RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR
2015
DA FUVEST-FASE 2.
POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
M01
Na figura, abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado BC do triângulo
ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD = 2r
e o ângulo AĈO é reto. Determine, em função de r,
a) a medida do lado AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento CO .
RESOLUÇÃO:
As figuras 2 e 3 foram retiradas da figura 1.
Como na figura 1, o lado BC do triângulo ABC, tangencia a circunferência de centro em O e
raio r no ponto D, BC  AO . O triângulo ACO é retângulo.
a) FIGURA 2
No triângulo retângulo AEO,
z 2  r 2  9r 2  z 2  9r 2  r 2  z  r 8  z  2r 2 .
Os triângulos retângulos ADB e AOE são semelhantes,
possuem o ângulo agudo  comum, então,
AB AD
y
2r
y
1





 y 2  3r 
AO AE
3r 2r 2
3r
2
y
3r
2
y
3 2r
3 2r
y
2
2
RESPOSTA: A medida do lado AB do triângulo ABC é
3 2r
.
2
b) FIGURA 3
CD é a altura relativa à hipotenusa AO , logo,
h2  2r.r  h2  2r 2
No triângulo retângulo CDO, pelo teorema de Pitágoras:
h2  r 2  x 2  x 2  2r 2  r 2  x  r 3  CO  r 3
RESPOSTA: A medida do segmento CO é r 3 .
M02
Resolva as inequações:
a) x 3  x 2  6 x  0;
b) log2 x3  x 2  6 x  2.


RESOLUÇÃO:
a) x 3  x 2  6x  0  x(x 2  x  6)  0  x( x  3)( x  2)  0
As raízes dos fatores x, (x – 3) e (x + 2), são respectivamente, 0, 3 e – 2.
Estudando a variação do sinal de f ( x)  x( x  3)( x  2)
RESPOSTA: A solução da inequação x 3  x 2  6 x  0 é o conjunto dos números reais
pertencentes ao intervalo S = ] – 2, 0 [  ] 3, +  [ .


b) Condição de existência da inequação log2 x 3  x 2  6 x  2
x  x  6 x  0  x  D  x  R /  2  x  0 ou x  3
3
2




log2 x3  x 2  6 x  2  log2 x3  x 2  6 x  log2 22  x3  x 2  6 x  4  x3  x 2  6 x  4  0
Fazendo y( x)  x  x  6 x  4 , y(x) tem como raíz o número 1, pois,
3
2
y(1)  (1)3  (1)2  6(1)  4  1  1  6  4  0  y( x) é divisível por ( x  1) .
Dividindo y(x) por (x + 1) pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
1
1
1
6
4
1
2
4
0
3
2
2
Logo y( x)  x  x  6x  4  y( x)  ( x  1).(x  2 x  4)
As raízes de y( x)  x 3  x 2  6 x  4 são as das equações ( x  1)  0 e x 2  2 x  4  0
Da primeira equação a raíz é x’ =1.
x2  2x  4  0  x 

2  4  16
2  20
22 5
 x' '  1  5
x
x

2
2
2

 x' ' '  1  5
Da segunda equação as raízes são x''  1  5 e x'' '  1  5
Estudo da variação do sinal de y( x)  x 3  x 2  6 x  4 :


Logo x 3  x 2  6 x  4  0 para x  S1  x  R / x  (1  2 5 ) ou  1  x  (1  2 5 )


A solução de log2 x 3  x 2  6 x  2 é S =D  S1 :


D  x  R /  2  x  0 ou x  3 e S1  x  R / x  (1  2 5 ) ou  1  x  (1  2 5 )


RESPOSTA: S  x  R/  1  x  0 o u 3  x (1  2 5 )
M03
No cubo ABCDEFGH, representado na figura, ao lado,
cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de
origem A que passa por E. Denote por  o ângulo BM̂H e
por x a medida do segmento AM .
a) Exprima cos  em função de x.
b) Para que valores de x o ângulo  é obtuso?
c) Mostre que, se x = 4, então  mede menos do que 45°.
RESOLUÇÃO:
Na figura dada, traçando-se o triângulo BMH, também ficam determinados os triângulos
retângulos BAM, HEM e BDH.
DB é diagonal do quadrado ABCD de lado 1, logo DB = 2 .
Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos:

BAM  MB  1  x 2 .

HEM  MH  1  ( x  1) 2  x 2  2 x  2 .

BDH  HB  1  2
 
2
 3.
Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo BMH:
BH 2  BM 2  MH 2  2.BM . MH . cos  
 3
2
2
2
  1  x 2    x 2  2 x  2   2. 1  x 2 . x 2  2 x  2 . cos  

 










3  1  x 2  x 2  2 x  2  2 1  x 2 . x 2  2 x  2 . cos   2 1  x 2 . x 2  2 x  2 . cos   2 x 2  2 x 
cos  

2( x 2  x)

 e x

Como 1  x 2
2


 2 x  2 são sempre números positivos, cos  
2 1  x2 . x2  2x  2
para  x  R.
Se  é um ângulo obtuso, cos   0 
Sendo
1  x . x
2
2

x2  x
1  x . x
2
2
 2x  2

0.
 2 x  2  0 , cos   0 , quando x 2  x  0 .
As raízes da equação x 2  x  0 são 0 e 1, e como o coeficiente de
x2 é positivo, o seu gráfico tem forma semelhante ao que está ao
lado.
x2  x
1  x . x
2
2
 2x  2

.
RESPOSTA: O ângulo  é obtuso para x pertencente ao intervalo ]0, 1[.
M04
Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule cos(3/8) e sen(3/8).
b) Dado o número complexo z = 2  2  i 2  2 , encontre o menor inteiro n > 0 para o qual
zn seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que possua z como raiz e que não possua raiz
real.
RESOLUÇÃO:
3 1  3  3
o
   e
m 3 Q .
8
2 4 
4
2
 3 
  
 
cos   cos     cos   
.
2
 4 
2 4
4
Cosseno e seno dos arcos metades:

cos a  1
1  cos a
a
a
cos  
e sen   
.
2
2
2
2

 3
cos 
 8

 1  3

  cos  

2 4

  

 3 
2
cos    1

1
2 2
 3
 4 
2


 cos 
2
2
4
 8




2 
 3 
1 
1  cos  


 1  3  
 3 
 4 
 2   2  2  sen  3  
sen    sen     
 
2
2
4
 8 
 8 
 2  4 
2 2
.
2
2 2
2
2 2
2 2
 3π 
 3π 
e se n


2
2
 8 
 8 
RESPOSTA: co s
b) Multiplicando e dividindo o segundo membro da igualdade z =
 2 2

3
3
2  2 
 z  2 cos   isen 
z  2
i


8
8
2
2







 

2  2  i 2  2 por 2:
3
 3 

 k. , com k  Z .
  seja real, sen  n.   0  n.
8
 8 

 
8.3
3
8k
8.
n.  k  n 
 se n  z* , então, 8k é múltiplode 3  o menor valor de n 
8
3
3

Para que z n  2 cos n.
3 
 3
  isen  n.
8 
 8
RESPOSTA: n = 8.

3 
 3
  isen  8.
8


 8
c) z 8  28  cos 8.


   z 8  256cos 3  isen 3   z 8  256  z 8  256  0  o

polinômio de coeficientes inteiros que possua z como raiz e que não possua raiz real é
p( x)  x8  256
RESPOSTA: p (x)  x 8  2 5 6
M05
A função f está definida da seguinte maneira:
 x  n  1, se n  1  x  n
n  1  x, se n  x  n  1
para cada inteiro ímpar n, f ( x)  
a) Esboce o gráfico de f para 0 ≤ x ≤ 6.
b) Encontre os valores de x, 0 ≤ x ≤ 6, tais que f ( x) 
1
.
5
RESOLUÇÃO:
 x  n  1, se n  1  x  n
n  1  x, se n  x  n  1
a) Construção do gráfico de f ( x)  
para 0 ≤ x ≤ 6
 x, se 0  x  1
2  x, se 1  x  2
I) Fazendo n = 1: f ( x)  
 x  2, se 2  x  3
4  x, se 3  x  4
II) Fazendo n = 3: f ( x)  
 x  4, se 4  x  5
6  x, se 5  x  6
III) Fazendo n = 5: f ( x)  
b)
Em (I):
1
f ( x) 
5
Em (III):
Em (II)
para
1
1


x
x




5
5


1
2  x 
x  9


5
5


1
f ( x) 
5
para

x2



4  x 


1
11

x


5
5

1
 x  19

5
5

 1 9 1 1 1 9 2 1 2 9
RE S P OS TA: S   , . , , ,
.
5 5 5 5 5 5 
1
f ( x) 
5
para
1


x  4  5
x 




6  x  1
x 


5


21
5
29
5
M06
Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #.
Uma palavra de comprimento n, n ≥ 1, é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois
símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e #**# é uma palavra de
comprimento 4.
Usando esse alfabeto minimalista,
a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?
b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho
menor ou igual a N?
RESOLUÇÃO:
a) As palavras com comprimento menor que 6, podem ter 1, 2, 3, 4 ou 5 símbolos.
 Comprimento 1: 21 palavras;
 Comprimento 2: 22 = 4 palavras;
 Comprimento 3: 23 = 8 palavras;
 Comprimento 4: 24 = 16 palavras;
 Comprimento 5: 25 = 32 palavras;
 Ao todo são 62 palavras.
RESPOSTA: Podem ser formadas 62 palavras.


b) Os elementos do conjunto 21,22 ,23 ,24 ,......,2 N formam um PG de razão 2 onde a1 = 2
21  2 2  23  2 4  ...... 2 N  106 


2 2N 1
10.105
 106  2 N  1 
 2 N  1  5.105  2 N  500001
2 1
2
N  log 2 500001
210  1024  2 20  1048576
29  512  218  262144
2 20  1048576  219  524288
RESPOSTA: O menor valor de N é 19.