ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA BÁSICA
Lista 02 – Funções e Progressões
Questão 1.
(UnB- 1º/11)
Considerando a função dada por f(N) =
Considere que as rodas dentadas que formam a
engrenagem ilustrada na figura acima estejam colocadas em
eixos, que a roda A tenha 44 dentes tanto na parte externa
quanto na parte interna, que as rodas B e C tenham 22
dentes cada uma e que o número de dentes de cada uma
das rodas D, E e F seja igual a 11. A partir dessas
informações, julgue os itens de 1 a 5 e assinale a opção
correta no item 6, que é do tipo C.
1
, julgue os
n ( N )
itens que se seguem.
1.
2.
3.
4.
Se h(N) = n (N) , então f é a função inversa de h.
Em um sistema de coordenadas cartesianas NOy, a
ordenada do ponto do gráfico da função f se aproxima
de zero à medida que N cresce e se afasta da origem.
A função f não está definida em N = 1.
A função f é decrescente para N > 1.
1.
Questão 2. (UnB- 1º/11)
Em 1772, o matemático Euler observou que, ao se inserir os
2
números inteiros de 0 a 39 na fórmula x + x + 41, obtém-se
uma lista de 40 números primos. No plano de coordenadas
2
cartesianas xOy, considerando y = g(x) = x + x + 41,
conclui-se que os pares (N, g(N)), para 0 ≤ N ≤ 39,
pertencem a uma parábola que
A
B
C
D
2.
3.
4.
intercepta o eixo das ordenadas em um número
composto.
ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39].
intercepta o eixo das abscissas em dois números
primos.
tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por
Euler.
Questão 3.
5.
6.
(UnB- 2º/11)
A roda
Se as rodas A e B tiverem a mesma espessura e forem
transportadas, separadamente, em caixas cilíndricas
que comportem o menor volume possível, então o
volume da caixa em que será transportada a roda A
deverá ser o dobro do volume da caixa em que será
transportada a roda B.
Na engrenagem, as rodas B e C girarão no mesmo
sentido.
É possível inferir que as rodas B e C têm o mesmo
diâmetro.
Se a roda A gira à velocidade de 15 rotações por
minuto, então a roda D faz um giro completo a cada
segundo.
Suponha que, enquanto a roda E gira x radianos, a roda
A gira uma quantidade, em radianos, representada por
uma função dada por y = f(x). Nesse caso, f é uma
função linear, cujo gráfico, no primeiro quadrante do
plano de coordenadas cartesianas xOy, fica abaixo do
gráfico de g(x) = x.
Considere que, na engrenagem ilustrada, a roda B
tenha sido substituída por uma roda G com 24 dentes
com tamanhos compatíveis aos da roda A. Considere,
ainda, que, em determinado instante t0, a engrenagem
tenha sido colocada em movimento. Nessas condições,
a quantidade de voltas completas que a roda A deverá
girar até que todas as rodas estejam com os dentes na
posição em que estavam no instante t0 é
A
B
C
D
inferior a 30.
superior a 30 e inferior a 60.
superior a 60 e inferior a 90.
superior a 90.
Internet: <www.pmr.poli.usp.br>.
A história da roda pode ser muito curta ou abranger
milhares de anos — a depender da região ou parte do globo
em que é referida.
A roda transmite para o eixo de rotação, de maneira
amplificada, qualquer força aplicada tangencialmente em
sua borda, modificando a transmissão tanto da velocidade
quanto da distância que foram aplicadas. Similarmente, a
roda transmite para a borda, de maneira reduzida, qualquer
força aplicada no seu eixo de rotação, amplificando a
transmissão tanto da velocidade quanto da distância que
foram aplicadas.
O fator importante para se determinar a transmissão de
força, velocidade e distância é a relação entre o diâmetro da
borda da roda e o diâmetro do eixo.
A roda representa, também, o princípio básico de todos
os dispositivos mecânicos.
Internet: <www.carroantigo.com> e <www.wikipedia.org> (com adaptações).
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1
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ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA BÁSICA
Lista 02 – Funções e Progressões
Questão 4.
(UnB- 2º/11)
Questão 5.
Um cabo flexível e homogêneo suspenso entre dois
pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes, forma
uma curva denominada catenária, devido à ação exclusiva
da força peso.
A figura I ilustra essa curva, em um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que o ponto
mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. Nesse sistema, a
a bx
e + e− bx  , em
catenária é o gráfico da função=
=
y f(x)
2
que a e b são constantes reais positivas e e é a base do
logaritmo natural.
A figura II mostra o sólido denominado catenoide, que
pode ser obtido girando-se em torno do eixo Ox a região do
plano xOy compreendida entre as retas x = – c e x = c,
acima do eixo Ox e abaixo da catenária, representada na
figura I. Esse sólido também pode ser obtido mergulhandose, em uma solução de água e sabão, uma argola de arame
e retirando-a em seguida.
A partir das informações acima, julgue os itens de 1 a 5.
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
xOy, na situação da figura acima, a expressão
23 x x 2
fornece a altura y = f(x), em metros, da
+ −
f(x) =
4 4 16
ponta da flecha em função da abscissa x, em metros.
Considere que, em cada instante t ≥ 0, em segundos, as
coordenadas (x, f (x)) da trajetória descrita pela ponta de
flecha podem ser dadas, em função de t, por (x(t), f(x(t))),
com x(t) = 10 – 20t. Desse modo, o movimento da ponta da
flecha se decompõe na horizontal como x(t) = 10 – 20t e, na
vertical, como y(t) = f(x(t)).
Com base nessas informações, e considerando que
uma maçã esteja localizada no ponto P de coordenadas
(0, 5), julgue os itens de 1 a 5 e assinale a opção correta no
item 6, que é do tipo C.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Suponha que o soldado tenha utilizado uma arma de
fogo de modo que a trajetória do projétil seja linear e
que, estando a ponta do cano da arma à distância de 10
metros do suporte que sustenta a maçã e a uma altura
de 1 a 2 metros do solo, o projétil tenha atingido a
maçã. Nessa situação, conclui-se que o ângulo entre a
trajetória do projétil e a flecha exibida na figura, no
π
radianos.
instante t = 0, é inferior a
12
De acordo com a função x(t) = 10 – 20t, a ponta da
flecha interceptará o eixo Oy quando t = 0,5 s.
A ponta da flecha atingirá a altura máxima em quatro
décimos de segundo após o lançamento.
2
A expressão g(t) = 2 + 20t – 25t permite determinar a
altura da ponta da flecha em função do tempo t.
Caso o soldado efetuasse o lançamento nas mesmas
condições representadas na figura — mesma força e
mesmo ângulo de inclinação —, mas afastando-se da
origem dois metros para a direita do ponto onde se
encontra, a flecha atingiria a maçã.
Considere que, em vez da flecha, o soldado estivesse
utilizando uma arma de fogo com o cano apontado na
mesma direção e sentido da flecha e que a trajetória do
projétil fosse linear. Nessa situação, a distância, em
metros, do ponto P à trajetória descrita pelo projétil
seria igual a
A
(UnB- 1º/12)
1.
(
)
(
)
1 t
e G(t) = ln t + t2 + 1 ,
e − e− t
2
F ( G(t)) = t , para todo número real t.
Se
=
F(t)
então
2.
Se duas bolhas de sabão, esféricas, têm raios tais que
o raio da bolha menor seja igual a um terço do raio da
maior, então o volume da bolha maior é igual a nove
vezes o volume da menor.
3. O gráfico da função f, que é uma função par, passa pelo
ponto (0, a/2).
4. Considere que a figura abaixo ilustre um catenoide
obtido pela rotação da catenária definida por
a x
e + e− x  em torno do eixo Ox, para
=
=
y f(x)
2
0 ≤ x ≤ ln 2. Se V1 e V2 são, respectivamente, os
volumes dos cilindros inscrito e circunscrito a esse
catenoide, no intervalo em questão, e se 3,14 e 0,69
são valores aproximados para π e ln 2,
respectivamente, então o valor numérico de V2 – V1 é
inferior a 1,3.
13.
B
6,5 × 2 .
C
7.
D
3,5 × 2 .
5.
Considere, no sistema cartesiano xOy, os pontos P = (x, y),
a bt
a bt
e + e− bt  , y =
e − e− bt  , t
em que x =
x(t) =
y(t) =
2
2
é um número real qualquer e a e b são números reais
positivos. Nesse caso, à medida que t varia, P percorre
2
2
2
a parte da hipérbole x – y = a que se encontra no 1º e
4º quadrantes.
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2
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ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA BÁSICA
Lista 02 – Funções e Progressões
Questão 6. (UnB- 1º/12)
Aidan Dwyer, um jovem norte-americano de 13 anos de
idade, após ter analisado o papel das folhas das plantas
como coletores solares naturais para o processo de
fotossíntese, desenvolveu uma inovadora maneira de dispor
painéis solares de modo a otimizar a coleta de energia
luminosa.
Durante uma caminhada, ao observar as árvores, ele
percebeu que as folhas ao longo de um ramo e os galhos
em torno do caule apresentavam um padrão de crescimento
espiralado ascendente que obedecia à sequência de
Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..., que é
determinada pela seguinte fórmula de recorrência: F1 = 1,
F2 = 1 e, para n ≥ 3, Fn = Fn – 1 + Fn – 2. Essa distribuição das
folhas, além de dar equilíbrio ao caule, propicia-lhe melhor
aproveitamento de sua exposição ao Sol, à chuva e ao ar.
Em 1874, o matemático inglês Wiesner concluiu que,
para que as folhas em um caule de uma árvore ficassem
melhor expostas à luz do Sol, o ângulo θ entre as folhas
Questão 7. (UnB- 2º/12)
Suponha que o robô Opportunity tenha coletado, na
superfície de Marte, uma amostra radioativa cuja massa,
M(t), em gramas, pode ser representada em função do
– kt
tempo t ≥ 0, em anos, pela expressão M(t) = M0 e , em
que k é uma constante positiva que depende do material da
amostra, e M0 é sua massa inicial. Considerando essas
informações, julgue os itens de 1 a 4 e assinale a opção
correta no item 5, que é do tipo C.
1.
2.
3.
4.
5.
o
 360 
deveria ser aproximadamente igual a  2  = 137,5°, que é
Φ 
conhecido como ângulo áureo, em que Φ =
A
B
5 +1
.
2
C
D
A figura ao lado ilustra o
trabalho de Aidan. Após medir as
posições dos galhos em várias
árvores, ele realizou, no quintal
de sua casa, experimentos com
pequenos
coletores
solares
posicionados em uma armação
metálica
que
imitava
a
configuração natural das folhas.
Ele
montou,
ainda,
uma
quantidade igual de sensores e
os dispôs em um painel, como é
feito nos coletores comerciais.
Com equipamentos simples, traçou gráficos comparativos da
captação solar e observou que sua árvore solar captava
20% mais energia que o painel plano comum.
Tendo como base as informações do texto acima, julgue
os itens de 1 a 5.
O sistema linear homogêneo cuja matriz dos
coeficientes é a matriz A, apresentada a seguir, tem
solução única.
 F1 F2 F3 F4 


F F6 F7 F8 
A= 5
 F9 F10 F11 F12 
 F F F F 
 13 14 15 16 
2.
Se α e β são as raízes positiva e negativa,
respectivamente, do polinômio f(x) = x2 – x – 1, então
3
α3 − β=
5 ⋅ F3 .
3.
É correto afirmar que
4.
5.
1.
2.
3.
4.
1
3
.
< senθ <
2
2
A partir das informações apresentadas, é correto
afirmar que Φ− 1 = Φ − 1 .
Se x é um número real tal que x −
é diretamente proporcional a M0.
é inversamente proporcional a k.
ocorre no intervalo de 20 a 100 anos.
é crescente com relação ao tempo t.
Questão 8. (UnB- 2º/12)
Um apicultor, ao perceber o desaparecimento de
abelhas de uma colmeia, resolveu contar a quantidade de
abelhas restantes para estimar a taxa correspondente ao
sumiço dos insetos. Utilizando técnicas adequadas, ele
conseguiu atrair as abelhas restantes da colmeia para o
interior de uma caixa cercada por uma tela. O apicultor
observou que as abelhas entravam na caixa de modo
bastante peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava
uma; depois, mais três de uma única vez; logo em seguida,
mais cinco ao mesmo tempo; imediatamente após, entravam
sete, e, assim, sucessivamente. Para obter controle sobre o
processo, ele anotou a quantidade de abelhas que entravam
e verificou que nenhuma abelha saiu da caixa enquanto ele
fazia a contagem. Ao final, contou 400 abelhas dentro da
caixa.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens de
1 a 3 e faça o que se pede no item 4, que é do tipo D.
O Globo, 20/8/2011 (com adaptações).
1.
Se a amostra for avaliada em instantes ti, i = 1, 2, 3...,
tais que ti é o i-ésimo termo de uma progressão
geométrica, então a sequência das massas M(ti) será
uma progressão aritmética.
A imagem da função dada por M(t), para t ≥ 0, é o
conjunto de todos os números reais positivos.
Se 0 < k < 1, então a função M(t) é crescente.
Se k = n(1,2) e M0 = 4 g, então, depois de 4 anos, a
massa da amostra será inferior a 2 g.
A meia-vida da amostra radioativa coletada
Em algum momento, a quantidade total de abelhas
dentro da caixa foi igual a 40.
Em algum momento, a quantidade total de abelhas na
caixa foi exatamente igual a uma das raízes do
3
polinômio p(x) = x – 7x – 6.
Em algum momento, a quantidade de abelhas que
entraram simultaneamente na caixa correspondeu a um
número não primo.
Com base no fato de que a quantidade total de abelhas
presentes na caixa aumentou de acordo com um
padrão matemático, identifique esse padrão e redija um
texto na modalidade padrão da língua portuguesa,
explicando o raciocínio desenvolvido para chegar a
essa conclusão.
F7
> 2 , então x > 2
F6
ou x < – 0,3.
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3
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Lista 02 – Funções e Progressões
Questão 9. (UnB- 1º/13)
Uma bola de borracha, ao ser abandonada de uma
altura h0, quica no chão e retorna à altura h1, um pouco
menor que h0. Logo depois, quica mais uma vez e atinge
uma altura h2, menor que h1. Esse processo se repete, de tal
forma que, desconsiderando-se atritos e outras
interferências externas, as alturas máximas atingidas pela
bola formam uma sequência {hi}, com hi – 1 = qhi,, i = 1, 2, 3,
..., em que q é uma constante positiva.
A respeito da situação descrita, julgue os itens de 1 e 2
e faça o que se pede no item 3, que é do tipo B.
1.
2.
3.
3.
4.
A sequência formada é uma progressão aritmética.
Se a bola foi abandonada, inicialmente, a 1,5 m do solo
e, após ter quicado duas vezes, chegou a 0,96 m,
então, após mais duas colisões com o solo, a altura
máxima foi superior a 60 cm.
Considerando que a bola de borracha tenha sido
abandonada a 2,5 m do solo e que q = 3/2, calcule, em
decímetros, a distância total percorrida pela bola depois
de longo intervalo de tempo (até a bola parar). Para a
marcação no Caderno de Respostas, despreze, caso
exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após
ter efetuado todos os cálculos necessários.
Questão 10. (UnB- 1º/13)
A figura lado ilustra a
situação denominada “efeito
dominó”,
na
qual
são
enfileiradas várias peças de
dominó apoiadas no chão sobre
sua menor base. Ao se
derrubar a primeira peça, todas as demais caem
sequencialmente, uma após a outra. Suponha que, em um
arranjo hipotético, uma infinidade de peças de dominó tenha
sido corretamente emparelhada em uma única fileira e que a
cada uma delas tenha sido atribuído um número inteiro
positivo, de acordo com a ordem em que elas caíam. Assim,
por exemplo, a peça de número 13 é a décima terceira a
cair. Nesse arranjo, a primeira peça é amarela, as peças
correspondentes a números primos são vermelhas e as
demais são pretas.
É relevante saber que o jogo de dominó duplo-6 é
constituído de peças na forma de retângulo. Uma linha
divide ao meio cada retângulo, e cada metade do retângulo
é marcada com um a seis pontos (indicando valores
numéricos) ou nenhum ponto (zero). Considere que a
notação i-j — 0 ≤ i, j ≤ 6 — significa que uma metade do
retângulo é marcada com i pontos, e a outra, com j pontos.
Nessa notação, as peças do dominó são: 0-0; 0-1; 0-2; ... ;
0-6; 1-1; 1-2; ... ; 1-6; 2-2; 2-3; etc. Abaixo estão ilustradas
algumas peças desse jogo.
2.
Assinale a opção que apresenta corretamente a peça
de dominó em que os pontos marcados em suas
metades correspondem aos valores das expressões
logarítmicas inseridas na peça de dominó representada
acima.
6.
A indução matemática é frequentemente utilizada em
demonstrações. Segundo esse método, para verificar
se determinada propriedade vale para cada inteiro
positivo, deve-se mostrar duas coisas:
a propriedade vale para o número 1;
se a propriedade vale para algum inteiro
positivo n, então vale para n + 1.
Tendo como referência essas informações, redija um
texto, na modalidade padrão da língua portuguesa,
estabelecendo, da forma mais completa possível, uma
analogia entre a demonstração por indução e a
hipotética brincadeira das infinitas peças de dominó
descrita.
GABARITO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ECCC
B
ECECC letra A
ECCCC letra D
CEECC
ECCCC
EEEC letra B
EEC Seu texto deve mencionar que como a quantidade
de abelhas que entra na caixa é uma PA, então a
quantidade total de abelhas presentes na caixa
aumentou de acordo com uma PA de segunda ordem.
9. EC 125
10. CECE letra A. Seu texto deve mencionar que a indução
matemática transfere certa propriedade para os
números naturais sucessivamente, que é exatamente o
que acontece no efeito dominó.
Há exatamente um par de peças vermelhas
consecutivas.
Sempre que cair uma peça de número múltiplo de 700,
necessariamente, antes dela, caíram mais de 250
peças cujo número correspondente é múltiplo de 3.
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5.
•
•
A respeito da situação apresentada, julgue os itens de 1
a 4 e faça o que se pede no item 5, que é do tipo C, e no
item 6, que é do tipo D.
1.
Considere que sejam usados 100 jogos de dominó
duplo-6 para montar o “efeito dominó”. Nesse caso, o
número total de peças usadas nessa brincadeira será
superior a 2.700.
Escolhendo-se aleatoriamente uma peça de um jogo de
dominó duplo-6, é superior a 0,15 a probabilidade de
que essa peça seja uma em que a soma dos números
de pontos marcados é igual a 6.
4
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