TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
I)
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Roteiro do método de integração por substituição:
1) Defina u como uma função de x (geralmente parte do integrando).
2) Determinar x e dx em função de u e du.
3) Expresse todo o integrando com uma função de u multiplicada por du e tente aplicar uma das
fórmulas básicas de integração. Se isso não for possível, experimente usar uma substituição
diferente.
4) Depois de integrar, expresse o resultado como uma função de x.
EXEMPLOS:
1) Use a substituição u = x + 1 para determinar a integral indefinida
2) Determine
x
∫ (x + 1)
2
dx .
e 3x
∫ 1 + e 3 x dx .
Técnicas de Integração
1
3) Determine a integral indefinida
5
4) Determine
∫
1
∫x
x −1 dx .
x
dx .
2x − 1
Técnicas de Integração
2
EXERCÍCIOS
CALCULE A INTEGRAL.
5
3
2
8
1) ∫ t t − 4 dt → (t − 4) 2 + (t − 4) 2 + C
5
3
7
5
3
2
4
2
2) ∫ x 2 1 + x dx → (1 + x ) 2 − (1 + x ) 2 + (1 + x ) 2 + C
7
5
3
2
2
(x − 1) + 2(x − 1) + ln x − 1 + C
x
dx →
3) ∫
2
x −1
2x
4) ∫
dx → 2(x − 4) + 8 ln x − 4 + C
x−4
x
1
1
dx → −
+
+C
5) ∫
4
2
3
(x + 1)
2(x + 1)
3( x + 1)
x2
2
1
−
+C
x + 1 2( x + 1)2
x
1 ⎞
1⎛
7) ∫
dx → ⎜ ln 3x − 1 −
⎟+C
2
3x − 1 ⎠
9⎝
(3x − 1)
5
3
2
8) ∫ x x − 3 dx → ( x − 3) 2 + 2(x − 3) 2 + C
5
7
1⎛1
5
9) ∫ x 3 3 3x 2 + 5 dx → ⎜ 3x 2 + 5 3 − 3x 2 + 5
6⎝7
4
6)
∫ (x + 1)
3
dx → ln x + 1 +
(
4
10)
x
∫ (x + 4)
2
dx → ln 2 −
0
II)
)
(
)
4
3
⎞
⎟+C
⎠
1
2
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Esse método é obtido através da fórmula da derivada do produto de duas funções.
d
[ f ( x ). g ( x ) ] = d [ f ( x ) ]. g ( x ) + f ( x ). d [g (x )]
dx
dx
dx
Sejam u e v funções deriváveis de x.
∫ u dv = u v − ∫ v du
Roteiro do método de integração por partes:
1) Escolha para dv a parte mais complicada do integrando cuja antiderivada pode ser obtida usando
uma regra básica de integração. Escolha para u a parte restante do integrando.
2) Escolha u a parte do integrando cuja derivada é uma função mais simples do que u. Escolha para
dv a parte restante do integrando.
Técnicas de Integração
3
Escolhas corretas para dois casos de integração por partes:
1ª) ∫ x n e ax dx , fazer u = x n e dv = e ax dx
2ª)
∫x
n
ln xdx , fazer u = ln x e dv = x n dx
EXEMPLOS:
1) ∫ x 5 ln x dx
2)
∫x
3)
∫ ln
2
cos x dx
x dx
Técnicas de Integração
4
4)
∫x
5)
∫e
2
e x dx
x
sen x dx
Técnicas de Integração
5
6)
∫ sec
3
x dx
EXERCÍCIOS
1
1
∫ x e dx → − 2 xe − 4 e + C
2) ∫ x senx dx → − x cos x + 2 x sen x + 2 cos x + C
1
3) ∫ e sen x dx → e ( 2sen x − cos x ) + C
5
−2 x
1)
2
−2 x
−2 x
2
2x
2x
1
1
∫ x sen 5x dx → − 5 x cos 5 x + 25 sen 5 x + x + C
5) ∫ x cos sec x dx → − x cot g x + ln sen x + C
2
4
6) ∫ x ln x dx → x x ln x − x x + C
3
9
4)
2
1⎞
x3 ⎛
7) ∫ x ln x dx → ⎜ ln x − ⎟ + C
3⎝
3⎠
2
e 4t ⎛ 1 ⎞
8) ∫ t e dt →
⎜t − ⎟ + C
4 ⎝ 4⎠
4t
Técnicas de Integração
6
III – INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS DE SENO E COSSENO
1° Caso: ∫ sen n udu ou ∫ cos n udu , onde n é um inteiro ímpar.
Exemplos:
1) ∫ cos 3 x dx
2)
∫ sen
5
xdx
2° Caso: ∫ sen n x cos m x dx , onde pelo menos um dos expoentes é ímpar.
Exemplo:
∫ sen
3
x cos 4 xdx
Técnicas de Integração
7
3° Caso: ∫ sen n udu e ∫ cos n udu , onde n é um inteiro par.
Usaremos as seguintes identidades trigonométricas:
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
e cos 2 x =
.
sen 2 x =
2
2
Exemplo:
∫ sen
2
xdx
4° Caso: ∫ sen n x cos m xdx , ambos m e n são pares.
Exemplo:
∫ sen
2
x cos 2 x dx
,
Técnicas de Integração
8
EXERCÍCIOS
Calcule a integral indefinida
1
1) ∫ sen 4 x cos xdx → sen5 x + C
5
1
2) ∫ cos3 4 x sen 4 xdx → − cos 4 4 x + C
16
1
3) ∫ sen 3 xdx → − cos x + cos3 x + C
3
3
1
1
4) ∫ sen 4 zdz → z − sen 2 z + sen 4 z + C
8
4
32
1
1
1
5) ∫ cos 2 xdx → x + senx + C
2
2
2
1
1
6) ∫ sen 2 x cos3 xdx → sen3 x − sen5 x + C
3
5
1
2
1
7) ∫ sen 5 x cos 2 xdx → − cos3 x + cos5 x − cos7 x + C
3
5
7
1
1
8) ∫ sen 2 3t cos 2 3tdt → t − sen12t + C
8 96
3
8
2
cos 3 x
1
1
dx → ( sen3 x ) 3 − ( sen3x ) 3 + C
9) ∫ 3
2
8
sen 3 x
IV – INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS DE SECANTE, TANGENTE, COSSECANTE E
COTANGENTE
∫ tg u du = ln sec u + C
∫ sec u du = ln sec u + tg u + C
∫ sec u du = tgu + C
∫ sec u tgu du = sec u + C
2
∫ cot g u du = ln sen u + C
∫ cos sec u du = ln cos sec u − cot g u + C
∫ cos sec u du = − cot g u + C
∫ cos sec u cot g u du = − cos sec u + C
2
Com essas fórmulas e as identidades trigonométricas
1 + tg 2u = sec2 u e 1 + cot g 2u = cos sec2 u
podemos calcular integrais da forma
m
n
m
n
∫ tg u sec u du e ∫ cot g u cos sec u du
onde m e n são inteiros não-negativos.
Exemplo:
2
1) ∫ tg x dx
Técnicas de Integração
2)
∫ cot g
2
x dx
9
1° Caso: ∫ tg nudu ou ∫ cot g n udu onde n é um inteiro positivo.
Escrevemos
tg nu = tg n − 2u.tg 2u = tg n − 2u (sec 2 u − 1)
cot g nu = cot g n − 2u. cot g 2u = cot g n − 2u (cos sec2 − 1) .
Exemplos:
1)
∫ tg
2)
∫ cot g
3
x dx
4
3 x dx
Técnicas de Integração
10
2° Caso: ∫ sec n udu ou ∫ cos sec n udu , onde n é um inteiro par positivo.
Escrevemos
(
(n − 2 )
)
sec n u = sec n − 2 u sec 2 u = tg 2u + 1
(
∫ cos sec
6
(n − 2 )
)
cos secn u = cos secn − 2 u cos sec2 u = cot g 2u + 1
Exemplo:
. sec 2 u
2
2
. cos sec2 u
x dx
3° Caso: ∫ sec n udu ou ∫ cos sec n udu , onde n é um inteiro ímpar positivo. Para integrar
potências ímpares de secante e cossecante, usaremos integração por partes.
Exemplo: ∫ sec3 x dx
Técnicas de Integração
11
4° Caso: ∫ tg mu sec n udu ou ∫ cot g mu cos sec n udu , onde n é um inteiro par positivo.
Exemplo:
∫ tg
5
x sec 4 x dx
5° Caso: ∫ tg mu sec n udu ou ∫ cot g mu cos sec n udu , onde m é um inteiro ímpar positivo.
5
7
Exemplo: ∫ tg x sec x dx
Técnicas de Integração
12
6° Caso: ∫ tg mu sec n u du ou ∫ cot g m u cos sec n u du , onde m é um inteiro par positivo e n um
inteiro ímpar positivo.
Exemplo:
∫ tg
2
x sec x dx
EXERCÍCIOS
Calcule a integral indefinida.
1
1) ∫ tg 2 5 xdx → tg 5 x − x + C
5
x
2 x
2) ∫ e tg e dx → tg 2 e x − e x + C
3)
∫ x cot g
2
2 x 2 dx → −
1
1
cot g 2 2 x 2 − x 2 + C
4
2
1
4) ∫ cot g 3t dt → − cot g 2t − ln sen t + C
2
1
1
5) ∫ tg 6 3 x dx → tg 5 3x − tg 3 3x + tg 3 x − x + C
15
9
1
6) ∫ sec 4 x dx → tg 3 x + tg x + C
3
1
7) ∫ coss ec3 x dx → ( ln cos sec x − cot g x − cos sec x cot g x ) + C
2
1
8) ∫ e x tg 4 e x dx → tg 3e x − tg e x + e x + C
3
1
9) ∫ tg 6 x sec4 x dx → tg 9 x + tg x + C
9
1
1
10) ∫ cot g 2 3x cos sec4 3x dx → − cot g 5 3x − cot g 3 3x + C
15
9
2sen w − 1
11) ∫
dw → 2sec w − tg w + C
cos 2 w
Técnicas de Integração
13
V – SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Se o integrando contiver expressões do tipo a 2 − u 2 , a 2 + u 2 , ou u 2 − a 2 , onde a>0, em geral é
possível efetuar a integração através de uma substituição trigonométrica que levará a uma integral
envolvendo funções trigonométricas. A idéia básica para o cálculo de tais integrais é fazer uma
substituição para u que elimine o radical. (u é função de x)
1° caso: O integrando contém uma expressão da forma
Para eliminar o radical
Assim:
a 2 − u 2 , onde a > 0 .
a 2 − u 2 , podemos fazer a substituição u = a senθ , − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 .
a 2 − u 2 = a 2 − a 2 sen 2 θ = a 2 (1 − sen 2 θ ) = a cos 2 θ = a cos θ = a cos θ ,
cosθ ≥ 0quando − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2
A restrição sobre θ serve a dois propósitos: possibilita-nos substituir cosθ por cosθ para simplificar os
⎛x⎞
cálculos e também proporciona que a substituição possa ser escrita como θ = sen −1 ⎜ ⎟ , se necessário.
⎝a⎠
Exemplos:
dx
=
1) ∫
2
x 4 − x2
2)
∫
9 − x2
dx =
x2
Técnicas de Integração
14
2° Caso: O integrando contém uma expressão da forma
variável θ fazendo u = a tgθ , − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 .
Exemplo:
∫
a 2 + u 2 , onde a > 0 . Introduzimos uma nova
x 2 + 5 dx
3° Caso: O integrando contém uma expressão da forma u 2 − a 2 , onde a > 0 . Introduzimos uma nova
variável fazendo u = a sec θ , onde 0 ≤ θ < π / 2 ou π ≤ θ < 3π / 2 .
dx
Exemplo: ∫
x 2 − 25
Técnicas de Integração
15
EXERCÍCIOS
Calcular as integrais.
9 − x2
1⎛
9 − x2
x⎞
1) ∫
dx
→
−
− sin −1 ⎟ + C
⎜
2
2x
2 ⎜⎝
x
3 ⎟⎠
1
dx → ln 4 + x 2 + x + C
2) ∫
2
4+ x
3)
∫
4)
∫
5)
∫
6)
∫
x x 4 − x2
+
+C
2
2
x2 −1
x2 − 1
2
dx
ln
x
x
1
→
+
−
−
+C
x2
x
1
dx → ln x + x 2 − 4 + C
2
x −4
4 − x 2 dx → 2sin −1
x3
9 − x2
(9 − x )
+
2
dx → −9 9 − x
Técnicas de Integração
2
3
3
2
+C
16
VI – FRAÇÕES PARCIAIS
Está técnica envolve a decomposição de uma função racional na soma de duas ou mais funções
racionais simples.
2
1
x+7
Exemplo: Sabendo-se que 2
=
−
o conhecimento das frações parciais à direita
x − x−6 x−3 x+2
x+7
dx
permite-nos integrar o membro esquerdo como segue: ∫ 2
x −x−6
Integração das Funções Racionais por Frações Parciais Quando o Denominador tem
Somente Fatores Lineares
Da definição de função racional, H será racional se H ( x) =
P( x)
, onde P(x) e Q(x) são
Q( x)
polinômios.
Uma função racional chama-se Própria se o grau do numerador é menor que o grau do
denominador. Caso contrário, ela se diz imprópria.
Na integração, é por vezes necessário, separar uma dada fração em uma soma de frações com
denominadores mais simples, ou seja, em uma soma de Frações Parciais.
Frações Parciais (Função Racional Própria)
Para achar a decomposição em frações parciais da função racional própria H ( x) =
P( x)
, devemos
Q( x)
P( x)
= (soma de frações parciais).
Q( x)
Para cada fator linear distinto (ax + b) , o membro direito deve apresentar um termo da forma
fatorar Q(x) e escrever uma equação que tenha a forma
A
.
ax + b
Para cada fator linear repetido (ax + b) n , o membro direito deve apresentar n termos da forma
A1
A2
An
.
+
+ ... +
2
ax + b ( ax + b )
( ax + b ) n
Técnicas de Integração
17
Exemplos:
1) Os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é repetido.
( x + 3)
∫ x 2 + 3x + 2dx
2) Os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são repetidos
5 x 2 + 20 x + 6
∫ x 3 + 2 x 2 + x dx
Técnicas de Integração
18
Frações Parciais (Função Racional Imprópria)
Em uma função racional se o grau do numerador não for menor do que o grau do denominador, temos
uma Fração Imprópria, e nesse caso, dividimos o numerador pelo denominador até obter uma Fração
Própria, isto é, uma fração cujo numerador tenha grau menor do que o grau do denominador.
Por exemplo,
3 x − 23
x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1
, ou seja,
= x2 − 6 + 2
2
x −4
x −4
∫
Exemplo:
3x − 23
x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1
dx ,
dx = ∫ (x 2 − 6)dx + ∫
2
x2 − 4
x −4
3x − 23
é uma função racional própria.
onde 2
x −4
x 2 + 5x + 4
∫ x 2 − 2 x + 1dx
Técnicas de Integração
19
Integração das Funções Racionais por Frações Parciais quando o Denominador
contém Fatores Quadráticos
1 – Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum dos quais se repete.
Se Q(x) tem o fator ax 2 + bx + c, onde b 2 − 4ac < 0 , então, além das frações parciais, a expressão
Ax + B
, onde A e B são constantes a serem determinadas.
para P ( x ) Q ( x ) terá um termo da forma 2
ax + bx + c
x
Tem uma decomposição em
Por exemplo, a função dada por f ( x) =
2
( x − 2)( x + 1)( x 2 + 4)
x
A
Bx + C Dx + E
=
+ 2
+ 2
frações parciais da forma
.
2
2
x +4
( x − 2)( x + 1)( x + 4) x − 2 x + 1
Exemplo:
2x2 − x + 4
∫ x 3 + 4 x dx
Técnicas de Integração
Obs.:
∫x
2
dx
1
⎛x⎞
= tg −1 ⎜ ⎟ + C
2
a
+a
⎝a⎠
20
2 – Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos
(
)
n
Se Q(x) tem um fator ax 2 + bx + c , onde b 2 − 4ac < 0 , então, em vez de uma única fração
A x + B1
A2 x + B2
An x + Bn
+
+ ... +
ocorre na decomposição em frações
parcial, a soma 21
n
2
2
ax + bx + c ax + bx + c
ax 2 + bx + c
P ( x)
. Cada um dos termos da soma pode ser integrado primeiro completando-se o quadrado.
parciais de
Q( x)
(
)
(
)
Exemplos:
1) Escreva a forma da decomposição em frações parciais da função
2) Ache
x3 + x 2 + 1
(
)(
)
x(x − 1) x 2 + x + 1 x 2 + 1
3
.
8 x3 + 13x
dx .
x2 + 2 2
∫ (
Técnicas de Integração
)
21
EXERCÍCIOS
5x − 3
dx → 2 ln x + 1 + 3ln x − 3 + C
1) ∫ 2
x − 2x − 3
6x
12
2) ∫
+C
dx → 6 ln x + 2 +
2
x+2
( x + 2)
3)
4)
5)
6)
7)
2 x3 − 4 x 2 − x − 3
2
∫ x 2 − 2 x − 3 dx → x + 2 ln x + 1 + 3ln x − 3 + C
x+4
2
3
1
∫ x3 + 3x2 − 10 xdx → − 5 ln x + 7 ln x − 2 − 35 ln x + 5 + C
x−2
1
3
1
∫ x3 − 3x2 − x + 3dx → 4 ln x − 1 − 8 ln x + 1 + 8 ln x − 3 + C
1
1 1
1
∫ x4 − x 2 dx → x + 2 ln x − 1 − 2 ln x + 1 + C
2
1
x2
∫ ( x + 1)3 dx → ln x + 1 + x + 1 + 2 ( x + 1)2 + C
x2 + 1
∫ x 2 − 1dx → x − ln x + 1 + ln x − 1 + C
2 x3 + x 2 + 2 x − 1
9) ∫
dx → ln x + 1 + ln x − 1 + tg −1 x + C
4
x −1
−2 x + 4
1
10) ∫ 2
dx → ln x 2 + 1 + tg −1 x − 2 ln x − 1 −
+C
2
x −1
x + 1 ( x − 1)
8)
(
)
Técnicas de Integração
(
)
22