BC0406 – Introdução à Probabilidade e à Estatística – Lista de Exercícios Suplementares 3– novembro 2011
BC0406 – Introdução à Probabilidade e à Estatística
Lista de Exercícios Suplementares 3
3° quadrimestre 2011
Além destes exercícios, reveja os que foram feitos nas aulas. Para estudar mais, faça todos os exercícios relacionados aos assuntos vistos em aula dos Capítulos 6 e 7 do livro do
Hines (referência [3] da página da disciplina) ou do Capítulo 5 do livro do Larson (referência [4] da página da disciplina). Ambos estão disponíveis em muitos volumes na biblioteca.
Bons estudos!
1. (DEVORE, 2006, p. 139) Seja X o tempo que um livro de uma reserva de duas horas, na
biblioteca de uma faculdade, é examinado por um estudante selecionado aleatoriamente e
suponha que X tenha FDA:
 0, x < 0
 2
x
FX ( x ) =  , 0 ≤ x < 2
 4
 1, 2 ≤ x

.
Use tais condições para calcular os itens a seguir:
(a) P ( X ≤ 1 )
(b) P ( 0.5 ≤ X ≤ 1 )
(c) P ( X > 0.5 )
(d) a mediana da duração da retirada µɶ [resolva 0.5 = F ( µɶ ) ]
(e) F ' ( x ) para obter a função densidade f ( x )
(f) E  x 
(g) σX2 e σX
(h) se o aluno que retira o livro tem uma taxa a pagar h ( X ) = X 2 , quando a duração da retirada é X , calcule o valor esperado da taxa E  h ( X )  .
Respostas: (a) 0,25; (b) 0,1875; (c) 0,9375; (d) 1,4142; (e)
f (x ) =
1
x
2
para
0 < x < 2 ; (f) 1,33; (g) 0,222; 0,471; (h) 2.
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2.
(DEVORE, 2006, p. 139) “Tempo de avanço” no fluxo de tráfego é o tempo entre o instante em que um carro termina de passar por um ponto fixo e o instante em que o próximo
carro começa a passar por esse ponto. Seja X = o tempo de avanço entre dois carros consecutivos selecionados aleatoriamente (em segundos). Suponha que, em certo ambiente de
tráfego, a distribuição do tempo de avanço tenha a forma
 k
 ,x > 1
fX ( x ) =  x 4
.

0,
x
≤
1

(a) Determine o valor de k para o qual fX ( x ) é uma FDP legítima.
(b) Obtenha a função de distribuição acumulada.
(c) Use a FDA de (b) para determinar a probabilidade de o tempo de avanço exceder 2 segundos e também a probabilidade de ele estar entre 2 e 3 segundos.
(d) Obtenha o valor médio do tempo de avanço e seu desvio padrão.
(e) Qual é a probabilidade de o tempo de avanço estar dentro de um desvio padrão em relação
à média?
Respostas: (a) 3; (b) 0 para
x ≤ 1 , 1 − x −3
para
x > 1 , (c) 0,125; 0,088; (d) 1,5; 0,866; (e) 0,924.
3. (DEVORE, 2006, p. 139) Seja X o espaço ocupado por um produto colocado em um
recipiente de 1 pé cúbico. a FDP de X é
 90x 8 ( 1 − x ) , 0 < x < 1
fX ( x ) = 

0, caso contrário

(a) Desenhe o gráfico da FDP. Determine então a FDA de X e desenhe seu gráfico.
(b) Qual é a P ( X ≤ 0, 5 ) [isto é, FX ( 0, 5 ) ]?
(c) Usando o item (a), qual é P ( 0, 25 < X ≤ 0, 5 ) ? Qual é P ( 0, 25 ≤ X ≤ 0, 5 ) ?
(d) Qual é o 75o percentil da distribuição?
(e) Calcule E  X  e σX .
(f) Qual é a probabilidade de X estar a mais de 1 desvio padrão em relação ao valor da média?
Respostas: (a)
FX ( x ) = 0
para
 x 9 x 10 
,
x ≤ 0 , = 90  −
 9

10


para
0 < x < 1,
1 para
x ≥ 1;
(b) 0,0107; (c)
0,0107;0,0107; (d) 0,9036; (e) 0,818; 0,111; (f) 0,3137.
4.
(DEVORE, 2006, p. 149) Seja Z uma VA normal padrão. Em cada caso, determine o
valor da constante c que torna correta a declaração de probabilidade.
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(a) Φ (c ) = 0, 9838 .
(b) P ( 0 ≤ Z ≤ c ) = 0, 291
(c) P (c ≤ Z ) = 0,121
(d) P ( −c ≤ Z ≤ c ) = 0, 668
(e) P (c ≤ Z
) = 0, 016
Respostas: (a) 2,14; (b) 0,81; (c) 1,17; (d) 0,97; (e) 2,41.
5.
(DEVORE, 2006, p. 149) Determine z α para os itens a seguir:
(a) α = 0, 0055
(b) α = 0, 09
(c) α = 0, 663
Respostas: (a) 2,54; (b) 1,34; (c) -0,42.
6. (DEVORE, 2006, p. 150) Suponha que a força que age sobre uma coluna que ajuda a suportar um edifício tenha distribuição normal com média 15,0 kips e desvio padrão 1,25
kips. Qual é a probabilidade de a força
(a) ser no máximo 18 kips?
(b) estar entre 10 e 12 kips?
(c) diferir de 15,0 kips por no máximo 2 desvios padrão?
Respostas: (a) 0,9918; (b) 0,0082; (c) 0,9544.
7. (DEVORE, 2006, p. 157) Calcule os dados a seguir:
(a) Γ ( 6 ) ;
5
(b) Γ   ;
 2 
(c) F ( 4;5 ) (a função gama incompleta)
(d) F ( 5; 4 )
(e) F ( 0; 4 )
Respostas: (a) 120; (b) 1,329; (c) 0,371; (d) 0,735; (e) 0.
8. (DEVORE, 2006, p. 157) Suponha que o tempo gasto por um aluno selecionado aleatoriamente que usa um terminal conectado a uma instalação de um computador com timesharing tem uma distribuição gama com média de 20 minutos e variância de 80 min2.
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(a) Quais são os valores de α e β ?
(b) Qual é a probabilidade de um aluno usar o terminal por no máximo 24 minutos?
(c) Qual é a probabilidade de um aluno passar entre 20 e 40 minutos usando o terminal?
Respostas: (a) 5, 4; (b) 0,715; (c) 0,411.
9. (DEVORE, 2006, p. 157) Seja X = tempo entre duas chegadas sucessivas no guichê de
atendimento rápido de um banco local. Se X possui distribuição exponencial com λ = 1
(que é idêntica a uma distribuição gama-padrão com α = 1 ), calcule os itens a seguir:
(a) o tempo esperado entre duas chegadas sucessivas
(b) o desvio padrão do tempo entre chegadas sucessivas
(c) P ( X ≤ 4 )
(d) P ( 2 ≤ X ≤ 5 )
Respostas: (a) 1; (b) 1; (c) 0,982; (d) 0,129.
10. (DEVORE, 2006, p. 188) Um posto de gasolina tem ilhas de autosserviço e de serviço
completo. Em cada ilha, há uma única bomba de gasolina comum com duas mangueiras.
Sejam X = número de mangueiras em uso na ilha de autosserviço em um momento específico e Y = número de mangueiras na ilha de serviço completo em uso naquele mesmo momento. A FMP de X e Y é mostrada na tabela a seguir:
y
pX ,Y ( x , y )
0
1
2
x
0
1
2
0,10
0,08
0,06
0,04
0,20
0,14
0,02
0,06
0,30
(a) Qual é a P ( X = 1 e Y = 1 ) ?
(b) Calcule P ( X ≤ 1 e Y ≤ 1 ) .
(c) Descreva o evento { X ≠ 0 e Y ≠ 0 } e calcule a sua probabilidade.
(d) Calcule a FMP marginal de X e Y . Usando pX ( x ) , qual é a P ( X ≤ 1 ) ?
(e) X e Y são VAs independentes? Explique.
Respostas:
(a)
0,20;
(b)
0,42;
(c)
pX ( x ) = 0,16;
0, 34;
0, 50
pY ( y ) = 0, 24;
0, 38;
0, 38
Pelo
menos
uma
mangueira
utilizada
x = 0,
para
para
é
y = 0,
pX ,Y ( 0, 0 ) ≠ pX ( 0 ) pY ( 0 ) , por exemplo.
4
1,
2,
1,
em
cada
bomba:
2
respectivamente;
0,70;
(d)
respectivamente;
0,50.
(e)
Não;
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11. (DEVORE, 2006, p. 196) Um determinado mercado tem uma fila de caixa expressa e uma
fila de caixa super-expressa. Represente por X1 o número de clientes na fila da caixa expressa em um determinado horário do dia e por X 2 o número de clientes na fila da caixa
super-expressa no mesmo horário. Suponha que a FMP conjunta de X1 e X 2 seja dada na
tabela a seguir.
x2
0
1
2
3
4
x1
0
0,08
0,06
0,05
0,00
0,00
1
0,07
0,15
0,04
0,03
0,01
2
0,04
0,05
0,10
0,04
0,05
3
0,00
0,04
0,06
0,07
0,06
A diferença entre o número de clientes na fila da caixa expressa e o número de clientes na
caixa super-expressa é X1 − X 2 . Calcule a diferença esperada.
Resposta: 0,15.
12. (DEVORE, 2006, p. 205) Uma determinada marca de sabão para máquina de lavar louça é
vendida em três tamanhos: 25 oz, 40 oz e 65 oz. Vinte por cento de todos os compradores
escolhem a caixa de 25 oz, 50% escolhem a caixa de 40 oz e os 30% restantes escolhem a
caixa de 65 oz. Sejam X1 e X 2 os tamanhos dos pacotes escolhidos por dois compradores
selecionados independentemente.
(a) Determine a distribuição de X , calcule E ( X ) e compare a µX .
(b) Determine a distribuição da amostragem da variância da amostra S 2 , calcule E ( S 2 ) e
compare com σX2 .
Respostas: (a)
x
25
32,5
40
45
52,5
65
px ( x )
0,04
0,20
0,25
0,12
0,30
0,09
E  X  = µX = 44, 5
(b)
s2
0
112,5
312,5
800
ps 2 ( s 2 )
0,38
0,20
0,30
0,12
E  S 2  = 212, 25 = σX2
 
5
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13. (DEVORE, 2006, p. 205) Sabe-se que 80% de todos os zip drivers de marca A funcionam
de forma satisfatória durante o período de garantia (são “sucessos”). Suponha que n = 10
drivers sejam selecionados aleatoriamente. Seja X = número de sucessos na amostra. A
estatística
X
é a proporção da amostra (fração) de sucessos. Obtenha a distribuição de
n
amostragem desta estatística. [Sugestão: um valor possível de
X
é 0,3, correspondente a
n
X = 3 . Qual é a probabilidade desse valor (que tipo de variável aleatória é X )?]
Resposta:
Proporção
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Probabilidade
0,000
0,000
0,000
0,001
0,005
0,027
0,088
0,201
0,302
0,269
0,107
14. (DEVORE, 2006, p. 212) O diâmetro interno de um anel de pistão selecionado casualmente é uma VA com valor médio 12 cm e desvio padrão 0,04 cm. Suponha que a distribuição do diâmetro seja normal e que se tome uma amostra aleatória de n anéis. Seja X o
diâmetro médio para esta amostra.
(a) Calcule P ( 11, 99 ≤ X ≤ 12, 01 ) quando n = 16 .
(b) Qual é a probabilidade de o diâmetro médio da amostra exceder 12,01 quando n = 25 ?
Respostas: (a) 0,6826; (b) 0,1056.
15. (DEVORE, 2006, p. 216) Sejam X1 , X 2 e X 3 os tempos necessários para realizar três
reparos sucessivos em determinada oficina. Suponha que sejam VAs normais independentes com valores esperados µ1 , µ2 e µ3 e variâncias σ12 , σ22 e σ32 , respectivamente.
(a) Se µ1 = µ2 = µ3 = 60 e σ12 = σ22 = σ32 = 15 , calcule P ( X1 + X 2 + X 3 ≤ 200 ) .
Qual é a P ( 150 ≤ X1 + X 2 + X 3 ≤ 200 ) ?
(b) Usando os µi s e σi s da parte (a), calcule P ( 55 ≤ X ) e P ( 58 ≤ X ≤ 62 ) .
(c) Usando os µi s e σi s da parte (a), calcule P ( −10 ≤ X1 − 0, 5X 2 − 0, 5X 3 ≤ 5 ) .
(d) Se
µ1 = 40 ,
µ2 = 50 ,
µ3 = 60 ,
σ12 = 10 ,
P ( X1 + X 2 + X 3 ≤ 160 ) e P ( X1 + X 2 ≥ X 3 ) .
Respostas: (a) 0,9986; 0,9986; (b) 0,9015; 0,3970; (c) 0,8357; (d) 0,9525; 0,0003.
6
σ22 = 12
e
σ32 = 14 , calcule