Aula 11: Dinâmica de Sistemas Mecânicos: Trabalho e Energia Potencial: Campos
de Força. Energia Potencial de um Campo de Força. Exemplo. Campo
Gravitacional.
Trabalho e Energia Potencial
O incremento de trabalho realizado por uma força fi, que atua sobre uma partícula de massa
mi quando a partícula sofre um deslocamento infinitesimal δRi, é definido como sendo
fi • δRi. No cálculo variacional associado com princípio de Hamilton, o deslocamento δRi é
um deslocamento entre duas trajetórias admissíveis que estão sendo comparadas no mesmo
instante de tempo. Ao aplicar princípio de Hamilton é necessário levar em conta os
incrementos de trabalho de todas as forças que atuam sobre todas as partículas de massa
dentro do sistema. Observamos em aulas anteriores que para algumas forças os incrementos
de trabalho podem ser dados em termos de mudanças da energia potencial. Vamos discutir
esse tópico mais detalhadamente, onde os seguintes tipos de forças serão considerados:
forças descritas por campos vetoriais estáticos, e forças exercidas por elementos que
possuem dois terminais, tais como molas e amortecedores.
Campos de Força
Um campo de força é uma região (normalmente tridimensional), no qual uma partícula de
prova adequada experimenta uma força bem definida f(R,v,t), que em geral depende da
posição da partícula R, da sua velocidade v, e do tempo t, assim como de outras
propriedades, tais como sua massa e carga elétrica. Um bom exemplo é o campo de força
eletromagnético.
Pela lei de Lorentz, uma partícula de massa m carregada com uma carga q, dentro de um
campo eletromagnético na posição R com velocidade v, está sujeita a uma força f que é
dada por
f = q(E + v×B),
(116)
onde E(R,t) é o campo elétrico e B(R,t) é a indução magnética (dois campos).
Nesta seção vamos restringir nossa atenção a campos que dependem apenas da posição da
partícula de prova; ou seja, consideramos apenas campos da forma f(R). Na fig. 14
mostramos uma partícula de massa m agindo como uma partícula de prova em um campo
de força f(R). Isto significa que quando a partícula está na posição R a força exercida sobre
a partícula pelo campo é f(R). Quando o princípio de Hamilton é aplicado a um sistema que
contém essa partícula, o incremento de trabalho correspondente à força exercida pelo
campo é
f • δR .
(117)
Para estudar as propriedades do campo examinaremos o comportamento da integral
∫
R
f • dR ,
RO
37
(118)
que representa o trabalho líquido realizado sobre a partícula de prova pelo campo, quando a
partícula se move de uma dada posição RO para uma posição final R. Para algumas forças
de campo a integral (118) não depende do caminho para ir de RO até R. Para outras forças a
integral depende do caminho. Como exemplo desse último caso, considere o campo
hipotético da Fig. 15, onde o campo de força é paralelo ao eixo Y e o módulo da força não
depende de X e de Y, mas varia linearmente com Z. Seja RO a origem na Fig. 15. Então a
integral (118) tem valores diferentes no ponto P para os caminhos OAP e OBP (foa para
OAP e 2foa para OBP).
Fig. 14 – Campo de força f(R) atuando sobre uma partícula de prova de massa m.
Fig. 15 – Campo de força que depende unicamente da posição da partícula de prova, mas
cuja integral do trabalho depende do caminho.
Se, por outro lado, a integral do trabalho (118) tem o mesmo valor para todos os caminhos
conectando RO e R, então o trabalho líquido realizado em qualquer circuito fechado, que
inicia em RO, passa por R, e retorna a RO será zero. Inversamente, se o trabalho líquido
realizado em qualquer caminho fechado em uma região é zero, a integral do trabalho (118)
de RO para R não pode ser diferente para dois caminhos diferentes (se diferentes resultados
fossem obtidos para os caminhos 1 e 2, a integral ao longo do caminho fechado consistindo
na ida pelo caminho 1 e na volta pelo caminho 2, não se anularia). Um campo de força f(R)
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é dito ser conservativo em uma região, se o trabalho líquido realizado em qualquer
caminho fechado na região é zero.
A condição diferencial simples que um campo conservativo deve satisfazer pode ser obtida
usando o teorema de Stokes, que relaciona a integral do trabalho em torno de uma curva
fechada C a uma integral de superfície sobre uma superfície arbitrária S delimitada por C.
∫ f • dR = ∫∫ (∇ × f ) • ndS .
C
S
(119)
Em (119) dS é o elemento de superfície e n é o versor normal à superfície. Se o campo f(R)
é conservativo, (119) se anula para toda curva fechada C, e, portanto, para toda superfície S
na região. Isso implica que
∇ × f = curl f = 0
(120)
em toda a região. Inversamente, se ∇×f se anula na região, assim também o faz a integral de
linha ao longo de qualquer curva fechada na região. Assim, uma condição necessária e
suficiente para um campo diferenciável ser conservativo é que seu rotacional se anule.
Observe que o campo de força da fig. 15 viola (120). Neste caso, f = fO(l + Z/b)uY e
uX
∂
∇×f =
∂X
0
uY
∂
∂Y
 Z
f O 1 + 
b

uZ
∂
f
= − O uX .
∂Z
b
(121)
0
Energia Potencial de um Campo de Força
Para uma dada partícula de prova em um campo de força f(R) é apenas a posição da
partícula, R, quem determina a força sobre a partícula. Neste contexto, dizemos que o
estado da partícula é determinado pela sua posição. Para um campo de força conservativo
f(R) a integral do trabalho (118) independe do caminho. Para uma dada posição fixa RO a
integral depende apenas da posição atual da partícula; isto é, a integral (118) é uma função
de estado. A função de estado mais comumente usada, em conexão com campos de força
conservativos, é a energia potencial
R
V (R ) = − ∫ f • dR ,
RO
(122)
a qual é a negativa1 de (118). Note que V é uma função escalar do estado (isto é, da posição
R) da partícula. A energia potencial tem duas propriedades. A primeira propriedade atesta
que o negativo do gradiente da energia potencial resulta na força aplicada pelo campo de
força sobre a partícula
1
O sinal da energia potencial é adotado como sendo o contrário do sinal do trabalho realizado pelo campo
sobre a partícula.
39
− ∇V = f .
(123)
A segunda propriedade atesta que o negativo da variação da energia potencial resulta no
incremento de trabalho (117)
− δV = f • δR .
(124)
Devido (124) quando se aplica o princípio de Hamilton, podem-se levar em conta os
incrementos de trabalho de forças conservativas atuando sobre as partículas de massa
usando decrementos da energia potencial. O valor da energia potencial (122) depende da
posição RO, mas as relações (123) e (124) não dependem da escolha de RO.
Fig. 16 – (a) Coordenadas esféricas e (b) um corpo de força central, no qual uma partícula
de prova com massa m é atraída por uma força f em direção à origem.
Exemplo. Campo Gravitacional. Considere o Campo de Força Central da Fig. 16b, cuja
força sobre uma partícula de massa m varia com o inverso do quadrado da distância. Em
termos de coordenadas esféricas r, θ, φ, mostradas na Fig. 16a, o vetor posição é R = rur e a
força gravitacional atraindo a partícula em direção à origem é
f =−
KmO m
ur ,
r2
(125)
onde K é a constante gravitacional2, e mO é a massa do corpo central na origem. É possível
mostrar que qualquer campo de força central, no qual o módulo da força é apenas função de
r, é conservativo, e que a energia potencial dado por (122) existe. Considerando a posição
RO como sendo um raio infinito, substituindo (125) em (122), e integrando ao longo do
raio, obtém-se
2
K = 6.670·10-11 Nm2/kg2, ou 3.321·10-11 lbf-ft2/lbm2. Se mO representa a massa da Terra, o produto KmO é
3.991·1014 Nm2/kg2, ou 4.380·1014 lbf-ft2/lbm2.
40
r
KmO m 
V (r ) = − ∫  −
u r  • u r dr ,
∞
r2


KmO m
=−
,
r
(126)
como sendo a energia potencial para uma partícula de massa m no campo gravitacional.
(126) é válida para todo r se o corpo na origem é uma partícula. Se o corpo na origem é
uma esfera de raio finito (por exemplo, a Terra), então (125) e (126) continuam válidas se a
partícula de massa m está do lado de fora da esfera.
Sabendo que o gradiente de uma função escalar, ψ(r, θ, φ), é dado por
gradψ ≡ ∇ψ =
∂ψ
1 ∂ψ
1 ∂ψ
ur +
uθ +
uϕ ,
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
é possível restituir a força substituindo (126) em (123)
f = −∇V = −
KmO m
∂V
∂  KmO m 
ur = − −
ur .
=−
∂r
∂r 
r 
r2
(127)
A energia potencial (126) é mostrada na Fig. 17 em função de r.
Fig. 17 – Energia potencial do campo gravitacional em função do raio r e aproximação
linearizada em torno de r = rO.
Restringindo a faixa de aplicação de (126) para próximo das vizinhanças de uma esfera de
raio rO (por exemplo, a superfície da Terra), a seguinte aproximação é muito útil. Seja r =
rO + z, como indica a Fig. 18. Então, pode-se expandir (126) em potências de z/rO como
segue:
KmO m
1
V (rO + z ) = −
rO 1 + z / rO
41


z z2

= V (rO )1 − + 2 − ⋯ ,
 rO rO

(128)
a partir da qual obtém-se a aproximação linearizada
V (rO + z ) − V (rO ) =
KmO
mz ,
rO2
(129)
desprezando termos de ordem (z/rO)2.
Fig. 18 – A energia do potencial gravitacional é aproximadamente mgz quando de z << rO.
O lado esquerdo de (129) pode ser redefinido como V(z), que representa um deslocamento
da posição de referência de r = ∞ para r = rO. O lado direito de (129) é simplificado se
introduzirmos a constante g definida por
g≡
KmO
,
rO2
(130)
que pode ser identificada a partir de (125) como sendo a aceleração da gravidade local na
posição r = rO. Então, ao invés de (126), podemos usar a aproximação linearizada
V ( z ) = mgz ,
(131)
para a energia potencial de uma massa m nas vizinhanças da referência r = rO, onde z é a
elevação acima da referência. A relação aproximada (131) fornece V(z) a partir da tangente
à curva da energia potencial verdadeira na Fig. 17. O campo de força vetorial do potencial
simplificado (131) é
∂V
f = −∇V = −
u z = − mgu z ,
(132)
∂z
que não dependente da posição da partícula de prova. Tal campo é chamado uniforme. A
aproximação do campo gravitacional pelo campo uniforme (132) é quase sempre adequada
para aplicações terrenas. Consideraremos nesse curso o campo gravitacional como sendo
uniforme, a menos que se mencione o contrário.
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