MUITO PRÓXIMO PARA SER CONSIDERADO CONFORTÁVEL
Suponha que duas rotas aéreas, uma delas no sentido leste e outra no sentido norte, cruzam-se
a uma altitude de 10.700 m no ponto J (Figura 1). Caso não fosse adotado um sistema de controle de tráfego aéreo, os aviões da rota leste chegariam ao ponto J conforme uma distribuição
de Poisson com taxa média de chegadas λE (por minuto). Da mesma forma, os aviões que utilizam a rota norte chegariam ao local de cruzamento das rotas também segundo uma distribuição de Poisson, com taxa média de chegadas λN. Todos os aviões movem-se com uma velocidade de 960 km/h ao longo de suas rotas.
Rota norte
J
Rota leste
Figura 1: Cruzamento das rotas leste e norte no ponto J
O Departamento Federal de Aviação nos Estados Unidos (FAA) considera como situação potencial de conflito quando dois aviões voam a uma mesma altitude e aproximam-se um
do outro a uma distância menor que 8 km. Nesses casos, se um dos aviões desviar ligeiramente
de sua rota, pode colidir com o avião da outra rota. Levando em consideração as normas de
segurança do FAA, calcule a probabilidade de ocorrência dos três eventos seguintes:
•
E: a chance de um avião da rota leste que acabou de chegar ao ponto J entrar em conflito
nesse exato momento com um avião da rota norte.
•
N: a chance de um avião da rota norte que acabou de chegar ao ponto J entrar em conflito
nesse exato momento com um avião da rota leste.
•
EE: a chance de um avião da rota leste que cruza o ponto J entrar em conflito a qualquer
momento com um avião da rota norte, que também passa pelo ponto J.
Cálculo de P(E):
Para encontrar P(E), devemos observar que o conflito ocorre se, no instante em que o avião da
rota leste chegar em J, existir um avião da rota norte num raio de 8 km, medido a partir do
ponto J. Considerando E* como o complemento de E, E* reflete situações em que não existem
aviões da rota norte voando num raio de 8 km do ponto J. Portanto, é mais simples determinar
P(E*) inicialmente e, em seguida, determinar P(E) como sendo P(E) = 1 – P(E*).
Considerando que não sabemos se existe algum avião voando sobre o ponto J, como
podemos determinar se existe alguma aeronave voando a qualquer ponto localizado a 8 km do
ponto J? Podemos utilizar na solução do problema a velocidade dos aviões, igual a 960 km/h,
ou 16 km/min. Portanto, um avião que num dado instante encontra-se até 8 km ao norte do
ponto J, passou por esse ponto dentro do intervalo de tempo de 30 segundos antes do instante
em questão. Da mesma forma, se um avião dessa mesma rota estiver voando ao Sul do ponto
J, chegará neste ponto dentro dos próximos 30 segundos.
Assim, se um avião da rota leste chegar ao ponto J no instante t, existirá um conflito se
um avião da rota norte passar por J entre t – 0,5 (minutos) e t + 0,5. Por outro lado, não existirá conflito se o avião da rota norte chegar ao ponto J fora do intervalo [t – 0,5; t + 0,5].
Portanto, podemos definir P(E*) como sendo a probabilidade que nenhum avião da rota norte chegue em J no intervalo [t – 0,5; t + 0,5]), ou seja:
P(E*) = exp(–λN)
Portanto, a probabilidade P(E) é dada por:
P(E) = 1 – exp(–λN)
Cálculo de P(N):
O raciocínio para determinar P(N) é similar ao utilizado para a determinação de P(E):
P(N) = 1 – exp(–λE)
Deve ser notado que, apesar de cada conflito envolver um avião da rota leste e outro
da rota norte, as probabilidades P(E) e P(N) podem ser diferentes. Por exemplo, se λN > λE,
um número maior de aviões da rota norte passaria pelo ponto J no intervalo de uma hora. Assim, mesmo que um número igual de aviões de ambas as rotas entrem em situações de conflito,
a porcentagem de conflitos no ponto J para os aviões da rota norte é menor do que a porcentagem de conflitos para os aviões da rota leste. As probabilidades P(E) e P(N) refletem essas
porcentagens.
Cálculo de P(EE):
O leitor deve estar se perguntando: qual é a diferença entre P(EE) e P(E)? Na verdade, as definições dos eventos são ligeiramente distintas. Enquanto P(E) reflete um conflito que ocorre
somente no momento que um avião da rota leste chega no ponto J, P(EE) reflete o conflito
leste/norte, considerando ainda a possibilidade de que o conflito já tenha ocorrido (ou esteja
para acontecer) quando o avião da rota leste passar por J. No entanto, esta distinção é realmente relevante?
Sim, é. Suponha que quando um avião da rota leste chega em J, exista um avião da rota
norte voando a 9,6 km ao norte de J. Nesse caso, os dois aviões não estão em conflito. Entretanto, 12 segundos antes deste instante, quando o avião da rota norte estava a 6,4 km ao norte
de J, o avião da rota Leste estava a 3,2 km a oeste do ponto J. O teorema de Pitágoras nos
mostra que a distância entre os aviões nesse instante é
6,4 2 + 3,2 2 = 7,2 km, ou seja, os avi-
ões estavam de fato em conflito, mesmo que 12 segundos depois não estejam mais.
Combinando geometria e cálculo, pode-se chegar a seguinte conclusão: o evento EE
ocorre se, no momento que o avião da rota leste chega em J, existir uma aeronave na rota norte a
8,02 + 8,02 = 11,3 km ao norte ou ao sul do ponto J. Caso o avião da rota norte esteja
entre 8,0 e 11,3 km do ponto J, o conflito já terminou ou ainda não começou.
Portanto, como os aviões voam 16 km a cada minuto, levam 0,71 minutos para percorrer 11,3 km. Assim, sempre que o avião da rota leste chegar no ponto J no instante t, existirá
conflito caso o avião da rota norte passar por J no intervalo de tempo [t – 0,71; t + 0,71]. Consequentemente:
P(EE) = 1 – P(EE*) = 1 – exp(–1,42λE)
Neste exercício foi considerada a inexistência de qualquer tipo de controle de tráfego
aéreo, e que as chegadas em J ocorram aleatoriamente segundo um processo Poissoniano. Na
verdade, a passagem de aeronaves por pontos de potencial conflito nunca seriam realizadas
simplismente ao acaso. Os cálculos refletem não somente a frequência em que situações potencialmente perigosas poderiam acontecer em função do nível de atividade do sistema de
tráfego aéreo, mas também o grau de responsabilidade dos controladores de tráfego ao executar uma tarefa de tamanha importância. A destreza com que os controladores executam tal
tarefa é sugerida pelas estatísticas de acidentes aéreos: na década de 1990, 5 bilhões de passageiros voaram em vôos comerciais nos Estados Unidos. O número de fatalidades em decorrência de colisões em pleno ar foi zero.