LISTA DE EXERCÍCIOS #2 - ANÁLISE VETORIAL EM FÍSICA
1. Demonstre a inequação
|~a − ~b | > |~a | − |~b |
onde ~a e ~b são vetores quaisquer.
2. O caminhão abaixo está parado na posição mostrada. Seu peso está aplicado no ponto B,
como indicado. Apenas as rodas traseiras têm freios, de modo que forças de atrito só agem
nestas rodas. Nas rodas dianteiras a força produzida pelo solo é apenas perpendicular ao
solo. Determine as forças produzidas pelo solo nos pneus em A e C em função do peso do
caminhão e do ângulo α.
1,5 m
B
A
P
2,0 m
C
3,5 m
a
3. A viga AE abaixo está suspensa estaticamente por dois cabos verticais inextensı́veis. Os
cabos estão presos aos pontos B e D. Sobre a viga atuam duas forças, uma no ponto A
e outra no ponto E, ambas verticais para baixo. Despreze o peso da viga, e trabalhe com
frações e raı́zes, não use números decimais.
3 kN
F
A
B
0,5 m
E
D
2,0 m
1,0 m
~B e F
~D exercidas pelos cabos em função de F~ .
(a) Determine as trações F
(b) Determine os módulos FB e FD em função de F , o módulo de F~ .
(c) Suponha que os cabos suportem trações máximas de 5 kN cada um. Quais os valores
máximo e mı́nimo para o módulo da força F~ ?
1
4. Considere a mesma viga do exercı́cio anterior, só que agora devemos levar em conta o
peso da mesma. Por um defeito de construção, a viga não é homogênea, e seu peso, que
vale 1 kN, é aplicado como mostra a figura abaixo Trabalhe com frações e raı́zes, não use
números decimais.
3 kN
F
A
B
E
D
0,5 m 0,5 m
1,0 m
1,5 m
P
~B e F
~D exercidas pelos cabos em função de F~ .
(a) Determine as trações F
(b) Determine os módulos FB e FD em função de F , o módulo de F~ .
(c) Suponha que os cabos sejam os mesmos, suportando trações máximas de 5 kN cada
~?
um. Quais os valores máximo e mı́nimo para o módulo da força F
5. O guindaste abaixo sustenta estaticamente uma caixa M de peso 3 kN. Os pesos do
caminhão ABCD e da lança DEF estão indicados na figura. Determine a força exercida
pelo solo sobre as duas rodas dianteiras A e sobre as duas traseiras C quando o ângulo α
vale 30◦ e quando vale 45◦ . Sugere-se trabalhar com frações e raı́zes. Em qual situação o
eixo traseiro é mais solicitado?
F
4,2 m
3m
25 kN
E
M
a
D
1,25 kN
B
A
C
1,5 m
2,1 m
6. O suporte abaixo sustenta, em equilı́brio estático, uma caixa de massa m = 15 kg. Sabese que a barra ABC está apenas apoiada no solo, e não está engastada. As barras que
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formam o suporte têm massa desprezı́vel, e são unidas por rebites. Cabos inextensı́veis são
presos em A, D e E. O cabo que sustenta a massa m também é inextensı́vel. Determine a
força exercida pelo rebite em D sobre a barra BD e a força exercida pelo apoio E sobre o
cabo AE. Use g = 10 m/s2 . Use frações e raı́zes.
4m
6m
A
2m
D
3,0 m
B
m
5m
E
1,0 m
C
7. A barra ABC abaixo apóia-se no canto em A e é sustentada por um cabo CD. No centro
dela uma força F~ de módulo 150 N é aplicada. Determine a força exercida pelo canto em
A sobre a barra e também a força exercida pelo cabo sobre a parede em D. Use frações e
raı́zes.
D
200 mm
C
B
360 mm
150 N
A
240 mm 240 mm
8. O suporte abaixo sustenta, em equilı́brio estático, uma massa m = 10 kg. Determine as
forças agindo nos rebites B, E e F produzidas pelas barras ABC, BE e pelo apoio em F,
respectivamente. Despreze as massas das barras. Use g = 10 m/s2 .
1,5 m
1m
1,5 m
C
A
B
m
2m
D
E
3
F
9. Um objeto de massa m é suspenso por um ponto D situado como na figura. No ponto D
estão presos três cabos inextensı́veis, os quais estão fixados nos pontos A, B e C. O ponto
D está situado 2 m abaixo do plano xy. A disposição dos cabos é tal que o objeto está em
equilı́brio estático. Use frações e raı́zes.
z
4m
2m
B
A
3m
y
4m
1m
6m
1m
8m
7m
D
x
10 m
C
m
(a) Determine as forças exercidas pelos cabos no ponto D em termos de m e g.
(b) Suponha que a maior tração que o cabo AD suporta seja de 120 N, e que o cabo CD
rompe se a tração nele for maior que 150 N. Determine a maior massa possı́vel para
o objeto suspenso.
10. Um objeto de massa m é suspenso estaticamente pelo ponto D na forma mostrada na
figura abaixo. Todos os cabos são inextensı́veis, e a mola tem uma constante K.
z
C
B
6
4
D
8m
m
2m
3
A
1
4
x
10
y
1
5
4
(a) Determine as forças exercidas sobre o ponto D em função de m, g e K.
(b) Supondo que a mola tenha constante K = 500 N/m, qual o estiramento da mola para
uma massa m = 10 kg? Use g = 10 m/s2 .
11. Uma esfera de massa M move-se num plano horizontal paralelamente ao eixo x, no sentido
~ . Num dado instante de tempo, ela sofre uma colisão
positivo do eixo, com velocidade V
parcialmente inelástica com uma outra esfera parada na origem do sistema de eixos, de
massa m, com coeficiente de perda de energia de 50%. A colisão não é frontal, de modo
que a esfera M desvia-se de um ângulo α de sua direção original, enquanto a esfera m
sai fazendo um ângulo ϑ com o eixo x. Sabe-se que α = 30◦ e ϑ = 45◦ . Determine a
razão M
m supondo que o sistema está isolado. Repita o cálculo supondo que a colisão seja
perfeitamente elástica, e que α = ϑ = 45◦ .
12. O centro de massa ~rCM de um sistema discreto de n partı́culas de massas mi localizadas
nas posições ~ri é dado por
n
P
~rCM =
n
P
mi~ri
i=1
n
P
=
mi
mi~ri
i=1
M
i=1
onde M =
n
P
mi é a massa total do sistema. Considere agora um sistema formado pelas
i=1
respectivas massas e posições: m (1, −2, 3), 3m (0, 2, 1), m (3, 2, −2), 5m (−2, −2, 1) e 3m
(0, 1, 2). Ache o centro de massa do sistema.
13. Dados os seguintes pontos em coordenadas retangulares, escrevê-los em coordenadas cilı́ndricas,
e representar graficamente.
(a) P(0, 1, 0).
(b) Q(2, 2, 2).
(c) R(−1, 0, −2).
√
(d) S(3, 3, 4).
√
(e) T(−3 3, 3, 6).
14. Dados os seguintes pontos em coordenadas retangulares, escrevê-los em coordenadas esféricas,
e representar graficamente.
(a) P(2, 0, 0).
(b) Q(0, −1, 0).
(c) R(2, 2, 0).
√
(d) S(−1, 3, 2).
√
(e) T(1, −2, 2).
15. Dados os seguintes pontos em coordenadas cilı́ndricas, escrevê-los em coordenadas retangulares, e representar graficamente.
5
(a) P(2, 0, 3).
(b) Q(4, π2 , 0).
(c) R(2, 3π
4 , −1).
(d) S(4, π, 5).
(e) T(1, 3π
2 , 0).
16. Dados os seguintes pontos em coordenadas esféricas, escrevê-los em coordenadas retangulares, e representar graficamente.
(a) P(1, 0, 0).
(b) Q(2, π2 , π3 ).
(c) R(5, π4 , 4π
3 ).
(d) S(4, 3π
4 , π).
√ π π
(e) T( 3, 3 , 2 ).
17. Dadas as curvas descritas pelas equações em retangulares, obter as equações em coordenadas cilı́ndricas.
(a) x2 − y 2 = 9.
(b) x2 + y 2 = 16.
p
(c) z = x2 + y 2 .
(d) x2 + y 2 + z 2 = 25.
18. Dadas as curvas descritas pelas equações em retangulares, obter as equações em coordenadas esféricas.
(a) x2 + y 2 + z 2 = 9.
(b) x2 + y 2 − 2z 2 = 0.
(c) x2 + y 2 = 2z.
(d) x2 + y 2 = 2z 2 .
19. Dadas as curvas descritas pelas equações em cilı́ndricas, obter as equações em coordenadas
retangulares. Procure identificar o lugar geométrico descrito pelas curvas.
(a) ρ = 2 cos θ.
(b) ρ = 4.
(c) tg θ = 5.
(d) θ = π3 .
(e) z = 2.
20. Dadas as curvas descritas pelas equações em esféricas, obter as equações em coordenadas
retangulares. Procure identificar o lugar geométrico descrito pelas curvas.
(a) r = 4.
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(b) r cos θ = 2.
(c) φ = π2 .
(d) θ = π2 .
(e) r sen θ sen φ = −2.
21. Considere dois pontos do plano descritos pelos vetores posição ~r1 = ρ1 ρ̂1 e ~r2 = ρ2 ρ̂2 ,
respectivamente, em coordenadas cilı́ndricas. Calcule o produto escalar ~r1 · ~r2 e o produto
vetorial ~r1 × ~r2 . Lembrar de expressar os vetores em coordenadas retangulares para efetuar
os cálculos, e depois retornar para coordenadas cilı́ndricas.
22. Mostre que a lei de Snell da refração pode ser escrita como
n1 ê1 × n̂ = n2 ê2 × n̂
onde n1 e n2 são os ı́ndices de refração dos meios, n̂ é um versor normal à interface entre os
meios e ê1 e ê2 são versores que definem as direções e sentidos do feixe incidente e refratado,
respectivamente. Em seguida, escreva uma expressão vetorial para a lei de reflexão.
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