INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÂO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
JOSE CARLOS THOMPSON DA SILVA
REFLEXÕES SOBRE CONHECIMENTOS EVIDENCIADOS POR LICENCIANDOS
EM MATEMÁTICA POR MEIO DA ELABORAÇÃO DE UM JOGO SOBRE ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Vitória
2014
JOSE CARLOS THOMPSON DA SILVA
REFLEXÕES SOBRE CONHECIMENTOS EVIDENCIADOS POR LICENCIANDOS
EM MATEMÁTICA POR MEIO DA ELABORAÇÃO DE UM JOGO SOBRE
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação
em Educação em Ciências e Matemática do Instituto
Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências
e Matemática.
Orientadora: Prof.ª Dr.ª Sandra Aparecida Fraga da
Silva.
Vitória
2014
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo)
S586r Silva, José Carlos Thompson da.
Reflexões sobre conhecimentos evidenciados por licenciandos em
matemática por meio da elaboração de um jogo sobre análise
combinatória / José Carlos Thompson da Silva. – 2014.
130 f. : il. ; 30 cm
Orientador: Sandra Aparecida Fraga da Silva.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo,
Programa de Pós-graduação emEducação em Ciências e Matemática,
2014.
1. Professores – Formação. 2. Análise combinatória. 3. Jogos no
ensino de matemática. I. Silva, Sandra Aparecida Fraga da. II. Instituto
Federal do Espírito Santo. III. Título.
CDD 21- 370.71
Para os meus filhos Calebe, Júlia
e Carla pelos quais luto para que
tenham dias melhores.
AGRADECIMENTOS
A Deus, que me deu o dom da vida e me fez superar os obstáculos dando-me força e
entendimento em mais uma conquista.
À banca examinadora pelas contribuições e sugestões para melhoria deste trabalho.
À minha esposa Denise pela compreensão das minhas ausências e pelo apoio nos momentos
solitários da vida.
Ao meu irmão Gervando pelo incentivo, apoio e cooperação.
À minha mãe Ilma por seu apoio, incentivos e intercessões constantes.
Aos professores do Educimat – Ifes/Vitória que contribuíram para a minha formação.
A todos os amigos do mestrado, em especial à Vanusa e Euléssia, que contribuíram para a
construção deste projeto em nossos diálogos em vários momentos, seja na cantina, em sala de
aula, no carro, no ônibus ou em outros espaços e nos momentos de incertezas.
Aos alunos da licenciatura em matemática do Ifes-Vitória que voluntariamente participaram
desta pesquisa.
Aos professores das escolas Belmiro Teixeira Pimenta e Ministro Petrônio Portella pelo
incentivo, em especial à professora Hérica.
Aos amigos que compreenderam minha ausência em muitos momentos.
Aos colegas e amigos do Grupem com quem compartilhamos momentos de estudos e
pesquisas.
À professora Dr.ª Sandra, por acreditar neste trabalho e aceitar orientar-me. Obrigado pelos
elogios e pelos “puxões de orelha”.
Ao meu amigo Alexandre e ao professor Geraldo Bull pelas contribuições e sugestões.
Provérbios de Salomão, filho de Davi, rei de Israel;
Para se conhecer a sabedoria e a instrução;
Para se entenderem, as palavras da prudência.
Para se receber a instrução do entendimento, a justiça, o juízo e a
equidade;
Para dar aos simples, prudência, e aos moços, conhecimento e bom
siso;
O sábio ouvirá e crescerá em conhecimento, e o entendido adquirirá
sábios conselhos;
Para entender os provérbios e sua interpretação; as palavras dos sábios
e as suas proposições.
O temor do Senhor é o princípio do conhecimento;
Os loucos desprezam a sabedoria e a instrução.
Filho meu, ouve a instrução de teu pai, e não deixes o ensinamento de
tua mãe,
Porque serão como diadema gracioso em tua cabeça, e colares ao teu
pescoço.
Bíblia Sagrada: Provérbios 1.1-9
RESUMO
Neste trabalho realizamos um estudo investigativo junto a licenciandos do IFES de Vitória,
inseridos no Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência - Pibid, com a
finalidade de investigar diferentes conhecimentos de licenciandos de matemática ao discutir,
elaborar, aplicar e validar um jogo matemático sobre análise combinatória para a educação
básica.Esta pesquisa qualitativa de caráter colaborativo teve os momentos do jogo de Grando
(2000), como fundamentação Teórico-Metodológica, fazendo uso do método descritivo para
análise do objeto e dos sujeitos envolvidos na pesquisa. Num primeiro momento, a pesquisa
teve uma abordagem de caráter exploratório, por meio de levantamento bibliográfico sobre
produções nessa área em que se articulam Análise Combinatória, jogos matemáticos e
formação inicial de professores de matemática. Num segundo momento realizamos a
formação do grupo de pesquisa com os quais coletamos dados por meio de entrevistas
(conversas, observações diretas e indiretas, questionários, registros de áudio e escrita). Com o
grupo realizamos um estudo sobre o conteúdo de Análise Combinatória, elaboramos um jogo
de Combinatória (Combinando na Cidade) e aplicamos o material elaborado numa oficina
realizada na III Semana da Matemática no Ifes/Vitória com licenciandos em matemática e
professores. O material também foi aplicado em uma turma de licenciatura em matemática do
Ifes/Vitória que cursava a disciplina de Análise Combinatória. Após as observações e
modificações o material foi aplicado em duas escolas públicas localizadas no município da
Serra/ES, com uma turma de 3º ano do ensino médio da EEEFM Belmiro Teixeira Pimenta e
uma turma do 5º ano do ensino fundamental da EMEF Ministro Petrônio Portella. Durante a
aplicação do jogo nas escolas não foi necessário fazer alterações no material, então
consideramos a validade do mesmo. Fizemos as descrições dos encontros e identificamos os
conhecimentos dos licenciandos tendo como base a teoria de Shulman (2005). Por fim
fizemos a devolutiva com o grupo de pesquisa e a produção de um guia didático. Concluímos
que o estudo em grupo sobre o jogo contribuiu para a formação didática pedagógica dos
licenciandos participantes, proporcionando um olhar diferenciado sobre o ensino de Análise
Combinatória e outras possibilidade metodológicas, além do uso do livro didático, bem como
utilizar-se de conhecimentos extracurriculares para a contextualização de situações problema.
Palavras-chave: Análise Combinatória. Formação inicial de professores. Jogos matemáticos.
Conhecimentos.
ABSTRACT
In this work an investigative study with undergraduates IFES Vitoria, entered the Scholarship
Program of Introduction to Teaching - Pibid, in order to investigate different knowledge of
future teachers of mathematics to discuss, develop, implement and validate a mathematical
game on combinatorial analysis for basic education. This qualitative research collaborative
character had moments of match Grando (2000), Theoretical and Methodological as
foundation, making use of the descriptive method for analysis of the object and subjects
involved in research. Initially, the research was exploratory approach through literature on
productions in this area that articulate Combinatorial Analysis, mathematical games and
initial training of mathematics teachers. Secondly we perform the training of the research
group with whom we collected data through interviews (conversations, direct and indirect
observations, questionnaires, records audio and written). With the group conducted a study on
the content of Combinatorial analysis, we developed a set of Combinatorics (Combining the
City) and apply the material developed in a workshop held at the Third Week of Mathematics
at IFES/Vitoria with undergraduates in mathematics and teachers. The material was also used
in a class degree in mathematics from the IFES/Vitoria that was studying the discipline of
Combinatorial Analysis. After the observations and changes the material was applied in two
public schools located in the municipality of Serra/ES, with a group of 3rd year of high school
EEEFM Belmiro Teixeira Pimenta and a class of 5th grade elementary school EMEF
MinistroPetrônioPortella. During the game application in schools was not necessary to make
changes to the material, then consider the validity of the same. We did the descriptions of
encounters and identify the knowledge of undergraduates based on the theory of Shulman
(2005). Finally did a feedback session with the research group and the production of an
educational guide. We conclude that the study group about the game contributed to the
didactic pedagogical training of undergraduates participating, providing a different
perspective on teaching Combinatorial Analysis and other methodological possibility, beyond
the use of the textbook, as well as make use of expertise to Extracurricular contextualization
of problem situations.
Keywords: Combinatorial Analysis. Initial teacher education. Mathematical games.
Knowledge.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Primeiro esquema do tabuleiro elaborado por Sebastian .......................................... 63
Figura 2 - Cálculo feito por Sebastian para determinar o produto Cartesiano ......................... 63
Figura 3 - Construção das primeiras regras do jogo ................................................................. 64
Figura 4 - Ampliação das propostas para a construção do jogo inserindo conhecimentos extracurriculares ............................................................................................................... 65
Figura 5 - Confecção das cartas do jogo................................................................................... 67
Figura 6 - Respostas de Sofia sobre a função dos jogadores .................................................... 72
Figura 7 - Resposta de Sebastian sobre a função dos jogadores .............................................. 72
Figura 8 - Resposta elaborada por Sebastian sobre comissões no jogo.................................... 73
Figura 9 - Resposta elaborada por Sofia por meio do princípio multiplicativo com o auxílio do
diagrama de árvore ................................................................................................... 74
Figura 10 - Resposta de Sebastian para a questão 6 ................................................................. 74
Figura 11- Oficina realizada no Ifes/Vitória............................................................................. 76
Figura 12 - Sugestão de regras pelos participantes da oficina .................................................. 77
Figura 13 - Jogo aplicado com uma turma de licenciatura ....................................................... 77
Figura 14 - Atividade de definição dos jogadores resolvida na oficina ................................. 79
Figura 15 - Licenciando resolvendo a questão sobre as possibilidades de cada função dos
participantes na oficina .......................................................................................... 80
Figura 16 - Solução de licenciando sobre a questão de função dos jogadores ......................... 81
Figura 17 - Figura comparativa com a figura 16 ...................................................................... 81
Figura 18 - Tabuleiro utilizado nas oficinas ............................................................................. 85
Figura 19 - Tabuleiro modificado e discutido com aos participantes após a qualificação ....... 86
Figura 20 - Tabuleiro construído após a reformulação............................................................. 87
Figura 21 - Capa do guia Didático.......................................................................................... 106
LISTA DE QUADROS
Quadro 1- Decisão de Sara na escolha pelo curso ............................................................................. 50
Quadro 2 - Escolha de Sofia sobre a licenciatura .............................................................................. 51
Quadro 3 - Presença dos participantes em cada encontro .................................................................. 52
Quadro 4 - Questionamento de Sebastian sobre a abordagem do conteúdo ...................................... 59
Quadro 5 - Resposta de Sara sobre suas lembranças em relação ao ensino de
Combinatória ....... 59
Quadro 6 - A experiência de Sara com a abordagem do conteúdo .................................................... 60
Quadro 7- Conhecimentos de Sofia sobre o ensino de Combinatória ............................................... 60
Quadro 8 - Dúvida de Sebastian sobre o conceito de anagramas ...................................................... 61
Quadro 9- Inclusão de novas regras do jogo ...................................................................................... 65
Quadro 10 - Reflexão de Sebastian sobre as regras do jogo .............................................................. 66
Quadro 11 - Uso dos contextos sociais na construção das regras do jogo ......................................... 67
Quadro 12 - Primeiras impressões de Sara sobre Análise Combinatória .......................................... 68
Quadro 13 - Apresentação das regras para Sara e Sofia .................................................................... 69
Quadro 14 - Momento do jogo Reconhecimento das Regras ............................................................ 69
Quadro 15 - Organização de estratégias sugerida por Sara ............................................................... 70
Quadro 16 - Questão para o momento de intervenção escrita ........................................................... 71
Quadro 17 - Questão 5 para a intervenção escrita ............................................................................. 73
Quadro 18 - Questão 6 para o momento de intervenção escrita ........................................................ 73
Quadro 19 - Sugestão dos licenciandos sobre o jogo......................................................................... 78
Quadro 20 - Observação de Sara sobre o conhecimento pedagógico ................................................ 80
Quadro 21 - Reflexão de Sara sobre o uso do jogo no ensino de Combinatória ............................... 83
Quadro 22 - Alterações nas regras do jogo Combinando na Cidade ................................................. 83
Quadro 23 - Observação de Sebastian e Sara sobre as regras ........................................................... 84
Quadro 24 – Síntese de Conhecimentos construídos por Sofia ......................................................... 88
Quadro 25 - Síntese de conhecimentos construídos por Sebastian .................................................... 90
Quadro 26 - Síntese de conhecimentos construídos por Sara ............................................................ 93
Quadro 27 - Síntese de conhecimentos de Débora ............................................................................ 95
Quadro 28- Respostas dos participantes sobre questão de princípio multiplicativo .......................... 96
Quadro 29 - Respostas dos participantes sobre questão de Permutação Simples .............................. 97
Quadro 30 - Respostas dos participantes sobre questão de Combinação Simples............................. 97
Quadro 31 - Discussão do grupo sobre questão de Combinação ....................................................... 98
Quadro 32 - Respostas dos participantes sobre questão de Permutação de elementos nem todos
distintos ......................................................................................................................... 99
Quadro 33 - Discussão do grupo sobre questão de Permutação de elementos nem todos distintos100
Quadro 34 - Respostas dos participantes sobre questão de Combinação Simples, Princípio Aditivo e
Multiplicativo ............................................................................................................. 101
Quadro 35 – Discussão do grupo sobre questão de Combinação Simples, Princípio Aditivo e
Multiplicativo ............................................................................................................. 102
Quadro 36 - Respostas dos participantes sobre questão de Combinação Completa ........................ 103
Quadro 37 - Discussão do participantes sobre questão de Combinação Completa ......................... 103
Quadro 38 - Respostas dos participantes sobre questão de Princípio das Gavetas de Dirichlet ...... 104
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 15
1.1
OBJETIVOS DA PESQUISA ...................................................................................... 17
1.2
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ...................................................................................... 17
2
ANÁLISE COMBINATÓRIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA: ASPECTOS
METODOLÓGICOS E A FORMAÇÃO INICIAL ................................................ 18
2.1 JOGOS E A MATEMÁTICA ....................................................................................... 18
2.1.1 O valor educativo do jogo ........................................................................................... 20
2.1.2 O jogo como diversidade curricular .......................................................................... 21
2.1.3 O jogo como recurso para a construção de conhecimentos ..................................... 22
2.1.4 O jogo como recurso para a construção de regras e socialização ........................... 25
2.2 O ENSINO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA ............................................................ 27
2.3 FORMAÇÃO DE PROFESSORES E ESTUDOS SOBRE ANÁLISE
COMBINATÓRIA ....................................................................................................... 34
3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA ......................................... 41
4
PERCURSO METODOLÓGICO ............................................................................. 47
4.1 PERFIL DOS PARTICIPANTES DA PESQUISA ...................................................... 48
4.2 CAMINHANDO COM A PESQUISA: ETAPAS E COLETA DE DADOS .............. 51
4.3 ANÁLISE DOS DADOS .............................................................................................. 55
5
DESCREVENDO E ANALISANDO OS ENCONTROS ........................................ 57
6
DIFERENTES CONHECIMENTOS CONSTRUÍDOS PELOS LICENCIANDOS
...................................................................................................................................... 88
7
PRODUTO FINAL ................................................................................................... 106
8
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 107
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 111
APÊNCICE A - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido .................................. 116
APÊNCICE B - Autorização ....................................................................................... 118
APÊNCICE C– Autorização da Escola Estadual ......................................................... 119
APÊNCICE D– Autorização da Escola Municipal ...................................................... 120
APÊNCICE E– Autorização do Coordenador da Licenciatura ................................... 121
APÊNCICE F - Carta de Apresentação de Projeto de Pesquisa ................................. 122
APÊNDICE G - Questionário de Entrevista com os Participantes da Pesquisa ......... 123
APÊNDICE H - Tabuleiro do Jogo .............................................................................. 124
APÊNDICE I - Atividades Aplicadas em Oficina Realizada na III Semana da
Matemática do Ifes/Vitória ............................................................... 125
APÊNCICE J - Questionário para Entrevista Final ..................................................... 129
15
1 INTRODUÇÃO
Durante minha formação e atuação como docente tive dificuldades em desenvolver
determinados conteúdos com meus alunos, pelo fato de acharem a matemática uma
disciplina massacrante com atividades rotineiras, manipulação de fórmulas e demonstrações
de teoremas.
Iniciei um questionamento com meus professores e coordenadores de departamento da
matemática da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES), sobre a mudança na grade
curricular do curso de licenciatura, para melhorar a formação dos licenciandos com
atividades práticas que tornassem as aulas mais prazerosas e ao mesmo tempo
proporcionarem a construção do saber matemático. Percebi a resistência do colegiado em
manter o modelo já definido do curso de licenciatura seguindo os mesmos padrões do
bacharelado.
Deste modo, buscando debates com os colegas em sala e discussões com professores nas
escolas em que atuava, tentando melhorar a qualidade de ensino e gerar o interesse dos
alunos pela disciplina, comecei a trabalhar com jogos matemáticos e vi o quanto os alunos
melhoraram não só no interesse pelas aulas, mas também no relacionamento professor-aluno
e na aprendizagem dos conteúdos. Interessante que em um desses trabalhos com jogos em
que a turma deveria elaborar jogos sobre os conteúdos ministrados, eles pesquisaram sobre o
assunto, usaram a criatividade e fizeram materiais interessantes de diversos formatos e
regras. Ao final, os trabalhos foram compartilhados com as demais séries/anos da escola em
que atuava. Diante de toda esta produtividade e progresso na aprendizagem, apareceu outro
problema após as apresentações, que era o fato de a escola não ter um laboratório para que
este material pudesse ser aproveitado ou reelaborado, então, com tristeza, todo o trabalho foi
literalmente para o lixo.
Ainda em minhas experiências durante a graduação, quanto ao ensino de Análise
Combinatória, foi dada pouca ênfase e o mesmo só era contemplado em algumas situações
em que para obter a solução de um dado problema se recorria a este conteúdo. Ao trabalhar
com os alunos desde os anos iniciais até o ensino médio notam-se dificuldades em entender
os conceitos e diferenciar os casos de arranjos e permutações entre outros, além de não
16
compreenderem o uso das fórmulas. Isto conduz ao desafio de elaborar ações que contribuam
para que o aluno se envolva no contexto de aprendizagem e se interesse pelo conteúdo.
Acreditamos que podemos utilizar jogos para o ensino de Combinatória que contribuam para
a compreensão dos significados dos invariantes e das representações simbólicas deste
conteúdo.
Promover uma educação de qualidade e desenvolver atividades que articulem teoria e prática
é um dos objetivos da educação matemática, além da construção de conhecimentos no
diálogo entre os indivíduos. É neste sentido que buscamos desenvolver o presente trabalho
dado que os jogos educativos favorecem a integração para um tema tão desafiador que é a
Análise Combinatória.
Alguns anos após a minha formação observo que a prática dos professores recém-formados
em matemática continua a mesma e, quando proponho um trabalho diferenciado os mesmos
sentem-se inseguros. Não há iniciativa e acabam optando por um ensino mecanicista. Noto
então que são necessárias mudanças na formação desses novos professores,para que também
estejam preparados para trabalhar com atividades práticas. Em 2011 iniciei a minha
participação no Programa Institucional de Iniciação de Bolsa à Docência (PIBID) como
professor colaborador e, em seguida, como professor supervisor. Ao conhecer melhor este
programa surgiram as seguintes perguntas:
Será que durante a graduação os licenciandos tiveram formação com produção e utilização
de jogos educativos? A produção e aplicação de jogos com licenciandos do IFES de Vitória,
inseridos no PIBID, no conteúdo de análise combinatória contribuem para a melhoria da
prática pedagógica?
Neste trabalho apresentamos reflexões dos participantes da pesquisa e acreditamos que tais
reflexões contribuirão para as práticas futuras da docência destes licenciandos incentivandoos a buscar novas metodologias de ensino.
Para que o leitor possa compreender melhor estas problemáticas faço uma abordagem sobre
o uso de jogos no processo de ensino, a importância da educação matemática, a formação
inicial e continuada do professor e a relação desta pesquisa com a proposta de trabalho do
17
Pibid e do curso do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática
(EDUCIMAT).
Nesta pesquisa buscamos identificar os conhecimentos de quatro licenciandos em
matemática, inseridos no Pibid na elaboração de um jogo para o ensino de análise
combinatória, uma vez que estes já conhecem a realidade educacional, e pelas experiências
com o conteúdo enquanto aluno. Esperamos que os resultados desta pesquisa possam
contribuir para uma visão da possibilidade do uso de jogos em conteúdos ditos
“complicados” como a análise combinatória.
1.1 OBJETIVOS DA PESQUISA
O objetivo geral desta pesquisa é investigar quais conhecimentos pedagógicos e
matemáticos são evidenciados pelos licenciandos ao discutir, elaborar, aplicar e validar
um jogo matemático sobre análise combinatória para a educação básica.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
(a)
Identificar conhecimentos matemáticos de Combinatória que os licenciandos possuem
ao se inserir no grupo de pesquisa de elaboração do jogo.
(b)
Identificar diferentes conhecimentos pedagógicos dos licenciandos na elaboração do
jogo sobre análise combinatória.
(c)
Investigar a relação dos conhecimentos extracurriculares (saberes do dia a dia) dos
participantes na elaboração do jogo sobre análise combinatória em turmas da educação básica.
(d)
Identificar diferentes conhecimentos dos licenciandos na participação desse grupo
sobre jogo de análise combinatória.
(e)
Refletir junto com os licenciandos sobre conhecimentos de Análise Combinatória.
18
2 ANÁLISE COMBINATÓRIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA: ASPECTOS
METODOLÓGICOS E A FORMAÇÃO INICIAL
Uma relação de bens consistia em sete casas; cada casa
tinha sete gatos; cada gato comeu sete ratos; cada rato
comeu sete espigas de trigo; e cada espiga de trigo
produzia sete hecates de grãos. Casas, gatos, ratos,
espigas de trigo e hecates de grãos, quanto havia disso
tudo?
(EVES, 2011, p.76)
Neste capítulo apresentamos uma revisão bibliográfica sobre jogos, análise combinatória e
formação de professores, buscando subsidiar a nossa pesquisa, no intuito de direcionar o
estudo a ser realizado e identificar as possíveis relações entre o problema em questão e os
conhecimentos existentes.
2.1 JOGOS E A MATEMÁTICA
Acreditamos que o jogo pode ser uma ferramenta importante para o ensino de matemática de
forma dinâmica, possibilitando o desenvolvimento de conhecimentos que talvez uma aula
tradicional não permitiria devido a rigidez de sua estrutura, principalmente no modelo de
avaliação.
Autores como Alves (2001) defendem a utilização dos jogos como ferramenta para
desenvolver a aprendizagem de forma positiva e aplicada ao trabalho docente de maneira
lúdica e direcionada como proposta de favorecer o ensino investigativo favorecendo a
construção da criatividade, socialização, cooperação, raciocínio lógico entre outras.
Precisamos iniciar compreendendo o significado da palavra jogo, visto que se trata de um
termo de uso comum e que pode causar confusão entre os leitores. Assim,
A palavra jogo provém de jocu, substantivo masculino de origem latina que significa
gracejo. Em seu sentido etimológico, portanto, expressa um divertimento,
brincadeira, passatempo sujeito a regras que devem ser observadas quando se joga.
Significa também balanço, oscilação, astúcia, ardil, manobra (ANTUNES, 2003
apud NEVES; SANTIAGO, 2009, p.40).
Diversas abordagens metodológicas têm sido utilizadas para o desenvolvimento da
19
aprendizagem e entre elas, os jogos, enquanto atividade lúdica vem configurando caminhos
significativos para as aulas na matemática. Isso devido ao potencial que o jogo proporciona no
desenvolvimento do pensar matemático, da criatividade e da autonomia dos alunos. Segundo
Ribeiro (2009, p. 18), “as atividades lúdicas são inerentes ao ser humano, não somente no
universo infantil, mas também nas vivências dos adultos”. As atividades lúdicas exigem de
seus participantes, regras, concentração e o desenvolvimento de habilidades, o que aponta
para a importância dos jogos no desenvolvimento cognitivo.
Quando o aluno é conduzido a enfrentar desafios e vencer obstáculos nos jogos educativos,
este está desenvolvendo a habilidade de resolver problemas, de forma que os jogos nas aulas
de matemática podem ser vistos como atividades de resolução de problemas. Os jogos podem
ser classificados em:
a) Jogos de azar: aqueles jogos em que o jogador depende apenas da „sorte‟ para ser
o vencedor; b) jogos de quebra-cabeças: jogos de soluções, a princípio
desconhecidas para o jogador, em que, na maioria das vezes, joga sozinho; c) jogos
de estratégias: são jogos que dependem exclusivamente da elaboração de estratégias
do jogador, que busca vencer o jogo; d) jogos de fixação de conceitos: são os jogos
utilizados após exposição dos conceitos, como substituição das listas de exercícios
aplicadas para „fixar conceitos‟; e) jogos computacionais: são os jogos em ascensão
no momento e que são executados em ambiente computacional; f) jogos
pedagógicos: são jogos desenvolvidos com objetivos pedagógicos de modo a
contribuir no processo ensinar-aprender. Estes na verdade englobam todos os outros
tipos (GRANDO, 1995, p.52-53).
Utilizando os jogos como proposta metodológica de ensino da matemática tem-se uma gama
de possibilidades de atividades exploratórias e investigativas que desenvolvem a criatividade,
a autonomia e a construção dos conceitos de matemática. Quando os jogos são elaborados
pelo professor é possível que este analise o potencial educativo do material confeccionado no
processo de ensino-aprendizagem visando contemplar os diferentes objetivos em resolução ao
ensino de matemática. É interessante ressaltar que na construção de jogos o professor também
pode propor aos alunos que eles elaborem seus próprios jogos, o que proporciona ao educador
a análise sobre os alunos a respeito dos conceitos em que apresentaram menor dificuldade de
compreensão.
O ensino com base apenas em reprodução de pensamentos ou fórmulas, não é suficiente para
estimular os alunos ao estudo mais interativo, por isso, buscamos as contribuições do jogo
como recurso metodológico como mais uma proposta de atividades que despertem o prazer e
20
contribua para tornar o espaço da sala de aula em um ambiente sociointeracionista, em que o
professor pode ser considerado como parceiro e mediador deste processo e o aluno um ser
ativo, de forma a ampliar o seu conhecimento.
O conhecimento físico, social e lógico-matemático interliga-se e o uso de jogos educativos
pode possibilitar este espaço transformador e construtor da aprendizagem significativa de
acordo com Franco (1996).
2.1.1 O valor educativo do jogo
Segundo Kishimoto (1990 apud KISHIMOTO, 2002, p.61), o primeiro a colocar o jogo como
parte essencial do trabalho pedagógico foi Froebel, embora não tenha sido o primeiro a
analisar o valor educativo do jogo. O autor ainda cita outros educadores que reconhecem a
importância educativa do jogo, entre eles, Platão, em As Leis (1948)1, trata da importância do
“aprender brincando”, opondo-se à utilização da violência e da repressão. Aristóteles pensa na
recreação como descanso do espírito, na Ética a Nicômaco (1983) e na Política (1966). É nos
escritos de Horácio e Quintiliano que aparece o interesse pelo jogo, referindo-se às pequenas
guloseimas em forma de letras, produzidas pelas doceiras de Roma, com a finalidade para o
aprendizado das letras. Esta prática de relacionar o jogo aos primeiros estudos pode ser a
justificativa para o nome ludus, atribuído às escolas responsáveis pela instrução elementar que
se assemelha aos locais destinados a espetáculos e à prática de exercícios de fortalecimento do
corpo e do espírito.
O jogo deve fazer parte do trabalho educativo e pode ser apresentado em diversas disciplinas
com várias abordagens ao processo de ensino. Antes de Froebel, três concepções vinculavam
as relações entre o jogo infantil e a educação conforme Brougère (1995 apud KISHIMOTO,
2002, p.61): “1. recreação; 2 . uso de jogos para favorecer o ensino de conteúdos escolares e
3. diagnóstico da personalidade infantil e recurso para ajustar o ensino às necessidades
infantis”.
1 Data das obras citadas por Kishimoto.
21
Sobre a relação entre o jogo e a educação, Brougère (1998) estabelece algumas relações
principais. Em primeiro lugar trata-se da recreação, em que o jogo é visto como relaxamento
indispensável ao esforço em geral, o esforço físico e o esforço intelectual. O aluno quando
realiza as atividades de forma tranquila, faz um trabalho mais eficiente e com mais atenção.
Em segundo lugar, o interesse que a criança tem pelo jogo, pode ser utilizado como artifício
pedagógico. Ainda hoje o jogo pode ser visto por vários educadores como forma de
relaxamento e, por isso, muitas vezes acabam recusando a proposta de que o uso dos mesmos
pode favorecer a aprendizagem dos conteúdos escolares de forma motivadora e criativa.
Embora a educação por meio de jogos, tenha sido bastante pesquisada nas últimas décadas
como uma alternativa metodológica do ensino, tal crescimento tem ocorrido com maior ênfase
na pré-escola e nas séries iniciais do ensino fundamental, deixando muito a desejar nas séries
finais do ensino fundamental, no ensino médio e principalmente no ensino de matemática de
acordo com Alves (2001).
2.1.2 O jogo como diversidade curricular
Se os jogos forem utilizados pelos educadores como forma de recreação, sem buscar de forma
mais aprofundada as possibilidades que estes podem favorecer para a construção do
conhecimento no ambiente escolar, tais professores não estarão preparando os alunos para a
vida acadêmica futura. Por outro lado, se a rigidez com que a escola cobra o currículo escolar
sem oportunizar o ensino diversificado, podem ocorrer situações de desmotivação, pois os
alunos terão uma visão estereotipada da construção do saber.
Os jogos educativos não devem ser trabalhados em apenas uma determinada área de
conhecimento, além disso, não são únicos. Cabe ao professor buscar possibilidades para se
trabalharem diversos conteúdos, utilizando jogos como recurso didático. Porém, esta
investigação exige maior esforço do educador e, às vezes, o mesmo acomoda-se com o
simples uso do livro didático, abordando o conhecimento como algo estático, sem
possibilidades de promover um ambiente que leve o aluno a pensar, criar e recriar.
22
O jogo possibilita a aproximação do indivíduo ao conteúdo científico, garantindo a construção
de conhecimentos mais elaborados. Para Moura (1994 apud ALVES, 2001, p.26), “o jogo tem
a finalidade de desenvolver habilidades de resolução de problemas”, pois o aluno precisa
estabelecer planos para alcançar os objetivos. Neste mesmo contexto educacional, para Alves
(2001), o relacionamento entre o professor e o aluno é fundamental para que ocorra um
ambiente sócio-afetivo e intelectual, capaz de promover uma aprendizagem significativa, seja
qual for a disciplina ministrada.
Quando os professores trabalham jogos, em geral, as atividades são controladas, visando mais
a disputa que a construção do conhecimento de forma prazerosa. Santos (1998) entende
“como Freire, que o mundo da cultura infantil não poderia ser deixado de lado ao elaborarmos
um programa curricular infantil”. Para este autor, Santos (1998), o ensino muitas vezes tem se
tornado um castigo para os alunos. Para ele, o jogo e o brincar deveriam ser incluídos como
disciplina fundamental para o ensino da aprendizagem de crianças. A preocupação excessiva
do controle nas atividades e na disciplina do comportamento dos alunos pode tornar o
processo da construção do conhecimento por meio dos jogos mera atividade didática, com
finalidade apenas no produto.
2.1.3 O jogo como recurso para a construção de conhecimentos
Diversas pesquisas envolvendo jogos educativos têm sido desenvolvidas nos últimos anos.
Johnson e Mayer (2010) visualizaram um futuro onde as pessoas aprenderão conteúdo e
habilidades acadêmicas utilizando jogos. Eles acreditam que os jogos são envolventes e
motivadores ajudando a transferência e resolução de problemas complexos. Com isso,
propuseram a inserção de autoexplicação aos recursos instrucionais em um ensino feito por
computador e, como o ambiente poderia melhorar a compreensão dos conceitos a serem
adquiridos pelo jogador. Foi elaborado um jogo (Circuit) para auxiliar o estudo e
funcionamento de circuitos elétricos.
Nesse jogo, foi incorporada a autoexplicação de duas maneiras: na versão seleção, o jogador
seleciona em uma lista na tela, a razão para cada movimento que está fazendo, na versão
geração, o jogador digita na tela essa razão. Dois experimentos foram feitos, o primeiro com
23 pessoas e o segundo com 81 pessoas. No primeiro foi utilizada a versão da seleção e houve
23
maior sucesso na aprendizagem dos conteúdos sendo que, todas as pessoas relataram pouco
conhecimento prévio sobre circuitos elétricos. Segundo os pesquisadores, a aprendizagem em
um ambiente de jogo foi melhorada quando os jogadores eram obrigados a escolher em uma
lista, razões para cada movimento feito durante o jogo, mas não quando foram obrigados a
gerar uma explicação digitada para cada movimento.Esse resultado incentiva a pesquisa para
se usar um paradigma de valor agregado na teoria cognitiva de aprendizagem multimídia, com
atenção à versão da geração para que o jogador não perca o foco da aprendizagem.
Pensando na motivação dos estudantes por meio de jogos Vos, Mejiden & Denessen
(2011) acreditaram que a elaboração e construção de um jogo podem ser a melhor maneira de
aumentar a motivação dos alunos em aprofundar a aprendizagem do que simplesmente usar
um jogo já existente. Os autores acreditam que na elaboração desses jogos (que usam a teoria
social construtivista da aprendizagem) os alunos querem buscar o conhecimento para “passar
de nível”, com isso eles desenvolvem o pensamento lógico, a resolução e problemas e a
habilidade do pensamento. Os alunos têm curiosidade, e isso estimula o estudo para a
elaboração do jogo, onde eles estão no controle criando regras, problemas, desafios e
soluções.
Para a pesquisa fez-se um estudo em quatro escolas na Holanda, totalizando 235 estudantes.
Eles estudariam provérbios holandeses, e já haviam feito um teste mostrando maior nível de
competência linguística holandesa do que a média nacional. Esses alunos foram divididos em
dois grupos: um elaboraria o jogo e o outro usaria o jogo feito pelo primeiro autor, sendo que,
o objetivo de ambos era dominar uma série de provérbios holandeses (conforme foi dito). Os
alunos também foram submetidos à pré-testes e pós-testes, o primeiro com objetivo de medir
a motivação intrínseca geral e usar a estratégia de aprofundamento da aprendizagem em todas
as experiências escolares, e o segundo medindo também a motivação intrínseca, mas apenas
em um assunto específico.
Os resultados mostraram o que os autores suspeitavam: os alunos se sentiram mais motivados
(em termos de interesse, competência e esforço) quando elaboraram e construíram o jogo, eles
também se sentiram mais competentes que os outros, pois tiveram que refletir sobre os
conceitos de linguagem e do jogo. Lembrando que a pesquisa não mensurou os resultados da
24
aprendizagem, pois para isso, teriam que pesquisar por mais tempo e usar a coleta de dados
qualitativos para estudos futuros.
Santos Filho (2010), revelou que os alunos ao elaborarem o jogo eletrônico, construíram
novos conceitos e relembraram outros já aprendidos sobre a análise combinatória. Para tal
verificação a atividade foi aplicada em uma escola pública de Aracaju, a 19 alunos do 2º ano
do Ensino Médio que favoreceu o entendimento sobre o significado do princípio
multiplicativo.
Uma pesquisa qualitativa desenvolvida por Floret (2013), analisou o potencial dos jogos
eletrônicos disponíveis gratuitamente na internet para o ensino da matemática, e sua
contribuição para o desenvolvimento de um jogo para o ensino da análise combinatória. Foi
utilizada a pesquisa exploratória como abordagem metodológica, cujo produto foi um
levantamento de cem jogos eletrônicos para ensino de matemática disponíveis gratuitamente
online. Como resultado do levantamento realizado, evidenciou-se a fragilidade dos jogos
disponíveis para o ensino da matemática, e foi desenvolvido o protótipo de um jogo voltado
ao ensino da Análise Combinatória, batizado com o nome Euclidean. Durante a pesquisa foi
criado também um critério para classificação etária indicativa dos jogos, levando em
consideração tanto o conteúdo matemático abordado quanto o tema contido em cada jogo.
Um dos jogos que fez muito sucesso desde a década de 70 é o Mastermind, que também ficou
conhecido como jogo Senha, cujo objetivo consiste em descobrir a sequência correta de cores
gerado por uma máquina. Outro jogo utilizado para o ensino de combinatória é o jogo do
quadrado. O Jogo do Quadrado utiliza o mesmo tabuleiro do Jogo da Velha. Os movimentos e
as capturas de suas peças possuem algumas semelhanças com as peças peão e torre do jogo de
xadrez. Em relação ao conteúdo, o jogo explora os possíveis movimentos no tabuleiro.
Os estudos de Grando (2000), sobre o jogo pedagógico no ensino da matemática, teve como
ambiente a sala de aula, e surgiu da necessidade de compreensão dos aspectos cognitivos
envolvidos na utilização do jogo como instrumento na aprendizagem Matemática. A autora
investigou os processos desencadeados na construção e/ou resgate de conceitos e habilidades
matemáticas a partir da intervenção pedagógica com jogos de regras. Foram investigados
como
sujeitos
da
pesquisa
8
alunos
da
6ª
série
(11/12
anos)
do
Ensino
25
Fundamental,realizando atividades de intervenção pedagógica com dois jogos matemáticos
(Contig 60) um jogo de estratégia, o que implica em situações competitivas, onde os sujeitos
são limitados em suas ações, tanto pelas regras que compõem o jogo quanto pelas jogadas dos
adversários, e Nim um jogo de lógica, que possibilita aos sujeitos construírem um modelo de
representação da solução da situação-problema de jogo: a estratégia máxima. Para
desenvolverem tal estratégia, os sujeitos necessitam construir habilidades de resolução de
problemas, explorar o raciocínio hipotético-dedutivo, generalizar soluções e procedimentos,
observar regularidades e descrever os resultados por meio de um modelo matemático).
Segundo unidades de análise pré-definidas no estudo piloto os dados foram analisados
qualitativamente,e mostraram o processo desencadeado na construção dos procedimentos e
conceitos matemáticos, pelos sujeitos, em situações de jogo que contribuíram para o
desenvolvimento dos momentos do jogo.
As pesquisas apontam para melhoria do processo ensino-aprendizagem dos alunos nos
trabalhos realizados com jogos, por isso incentivamos que os cursos de licenciatura em
matemática por meio das disciplinas de práticas pedagógicas incentive os licenciandos a
elaborarem jogos, assim como os cursos de formação continuada de professores para auxiliar
no desenvolvimento meta-cognitivo, para que isto se torne uma prática efetiva no corpo
docente e que os futuros professores sejam preparados já na graduação.
2.1.4 O jogo como recurso para a construção de regras e socialização
A arte de negociar, de criar normas e regras para os jogos faz com que as crianças, acima de
tudo, além de brincarem, aprendam conceitos e normas que servirão para elas dentro da
sociedade, no dia-a-dia, no relacionamento com outras pessoas e na sua formação social,
como indivíduos indissociáveis da sociedade e que poderão transformá-la, a partir de sua
interação com o meio e com seu cotidiano. Para comprovar essa teoria Saad Guirra &
Frederico (2009), desenvolveram uma pesquisa em que observaram crianças dos 5 aos 10
anos, em uma escola pública de Ensino Fundamental do município de Barra do Garças/MT,
localizada em um Centro Social Urbano da cidade, onde juntamente com a escola, funciona o
programa do Governo Federal, Programa de Erradicação do Trabalho Infantil (PETI). Essa
escola está localizada em um bairro de classe econômica baixa da cidade, e seus alunos são
26
moradores do próprio bairro. Interessante notar que essa escola foi escolhida pela situação
financeira do bairro, e por ser uma escola com estruturas muito humildes, em que professores
e alunos têm de utilizar, a todo instante, sua imaginação, como ingrediente importante do
aprendizado, devido à carência estrutural do lugar.
As informações do trabalho de Saad Guirra & Frederico (2009), mostra-nos que quando os
alunos participam da criação de regras do jogo, este se torna mais divertido e atraente, mesmo
que este sujeito esteja inserido em um contexto social e econômico desfavorecido, e que as
regras de jogos ditadas apenas pelo professor nem sempre tornam a atividade atraente.
A pesquisa foi realizada durante três semanas, e foram realizadas 18 observações, no horário
que antecedia o início das aulas, no recreio e em algumas aulas de Educação Física. Das
situações observadas, foram registrados os jogos que, ao olhar do pesquisador, pareceram
mais pertinentes para a compreensão das negociações das regras pelas crianças.
Os pesquisadores concluíram que no espaço escolar os momentos de maior descontração
eram: durante o recreio e antes do início das aulas, os momentos em que as crianças mais se
divertiam, ou quando elas jogavam de forma descontraída, sem a presença de adultos, e
quando o envolvimento delas era o maior possível, na elaboração das regras, na motivação.
Os risos, gritos, vibrações denunciavam o envolvimento com os jogos. Era perceptível que as
crianças gostavam de participar das atividades, e não só do ato em si, mas também da
elaboração das regras, da discussão e dos acordos, fato esse que ficou claro, quando na
observação de uma das aulas de Educação Física, o professor impôs as regras para que as
crianças seguissem, e elas manifestaram-se insatisfeitas com a atitude do professor.
Carvalho (2009) evidenciou que por meio de diversas situações de jogos é possível ampliar o
leque de representações de contagem e tornar a sala de aula mais sociável. Para tal verificação
foi realizado um Estudo de Caso numa turma de 8º ano do ensino fundamental do Colégio
Militar de Porto Alegre, ao longo do segundo semestre de 2008 em que foi feito uma análise
de como os sujeitos se comportavam em diferentes contextos que abordavam o conceito
multiplicativo, e chegou-se a conclusão de que a sala de aula tornou-se mais sociável
conforme os alunos se integravam para um objetivo comum.
27
Sintetizando as vantagens de se trabalhar com jogos no meio educacional, nota-se a
importância da inclusão de todos os participantes, além disso, o nível de dificuldade precisa
ser levado em consideração para que a autonomia do aluno seja conquistada e não ocorra a
desmotivação, a fim de que se alcance o resultado da aprendizagem. Realizar um trabalho
com jogos exige planejamento desde a sua etapa inicial até a etapa final, com as devidas
intervenções do professor. Acreditamos ainda que, por meio dos jogos educativos é possível
construir o conhecimento significativo de forma que o prazer e a seriedade do trabalho
estejam inseridos nas atividades, em um ambiente sem pressão, em uma zona de conforto e
familiaridade. Assim, a participação efetiva de cada participante nas atividades é fundamental
para que ocorra a inclusão e todos se sintam construtores do saber.
A aprendizagem acontece por meio da interação dos indivíduos e do significado que se dá aos
objetos. Sendo assim há uma concordância que, em qualquer época ou em qualquer disciplina,
é possível repensar a atividade docente por meio do uso de jogos transformando o ensino
dinâmico, estimulador e investigativo, sem esquecer-se das teorias e conteúdos escolares que
se pretende alcançar.
Embora haja a variedade de concepções e definições sobre o que seja jogo, neste trabalho
adotamos o jogo “como um suporte metodológico, que tenha utilidade em todos os níveis de
ensino”. (GRANDO, 2000, p. 29).
2.2 O ENSINO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
Há sete senhoras idosas na estrada de Roma. Cada senhora
tem sete mulos; cada mulo transporta sete sacos; cada saco
contém sete pães; com cada pão há sete facas; para cada
faca há sete bainhas. Entre mulheres, mulos, sacos, pães,
facas e bainhas, quantos estão na estrada de Roma?
(EVES, 2011, p.7)
Nesta seção fazemos uma breve apresentação de pesquisas que foram desenvolvidas com o
objetivo de contribuir para o ensino deste conteúdo. Esperamos que estes dados sirvam para
identificarmos quais conhecimentos de Combinatória podem ser explorados em nosso
trabalho, e termos direcionamento para a nossa pesquisa.
28
Iniciamos esclarecendo o que entendemos por Análise combinatória. Concordamos com
Morgado et al. (1991, p.1), quando afirmam que
[...] a Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória é muitas vezes
entendida por maior parte dos alunos, apenas como os estudo de combinações,
arranjos e permutações. No entanto, a Análise Combinatória trata de vários outros
tipos de problemas e dispõe, além das combinações, arranjos e permutações, de
outras técnicas para atacá-los: o princípio da inclusão-exclusão, o princípio das
gavetas de Dirichlet, as funções geradoras, a teoria de Ramsey são exemplos de
técnicas poderosas de Análise Combinatória.
Para os autores dois tipos de problemas que ocorrem frequentemente em Análise
Combinatórias são:
1)
A demonstração da existência de subconjuntos de elementos que satisfazem
determinadas condições apresentadas de um conjunto finito;
2)
Quantificar ou classificar subconjuntos que satisfazem certas condições dadas de um
conjunto finito.
Pensamos que o estudo das combinações, arranjos e permutações geralmente são
privilegiados em Análise Combinatória, por serem mais simples e de uso mais amplo. É
importante que o professor trabalhe a aprendizagem dos conceitos de Análise Combinatória
de forma cuidadosa e investigativa, sem a reprodução mecânica, pois é imprescindível para
que a mesma não seja interpretada apenas como um conjunto de fórmulas complicadas.
A teoria das probabilidades é outro fator que contribuiu para o desenvolvimento da Análise
Combinatória, pois em grande parte dos problemas surge a necessidade de resolver
problemas de contagem originados na teoria das probabilidades.
Alves (2012) mostra em sua pesquisa os resultados de análise de problemas combinatórios
apresentados em livros didáticos, exames nacionais e vestibulares, que apresentam um
mesmo modelo de situações combinatórias que impossibilitam o desenvolvimento de outras
estratégias e compreensão sobre o conteúdo. A pesquisa mostra como resultado de erros
apresentados nas respostas de alunos de licenciatura em matemática influencia na
aprendizagem dos alunos.
29
Não trabalhar os diferentes casos de Combinatória na licenciatura pode conduzir os
licenciandos a se prenderem a um modelo único de resolução, mantendo-os preso ao uso de
fórmulas.
Uma investigação quanto ao ensino de análise Combinatória, sem o uso abusivo de formas, e
que atende a nossa proposta de trabalho, quanto à construção dos conceitos matemáticos foi
desenvolvida pela pesquisadora Vasquez (2011). A pesquisa foi desenvolvida por meio de
uma intervenção, que contou com três atividades orientadoras aplicadas a estudantes de
quatro turmas da 2ª série do ensino médio, de uma escola pública estadual do interior
paulista. As atividades foram desenvolvidas com grupos de quatro a cinco alunos com o
objetivo de colocar os alunos numa posição de ação de tomadas de decisões, para facilitar o
entendimento e o processo de construção do conhecimento. Os resultados foram obtidos por
meio da análise das atividades resolvidas pelos estudantes que foram filmadas, pela
observação e pelas anotações feitas pôde-se constatar que as atividades orientadoras foram
essenciais para um melhor desempenho dos estudantes, que se sentiram mais seguros e
confiantes para a realização de novas atividades.
A pesquisa de Vasquez (2011) mostra que o uso de metodologias diferenciadas, para
abordagem do conteúdo de análise Combinatória, e diferentes estratégias elaboradas pelos
aluno são resolverem os problemas que contribuem para melhoria do desempenho dos
mesmos.
Buscando melhoria no ensino do conteúdo de análise combinatória, Pinheiro (2008) buscou
investigar os conceitos básicos de Análise combinatória por meio da aplicação de uma
sequência didática, com ênfase na resolução de problemas como ponto de partida, junto aos
alunos da segunda série do ensino médio. Foram utilizados um pré-teste, um pós-teste, os
registros dos alunos e uma câmera de vídeo como instrumentos de coleta de dados. Para a
pesquisa participaram 15 alunos, da segunda série do Ensino Médio, de uma escola pública
em Belém do Pará. Os resultados indicaram que a sequência didática proporciona condições
favoráveis à aprendizagem com o intuito de os alunos desenvolverem as habilidades básicas
da Análise Combinatória.
30
No nosso trabalho analisamos o desenvolvimento de conhecimentos dos participantes da
pesquisa em antes, durante e após os encontros e aplicações do jogo. Além disso,
desenvolvemos questões que envolvem situações diferenciadas para abordar vários casos de
Combinatória.
Campos (2011), faz um estudo investigativo sobre os problemas de contagem por meio de
uma pesquisa documental de análise de material didático, e sobre os procedimentos
metodológicos adequados a essa modalidade de investigação. A investigação baseou-se na
análise dos tipos de problemas de contagem que figuram no caderno do Aluno do 3º bimestre
do 2º ano do Ensino Médio, da rede Estadual Paulista de Ensino, visando a formação do
raciocínio combinatório, considerando o pressuposto da proposta curricular em questão, que
entende a resolução de problemas como uma abordagem de ensino eficaz para os conceitos
combinatórios. A conclusão do trabalho constatou que, mesmo com um elenco importante de
problemas, muitos deles envolviam situações semelhantes e isto contribuiu em nossa
pesquisa para repensarmos no repertório de questões, abordando diferentes casos de
Combinatória.
Buscando responder a questão: “Que contribuições uma proposta de ensino que enfatiza a
Comunicação Matemática pode trazer para o ensino e a aprendizagem de Análise
Combinatória em uma turma do 2º ano do Ensino Médio de uma escola pública de Itabirito
(MG)?” Almeida (2010) desenvolveu e aplicou uma proposta de ensino de Análise
Combinatória, fundamentada nos estudos sobre desenvolvimento do pensamento
combinatório em um ambiente de estímulo à argumentação e discussão de situaçõesproblema em pequenos e grandes grupos. A coleta de dados se deu por meio de notas de
campo (diário da pesquisadora), gravações em áudio e vídeo de todas as aulas, registros
produzidos pelos alunos ao longo das aulas, questionários e testes diagnósticos. A análise
dos resultados evidenciou que a maioria dos alunos participou com interesse da proposta e,
gradativamente, passou a se expressar mais e com maior segurança e propriedade sobre os
conceitos estudados, e alcançaram uma compreensão mais profunda dos mesmos,
desenvolvendo tanto o pensamento combinatório quanto a argumentação. Por intermédio dos
dados, sugere-se que as discussões em pequenos e grandes grupos, quando realizadas de
modo organizado e mediadas pelo professor, em um clima de respeito mútuo e estímulo à
argumentação, trazem contribuições para o desenvolvimento do pensamento combinatório.
31
Tal estudo gerou um produto educacional – um livreto com a descrição completa e
comentada das atividades realizadas – destinado a professores de Matemática.
Acreditamos que o nosso trabalho poderá ser adaptado a diferentes níveis de ensino e que
outras versões poderão surgir na medida em que for explorado. Borba (2013) defende o
ensino de Análise Combinatória desde as séries iniciais do ensino fundamental, num
processo de aprofundamento contínuo, criando possibilidades ao aluno para que no ensino
médio estes tenham melhor compreensão das fórmulas da Análise Combinatória. Para a
autora desde os primeiros anos de escolarização devem ser trabalhadas situações explícitas
de arranjo, combinação e permutação, além dos problemas de produto cartesiano.
Alves (2010) explorou, através da metodologia da engenharia didática, a introdução do
pensamento combinatório e sua relação com o cálculo probabilístico em uma turma do 9º
ano do ensino fundamental. Foi elaborado um módulo de ensino composto de quatro
sequências de atividades tendo por base os métodos de inquirição. O objetivo foi que os
alunos identificassem as formas combinatórias de contagem e sua relação com os estudos de
probabilidade, utilizando os diferentes registros de representação. Os resultados encontrados
evidenciaram que o trabalho com os diferentes registros de representação, além de
proporcionar aos alunos uma maior facilidade no cálculo das possibilidades, também
minimizou a dificuldade de diferenciação dos cálculos necessários em situações distintas
como arranjo e combinação. Esses resultados sinalizaram a viabilidade do desenvolvimento
dos conceitos básicos de análise combinatória no ensino fundamental, através do módulo de
ensino elaborado e aplicado de forma a estimular a participação e envolvimento dos alunos,
tornando-os participantes no processo de construção do seu conhecimento matemático.
Esteves (2001) estudou a aquisição e o desenvolvimento dos primeiros conceitos de análise
combinatória em adolescentes de 14 anos de idade, cursando a última série do ensino
fundamental. Para tal foi construída uma sequência de ensino partindo de situações-problema
através da contagem direta. O trabalho foi realizado com dois grupos: experimental e de
referência. Estes se submeteram a um pré-teste antes de serem introduzidos nesse novo
conceito, para posteriormente estudarem o conceito de análise combinatória, segundo suas
abordagens distintas. Enquanto o grupo experimental realizou o estudo através de uma
sequência de ensino elaborada pelo pesquisador, o grupo de referência seguiu a abordagem
32
tradicional apresentada pelos livros didáticos. Por fim, os dois realizaram um pós-teste. Os
resultados mostraram que no grupo experimental a participação e a assiduidade foram muito
maiores.
Uma análise de mecanismos utilizados por estudantes do ensino médio para solucionar
problemas experimentais de análise combinatória foi desenvolvida por Duro (2012). A análise
foi feita a partir da hipótese da maneira pela qual alguns professores abordam não só a análise
combinatória, mas também a maneira como os conteúdos de matemática são trabalhados ao
longo dos anos escolares. Foi utilizada a coleta de dados de modo experimental baseada no
método clínico de Piaget. Foram entrevistados 18 sujeitos, sendo oito alunos da EJA e dez
alunos do ensino médio regular.
Os estudos de Esteves (2001) e Duro (2012), contribuíram para justificar o nosso trabalho
sobre o uso do jogo como recurso metodológico diferenciado do uso do livro didático, que no
nosso caso, foi desenvolvido para o ensino de Combinatória e reforçar a importância de
maneiras diferenciadas de apresentação deste conteúdo.
Para Borba (2010), a Combinatória se constitui num ramo da Matemática que estuda técnicas
de contagem – direta e implícita – de possíveis agrupamentos, a partir de elementos dados,
que satisfaçam a determinadas condições.
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996) colocam que há cinco tipos distintos de
problemas combinatórios: a) problemas de existência – observação da possibilidade,
ou não, de solução diante dos elementos dados e condições determinadas; b)
problemas de enumeração – listagem de todos os subconjuntos de elementos que
satisfazem as condições postas; c) problemas de contagem – determinação do
número total de soluções, sem necessariamente listar todas; d) problemas de
classificação – pede-se não que sejam enumerados todos os casos, mas solicita-se
que estes sejam classificados segundo critérios apropriados; e e) problemas de
otimização – busca-se a melhor condição para a obtenção de determinadas soluções
para um problema (BATANERO, GODINO E NAVARRO-PELAYO, 1996 apud
BORBA, 2010, p. 2).
Em Borba (2013) as formas como são escolhidos e ordenados seus elementos é o que
diferencia os problemas básicos de Combinatória- produtos cartesianos, arranjos,
permutações e combinações. Para a autora as relações básicas apresentadas nestes problemas
são:
33
Produtos cartesianos - os elementos são escolhidos a partir de dois ou mais conjuntos
diferentes e a ordem na qual estes elementos são enumerados não constituem possibilidades
distintas.
Os arranjos, permutações e combinações são determinados a partir da escolha de elementos
de um conjunto único e estes tipos de problemas diferem entre si quanto ao número de
elementos a serem escolhidos, e/ou quanto ao fato da ordenação dos elementos que podem
constituir, ou não, possibilidades distintas.
Arranjos - os elementos são escolhidos, mas nem todos os elementos constituem as
possibilidades a serem enumeradas, além disso, a ordem na qual os elementos são escolhidos
forma possibilidades distintas.
Embora as permutações sejam vistas, na Matemática, como casos particulares de arranjos,
nos quais todos os elementos são escolhidos cognitivamente, Borba (2013), trata estes
problemas como distintos, pois nos arranjos os elementos não são todos utilizados na escolha
de cada possibilidade, enquanto que nas permutações todos os elementos são utilizados em
cada uma das possibilidades.
Combinações - são escolhidos alguns elementos de um conjunto único, porém a ordem de
escolha dos elementos não constitui possibilidades distintas.
Em alguns problemas de Combinatória, além das relações de escolha ou ordem podem
também haver situações de combinatórias condicionais. Borba e Braz (2012) realizaram uma
pesquisa com alunos de 5º, 7º e 9º ano e observou-se que, desde o 5º ano há compreensão de
situações combinatórias condicionais, porém a maior dificuldade dos alunos foi em lidar com
mais de uma relação (escolha, ordenação, posicionamento e/ou proximidade).
Para a nossa pesquisa estes trabalhos contribuíram para pensarmos em um jogo que
explorasse diferentes situações de combinatória e que atendesse a diferentes níveis de
escolaridade.
34
2.3 FORMAÇÃO DE PROFESSORES E ESTUDOS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA
“E depois disto designou o Senhor ainda outros setenta, e
mandou-os adiante da sua face, de dois em dois, a todas as
cidades e lugares aonde ele havia de ir”
(Lucas 10:1).
Segundo Perez (2005) um dos principais projetos de investigação em educação matemática é
o processo de ensino-aprendizagem envolvendo o aluno, o professor e o saber matemático.
Nisto concordamos com Shulman (2005), que diz que o professor, para ensinar precisa
entender o conteúdo que vai ensinar, conhecer os alunos e seus contextos. Daí a importância
da relação aluno–professor e o saber matemático.
A formação docente é algo contínuo ao longo de toda a carreira profissional, de acordo com
Mizukami et al. (2002). O professor deve entender que o desenvolvimento profissional o
torna mais apto a conduzir o ensino da matemática, atendendo aos interesses e necessidades
de cada aluno, bem como a preparação do mesmo para os desafios da vida e da construção
do autoconhecimento.
Sobre a formação de professores e o conteúdo escolhido por nós, Rocha (2011) analisou os
conhecimentos que professores do Ensino Fundamental e Médio têm sobre a Combinatória e
seu ensino. O quadro teórico foi constituído com base na compreensão dos conhecimentos
do conteúdo e dos conhecimentos didáticos do conteúdo dos professores em exercício,
seguindo um modelo de caracterização dos conhecimentos associado aos professores que
ensinam Matemática. A pesquisa teve como objetivo entender as escolhas docentes na
construção do raciocínio combinatório em alunos, além da classificação dos tipos de
problemas combinatórios (produto cartesiano, permutação, arranjo e combinação)
fundamentada nas pesquisas desenvolvidas no Grupo de Estudos em Raciocínio
Combinatório do Centro de Educação (Geração-UFPE) sob a orientação de Borba. Como
procedimento metodológico realizou-se entrevista semi-estruturada, com seis professores
(dois dos anos iniciais, dois dos anos finais do Ensino Fundamental e dois do Ensino Médio)
na qual responderam questões referentes aos tipos de problemas combinatórios, aos
procedimentos de resolução utilizados por alunos e às formas de ensino para a superação de
dificuldades. A pesquisa revelou que, apesar das diferentes formações, quase todos os
professores apresentaram dificuldades na diferenciação de problemas de arranjo e
35
combinação, tanto na leitura do enunciado do problema quanto na correção de estratégia do
aluno, denotando desconhecimento de situações nas quais o invariante do conceito de
ordenação implica ou não, em possibilidades distintas. Constatou-se, também, que os
professores dos anos iniciais na análise dos tipos de problemas elegeram a forma do
enunciado como diferenciador, enquanto que professores de formação em Matemática
apontaram aspectos de suas estruturas. No que diz respeito às estratégias priorizadas pelos
professores para a resolução de problemas combinatórios por alunos dos diferentes níveis, há
indícios de que estas são determinadas em função do nível de dificuldades do problema por
eles concebidas e das suas expectativas em relação aos alunos inseridos nos diferentes anos
de escolaridade. Dessa forma, as respostas dos professores indicam uma articulação entre
suas experiências de formação e de prática docente. Conclui-se que para a condução de um
trabalho que permita maior desenvolvimento do raciocínio combinatório pelos alunos, é
necessário, por parte dos professores, um mais aprofundado nível de conhecimento das
estruturas combinatórias, do conhecimento dos alunos e de suas estratégias de resolução,
ressaltando-se a necessidade de maior produção de trabalhos científicos, que busquem
auxiliar professores em seus conhecimentos de conteúdo e pedagógico referentes à
Combinatória.
Ainda sobre o tema análise combinatória, Mendonça (2011), verificou a possibilidade de
compatibilizarem perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do
ensino, em um trabalho cooperativo entre pesquisador e professores. Verificou também a
atuação do professor de matemática nas atividades de planejamento de ensino. O estudo foi
realizado com três professores e 104 alunos do Ensino Médio de duas escolas públicas do
estado de São Paulo. Segundo a pesquisadora os resultados inferiram que o uso de pesquisas
contribui para a organização do ensino de análise combinatória e que o comprometimento do
professor, no planejamento das aulas junto com as práticas em sala de aula, condizentes com
a perspectiva construtivista é fundamental para a obtenção dos objetivos esperados. A
atuação do professor é importante na construção do conhecimento de seus alunos e a
participação e a interação professor-aluno são essenciais para que ocorra a aprendizagem.
A pesquisa de Santos (2011) teve como objetivo verificar que abordagem de ensino favorece
o desenvolvimento do raciocínio combinatório. A pesquisa realizada foi de natureza
qualitativa e os instrumentos utilizados para a coleta e análise de dados foram: questionários,
36
entrevistas e análise de livros didáticos. A fundamentação teórica foi dividida em dois eixos:
a Análise Combinatória como conteúdo matemático e a Resolução de Problemas como
metodologia de ensino. No confronto entre os dados coletados, o pesquisador compreendeu a
visão que alunos e professores têm em relação à Resolução de Problemas e ao ensino e à
aprendizagem da Análise Combinatória. O embasamento teórico aliado ao confronto entre os
instrumentos e os agentes, alunos, professores e livros didáticos, permitiram constatar, entre
outros aspectos, o predomínio do ensino para a resolução de problemas, em que os
problemas são tratados como aplicação de conteúdos. Alunos e professores não reconhecem
tipos diferentes de problemas, relacionando-os a conteúdos matemáticos ou a outras áreas de
conhecimento. Sobre a Análise Combinatória, eles têm dificuldades de apresentar a
definição, embora os livros didáticos os tragam explicitamente. O trabalho com problemas
combinatórios contextualizados é muito limitado em sala de aula e nos livros didáticos.
Além disso, constatou-se que os livros didáticos analisados apresentam prematuramente a
formalização dos conceitos, estimulando a aplicação de fórmulas, não favorecendo o
desenvolvimento do raciocínio combinatório. Esse estudo direcionou para a elaboração de
uma proposta didática, que consiste em seis roteiros de aulas de Análise Combinatória, em
que cada atividade parte de um problema gerador, com uma abordagem desprovida,
inicialmente, do formalismo, utilizando os conceitos primitivos e elementares da contagem,
baseando-se na Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da
Resolução de Problemas.
Sabo (2010) investigou, por meio de entrevistas semi-estruturadas os saberes do professor de
Matemática do Ensino Médio com relação ao ensino de Análise Combinatória. Como
instrumento de coleta de dados foram utilizadas entrevistas semiestruturadas, privilegiando o
processo interpretativo da fala do professor, ressaltando assim os significados que ele possui,
buscando entender como se dá a formação e o desenvolvimento profissional do professor.
Foram feitos convites a vários professores para participar da pesquisa, mas parte dos
convidados alegaram não poder participar por não terem tempo disponível. A escolha dos seis
professores que participaram da pesquisa foram feitas por meio de entrevistas e selecionados
por apresentarem características distintas.
Fazendo uso da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da
Resolução de Problemas, Souza (2010) trabalhou a Análise Combinatória. A pesquisa inicia-
37
se com uma introdução histórica da Análise Combinatória, seguida por uma análise de livros
didáticos e pela busca de trabalhos de outros autores que se referiam ao ensino e à
aprendizagem desse conteúdo. A pesquisadora assumiu três posturas diferentes frente ao
problema da pesquisa: como uma professora-pesquisadora, com seus próprios alunos, em sua
sala de aula; como uma pesquisadora, ministrando uma oficina de trabalho, em um encontro
de Educação Matemática, tendo como participantes, professores, educadores matemáticos e
até alunos da Licenciatura em Matemática; e, como uma pesquisadora, em Encontros em
Educação Matemática, divulgando sua pesquisa. Através da análise os resultados mostram
como os participantes desses projetos se envolveram ao fazer uso da metodologia de ensino
adotada.
O trabalho conjunto contribui para a troca de experiências e conhecimentos. Carvalho (2009)
investigou o impacto do trabalho colaborativo no desenvolvimento do conhecimento didático
em Combinatória de duas professoras, centrado em duas questões de investigação em que o
trabalho colaborativo é visto como facilitador da promoção de uma atitude reflexiva e
investigativa dos professores, face às dificuldades apresentadas pelos alunos em Combinatória
e de que forma o trabalho colaborativo se reflete no desenvolvimento do conhecimento
didático dos professores em Combinatória.
Os resultados obtidos evidenciaram a importância do trabalho desenvolvido ao longo das
sessões, como oportunidade das duas professoras problematizarem e questionarem as suas
concepções e práticas de ensino. Uma das professoras teve uma atitude de maior abertura e
predisposição à mudança, enquanto a outra se mostrou inicialmente convicta de suas práticas
e, apenas no fim da experiência questionou algumas dessas práticas, com escassa repercussão
na sala de aula. Foi possível observar a valorização de tarefas exploratórias, das estratégias
espontâneas dos alunos e das ideias erradas, a partir da análise e reflexão das duas professoras
e que o desenvolvimento de uma consciência crescente de que a mudança de estratégias na
prática letiva pode ser possível, a partir do envolvimento e esforços pessoais, com base num
trabalho conjunto e instigador do desenvolvimento do conhecimento didático.
O ensino e o aprendizado estão intimamente ligados. Segundo Bolzan (2002), ao
conhecermos a forma como os professores aprendem, é possível compreendermos a maneira
pela qual ensinam. Deste modo, pensar na mudança nos cursos de licenciatura, formando
38
professores capacitados para atuarem utilizando diversas abordagens de ensino é algo
necessário. Os construtos mentais dos professores interferem diretamente nas suas ações
pedagógicas. À medida que o professor entende a responsabilidade de suas ações sobre o
fracasso ou sucesso de seus alunos, mais este sentirá a necessidade de se qualificar, buscando
retomar a construção de seus saberes, sendo assim o professor não é apenas aquele que ensina,
mas também aquele que aprende. Esta interação entre professor e aluno, ativa a Zona de
Desenvolvimento Proximal e à medida que o olhar pedagógico é ampliado por meio de
reuniões docentes, sala de aula e outras atividades interpessoais e intrapessoais, favorece ao
professor a aquisição de estratégias cognitivas que contribuirão para aprendizagens em
diferentes situações e contextos.
Para Bolzan (2002), a construção do conhecimento na perspectiva vigotskiana se caracteriza
pela dinâmica da atividade humana apresentada em duas dimensões: a reprodutora e a
produtora. Entende-se por reprodutora a repetição do que já existe, o que mais tem ocorrido
nas atividades escolares, enquanto a produtora trata-se da produção de novidades que é o
nosso desafio para as mudanças na educação, partindo da formação inicial dos professores.
Segundo Fiorentini e Freitas (2009, p. 79),
[...] os cursos de formação do professor de matemática priorizam uma prática de
ensino na qual se sobressaem a oralidade, a explicação, a repetição de
procedimentos com extensas listas de exercícios, a distribuição de um conhecimento
já pronto, sistematizado e formalizado, sem que o aluno tenha oportunidade de
buscar,por si próprio, o conhecimento, seja mediante pesquisa ou leituras.
A formação de futuros professores sem a prática de um trabalho investigativo repercute em
sua atuação, pois acaba não tornando o ambiente escolar em um local propício à pesquisa no
processo de ensinar e aprender. Tal fator interfere também na formação dos alunos, que
deixam de ser pesquisadores e construtores do próprio conhecimento, limitando-se apenas a
meros receptores de informações.
Neste aspecto é necessário enxergar o licenciando como um indivíduo que vive não só o
presente, mas também que terá que enfrentar uma multiplicidade de desafios futuros que
exigirá a reflexão de práticas inovadoras e uma não acomodação. Isto nos leva a pensar em
uma formação inicial numa perspectiva permanente num contexto de formação de práticas
39
reflexivas e investigativas, ou seja, uma prática pedagógica e docente, que consista em ouvir
os alunos e considerá-los como sujeito e principal protagonista da aprendizagem.
Pesquisas relacionadas à formação e ao desenvolvimento profissional de professores de
matemática têm sido intensificadas no Brasil e o interesse por estas pesquisas tem passado por
diversas alterações. Segundo Ferreira (2003, p. 31),
Nos anos 70 e 80 as pesquisas tinham como preocupação maior os cursos e
programas que contribuíam para a melhoria da formação do professor e, em última
instância, do ensino de matemática. Com raras exceções, utilizavam uma
metodologia descritiva, exploratória e diagnóstica. Os dados eram coletados por
meio de questionários, entrevistas abertas, cadernos de campos, exercícios de
alunos, testes (pré e pós-teste) e documentos. Em sua maioria, as pesquisas
apresentavam resultados genéricos que destacavam o desempenho dos sujeitos
(medidos estatisticamente) diante dos instrumentos em termos do aumento de
competências.
A metodologia aplicada entre os anos 70 e 80 na formação de professores, refletem ainda hoje
na atuação de docentes que sentem dificuldades de adicionar em sua prática outras
metodologias de ensino. Percebe-se que os alunos continuam sendo avaliados com maior
ênfase de forma quantitativa que qualitativa, se são capazes de repetir ou não procedimentos
matemáticos.
Na década de 1990, os objetivos das pesquisas na formação inicial de professores passam a
ser a identificação de problemas e obstáculos, com o intuito de traçar perfil profissional,
propondo sugestões de trabalhos e uma reestruturação curricular nos cursos de licenciatura.
Apesar da variedade de questões abordadas percebe-se claramente um
descontentamento generalizado com a forma e a estrutura atual dos cursos de
licenciatura em matemática no país. Todos os estudos apontam deficiências no
processo de formação inicial e apresentam alguma perspectiva para sua melhoria
(FERREIRA, 2003, p. 32).
Embora tenha ocorrido a implementação de novas metodologias para o ensino de matemática,
há necessidade de uma participação maior dos docentes na elaboração e no desenvolvimento
de trabalhos colaborativo entre professores e pesquisadores, nos programas de formação
inicial e continuada de professores de matemática.
40
O Governo Federal vem desenvolvendo programas e políticas públicas de formação de
professores, como o Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID),
instituído por Portaria Normativa do Ministério de Educação (MEC), de número 38, em 12 de
dezembro de 2007.
O Pibid é uma iniciativa para o aperfeiçoamento e a valorização da formação de
professores para a educação básica e visa: Incentivar a formação de docentes em
nível superior para a educação básica; contribuir para a valorização do magistério;
elevar a qualidade da formação inicial de professores nos cursos de licenciatura,
promovendo a integração entre educação superior e educação básica; inserir os
licenciandos no cotidiano de escolas da rede pública de educação, proporcionandolhes oportunidades de criação e participação em experiências metodológicas,
tecnológicas e práticas docentes de caráter inovador e interdisciplinar que busquem a
superação de problemas identificados no processo de ensino-aprendizagem;
incentivar escolas públicas de educação básica, mobilizando seus professores como
formadores dos futuros docentes e tornando-as protagonistas nos processos de
formação inicial para o magistério; e contribuir para a articulação entre teoria e
prática necessárias à formação dos docentes, elevando a qualidade das ações
acadêmicas nos cursos de licenciatura.
Como política pública educacional o PIBID visa a melhoria da qualidade da educação básica,
tendo em vista os baixos rendimentos dos alunos nos exames realizados pelo MEC. O
programa foi lançado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES), com o objetivo de articular a educação superior com a educação básica das escolas
públicas, para que o futuro professor seja melhor preparado frente aos desafios que irá
enfrentar. Além de contribuir para a formação de professores o programa oferece bolsa para
os participantes. São contemplados pelo programa alunos dos cursos de licenciatura,
professores da educação básica e professores das universidades.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB) 9394/96, determina que é dever do Estado
promover a formação inicial e continuada dos professores e a Lei 11.273/2006 autoriza a
concessão de Bolsas de estudo e pesquisa para professores da Educação Básica em formação
inicial e continuada.
Ainda como esforço para formação e valorização do professor dentre outras metas, temos o
Decreto 6.094/2007, que dispõe sobre a implementação do Plano de Metas Compromisso
Todos pela Educação, pela União Federal, em regime de colaboração com Municípios,
Distrito Federal e Estados, e a participação das famílias e da comunidade, mediante
programas e ações de assistência técnica e financeira, visando a mobilização social pela
melhoria da qualidade da educação básica.
41
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA
Um lobo, uma cabra e um repolho devem ser transportados
para a outra margem de um rio num barco que só aguenta
um deles, além do barqueiro. Como se deve fazer para que
o lobo não coma a cabra, nem esta coma o repolho?
(EVES, 2011, p.314).
Dentre as leituras de Shulman (1986, 1992, 2005) que realizamos, em nosso trabalho nos
apoiamos nos conhecimentos apresentados por Shulman (2005), por entendermos ser uma
obra que atende a proposta desta pesquisa e escolhemos a teoria de Grando (2000), que são
os momentos do jogo como metodologia para a produção e coleta de dados.
A formação do professor envolve diversos tipos de conhecimentos. Shulman (2005)
apresenta uma forma de organização do conhecimento em categorias, a saber:

O conhecimento do conteúdo a ser ensinado – Neste sentido o professor precisa ter
uma compreensão mínima e básica do conteúdo específico de maneira que torne possível o
ensino e a aprendizagem dos alunos, embora o fato de ter conhecimento do conteúdo seja
necessário, mas não é condição suficiente, pois o professor precisa encontrar formas de
comunicar o conhecimento a outras pessoas;
•
Conhecimento pedagógico geral, especialmente considerando esses princípios gerais
e as estratégias de gestão e organização da sala de aula que vão além do escopo do assunto
– É o conhecimento que vai além de uma área específica e envolve teorias e princípios
ligados ao processo de ensino e aprendizagem;
•
Conhecimento do currículo - Este trata do conhecimento que os professores precisam
ter dos programas e recursos de ensino como ferramenta no ofício da profissão;
•
Conhecimento pedagógico do conteúdo – Este conhecimento é aprimorado à medida
que o professor ensina tal conteúdo, é construído constantemente, enriquecido e melhorado
sempre que o professor agrega outros tipos de conhecimentos;
42
•
Conhecimento dos alunos e suas características – Por meio deste conhecimento o
professor poderá utilizar seu conhecimento do conteúdo para promover as transformações
pedagógicas necessárias a fim de desenvolver o ensino;
•
Conhecimento dos contextos educacionais – São conhecimentos que englobam o
funcionamento da classe ou grupo, da administração e gestão escolar até as particularidades
sociais e culturais da comunidade escolar;
•
Conhecimento dos objetivos, metas e valores educacionais, e seus fundamentos
filosóficos e históricos.
O conhecimento pedagógico do conteúdo apresenta uma particularidade, dentre as demais
categorias segundo Shulman (2005), pois serve para identificar os corpos distintos de
conhecimento para o ensino. É a união entre conteúdo e ensino que permite compreender
como determinados temas e questões são organizados, representados e adaptados aos
diversos interesses e habilidades dos alunos, e expostos para a educação. Além disso, o
conhecimento pedagógico do conteúdo permite distinguir a compreensão de uma área
específica de conhecimento e a compreensão do professor.
Quanto às fontes de conhecimento Shulman (2005, p. 11), diz que
Há pelo menos quatro fontes principais da base de conhecimento para o ensino: 1)
formação acadêmica na disciplina para ensinar, 2) materiais e contexto institucional
(por exemplo, currículos, livros didáticos, o processo de ensino, organização escolar
e de financiamento, bem como a estrutura da carreira docente), 3) a pesquisa sobre
educação, organizações sociais, a aprendizagem humana, outros fenômenos sócioculturais que influenciam o trabalho dos professores de educação e
desenvolvimento, e, 4) a sabedoria adquirida com a própria prática.
Quanto à formação acadêmica na disciplina ensinada, segundo Shulman (2005), a primeira
fonte é o conhecimento do conteúdo como base de conhecimento, isto é: conhecimento,
compreensão, habilidades e disposições que se devem adquirir na escola. A base deste
conhecimento está em dois fundamentos: a literatura acumulada nos estudos de disciplinas e
do conhecimento acadêmico histórico e filosófico sobre a natureza do conhecimento nesses
campos de estudo.
43
O professor não deve se limitar apenas ao conhecimento do conteúdo da disciplina que
ensina, mas ter uma educação mais ampla que sirva de base para aprendizagens prévias e que
facilite a aquisição de novos conteúdos. Neste sentido o professor tem responsabilidade
especial para o ensino do conteúdo da matéria para os alunos, de maneira que diante da
diversidade dos educandos possa oferecer explicações alternativas dos mesmos conceitos e
princípios.
Quanto à estrutura e materiais utilizados, Shulman (2005) diz que o professor precisa
conhecer tal estrutura e os materiais utilizados para o ensino e a aprendizagem. Necessita
compreender a maneira como foram criados e organizados a partir de políticas, demandas,
pesquisas, entidades governamentais e outras necessidades e grupos envolvidos no processo,
de modo que sejam familiares ao educador que também servirão de base do conhecimento e
da construção do currículo.
A literatura acadêmica educacional é considerada por Shulman (2005) como uma terceira
fonte de conhecimento que se dedica à compreensão dos processos de escolarização, ensino e
aprendizagem. Entre tais literaturas encontram-se os resultados e metodologias de pesquisas
em ensino, aprendizagem, os fundamentos éticos e filosóficos educacionais. Além dos
resultados empíricos de pesquisas em ensino, os aspectos normativos e teóricos do
conhecimento acadêmico são importantes nesse processo, embora seja pouco considerado
pelos formuladores de políticas púbicas.
A racionalização reflexiva sobre a própria prática, para Shulman (2005) é a máxima para
orientar os professores, tanto inexperientes quanto experientes, a adquirirem a sabedoria com
a própria prática produzindo novas concepções de ensino. Para este autor um problema na
divulgação desta sabedoria adquirida com a própria prática está no esquecimento individual e
coletivo das criações elaboradas por professores, pois a educação não tem sido transmitida
por um público formado por colegas, e a não disponibilidade destes materiais para os
companheiros de trabalho, tanto atuais quanto futuros, tem sido causa de percas de
construções educacionais tão importantes.
A ausência de um sistema de notação e memória de trabalhos elaborados por parte do
professor dificulta a análise, interpretação e codificação dos princípios da prática, ou seja,
44
não há como fazer a sistematização de conhecimentos adquiridos com a prática sem esses
registros. À medida que novos trabalhos são desenvolvidos novos conhecimentos são
descobertos, classificados e categorizados.
O raciocínio pedagógico e as ações educacionais estão envolvidos num ciclo de atividades de
compreensão, transformação, instrução, avaliação e reflexão, onde, segundo Shulman
(2005), a compreensão é o ponto culminante desse processo. Portanto, para ensinar é preciso
compreender.
Veja a seguir o modelo de Raciocínio Pedagógico e ação que o professor deve ter,
apresentado por Shulman (2005, p.20):
Compreensão – O professor antes de ensinar deve compreender os objetivos, estrutura da
matéria, as idéias dentro e fora da disciplina.
Transformação – As idéias compreendidas devem ser transformadas de modo que possam
ser ensinadas e podem ser ordenadas da seguinte forma:
Preparação: Este é o momento em que o professor deve fazer a interpretação e análise
crítica de textos, estruturação e segmentação, criando um repertório e esclarecendo os
objetivos curriculares.
Representação: A representação deve ser usada a partir de um repertório de
representações, incluindo as analogias, metáforas, exemplos, demonstrações, explicações,
entre outras, que permitam que os alunos cheguem aos objetivos esperados pelo professor.
Seleção: Esta etapa exige a escolha de um repertório que inclui métodos de ensino
didático, organização, gestão e planejamento que permitam aos alunos a compreensão de
conceitos, procedimentos e atitudes dentre as diferentes formas de aprendizagem.
Adaptação e adequação às características dos alunos: É imprescindível considerar os
conceitos, preconceitos, equívocos e dificuldades, a língua, a cultura e as motivações, classe
45
social, sexo, idade, capacidade, aptidão, interesses, autoconceitos e atenção dos alunos para
que de fato o ensino seja transformador.
Ensino – O ensino pode ser desenvolvido de diferentes tipos entre eles: Gestão,
apresentações, interações, trabalho em grupo, disciplinar, questionário, e outros aspectos da
aprendizagem ativa, além de investigação e outras formas possíveis de serem observadas na
sala de aula.
Avaliação – Por meio da avaliação é possível verificar a compreensão do aluno durante o
ensino interativo, no final de lições ou unidades, bem como avaliar o nosso próprio
desempenho e adaptar-se a experiências.
Reflexão – Por meio da reflexão podemos rever, reconstruir, representar e analisar
criticamente o nosso desempenho e o dos alunos, além de fundamentar explicações sobre
aquilo que foi evidenciado.
Novas formas de entendimento – A nova compreensão dos objetivos, da matéria, dos
alunos, do ensino e de si mesmo permite chegarmos ao novo começo e consolidarmos novas
formas de entender e aprender com a experiência, por meio da documentação, análise e
discussão mesmo após a avaliação e a reflexão.
Entendemos que na formação acadêmica a disciplina a ser ensinada precisa ser vista e
aprendida sob diversas situações que favoreçam o ensino e contribuam para a capacitação
dos licenciandos.
Os licenciandos ao terem contato com diferentes materiais pedagógicos, contexto
institucional e pesquisas sobre fenômenos que influenciam o trabalho docente, desenvolvem
experiências e estarão mais preparados para enfrentar os desafios da carreira profissional.
Para a produção de dados utilizamos os momentos do jogo, segundo Grando (2000) como
proposta metodológica. A autora destaca que os momentos do jogo são:
46
1.
Familiarização com o material do jogo – Nesse momento os alunos entram em contato
com o material identificando elementos conhecidos, simulam jogadas e costumam fazer
analogias com outros jogos já conhecidos.
2.
Reconhecimento das regras – Estas podem ser explicadas pelo orientador, por meio de
leitura, ou ainda, por partidas modelos realizadas com um dos alunos enquanto os demais
observam as jogadas identificando as regras.
3.
Jogar para garantir regras – Momento espontâneo do jogo com a finalidade de
garantir as regras e explorar as noções matemáticas contidas no jogo.
4.
Intervenção pedagógica verbal – Este momento é caracterizado pelos questionamentos
e observações do orientador de maneira que provoque nos alunos a análise de suas jogadas
buscando relacioná-las aos conceitos matemáticos.
5.
Registro do jogo – quando este acontece, dependendo da natureza do jogo, contribui
para a sistematização e formalização da linguagem matemática.
6.
Intervenção escrita – Nesta etapa são propostas situações-problemas elaboradas pelo
orientador ou por outros sujeitos que levem à análise específica de resultados de jogadas, que
podem ser obtidas de acordo com algumas situações, caso elas ocorram. Esta intervenção
favorece a aprendizagem matemática.
7.
Jogar com “competência” – É a etapa em que o indivíduo retoma o jogo, buscando
aplicar os resultados de sua análise realizada nas etapas anteriores e avaliar suas conclusões
na tentativa de vencer utilizando suas novas estratégias.
A estrutura elaborada por Grando (2000) para os momentos do jogo permitiram que em nosso
trabalho coletássemos dados com os licenciandos para a análise de conhecimentos que estes
desenvolveram ao longo da pesquisa.
47
4 PERCURSO METODOLÓGICO
Este trabalho tem como metodologia a pesquisa qualitativa, uma vez que não se preocupa
com a representatividade numérica e busca explicar e compreender o porquê dos fatos e, para
a análise dos dados se valem de diferentes abordagens. Segundo Demo (2008), na pesquisa
qualitativa há a abertura de perguntas desprezando resposta fechada, dicotômica e fatal.
Dentre as características da pesquisa qualitativa destaca-se a objetivação do
fenômeno, hierarquização das ações de descrever, compreender, explicar, precisão
das relações entre o global e o local em determinado fenômeno; observância das
diferenças entre o mundo social e o mundo natural; respeito ao caráter interativo
entre os objetivos buscados pelos investigadores, suas orientações teóricas e seus
dados empíricos; busca de resultados os mais fidedignos possíveis; oposição ao
pressuposto que defende um modelo único de pesquisa para todas as ciências
(GERHARDT; SILVEIRA, 2009, p. 32).
Para o desenvolvimento da pesquisa e coleta de dados foram utilizados os momentos de jogo
de Grando (2000) conforme já descrevemos. Para a nossa investigação criamos etapas com
base nos momentos de jogo e fomos coletando informações que serviram de material para
análise de conhecimentos, evidenciados pelos participantes da pesquisa e para elaboração do
jogo.
Classificamos ainda esta pesquisa como Colaborativa, pois segundo Kemmis (1987 apud
IBIAPINA, 2008, p.13–17), o trabalho nessa perspectiva, em síntese se caracteriza por:
1.
Planejar e elaborar projetos de pesquisa-ação em que pesquisadores e
professores estudem e aprendam como organizar uma investigação com essas
características;
2.
Organizar levantamentos iniciais de informações, identificando as pessoas
interessadas em participar da investigação. Negociar com os interessados o tempo
disponível para os encontros e sessões de reflexão.
3.
Iniciar a pesquisa oferecendo condições para que as pessoas possam aprender
a colaborar e a pesquisar na ação.
4.
Não esquecer que essa perspectiva de pesquisa necessita da organização de
ciclos de planejamento, observação e reflexão da ação e de constantes
retroalimentações do processo, visto que essa sistemática é essencial para o
desenvolvimento de atitudes colaborativas entre os participantes da pesquisa.
5.
Esperar que as pessoas aprendam a colaborar. Nessa perspectiva não existem
erros, sendo exigido do grupo muita tolerância, já que o aprendizado é lento.
6.
Lembrar sempre que o pesquisador também é um parceiro da pesquisa, por
essa razão precisa dialogar com os pares, trocando informações sobre o que faz e
pensa. Nesse processo de reflexão crítica, os envolvidos têm papel de se ajudarem
uns aos outros, descobrindo e refletindo o que pensam, como fazem e qual a relação
entre pensamento e ação.
48
7.
Escrever ao longo do projeto.
8.
Rever sempre os objetivos da pesquisa, não deixando que eles sejam
esquecidos.
Deste modo, esta pesquisa busca uma investigação colaborativa entre pesquisador e
professores em formação inicial, no intuito de desenvolver um projeto que beneficie a escola
e contribua para o progresso profissional docente.
4.1. PERFIL DOS PARTICIPANTES DA PESQUISA
Neste capítulo apresentamos os participantes da pesquisa e alguns apontamentos destes sobre
o conhecimento de Análise Combinatória. A pesquisa contou com a colaboração de quatro
licenciandos em matemática do Ifes do campus de Vitória, inseridos no Pibid.
No ano de 2009, o Ifes teve aprovado seu primeiro projeto institucional do Pibid, por meio
do Edital CAPES/DEB nº. 002/2009 para atender às licenciaturas de matemática e química
do Campus Vitória e Vila Velha respectivamente. Em 2010, a licenciatura de matemática
atuou em 03 escolas de ensino fundamental da rede municipal e a licenciatura de química em
03 escolas de ensino médio da rede estadual, ambas no município de Vitória.
Em 2011, foram aprovados os subprojetos para os Campi de Cariacica, com o curso
de física, Cachoeiro de Itapemirim com o Curso de Matemática, Vila Velha com o
Curso de Informática, Colatina com o curso de informática e Vitória com o Curso de
matemática, aprovando mais um subprojeto, mas com foco no ensino médio. Dentre
as ações do Pibid no Ifes, destacamos as Jornadas de Iniciação à Docência, que já
teve 3 edições anuais (2010, 2011 e 2012) que é um evento interno no qual os
bolsistas participantes do Pibid discutem e refletem sobre o que está sendo realizado
nos diferentes subprojetos e planejam ações futuras. O Pibid/Ifes também atuou
junto ao Pibid/Ufes nos Encontros Estaduais do PIBID ES, que acorreu em 2010 na
Ufes e, em 2011, no Ifes Campus Vitória. Além disso, é incentivada a participação
em Conferências, apresentação de trabalhos de pesquisa, relatos de experiência e de
produção de material didático; Grupos de discussão. E ainda ações conjuntas subprojetos e projetos institucionais (PIBID Linguagens; Formação nas Escolas de
Ciências; Encontros de planejamento e avaliação) (IFES, 2012 apud CORRÊA,
2013, p.31).
No Ifes o Pibid teve seu regimento aprovado em 14 de agosto de 2012, por meio da Portaria
nº. 1.466 e é acompanhado por um Coordenador Institucional e de Área, por meio de
avaliação de relatórios parciais de atividades dos bolsistas e do professor supervisor.
49
Esta pesquisa foi desenvolvida com licenciandos inseridos no Pibid, pois a inserção destes
no programa, permite ações futuras a partir da experiência da prática e desenvolve
conhecimentos que talvez só a licenciatura não seria suficiente.
Os comentários sobre os licenciandos discutidos ao longo desse trabalho foram apresentados,
discutidos e autorizados pelos mesmos para a divulgação nessa pesquisa. Para Kemmis
(1987, apud IBIAPINA, 2008, p. 14), “partilhar os registros com os colaboradores
incentivando-os a fazer correções de linguagem e esclarecer pontos obscuros. Divulgar os
resultados, demonstrando o desenvolvimento do grupo e os avanços para o progresso
educativo da escola” são características da pesquisa colaborativa.
A identidade destes licenciandos foi preservada e utilizamos outros nomes escolhidos pelos
próprios participantes. Toda a pesquisa é respaldada com autorização dos participantes e dos
diretores e coordenadores responsáveis pelo local da pesquisa, atendendo aos requisitos da
Ética na pesquisa (apêndices A, C, D e E).
Inicialmente o grupo era composto por dois participantes, Sebastian e Débora. Durante a
pesquisa a participante Débora2 não pode continuar com o grupo por motivo de trabalho e as
participantes, Sara e Sofia, se agregaram ao grupo a partir do quinto encontro que foi quando
precisávamos de outros participantes para nos auxiliar no jogo para fazermos o primeiro teste
do material. Esta é mais uma das características da pesquisa Colaborativa descrita por
Kemmis (1987, apud IBIAPINA, 2008, p. 13), que recomenda que “devemos começar o
trabalho mesmo que o grupo seja pequeno e permitir, sempre, que outros interessados
possam também se inserir no estudo quando os tópicos que serão discutidos lhes
interessem”.
A participante Débora com idade de 21 anos, cursando 5º período do curso de licenciatura
em matemática com dependência de uma disciplina de período anterior, cursou ensino médio
em escola particular. Optou pelo curso, pois sempre gostou de matemática e gostava de
ensinar os colegas que tinham dificuldades. Sua primeira tentativa de vestibular foi nos
cursos de engenharia e arquitetura, pois não sabia que o Ifes e a Ufes possuíam licenciatura
2
Nome fictício escolhido pelos participantes da pesquisa.
50
em matemática. Por não ser aprovada no processo seletivo da Ufes, no ano seguinte, ao saber
do curso de licenciatura do Ifes decidiu, então, fazê-lo e foi aprovada para o mesmo.
A licencianda Débora decidiu ingressar como bolsista do Pibid pelo fato de gostar não só de
estudar a teoria, mas também de desenvolver a prática, além do desejo de conhecer a sala de
aula, pois via que só o estágio não seria suficiente.
O participante Sebastian com 34 anos de idade, cursando 7º período com dependências de
disciplinas de períodos anteriores cursou ensino médio em escola pública federal. A
princípio queria fazer engenharia, mas ao ver a rotina do irmão, e pela experiência em
trabalhar como técnico na indústria decidiu fazer licenciatura em matemática, embora
soubesse dos desafios da profissão. Sua decisão em participar do Pibid se deu pelo fato de
ser tímido e gostaria de desenvolver o diálogo antes que chegasse o período do estágio.
A participante Sara com 21 anos de idade, cursando o 8º período do curso de licenciatura em
matemática, cursou o ensino médio em escola particular. Sobre a escolha do curso ela disse:
Quadro 1- Decisão de Sara na escolha pelo curso
Minha mãe e minha irmã são professoras. Sempre fiquei envolvida em assuntos relacionados à educação.
Ajudava minha mãe na preparação de atividades e participava como catequista infantil na igreja. Também
realizava monitoria com amigos no Ensino Médio. A vontade de ensinar é grande desde a adolescência e foi
influenciada pelos fatos ditos antes. Tenho afinidade e facilidade com a matemática desde a sexta série.
Juntando o desejo de lecionar e o gosto pela disciplina matemática decidi ser professora de matemática.
Sobre a participação no Pibid afirma que este programa contribui de grande forma para a formação do aluno
enquanto profissional. Como não tinha experiência em sala de aula e nem compreendia o ambiente escolar vi
no Pibid uma oportunidade de ganhar experiência como professora e poder entender melhor a dinâmica que
envolve a escola
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Sofia com 27 anos de idade, cursando o 8º período do curso de licenciatura em matemática,
cursou o ensino fundamental em escola pública estadual. Veja a seguir a escolha de Sofia
sobre a Licenciatura.
51
Quadro 2 - Escolha de Sofia sobre a licenciatura
Minha vontade no início era cursar Ciências contábeis, mas ajudando minha prima que na época tinha 13
anos, gostei da ideia de ensinar, daí surgiu meu interesse pela licenciatura. Escolheu participar do Pibid para
conhecer uma sala de aula nem como aluna nem como professora, mas como observadora e assim poder
utilizar alguns recursos vivenciados na licenciatura.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
O Pibid contribui para que os licenciandos tenham Conhecimento dos contextos educacionais,
Pedagógico e Pedagógico do Conteúdo ao longo de suas participações na elaboração e
aplicações de atividades com alunos da educação básica.
4.2 CAMINHANDO COM A PESQUISA: ETAPAS E COLETA DE DADOS
Apresentamos as etapas da pesquisa desde a formação do grupo até o fechamento com os
participantes, evidenciando alguns dados que serviram para a análise de conhecimentos,
desenvolvidos com o grupo e para compreensão do desenvolvimento na elaboração do jogo.
1ª Etapa - Busca bibliográfica
Fizemos uma revisão bibliográfica sobre jogos educativos e matemática, análise
combinatória e formação de professores para seleção de teóricos para sustentação da
proposta. Ainda foi feito levantamento de recursos metodológicos para a execução do
projeto.
2ª ETAPA – Compondo o grupo
Para a formação do grupo em junho de 2013 foi feito convite via endereço eletrônico dos
licenciandos em matemática do Ifes que fazem parte do PIBID- Ifes. Também foi feito
convite pessoalmente no encontro do grupo. Passadas duas semanas, apenas duas pessoas
haviam aceitado o convite. Em seguida a Dr.ª Sandra reforçou o convite e mais quatro
bolsistas tiveram interesse em participar do projeto. O tema Análise Combinatória também
52
foi outro fator que dificultou a formação do grupo, já que alguns licenciados achavam que
teriam que ter produzido algo sobre o assunto durante a atuação no Pibid, e por não ser
objeto de estudo de trabalho de conclusão de curso dos convidados. Em julho, ao tentar
organizar os dias e horários dos encontros, houve diversas tentativas de ajuste devido aos
horários de estudos dos licenciandos, ao trabalho, à atuação no Pibid e estágios. Um dos
voluntários desistiu de participar do grupo, pois, não tinha mais horário disponível.
“A elaboração de um cronograma de trabalho, prevendo tempo disponível para que as
pessoas possam construir os dados, refletir, informar e refletir os resultados para o grupo de
trabalho e para a comunidade científica”, também contribui para a definição de uma pesquisa
Colaborativa descrita por Kemmis (1987, apud IBIAPINA, 2008, p. 13).
3ª ETAPA – Estudos, Elaboração e Aplicação de Oficinas
Por meio do estudo Teórico-Metodológico de Grando (2000), foram realizadas oficinas de
um jogo matemático de análise combinatória com licenciandos em matemática. Para
desenvolvimento do material utilizado nas oficinas realizamos encontros semanais. Durante
os encontros fizemos observações com os sujeitos da pesquisa, gravação de áudio,
questionário inicial, entrevistas (conversas) individuais e entrevista coletiva (reflexões com o
grupo). Uma das dificuldades durante a pesquisa foi garantir a presença de todos os
participantes devido a estágios, encontros do Pibid, trabalho e estudos da graduação, entre
outros. A seguir, apresentamos um quadro com a participação dos sujeitos envolvidos em
cada encontro e os instrumentos utilizados para a coleta dos dados (quadro 3). Informamos
que detalhamos a descrição de cada encontro fazendo uma análise no próximo capítulo.
Quadro 3 - Presença dos participantes em cada encontro
1º encontro – (09/082013) Apresentação e
conversa inicial sobre análise combinatória.
Participantes
presentes
Debora, Sebastian
Pesquisador.
2º encontro –
Combinatória.
Sebastian e
Pesquisador.
Gravador de áudio, texto
impresso e materiais
escritos.
Sebastian e
Gravador de áudio e
Encontro
(16/08/2013)
Estudos
de
3º e 4º encontro – (06/0/2013 e 13/09/2013)
e
Instrumentos utilizados
para coleta de dados
Gravador de áudio.
53
Estudos e elaboração do jogo sobre combinatória.
Pesquisador.
materiais escritos.
5º ao 7º encontro – (18/09/2013, 25/09/2013 e
02/10/2013) Estudos dos Momentos do jogo com
o Material elaborado.
Sara, Sebastian e Sofia
e Pesquisador
(Debora desistiu da
pesquisa).
Gravador
de
áudio,computador,
tabuleiro
do
jogos
desenhado em papel.
8º encontro – (12/11/2013) Oficina com
licenciandos na III Semana da Matemática do
Ifes/Vitória
Sebastian e
Pesquisador.
Gravador de audio, jogo,
material impresso e
escrito.
9º encontro – (20/11/2013) Aplicação do jogo em
uma turma de licenciatura em matemática do
Ifes/Vitória
Sara e Sebastian e
Pesquisador.
Gravador de áudio, jogo,
material impresso e
escrito.
10º Encontro – (26/11/2013) Devolutiva com o
Pibid
Sara, Sofia e
Pesquisador
Computador
(27/11/2013 e 29/11/2013) Aplicação do jogo nas
escolas
Pesquisador
Jogo, fotos, gravador de
áudio
11º encontro – (10/04/2014) Reformulação do
tabuleiro e das regras
Sara, Sebastian e
Pesquisador.
Gravador de áudio
12º encontro – (21/05/2014) Entrevista final
Sara, Sebastian e Sofia
Gravador de áudio,
material impresso.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
A elaboração e discussão dos trabalhos com jogos ocorreram no Laboratório de matemática
do IFES do Campus de Vitória, e a aplicação das atividades aconteceu no Ifes com uma
turma de licenciatura em matemática e com participantes da III Semana da Matemática do
Ifes/Vitória, na EEEFM Belmiro Teixeira Pimenta com turma 3º ano de ensino médio e na
EMEF Ministro Petrônio Portella com turma de 5º ano do ensino fundamental, ambas
localizadas no município de Serra. As turmas foram escolhidas conforme a disponibilidade
dos professores em ceder espaço para a pesquisa e as escolas por serem os locais de trabalho
do pesquisador.
4ª ETAPA - Devolutiva com os licenciandos do Pibid e adequação após a aplicação
Numa pesquisa colaborativa, segundo Kemmis (1987, apud IBIAPINA, 2008, p. 14 - 15), é
preciso que todos os colaboradores estejam envolvidos no processo de pesquisa, dividindo
responsabilidades e dando vez e voz a todos no decorrer da investigação-ação, além de
54
oportunizar aos participantes momentos em que compartilhem e discutam os registros,
observando os progressos alcançados e refletindo de forma crítica sobre as mudanças de suas
práticas, bem como a compreensão e idéia sobre elas. Além disso, na pesquisa colaborativa
busca-se compreender como essas mudanças afetam a organização da instituição na qual
trabalham e o que é necessário para promover espaços que possam mudar atitudes,
compreensão e práticas de colaboração.
Nesta perspectiva fizemos, em um encontro de 50 minutos, em que analisamos o jogo
elaborado e consideramos as observações e sugestões do grupo e realizamos as intervenções
pedagógicas necessárias.
5ª etapa – Aplicação nas escolas
Após a devolutiva com o grupo de pesquisa e as intervenções pedagógicas o jogo foi
aplicado em duas escolas públicas, do município da Serra, nas quais o pesquisador trabalha.
O jogo foi aplicado buscando observar o tempo necessário em sala de aula e a possibilidade
de realizar as atividades em diferentes níveis de ensino.
No ensino médio o jogo foi aplicado em uma turma do terceiro ano matutino da EEEFM
Belmiro Teixeira Pimenta, no dia vinte e sete de novembro de dois mil e treze. A escolha da
turma ocorreu de acordo com a disponibilidade do professor em ceder espaço para aplicação
do material. Os vinte e oito alunos foram separados em grupos de 5 ou 4 integrantes e a
aplicação teve a duração de cinqüenta e cinco minutos de aula.
Nos anos iniciais o jogo foi aplicado em uma turma do quinto ano vespertino da EMEF
Ministro Petrônio Portella, no dia vinte e nove de novembro de dois mil e treze, também
devido à disponibilidade dos professores em ceder a aula para a realização da atividade. Os
vinte e cinco alunos foram separados em grupos de 5 ou 4 integrantes e a aplicação teve a
duração de cinqüenta minutos de aula.
Os licenciandos não participaram desta etapa de aplicação nas escolas, pois estavam em
semana de provas e apresentação de trabalhos. Assim, o pesquisador foi sozinho analisar o
jogo a partir dessas aplicações.
55
6ª etapa – Fechamento com os licenciandos
Nesta etapa realizamos o fechamento com os licenciandos apresentando os resultados
alcançados com o projeto de pesquisa.
Em se tratando de uma pesquisa colaborativa, Kemmis (1987, apud IBIAPINA, 2008, p. 1415), descreve a realização constante do monitoramento dos dados, colecionando as
informações que possam dar conta do objeto de estudo. Além disso, havendo necessidade de
complementação de dados, deve-se marcar reuniões extras, bem como divulgar os resultados
alcançados dentro e fora do grupo, não se esquecendo de mostrar que a pesquisa-ação tem
limites.
O encontro teve a duração de duas horas e meia e aconteceu no dia dez de abril de dois mil e
quatorze. Teve como objetivo reformular as regras e o tabuleiro atendendo as observações do
grupo e sugestões dadas durante as oficinas. As mudanças também tiveram como objetivo
garantir que a Análise Combinatória fosse fator decisivo no resultado da competição entre os
jogadores. Estiveram presentes Sara e Sebastian. Sofia não pode comparecer ao encontro
devido a atividades relacionadas ao seu Trabalho de Conclusão de Curso (TCC).
4.3 ANÁLISE DOS DADOS
As análises de dados foram realizadas em dois momentos:
1º - No primeiro momento descrevemos como ocorreram e quais licenciandos participaram
dos encontros. Apresentamos também registros de falas gravadas em áudio, de atividades,
sugestões e resolução de questões desenvolvidas no decorrer da pesquisa junto com os
participantes da pesquisa.
2º - No segundo momento analisamos as falas dos licenciados gravadas em áudio e respostas
de atividades e questionários sobre conhecimentos do jogo, conhecimento pedagógico geral,
pedagógico do conteúdo, de análise combinatória e de contextos educacionais evidenciados
56
pelos participantes da pesquisa ao se inserirem no grupo de pesquisa, no decorrer do
desenvolvimento do jogo e após a produção e aplicação.
57
5 DESCREVENDO E ANALISANDO OS ENCONTROS
Neste capítulo apresentamos os dados coletados nos encontros de forma descritiva
identificando os momentos de aplicações do jogo. Descrevemos cada encontro colocando a
data e como foi realizado, identificamos também os participantes que se fizeram presentes.
Durante a descrição buscamos analisar o desenvolvimento de cada participante, bem como o
crescimento proporcionado pelos estudos realizados no grupo.
1º encontro – Apresentação e conversa inicial sobre análise combinatória
O primeiro encontro aconteceu no dia 09 de agosto de 2013, às 17 horas no laboratório de
matemática do Ifes/Vitória. Em contato por email três voluntários haviam confirmado
presença, porém, no primeiro encontro apenas Sebastian e Débora compareceram.
Essa etapa teve como objetivo fazer a apresentação do projeto de pesquisa, definir dias e
horários dos encontros. Inicialmente ficaram agendados semanalmente às sextas-feiras das
17h00min às 18h30minh, porém, deixamos uma possibilidade de alteração no horário em
caso de necessidade. Também aproveitamos o momento para conhecer o perfil dos
participantes, fazer o preenchimento do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
(apêndice A).
Buscamos identificar algumas dificuldades (tais como ordenação, classificação entre outras)
em relação ao conteúdo de análise combinatória e investigamos em suas falas se fazem ou
não o uso de fórmulas na resolução de questões de Combinatória, expectativas quanto à
pesquisa e anseios em relação ao conteúdo e a formação. Para esta investigação realizamos
entrevista e conversa coletiva com gravação de áudio.
A participante Débora só se lembra de ter estudado análise combinatória no ensino médio e
no início do curso de licenciatura. Suas lembranças sobre análise combinatória é de que
existiam fórmulas, embora não se lembre delas, exceto a de fatorial. Teve muitas
dificuldades e não compreendia quando utilizar as fórmulas. Dos conteúdos que lembra é
permutação, arranjo e combinação. Shulman (2005) destaca a racionalização reflexiva sobre
58
a própria prática, como a máxima para orientar os professores na produção de novas
concepções de ensino levando em consideração a literatura acadêmica educacional.
Para a licencianda Débora a abordagem dos professores foi apresentando as fórmulas e
depois passavam alguns probleminhas. A metodologia utilizada não foi suficiente para a
aprendizagem. No modelo de Raciocínio Pedagógico de Shulman (2005), uma das etapas é a
seleção, assim vemos a necessidade do professor em utilizar um repertório de métodos e
recursos didáticos que propiciem a compreensão dos conceitos e procedimentos matemáticos
atentando para as diferentes formas de aprendizagem.
Débora comentou ainda que durante o período em que foi bolsista do Pibid não viu nenhum
professor trabalhando análise combinatória, embora tenha observado que os alunos resolvem
questões de análise combinatória de forma lógica. Nunca viu um jogo de análise
combinatória, mas acredita que o jogo, se bem aplicado e com objetivo, é muito proveitoso e
bem aceito, melhor que resolver lista de exercícios. Para a licencianda o jogo exige
planejamento e reflexão sobre a ação. Na entrevista com Débora, nota-se em sua fala um
conhecimento pedagógico do jogo ao citar planejamento e reflexão sobre a ação, que são
algumas etapas do Raciocínio Pedagógico e da ação do professor. A licencianda esperava
que os encontros lhe dessem condições de atuar, desenvolver projetos e pesquisas sobre o
tema, já na graduação para melhorar sua formação.
Sebastian não tem lembranças de haver estudado Análise Combinatória na educação básica,
mas apenas na graduação. Os conteúdos dos quais se recorda são Combinatória,
Probabilidade e Espaço Amostral. Para Sebastian a abordagem utilizada pelos professores foi
tradicional, teoria, exemplo e exercício. O licenciando identifica-se com Análise
Combinatória, pois tem dificuldades de compreensão e para ensinar, e se não participar do
grupo de pesquisa com certeza atuará de forma tradicional com este conteúdo.
Questionado sobre a forma como foi abordado o ensino de Combinatória se contribuiu para
sua aprendizagem, Sebastian respondeu:
59
Quadro 4 - Questionamento de Sebastian sobre a abordagem do conteúdo
Há! há! O ruim que não era contextualizado. Pra mim não. Tem coisa que eu preciso associar.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
A preocupação com a formação pedagógica Geral e do Conteúdo de Combinatória é evidente
na fala de Sebastian que atua há três anos e meio no Pibid e não viu nenhum professor
abordando análise combinatória em sala de aula. Não conhecia nenhum jogo que abordasse
análise combinatória, mas planejava trabalhar com o geoplano, construindo uma batalha de
funções do 1º grau e poderia abordar análise combinatória observando o número de funções
que poderia ser construído. Para ele, o jogo é uma boa metodologia para trabalhar análise
combinatória. Esperava que, ao participar da pesquisa suas dificuldades em análise
combinatória diminuíssem para que pudesse ajudar os alunos na compreensão deste
conteúdo.
Embora Sara e Sofia não tenham participado da pesquisa desde o primeiro encontro, pois se
inseriram no grupo a partir do quinto encontro, realizamos a entrevista com as licenciandas e
descrevemos alguns relatos a seguir.
Sara ao ser questionada se já havia estudado Combinatória no ensino médio e no ensino
superior ela diz que:
Quadro 5 - Resposta de Sara sobre suas lembranças em relação ao ensino de Combinatória
Sim. Na verdade não lembro de muita coisa que estudei de Análise Combinatória no ensino médio, nem
mesmo no ensino superior. Acho que nos dois casos o ensino foi voltado para a formalização de formas
enquanto a interpretação do conteúdo ficou em segundo plano.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Para Shulman (2005), o professor deve ter a compreensão dos objetivos, da estrutura da
matéria, das idéias dentro e fora da disciplina antes de ensinar, e isto precisa ser repensado na
formação inicial dos professores de matemática para construção do conhecimento do
conteúdo e pedagógico do conteúdo. Veja o que Sara diz sobre a abordagem dos professores
no ensino de Combinatória.
60
Quadro 6 - A experiência de Sara com a abordagem do conteúdo
Gosto dos conteúdos de análise combinatória porque está envolvido com assuntos do cotidiano,e a
abordagem dos professores no ensino de Combinatória geralmente utilizavam as fórmulas para abordar
algum exercício. Não rejeito a importância delas, mas acredito que diversas vezes utilizávamos elas
no automático, por exemplo, sabíamos que determinado tipo de exercício fazia uso de bola traço
e aplicávamos a fórmula. Muitas vezes sem entender completamente o porquê de utilizá-la. Ao meu ver
todo aprendizado é válido. No caso da análise combinatória consegui aprender várias coisas, como
resolver alguns tipos de problemas. Mas não tenho segurança para ensinar esse conteúdo, quando for
lecioná-lo terei que reforçar o que aprendi.Durante o período que participei do Pibid não acompanhei
nenhum professor que abordou Análise Combinatória com seus alunos e não conheço nenhum jogo que
trabalhe este assunto, só o que estávamos montando. Acredito que como no Pibid os encontros ajudarão na
minha formação profissional, sendo mais um conteúdo que não tenho segurança, me ajudará a assimilar de
forma melhor e poder buscar formas para os alunos também compreendê-lo melhor.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Analisando a fala dos licenciados nota-se que na formação inicial, a prática tradicional no
ensino tem sido muito evidenciada e esquece-se de que a atuação do professor vai além do
conteúdo. Evidencia-se também a necessidade de se estabelecer outras metodologias de
ensino e a relação do conteúdo com diferentes níveis de ensino.
Do mesmo modo apresentamos também alguns relatos de Sofia sobre sua experiência com o
ensino de Combinatória na educação básica e na graduação, e o conhecimento sobre jogo
abordando este conteúdo.
Quadro 7- Conhecimentos de Sofia sobre o ensino de Combinatória
Sobre Análise Combinatória não lembro de ter estudado na educação básica, já na licenciatura estudamos
o básico, mas lembro pouco, combinações, probabilidade, arranjos. Sobre o tema não me identifico, pois
não tive muito contato, além de ter ficado meio complexada por ter ficado de prova final. O professor que
abordou esse conteúdo, exigia que utilizássemos fórmulas, por eu não achar que o uso de fórmulas seja a
melhor das formas de aprendizagem não acho que contribuiu para minha aprendizagem.
No Pibid não acompanhei nenhum professor abordando esse conteúdo.
Não conheço nenhum outro jogo com esse conteúdo, acho de extrema importância o uso do jogo, pois com
61
ele o aluno aprende de forma mais dinâmica e perceberá que não dependemos sempre de fórmulas para
resolver os problemas propostos. Em relação aos encontros, na verdade pretendo contribuir para a
pesquisa e ainda perder um pouco do medo do conteúdo.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Conforme o relato dos licenciandos, eles não tiveram contato com a Análise Combinatória
no ensino básico e nem durante o período em que acompanharam os professores nas escolas,
daí a importância de se ensinar a Combinatória desde os anos iniciais.
2º encontro– Estudos de Combinatória
Este encontro aconteceu em dezesseis de agosto de dois mil e treze, e teve como objetivo
estudar conceitos que envolvem Análise Combinatória como princípio multiplicativo,
arranjos simples e com repetição, permutação simples e com repetição, combinação simples
e com repetição. Apenas Sebastian compareceu ao encontro, discutimos algumas definições
e problemas. Para o participante Sebastian o ensino de Combinatória na graduação foi
apresentado de forma insatisfatória, pois houve demora em disponibilizar um professor para
a disciplina e quando o professor assumiu, ministrou a matéria bem corrida em apenas três
meses e, não abordando de forma satisfatória assuntos como Binômio de Newton entre
outros. O licenciando Sebastian apresentou dificuldades em interpretar situações de
combinações e arranjos com repetição, em classificar os problemas em arranjo, combinação
ou permutação e resolvê-los.
Outro fator que foi questionado ao longo dos estudos nesse encontro foram os enunciados de
problemas, que às vezes deixam dúvidas sobre o que realmente se pede, é o caso da seguinte
pergunta: “Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra LIVRO?”. O
questionamento de Sebastian sobre esta pergunta foi:
Quadro 8 - Dúvida de Sebastian sobre o conceito de anagramas
O problema quer saber se é para formar anagramas com todas as letras, com duas letras, com três letras,
com quatro letras e fazer a soma de todas as possibilidades?
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
62
Isto leva-nos a refletir sobre a elaboração de problemas que trazem dúvidas, seja no
enunciado ou no significado de palavras utilizadas no texto do problema e muitas vezes
conduzem os alunos ao erro. Porém, a palavra anagrama já diz que se devem fazer novas
palavras a partir de todas as letras da palavra original, o que retrata um caso do conhecimento
do conteúdo necessário à formação do professor.
Outro fator que foi colocado por Sebastian como dificuldade na resolução de problemas de
análise combinatória é a falta de padrão, pois além de decorar fórmulas, há vários casos
específicos que fogem da regra e necessitam de estratégias para resolver. Neste sentido os
trabalhos de Campos (2011), Alves (2010) e Esteves (2001) são fundamentais, uma vez que
as pesquisas realizadas por eles concluíram que os livros didáticos apresentavam situações
repetidas de casos de combinatória e, que quando se fez um estudo abordando diferentes
contextos envolvendo o conteúdo as dúvidas foram sendo minimizadas e a participação foi
maior.
3º e 4º encontro – Estudos e elaboração do jogo sobre combinatória
O terceiro e quarto encontro aconteceram respectivamente nos dias seis e treze do mês de
setembro de dois mil e treze. Escolhemos apresentar os dois encontros juntos pela dinâmica
realizada e por ser uma continuidade de estudos e elaboração do jogo.
Os encontros contaram com a participação de Sebastian. Mesmo que a participante Débora
não pudesse comparecer ao 3º e 4º encontro devido ao trabalho, decidimos dar continuidade
aos estudos pelo fato de que poderíamos realizar encontros extras conforme a necessidade.
No encontro discutimos possíveis jogos que poderiam ser construídos para o ensino de
Combinatória. Algumas ideias que foram apresentadas foram: Bingo com e sem reposição de
números, jogo das funções com geoplano, analisando possibilidades de caminhos percorridos
pelo gráfico, jogo dos sorvetes, jogo das senhas e jogo das placas de carro.
Aqui apresentamos algumas discussões e construções iniciais do jogo que serviram de
análise sobre o desenvolvimento do material e da produção de conhecimento do licenciando.
63
Iniciamos a tentativa de construção de jogos pelo jogo das placas de carro em que ao longo
da jogada fosse necessário fazer trocas de placas de carro. O participante Sebastian sugeriu
um jogo que tivesse ponto de partida e chegada, conforme rascunho elaborado.
Figura 1- Primeiro esquema do tabuleiro elaborado por Sebastian
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
A idéia apresentada era de que só poderia percorrer determinado caminho de acordo com o
número obtido no lançamento de um dado, e ao passar por pontos de encontro entre os
caminhos faria a troca da placa. A discussão nos levou à reelaboração da proposta em fazer o
lançamento de dois dados e que a quantidade de caminhos a percorrer que seriam permitidos
para cada participante estaria condicionada à soma de pontos obtidos nos dados. O
participante Sebastian logo fez um cálculo tentando descobrir quantas combinações de
pontos que seriam possíveis.
Figura 2 - Cálculo feito por Sebastian para determinar o produto Cartesiano
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
64
A resolução feita por Sebastian apresenta indícios de que ele tenha conhecimento do
conteúdo do estudo de Combinações Completas, embora haja erro na aplicação da fórmula
p
∁ n+p−1
=
,
(n+p−1)!
p!(n−1)!
e a questão poderia ser resolvida pelo princípio multiplicativo obtendo
6x6 = 36 pares ordenados.
A dificuldade para esta questão era criar caminhos que proporcionassem as mesmas chances
para os participantes. A princípio as regras do jogo seriam:
Figura 3 - Construção das primeiras regras do jogo
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Pensando em atender o momento registro do jogo no ensino de análise combinatória,
buscamos acrescentar outras regras, atribuições aos jogadores como um despachante
responsável pela elaboração das placas e familiaridade com o cotidiano dos alunos.
65
Figura 4 - Ampliação das propostas para a construção do jogo inserindo conhecimentos extra-curriculares
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
No quarto encontro pensamos em como tornar o jogo mais competitivo, divertido, que não
causasse a ociosidade, buscando regras do cotidiano que pudessem ser inseridas no jogo e
que favorecessem o ensino de Análise Combinatória.
Pensando nas regras de trânsito a sugestão de atribuições dos participantes seriam: motorista,
policial rodoviário ou DETRAN. O que definiria as atribuições seria a quantidade de pontos
obtidos no lançamento simultâneo de dois dados. A partir das atribuições dos jogadores
discutimos as regras que garantiriam a vitória ou não dos participantes. Os conhecimentos
extracurriculares estiveram muito presentes na construção das regras e nas perguntas
elaboradas para o jogo. Citamos algumas delas a seguir:
Quadro 9- Inclusão de novas regras do jogo

Sempre que o motorista mudar de cidade é necessário fazer a troca de placa (o emplacamento é feito pelo
diretor do Detran e este não pode emitir placa repetida, caso contrário sofre investigação do ministério
público e sai do jogo);

Placa regulamentar: identifica as direções permitidas pelo motorista e este escolhe conforme as
possibilidades;

Placa de radar: o motorista toma multa e perde 7 pontos na carteira, se perder 20 pontos perde a carteira;

Se o policial rodoviário prender cada participante 2 vezes ( vence o policial).
Fonte: arquivo do pesquisador, 2013.
66
Diante das regras Sebastian questiona:
Quadro 10 - Reflexão de Sebastian sobre as regras do jogo
É! Pelo que estou percebendo não vejo nenhuma vantagem de ser motorista neste jogo... E se a pessoa
chegar no final e não tiver a maior quantidade de placas, porque eles vão questionar isso também. Pô rodei
tudo e não ganho! É muita sacanagem!
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Refletimos sobre as regras criadas e as cobranças para os motoristas e sugerimos criar cartas
coringa para livrar os motoristas de algumas cobranças. Ainda pensamos sobre a quantidade
de regras a serem decoradas e a questão se o jogo teria um ponto de chegada ou se seria um
circuito fechado. Decidimos que no quinto encontro tentaríamos construir o material com as
ideias elaboradas e testar a validade do material.
5º ao 7º encontro – Estudos dos Momentos do jogo com o Material elaborado
O quinto, sexto e sétimo encontro foram realizados, respectivamente, nos dias dezoito e vinte
e cinco de setembro e no dia dois de outubro de dois mil e treze.
No quinto encontro ao elaborarmos o jogo precisaríamos de outros participantes para nos
auxiliar no jogo a fim de fazermos o primeiro teste do material. Convidamos duas alunas da
licenciatura que estavam no laboratório para jogar conosco. A atividade foi tão atrativa que
as mesmas aceitaram participar da pesquisa a partir desse momento. Desde então Sofia e
Sara ajudaram-nos a desenvolver o material na construção de regras, elaboração e resolução
de situações problemas que explorassem a Análise Combinatória o que contribuiu para o
aprendizado destas participantes já que as mesmas não participaram dos encontros anteriores.
67
Figura 5 - Confecção das cartas do jogo
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Descrevemos a seguir algumas discussões e reflexões do grupo evidenciando os momentos do
jogo apontados por Grando.
Na elaboração do tabuleiro os sentidos do trajeto foram pensados dentro da realidade do
trânsito.
Quadro 11 - Uso dos contextos sociais na construção das regras do jogo
Sebastian: Dentro da cidade, agente falou que ia ter sinalização.
Pesquisador: É uma das sinalizações é a questão da rota, se ele vai poder pegar ou não aquela direção.
Sebastian: Como o jogo é de possibilidades, ele poderia rodar no sentido que ele quisesse, ou no caso dentro
da cidade ter um sentido obrigatório.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Neste momento houve uma discussão sobre as regras no trânsito de vias de mão única, mão
dupla e de cruzamentos.
A partir da discussão sobre as regras e pensando nos alunos, a preocupação com a
organização pedagógica do material ficam mais evidentes. Para Shulman (2005) o
68
conhecimento do professor sobre a estrutura e os materiais utilizados para o ensino e a
aprendizagem desde a criação até a organização quando são familiarizados do educador
servem de base para o conhecimento.
A realidade vivida no trânsito por Sebastian foi fator decisivo para que as rotas no tabuleiro
fossem direcionadas. Além das rotas, regras como sinal amarelo que exige atenção onde o
jogador ao parar na respectiva casa terá que tirar uma carta para decidir se avança ou se para.
Observamos que a experiência é algo que contribui para a construção das regras, pois, os
indivíduos carregam consigo seus valores e conhecimentos construídos ao longo da vida.
Na primeira jogada para testar o jogo, verificar e construir regras, decidimos que no
lançamento simultâneo dos dois dados, se a soma dos pontos obtidos for de 1 a 4 o jogador
será policial, se for de 5 a 8 motorista e de 9 a 12 diretor do Detran. Embora soubéssemos que
o resultado 1 seria impossível de ser obtido.
A participante Sara ao ser convidada para jogar, e sabendo que o jogo era de Análise
Combinatória disse:
Quadro 12 - Primeiras impressões de Sara sobre Análise Combinatória
Sara: Análise Combinatória? Shiii! Pra mim não é boa não, mas vai.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
A fala de Sara nos faz perceber que suas impressões sobre o ensino de Análise Combinatória
não é algo que lhe cause conforto e segurança. Para Shulman (2005) o conhecimento
pedagógico do conteúdo permite distinguir a compreensão de conhecimento e a compreensão
do professor sobre uma área específica.
Apresentamos as regras criadas nos encontros anteriores, das quais apresentamos algumas
discussões a seguir.
69
Quadro 13 - Apresentação das regras para Sara e Sofia
Pesquisador: E se ninguém tirar de 5 a 8 ...?
Sebastian: Boa pergunta.
Sofia: Não, tem que tirar, não, tem que tirar.
Sara: Há probabilidades maiores de os números caírem, de dar alguma soma, aí você pode pegar a
probabilidade maior e deixar isso como Detran...
Sofia: Mas se não sair ai, eu acho que vai ter que fazer outra rodada jogando. Até sair.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Nesta discussão sobre o conhecimento de possibilidades e probabilidade a licencianda Sara
utilizou o conhecimento do conteúdo como solução para o problema em questão.
Depois de algumas discussões se o policial perde ponto ou não, se ele está em serviço ou não,
decidimos que o policial no jogo estaria em serviço e não perderia ponto ao parar no radar. A
familiaridade com situações do dia-a-dia sempre foram colocadas ao estabelecerem as regras.
Deste modo, vimos que o jogo estava atendendo os momentos de jogo estabelecidos por
Grando (2000), a respeito da familiarização com o material, conforme pretendíamos desde o
início da elaboração do material.
Quadro 14 - Momento do jogo Reconhecimento das Regras
Sofia: E como é que o policial ganha?
Pesquisador: Se prender você duas vezes você sai do jogo. Igual aqui vocês já se encontram
Sebastian: Se você já me encontram então to fazendo blitz! Há, há, há...
Sofia: Não, não... Mas é se o policial encontrar com o motorista ou se o motorista encontrar com o policial?
Pesquisador: Dá no mesmo.
Sebastian: Tanto faz!
Sofia: Não! Tem diferença sim! (Risos) Como é que é Sara? Combinatória o quê?
Pesquisador: É combinação Simples. A dupla João e José é a mesma dupla José e João. Não é Condicionada
não.
(Risos)
Fonte: arquivo do pesquisador, 2013.
70
Sofia fez uso do conhecimento de Arranjo Simples para livrar-se da situação de “risco” no
jogo, colocando a ordem como fator para não perder no jogo. Situações como estas que estão
presentes no dia-a-dia podem ser exploradas para trabalhar conceitos de Arranjos Simples e
Combinação Simples.
Durante a jogada de familiarização e reconhecimento de regras para construção do jogo, cada
vez que os motoristas paravam nas cidades havia a troca de placas com quatro algarismos
distintos, emitida pelo diretor do Detran. Cada um dos participantes anotava as placas que
eram emitidas em uma folha de anotações e ficavam atentos para ver se havia alguma
repetida. A participação dos licenciandos no Pibid tem contribuído para o desenvolvimento
do Conhecimento dos Contextos educacionais estabelecido por Shulman, já que houve
preocupação dos mesmos com o tempo que seria gasto no jogo, levando em consideração a
hora/aula nas escolas da educação Básica.
Também ficou evidente o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo dos licenciandos na
estratégia adotada pelo Diretor do Detran (pesquisador) ao emitir as placas. No jogo procurei
emitir as placas de forma aleatória sem seguir alguma regra a fim de verificar a atitude dos
licenciandos.
Quadro 15 - Organização de estratégias sugerida por Sara
Sara: Assim você vai se perder. Por que você não começa com um número e vai organizando as placas.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Percebe-se a preocupação com organização do pensamento reflexivo dos licenciandos com o
processo de ensino e aprendizagem na busca por melhores estratégias para obtenção dos
resultados.
Esta descrição nos faz compreender que é possível identificar os conhecimentos
(classificados por Shulman) dos licenciandos nos momentos do jogo estabelecidos por
Grando (2000). Elaboramos algumas atividades para aplicarmos com alunos da licenciatura
em matemática do Ifes/Vitória e com participantes de uma oficina, realizada na III Semana
da Matemática, realizada no Ifes/Vitória, como estudo piloto explorando o jogo construído
71
pelo grupo de pesquisa, pensando nas regras que pudessem favorecer o ensino de
Combinatória. A seguir apresentamos algumas questões discutidas no grupo.
Quadro 16 - Questão para o momento de intervenção escrita
O objetivo desta atividade é explorar os conceitos de experimentos aleatórios, espaço amostral, produto
cartesiano a partir da regra do jogo que define a função dos jogadores por intermédio da soma de pontos
obtidos no lançamento simultâneo de dois dados.
Atividade I.
Funções dos jogadores:
Função
Soma
Policial
1–4
Motorista
5–8
Diretor
9 – 12
1) Fazendo o lançamento simultâneo de dois dados, quais e quantas são as formas de sortear:
a)
o motorista ?
b) o policial?
c)
O diretor do DETRAN?
2) Que jogador tem maior chance de sair? Justifique.
3) Que jogador tem menor chance de sair? Justifique.
4) De acordo com a distribuição de pontos para assumir as atividades a probabilidade de ser motorista,
policial ou diretor é a mesma (tem as mesmas possibilidades)? Dê sugestões.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
A proposta de explorar a matemática na construção do jogo conduz os licenciandos a pensar
nas estratégias e conteúdos para a solução dos problemas.
A seguir apresentamos os cálculos da atividade 1 realizados por Sofia.
72
Figura 6 - Respostas de Sofia sobre a função dos jogadores
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Este momento do jogo Intervenção escrita nos permite observar o conhecimento específico
do conteúdo que a licencianda possui sobre produto cartesiano. De mesmo modo Sebastian
realiza seus cálculos utilizando outra estratégia.
Figura 7 - Resposta de Sebastian sobre a função dos jogadores
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
73
Em discussão com o grupo analisamos as diferentes estratégias adotadas por Sofia e
Sebastian, que para Shulman (2005) trata-se de uma das características do Raciocínio
Pedagógico e ação, que é a Representação. Foi possível discutir com os participantes o
repertório de representações, incluindo exemplos, demonstrações, explicações, entre outras,
que permitam que os alunos cheguem aos objetivos esperados pelo professor.
Ainda na elaboração de questões para o momento de intervenção escrita apresentamos a
questões 5 e 6 a seguir:
Quadro 17 - Questão 5 para a intervenção escrita
5) Quantas comissões são possíveis de formar com 5 jogadores sendo 1 policial, 1 diretor e 3
motoristas?
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Figura 8 - Resposta elaborada por Sebastian sobre comissões no jogo
Fonte: Arquivo do Pesquisador
Fonte: Arquivo do Pesquisador, 2013.
Sebastian apresentou ter domínio do procedimento do cálculo de permutação, mas na questão,
a ordenação dos motoristas entre si, não é relevante, portanto o cálculo seria
5!
3!
.
Quadro 18 - Questão 6 para o momento de intervenção escrita
6) Quantas comissões são possíveis de formar com 5 jogadores tendo 1 policial, 1 diretor e 3 motoristas,
sabendo que cada participante só pode ocupar a função de policial e diretor uma única vez?
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
74
Figura 9 - Resposta elaborada por Sofia por meio do princípio multiplicativo com o auxílio do diagrama de
árvore.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Figura 10 - Resposta de Sebastian para a questão 6
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
75
Nesta questão tanto Sofia quanto Sebastian, responderam a questão pensando apenas em uma
rodada, sem levar em consideração que as possibilidades de escolha para policial e diretor
diminuem conforme o número de partidas, portanto teríamos:
1ª partida
2ª partida
3ª partida
4ª partida
5!
3!
4.4!
3!
3.2.3!
3!
2.2.3!
3!
.
Depois da quarta partida não seria mais possível, já que só restaria uma possibilidade de
escolha para uma das funções de policial ou de diretor sem a repetição de jogadores.
A discussão durante as atividades e o registro nos permitem analisar a forma de pensar e de
organizar as ideias dos jogadores, e que contribui para o professor entender as dificuldades
dos alunos ou avaliar o nível de aprendizagem.
Para Shulman esta atividade de interpretação passa pelos ciclos de compreensão, em que, o
professor antes de ensinar deve compreender os objetivos, estrutura da matéria, as ideias
dentro e fora da disciplina e o de transformação onde as idéias compreendidas devem ser
transformadas de modo que possam ser ensinadas.
3ª ETAPA – Oficinas
1ª Oficina - Oficina com licenciandos na III Semana da Matemática do Ifes/Vitória
Esta oficina contou com a participação de Sebastian e foi realizada na III Semana da
Matemática no Ifes/Vitória,no dia doze de novembro de dois mil e treze, e teve como
objetivo testar o jogo, corrigir falhas e ter a avaliação do material por licenciandos em
matemática e professores. A oficina contou com 10 participantes sendo nove licenciandos
em matemática (das quais duas eram do estado de Minas Gerais) e uma professora da área de
Ciências. O grupo (fig. 11) foi unânime em dizer que tinha dificuldades com o conteúdo, e
que a forma como foi abordado o conteúdo por seus professores foi bem tradicional, com
apresentação direta das fórmulas.
76
Figura 11- Oficina realizada no Ifes/Vitória
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
No primeiro momento foi feita a apresentação do grupo e depois apresentado o jogo
Combinando na Cidade (momento 1- familiarização com o material). Os participantes
foram organizados em dois grupos. Após conhecidas as regras houve as jogadas (momentos
2 e 3 – reconhecimento das regras e jogadas para garantir as regras). Entre os
participantes um deles possui deficiência auditiva e com a ajuda de um intérprete em Libras
também participou do jogo interagindo com os demais. Encerrado os momentos 1, 2 e 3
inserimos as fichas de perguntas e as placas de carro, que deveriam ser confeccionadas de
acordo com a regra do jogo o que permitiu os momentos 4 e 5 do jogo (momento 4 intervenção pedagógica verbal, momento 5 – registro do jogo).
Após a aplicação do jogo realizamos a discussão sobre as questões do jogo e sobre o material
(momento 6 – intervenção escrita).
O grupo disse ter gostado do material e sugeriu algumas alterações no tabuleiro, na
participação dos jogadores entre outras. A seguir apresentamos algumas das sugestões (fig.
12).
77
Figura 12 - Sugestão de regras pelos participantes da oficina
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
2ª Oficina– Aplicação do jogo em uma turma de licenciatura em matemática do
Ifes/Vitória
Este encontro aconteceu no dia vinte de novembro de dois mil e treze e contou com a
participação de Sara e Sebastian. O jogo foi em uma turma com 30 alunos do curso de
licenciatura em matemática do Ifes/Vitória, que cursava a disciplina de Análise Combinatória
no semestre 2013/2. A atividade foi aplicada em duas horas de aula e os alunos foram
separados em grupos de 6 pessoas.
Figura 13 - Jogo aplicado com uma turma de licenciatura
Fonte: Arquivo do Pesquisador, 2013.
78
Durante a aplicação do jogo, seguimos os momentos de jogo de Grando (2000). Após a
aplicação do jogo discutimos com os licenciandos sobre o material e quais sugestões de
mudanças julgavam necessárias. Apresentamos aqui algumas das sugestões.
Quadro 19 - Sugestão dos licenciandos sobre o jogo
O tabuleiro poderia ser maior, pois fica muito “embolado” para jogar;
Ser mais colorido e em papel mais firme;
O jogo está muito complexo, com muitas regras e muito confuso;
O diretor não ter que fazer tudo do jogo;
Ter tabela de resultado (essencial). A tabela ser numerada e conter as respostas, e em cada conta ter o seu
respectivo número;
Determinar tempo para a resposta de cada jogador;
Diminuir os circuitos;
As placas de direção estão confusas,
O gabarito, além de conter o resultado final, deve contemplar o passo a passo da questão.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
4ª ETAPA- Devolutiva com o Pibid e adequação após a aplicação
8º Encontro – Devolutiva com os licenciandos do Pibid
Neste encontro discutimos as resoluções, observações e sugestões dos participantes da oficina
e dos alunos da licenciatura, e fizemos os ajustes para aplicar o jogo em duas escolas
localizadas no município da Serra. Este encontro foi realizado no dia vinte e seis de novembro
de dois mil e treze e contou com a participação de Sara e Sofia.
A seguir apresentamos algumas observações discutidas com Sara e Sofia.
79
Figura 14 - Atividade de definição dos jogadores resolvida na oficina
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Sobre a distribuição de pontos se é honesta, um dos licenciandos respondeu: Não. Pois o
policial tem a menor possibilidade, já que é impossível sair 1 para o policial. Pois a soma de
dois dados 1 + 1 = 2.
Sara e Sofia observaram a condição de existência (um dos casos de Combinatória) na regra do
jogo e sugeriram mudanças na regra.
Outra questão observada por Sara e Sofia foi a estratégia utilizada por um dos participantes da
oficina ao resolver as possibilidades de resultados da soma dos pares ordenados para definir
as funções dos jogadores conforme a regra apresentada.
80
Figura 15 - Licenciando resolvendo a questão sobre as possibilidades de cada função dos participantes na oficina
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
As participantes destacaram a importância de trabalhar o momento Registro do Jogo que trata
da organização e sistematização do conteúdo com licenciandos como fundamental para
orientar estes futuros professores que irão ensinar outras pessoas e isto exige clareza no
processo de organização dos dados, desenvolvimento do pensamento matemático e conclusão
dos resultados.
Quadro 20 - Observação de Sara sobre o conhecimento pedagógico
Sara: Difícil. A minha formação é atual e mesmo nessa formação eu já tive problemas com relação a esse
conteúdo, imagina as formações anteriores. Talvez esses novos cursos de formação de professor, formação
continuada, talvez devam trabalhar mais isso com os professores, os conteúdos que eles mesmos acham
complicados lecionar, não só pensando nos conteúdos que os alunos acham difícil, mas sim que o professor
visa também ser difícil.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Para Shulman (2005) a clareza no ensino por parte do professor depende da compreensão que
o mesmo possui sobre o conteúdo.
81
Ainda durante o encontro Sara e Sofia destacaram as diferentes respostas de dois
licenciandos. Veja a seguir:
Figura 16 - Solução de licenciando sobre a questão de função dos jogadores
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
Figura 17 - figura comparativa com a figura 16
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
82
Ao comparar as respostas, Sara e Sofia observaram que na figura 16 o participante tratou
casos de ordenação (1,3), (3,1) como uma mesma possibilidade. Desta forma as participantes
inferiram sobre os conhecimentos que estes licenciados possuem, o que talvez seria
impossível sem os registros dos participantes, quando se trabalha apenas com a observação de
resultados, sem analisar todo o processo de desenvolvimento.
Na devolutiva com os participantes foi discutida a aplicação do jogo em duas escolas, que
teve como objetivo verificar se as mudanças sugeridas na oficina e com a turma da
licenciatura atendiam os alunos da Educação Básica, no que diz respeito à participação efetiva
do diretor do Detran durante o jogo.
No ensino médio o jogo foi aplicado em uma turma do terceiro ano matutino da EEEFM
Belmiro Teixeira Pimenta, no dia vinte e sete de novembro de dois mil e treze. A escolha da
turma se deu pelo fato da disponibilidade do professor em ceder espaço para aplicação do
material. Os alunos foram separados em grupos de 5 ou 4 integrantes.
Nos anos iniciais o jogo foi aplicado em uma turma do quinto ano vespertino no dia vinte e
nove de novembro de dois mil e treze, também devido à disponibilidade dos professores em
ceder a aula para a realização da atividade. Os alunos foram separados em grupos de 5 ou 4
integrantes.
A atividade foi aplicada pelo pesquisador, pois os demais participantes estavam em semana de
provas e trabalhos e não puderam acompanhá-lo.
A aplicação do jogo constatou que as atividades correspondiam ao nível escolar dos alunos.
Discutimos sobre esta etapa que para Shulman trata-se da adaptação e adequação às
características dos alunos, em que é imprescindível, dentre outras características,
considerarem os conceitos, motivações, interesses, e atenção dos alunos para que de fato o
ensino seja transformador. Para Sara o jogo:
83
Quadro 21 - Reflexão de Sara sobre o uso do jogo no ensino de Combinatória
mostrou que todo conteúdo por mais complexo que seja, agente tem uma nova forma de lidar com ele na sala
de aula. Agente pode tentar buscar uma nova forma de trabalhar com os alunos .
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
11º encontro – Reformulação do tabuleiro e das regras
Este encontro aconteceu no dia dez de abril de dois mil e quatorze. Fizemos a reformulação
das regras e as modificações no tabuleiro atendendo as observações do grupo e sugestões
dadas durante as oficinas. As alterações nas regras foram feitas com o objetivo garantir que a
Análise Combinatória fosse fator decisivo no resultado da competição entre os jogadores. A
licencianda Sofia não pôde comparecer ao encontro, e estiveram presentes Sara e Sebastian.
Apresentamos a seguir um quadro com algumas das alterações realizadas na regra do jogo.
Quadro 22 - Alterações nas regras do jogo Combinando na Cidade
Regras Iniciais do Jogo
Regras Modificadas
A função dos jogadores será definida de acordo
com a soma dos pontos obtidos nos dados:
A função dos jogadores será definida de acordo
com a soma dos pontos obtidos nos dados:






De 1 até 4: Policial
De 5 até 8: Motorista
De 9 até 12: Diretor do Detran
Sempre que o motorista muda de cidade é
necessário fazer a troca de placa (o
emplacamento é feito pelo diretor do Detran e
este não pode emitir placa repetida, caso
contrário sofre investigação do ministério
público e sai do jogo).
Placa de radar: o motorista toma multa e perde 7
pontos na carteira, se perder 20 pontos perde a
carteira.
De 2 até 4: Policial
De 5 até 8: Motorista
De 9 até 12: Diretor do Detran
Sempre que um jogador mudar de cidade retira
uma pergunta. Se acertar recebe uma placa. O
emplacamento é feito pelo diretor do Detran e este
não pode emitir placa repetida, caso contrário
ficará sem movimentar o carro por três jogadas. O
diretor concorre com os demais.
Placa de radar: Retira-se uma pergunta. Se acertar
continua a jogada. Se errar perde uma jogada.
84
Se o policial rodoviário prender
participante 2 vezes (vence o policial).
cada
Término do Jogo
Se o motorista obter a maior quantidade de
placas e estas já tiverem sido esgotadas (vence o
motorista);
Se os motoristas tiverem a carteira suspensa
(vence o diretor do Detran).
Se os motoristas e/ou o diretor pararem na mesma
casa que o policial, retira-se uma pergunta. Caso
errem perderão duas jogadas.
Término do jogo
O jogo finaliza quando as possibilidades de placas
tiverem sido esgotadas. Vence quem tiver o maior
número de placas. Havendo empate retira-se a
pergunta da carta desempate. Cada aluno tem dois
minutos para responder na folha de registro. Vence
quem acertar. Casa haja novo empate retira-se uma
nova pergunta obedecendo aos mesmos critérios.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
Tanto Sara como Sebastian fizeram observações sobre reformulação das regras.
Quadro 23 - Observação de Sebastian e Sara sobre as regras
Sebastian: Na hora de bolar as cartas e as regras do jogo ... agente perdeu mais tempo interpretando as
regras do que jogando.
Sara: Agente teve que observar situações (do dia a dia), e dela tirar análise combinatória. Então foi uma
coisa mais externa para a interna.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
Estas falas de Sebastian e Sara demonstram uma das etapas do Raciocínio Pedagógico e ação
descrita por Shulman (2005) que é a adaptação e adequação e que por meio da reflexão levaos a novas formas de entendimento.
Além das mudanças nas regras foram feitas alterações no tabuleiro. A seguir apresentamos
algumas versões dos tabuleiros construídos desde a idéia inicial da figura 1.
85
Figura 18 - Tabuleiro utilizado nas oficinas
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2013.
86
Figura 19 - Tabuleiro modificado e discutido com aos participantes após a qualificação
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
Durante o encontro o grupo sugeriu que as cidades não estivessem alinhadas, que houvesse no
tabuleiro um local de identificação para cada tipo de carta. Também decidimos que os
algarismos das placas emitidas pelo diretor seriam fixados com velcro para evitar o
desperdício de material.
87
Figura 20 - Tabuleiro construído após a reformulação
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
12º Encontro – Entrevista final
Após a entrevista final com Sara, Sebastian e Sofia, realizada no dia vinte e um de maio de
dois mil e quatorze,fizemos um quadro de conhecimentos evidenciados com os participantes
ao longo da pesquisa. Com a coleta de dados buscamos fazer uma análise das contribuições da
pesquisa durante o processo de estudo, elaboração, aplicação e validação do jogo. Vamos
analisar essas entrevistas no próximo capítulo juntamente com outras falas durante os
encontros.
88
6 DIFERENTES CONHECIMENTOS CONSTRUÍDOS PELOS LICENCIANDOS
Neste Capítulo apresentamos uma análise dos conhecimentos dos licenciandos evidenciados
ao se inserirem no grupo (antes do jogo), ao longo da pesquisa (durante) e após a aplicação e
reformulação do jogo (após o jogo).
Nos quadros, na parte esquerda colocamos na íntegra as falas dos licenciandos nas quais
identificamos os diferentes conhecimentos de pedagógico, pedagógico do conteúdo, dos
contextos educacionais e do jogo. Na coluna da direita evidenciamos algumas reflexões
nossas sobre essas falas. Após cada quadro apontamos a análise relacionando com o
referencial da pesquisa.
Vamos iniciar com a licencianda Sofia (quadro 24).
Quadro 24 – Síntese de Conhecimentos construídos por Sofia
SOFIA
Antes do Jogo
“Não conhecia nenhum jogo com esse
conteúdo”.
“O professor que abordou esse conteúdo,
exigia que utilizássemos formulas, por eu
não achar que o uso de formulas seja a
melhor das formas de aprendizagem não
acho que contribuiu para minha
aprendizagem”.
A licencianda lembra que não tinha trabalhado esse conteúdo,
mas quando estudou só lembra de uso de fórmulas.
“Não lembro de ter estudado na
educação básica[análise combinatória],
já na licenciatura estudamos o básico,
combinações, probabilidade e arranjos”.
Entrevista do perfil dos participantes.
“Não, não... Mas é se o policial encontrar
com o motorista ou se o motorista
encontrar com o policial?”
5º encontro: 18/10/2013.
Durante
Durante a elaboração e aplicação do jogo Sofia apresentou
dificuldades de compreensão de identificação dos casos de
Combinatória e de ordenação.
Ao longo da execução do jogo demonstrou desenvolvimento
de habilidades e estratégias para resolver problemas de
Combinatória.
89
Após a vivência com Jogo
Que recursos metodológicos você
utilizaria para trabalhar com o ensino de
Análise Combinatória?
A licencianda demonstra indicativos da etapa de seleção,
adaptação e adequação.
“O seu jogo como recurso para trabalhar
com o ensino aprendizagem de Análise
Combinatória pode ser de extrema
importância. O jogo faz com que o aluno
crie suas próprias estratégias fazendo
com que o aluno aprenda de forma mais
dinâmica. Assim ele perceberá que não
dependemos sempre de fórmulas para
resolver os problemas propostos”
Que contribuições a construção do jogo
trouxe para a sua formação pedagógica e
do conteúdo de Análise Combinatória?
Assim como o Pibid ajudou a gente
bastante nessa construção mesmo de
material concreto para trabalhar na sala
de aula e agente perceber que não é só
ficar lá no livro. Tem que ter outros
recursos também.
Os casos mais comuns de Análise
Combinatória tratados na Educação
Básica e no ensino Superior são Arranjos,
Combinação e Permutações e Fatorial,
acho que por estes serem os mais
“simples”, porque geram um pouco
menos de dificuldade.
12º encontro: 21/05/2014.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
A fala da aluna apresenta indícios do conhecimento pedagógico curricular na escolha de
recursos de materiais didáticos. Ao analisar a fala dessa licencianda a partir da teoria de
Shulman (2005) identificamos que ela tem conhecimento da estrutura e reconhece que os
materiais podem auxiliar no ensino e aprendizagem dos conteúdos. Para Shulman (2005) essa
familiarização representa uma das bases para o desenvolvimento do conhecimento
pedagógico-curricular. Esse conhecimento contribui de modo eficaz no planejamento e
organização do trabalho pedagógico em sala de aula.
Sofia aponta em sua fala a metodologia utilizada durante sua formação acadêmica, quando
lembra do uso de fórmulas exigidas pelo professor, sem que a mesma tivesse compreensão
90
das situações de Combinatória para aplicação das mesmas. Segundo Shulman (2005), essa é
uma das bases para a construção de conhecimento do conteúdo, isto é: a literatura acumulada
e desenvolvida por meio do conhecimento acadêmico sobre o conteúdo de análise
combinatória. A licencianda demonstra indicativos da etapa de seleção apontados por
Shulman (2005) ao descrever o raciocínio pedagógico em ação. Para o autor esta etapa exige a
escolha de um repertório que inclui métodos de ensino didático, organização, gestão e
planejamento que permitam aos alunos a compreensão de conceitos, procedimentos e atitudes
dentro as diferentes formas de aprendizagem.
Passamos agora para a análise de falas do Sebastian (quadro 25):
Quadro 25 - Síntese de conhecimentos construídos por Sebastian
SEBASTIAN
Antes do Jogo
“Não conheço nenhum jogo que aborde análise
O licenciando está procurando criar estratégias
combinatória, mas estava planejando trabalhar com o
para facilitar o ensino.
geoplano, construindo uma batalha de funções do 1º
grau,
e
poderia
abordar
análise
combinatória
observando o número de funções que poderia ser
construído. Para mim, o jogo é uma boa metodologia
para trabalhar análise combinatória”.
“A abordagem dos professores foi bem tradicional:
teoria, exemplo e exercício”.
“Não tenho lembranças de haver estudado Análise
Combinatória na educação básica, mas apenas na
graduação”.
Entrevista do 1º encontro em: 09/08/2013.
Durante
O problema quer saber se é para formar anagramas
Dificuldade de compreensão sobre o significado
com todas as letras, com duas letras, com três letras,
de Anagramas.
com quatro letras e fazer a soma de todas as
possibilidades?
Dificuldade de compreensão de casos de
91
2º encontro: 16/08/2013
permutação com repetição.
Quantas comissões são possíveis de formar com 5
jogadores tendo 1 policial, 1 diretor e 3 motoristas?
7º encontro: 02/10/2013.
Após a vivência com Jogo
1)
Que recursos metodológicos você utilizaria para
trabalhar com o ensino de Análise Combinatória?
Quando explorados os momentos de jogo de
Grando
Com certeza o jogo. Não tenho dúvida disso. E com
certeza buscar mais jogos que complementem o jogo.
Os únicos contatos que eu tive realmente com
Combinatória foi na graduação e agora o seu jogo. É
claro que seu jogo é mil vezes melhor do que a matéria
a
intervenção
pedagógica
verbal
provocando analise da jogada e relacionando-as
aos conceitos matemáticos no momento do
registro do jogo, pode ser observado que este
auxiliou no desenvolvimento do conteúdo
relacionado a Análise Combinatória.
da disciplina.
Após a exploração do jogo foi possível
identificar
2)
Que contribuições a construção do jogo trouxe
para a sua formação pedagógica e do conteúdo de
Análise Combinatória?
conhecimentos
adquiridos
que
facilitaram a Sebastian a identificação da
relação entre o conteúdo e a didática, ou seja, já
consegue representar e adaptar esse conteúdo
Quando eu cheguei no Ifes, meu paradigma preferido
era exercício, só que aqui exageram tanto na dose que
eu falei, não quero isso mais não.
O jogo ajudou a ter outra visão de Análise
Combinatória, por que até então era o terror do ensino
médio.
3)
Quantos
SEMÁFORO?
são
os
anagramas
da
palavra
aos interesses dos alunos.
92
4)
Que contribuições o Pibid trouxe para sua
formação?
Ter o pensamento de aluno para começar. Vê o quanto
a matemática pode ser enjoada e ao mesmo tempo o
quanto pode ser divertida.
12º encontro: 21/05/2014.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
Em entrevista inicial o licenciando estava procurando criar estratégias para facilitar o ensino
do conteúdo, nesse caso que Shulman (2005) descreve como conhecimento pedagógico do
conteúdo. Ou seja, as estratégias metodológicas que o professor busca para orientar suas ações
em sala de aula.
A fala de Sebastian no segundo encontro demonstra que esse licenciando ainda não tinha
domínio sobre a organização conceitual do conteúdo o que Shulman (2005) apresenta como
conhecimento do conteúdo. A maneira pela qual o conteúdo é compreendido, ou seja, as
regras, as estratégias, os conteúdos procedimentais.
Quando comparado com a resolução do décimo segundo encontro sobre a quantidade de
anagramas da palavra SEMÁFORO, já se percebe indício de compreensão do termo em
questão.
Sebastian passa a compreender o campo das práticas pedagógicas relacionando com o
conhecimento teórico, conceitual e didático. A partir disso percebe que o controle e o
93
planejamento da aula podem ser organizados e adequados às características dos alunos para
atender aos diversos interesses na tentativa de que o ensino ocorra.
Apresentamos a análise de falas de Sara (Quadro 26).
Quadro 26 - Síntese de conhecimentos construídos por Sara
SARA
Antes do Jogo
não conhecia nenhum jogo que trabalhasse este
Na vida acadêmica ela não teve muito contato com o
assunto [Análise Combinatória].
conhecimento pedagógico do conteúdo.
“Acho que nos dois casos [no ensino Básico e no
Superior] o ensino foi voltado para a formalização
de formas enquanto a interpretação do conteúdo
ficou em segundo plano”.
“Na verdade não lembro de muita coisa que
estudei de Análise Combinatória no ensino médio,
nem mesmo no ensino superior. Gosto dos
conteúdos de analise combinatória porque está
envolvido com assuntos do cotidiano”.
Entrevista do perfil dos participantes.
Durante
Assim você vai se perder. Por que você não
Desenvolvimento de habilidades e estratégias para
começa com um número e vai organizando as
resolver problemas de Combinatória.
placas?
Conhecimento de regras e estratégias sobre o jogo
5º encontro: 18/10/2013.
como recurso didático.
Após a vivência com Jogo
A licencianda demonstra indícios de um dos
1)
Que recursos metodológicos você utilizaria
para
trabalhar
com
o
ensino
de
Análise
Combinatória?
processos do Raciocínio Pedagógico e ação apontada
por Shulman como a compreensão, que o autor
constitui uma união entre sua concepção e a
compreensão que este deseja que seu aluno tenha de
um determinado conteúdo apresentado, relacionando
“Eu acho que inicialmente eu tentaria iniciar o
conteúdo com alguma atividade lúdica, pra não
chegar para os meninos e dizer olha, agora agente
vai aprender Combinatória, pra não dar um
isso a uma explanação e uma análise crítica da
estruturação e reprodução por meio do qual o
conteúdo será trabalhado.
94
choque assim para eles, por que geralmente eles já
tem esse atividade como mais difícil. E depois eu
falaria para eles, isso que vocês estão fazendo
Conteúdo Pedagógico, preparação e representação
aqui é parte do nosso conteúdo que vai ser
Combinatória. E também tentaria assim durante o
percurso, igual esse jogo que agente fez, eles
podem utilizar”.
2)
Que contribuições a construção do jogo
trouxe para a sua formação pedagógica e do
conteúdo de Análise Combinatória?
“Eu acho que trouxe agente pensar que agente
pode „sempre trabalhar de uma forma diferente,
nunca ficar conservado sempre às mesmas
metodologias”.
3)
Que contribuições o Pibid trouxe para sua
formação?
“Foi total. Acho que desde o início quando entrei
no Pibid no ensino médio foi só ter maior
amadurecimento. Foi em cada escola, em cada
turma e em cada professor foi uma experiência
nova, diferente. A questão maior foi saber lidar
com os alunos, o quanto você pode ser amigo
deles, o quanto você precisa ser mais rígido com
eles, ter limites nas relações”.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
A licencianda destaca a relação do conteúdo com o cotidiano apesar de demonstrar que não
compreende bem os conteúdos relacionados com a Análise Combinatória. Shulman (2005)
caracteriza esta etapa como a de compreensão em que o professor antes de ensinar deve
compreender os objetivos, estrutura da matéria, as idéias dentro e fora da disciplina.
Durante o jogo Sara usa os momentos de jogar para garantir regras e Intervenção
pedagógica verbal que são respectivamente, um momento espontâneo do jogo com a
finalidade de garantir as regras e explorar as noções matemáticas contidas no jogo e; um
momento caracterizado pelos questionamentos e observações do orientador, de maneira que
95
provoque nos alunos a análise de suas jogadas, buscando relacioná-las aos conceitos
matemáticos, (GRANDO, 2000) e, isto contribuiu para que a licencianda realizasse a etapa da
reflexão que para Shulman (2005), caracteriza-se em analisar criticamente o nosso
desempenho e o dos alunos, além fundamentar explicações sobre aquilo que foi evidenciado.
A preocupação com a adaptação e adequação às características dos alunos, também ficou
evidenciada na fala de Sara em relação às fontes de Conhecimento, entendendo que na
formação acadêmica a disciplina a ser ensinada precisa ser vista e aprendida sob diversas
situações que favoreçam o ensino, capacitando melhor o professor e estes, licenciandos ao
terem contato com materiais, contexto institucional e pesquisas sobre fenômenos que
influenciam o trabalho docente, estarão mais preparados para enfrentar os desafios da carreira
profissional, cumprindo melhor a etapa de transformação com a experiência adquirida.
Mesmo a licencianda Débora tendo participado de apenas um encontro, mantivemos a sua fala
nesta pesquisa para a análise de como a mesma contempla um componente curricular.
Quadro 27 - Síntese de conhecimentos de Débora
DEBORA
Antes do Jogo
“Nunca vi um jogo de análise combinatória, mas
acredito que o jogo, se bem aplicado e com objetivo, é
muito proveitoso e bem aceito. Acredito que os alunos
se envolvam muito mais com o jogo do que resolver lista
de exercícios. O jogo exige planejamento do professor e
reflexão sobre a ação por parte do professor e do
aluno.”
“A abordagem dos professores [no ensino de Análise
Combinatória] foi apresentando as fórmulas e depois
passavam alguns probleminhas.”
“Só lembro de ter estudado análise combinatória no
ensino médio e no início do curso de licenciatura.
Durante o período que acompanhei como bolsista do
Pibid não vi nenhum professor trabalhando análise
combinatória, embora tenha observado que os alunos
resolvem questões de análise combinatória de forma
lógica”.
Entrevista do 1º encontro em: 09/08/2013.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
A licencianda apresentou
conhecimento pedagógico.
indícios
de
Para a licencianda o conteúdo só é visto quando
o professor explicita o mesmo como
componente curricular, não compreendendo que
o mesmo pode ser dialogado e contemplados
em outros contextos educacionais.
96
Notamos
que sobressaíram
os
conteúdos pedagógicos nas
análises apresentadas
anteriormente. Para destacar alguns dos conhecimentos de conteúdo explicitados pelos
licenciandos, separamos algumas respostas das atividades que aplicamos na entrevista final
(apêndice J). A intenção foi verificar se eles ampliaram seus conhecimentos de análise
combinatória por meio da participação neste grupo.
Assim, além dos conhecimentos explicitados anteriormente, citamos alguns conhecimentos do
conteúdo de Análise Combinatória evidenciados pelos participantes. Trazemos a seguir as
questões, as respostas dos licenciandos, o conteúdo que estava sendo abordado e, em seguida,
realizamos algumas análises a partir do que observamos no momento do diálogo. Ressaltamos
que somente interferimos após as respostas deles, conversando sobre o que eles apresentaram.
A atividade consistia em resolver as questões e classificá-las quanto aos casos de
Combinatória. Durante a resolução eles conversavam entre si, não nos importamos com essa
interação, por acreditarmos que ela favorece a construção de conhecimentos.
1) Resolva as atividades abaixo e classifique-as quanto aos casos de Combinatória.
a) Num restaurante há 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos é possível selecionar
um casal homem-mulher ?
Quadro 28- Respostas dos participantes sobre questão de Produto Cartesiano
Resposta de Sebastian
Resposta de Sofia
Resposta de Sara
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
97
Resposta esperada:
Nesta questão esperava-se que o grupo identificasse o princípio multiplicativo como um modo
de resolução válido para diferentes situações de combinatória, embora demonstrassem
conhecimento do conteúdo, pois responderam corretamente ao que foi solicitado, obtendo
então 3x4 = 12. Os licenciandos não explicitaram que se tratava de Produto Cartesiano.
b) Quantos são os anagramas da palavra PARE?
Quadro 29 - Respostas dos participantes sobre questão de Permutação Simples
Resposta de Sebastian
Resposta de Sofia
Resposta de Sara
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
Esperava-se que eles classificassem o problema como permutação simples, porém em
nenhum momento eles comentaram o assunto.
c) De quantos modos podemos separar 8 alunos em dois grupos de 4 pessoas cada?
Quadro 30 - Respostas dos participantes sobre questão de Combinação Simples
Resposta de Sebastian
98
Resposta de Sofia
Resposta de Sara
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
8!
O problema poderia ter sido classificado como uma permutação com repetição, obtendo 2𝑥4!4!
ou como uma combinação simples
∁48
2
, de modo que o resultado é 35. Sara foi a única a
classificar o problema. Nesta questão os participantes demonstraram maior dificuldade de
estratégia na resolução. A seguir, apresentamos a discussão realizada pelos licenciandos que
mostra como foi rico esse momento, e como proporcionou aprendizagens.
Quadro 31 - Discussão do grupo sobre questão de Combinação
Sebastian: Oito alunos em dois grupos. Primeiro grupo, segundo grupo (Escreve na folha). Uma coisa que eu
achei engraçado. No primeiro grupo você pode escolher quantos alunos?
Sofia: 8 (é interrompida por Sebastian).
Sebastian: Vai dar fatorial, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Sofia: É.
Sebastian: Ou você tem alguma sugestão diferente?
Sofia: Eu acho que é dividido por dois fatorial. Porque a ordem dos dois grupos...
Sebastian: Não importa.
Sofia: É. Ou importa?
Sebastian: Vamos pensar então. Pensar em conjunto. Pro primeiro grupo tem isso aqui de escolha, para
escolher, não tem jeito.
Sofia: Humhum.
Sebastian: Oito alunos diferentes. O aluno pode estar nessa posição, nessa, ou nessa. Você acha que vai ter
repetição de quatro aqui na escolha?
Sara: Divide por dois.
Sofia: Eu pensei em dividir por dois, por causa dos dois grupos, agora por aqui não, aqui não ta repetindo não,
eu acho.
Sebastian: Quer dizer que o aluno: fulano, beltrano e ciclano por exemplo.
Sofia: É o mesmo grupo.
Sebastian: Divide por quatro fatorial. Não, divide por quatro pra cancelar esse erro nos dois grupos.
Sofia: Então agente divide por quatro nos dois grupos e depois divide por dois o outro.
Sebastian: E além disso aí se são dois grupos, acho que é para somar dos dois grupos depois.
Sofia: Eu acho que por dois vai ter que dividir.
Sebastian: Então vai ter que dividir por quatro e por dois por causa da dupla repetição.
99
Sofia: É, eu acho que sim. Vai ser então, oito fatorial, dividido por quatro vezes dois. Você não divide por
dois esse e depois esse também não.
Sebastian: Não, é porque aqui já ta separado, oito fatorial.
Sara: Mas vocês estão dividindo por quatro fatorial por quê?
Sebastian: Não, estou dividindo por quatro porque (é interrompido por Sofia).
Sofia: Quatro fatorial não. Porque esse daqui, igual ele botou aqui (é interrompida por Sebastian).
Sebastian: Tem grupo que tem quatro repetições pelo menos.
Sebastian dá exemplos de grupos com duas e três pessoas.
Sara: Gente, pra mim é quatro fatorial. Pra mim seria 8x7x6x5 dividido por quatro fatorial, agora não sei se é,
acho que é vezes o outro grupo que é quatro fatorial que sobrou, não é! Mas aí não vai dar certo.
Sofia: Seria oito fatorial dividido por quatro fatorial, dividido por dois fatorial.
Sara: Eu não entendi. Não é dois grupos? Por que não colocaram oito fatorial direto.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
Após a discussão apresentada, os licenciandos recorreram ao pesquisador para concluir a
questão. A partir desse momento, precisei conduzir o pensamento deles para que pudessem
compreender o que fizeram e como deveriam continuar para chegar ao resultado. Esta análise
vem em concordância com os estudos de Borba e Braz (2012), ao afirmar que a maior
dificuldade dos alunos foi em lidar com situações que envolvem mais de uma relação.
d) Quantos são os anagramas da palavra SEMÁFORO?
Quadro 32 - Respostas dos participantes sobre questão de Permutação de elementos nem todos
distintos
Resposta de Sebastian
Resposta de Sofia
Resposta de Sara
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
100
Trata-se de um problema de permutação de elementos nem todos distintos. A não
compreensão dos conceitos inseridos no conteúdo de Combinatória geram dúvidas aos
licenciandos ao resolverem as questões, o que os fazem recorrer a outras estratégias que lhes
são mais seguras para obtenção da resposta. Para Shulman (2005), a compreensão e a
transformação, são etapas importantes do Raciocínio Pedagógico e ação.
Quadro 33 - Discussão do grupo sobre questão de Permutação de elementos nem todos distintos
Sara: Oito fatorial. Só.
Sofia: Só que o “O” repete.
Sebastian: Tem que levar em consideração a repetição.
Sara: Então não é oito fatorial.
Sebastian faz o cálculo para a palavra OMO e discute com o grupo.
Sara: É oito por dois mesmo.
Sebastian: Divide oito fatorial por dois.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
Analisando a discussão do grupo observamos a importância de que se tenha o entendimento
do conceito nos níveis mais simples de dificuldade para os mais complexos, para que o uso da
fórmula tenha significado. Nesse sentido concordamos com Borba (2013) que defende o
aprofundamento contínuo, desde os anos iniciais, criando possibilidades ao aluno para que no
ensino médio estes tenham melhor compreensão das fórmulas da Análise Combinatória.
e) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo pelo menos duas mulheres,
em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?
Destacamos que embora pareça um problema simples, a resolução desta atividade requer que
se pense em diferentes possibilidades, analisando as particularidades colocadas pela atividade.
É um problema que envolve princípio aditivo e multiplicativo e combinação simples.
101
Quadro 34 - Respostas dos participantes sobre questão de Combinação Simples, Princípio Aditivo e
Multiplicativo
Resposta de Sebastian
Resposta de Sofia
Resposta de Sara
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
A resposta final deveria ser:
6
∁47 𝑥∁24 + ∁37 𝑥∁34 + ∁27 𝑥∁44 = 35𝑥6 + 35𝑥4 + 21𝑥1 = 371 ou ainda, ∁11
− ∁67 − 4∁57 = 462 –
7 – 84 = 371.
Notamos que embora eles discutissem entre si diferentes estratégias de resolução, não
conseguiram chegar ao resultado esperado. Observe o diálogo realizado por eles:
102
Quadro 35 – Discussão do grupo sobre questão de Combinação Simples, Princípio Aditivo e Multiplicativo
Sofia: Quando coloca esse negócio de pelo menos, não é uma resposta só. Aqui Sebastian, vai ter que ter pelo
menos duas mulheres, então eu fiz com duas mulheres, 4x3 vezes 7x6x5x4. Com três mulheres e com quatro
mulheres. Agora soma isso?
Sebastian: Pelo menos duas, você pode ter grupo com uma e grupo com nenhuma.
Sofia: Não. Pelo menos duas, então tem que ser no mínimo duas. Então uma ou zero não pode.
Sara: Eu pensei diferente.
Sofia: Eu fiz com duas, com três e com quatro. Só que eu não sei se é pra somar isso.
Sebastian: Somar, é somar.
Sara: Olha só o que eu pensei. São seis pessoas no grupo, aí primeiro eu peguei as mulheres. Aí essas duas
primeiras vão ser as mulheres. Quantas Mulheres tem? Quatro.
Sofia: Sim.
Sara: Aí eu botei. O primeiro pode ser quatro pessoas e o segundo três. Os outros seis podem ser homem ou
mulher. Se juntar tudo, tem quantas pessoas no total?
Onze. Só que duas mulheres já vão ter saído. Então tem na verdade nove pessoas. Aí eu fiz 9x8x7x6. Mas eu
também acho que o seu ta certo.
Sofia: Sebastian!
Sara: Não, vamos esperar Sebastian fazer a dele.
Sebastian: Se eu fosse pensar no pelo menos, eu iria fazer o seguinte. Iria fazer com zero, um dois, três e
quatro.
Sofia: Não, pelo menos duas, tem que ter no mínimo duas. Bom pelo menos é o que eu entendo.
Pesquisador: É no mínimo duas.
Fonte: Arquivo do pesquisador 2014.
Percebemos que uma dúvida que contribuiu para a não realização da atividade, era no
entendimento do que seria o significado da expressão “no mínimo”. Foi necessário uma
intervenção para explicar que sentido na matemática essa expressão tem. Assim, notamos que
a construção de conhecimentos matemáticos perpassa a aprendizagem de outros
conhecimentos. Ainda concordamos com Morgado et al. (1991), ao afirmar que Análise
Combinatória é muitas vezes compreendida por maior parte dos alunos, apenas como o estudo
de combinações, arranjos e permutações, embora há vários outros tipos de problemas e que
dispõe de diferentes técnicas.
f) De quantos modos podemos comprar 3 refrigerantes em um restaurante onde há 5
tipos de refrigerantes?
103
Quadro 36 - Respostas dos participantes sobre questão de Combinação Completa
Resposta de Sebastian
Resposta de Sofia
Resposta de Sara
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
Esperávamos que os licenciandos classificassem o problema como uma combinação
Completa e obtivessem o resultado ∁35+3−1 = ∁37 = 35.
Quadro 37 - Discussão do participantes sobre questão de Combinação Completa
Sofia: Sara, não divide não por três fatorial?
Sara: Eu to achando que sim.
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
A participação dos licenciandos no grupo garantiu momentos de aprendizagem completa,
porém, esses licenciandos precisam de mais momentos de discussão sobre os casos de
Combinatória para que ampliem seus conhecimentos, pois o ensino é um processo.
g) De acordo com a regra do jogo há três funções dos participantes. Sabendo que todas
as funções devem estar presentes no jogo, qual a condição para que se tenha duas
pessoas com a mesma função?
104
Quadro 38 - Respostas dos participantes sobre questão de Princípio das Gavetas de Dirichlet
Reposta de Sebastian
Resposta de Sofia
Resposta de Sara
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
A resposta dos licenciandos atendeu a que esperávamos.
n–1
3
n
3+1
n
4.
Em geral os participantes não souberam classificar os problemas, mas os momentos de troca
de reflexões proporcionaram o desenvolvimento de conhecimentos do conteúdo matemático
de Análise Combinatória.
105
Ao final desse encontro, expliquei os conteúdos que estavam envolvidos em cada atividade e
as estratégias de resolução dos problemas apresentados, o que contribuiu para novas
aprendizagens dentro do grupo de forma colaborativa.
106
7 PRODUTO FINAL
Neste contexto por meio da análise de dados, das inferências nos encontros com o grupo e das
intervenções metodológicas durante o processo, elaboramos um guia didático (fig. 21, capa)
para o professor de matemática intitulado “Jogo Combinando na Cidade”, contendo:

Conteúdo de Análise Combinatória;

O uso de jogo no ensino da Matemática;

Formação de professores de Matemática;

Apresentação do jogo Combinando na Cidade com regras e tabuleiro e;

Atividades com indicações de aplicação em diferentes níveis de ensino da Educação
Básica com comentários.
Figura 21 - Capa do guia Didático
Fonte: Arquivo do pesquisador, 2014.
107
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A proposta desta pesquisa foi investigar conhecimentos evidenciados por licenciandos em
matemática no processo de construção de um jogo para trabalhar o ensino de Análise
Combinatória. Com isso, organizamos um grupo com licenciandos que atuaram durante dez
meses. Após as discussões e análises já apresentadas, tecemos algumas considerações finais
sobre o que foi desenvolvido. Trazemos nossos objetivos e organizamos algumas ideias
sobre como vemos o atendimento a cada um deles pontuando algumas considerações. Ao
final, apresentamos algumas limitações desta investigação e possibilidades de futuras ações
em outras pesquisas.
De maneira geral, acreditamos que o estudo em grupo sobre o jogo, desde a sua concepção
até a análise, a partir da aplicação para reformulação da versão final enriqueceu as discussões
e contribuiu para a formação didático - pedagógica dos licenciandos participantes,
proporcionando um olhar diferenciado sobre o ensino de Análise Combinatória e outras
possibilidade metodológicas, além do uso do livro didático, bem como utilizar-se de
conhecimentos extracurriculares para a contextualização de situações problema.
Nosso primeiro objetivo específico foi identificar conhecimentos matemáticos de
Combinatória que os licenciandos possuem ao se inserir no grupo. No primeiro encontro
percebemos que, em geral, os licenciandos não tinham muitas lembranças do ensino de
Combinatória na educação básica, e os conteúdos recordados no ensino superior eram
permutação simples, arranjos simples, combinação simples e fatorial de um número.
O segundo objetivo que era identificar diferentes conhecimentos pedagógicos dos
licenciandos na elaboração do jogo sobre análise combinatória que foi desenvolvido ao
longo dos encontros. Os licenciandos deixaram nítido que o conhecimento que possuíam
sobre a abordagem do conteúdo era o da forma tradicional e demonstraram preocupações
durante a elaboração do jogo e da aplicação em sala de aula. Podemos citar que eles
estiveram preocupados com o tempo de duração do jogo, em torná-lo atrativo e divertido
para os alunos, além de fazerem reflexão da prática em trabalhar de uma forma diferente e,
não ficar conservado sempre a uma mesma metodologia, mesmo que o conteúdo aparente
108
seja mais complexo. Os licenciandos preocuparam-se em buscar possibilidades de lidar com
o conteúdo em sala de aula e uma nova forma de trabalhar com os alunos
Cabe ressaltar que o envolvimento desses licenciandos no Pibid proporcionou aos mesmos
conhecimentos sobre a realidade escolar e a relação professor–aluno- conteúdo. Isso ficou
explícito no decorrer dos encontros e favoreceu um olhar mais apurado em relação aos
conhecimentos pedagógicos.Também observamos os motivos dos licenciandos para
participarem do Pibid, para vencer a timidez, ganhar experiência, ser observadora, e as
contribuições do programa na escolha da carreira e formação dos novos professores, o que
pode ser tema de pesquisas futuras.
Quanto ao objetivo terceiro que era investigar a relação dos conhecimentos
extracurriculares (saberes do dia a dia) dos participantes do jogo sobre análise
combinatória com licenciandos e em turmas da educação básica, notamos que a todo
momento, durante os encontros, os licenciandos se baseavam em conhecimentos de
vivências do trânsito, da realidade escolar e de suas experiências sociais e acadêmicas.
Nosso quarto objetivo específico, identificar diferentes conhecimentos dos licenciandos na
participação desse grupo a respeito do jogo sobre análise combinatória, pode ser avaliado
principalmente no encontro final, no qual voltamos algumas discussões. Ao analisarmos
essas discussões notamos que eles avançaram em conhecimentos pedagógicos com o uso de
jogos para o ensino de Combinatória, porém, ainda estão em processo de construção desses
conhecimentos. Eles cresceram em relação a estratégias de elaboração de jogos para o
conteúdo de Combinatória e ampliaram os conhecimento sobre diferentes casos de
Combinatória que podem ser explorados em diversos contextos educacionais.
A investigação dos indícios de conhecimento de conteúdo de Combinatória citados pelos
licenciandos, não é suficiente para garantir o domínio e compreensão do conteúdo. Mas estes
vão sendo demonstrados e aperfeiçoados ao longo da elaboração do jogo, possibilitando a
prática reflexiva.
Defendemos que para produzir um material que explore conceitos matemáticos, no nosso
caso o jogo, envolvendo análise combinatória, é necessário que o professor tenha
109
compreensão dos conteúdos a serem abordados, para que possam fazer intervenções
necessárias durante a utilização do objeto pedagógico.
Acreditamos que as oficinas de aplicação foram fundamentais para avaliar o material e
analisar as expectativas e observações do público, que no nosso caso, foi desde alunos dos
anos iniciais do ensino fundamental, alunos do ensino médio e licenciandos de matemática,
para redefinir modelos e objetivos. O jogo tornou-se mais atrativo na medida em que se
aproximou das características do público da educação básica.
Quanto ao nosso último objetivo específico, observamos que o planejamento em grupo
permitiu adaptações e inovações na construção das atividades. As questões que
aparentemente eram simples puderam apresentar um grau maior de complexidade ao serem
resolvidas pelos licenciandos. Isso nos fez repensar ao propor uma atividade para os alunos,
buscando conhecer seus interesses e preferências e saber que se algo não deu certo é
momento
de reelaborar a atividade. Também
evidenciamos
a
importância do
desenvolvimento desse processo junto com licenciandos, além de proporcionar
aprendizagens tanto para os licenciandos como para os pesquisadores, ao fazerem parte do
processo de avaliação as discussões enriqueceram a construção e adequação do material
pedagógico.
Organizar um grupo de pesquisa com licenciandos não é uma tarefa fácil. Seja pelo conteúdo
a ser estudado, como pelas demandas que estes licenciandos possuem, tanto pela ocupação
em atividades acadêmicas quanto por particulares. Essas limitações foram vivenciadas neste
processo, porém notamos que trabalhar com um grupo reduzido proporcionou diferentes
momentos reflexivos, cuja integração foi maior do que se tivéssemos um grupo grande de
licenciandos.
Quando o conteúdo a ser pesquisado não é de domínio dos licenciandos, é necessário que se
criem confiança e respeito nas relações, e não se posicionar como superior no grupo, mas
estabelecer uma relação de igualdade.
Encontramos dificuldades também em espaços exclusivos para o encontro nas pesquisas,
pois a todo instante tivemos interferências de outros grupos de alunos e/ ou professores.
110
Acreditamos que as licenciaturas atuais em matemática continuam reforçando um ensino de
Combinatório com o uso abusivo de fórmulas, sem a preocupação com a compreensão dos
conceitos. Além disso, o uso do livro didático tem sido o recurso metodológico dominante na
licenciatura, não contribuindo para a produção Didático- Pedagógica dos licenciandos, em
especial a produção de jogos matemáticos. O repertório de casos repetidos de Combinatória,
explorados no livro didático tem estimulado esta prática dos professores e, isto tem
dificultado a compreensão dos problemas até mesmo pelos professores e licenciandos,
induzindo-os ao erro.
O trabalho permitiu que os licenciandos contemplassem a Análise Combinatória em seus
contextos sociais e, a refletirem sobre suas práticas docentes na busca de metodologias que
possibilitem a construção de significados para os alunos. Mesmo sendo considerado por eles
como um conteúdo difícil, o jogo permitiu a participação de outros licenciandos e o erro não
foi visto como punição, mas como uma oportunidade de discussão, aprendizado e
desenvolvimento de estratégias.
Defendemos que é preciso repensar o ensino de Combinatória nos anos iniciais e finais do
ensino fundamental, tanto no aspecto do currículo quanto na formação inicial e continuada
dos professores. Destacamos que essa pesquisa identifica a necessidade de realização de
investigações sobre conteúdos matemáticos, juntamente com a produção de materiais para o
trabalho desses conteúdos. Em especial, conteúdos considerados difíceis para serem
aprendidos e ensinados. As considerações aqui tecidas se referem a um caso em particular,
porém, acreditamos que outras pesquisas possam ser realizadas de modo a complementarem
diferentes ações envolvendo licenciandos, tais como: investigar evidências de maior
aprendizado matemático a partir do jogo, quando comparado com o não-uso do jogo.
111
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116
APÊNCICE A - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Eu,_____________________________________________________________
nascido em _______________, com ____ de idade, estado civil ______________, aluno da
Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – Ifes,
Campus
Vitória,
matricula
nº
___________________,endereço
____________________________________
___________________________________________________,RG__________________,
CPF__________________ , estou sendo convidado a participar como voluntária, de um
estudo de pesquisa denominado Produção e aplicação de jogos em análise combinatória na
formação inicial de professores de matemática, cujo objetivo é identificar como a
atuação/experiência do Pibid (Programa Institucional de bolsas de iniciação a docência) tem
propiciado aos alunos bolsistas a construção/produção de saberes sobre a docência no curso
de licenciatura em Matemática. Esperado com este trabalho, contribuir com subsídios para a
melhoria da qualidade dos cursos de licenciatura, proporcionadas pelo Pibid que é um
programa recente e poucas pesquisas se têm sobre esta temática.
A minha participação no referido estudo será no sentido de autorizar o uso dos diferentes
instrumentos/materiais escritos/produzidos por mim, durante a permanência no Pibid - diário
de campo, relatórios, produção de material didático e outros, de algumas falas observadas em
reuniões com os coordenadores e entrevista que se fizerem necessárias para o
desenvolvimento da pesquisa.
Estou ciente de que minha privacidade será respeitada, ou seja, meu nome ou qualquer outro
dado ou elemento que possa, de qualquer forma, me identificar, será mantido em sigilo.
Também fui informado de que posso me recusar a participar do estudo, ou retirar meu
consentimento a qualquer momento, sem precisar justificar, e de, por desejar sair da pesquisa,
não sofrerei qualquer prejuízo à assistência que venho recebendo.
Os pesquisadores envolvidos com o referido projeto são Jose Carlos Thompson da Silva e
Prof.ª Dr.ª Sandra Aparecida Fraga Silva, do Programa de Pós-Graduação em Educação em
Ciências e Matemática –Educimat, e com eles poderei manter contato pelos e-mail:
[email protected] e [email protected].
Fui assegurado sobre a assistência durante toda pesquisa, bem como me é garantido o livre
acesso a todas as informações e esclarecimentos adicionais sobre o estudo e suas
consequências, enfim, tudo o que eu queira saber antes, durante e depois da minha
participação.
Enfim, tendo sido orientado quanto ao teor de tudo aqui mencionado, e compreendido a
natureza e o objetivo do já referido estudo, manifesto meu livre consentimento em participar,
estando totalmente ciente de que não há nenhum valor econômico, a receber ou a pagar, por
minha participação.
Em caso de reclamação ou qualquer tipo de denúncia sobre este estudo devo ligar para o
EDUCIMAT (27) 3331.2203/3331.2119 ou enviar email para [email protected].
117
Vitória, ____________________ de 2013.
____________________________________________________________
Assinatura do Voluntário Participante
______________________________
Pesquisador: Jose Carlos Thompson da Silva
______________________________
Prof.ª Dr.ª Sandra A. Fraga da Silva
118
APÊNCICE B - Autorização
Eu, Ricardo Paiva, ocupante do cargo de Diretor Geral no Campus Vitória, do Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo -Ifes, autorizo a realização da
pesquisa PRODUÇÃO E APLICAÇÃO DE JOGOS EM ANÁLISE COMBINATÓRIA
NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA, nesta instituição,
sob a responsabilidade do pesquisador Jose Carlos Thompson da Silva, servidor da
Secretaria Estadual de Educação e da Secretaria Municipal de Educação da Serra e aluno do
Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática – EDUCIMAT/IFES,
orientado pela Prof.ª Dr.ª Sandra Aparecida Fraga da Silva - respeitando a legislação em
vigor sobre ética em pesquisa educacional. Fica autorizado o acesso às informações
documentais do Ifes - Campus Vitória, referentes à pesquisa a ser desenvolvida. Afirmo que
fui devidamente orientado sobre a finalidade e objetivo da pesquisa, bem como sobre a
utilização de dados exclusivamente para fins científicos e sua divulgação posterior, sendo que
meu nome será mantido em sigilo. Autorizo também a utilizar o nome da instituição e do
curso de licenciatura em Matemática – Campus Vitória para os fins da pesquisa.
Vitória/ES, ___________________ de 2013.
_________________________________
Ricardo Paiva
Diretor Geral Campus Vitória
119
APÊNCICE C – Autorização da Escola Estadual
Eu, Erica Negrelli Ferrari, ocupante do cargo de Diretora na EEEFM Belmiro Teixeira
Pimenta, autorizo a realização da pesquisa PRODUÇÃO E APLICAÇÃO DE JOGOS EM
ANÁLISE COMBINATÓRIA NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA, nesta instituição, sob a responsabilidade do pesquisador Jose Carlos
Thompson da Silva, servidor da Secretaria Estadual de Educação e da Secretaria Municipal
de Educação da Serra e aluno do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e
Matemática – EDUCIMAT/IFES, orientado pela Prof.ª Dr.ª Sandra Aparecida Fraga da Silva
- respeitando a legislação em vigor sobre ética em pesquisa educacional. Fica autorizado o
acesso às informações documentais da escola, referentes à pesquisa a ser desenvolvida.
Afirmo que fui devidamente orientado sobre a finalidade e objetivo da pesquisa, bem como
sobre a utilização de dados exclusivamente para fins científicos e sua divulgação posterior,
sendo que meu nome será mantido em sigilo. Autorizo também a utilizar o nome da
instituição para os fins da pesquisa.
Vitória/ES, _________________ de 2013.
_________________________________
Erica Negrelli Ferrari
Diretora
120
APÊNCICE D– Autorização da Escola Municipal
Eu, Lucimar do Santos Fontes Guimarães, ocupante do cargo de Diretora na EMEF
Ministro Petrônio Portella, autorizo a realização da pesquisa PRODUÇÃO E APLICAÇÃO
DE JOGOS EM ANÁLISE COMBINATÓRIA NA FORMAÇÃO INICIAL DE
PROFESSORES DE MATEMÁTICA, nesta instituição, sob a responsabilidade do
pesquisador Jose Carlos Thompson da Silva, servidor da Secretaria Estadual de Educação e
da Secretaria Municipal de Educação da Serra e aluno do Programa de Pós-Graduação em
Educação em Ciências e Matemática – EDUCIMAT/IFES, orientado pela Prof.ª Dr.ª Sandra
Aparecida Fraga da Silva - respeitando a legislação em vigor sobre ética em pesquisa
educacional. Fica autorizada o acesso às informações documentais da escola, referentes à
pesquisa a ser desenvolvida. Afirmo que fui devidamente orientado sobre a finalidade e
objetivo da pesquisa, bem como sobre a utilização de dados exclusivamente para fins
científicos e sua divulgação posterior, sendo que meu nome será mantido em sigilo. Autorizo
também a utilizar o nome da instituição para os fins da pesquisa.
Vitória/ES, 14 de junho de 2013.
_________________________________
Lucimar do Santos Fontes Guimarães
Diretora
121
APÊNCICE E – Autorização do Coordenador da Licenciatura
Eu, Rodolfo Chaves, ocupante do cargo de Coordenador da Licenciatura de Matemática, no
Campus Vitória, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo Ifes, autorizo a realização da pesquisa PRODUÇÃO E APLICAÇÃO DE JOGOS EM
ANÁLISE COMBINATÓRIA NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA, nesta instituição, sob a responsabilidade do pesquisador Jose Carlos
Thompson da Silva, servidor da Secretaria Estadual de Educação e da Secretaria Municipal
de Educação da Serra e aluno do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e
Matemática – EDUCIMAT/IFES, orientado pela Prof.ª Dr.ª Sandra Aparecida Fraga da Silva
- respeitando a legislação em vigor sobre ética em pesquisa educacional. Fica autorizado o
acesso às informações documentais do Curso, referentes à pesquisa a ser desenvolvida.
Afirmo que fui devidamente orientado sobre a finalidade e objetivo da pesquisa, bem como
sobre a utilização de dados exclusivamente para fins científicos e sua divulgação posterior,
sendo que meu nome será mantido em sigilo. Autorizo também a utilizar o nome do curso de
licenciatura em Matemática – Campus Vitória para os fins da pesquisa.
Vitória/ES, ___________________ de 2013.
_______________________________________________
Rodolfo Chaves
Coordenador da Licenciatura de Matemática – Ifes/Campus Vitória
122
APÊNCICE F - Carta de Apresentação de Projeto de Pesquisa
Ao Senhor: Ricardo Paiva
Diretor Geral do Campus Vitória - Ifes
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo - Ifes
Av. Vitória, 1729 – Jucutuquara – Vitória/ES
Assunto:
Apresentação de Projeto de Pesquisa e solicitação de autorização para
pesquisa
Prezado Senhor,
1.
Apresentamos o projeto de pesquisa Produção e aplicação de jogos em análise
combinatória na formação inicial de professores de matemática.
2.
A pesquisa tem como objetivo avaliar as contribuições da produção e aplicação de
jogos matemáticos na formação inicial de professores de matemática elaborados por bolsistas
do Pibid; identificar que conceitos matemáticos de Combinatória que os licenciandos
possuem; aperfeiçoar e ampliar os conceitos de Combinatória dos Pibidianos; promover a
capacitação da reflexão da prática pedagógica dos licenciandos; sistematizar e organizar a
seleção, produção e aplicação de jogos para o desenvolvimento de conceitos matemáticos em
Análise Combinatória; propor a mudança nos cursos de formação inicial de professores de
matemática, dando uma ênfase maior à produção e aplicação de jogos matemáticos que
desenvolvam conceitos e não apenas o reforço de procedimentos matemáticos.
3.
Espera-se ainda contribuir com subsídios para a melhoria da qualidade do curso de
licenciatura em matemática, proporcionadas pelo Pibid, que é um programa recente e poucas
pesquisas se têm sobre esta temática.
4.
As informações a serem oferecidas para o pesquisador serão guardadas pelo tempo que
determinar a legislação e não serão utilizadas em prejuízo desta instituição e/ou das pessoas
envolvidas, inclusive na forma de danos à estima, prestígio e/ou prejuízo econômico e/ou
financeiro. Além disso, durante ou depois da pesquisa é garantido o anonimato de tais
informações.
5.
A pesquisa será coordenada pelo pesquisador responsável Jose Carlos Thompson da
Silva.
6.
Para tanto, respeitosamente solicito a V. S.ª, conforme modelo sugerido em anexo
(Autorização Condicionada), emissão de autorização para realização da pesquisa, respeitando
a legislação em vigor sobre ética em pesquisa em seres humanos no Brasil (Resolução do
Conselho Nacional de Saúde nº 196/96 e regulamentações correlatas).
Vitória, 1 de agosto de 2013.
_________________________________
Jose Carlos Thompson da Silva
Instituto Federal do Espírito Santo – Educimat
123
APÊNDICE G - Questionário de Entrevista com os Participantes da Pesquisa
Nome: __________________________________________________
Idade: ________________ Sexo: ________ Período: ____________
Cursou ensino fundamental em:
( ) escola pública estadual
( ) escola pública federal
( ) escola particular
( ) Eja
Formação: __________________
1) Por que escolheu fazer o curso de Licenciatura em Matemática?
2) Por que decidiu participar do Pibid?
3) Você estudou Análise Combinatória na educação básica? E na graduação? O que se
lembra de Análise Combinatória?
4) Você se identifica com este tema? Justifique.
5) Como foi a abordagem dos professores com os quais você estudou este conteúdo? Essa
abordagem contribuiu para sua aprendizagem?
6) No Pibid você já acompanhou um professor que abordou análise combinatória com seus
alunos? Se sim, comente essa experiência.
7) Você conhece algum jogo que aborde o conteúdo de Análise Combinatória? Acredita
que é uma boa metodologia para abordar esse conteúdo?
8) O que espera alcançar ao participar dos encontros?
124
APÊNDICE H - Tabuleiro do Jogo
125
APÊNDICE I - Atividades Aplicadas em Oficina Realizada na III Semana da Matemática do
Ifes/Vitória
ATIVIDADE I - DEFINIÇÃO DOS JOGADORES
O objetivo desta atividade é explorar os conceitos de experimentos aleatórios, espaço amostral
e produto cartesiano a partir da regra do jogo que define a função dos jogadores por
intermédio da soma de pontos obtidos no lançamento simultâneo de dois dados.
Funções dos jogadores:
Função
Soma
Policial
1–4
Motorista
5–8
Diretor
9 – 12
7) Fazendo o lançamento simultâneo de dois dados, quais e quantas são as formas de
sortear:
d) o motorista ?
e) o policial?
f) O diretor do DETRAN?
8) Que jogador tem maior chance de sair? Justifique.
9) Que jogador tem menor chance de sair? Justifique?
10) A distribuição de pontos para assumir as atividades é honesta (tem as mesmas
possibilidades)? Dê sugestões.
11) Quantos comissões são possíveis de formar com 5 jogadores tendo 1 policial, 1 diretor
e 3 motoristas?
12) Quantos comissões são possíveis de formar com 5 jogadores tendo 1 policial, 1 diretor
e 3 motoristas, sabendo que cada participante só pode ocupar a função de policial e
diretor uma única vez?
126
ATIVIDADE II - EXPLORANDO O DESLOCAMENTO ENTRE AS CIDADES
O objetivo desta atividade é explorar os conceitos de Produto Cartesiano e a representação
pelo Diagrama de Árvore a partir do deslocamento entre as cidades.
Casa de interrogação
1) Você está na cidade Cariacica e deseja chegar até a cidade de Guarapari sem passar
por Cariacica e Guarapari novamente. Quantos são os possíveis trajetos?
Acertou: ande até a cidade B
Errou: perde 1 jogada
2) Você está na cidade Serra e deseja chegar até a cidade Vitória. Descreva o menor
trajeto?
Acertou: ande até a cidade B
Errou: perde 1 jogada
3) Você está na cidade de Viana e deseja chegar na cidade de Cariacica sem passar pela
cidade de Vila Velha. Quantos são os possíveis caminhos?
Acertou: avance até a cidade C
Errou: perde 1 jogada
4) Você está na cidade de Vitória e deseja abastecer no posto mais próximo. Quantos são
os possíveis caminhos?
Acertou: ande até a cidade B
Errou: perde 1 jogada
5) Com n cidades, quantas são as formas de combinação entre elas, considerando os
trajetos estabelecidos no jogo?
6) Responda a pergunta anterior desprezando as regras de trânsito do jogo.
7) O motorista sai do ponto de partida e deseja passar por todas as cidades uma única
vez. Quantos são os trajetos possíveis, considerando as regras do jogo?
127
ATIVIDADE III - EXPLORANDO A SORVETERIA
O objetivo desta atividade é explorar os conceitos de Produto Cartesiano e a representação
pelo Diagrama de Árvore a partir da escolha de sabores e recipientes para sorvete.
Temos os seguintes sabores: Morango, prestígio, negresco e brigadeiro.
Cobertura: Chocolate, baunilha e caramelo
Recipiente: copinho, casquinha e cascão.
1) A cobertura é de chocolate. Com duas bolas de sorvete, quantas são as possibilidades?
2) O sorvete deve ser de prestígio e negresco. Quantas são as possibilidades?
3) O recipiente é de copinho. Quantas são as possibilidades?
4) Quantas são as combinações possíveis para quaisquer sabores, cobertura e recipientes.
ATIVIDADE IV - EXPLORANDO A CASA DA MOEDA
O objetivo desta atividade é explorar os conceitos de Produto Cartesiano e a representação
pelo Diagrama de Árvore a partir do lançamento de moedas.
1) Caíram duas moedas no chão. Quais são as possibilidade de que uma face voltada para
cima seja cara?
2) Caíram duas moedas no chão. Quais são as possibilidade de que uma face voltada para
cima seja coroa?
3) Caíram duas moedas no chão. Uma moeda é de prata e a outra é de bronze. Qual a
possibilidade da face da moeda voltada para cima seja cara e esta moeda seja a de
prata?
ATIVIDADE IV - EXPLORANDO A LOJA DE ROUPAS
O objetivo desta atividade é explorar os conceitos de Produto Cartesiano e a representação
pelo Diagrama de Árvore a partir do agrupamento de peças de vestuário.
128
Temos as seguintes peças:
Camisa manga curta ou longa
Calça jeans e short
Chinelo, sapato, tênis, rasteirinha
Meia social e de algodão
1) Você comprou uma camisa, uma calça, um calçado e uma meia. Quantas são as
possibilidades de compras?
129
APÊNCICE J - Questionário para Entrevista Final
1) Que recursos metodológicos você utilizaria para trabalhar com o ensino de Análise
Combinatória?
2) Que contribuições a construção do jogo trouxe para a sua formação pedagógica e
do conteúdo de Análise Combinatória?
3) Que contribuições o Pibid trouxe para sua formação?
4) Você teria sugestões para a organização do Pibid em relação a esta situação?
5) A que você atribui o fato dos professores não trabalharem o conteúdo de Análise
Combinatória desde o ensino fundamental?
6) Você sentiu dificuldade na elaboração do jogo? Quais?
7) Durante a aplicação das oficinas você notou dificuldade dos licenciandos em
resolver as questões?
8) Você acha que o jogo elaborado contribui de alguma forma para a formação inicial
dos professores de matemática? Por quê?
9) Os casos mais comuns de Análise Combinatória tratados na Educação Básica e no
ensino Superior são Arranjos, Combinação e Permutações e Fatorial. A que você
atribui esta prática?
10) Resolva as questões abaixo e classifique-as quanto aos casos de Combinatória.
a) Num restaurante há 3 homens e 4 mulheres. De quantas modos é possível
selecionar um casal homem-mulher ?
b) Quantos são os anagramas da palavra PARE?
c) De quantos modos podemos separar 8 alunos em dois grupos de 4 pessoas cada?
d) Quantos são os anagramas da palavra SEMÁFORO?
e) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo pelo menos duas
mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?
130
f) De quantos modos podemos comprar 3 refrigerantes em um restaurante onde há 5
tipos de refrigerantes?
g) De acordo com a regra do jogo há três funções dos participantes. Sabendo que
todas as funções devem estar presentes no jogo, qual a condição para que se tenha
duas pessoas com a mesma função?