Pesquisa de lugares Geométricos com o
Auxílio da Geometria Dinâmica
José Paulo Q. Carneiro
CE da RPM
O uso adequado do computador em sala de aula tende a estimular a participação ativa do aluno
no processo de aprendizagem, mas especialmente os programas de Geometria Dinâmica (GD)
trouxeram, para o ensino de Matemática, vantagens preciosas − e também novos desafios (ver
[1]).
Nos programas de GD, a Geometria é apresentada de forma essencialmente diferente da do
lápis e do papel ou do quadro-negro, aportando uma grande variedade de novos recursos para
o ensinoaprendizagem, tais como: permitir a consideração e a análise simultânea de um número
muito grande de casos, ressaltar a distinção entre desenho e construção geométrica, facilitar a
formulação de conjecturas e ajudar o professor na elaboração de dinâmicas ilustrativas.
Neste artigo, vamos explorar um exemplo de formulação e verificação de conjecturas, usando o
tema de Lugar Geométrico (ver [5]). O programa utilizado é o Cabri (Cabri Géomètre II, ver
[3]), mas certamente as idéias fundamentais envolvidas seriam as mesmas se usássemos
qualquer um dos bons programas de GD, como Sketchpad, Cinderella, Tabulae, CaR, etc.
Criemos uma circunferência K de centro O, sobre ela marquemos três pontos A, B e C e
construamos o triângulo ABC.
Em seguida, vamos construir o baricentro G do triângulo ABC. Para isso, basta, por exemplo,
construir o ponto médio M do lado BC e o ponto médio N do lado AC e, em seguida, os
segmentos AM e BN, medianas do triângulo ABC. A interseção de AM e BN é o baricentro G.
Todas essas construções são imediatas no Cabri, que contém as
ferramentas Triângulo, Ponto Médio, Segmento e Ponto de
Interseção.
Neste momento, é interessante ocultar as construções
intermediárias (cuidado! oculte, não destrua!), retendo apenas a
circunferência, o triângulo e seu baricentro.
Vamos agora colocar a nossa questão: mantendo fixos os vértices B e C e variando o
vértice A (sempre sobre a circunferência K, circunscrita ao triângulo ABC), qual é o
lugar geométrico do baricentro G?
Simplesmente movendo o vértice A sobre a circunferência com o
cursor, já é possível ter uma idéia do aspecto geral da figura que
se procura. E esse movimento pode ser feito manualmente ou por
meio da ferramenta Animação. Porém, um recurso mais
interessante do Cabri que pode ser usado para isso é a ferramenta
Rasto. Colocando o rasto ativado sobre o ponto G e animando o
ponto A, obtém-se o que aparece na figura ao lado. Em vez de
usar o Rasto, pode-se usar também a ferramenta Lugar
Geométrico (para pedir o LG de G quando A varia, é preciso
clicar, nesta ordem: Lugar Geométrico, G, A).
Por essa aparência, é perfeitamente natural então que nossa primeira conjectura aponte para
que o LG procurado seja uma circunferência.
E, se for mesmo uma circunferência, qual seria o seu centro? Para
responder a essa pergunta, basta tomar três pontos 1, 2 e 3 sobre
o LG (ferramenta Ponto sobre Objeto) e, em seguida, construir a
mediatriz (ferramenta Mediatriz) de 12 e 13, por exemplo. A
interseção das duas mediatrizes é o ponto P, candidato a centro
da suposta circunferência.
E qual seria o seu raio? Para tentar responder a essa pergunta, vamos utilizar um recurso típico
de GD: variar os dados do problema.
Se variarmos a posição dos pontos dados B e C na circunferência, veremos que a posição do
LG varia, mas, aparentemente, seu tamanho não muda. No entanto, se variarmos o raio da
circunferência K, o tamanho do LG varia, aumentando quando se aumenta o raio de K. Isso
sugere que o LG procurado seja uma circunferência cujo raio seja uma função crescente do raio
de K. Por exemplo, talvez seja proporcional ao raio de K. É uma conjectura razoável. Como
podemos verificá-la?
Uma solução bem simples é medir o raio da circunferência K (ferramenta Distância e
Comprimento), medir o suposto raio do LG (basta medir, por exemplo, a distância de P até 1),
e usar a Calculadora do Cabri para efetuar o quociente do primeiro pelo segundo. Arrastando
esse resultado para um lugar qualquer da tela, vamos verificar que o resultado obtido é igual a 3.
E mais: se variarmos o raio de K, os valores das duas distâncias variam, mas sua razão
permanece sempre igual a 3.
Resultado: 3cm
Essa experimentação sugere, portanto, que o LG procurado seja uma circunferência cujo raio é
um terço do raio da circunferência dada inicialmente.
E quanto ao centro? A experiência em sala de aula tem constatado que facilmente o aluno se
convence de que o LG em causa é uma circunferência e, com razoável facilidade (talvez com um
pouco de ajuda e estímulo), conjectura que o raio procurado é um terço do raio da
circunferência dada inicialmente (em cursos para professores, alguns inclusive já farejam neste
momento que esse “um terço” tem a ver com as propriedades clássicas das medianas de um
triângulo). No entanto, a posição do centro tem-se apresentado como um desafio maior.
Se o professor que está orientando o experimento convidar o aluno
a reavivar na figura o ponto M, médio de BC,aumenta muito a
probabilidade de ser percebido que M, P e O são colineares. Num
segundo passo, sob estímulo e sob a lembrança do “um terço”,
pode ser finalmente suspeitado que a distância MP é um terço da
distância MO, o que também pode ser verificado
experimentalmente por meio de medidas e calculadora.
Finalmente, está pronta a nossa conjectura: desconfiamos que o LG do baricentro de
um triângulo ABC, quando B e C estão fixos e A varia na circunferência K circunscrita
ao triângulo, é uma outra circunferência cujo raio é um terço do raio de K e cujo centro
P está no segmento MO, onde M é o ponto médio de BC e O é o circuncentro do
triângulo, e situado de modo tal que
Agora, resta provar que essa conjectura é verdadeira. Neste ponto, o professor certamente
enfrentará um desafio, pois é provável que muitos alunos achem que toda a experimentação feita
até agora já demonstrou a veracidade da conjectura. De fato, seria difícil alguém de bom senso
duvidar dessa veracidade, dada a grande precisão do computador, mas cabe ao professor,
inclusive com exemplos (ver [2] e [4]), esclarecer a diferença entre uma constatação
experimental, mesmo envolvendo um número imenso de casos, e um raciocínio matemático.
Demonstrar matematicamente uma proposição é reduzi-la, por meio de argumentos lógicos
válidos, a outras proposições assumidas como conhecidas. O que é ou não considerado
conhecido depende dos nossos interlocutores.
No nosso caso, por exemplo, se o aluno tiver algum conhecimento
sobre homotetia (ver [5]) – uma transformação, aliás, que pode ser
muito bem explorada com o Cabri –, compreenderá que, pela
conhecida propriedade do baricentro, uma homotetia de centro M
e razão 1/3 transforma o ponto A no ponto G, já que,
vetorialmente,
Logo, enquanto Apercorre a
circunferência K de centro O, o ponto G percorre a sua
transformada por essa homotetia, a qual é justamente a
circunferência cujo raio é 1/3 do raio de K e cujo centro é o transformado de O, que é o ponto
P tal que
E essa igualdade, por ser vetorial, diz tudo sobre P, isto é, M, P e O
são colineares, P está entre M e O, e a distância MP é 1/3 da distância MO.
Podem também ser usados argumentos mais clássicos da Geometria Euclidiana. Por exemplo: a
paralela a AO por G determina sobre OM o ponto P, tal que os triângulos AOM e GPM são
semelhantes. E já que, pela propriedade clássica do baricentro, a distância MG é 1/3 da
distância MA, então a distância PG é 1/3 da distância AO, que é o raio, digamos R, da
circunferência K.
Logo, o ponto G dista sempre
P e raio
do ponto P e, portanto, pertence à circunferência de centro
. Note que o ponto P pode ser determinado apenas a partir dos dados O, B e C,
marcando sobre o segmento MO, a partir de M, a distância igual a 1/3 de MO.
Comentário
A argumentação clássica, por semelhança, exige um artifício (traçar a paralela...), não leva em
consideração a questão do sentido (sabido ponto fraco do esquema euclidiano, remediado pelo
acréscimo de uma série de axiomas enfadonhos) e, a rigor, só prova que o LG está contido na
circunferência em tela. O argumento por homotetia exige, é claro, que se conheça homotetia –
não muito popular no ensino usual –, mas é muito melhor. Quem estuda mais, trabalha menos e
melhor.
Referências bibliográficas
[1] BRAVIANO, G.., e RODRIGUE, M .L. Geometria Dinâmica, RPM 49, 2002.
[2] PALIS, G.R. Uso de computadores e o papel do Professor, RPM 41, 1999.
[3] SANT, J.M . O Cabri Géomètre, RPM 29, 1995.
[4] SILVA, Z.C., e SANTOS, J.A. O computador pode errar?, RPM 06, 1985.
[5] WAGNER, E. Construções Geométricas, CPM /SBM .