0,814
0,982
1,106
1,216
1,324
33
Tabela 16: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do
caso 04.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
4° CASO
SOLUÇÃO ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,632
0,724
0,780
0,812
0,828
0,836
My(kN.m)
0,432
0,362
0,310
0,258
0,224
0,200
Xx(kN.m)
-1,394
-1,540
-1,620
-1,658
-1,676
-1,684
Tabela 17: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do
caso 05.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
5° CASO
SOLUÇÃO ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,522
0,646
0,728
0,780
0,810
0,828
My(kN.m)
0,426
0,384
0,332
0,286
0,250
0,220
Xx(kN.m)
-1,200
-1,410
-1,540
-1,606
-1,610
-1,666
Xy(kN.m)
-1,094
-1,146
-1,152
-1,136
-1,134
-1,132
Tabela 18: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do
caso 06.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
6° CASO
SOLUÇÃO ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,426
0,568
0,674
0,744
0,790
0,816
My(kN.m)
0,426
0,406
0,362
0,314
0,272
0,236
Xx(kN.m)
-1,026
-1,278
-1,452
-1,560
-1,624
-1,658
Xy(kN.m)
-1,026
-1,108
-1,136
-1,142
-1,142
-1,142
34
2.2.7 Resultados obtidos com o GiD Plus
2.2.7.1 Metodologia obtenção dos momentos utilizando o GiD Plus
Modelou-se todas as dimensões das placas com as diferentes condições de contorno. Para
modelagem foram lançadas as condições de contorno, a carga distribuída, as placas foram
consideradas sendo de concreto com espessura de 10 cm. Foram simuladas para as placas com
=1, malha quadrada de 4x4, 8x8 e 16x16. Placas com =1,2 e =1,4, malha reticulada de
4x6, 8x12 e 16x24. Para placas com =1,6, =1,8 e =2, malha reticulada de 4x8, 8x16 e 16x
32.
2.2.7.2 Resultados dos momentos obtidos utilizando o GiD Plus
Tabela 19: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e
=1.
malha(elementos)
4x4 (16)
8x8 (64)
16x16 (256)
GiD
1° CASO
= 1,0
Mx(kN.m)
0,802
0,875
0,900
My(kN.m)
0,802
0,875
0,900
Tabela 20: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e
=1,2.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
1° CASO
= 1,2
Mx(kN.m)
1,111
1,183
1,208
My(kN.m)
0,812
0,886
0,910
35
Tabela 21: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e
=1,4.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
1° CASO
= 1,4
Mx(kN.m)
1,340
1,440
1,476
My(kN.m)
0,788
0,858
0,880
Tabela 22: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e
=1,6.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
1° CASO
= 1,6
Mx(kN.m)
1,543
1,659
1,695
My(kN.m)
0,737
0,811
0,833
Tabela 23: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e
=1,8.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
1° CASO
= 1,8
Mx(kN.m)
1,693
1,830
1,872
My(kN.m)
0,699
0,773
0,795
36
Tabela 24: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e
=2.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
1° CASO
= 2,0
Mx(kN.m)
1,812
1,967
2,012
My(kN.m)
0,679
0,749
0,771
Tabela 25: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e
=1.
malha(elementos)
4x4 (16)
8x8 (64)
16x16 (256)
GiD
2° CASO
= 1,0
Mx(kN.m)
0,655
0,766
0,789
My(kN.m)
0,545
0,616
0,642
Xx(kN.m)
-0,648
-1,075
-1,356
Tabela 26: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e
=1,2.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
2° CASO
= 1,2
Mx(kN.m)
0,798
0,952
0,976
My(kN.m)
0,476
0,565
0,589
Xx(kN.m)
-0,836
-1,311
-1,616
37
Tabela 27: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e
=1,4.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
2° CASO
= 1,4
Mx(kN.m)
0,880
1,081
1,111
My(kN.m)
0,431
0,516
0,538
Xx(kN.m)
-0,947
-1,470
-1,795
Tabela 28: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e
=1,6.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
2° CASO
= 1,6
Mx(kN.m)
0,934
1,173
1,208
My(kN.m)
0,407
0,491
0,513
Xx(kN.m)
-1,027
-1,581
-1,917
Tabela 29: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e
=1,8.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
2° CASO
= 1,8
Mx(kN.m)
0,967
1,235
1,273
My(kN.m)
0,392
0,475
0,500
Xx(kN.m)
-1,077
-1,653
-1,996
38
Tabela 30: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e
=2.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
2° CASO
= 2,0
Mx(kN.m)
0,987
1,276
1,318
My(kN.m)
0,378
0,471
0,494
Xx(kN.m)
-1,108
-1,7
-2,047
Tabela 31: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e
=1.
malha(elementos)
4x4 (16)
8x8 (64)
16x16 (256)
GiD
3° CASO
= 1,0
Mx(kN.m)
0,502
0,588
0,615
My(kN.m)
0,502
0,588
0,615
Xx(kN.m)
-0,476
-0,836
-1,095
Xy(kN.m)
-0,476
-0,836
-1,095
Tabela 32: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e
=1,2.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
3° CASO
= 1,2
Mx(kN.m)
0,686
0,810
0,826
My(kN.m)
0,499
0,578
0,606
Xx(kN.m)
-0,700
-1,127
-1,401
Xy(kN.m)
-0,630
-1,015
-1,261
39
Tabela 33: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e
=1,4.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
3° CASO
= 1,4
Mx(kN.m)
0,799
0,969
0,995
My(kN.m)
0,463
0,544
0,567
Xx(kN.m)
-0,842
-1,329
-1,634
Xy(kN.m)
-0,590
-1,005
-1,278
Tabela 34: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e
=1,6.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
3° CASO
= 1,6
Mx(kN.m)
0,881
1,094
1,122
My(kN.m)
0,423
0,508
0,532
Xx(kN.m)
-0,955
-1,483
-1,803
Xy(kN.m)
-0,663
-1,081
-1,337
Tabela 35: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e
=1,8.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
3° CASO
= 1,8
Mx(kN.m)
0,932
1,179
1,212
My(kN.m)
0,401
0,485
0,510
Xx(kN.m)
-1,027
-1,585
-1,918
Xy(kN.m)
-0,615
-1,045
-1,318
40
Tabela 36: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e
=2.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
3° CASO
= 2,0
Mx(kN.m)
0,966
1,237
1,275
My(kN.m)
0,383
0,476
0,500
Xx(kN.m)
-1,076
-1,654
-1,994
Xy(kN.m)
-0,570
-1,005
-1,293
Tabela 37: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e
=1.
malha(elementos)
4x4 (16)
8x8 (64)
16x16 (256)
GiD
4° CASO
= 1,0
Mx(kN.m)
0,553
0,617
0,633
My(kN.m)
0,368
0,420
0,433
Xx(kN.m)
-0,489
-0,863
-1,107
Tabela 38: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e
=1,2.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
4° CASO
= 1,2
Mx(kN.m)
0,615
0,704
0,724
My(kN.m)
0,297
0,364
0,382
Xx(kN.m)
-0,575
-0,982
-1,241
41
Tabela 39: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e
=1,4.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
4° CASO
= 1,4
Mx(kN.m)
0,640
0,751
0,777
My(kN.m)
0,264
0,342
0,363
Xx(kN.m)
-0,614
-1,048
-1,317
Tabela 40: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e
=1,6.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
4° CASO
= 1,6
Mx(kN.m)
0,645
0,776
0,806
My(kN.m)
0,267
0,339
0,355
Xx(kN.m)
-0,632
-1,084
-1,356
Tabela 41: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e
=1,8.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
4° CASO
= 1,8
Mx(kN.m)
0,646
0,788
0,822
My(kN.m)
0,255
0,217
0,346
Xx(kN.m)
-0,640
-1,100
-1,376
42
Tabela 42: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e
=2.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
4° CASO
= 2,0
Mx(kN.m)
0,643
0,792
0,827
My(kN.m)
0,243
0,329
0,351
Xx(kN.m)
-0,641
-1,107
-1,382
Tabela 43: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e
=1.
malha(elementos)
4x4 (16)
8x8 (64)
16x16 (256)
GiD
5° CASO
= 1,0
Mx(kN.m)
0,467
0,512
0,533
My(kN.m)
0,376
0,439
0,451
Xx(kN.m)
-0,396
-0,718
-0,953
Xy(kN.m)
-0,334
-0,64
-0,843
Tabela 44: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e
=1,2.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
5° CASO
= 1,2
Mx(kN.m)
0,568
0,639
0,654
My(kN.m)
0,326
0,390
0,407
Xx(kN.m)
-0,518
-0,894
-1,136
Xy(kN.m)
-0,407
-0,728
-0,916
43
Tabela 45: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e
=1,4.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
5° CASO
= 1,4
Mx(kN.m)
0,615
0,710
0,732
My(kN.m)
0,284
0,357
0,374
Xx(kN.m)
-0,579
-0,991
-1,251
Xy(kN.m)
-0,359
-0,687
-0,892
Tabela 46: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e
=1,6.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
5° CASO
= 1,6
Mx(kN.m)
0,634
0,754
0,780
My(kN.m)
0,272
0,344
0,361
Xx(kN.m)
-0,614
-1,052
-1,318
Xy(kN.m)
-0,401
-0,729
-0,920
Tabela 47: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e
=1,8.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
5° CASO
= 1,8
Mx(kN.m)
0,643
0,776
0,806
My(kN.m)
0,256
0,335
0,355
Xx(kN.m)
-0,631
-1,083
-1,354
Xy(kN.m)
-0,364
-0,694
-0,896
44
Tabela 48: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e
=2.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
5° CASO
= 2,0
Mx(kN.m)
0,644
0,786
0,820
My(kN.m)
0,251
0,329
0,352
Xx(kN.m)
-0,639
-1,099
-1,372
Xy(kN.m)
-0,332
-0,661
-0,873
Tabela 49: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e
=1.
malha(elementos)
4x4 (16)
8x8 (64)
16x16 (256)
GiD
6° CASO
= 1,0
Mx(kN.m)
0,384
0,414
0,422
My(kN.m)
0,384
0,414
0,422
Xx(kN.m)
-0,307
-0,588
-0,779
Xy(kN.m)
-0,307
-0,588
-0,779
Tabela 50: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e
=1,2.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
6° CASO
= 1,2
Mx(kN.m)
0,522
0,560
0,567
My(kN.m)
0,344
0,393
0,404
Xx(kN.m)
-0,461
-0,786
-1,003
Xy(kN.m)
-0,402
-0,708
-0,890
45
Tabela 51: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e
=1,4.
malha(elementos)
4x6 (24)
8x12 (96)
16x24 (384)
GiD
6° CASO
= 1,4
Mx(kN.m)
0,589
0,657
0,671
My(kN.m)
0,302
0,349
0,361
Xx(kN.m)
-0,543
-0,919
-1,159
Xy(kN.m)
-0,360
-0,683
-0,886
Tabela 52: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e
=1,6.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
6° CASO
= 1,6
Mx(kN.m)
0,623
0,720
0,740
My(kN.m)
0,252
0,306
0,319
Xx(kN.m)
-0,596
-1,005
-1,260
Xy(kN.m)
-0,402
-0,729
-0,919
Tabela 53: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e
=1,8.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
6° CASO
= 1,8
Mx(kN.m)
0,640
0,756
0,782
My(kN.m)
0,242
0,290
0,302
Xx(kN.m)
-0,623
-1,056
-1,320
Xy(kN.m)
-0,365
-0,695
-0,897
46
Tabela 54: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e
=2.
malha(elementos)
4x8 (32)
8x16 (128)
16x32 (512)
GiD
6° CASO
= 2,0
Mx(kN.m)
0,646
0,776
0,806
My(kN.m)
0,250
0,287
0,296
Xx(kN.m)
-0,637
-1,084
-1,353
Xy(kN.m)
-0,333
-0,662
-0,874
2.2.7.3 Gráficos de momentos gerados pelo GiD Plus
Figura 06: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01
e
= 1, com malha de 4x4.
47
Figura 07: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01
e
= 1, com malha de 4x4.
Figura 08: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01
e
= 1, com malha de 8x8.
48
Figura 09: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01
e
= 1, com malha de 8x8.
Figura 10: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01
e
= 1, com malha de 16x16.
49
Figura 11: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01
e
= 1, com malha de 16x16.
Figura 12: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06
e
= 1, com malha de 4x4.
50
Figura 13: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06
e
= 1, com malha de 4x4.
Figura 14: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06
e
= 1, com malha de 8x8.
51
Figura 15: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06
e
= 1, com malha de 8x8.
Figura 16: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06
e
= 1, com malha de 16x16.
52
Figura 17: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06
e
= 1, com malha de 16x16.
Figura 18: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03
e
= 1, com malha de 4x4.
53
Figura 19: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03
e
= 1, com malha de 4x4.
Figura 20: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03
e
= 1, com malha de 8x8.
54
Figura 21: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03
e
= 1, com malha de 8x8.
Figura 22: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03
e
= 1, com malha de 16x16.
55
Figura 23: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03
e
= 1, com malha de 16x16.
Figura 24: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05
e
= 2, com malha de 4x8.
56
Figura 25: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05
e
= 2, com malha de 4x8.
Figura 26: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05
e
= 2, com malha de 8x16.
57
Figura 27: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05
e
= 2, com malha de 8x16.
Figura 28: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05
e
= 2, com malha de 16x32.
58
Figura 29: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05
e
= 2, com malha de 16x32.
Analisando os gráficos gerados pelo GiD Plus, observa-se a distribuição dos momentos
fletores nas placas. Por exemplo na figura 07, 09, 11, que trata-se de uma placa simplesmente
apoiada de 2x2m, a medida que aumentamos o número de elementos a precisão dos
momentos vai aumentando até um ponto em que os resultados não mais se alteram, nesse
ponto é possível observar a localização quase exata dos momentos.
Na placa da figura 11, observa-se que o momento máximo está localizado no centro da placa,
e que nos cantos da placa aparecem momentos negativos (necessidade de armadura negativa
nos cantos).
Na placa da figura 16, placa de 2x2m e totalmente engastada, observou-se que os momentos
negativos máximos não ocorrem em toda borda engastada, mas sim nas proximidades da
região central da borda engastada.
Na placa da figura 27, placa de 4x2m, engastada nas duas bordas em y e em x uma borda
apoiada e outra engastada, observou-se que a localização do momento máximo não está no
centro do vão, ela foi alterada pelas condições de apoio, localizando-se próximo da borda
apoiada.
59
2.2.8 Comparação dos resultados obtidos com o Método de Marcus e
Método de Czerny com a Solução Analítica
Foram realizadas comparações, tomando como referência a Solução Analítica, com os
métodos de Marcus e Czerny, verificando a diferença em percentagem dos resultados dos
momentos fletores de cada método. E os resultados foram os seguintes:
Tabela 55: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 01.
1° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Mx(kN.m)
0,840
1,020
1,287
1,538
1,747
1,901
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
4,98%
13,86%
11,00%
7,99%
5,79%
4,85%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,884
1,184
1,446
1,672
1,854
1,998
Tabela 56: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 01.
1° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Mx(kN.m)
0,729
1,028
1,314
1,556
1,747
1,892
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
17,52%
13,15%
9,12%
6,91%
5,79%
5,30%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,884
1,184
1,446
1,672
1,854
1,998
60
Tabela 57: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 01.
1° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
My(kN.m)
0,840
0,860
0,829
0,782
0,730
0,670
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
4,98%
4,25%
5,60%
5,57%
6,66%
8,72%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,884
0,898
0,878
0,828
0,782
0,734
Tabela 58: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 01.
1° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
My(kN.m)
0,729
0,714
0,671
0,608
0,539
0,473
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
17,52%
20,49%
23,61%
26,58%
31,06%
35,57%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,884
0,898
0,878
0,828
0,782
0,734
Tabela 59: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 02.
2° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Mx(kN.m)
0,720
0,800
0,948
1,050
1,128
1,176
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
1,92%
10,71%
6,52%
4,56%
2,25%
5,94%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,734
0,896
1,014
1,100
1,154
1,250
61
Tabela 60: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 02.
2° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Mx(kN.m)
0,668
0,857
0,998
1,096
1,166
1,215
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
8,96%
4,32%
1,58%
0,32%
1,04%
2,79%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,734
0,896
1,014
1,100
1,154
1,250
Tabela 61: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 02.
2° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
My(kN.m)
0,600
0,560
0,503
0,436
0,372
0,324
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
2,27%
0,37%
0,17%
2,24%
6,05%
8,48%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,614
0,558
0,504
0,446
0,396
0,354
Tabela 62: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 02.
2° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
My(kN.m)
0,544
0,469
0,391
0,323
0,268
0,224
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
11,37%
15,92%
22,43%
27,58%
32,36%
36,70%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,614
0,558
0,504
0,446
0,396
0,354
62
Tabela 63: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 02.
2° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Xx(kN.m)
-1,681
-1,860
-2,064
-2,222
-2,331
-2,404
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
0,04%
5,08%
4,00%
2,45%
1,23%
3,85%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,680
-1,960
-2,150
-2,278
-2,360
-2,500
Tabela 65: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 02.
2° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Xx(kN.m)
-1,786
-2,096
-2,265
-2,356
-2,410
-2,439
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
5,92%
6,51%
5,08%
3,30%
2,06%
2,44%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,680
-1,960
-2,150
-2,278
-2,360
-2,500
Tabela 66: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 03.
3° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Mx(kN.m)
0,540
0,660
0,814
0,942
1,050
1,110
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
3,92%
12,23%
9,79%
7,09%
3,86%
3,32%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,562
0,752
0,902
1,014
1,092
1,148
63
Tabela 67: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 03.
3° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Mx(kN.m)
0,538
0,740
0,904
1,026
1,114
1,178
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
4,21%
1,53%
0,24%
1,19%
1,99%
2,53%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,562
0,752
0,902
1,014
1,092
1,148
Tabela 68: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 03.
3° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
My(kN.m)
0,540
0,540
0,509
0,456
0,392
0,344
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
3,92%
3,23%
2,16%
3,39%
7,98%
9,95%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,562
0,558
0,520
0,472
0,426
0,382
Tabela 69: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 03.
3° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
My(kN.m)
0,538
0,514
0,461
0,401
0,344
0,294
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
4,21%
7,84%
11,28%
15,05%
19,25%
22,93%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,562
0,558
0,520
0,472
0,426
0,382
64
Tabela 70: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 03.
3° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Xx(kN.m)
-1,400
-1,600
-1,876
-2,079
-2,237
-2,331
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
3,11%
5,33%
3,79%
2,67%
1,36%
1,23%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,356
-1,690
-1,950
-2,136
-2,268
-2,360
Tabela 71: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 03.
3° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Xx(kN.m)
-1,250
-1,686
-1,984
-2,169
-2,283
-2,353
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
7,82%
0,22%
1,72%
1,53%
0,66%
0,30%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,356
-1,690
-1,950
-2,136
-2,268
-2,360
Tabela 72: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xy
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 03.
3° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Xy(kN.m)
-1,400
-1,480
-1,571
-1,612
-1,639
-1,639
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
3,11%
0,57%
2,62%
2,21%
4,23%
3,99%
ANALÍTICA
Xy(kN.m)
-1,356
-1,472
-1,530
-1,576
-1,570
-1,574
65
Tabela 73: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xy
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 03.
3° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Xy(kN.m)
-1,250
-1,171
-1,012
-0,847
-0,704
-0,588
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
7,82%
20,45%
33,85%
46,25%
55,13%
62,63%
ANALÍTICA
Xy(kN.m)
-1,356
-1,472
-1,530
-1,576
-1,570
-1,574
Tabela 74: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 04.
4° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Mx(kN.m)
0,620
0,680
0,751
0,792
0,822
0,834
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
1,90%
6,07%
3,68%
2,45%
0,72%
0,24%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,632
0,724
0,780
0,812
0,828
0,836
Tabela 75: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 04.
4° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Mx(kN.m)
0,534
0,626
0,685
0,724
0,749
0,767
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
15,54%
13,48%
12,13%
10,89%
9,53%
8,30%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,632
0,724
0,780
0,812
0,828
0,836
66
Tabela 76: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 04.
4° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
My(kN.m)
0,400
0,360
0,303
0,242
0,196
0,172
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
7,41%
0,56%
2,19%
6,20%
12,50%
14,00%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,432
0,362
0,310
0,258
0,224
0,200
Tabela 77: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 04.
4° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
My(kN.m)
0,359
0,283
0,223
0,178
0,144
0,118
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
16,94%
21,76%
28,10%
31,18%
35,81%
40,81%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,432
0,362
0,310
0,258
0,224
0,200
Tabela 78: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 04.
4° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Xx(kN.m)
-1,400
-1,480
-1,582
-1,646
-1,663
-1,674
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
0,40%
3,87%
2,33%
0,72%
0,80%
0,62%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,394
-1,540
-1,620
-1,658
-1,676
-1,684
67
Tabela 79: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 04.
4° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Xx(kN.m)
-1,389
-1,520
-1,585
-1,617
-1,635
-1,646
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
0,37%
1,31%
2,17%
2,48%
2,43%
2,25%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,394
-1,540
-1,620
-1,658
-1,676
-1,684
Tabela 80: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 05.
5° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Mx(kN.m)
0,520
0,580
0,682
0,758
0,804
0,828
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
0,38%
10,21%
6,27%
2,84%
0,76%
0,02%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,522
0,646
0,728
0,780
0,810
0,828
Tabela 81: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 05.
5° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Mx(kN.m)
0,453
0,567
0,645
0,696
0,730
0,754
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
13,28%
12,22%
11,41%
10,75%
9,82%
8,99%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,522
0,646
0,728
0,780
0,810
0,828
68
Tabela 82: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 05.
5° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
My(kN.m)
0,420
0,380
0,343
0,282
0,234
0,198
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
1,41%
1,04%
3,26%
1,40%
6,40%
10,00%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,426
0,384
0,332
0,286
0,250
0,220
Tabela 83: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 05.
5° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
My(kN.m)
0,396
0,342
0,284
0,234
0,193
0,161
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
7,14%
10,97%
14,49%
18,35%
22,85%
26,91%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,426
0,384
0,332
0,286
0,250
0,220
Tabela 84: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 05.
5° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Xx(kN.m)
-1,240
-1,360
-1,508
-1,604
-1,664
-1,688
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
3,22%
3,57%
2,06%
0,13%
3,24%
1,29%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,200
-1,410
-1,540
-1,606
-1,610
-1,666
69
Tabela 85: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 05.
5° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Xx(kN.m)
-1,111
-1,343
-1,475
-1,548
-1,591
-1,616
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
7,41%
4,74%
4,23%
3,61%
1,17%
3,03%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,200
-1,410
-1,540
-1,606
-1,610
-1,666
Tabela 86: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xy
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 05.
5° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Xy(kN.m)
-1,100
-1,140
-1,160
-1,154
-1,138
-1,126
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
0,56%
0,50%
0,70%
1,57%
0,38%
0,52%
ANALÍTICA
Xy(kN.m)
-1,094
-1,146
-1,152
-1,136
-1,134
-1,132
Tabela 87: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xy
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 05.
5° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Xy(kN.m)
-0,833
-0,699
-0,564
-0,454
-0,368
-0,303
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
23,83%
38,98%
51,01%
60,07%
67,53%
73,23%
ANALÍTICA
Xy(kN.m)
-1,094
-1,146
-1,152
-1,136
-1,134
-1,132
70
Tabela 88: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 06.
6° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Mx(kN.m)
0,420
0,500
0,608
0,704
0,766
0,802
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
1,41%
11,97%
9,78%
5,38%
3,04%
1,72%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,426
0,568
0,674
0,744
0,790
0,816
Tabela 89: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 06.
6° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Mx(kN.m)
0,359
0,489
0,587
0,656
0,702
0,733
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
15,71%
13,91%
12,98%
11,86%
11,17%
10,22%
ANALÍTICA
Mx(kN.m)
0,426
0,568
0,674
0,744
0,790
0,816
Tabela 90: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 06.
6° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
My(kN.m)
0,420
0,400
0,354
0,316
0,254
0,218
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
1,41%
1,48%
2,09%
0,63%
6,62%
7,62%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,426
0,406
0,362
0,314
0,272
0,236
71
Tabela 91: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 06.
6° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
My(kN.m)
0,359
0,340
0,299
0,256
0,216
0,183
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
15,71%
16,36%
17,29%
18,55%
20,42%
22,32%
ANALÍTICA
My(kN.m)
0,426
0,406
0,362
0,314
0,272
0,236
Tabela 92: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 06.
6° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Xx(kN.m)
-1,040
-1,180
-1,379
-1,516
-1,608
-1,656
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
1,35%
7,67%
5,01%
2,80%
1,00%
0,14%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,026
-1,278
-1,452
-1,560
-1,624
-1,658
Tabela 93: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xx
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 06.
6° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Xx(kN.m)
-0,833
-1,124
-1,325
-1,449
-1,527
-1,563
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
18,78%
12,08%
8,78%
7,10%
5,99%
5,76%
ANALÍTICA
Xx(kN.m)
-1,026
-1,278
-1,452
-1,560
-1,624
-1,658
72
Tabela 95: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xy
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 06.
6° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
CZERNY
Xy(kN.m)
-1,040
-1,100
-1,145
-1,160
-1,160
-1,160
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de C p/ A
1,35%
0,71%
0,83%
1,56%
1,56%
1,56%
ANALÍTICA
Xy(kN.m)
-1,026
-1,108
-1,136
-1,142
-1,142
-1,142
Tabela 96: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xy
obtidos, em placas com condições de contorno do caso 06.
6° CASO
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
MARCUS
Xy(kN.m)
-0,833
-0,781
-0,676
-0,565
-0,469
-0,392
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
:: DIFERENÇA(%) de M p/ A
18,78%
29,49%
40,52%
50,53%
58,89%
65,66%
ANALÍTICA
Xy(kN.m)
-1,026
-1,108
-1,136
-1,142
-1,142
-1,142
Analisando todas as comparações verificou-se que o Método de Marcus apresentou resultados
um pouco divergentes da Solução Analítica, isto se deve a ele ser um método aproximado
(teoria das grelhas) e por isso não possui boa precisão quanto os métodos numéricos. Isto
pode ser verificado observando por exemplo as tabelas 73, 87, 96, onde verifica-se uma
defasagem maior da diferença dos valores. No caso das tabelas 73 e 87, a deficiência está no
momento máximo My, Marcus considera o momento máximo no centro do vão e como visto
nas figuras 23 e 29, dependendo das condições de apoio, o momento pode ser deslocado,
provocando assim um certo erro.
Já o Método de Czerny, apresentou resultados melhores que Marcus, isto se deve por ele ser
um método numérico (diferenças finitas) e leva em conta que o momento máximo nem
sempre está localizado no centro da placa e possui melhor aproximação de resultados
(exemplo tabela 86).
73
2.2.9 Comparação dos resultados obtidos com o GiD Plus com a Solução
Analítica
COMPARAÇÃO DOS MOMENTOS EM Mx
momentos (kN.m)
0,920
0,900
0,880
0,860
ANALÍTICA
0,840
GiD PLUS
0,820
0,800
0,780
0
50
100
150
200
250
300
números de elementos
Figura 30: gráfico comparativo do momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições
de contorno do caso 01 e
= 1.
COMPARAÇÃO MOMENTOS EM My
momentos (kN.m)
0,920
0,900
0,880
0,860
ANALÍTICA
0,840
GiD PLUS
0,820
0,800
0,780
0
50
100
150
200
250
300
número de elementos
Figura 31: gráfico comparativo do momento My devido à GiD Plus, em placas com condições
de contorno do caso 01 e
= 1.
74
COMPARAÇÃO DOS MOMENTOS Mx e My
momentos (kN.m)
0,430
0,420
0,410
ANALÍTICA
0,400
GiD PLUS
0,390
0,380
0
50
100
150
200
250
300
número de elementos
Figura 32: gráfico comparativo do momento Mx e My devido à GiD Plus, em placas com
condições de contorno do caso 06 e
= 1.
COMPARAÇÃO DOS MOMENTOS Xx e Xy
momentos (kN.m)
0,000
-0,200
0
50
100
150
200
250
300
-0,400
ANALÍTICA
-0,600
GiD PLUS
-0,800
-1,000
-1,200
número de elementos
Figura 33: gráfico comparativo do momento Xx e Xy devido à GiD Plus, em placas com
condições de contorno do caso 06 e
= 1.
75
COPARAÇÃO DOS MOMENTOS Mx e My
momentos (kN.m)
0,700
0,600
0,500
0,400
ANALÍTICA
0,300
GiD PLUS
0,200
0,100
0,000
0
50
100
150
200
250
300
número de elementos
Figura 34: gráfico comparativo do momento Mx e My devido à GiD Plus, em placas com
condições de contorno do caso 03 e
= 1.
COMPARAÇÃO DOS MOMENTOS Xx e Xy
0
momentos (kN.m)
-0,2 0
50
100
150
200
250
300
-0,4
-0,6
ANALÍTICA
-0,8
GiD PLUS
-1
-1,2
-1,4
-1,6
número de elementos
Figura 35: gráfico comparativo do momento Xx e Xy devido à GiD Plus, em placas com
condições de contorno do caso 03 e
= 1.
O programa GiD Plus (método dos elementos finitos), fornece resultados significativos, para
malhas com número de elementos maiores. Por não se um método exato (analítico), a medida
que aumentamos o número de elementos da malha ele tende a de aproximar da Solução
76
Analítica. Por exemplo no caso da figura 34, começamos com uma malha de 16 elementos
depois com fomos para 64 e 256, nas últimas duas malhas o resultado variou muito pouco, se
aproximando do resultado analítico, verificando- se assim a precisão do programa. Na figura
35, não conseguimos nos aproximar consideravelmente da solução analítica, pelo fato de que
trabalha vamos com uma versão acadêmica do programa e estávamos limitados pelo número
de elementos (700 elementos), mas observando o gráfico (figura 35), podemos conclui que a
medida que aumentasse-mos o número de elementos da malha (até um valor em que os
resultados permaneceriam constantes), nos aproximaríamos da solução analítica.
Para obter resultados satisfatórios é preciso gerar malha adequada as dimensões da placa.
77
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O Método de Czerny apresentou bons resultados e sua utilização é bastante simples e rápida.
O Método de Marcus apresentou resultados um pouco dispersivos e possui dificuldade quanto
o uso das tabelas, fazendo variar, laje por laje, o que seja direção x e direção y podendo com
isso confundir o calculista.
O programa GiD Plus que utiliza o método das elementos finitos, apresentou resultados
relativamente bons, para malhas com número de elementos maiores.
Não conseguimos uma total aproximação em alguns casos porque estávamos limitados pelo
número de elementos da malha (versão acadêmica).
O GiD Plus possui algumas vantagens, como gerar gráficos da localização dos momentos,
comportamento real da estrutura e calcula placas de diversas geometrias (não somente placas
retangulares e quadradas).
Todos os métodos são possíveis de serem utilizados, mas deve ser levado em conta suas
limitações.
Em um trabalho de pesquisa futuro, seria interessante trabalhar com as deformações das
placas.
78
REFERÊNCIAS
ARAÚJO, José Milton de. Curso de concreto armado. 2. ed. Rio Grande: Dunas, 2003.
BOTELHO, Manoel Henrique Campos. Concreto armado eu te amo. 3. ed. ampl. São
Paulo: Edgard Blucher, 2002-2003.
GUERRIN, A.. Tratado de concreto armado. São Paulo: Hemus, [19??].
LONGO, Henrique Innecco. Lajes de Edifícios de Concreto Armado. Disponível em:
<http://cve.dme.ee.ufrj.br/henrique/pdf/Lajes.pdf>. Acesso em 05 outubro de 2006.
MANUAL DE USUÁRIO GiD PLUS. Centro Internacional de Métodos Numéricos em
Engenharia. Versão 6.1.2. Disponível em: <http://www.cimne.upc.es/>. Acesso em: 10
novembro de 2006.
PROGRAMA CALSEF. Centro Internacional de Métodos Numéricos em Engenharia.
Versão 1.0. Disponível em: <http://www.cimne.upc.es/calsef/>. Acesso em: 10 novembro de
2006.
PROGRAMA GiD. Centro Internacional de Métodos Numéricos em Engenharia. Versão
6.1.2. Disponível em: <http://www.cimne.upc.es/>. Acesso em: 10 novembro de 2006.
TIMOSHENKO, S. P., WOINOWSKY-KRIEGER, S., SALANOVA, F. J.. Theory of Plates
and Shells. New York, Ed. McGraw-Hill International, 1959.
TRAUTWEIN, Leandro Mouta. Lajes Maciça. Disponível em:
<http://www.lem.ep.usp.br/~leandro/concreto1/Concreto%20I_files/11%20Lajes%20Macicas
.pdf>. Acesso em 05 outubro de 2006.
79
ANEXO 01 – TABELA DE MARCUS
Tabela 97: Tabela de Marcus (BOTELHO, 2003).
80
ANEXO 02 – TABELA DE CZERNY
Tabela 98: Tabela de Czerny (BOTELHO, 2003).
81
ANEXO 03 – TABELA DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS PROPOSTAS
POR TIMOSHENKO
Tabela 99: Tabela da Solução Analítica (TIMOSHENKO, 1959).