Enem em fascículos - 2012
Matemática e suas Tecnologias
Caro aluno,
O presente fascículo tem como objetivo geral o estudo da proporcionalidade voltada para situações-problema vivenciadas no cotidiano,
conforme se tem contemplado no Enem. Para uma melhor compreensão desse tema, dividiremos o assunto em três tópicos:
• Razões e Proporções;
• Proporcionalidade na Geometria;
• Função Afim (Linearidade).
Bom estudo para você!
introdução
Os números soltos, isolados, para nada servem, mas,
embutidos de significados tudo explicam. Construir significados
para as razões, proporções e porcentagem é o foco principal do
texto seguinte. Para isso, você terá acesso a uma consistente
fundamentação teórica, acompanhada de situações-problema
dentro das habilidades de Matriz de Referência de Matemática
e suas Tecnologias, matriz essa que serve de base para o Enem.
OBJETO DO CONHECIMENTO
Razões e Proporções
Na ficção ou na realidade, as razões e proporções
acompanham os seres. Afinal, tudo é uma questão de escala.
Vejamos dois questionamentos, sendo o primeiro fictício, nos
quais os conceitos de razão e proporção são fundamentais
para a compreensão e a elaboração das respectivas respostas.
1. O que aconteceria se alguém crescesse e se tornasse
grande como um gigante?
Certamente cairia no chão com o fêmur quebrado ao dar
o primeiro passo. Entendeu? Se não, observe: a altura aumenta
em uma direção, a área, em duas e o volume, em três. Se a
altura de uma mulher ficasse 10 vezes maior, a secção transversal
(área) do conjunto de ossos e músculos que a sustenta contra
a gravidade ficaria 10 · 10 = 100 vezes maior, já o seu volume
(e, portanto, a sua massa) ficaria 10 · 10 · 10 = 1000 vezes maior.
O resultado disso tudo é que os ossos destinados a mantêla erguida não suportariam o seu peso, sendo estilhaçados.
É por essas e outras que cada ser deve ter o tamanho certo, pois
mudanças quantitativas podem fazer imensas diferenças qualitativas.
“Uma questão de escala”. In: O universo e a xícara de chá, K.C.
Cole – Adaptado.
2. Qual é o automóvel mais econômico: o de Carlos que
consome 24 litros de gasolina para percorrer 240 km
ou o de Fabíola que percorre 180 km com 20 litros de
gasolina? Quantos por cento mais econômico?
Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pela
respectiva quantidade de gasolina consumida, temos:
I. Para o automóvel de Carlos:
Nº de km
240 km
=
= 10 km / L
Nº de litros
24 L
(dez quilômetros por litro)
Isso significa que, em média, o automóvel de Carlos
percorre 10 km para cada litro de combustível consumido.
II. Para o automóvel de Fabíola:
Nº de km
180 km
=
= 9 km / L
Nº de litros
20 L
(nove quilômetros por litro)
Isso significa que, em média, o automóvel de Fabíola
percorre 9 km para cada litro de combustível consumido.
O automóvel mais econômico é o que gasta menos
combustível para percorrer uma mesma distância. Observando
que o m.m.c. (10, 9) = 90, consideremos a distância de 90 km.
Como o automóvel de Carlos gasta, em média, 1 litro para
percorrer 10 km, então para percorrer 90 km ele gastaria
apenas 90 : 10 = 9 litros, enquanto o automóvel de Fabíola
gastaria 90 : 9 = 10 litros. Assim, o automóvel de Carlos é o mais
econômico, economizando 10 – 9 = 1 litro de gasolina para cada
10 litros consumidos pelo carro da Fabíola. Matematicamente,
temos:
Economia de Carlos
1L
1
10
=
=
=
= 10%
Consumo de Fabíola 10 L 10 100
(“1 para 10” ou “10 para 100” ou “dez por cento”).
Isso nos diz que para cada 100 litros de gasolina
consumidos pelo carro de Fabíola, o automóvel de Carlos
gastaria 10 litros a menos, para fazer o mesmo percurso.
Se o amigo leitor teve dificuldade para compreender
alguma passagem nesses questionamentos, não se preocupe.
Leia com atenção os tópicos a seguir e, depois, volte e reveja-as.
Conceito de Razão
•
I.
A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas.
Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e
30 mulheres, dizemos que:
A razão entre o número de homens e o de mulheres na
festa é:
nº de homens
20 2
=
= (lê -se: 2 para 3)
nº de mulheres 30 3
4
Fascículo
Enem em fascículos 2012
Isso significa que para cada 2 homens existem 3
mulheres.
II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas
na festa é:
nº de mulheres
20
30 3
=
=
= (lê -se: 3 para 5)
nº total de pessoas 20 + 30 50 5
Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são
são mulheres.
• As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de
espécies diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as
mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens
consumiram 100, dizemos que:
I. A razão entre o número de salgados consumidos pelos
homens e o número de homens foi de:
nº de salgados 100 salgados
=
= 5 salgados / homem
nº de homens
20 homens
(lê-se: 5 salgados por homem)
Uma escala pode ser representada graficamente. Nesse
caso, usamos um segmento de reta graduado, em que cada
graduação corresponde a 1 cm de comprimento no desenho.
0 km
300 km
Escala
1 cm
600 km
E
300 km
900 km
1200 km
1 cm
ou E
1:30.000.000
30.000.000 cm
Observe que, sendo a escala (E) um quociente, quanto
maior o divisor (o denominador D, a distância real), menor é
seu valor.
Exemplo:
Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma
estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma
fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2.
Nessas condições, a fotografia está na escala
5 cm
5 cm
1
, ou seja, E =
=
12, 5 km 1.250.000 cm
250.000
Isto significa que, em média, cada homem consumiu
5 salgados.
E=
II. A razão entre o número de salgados consumidos e o
número de pessoas foi de:
E = 1: 250.000. Essa escala nos diz que 1 cm na
fotografia corresponde a 250.000 cm (2,5 km), na realidade.
Assim, 9 cm 2 (área queimada na fotografia) corresponde a
9 · (2,5 km)2 = 9 · (6,25 km)2 = 56,25 km2.
nº de salgados (120 + 100) salgados
=
= 4, 4 salgados / pessoa
nº de pessoas
(30 + 20) pessoas
(lê-se: 4,4 salgados por pessoa)
Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados.
Em geral, dados dois números reais a e b, com
a
ou a : b para indicar a razão entre a e b ,
b ≠ 0 , usamos
b
respectivamente.
a
Na razão
(lê-se: a para b), o número a é chamado
b
de antecedente e o número b, de consequente.
a
Razão entre a e b =
b
Porcentagem (ou percentagem)
É a fração por cento de qualquer coisa, isto é, é a
quantidade correspondente a 100 coisas quaisquer.
P% =
p
(lê-se: p por cento )
100
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Quando
dizemos que os números reais a, b, c, d, não nulos, formam,
nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a seguinte
igualdade:
a c
= ou a : b = c : d
b d
(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Observe, na última igualdade acima, que os termos a e
d ficaram nas extremidades (a e d são chamados de extremos
da proporção); já os termos b e c ficaram no meio (b e c são
os meios da proporção).
Propriedades da proporção
Se
Exemplo:
a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam inglês
fluentemente, isto é, 13% (lê-se: 13 por cento) do
grupo fala inglês. Note:
falam inglês
3
=
= 13% (lê-se: 13 por cento)
total
100
Escalas numéricas (E)
É a razão entre um comprimento no desenho (d) e o seu
correspondente comprimento no tamanho real (D), medidos
numa mesma unidade.
d
E=
D
2
a c
= , com a, b, c, d, reais não nulos, temos:
b d
{
a c
a = kb
= =k⇒
(constante de proporcionalidade).
c = kd
b d
Sendo assim, temos as seguintes propriedades:
a c
= ⇒ ad bc (propriedade fundamental)
I.
b d
“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos.”
a c
a c a+ c
= ⇒ = =
II.
b d
b d b+d
III.
a c
a
c
= ⇒
=
b d
a+b c+d
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
Exemplo:
Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água
nas proporções 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando o
suco da primeira “muito fraco” e o da segunda “muito forte”,
Dona Benta resolveu juntar os conteúdos das duas jarras numa
vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na proporção ideal
de poupa de fruta e água. Considerando J o volume de uma
jarra, podemos descobrir essa proporção ideal, utilizando as
propriedades das proporções. Veja:
I. Na primeira jarra:
poupa 3
poupa
3
3
7
= ⇒
=
⇒ poupa =
⋅ J e água =
⋅J
água 7
(poupa + água) 3 + 7
10
10
Note: poupa + água = J (volume da jarra)
II. Na segunda jarra:
Exemplo:
Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos,
14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir
R$ 240,00 entre eles, em partes diretamente proporcionais às
idades, quanto receberá cada um?
Sendo k a constante de porporcionalidade, a parte de
cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão
16k (João Victor), 14k (Gabriela) e 10k (Matheus)
Daí:
16 k = 16 · 6 = 96

16 k + 14 k + 10k = 240 ⇒ k = 6 ⇒ 14 k = 14 · 6 = 84
10 k = 10 · 6 = 60
poupa 3
poupa
3
3
5
= ⇒
=
⇒ poupa = ⋅ J e água = ⋅ J
água 5
(poupa + água) 3 + 5
8
8
Sendo assim, temos que:
João Victor, Gabriela e Matheus receberam,
respectivamente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.
III. Juntando-se as duas jarras, obteremos:
Grandezas diretamente proporcionais
3
3
12J + 15J
⋅J+ ⋅J
poupa 10
27
8
40
=
=
=
= 27 : 53
7
5
28J + 25J 53
água
⋅J+ ⋅J
10
8
40
Observe na tabela seguinte as quantidades (Q) de
picolés comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos
valores pagos:
Daí, a proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de
fruta para 53 partes de água.
Valor (V)
3
6
15
24
18
36
Quantidade (Q)
1
2
5
8
6
12
Números diretamente proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
x3
1ª sequência: (2, 6, 4, 10)
x2
x3
2ª sequência: (6, 18, 12, 30)
x2
Nessas sequências, observe que elas crescem ou
decrescem na mesma razão inversa, isto é, se um dado elemento
de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente desse
elemento na outra sequência também triplica. Em outras
palavras, os elementos correspondentes nas duas sequências
estão na mesma razão. Veja:
6 = 3 ⋅ 2
18 = 3 ⋅ 6
6 18 12 30
=
=
=
= 3, isto é, 
2
6
4
10
12 = 3 ⋅ 4
30 = 3 ⋅ 10
Em geral, dizemos que os números da sucessão
numérica (a1, a2, a3, ..., an ) são diretamente proporcionais
(ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão
(b1, b2, b3, ..., bn ) quando as razões entre seus respectivos
correspondentes forem iguais, ou seja:
a1 = k ⋅ b1
a = k ⋅ b2
a1
a2
a3
an
=
=
= ... =
= k 2
b2 b2 b3
bn
.................
an = k ⋅ bn
Esta razão constante k é chamada de fator de
proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é
maior que o respectivo consequente.
Note que as razões obtidas entre os respectivos
elementos das sequências de valores (V) e de quantidades (Q)
são iguais.
V 3 6 15
36
V
= = =
= ... =
⇒
=3
Q 1 2
5
12
Q
Coeficiente de
proporcionalidade
Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são
diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra
também aumenta na mesma proporção, isto é, quando as razões
obtidas entre os valores assumidos por uma das grandezas e os
respectivos valores assumidos pela outra forem iguais.
Em símbolos:
A
= k,
B
onde k é a constante de proporcionalidade
A∝B ⇔
Números inversamente proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
x
1
3
1 1 1 1 
1ª sequência:  ; ; ;
 formada pelos
 2 6 4 10 
x
1
2
respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).
Matemática e suas Tecnologias
3
Enem em fascículos 2012
x 3
2ª sequência: (6, 18, 12, 30)
x 2
Nessas sequências, observe, elas crescem ou decrescem
na razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas
triplica, por exemplo, o correspondente deste elemento na outra
sequência reduz-se à sua terça parte.
Note que os inversos dos números da 1ª sequência são
diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência.
x 3
Inversos da 1ª sequência (2, 6, 4, 10)
Numero de
amigos (A)
2
3
4
5
6
10
30
Bombons
recebidos (B)
30
20
15
12
10
6
2
Note que os produtos obtidos entre os respectivos
elementos das sequências “número de amigos” (A) e “número
de bombons recebidos“ (B) são iguais:
A ⋅ B = 2 ⋅ 30 = 3 ⋅ 20 = = 30 ⋅ 2 ⇒ A ⋅ B = 60
x 2
Em geral, dizemos que os números da sequência
(a1, a2, a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos números
da sequência (b1, b2, b3, ..., bn) quando os números de uma
delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos
inversos da outra, ou seja:
a1
b
a
a
= 2 = 3 = ... = n = k
1
1
1
1
b1
b2
b3
bn
Coeficiente de proporcionalidade
Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são
inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra
diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos obtidos
multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas
pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais.
Em símbolos:
A
= k,
B
onde k é a constante de proporcionalidade
A∝B ⇔
ou de outra forma:
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = anbn = k
Aqui, a constante k também é chamada de fator ou coeficiente
de proporcionalidade e indica o produto entre os respectivos
elementos das sequências inversamente proporcionais.
Exemplo:
Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias,
no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias,
respectivamente. Se o diretor financeiro dessa fábrica dividir
R$ 396, 00 entre os citados funcionários, em partes inversamente
proporcionais às faltas, podemos calcular a parte de cada um.
Veja:
As partes devem ser diretamente proporcionais aos
 1 1 1
inversos dos números de faltas  , e  , respectivamente.
 8 5 2
Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes
serão, então:
1
1
1
· k (Lucas ), · k (Raquel) e · k (Elias ).Daí:
8
5
2
1
1
 8 · k = 8 · 480 = 60

1
k k k
1
+ + = 396 ⇒ 5k + 8k + 20k = 396 · 40 ⇒ k = 480 ⇒  · k = · 480 = 96
5
8 5 2
5
 1 · k = 1 · 480 = 240
2
 2
Exemplo:
Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de
trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias, podemos
inferir em quantos dias 24 desses operários farão serviço
idêntico. Para isso, note que as grandezas, “nº de operários”
(H) e “nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note:
“quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gastam”).
Daí, H · D = k, onde k é constante.
Daí, para os dois serviços, devemos ter:
H · D = 20 · 15 = 24 · x = k, onde x é o número de dias
para a realização do outro serviço.
Assim, x =
Grandezas proporcionais a duas ou mais
outras grandezas
Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C,
então A é proporcional ao produto B · C, isto é:
A
= k,
B ⋅ C
onde k é constante
Sendo assim, temos que:
Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e
R$ 240,00, respectivamente.
Grandezas inversamente proporcionais
Matheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre
os amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os
possíveis números de amigos e as respectivas quantidades (B)
de bombons recebidos por cada amigo:
4
20 · 15
= 12, 5 .
24
Essa propriedade se estende para mais de duas outras
grandezas. Por exemplo:
a) A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então:
Matemática e suas Tecnologias
X
= constante
Y ⋅ Z ⋅ W
Enem em fascículos 2012
b) A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A
e B e inversamente proporcional à grandeza C. Então:
M ⋅ C
= constante
A ⋅ B
c) A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P,
Q, R e diretamente proporcional à grandeza S. Então:
Exemplo:
Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos
precisam conhecer a área das suas folhas. Essa área pode ser
obtida pelo seguinte processo: coloca-se a folha da planta sobre
uma cartolina e traça-se o seu contorno.
Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado com
10 cm de lado, como mostram as figuras a seguir:
X ⋅ P ⋅ Q ⋅ R
= constante
S
10 cm
Regra de sociedade
Em uma sociedade, os lucros e os prejuízos devem ser
distribuídos entre os sócios em partes diretamente proporcionais
aos capitais empregados pelos respectivos sócios e ao tempo
durante o qual esses capitais estiveram empregados na
constituição da sociedade. É justo quem aplicou mais ganhar
mais. É justo quem aplicou seu dinheiro por mais tempo ganhar
mais.
A regra de sociedade é uma aplicação prática da divisão
em partes proporcionais.
10 cm
Após serem recortadas, as duas figuras são pesadas em
uma balança de alta precisão, que indica uma massa de 1,44 g
para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas
proporcionais, os botânicos podem determinar a área das folhas.
Supondo que o botânico obteve a massa da figura da folha igual
a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de três:
Área (cm2)
100
x
Lucro
= constante
(capital) ⋅ (tempo)
Regra de três simples e regra de três composta
Daí,
Existe uma regra prática que nos permite relacionar dois
valores de uma grandeza A com dois valores, respectivamente,
de outra ou outras grandezas proporcionais à grandeza A.
Essa regra pode ser resumida assim:
– 1º passo: Montamos uma tabela colocando em cada
coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza.
– 4º passo: Comparamos esta grandeza de referência
cada uma das outras, isoladamente, identificando se
há proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido)
ou inversa (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas
invertidas).
– 5º passo: Colocamos a razão da grandeza de referência
isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos a outra
razão ou o produto das outras, caso tenha mais de uma
outra lembrando que se há proporcionalidade em relação à
grandeza de referência, devemos inverter os elementos da
respectiva coluna e escrever a razão inversa no membro da
igualdade formada.
Se o problema envolve apenas duas grandezas
proporcionais, temos uma regra de três simples. Caso o problema
envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se-á de uma
regra de três composta.
100 1, 44
=
⇒ 1, 44 x = 324 ⇒ x = 255
x
3, 24
Logo, a área da folha é 225 cm2.
QUESTÃO COMENTADA
– 2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir de
referência, de preferência a que se quer saber o valor.
– 3º passo: À grandeza de referência, associamos uma seta
com sentido para baixo (é só uma convenção, poderia ser
para cima).
Massa (g)
1,44
3,24
C-1
H-3
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
•
(UFSM - Adaptado) Uma banana sem casca tem cerca de
70% de água e o restante de matéria sólida (que não se
perde no processo de secagem). Na produção de bananapassa, a secagem deve ser feita em estufa, com circulação
de ar aquecido a 65 graus entre bandejas, onde as bananas
são acomodadas uma ao lado da outra, em fileiras. O tempo
de secagem é de aproximadamente 24 horas para atingir
o ponto de passa com 20% de umidade (isto é, o ponto
em que a água represente 20% da massa total).
Nessas condições, a porcentagem que a massa de bananapassa obtida representa em relação à massa total inicial de
fruta é igual a:
a) 25%.
b) 27,5%.
c) 37,5%.
d) 40%.
e) 42,5%.
Matemática e suas Tecnologias
5
Enem em fascículos 2012
Comentário
Sendo x a massa inicial total da banana sem casca, temos:
70
i)Massa inicial de água = 70% de x =
⋅ x = 0,7x
100
ii)Massa sólida (fixa) = x – 0,7x = 0,3x
Daí,
Massa sólida (fixa) = (100% - 20%) · (massa final)
0,3x = 0,8 · (Massa final)
0, 3x
Massa final =
0, 8
Massa final = 0,375 · x
Ou seja:
Massa final = 37,5% · (massa inicial)
Resposta correta: c
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
C-3
H-11
Compreendendo a Habilidade
– Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do
cotidiano.
01. (Unicamp - Adaptado) A figura a seguir mostra um
fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto da
estrada que liga as cidades de Paraguaçu e Piripiri.
Os números apresentados no mapa representam as
distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto
de início da estrada (que não aparece na figura). Os traços
perpendiculares à estrada estão uniformemente espaçados
de 1 cm.
Paraguaçu
Posto
13
H-16
A palavra “quilate” vem do grego keratio, significando
uma semente que era usada como unidade de peso na antiga
n
de sua
Grécia. Uma joia é considerada de n quilates se
24
massa for de ouro, sendo n maior ou igual a 1 e menor ou
igual a 24.
Assim, o ouro de um objeto com 18 partes de ouro e 6
de outro metal é de 18 quilates. Desta forma, o ouro 18 quilates
tem 75% de ouro, e os 25% restantes são ligas adicionadas para
garantir maior durabilidade e brilho à joia. Note que 18 quilates
= 18/24 = 75% de ouro (também chamado de ouro 750).
O ouro puro tem 24 quilates (contém 100% de ouro)
e é denominado ouro 1000. Na realidade, o ouro nunca
tem uma pureza total, e a classificação mais alta cai para
999 pontos, na escala europeia, conforme mostra a tabela.
Quilatagem
Conteúdo
de Ouro
24 K
100%
999
18 K
75%
750
14 K
58,3%
583
10 K
41,6%
416
Pureza
Disponível em: http://pt.wikipedia.org - Adaptado.
47
Compreendendo a Habilidade
introdução
Caminhando em direção ao Enem, firmaremos neste
momento alguns conhecimentos de proporcionalidade
vinculados à geometria.
Nesta seção, nosso trabalho consistirá na fundamentação
das propriedades decorrentes da ampliação e redução de objetos,
assegurando uma maior confiança na resolução dos quesitos
a seguir.
– Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
02. Para a reforma do Ginásio de Esportes de certo colégio,
foram contratados 24 operários. Eles executaram 40% do
trabalho em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. No final
do 10º dia, 4 operários foram dispensados. No dia seguinte,
os operários restantes retomaram o trabalho, trabalhando
6 horas por dia e concluíram a reforma. Sabendo-se que o
trabalho foi executado nos dois momentos sem folga em
nenhum dia, ao todo, a reforma foi realizada em:
a) 25 dias.
b) 27 dias.
c) 29 dias.
d) 31 dias.
e) 33 dias.
6
O que é um quilate de ouro?
Piripiri
Imagine que você tenha que reproduzir o mapa dado
usando a escala 1 : 500.000. Se você fizer a figura em uma
folha de papel, a distância, em centímetros, entre as cidades
de Paraguaçu e Piripiri será de:
a) 5,6.
b) 6,0.
c) 6,4.
d) 6,8.
e) 7,2.
C-4
DE OLHO NO ENEM
OBJETO DO CONHECIMENTO
Proporcionalidade na Geometria
A geometria surge a partir da necessidade de calcular
distâncias, medir superfícies, construir habitações, templos
e outras coisas. Através dos tempos, os seus registros
estão presentes nos legados de todas as civilizações:
babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus,
árabes utilizaram as formas geométricas em seu dia a dia.
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
Atualmente, o projeto de construção de um edifício ou de uma
aeronave, por exemplo, com frequência requer a produção de
modelos e maquetes em miniatura, com a mesma forma que o
objeto original, permitindo obter um amplo entendimento de
sua complexa estrutura. A ampliação ou redução fotográfica
é outro recurso utilizado para revelar com detalhes aspectos
de difícil visualização de certas situações, como a confecção
da planta de uma cidade, por exemplo. Trata-se de um
procedimento muito útil, pois preserva a forma dos objetos
fotografados.
As figuras abaixo são semelhantes.
•
Duas figuras são semelhantes quando os ângulos
correspondentes são congruentes e a medida do
comprimento dos segmentos que unem quaisquer dos
pontos de uma é proporcional à medida do comprimento
dos segmentos correspondentes na outra. Assim, duas
figuras são semelhantes se uma é ampliação ou redução
da outra ou se são congruentes.
Numa ampliação todos os comprimentos são multiplicados
por um número maior do que 1 e, numa redução, todos os
comprimentos são multiplicados por um número positivo
menor do que 1.
Para relacionar as dimensões de figuras semelhantes
define-se a razão de semelhança, r, que é o quociente entre
as medidas dos comprimentos de qualquer segmento da
figura transformada e as medidas dos comprimentos do
segmento correspondente da figura inicial.
Se r > 1, a figura semelhante é uma ampliação.
Se r < 1, a figura semelhante é uma redução.
Se r = 1, as figuras são congruentes ou geometricamente
iguais.
O fator de escala entre duas figuras semelhantes é igual
ao valor da razão de semelhança.
•
É incontestável que o desconhecimento das formas
geométricas e suas propriedades, indubitavelmente
comprometerá a percepção, a compreensão e a capacidade
de raciocínio visual que a vida diária exige de nós. Através do
estudo da geometria é possível observar, analisar e refletir
sobre as propriedades do plano e do espaço. Neste sentido,
é importante que os estudantes adquiram a capacidade de
observar, reconhecer as formas geométricas e através de suas
propriedades, interpretar e solucionar situações-problema da
vida cotidiana.
O Teorema de Tales garante que um feixe de paralelas
determina, em duas transversais quaisquer, segmentos
proporcionais.
A
t’
A’
a
•
Teorema de Tales (proporcionalidade)
t
•
r
Semelhança de triângulos
Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm seus
pares de lados correspondentes ordenadamente proporcionais
e os ângulos correspondentes iguais.
c
B
A
B’
b
s
d
C
C’
b
c
B
v
A’
a
b’
c’
C
B’
C’
a’
Se os triângulos ABC e A’ B’ C’ são semelhantes, então:
Aˆ = Aˆ ’
c
a
b
ˆ
=
=
= k (razão de semelhança)
B = Bˆ ’ e
Cˆ = Cˆ ’ c’ a’ b’

r // s // v (paralelas)
t e t’ (transversais)
Propriedade
a c
=
b d
Casos de semelhança
•
Semelhança
Um conceito muito utilizado em geometria é a ideia
de figuras semelhantes, que vem sendo utilizado desde
a Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma
congruência são exemplos claros de semelhança.
Entre as figuras geométricas planas que são sempre
semelhantes, temos todos os círculos e quadrados, enquanto
na geometria tridimensional temos as esferas e os cubos.
•
•
Primeiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos
são semelhantes quando têm dois ângulos ordenadamente
iguais.
Segundo caso de semelhança de triângulos: dois
triângulos são semelhantes quando têm um ângulo igual,
compreendido entre dois lados proporcionais.
Terceiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos
são semelhantes quando têm os três lados ordenadamente
proporcionais.
Matemática e suas Tecnologias
7
Enem em fascículos 2012
Exemplo:
O ângulo sob o qual um observador vê o topo de um
prédio de 88 m de altura duplica quando esse observador se
aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se aproxima
mais 50 m. Neste instante, a distância entre o observador e o
prédio pode ser inferida, usando-se semelhança de triângulos.
88 m
α
A
3α
2α
B
110 m
50 m
C
D
Para isso, veja no modelo matemático seguinte que os
triângulos AEC e EBC são semelhantes.
E
α
Importantíssimo:
• k é chamado razão de semelhança.
• Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade
se mantém constante para quaisquer dois segmentos
correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas,
perímetros, inraios, circunraios etc.
• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com
razão de semelhança k, a razão entre as áreas é k².
• Uma extensão razoável dos resultados acima vemos
que na geometria espacial quando se tem dois
sólidos semelhantes, dizemos que a razão entre os
volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da
razão de semelhança, isto é, k³.
Exemplo:
Um bolo em forma de pirâmide tem altura 30 cm e
área da base igual a 150 cm2. Usando semelhança de sólidos
geométricos, podemos determinar a área da secção superior do
tronco da pirâmide obtida quando se corta o bolo paralelamente
à base e a 17 cm dela. Veja:
α
h
88
30
17
α
2α
110
A
Daí,
3α
50
B
x
C
D
CE 160
=
⇒ (CE)2 = 8000
50 CE
Agora, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
CDE, obtemos:
8000 = x² + 7744
(CE)² = x² + 88²
Ab = 150 cm2
Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção
transversal), podemos concluir que:
• h = 30 – 17 = 13 é a razão de semelhança da pirâmide
menor (acima do corte) e a maior (bolo completo) é
x = 16 m
k=
13
;
30
Área da secção (pirâmide menor)
= k 2;
Área da base (pirâmide maior)
Semelhança de Polígonos
•
Dois polígonos são semelhantes se for possível
estabelecer uma correspondência entre vértices e lados de modo
que ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e
lados correspondentes sejam proporcionais.
Área da secção (pirâmide menor)  13
=  .
• Assim,
 
2
150
30
Logo, a área da secção é aproximadamente igual a
28,2 cm2.
B’
b’
B
a’
b
a
C’
c
A
c’
A’
d
e’
C-3
H-12
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas..
D’
D
c
d’
E
•
E’
Aˆ = Aˆ ’, Bˆ = Bˆ ’, Cˆ = Cˆ ’, Dˆ = Dˆ ’,Eˆ = Eˆ ’
a
b
c
d
e
 ⇒ ABCDE ~ A’B’C’D’E’
=
=
=
=
=k

a’ b’ c’ d’ e’
8
QUESTÃO COMENTADA
C
Um reservatório em forma cônica, totalmente cheio, de
altura 6 dm e raio da base 2 dm, está com o vértice A
voltado para baixo. Devido a um vazamento nesse vértice,
a altura da água passou a ser 3 dm, como mostra a fig.1.
Para fazer o reparo, esse reservatório foi invertido, ficando
com o vértice A voltado para cima.
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
2 dm
A
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
C-2
H-9
6 dm
3 dm
A
(Fig. 1)
(Fig. 2)
A água depositada no fundo do recipiente, com essa
movimentação, conforme fig. 2, formou um tronco de
cone, cuja altura mede:
(
)
b) (12 + 3 7 ) dm
c) (12 − 3 7 ) dm
d) (6 + 3 7 ) dm
e) (6 − 3 7 ) dm
a) 25 + 3 3 7 dm
Compreendendo a Habilidade
– Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de
argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
03. Na mesma escala, temos na ilustração a seguir, a planta
de uma rede elétrica de um bairro. A reta r é um cabo de
alta tensão e deve ser anexado à rede nos pontos Q1, Q2 e
Q3. As demais retas, sempre paralelas ou perpendiculares
entre si, representam as linhas normais de transmissão
das ruas, sendo os postes seus pontos de interseção.
A circunferência de raio 3 cm, centrada no poste P1 , é uma
região de isolamento de segurança para o mesmo, e T seu
ponto de tangência com a reta r.
r
P2
3
Q3
3
Q2
3
T
3
Q1
P1
Comentário
2 dm
A
V1
Se a distância entre os postes numa mesma reta é sempre
45
igual a
cm, e TQ1 mede 4 cm, podemos concluir que
4
a medida da distância P2Q3 , em centímetros, é igual a:
a) 6,0 cm
b) 7,8 cm
c) 10,0 cm
d) 13,4 cm
e) 16,8 cm
6–h
V1
6 dm
V2
3 dm
h
V2
A
(Fig. 1)
(Fig. 2)
i) Em virtude do paralelismo entre a superfície do líquido
e a base do reservatório (Fig. 1), podemos escrever:
C-3
H-14
Compreendendo a Habilidade
– Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
geométricos relacionados a grandezas e medidas.
3
V1 + V2  6 
=   = 8 → V1 = 7V2
V2
 3  semelhança de sólidos
ii) Na fig. 2, aplicando raciocínio análogo, temos:
3
V1 + V2  6 
8V2  6 
=
 → 7V =  6 − h 
V1
6 −h


2
3
04. Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone circular
reto invertido, de eixo vertical, e está cheio até a boca
(nível do solo) com 27000 litros de água e 37000 litros de
petróleo (o qual é menos denso que a água).
Simplificando a sentença acima, concluímos:
3
(
)
8
6
6
2
=
→
=
→ h = 6 − 3 3 7 dm.
7 6 −h
6−h 3 7
Resposta correta: e
Matemática e suas Tecnologias
9
Enem em fascículos 2012
Sabendo que a profundidade total do tanque é 8 metros
e que os dois líquidos não são miscíveis, podemos concluir
que a altura da camada de petróleo é:
a) 6 metros.
b) 2 metros.
c)
3 37
metros.
π
d)
27
metros.
16
e)
37
metros.
16
a
b
Observe, no modelo matemático seguinte, que os
triângulos 1 e 2 são semelhantes.
DE OLHO NO ENEM
b
Retângulo Áureo
a–b
a
Diz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando
apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o quadrado
ABFE, o retângulo CDEF restante será semelhante ao retângulo
original.
B
a
F
b
b
C
A
E
C
D
a
C
D
Como os retângulos ABCD e CDEF são semelhantes,
a
b
a a
= ⇒ b2 + ab = a2 ⇒ 1 + =  
a+b a
b b
2
a
Daí, fazendo k = , obtemos k² = k + 1
b
a 1+ 5
Portanto, k = =
(número de ouro)
b
2
Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito
ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos, ou seja,
a razão entre seus lados é igual ao número de ouro:
a 1+ 5
=
b
2
10
a
b
a
introdução
temos:
b
b a−b
Assim, temos =
, o que nos dá a = 1+ 5
a
b
b
2
C
(número de ouro)
b
a
E
θ
a
F
E
D
α
b
D
b
T1
F
a
F
θ
α
E
a
T2
A ideia de proporcionalidade está naturalmente embutida
no raciocínio humano. Sua importância se dá pela sua ampla
perspectiva de aplicação no estabelecimento de relações em
todas as áreas do conhecimento. Diversas leis naturais, diversos
fenômenos físicos, biológicos ou sociais podem ser explicados e
quantificados através do conceito de proporcionalidade. Talvez
nenhuma outra função matemática expresse tão bem essa ideia
quanto a função afim.
OBJETO DO CONHECIMENTO
Função afim
Toda função f de R em R dada por uma lei da forma
f(x) = ax + b, em que a 0 e b são constantes reais, é dita função
afim ou função do 1º grau, cuja representação gráfica é uma reta.
Nessa função, o coeficiente de x (a) é chamado de coeficiente
angular e o termo independente de x (b), de coeficiente linear.
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
Observação
Para a > 0, o gráfico de f é uma reta crescente e para
a < 0, uma reta decrescente.
a>0
b>0
QUESTÃO COMENTADA
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
b=0
y
b<0
•
raiz
raiz
b>0
x
raiz
a<0
Dionísio possui R$ 600,00, e é o máximo que pode gastar
consumindo dois produtos A e B em quantidades x e y
respectivamente. O preço por unidade de A é R$ 20,00 e
o de B é R$ 30,00. Admite-se que as quantidades x e y
sejam representadas por números reais não negativos e
sabe-se que ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com
produto A. Nessas condições, o conjunto dos pares (x,y)
possíveis, representados no plano cartesiano, determinam
uma região cuja área é:
a) 195
b) 205
c) 215
d) 225
e) 235
Comentário
b=0
Das informações do enunciado, temos as seguintes
inequações:
y
 x
 30 + 20 ≤ 1
20x + 30y ≤ 600


⇒ 0 ≤ x ≤ 15
20x ≤ 300
y ≥ 0
x ≥ 0 e y ≥ 0


y
b<0
raiz
H-21
C-5
raiz
raiz
x
Representado no plano cartesiano obtemos a seguinte
figura:
y
Taxa de variação
20
Sendo x1 e x2 dois elementos distintos do domínio de f,
tais que f( x1 ) = y1 e f( x2 ) = y2, temos:
f ( x 2 ) = ax 2 +b = y 2

f ( x1 ) = ax1+b = y1
10
Subtraindo membro a membro essas igualdades,
obtemos:
a( x2 – x1) = y2 – y1
a=
15
y 2 − y1
x 2 − x1
Resposta correta: d
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
f( x 2 ) − f( x1)
(constante)
x 2 − x1
Já calculando o valor numérico de f(0), obtemos:
f(0) = a · 0 + b
x
(20 + 30)15
A área da figura é: S =
= 225
2
Sendo assim, o coeficiente angular de f, a, pode ser
interpretado como sendo a taxa de variação de f(x) = y, em
relação a x, no intervalo fechado [x1, x2 ], isto é:
a=
30
C-5
H-21
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
f(0) = b
Isso nos mostra que o coeficiente linear b representa
o valor da função quando a variável assume o valor zero.
Frequentemente, b está associado ao valor inicial da função (ou
valor fixo), enquanto que a está relacionado ao valor variável
(ou unitário).
05. Por volta do século XIX, o cientista inglês William
Thompson, mais conhecido como Lorde Kelvin, percebeu,
através de experimentação, que quando um gás a volume
constante era resfriado sua pressão diminuía linearmente.
Sendo a pressão do gás uma consequência da agitação
térmica das partículas, Kelvin concluiu que a temperatura
Matemática e suas Tecnologias
11
Enem em fascículos 2012
deveria diminuir até que cessasse o movimento das
partículas, ou seja, o estado de agitação térmica das
partículas deveria ser nulo, e adotou esse conceito que
ficou conhecido como zero absoluto. No mundo físico
não há temperatura abaixo desse valor. O zero absoluto é
um estado térmico que existe teoricamente, mas na prática
nunca foi atingido. Na realidade, ele é inatingível.
DE OLHO NO ENEM
Lei Dolbear
Abaixo, temos um esquema em que a pressão de um gás,
mantido com volume constante, é medida através de uma
coluna de mercúrio.
373 mm
273 mm
173 mm
73 mm
– 200 ºC
– 100 ºC
0 ºC
100 ºC
De acordo com os dados do experimento, podemos concluir
que:
a) o zero absoluto é inatingível.
b) o zero absoluto é –100 °C.
c) o zero absoluto é –200 °C.
d) o zero absoluto é –273 °C.
e) o zero absoluto é –273,15 °C.
C-5
H-20
Compreendendo a Habilidade
– Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
06. Em uma sala de cateterismo cardíaco foram feitas várias
tomadas de pressão sistólica do ventrículo esquerdo. Foram
feitas várias medidas de pressão, em intervalos regulares
de tempo. Após 30 min de exame, foi feita uma injeção
de contraste, fazendo com que a pressão se elevasse de A
para B, para depois cair de B para C. O intervalo de tempo
decorrido a partir da injeção de contraste até a pressão
atingir 140 mmHg foi de (conforme o gráfico):
Certamente todos nós já passamos, em algum
momento, pelo incômodo de ouvir o estridente “criquilar”
de um grilo. E, provavelmente, tenhamos verificado que
num fim de tarde muito quente, os grilos “cantam” com uma
frequência maior do que à noite, com temperatura mais fresca.
Essa observação foi quantificada e publicada pela primeira
vez em 1897 pelo inventor americano E. A. Dolbear, em um
artigo chamado “O grilo como termômetro”, que forneceu a
fórmula empírica:
N − 40
T = 10 +
7
Essa fórmula, por vezes, é chamada de Lei de Dolbear, e
foi formulada originalmente em graus Fahrenheit (mas acima,
os valores estão em Celsius) e, é claro, varia de espécie para
espécie. De acordo com a fórmula acima, se os grilos cantarem
a uma taxa de 110 vezes por minuto, a temperatura é de
20 °C. Se cantarem 145 vezes por minuto, a temperatura é
de 25 °C. Cada estrilado é feito quando o grilo fricciona sua
asa dianteira direita contra sua asa dianteira esquerda, que é
coberta de serras.
Nesse processo, a criação do som ocorre de maneira
similar ao ato de passar sua unha sobre os dentes de um pente.
Em insetos, a esse comportamento dá-se o nome de estridulação,
já às pessoas que fazem barulho com as unhas e os dentes de
um pente, dá-se apenas o nome de “chatos”.
P (mmHg)
B
155
exercÍCIOS PROPOSTOS
150
C
140
C-1
H-3
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
A
130
D
120
0
a) 2,5 min
c) 3,5 min
e) 4,5 min
12
10
20
30
40
50
b) 3,0 min
d) 4,0 min
(min)
01. (Unicamp - Adaptado) Sabe-se que uma molécula de água
é composta por dois átomos de hidrogênio e um átomo
de carbono, cujas massas atômicas são, respectivamente,
1 u e 16 u, aproximadamente, em que u representa a
unidade de massa atômica. O corpo humano é composto
majoritariamente por água, cuja porcentagem, em massa,
pode variar entre 80%, quando se nasce, e 50%, quando
se morre, ou seja, perde-se água enquanto se envelhece.
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2012
Considere que, aos 3 anos de idade, 75% do corpo humano
é água, e que todo o oxigênio do corpo humano seja o da
água aí presente.
Nesse caso, pode-se afirmar que a proporção em
massa de oxigênio no corpo da criança de 3 anos é de
aproximadamente:
3
2
a) b)
4
3
C-4
c)
1
2
e)
2
5
H-16
d)
3
5
H-19
C-5
Compreendendo a Habilidade
– Identificar representações algébricas que expressem a relação entre
grandezas.
04. O tamanho de uma folha de papel é definido pela Norma
Internacional ISO 216.
Na série A, uma folha consiste em um retângulo construído
de forma a se manterem as razões entre o lado maior e o
lado menor, quando o papel se divide ao meio.
Assim, o papel A0, que tem 1 m2 de área, ao ser dividido
ao meio, dá origem a duas folhas de papel A1, como você
pode ver na figura.
x
Compreendendo a Habilidade
papel A1
x
2
papel A1
x
2
papel A0
– Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta
ou inversamente proporcionais.
y
02. (UFRJ) Leia a tirinha.
OS BICHOS
Fred Wagner
Se juntarmos
500 gravetos
por dia...
...conseguiremos montar o ninho em duas ou
três semanas, querida!
Isso na melhor
das hipóteses!
y
x
2
y
Cada folha de papel A1, por sua vez, dá origem a duas
folhas de papel A2.
Cada folha de papel A2 dá origem a duas folhas de papel
A3 e assim sucessivamente.
O tamanho de papel mais utilizado pelas pessoas em casa
e nos escritórios, é o tamanho A4, cuja menor dimensão
é 21 cm.
A fórmula que expressa o valor de x a partir do valor de y e
a maior dimensão de uma folha A4 são, respectivamente:
(Use 2 ≈ 1,414)
...o que implica
12 horas de
trabalho, sem
almoço...
papel
A1
a) x = y 2 + 2 e 31,694 cm.
E aquela gaiola
vazia na casa Boa
ideia!
do sítio?
b) x = y 2 + 1 e 30,694 cm.
c) x = y 2 e 29,694 cm.
d) x = y 2 − 1 e 28,694 cm.
e) x = y 2 − 2 e 27,694 cm.
Admita que os pássaros levem exatamente três semanas
para construir seu ninho, nas condições apresentadas nos
quadrinhos.
Se eles quiserem construir o ninho em apenas duas
semanas, trabalhando 9 horas diárias, deverão juntar, por
dia, a seguinte quantidade de gravetos:
a) 600
b) 800
c) 900
d) 1000
e) 1200
C-4
H-16
C-2
H-8
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de
espaço e forma.
05. A “divina proporção”, também conhecida como proporção
áurea, foi usada por Leonardo da Vinci para pintar a
Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários
pontos do quadro aparece o retângulo áureo, como
ilustrado na figura 1.
Na figura 2, os quadriláteros ABDF, CDFH, EFHJ, GHJK,
IJKL são retângulos áureos semelhantes e os quadriláteros
ABCH, CDEJ, EFGK, GHIL são quadrados.
Compreendendo a Habilidade
F
– Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta
ou inversamente proporcionais.
03. (Profmat-Sbm) Um fazendeiro possui ração suficiente para
alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias,
ele vendeu 4 vacas. Passando mais 15 dias ele compra 9
vacas. Depois desta última compra, a reserva de ração foi
suficiente para alimentar as vacas por mais:
a) 40 dias.
b) 36 dias.
c) 32 dias.
d) 30 dias.
e) 28 dias.
L
G
x
H x
I
A
Figura 1: Mona Lisa e proporções
Matemática e suas Tecnologias
E
D
K
J
C
B
Figura 2: Retângulos áureos
13
Enem em fascículos 2012
Sabendo-se que a razão entre o maior lado e o menor
lado do retângulo áureo é igual ao número de ouro j, e
chamando a medida do lado do quadrado GHIL de x cm,
pode-ser afirmar que a razão entre a área do quadrado
GHIL e a área do quadrado ABCH é igual a:
1
1
b) 4
a) 6
ϕ ϕ
1
ϕ2 e) j
c)
C-2
H-8
d)
Compreendendo a Habilidade
e) h =
H-21
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de
espaço e forma.
E
D
B
C
Se AB = 3 m e AE = 2,4 m, então AD, em metros, é igual a:
a) 3,0
b) 4,0
c) 4,6
d) 5,6
e) 6,0
H-14
c) h =
C-5
A
C-3
Assim, a expressão matemática que permite calcular a
medida h em função de H deve ser:
H
H
a) h =
b) h =
3
3
1
ϕ
06. Um cabo de aço AC de 7 m de comprimento foi utilizado
para sustentar um muro, e uma barra de aço EB, paralela
ao chão, foi fixada nesse cabo, perpendicularmente ao
muro, como mostra a figura a seguir.
Compreendendo a Habilidade
– Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
geométricos relacionados a grandezas e medidas.
07. Numa escavação arqueológica, dois exploradores
encontraram uma pirâmide de ouro maciço, com base
quadrada de aresta a, e altura H, como mostra a figura
(meramente ilustrativa e fora de escala) a seguir.
H
2
d) h =
H
2
H
3
2
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
08. Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo
e as vende por R$ 80,00 a unidade. Devido ao aluguel e a
outras despesas fixas que não dependem da quantidade
produzida, a empresa tem um custo fixo anual de
R$ 96.000,00. Além do custo fixo, a empresa tem que
arcar com custos que dependem da quantidade produzida,
chamados custos variáveis, tais como matéria-prima, por
exemplo; o custo variável por camisa é R$ 40,00.
Em 2009, a empresa lucrou R$ 60.000,00. Para dobrar o
lucro em 2010, em relação ao lucro de 2009, a quantidade
vendida em 2010 terá de sofrer um aumento percentual,
em relação a 2009, mais próximo de:
a) 120
b) 100
c) 80
d) 60
e) 40
H-20
C-5
Compreendendo a Habilidade
– Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
09. Maria comprou um aquário e deseja criar dois tipos de
peixes: os vermelhos e os amarelos. Cada peixe vermelho
necessita de 5 litros de água e consome 10 gramas de
ração por dia. Cada peixe amarelo necessita de 3 litros
de água e consome 4 gramas de ração por dia. O aquário
de Maria tem 300 litros, e ela deseja gastar, no máximo,
500 gramas de ração por dia.
Considere as quantidades de peixes vermelhos e amarelos
como valores reais x e y, respectivamente.
A região do primeiro quadrante do plano cartesiano xy,
cujos pares ordenados definem as quantidades de peixes
vermelhos e amarelos que podem estar no aquário, está
melhor representada pelo gráfico:
a)
y
h
125
H
100
50
a
30
50 60
x
5x + 3y = 300
Para dividi-la em dois sólidos de volumes iguais, cortaram
a mesma com um plano paralelo à base a uma altura h do
vértice da pirâmide.
14
Matemática e suas Tecnologias
10x + 4y = 500
Enem em fascículos 2012
b)
y
C-5
H-22
Compreendendo a Habilidade
– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a
construção de argumentação.
125
100
50
30
50 60
x
10. Até o ano de 2000, a inflação num certo país manteve-se
em 4% ao ano, aproximadamente. A partir daí sofreu
aumentos sucessivos de 2% ao ano, até 2002, declinando
novamente em 2003, conforme mostra o gráfico abaixo.
Segundo previsões otimistas de que esse declínio se
manterá constante pelos próximos anos, pode-se esperar
que a inflação volte ao patamar de 4% no ano de:
5x + 3y = 300
10x + 4y = 500
8%
c)
y
6%
125
4%
100
2000 2001 2002
50
a) 2008
c) 2011
e) 2010
30
50 60
b) 2009
d) 2012
x
5x + 3y = 300
GABARITOS
10x + 4y = 500
2003
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
d)
y
01
02
03
04
05
06
d
d
c
b
d
a
125
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
100
50
30
50 60
x
5x + 3y = 300
02
03
04
05
b
d
e
c
a
06
07
08
09
10
d
e
e
a
e
Anotações
10x + 4y = 500
01
e)
y
125
100
50
30
50 60
x
5x + 3y = 300
10x + 4y = 500
Matemática e suas Tecnologias
15
Enem em fascículos 2012
Anotações
Expediente
Diretor-Superintendente: Tales de Sá Cavalcante
Diretora Pedagógica: Hilda Prisco
Diretora Controller: Dayse Tavares
Supervisão Pedagógica: Marcelo Pena
Gerente do FBEscolas: Fernanda Denardin
Gerente Gráfico: Andréa Menescal
16
Coordenador Gráfico: Sebastião Pereira
Projeto Gráfico: Joel Rodrigues e Franklin Biovanni
Editoração Eletrônica: Robert Oliveira
Ilustrações: Gilberto Abreu
Revisão: Kelly Gurgel
OSG: 6167412
Matemática e suas Tecnologias