Regras de Inferência




Como gerar na Lógica Proposicional formas
válidas de argumento?
Regras de Inferência permitem gerar formas
de argumentos numa série de etapas simples
e precisas de raciocínio chamada prova ou
derivação.
Cada etapa numa derivação é uma instância
de uma das regras de inferência.
Existem 10 regras básicas: uma para incluir e
outra para excluir cada um dos operadores
lógicos.
Ex: {C, SA, CS} |-- A





1.
2.
3.
4.
5.
C
SA
CS
S
A
P
P
P
1 e 3 MP
2 e 4 MP
Derivação
Uma derivação (prova) de uma forma
de argumento é uma seqüência de
enunciados <e1, e2, .... en>, onde:



en é a conclusão
Cada e1, e2, .... en pode ser:

Uma premissa ou

O resultado da aplicação de uma regra
à enunciados anteriores.
Derivação


No exemplo, temos que a seqüência de
fórmulas (que representam os
enunciados). 1, 2, ....5 é uma derivação
ou uma prova da forma indicada.
A regra utilizada MP chama-se Modus
Ponens (modo afirmativo).
Modus Ponens (MP):

de um condicional e de seu
antecedente, podemos inferir o seu
conseqüente.
α
αβ
β
Ex: {~P(QR), ~P, Q} |-- R
1.
2.
3.
4.
5.
~P(QR)
~P
Q
QR
R
P
P
P
1 e 2 MP
3 e 4 MP
Eliminação da negação (~E):

de uma fórmula da forma ~~α,
podemos inferir α.
~~α
α
Ex: {~P  ~~Q, ~~~P} |-- Q
1.
2.
3.
4.
5.
~P  ~~Q
~~~P
~P
~~Q
Q
P
P
2 ~E
1 e 3 MP
4 ~E
Introdução de conjunção (^I):

de quaisquer fórmulas α e β. podemos
inferir a conjunção α e β.
α
β
α^β
Eliminação de conjunção (^E):

de uma conjunção podemos inferir
qualquer um dos seus componentes.
α^β
α
α^β
β
Ex:{P(Q^R), P} |-- P ^ Q





1.
2.
3.
4.
5.
P(Q^R)
P
Q^R
Q
P^Q
P
P
1 e 2 MP
3 ^E
2 e 4 ^I
Ex:{(P^Q)(R^S),~~P, Q} |-- S







1. (P^Q)(R^S)
2. ~~P
3. Q
4. P
5. P ^ Q
6. R^S
7. S
P
P
P
2
3
1
6
~E
e 4 ^I
e 5 MP
^E
Introdução de disjunção (νI) :

de uma fórmula α, podemos inferir a
disjunção de α com qualquer fórmula β.
α .
αvβ
Ex:{P |-- (PvQ) ^ (PvR)}




1.
2.
3.
4.
P
PvQ
PvR
(PvQ) ^ (PvR)
P
1 vI
1 vI
2 e 3 ^I
Ex:{P, ~~(PQ) |--(R^S)vQ}





1.
2.
3.
4.
5.
P
~~(PQ)
PQ
Q
(R^S)vQ
P
P
2 e ~E
1 e 3 MP
4 e vI
Eliminação de disjunção (vE):

De quaisquer fórmulas da forma
α v β, αγ, βγ , podemos inferir γ.
α v β αγ βγ
γ
Exemplo:


Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é
Sábado então é um fim de semana. Se
hoje é Domingo então é um fim de
semana. Portanto, hoje é um fim de
semana.
{SvD, SF, DF} |-- F
Introdução do Bicondicional ():

de quaisquer fórmulas da forma
α  β e β α, podemos inferir αβ.
α  β β α
αβ
Eliminação do Bicondicional (E):

de qualquer fórmula da forma αβ,
podemos inferir as fórmulas α β ou
β α.
αβ ,
αβ
αβ
βα
Exemplos:


Hoje é um fim de semana se e somente
se hoje é Sábado ou Domingo.
Portanto, hoje é um fim de semana,
desde que hoje é Sábado.
{F(SvD), S} |-- F
{F(SvD), S} |-- F





1.
2.
3.
4.
5.
F(SvD)
S
SvD
(SvD)F
F
P
P
2 vI
1 E
2 e 4 MP
{PQ, (PQ)(QP)} |-- PQ




1.
2.
3.
4.
PQ
(PQ)(QP)
QP
PQ
P
P
1 e 2 MP
1 e 3 I
Regras Hipotéticas



Introdução do condicional e da negação
empregam raciocínio hipotético:
Raciocínio baseado em hipóteses.
As hipóteses não são consideradas
como verdadeiras, elas são "artifícios
lógicos" (estratégia de prova).
Exemplo:

Um atleta machucou o tornozelo uma semana
antes de um campeonato de corrida e seu
técnico procura convencê-lo a parar alguns
dias para que seu tornozelo sare totalmente:
O técnico argumenta:
"Se você continuar a correr, você não estará
apto para disputar o campeonato".
O atleta não se convence e diz: "Prove isso".
Solução

A maneira mais comum de provar um
condicional é colocar o seu antecedente
como hipótese (admiti-lo como verdadeiro)
e provar que a partir dele seu consequente
se verifica.
Para esse exemplo, equivale a raciocinar do
seguinte modo:
Solução

"Olhe, suponhamos que você continue
correndo, o seu tornozelo está muito
inchado. Se ele está muito inchado e
você continuar correndo, ele não sarará
em uma semana. Se ele não sarar em
uma semana, então você não estará
apto para disputar o campeonato. Deste
modo, você não estará apto para
disputar o campeonato."
Solução

O novo argumento emprega três suposições
afirmadas como verdadeiras:
1) Seu tornozelo está muito inchado.
2) Se o seu tornozelo está muito inchado e você
continuar correndo, ele não irá sarar em uma
semana.
3) Se o seu tornozelo não sarar em uma
semana, então você não estará apto a
disputar o campeonato.
Solução

O argumento hipotético demonstra que se a
hipótese "você continuar correndo" é verdadeira,
então a conclusão do argumento "você não
estará apto para disputar o campeonato", se
verifica.
Assim, fica provada a verdade do condicional:
"Se você continuar correndo, você não estará
apto a disputar o campeonato".
Formalizando:
Suposições desse argumento hipotético:
1. I
Tornozelo está inchado
2. (I ^ C)~S Se tornozelo inchado e continuar

correndo, então não irá sarar.
3. ~S~A

Se seu tornozelo não sarar você não
estará apto para o Campeonato.
Conclusão a ser provada:
C~A
Se você continuar correndo agora, você
não estará apto para Campeonato.
Formalizando:

Forma do novo argumento:
{I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A
Derivação:
{I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A








1. I
2. (I ^ C)~S
3. ~S~A
4. |
C
5. |
I^C
6. |
~S
7. |
~A
8. C~A
P
P
P
H p/ PC
1 e 4 ^I
2 e 5 MP
3 e 6 MP
4 e 7 PC
Prova do Condicional (PC):

Dada uma derivação de uma fórmula  a
partir de uma hipótese , podemos descartar
a hipótese e inferir 
{} ├ 


Em relação ao exemplo da corrida,
éC
e
 é ~A.
Outros exemplos:








Ex. 1:
{P  Q, Q  R} ├ P  R
1.
2.
3.
4.
5.
6.
PQ
QR
|P
|Q
|R
PR
P
P
H p/PC
1 e 3 MP
2 e 4 MP
3 e 5 PC
Outros exemplos:









Ex. 2:
{(P ^ Q)  R} ├ P  (Q  R)
1. (P ^ Q)  R
2. |P
3. || Q
4. || P ^ Q
5. | | R
6. |
QR
7. P  (Q  R)
P
H p/PC
H p/PC
2 e 3 ^I
1 e 4 MP
3 e 5 PC
2 e 6 PC
Outros exemplos:















Ex. 3:
{(P ^ Q) v (P ^ R)} ├ P ^ (Q v R)
1. (P ^ Q) v (P ^ R)
2. | P ^ Q
3. | P
4. | Q
5. | Q v R
6. | P ^ (Q v R)
7. (P ^ Q)  P ^ (Q v R)
8. | P ^ R
9. | P
10. | R
11. | Q v R
12. | P ^ (Q v R)
13. (P ^ R)  P ^ (Q v R)
14. P ^ (Q v R)
H
2 p/ ^E
2 p/ ^E
4 p/ vI
3 e 5 ^I
2 e 6 PC
H
8 p/ ^E
8 p/ ^E
10 p/ vI
9 e 11 ^I
8 e 12 PC
1 e 7 e 13 vE
P
Redução ao Absurdo
(RAA):

Dada uma derivação de uma contradição a
partir de uma hipótese , podemos descartar
a hipótese e inferir ~.
{} ├  ^ ~
~

Obs:
Uma contradição é qualquer fórmula da
forma  ^ ~, onde  pode ser qualquer
fórmula.
Ex: {P  Q, ~Q} ├ ~P






1.
2.
3.
4.
5.
6.
PQ
~Q
| P
| Q
| Q ^ ~Q
~P
P
P
H p/RAA
1 e 3 MP
2 e 4 ^I
3 e 5 RAA
Ex: {(~P  P)} ├ P






1.
2.
3.
4.
5.
6.
~P  P
|~P
|P
|P ^ ~P
~~P
P
P
H p/RAA
1 e 2 MP
2 e 3 ^I
2 e 4 RAA
5 ~E
Regras Derivadas

1- Modus Tollens (MT): (modo negação)
{P  Q, ~Q} ├ ~P

Derivação:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
PQ
~Q
| P
| Q
| Q ^ ~Q
~P
P
P
H p/
1e 3
2e 4
3e 5
RAA
MP
^I
RAA
Regras Derivadas

2 – Contradição (CONTRAD):
{P, ~P} ├ Q

Derivação:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P
~P
| ~Q
| P ^ ~P
~~Q
Q
P
P
H
1 e 2 ^I
3 e 4 RAA
5 p/ ~E
Regras Derivadas
3 - Silogismo Disjuntivo (SD):
{P v Q, ~P} ├ Q
 Solução:
1. P v Q
P
2. ~P
P
3. | P
H p/PC
4. | Q
2 e 3 CONTRAD
5. P  Q
3 e 4 PC
6. | Q
H p/PC
7. Q  Q
6 e 6 PC
8. Q
1 e 5 e 7 vE

Exercício:


Mostre que os seguintes argumentos
são válidos:
Se este argumento for incorreto e
válido, então nem todas as suas
premissas são verdadeiras. Todas as
suas premissas são verdadeiras. Ele é
válido. Portanto ele é correto.
Solução:

Identificando as Sentenças:




P: as premissas deste argumento são
verdadeiras.
S: este argumento é correto.
V: este argumento é válido.
Formalizando:
{(~S ^ V)  ~P, P, V} ├ S
Prova:
{(~S ^ V)  ~P, P, V} ├ S
1. (~S ^ V)  ~P
2. P
3. V
4. | ~S
5. | ~S ^ V
6. | ~P
7. | P ^ ~P
8. ~~S
9. S
P
P
P
H p/RAA
3 e 4 ^I
1 e 5 MP
2 e 6 ^I
4 e 7 RAA
8 ~E
Exercício:


Deus não existe. Pois, se Deus existisse a
vida teria significado. Mas a vida não tem
significado.
{D  V, ~V} ├ ~D
Derivação:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
DV
~V
| D
| V
| V ^ ~V
~D
P
P
H
1 e 3 MP
2 e 4 ^I
3 e 5 RAA
ou então:
{D  V, ~V} ├ ~D
1. D  V
2. ~V
3. ~D
P
P
1 e 2 MT
Exercício:

Se hoje é Quinta-feira, então amanhã
será sexta-feira. Se amanhã for sextafeira, então depois de amanhã será
sábado. Conseqüentemente, se hoje for
quinta-feira, então depois de amanhã
será sábado.
{Q  X, X  S} ├ Q  S
Prova:
{Q  X, X  S} ├ Q  S
1.
2.
3.
4.
5.
6.
QX
XS
| Q
| X
| S
QS
P
P
H
1e 3 MP
2e 4 MP
3e 5 PC