Função real de várias variáveis reais
PROGRAMA DO CURSO
1.
Funções reais de várias variáveis reais.
2.
Diferencial parcial
3.
Campo escalar e campo vetorial
4.
Integrais múltiplas
ATIVIDADES E AVALIAÇÕES
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
HUGHES-HALLET et al. Cálculo a uma e a várias variáveis - 5ª Ed. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC 2011
LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8ª Ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006
BOULOS, P.; ABUD, Z. I. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. São Paulo: Pearson Makron, 2006.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo diferencial e integral. 5ª. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
MUNEM, M. A; FOULIS, D. J. Cálculo. Vol.2. Rio de Janeiro: Guanabara 2, 1982.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo diferencial e integral. Vol.2. São Paulo: McGraw-Hill, 1994.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3ª Ed. Vol.5. São Paulo: Harbra, 1994.
ANTON, H.; BIVENS, I.C.; DAVIS, S.L. Cálculo. 8ª Ed. Vol. 2, São Paulo: Bookman, 2007.
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Função real de várias variáveis reais
1. Função real de várias variáveis reais
1.1 Introdução
No Cálculo Diferencial e Integral III, iremos generalizar os principais conceitos apresentados no Cálculo I:
funções e derivadas. Iremos trabalhar com funções reais de mais de uma variável.
y = f(x)
Cálculo Diferencial e Integral I
y = f(x)
Cálculo Diferencial e Integral II
z = f(x, y)
Cálculo Diferencial e Integral III
𝒅𝒚
𝒅𝒙
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
f(x)
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒛
𝝏𝒚
∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚
Essas funções aparecem desde situações mais simples do nosso cotidiano até em grandes aplicações da engenharia.
Exemplo 1. Qual é a área de um retângulo cujas medidas dos lados são x e y?
Observe que a área (A) desse retângulo depende das medidas de seus lados, ou seja, é função das variáveis x e y.
Temos assim um exemplo de função real de duas variáveis reais. Em matemática escrevemos:
A = f(x,y) sendo que f(x,y) = x.y
Logo temos: f(2,3) = 6, f(3,4) = 12, f(2,1) = 2 etc.
Exemplo 2. (Aplicação na Química) A pressão P (em kPa), o volume V (em litros) e a temperatura T (em Kelvin)
de um mol de um gás ideal estão relacionados pela fórmula PV = 8,31T. Determina a taxa de variação da pressão
desse gás, quando a temperatura é de 300 K e está aumentando com uma velocidade (taxa) de 0,1 K/s e o volume
é de 100 l e aumenta com a taxa de 0,2 l/s. (Resp. A pressão decresce com a taxa de 0,042 kPa/s).
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Função real de várias variáveis reais
Exemplo 3. (Aplicação na Física III)
Suponha que o potencial elétrico (V) gerado por uma carga puntiforme localizada no centro de uma placa de metal
seja dado por:
3
𝑉=
5
√16 + 𝑥 2 + 𝑦 2
3
Determine:
a)
O potencial elétrico no centro da placa.
b) Em quais pontos da placa o potencial elétrico é constante e igual a 1 V (curva equipotencial para V = 1)
c)
A taxa de variação do potencial elétrico no ponto P(-3, 0) na direção do eixo x.
d) O campo elétrico gerado por essa carga puntiforme.
1.2 Funções de duas variáveis
Uma função real de duas variáveis reais é uma lei f que a cada par ordenado (x,y) de uma parte D de R2,
associa um único número real z, o qual será indicado por f(x,y).
D
R

 z = f(x, y)
P(x, y)
Matematicamente escrevemos:
f : D  R2  R
(x, y)  z = f(x, y)
Observações:
I) O conjunto D é chamado domínio da função f.
II) As variáveis x e y são chamadas variáveis independentes e z é a variável dependente.
Exemplos:
a) O volume de um cilindro circular é função da sua altura h e do raio r de sua base.
r
h
V = r2h  V = f(h, r)
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Função real de várias variáveis reais
b) A equação z = x2 + 2y define uma função real de duas variáveis reais.
Observe que z = f(x, y) sendo f(x, y) = x2 + 2y. Para esse exemplo calcule f(2,3) e f(3,2).
Observação: o conceito de função de duas variáveis pode ser estendido para funções de mais de duas variáveis.
1.3 Funções de três variáveis
Uma função real de três variáveis reais, é uma lei que a cada ponto P(x,y,z) de uma região D do espaço,
associa um único número real w, o qual denotaremos por f(x, y, z). Simbolicamente escrevemos:
f : D  R3  R
(x, y, z)  w = f(x, y, z)
D
R
 w = f(x, y, z)

P(x,y,z)
Exemplos:
a) O volume V de um paralelepípedo é função das medidas de suas arestas x, y e z.
V = f(x, y, z)
b) O montante final M resultado de um capital C aplicado durante n meses, com uma taxa de juros de r% ao mês
é dado por M = C(1 +
r n
) , ou seja, M depende, é função das variáveis C, r e n. Assim escrevemos:
100
M = f(C, r, n).
c) Um circuito elétrico simples é constituído por 4 resistores conforme indica a figura abaixo:
A intensidade da corrente (i) depende das resistências R1, R2, R3 e da tensão E.
d) Sendo z =
2x
uma função real de duas variáveis reais, determine f(3,2) e f(3,3).
x y
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