BC0406 – Introdução à Probabilidade e à Estatística – Lista de Exercícios Suplementares 2– outubro 2011
BC0406 – Introdução à Probabilidade e à Estatística
Lista de Exercícios Suplementares 2
3° quadrimestre 2011
Além destes exercícios, reveja os que foram feitos nas aulas. Para estudar mais, faça todos os exercícios relacionados aos assuntos vistos em aula do livro do Hines (referência
[3] da página da disciplina) ou dos Capítulos 3, 4 e 5 do livro do Larson (referência [4]
da página da disciplina). Ambos estão disponíveis em muitos volumes na biblioteca.
Bons estudos!
1. (DEVORE, 2006, p. 79) Uma empresa de exploração de petróleo possui dois projetos ativos, um na Ásia e outro na Europa. Sejam A o evento em que o projeto da Ásia tem sucesso e B o evento em que o projeto da Europa tem sucesso. Suponha que A e B sejam
independentes com P ( A ) = 0, 4 e P ( B ) = 0, 7 .
(a) Se o projeto da Ásia não obtiver sucesso, qual é a probabilidade de o projeto da Europa
também não obtê-lo? Explique seu raciocínio.
(b) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos dois projetos ter sucesso?
(c) Dado que pelo menos um dos dois projetos obteve sucesso, qual é a probabilidade de apenas o projeto da Ásia ter sucesso?
Respostas: (a) 0,3; (b) 0,82; (c) 0,146.
2.
(DEVORE, 2006, p. 79) Se A e B forem eventos independentes, mostre que A ' e B
também são independentes. [Sugestão: Primeiro defina a relação entre P ( A '∩ B ) ,
P ( B ) e P ( A ∩ B ) ].
3. (DEVORE, 2006, p. 88) Uma viga de concreto pode apresentar falha por cisalhamento (C)
ou flexão (F). Suponha que três vigas com defeito sejam selecionadas aleatoriamente e o
tipo de falha seja determinado para cada uma delas. Seja X = número de vigas entre as
três selecionadas que falharam por cisalhamento. Relacione cada resultado no espaço
amostral juntamente com o valor de X associado.
Resposta:
x =0
para FFF;
x =1
para CFF, FCF e FFC;
x =2
1
para CCF, CFC e FCC e
x =3
para CCC.
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4. (DEVORE, 2006, p. 96) Uma instalação de recondicionamento de automóveis especializada em regulagem de motores sabe que 45% de todas as regulagens são feitas em automóveis de quatro cilindros, 40% em automóveis de seis cilindros e 15% em automóveis de
8 cilindros. Seja X = número de cilindros do próximo carro a ser preparado.
(a) Qual é a FMP de X ?
(b) Desenhe um gráfico de linhas e um histograma de probabilidade da FMP da parte (a)
(c) Qual é a probabilidade de o próximo carro a ser regulado ter no mínimo seis cilindros?
Mais de seis cilindros?
Respostas: (a)
pX (4) = 0, 45 , pX (6) = 0, 40 , pX (8) = 0,15 , pX (0) = 0
para
x ≠ 4, 6 ou 8 ; (c) 0,55;
0,15.
5.
(DEVORE, 2006, p. 96) Uma empresa que fornece computadores pelo correio tem seis
linhas telefônicas. Seja X o número de linhas em uso em determinado horário. Suponha
que a FMP de X seja conforme a tabela a seguir.
x
0
1
2
3
4
5
6
pX ( x )
0,10
0,15
0,20
0,25
0,20
0,06
0,04
Calcule a probabilidade de cada um dos seguintes eventos:
(a) {no máximo três linhas estão em uso}
(b) {menos de três linhas estão em uso}
(c) {pelo menos três linhas estão em uso}
(d) {entre duas e cinco linhas, inclusive, estão em uso}
(e) {entre duas e quatro linhas, inclusive, estão em uso}
(f) {pelo menos quatro linhas não estão em uso}
Respostas: (a) 0,70; (b) 0,45; (c) 0,55; (d) 0,71; (e) 0,65; (f) 0,45.
6.
(DEVORE, 2006, p. 104) Um indivíduo que possui um seguro de automóvel de uma determinada empresa é selecionado aleatoriamente. Seja Y o número de infrações ao código
de trânsito para as quais o indivíduo foi reincidente nos últimos 3 anos. A FMP de Y é
y
0
1
2
3
pY ( y )
0,60
0,25
0,10
0,05
(a) Calcule E Y  ;
(b) Suponha que um indivíduo com y infrações reincidentes incorra em uma multa de 100y 2
reais. Calcule o valor esperado da multa.
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Respostas: (a) 0,60; (b) R$110,00.
7. (DEVORE, 2006, p. 104) Uma loja de eletrodomésticos vende três modelos diferentes de
freezers verticais com 13,5, 15,9 e 19,1 pés cúbicos de espaço respectivamente. Seja X =
volume de armazenagem comprado pelo próximo cliente a comprar um freezer. Suponha
que a FMP de X seja
x
13,5
15,9
19,1
pX ( x )
0,2
0,5
0,3
(a) Calcule E  X  , E  X 2  e σX2 .


(b) Se o preço de um freezer com x pés cúbicos de capacidade for 25x − 8, 5 , qual será o
valor esperado do preço pago pelo próximo cliente a comprar um freezer?
(c) Qual é a variância deste preço?
(d) Suponha que, apesar de a capacidade nominal de um freezer ser X , a capacidade real seja
H ( X ) = X − 0, 001X 2 . Qual é o valor esperado da capacidade real do freezer comprado
pelo próximo cliente?
Respostas: (a) 16,38; 272,298; 3,9936; (b) 401; (c) 2,496; (d) 13,66.
8. (DEVORE, 2006, p. 111) Use a tabela de binomiais para obter as probabilidades a seguir:
(a) B ( 4;10, 0.3 )
(b) b ( 4;10, 0.3 )
(c) b ( 6;10, 0.7 )
(d) P ( 2 ≤ X ≤ 4 ) quando X ∼ Bin ( 10, 0.3 )
(e) P ( 2 ≤ X ) quando X ∼ Bin ( 10, 0.3 )
(f) P ( X ≤ 1 ) quando X ∼ Bin ( 10, 0.7 )
(g) P ( 2 < X < 6 ) quando X ∼ Bin ( 10, 0.3 )
Respostas: (a) 0,850; (b) 0,200; (c) 0,200; (d) 0,701; (e) 0,851; (f) 0,000; (g) 0,570
9. (DEVORE, 2006, p. 117) Doze refrigeradores de um determinado tipo foram devolvidos
ao distribuidor por causa de um ruído audível, oscilante e agudo que faziam quando em
funcionamento. Suponha que sete desses refrigeradores possuam um compressor defeituoso e os outros cinco tenham problemas graves. Se os refrigeradores forem examinados em
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ordem aleatória, seja X o número de refrigeradores examinados entre os seis primeiros
com compressores defeituosos. Calcule os seguintes valores:
(a) P ( X = 5 )
(b) P ( X ≤ 4 )
(c) A probabilidade de X exceder o valor da média em mais de um desvio padrão.
(d) Considere uma entrega de 400 refrigeradores, dos quais 40 possuem compressores com
defeito. Se X for o número de compressores defeituosos entre 15 refrigeradores selecionados
aleatoriamente, descreva uma forma menos cansativa de calcular (ao menos aproximadamente) P ( X ≤ 5 ) em vez de usar a FMP hipergeométrica.
Respostas: (a) 0,114; (b) 0,879; (c) 0,121; (d) Use a distribuição com
n = 15 , p = 0,10 .
10. (DEVORE, 2006, p. 121) Seja X o número de falhas na superfície de uma caldeira de um
determinado tipo selecionada aleatoriamente, com distribuição de Poisson de parâmetro
λ = 5 . Use tabelas para calcular as probabilidades a seguir:
(a) P ( X ≤ 8 )
(b) P ( X = 8 )
(c) P ( 9 ≤ X )
(d) P ( 5 ≤ X ≤ 8 )
(e) P ( 5 < X ≤ 8 )
Respostas: (a) 0,932; (b) 0,065; (c) 0,068; (d) 0,492; (e) 0,251.
11. (DEVORE, 2006, p. 131) Seja X o tempo que um livro de uma reserva de duas horas, na
biblioteca de uma faculdade, é examinado por um estudante selecionado aleatoriamente e
suponha que X tenha função densidade
 0.5x , 0 ≤ x ≤ 2
fX ( x ) = 
.
 0, caso contrário

Calcule as probabilidades a seguir:
(a) P ( X ≤ 1 )
(b) P ( 0.5 ≤ X ≤ 1.5 )
(c) P ( 1.5 < X )
Respostas: (a) 0,25; (b) 0,50; (c) 0,4375.
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12. (DEVORE, 2006, p. 49) A FDA da duração da retirada X descrita no exercício anterior
é:
 0, x < 0
 2
x
FX ( x ) =  , 0 ≤ x < 2
 4
 1, 2 ≤ x

Use tais condições para calcular os itens a seguir:
(a) P ( X ≤ 1 )
(b) P ( 0.5 ≤ X ≤ 1 )
(c) P ( X > 0.5 )
(d) a mediana da duração da retirada µɶ [resolva 0.5 = F ( µɶ ) ]
(e) F ' ( x ) para obter a função densidade f ( x )
(f) E  x 
(g) σX2 e σX
(h) se o aluno que retira o livro tem uma taxa a pagar h ( X ) = X 2 , quando a duração da retirada é X , calcule o valor esperado da taxa E  h ( X )  .
Respostas: (a) 0,25; (b) 0,1875; (c) 0,9375; (d) 1,4142; (e)
f (x ) =
x
2
para
0 < x < 2 ; (f) 1,33; (g) 0,222; 0,471; (h) 2.
13. (DEVORE, 2006, p. 139) “Tempo de avanço” no fluxo de tráfego é o tempo entre o instante em que um carro termina de passar por um ponto fixo e o instante em que o próximo
carro começa a passar por esse ponto. Seja X = o tempo de avanço entre dois carros consecutivos selecionados aleatoriamente (em segundos). Suponha que, em certo ambiente de
tráfego, a distribuição do tempo de avanço tenha a forma
 k
 ,x > 1
fX ( x ) =  x 4
.

 0, x ≤ 1
(a) Determine o valor de k para o qual fX ( x ) é uma FDP legítima.
(b) Obtenha a função de distribuição acumulada.
(c) Use a FDA de (b) para determinar a probabilidade de o tempo de avanço exceder 2 segundos e também a probabilidade de ele estar entre 2 e 3 segundos.
(d) Obtenha o valor médio do tempo de avanço e seu desvio padrão.
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(e) Qual é a probabilidade de o tempo de avanço estar dentro de um desvio padrão em relação
à média?
Respostas: (a) 3; (b) 0 para
x ≤ 1 , 1 − x3
para
x > 1 , (c) 0,125; 0,088; (d) 1,5; 0,866; (e) 0,924.
14. (DEVORE, 2006, p. 149) Seja Z uma VA normal. Em cada caso, determine o valor da
constante c que torna correta a declaração de probabilidade.
(a) Φ (c ) = 0, 9838 .
(b) P ( 0 ≤ Z ≤ c ) = 0, 291
(c) P (c ≤ Z ) = 0,121
(d) P ( −c ≤ Z ≤ c ) = 0, 668
(e) P (c ≤ Z
) = 0, 016
Respostas: (a) 2,14; (b) 0,81; (c) 1,17; (d) 0,97; (e) 2,41.
15. (DEVORE, 2006, p. 149) Determine z α para os itens a seguir:
(a) α = 0, 0055
(b) α = 0, 09
(c) α = 0, 663
Respostas: (a) 2,54; (b) 1,34; (c) -0,42.
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