1º
EM
LISTA 03
Fabio Henrique
Função polinomial do 2º grau
Definição
Toda função real f : A  B , A  R e B  R , definida pela sentença f(x)  ax2  bx  c , sendo a, b e c valores reais
constantes e a  0 é denominada função polinomial do 2º grau.
Gráfico da função polinomial do 2º grau
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva denominada parábola que terá concavidade voltada para
cima se a  0 e concavidade voltada para baixo se a  0 .
decrescente
xv
crescente
yv
V
decrescente  x  xv
yv
crescente
 x  xv
V
decrescente
crescente
xv
crescente
 x  xv
decrescente  x  xv
A parábola tem um ponto extremo denominado vértice. Podemos determinar as coordenadas do vértice através das
fórmulas:
1
xv  
b
2a
e yv  

4a
(  b2  4ac)
ou
y v  f(x v )
Observe que a função apresenta dois comportamentos (crescente e decrescente) para valores de x maiores e menores
que o x v .
Para fazermos um esboço do gráfico da função polinomial do 2º grau, devemos primeiramente determinar o x v , a seguir
determinamos outros valores para x que sejam equidistantes do x v .
Exemplo
Construir o gráfico da função f : R  R definida por f(x)  x2  2x  1 .
Devemos determinar o
xv .
2
2
xv  
  1.
2.1 2
Tomemos agora valores equidistantes de 1, por exemplo, 0 e 2, -1 e 3.
eixo de simetria
A parábola possui um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x passando pelo x v . Os pontos de mesma ordenada são
equidistantes do eixo de simetria. Verifique na figura acima.
Consequência: O x v corresponde à média aritmética das abscissas dos pontos equidistantes do eixo de simetria.
Zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau
As raízes reais da função polinomial do 2º grau definida por f(x)  ax2  bx  c , quando existem, são obtidas fazendo
f(x)  0 , ou seja, resolvendo a equação do 2º grau ax2  bx  c  0 .
Para determinar as raízes na equação acima, podemos
usar a fórmula:
x 
 b  b2  4ac
2a
ou
x 
b 
2a
(*)
Como as raízes ou zeros de uma função são os valores das abscissas dos pontos em que o gráfico da função intercepta o
eixo dos x, devemos considerar os três casos abaixo para a função polinomial do 2º grau.
2
0
 A função não possuiraízes reais, logo a parábolanão corta o eix o das abscissas
.
  0  A função possuiapenasum a raiz real, logo a parábolatoca o eix odas abscissas
em um único ponto.
  0  A função possuiduas raízes reais, logo a parábolacorta o eix o das abscissasem dois
pontos.
Relação entre os coeficientes e raízes da função polinomial do 2º grau
Considere a sentença da função polinomial do 2º grau f(x)  ax2  bx  c e suas raízes x’ e x”. Vamos mostrar que:
x'  x"  
b
a
Usando a fórmula x 
x' 
b 
2a
x'  x" 

b
x' . x" 
e
e x" 
c
a
b 
2a
, temos:
b 
2a
, assim:
b 
b 

2a
2a
 b 
2b
b
 
 
2a
2a
a
 
  b      b    (b)2  

 
x'  x"  

 

2a
2a
4a2

 


b2  
2
4a

b2  (b2  4ac)
2
4a

b2  b2  4ac
4a2

2
4ac
4a2

c
a
3
Outras formas de escrever a sentença da função polinomial do 2º grau f(x)  ax2  bx  c .
a) Conhecendo as raízes
fatorada.
x ' , x" e as coordenadas de um ponto podemos determinar a sentença da função através da forma
Forma fatorada do polinômio do 2º grau:
f(x)  a (x  x' )(x  x")
A partir da sentença f(x)  ax2  bx  c (forma polinomial) podemos obter a sentença da função na forma fatorada
f(x)  a (x  x' )(x  x") .
b) Conhecendo as coordenadas do vértice xv , yv e de um outro ponto, podemos determinar a sentença da função através
da forma canônica.
Forma canônica do polinômio do 2º grau:
f(x)  a (x  xv )2  yv
Fórmula que determina as raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0
x 
 b  b2  4ac
2a
EXERCÍCIOS
1) A figura abaixo é o gráfico de uma função polinomial do 2º grau. Determine a lei de formação desta função.
2)
Considere o gráfico acima, que representa uma função definida por y  2x²  5x  c. As coordenadas do vértice V da parábola
são:
5
9
(A)  ,  
8
4
5
3
(B)  ,  
5
4

5

(C)   ,  2 
 4

1
2
(D)  ,  
3
2
3) O ponto de maior ordenada, pertencente ao gráfico da função real definida por f(x)  (2x  1)(3  x) , é o par ordenado
(a, b). Então a  b é igual a:
(A) 
39
8
(B) 
11
8
(C)
3
8
(D)
11
8
4
4)
A figura acima representa a trajetória parabólica de um projétil, disparado para cima, a partir do solo, com certa inclinação. O
valor aproximado da altura máxima, em metros, atingida pelo projétil é:
(A) 550
(B) 535
(C) 510
(D) 505
(E) 500
5) O gráfico da função real f definida por f(x)  ax²  bx  c ( a  0 ) intercepta o eixo x no ponto (1, 0) e tem um máximo
no ponto (2, 1) . Determine os valores de a, b e c.
6)
Os pontos V e P são comuns às funções f e g definidas por f(x)  2 2 x  8 e g(x)  ax²  bx  c , representadas no gráfico
acima. Sendo V o vértice da parábola de g, o valor de g(-8) é igual a:
(A) 0
(B) 8
(C) 16
(D) 32
(E) 56
7) (PUC) Um balão está no solo a 10 m de um homem. O homem começa a andar em direção ao balão com velocidade de 2
m/s no exato instante em que o balão começa a subir com velocidade de 1 m/s. A menor distância entre o homem e o balão
será de:
(A) 10 m
(B) 15 m
(C) 12 m
(D) 18 m
(E) 20 m
8) Uma excursão promovida por uma escola custará R$ 1500,00 a cada estudante, se viajarem 150 estudantes; contudo o
custo por pessoa será reduzido em R$ 5,00 por cada estudante que exceda os 150. Calcule o número de alunos que deve
viajar para que a escola receba a maior renda bruta.
9) A figura abaixo mostra um anteparo parabólico que é representado pela função definida por
f(x)  
3 2
x  2 3x.
3
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo é refletida e a
nova trajetória é simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola.
O valor do ângulo de incidência é igual a:
(A) 30
o
(B) 45
o
(C) 60
o
(D) 75
o
5
10) (CEFET-2003–1ªfase) Pretende-se construir uma calha para conduzir água, usando-se placas de alumínio com 20 cm de
largura. Cada placa é dobrada como mostra a figura, formando uma calha em U. O valor da altura x, em centímetros, que
permite a passagem da maior quantidade de água é:
(A) 2,0
(B) 2,5
(C) 4,0
(D) 5,0
(E) 7,5
11) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no
sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.
 x 2 2x
A equação de uma dessas parábolas é y 

.
75
5
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
(A) 38
(B) 40
(C) 45
d) 50
2
12) Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por y = ax + bx + c, que corta o eixo das abscissas
nos pontos A e B.
2
Calcule o valor numérico de ∆ = b - 4ac, sabendo que o triângulo ABV é equilátero.
13) Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.
No gráfico I, a função horária é definida pela equação S  a1t 2  b1t e, no gráfico II, por S  a2 t 2  b2t.
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II.
Assim, a razão
(A) 1
a1
é igual a:
a2
(B) 2
(C) 4
(D) 8
(E)
6
14) A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8 m e altura central OC = 5,6 m.
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical
Oy representa o eixo de simetria da parábola.
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um
determinado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
15) Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros:
C = 5 + 10n; C = custo mensal, em reais, para a manutenção de n pássaros.
2
V = 5n + 100n - 320; V = valor arrecadado, em reais, com a venda de n pássaros, 4 ≤ n ≤ 16.
Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda V e custo C.
a) Determine os possíveis valores de n, para que haja lucro nas vendas.
b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro possível e o valor, em reais, desse lucro.
Gabarito
1)
y  
6) E
11) B
x² 4x 5


3
3
3
2) A
3) B
4) D
5) a=-1 b=4 c=-3
7) E
12) 12
8) 225
13) C
9) A
14) 3
10) D
15) -
7