MÉTODOS DE LOGÍSTICA E PLANEJAMENTO DE TRANSPORTES
ELABORADO POR JAMES S. KANG
o
Respostas da lista de exercícios n 2
OUTONO 2001
17/10/2001
1. (Kang, 2001)
Considere que as taxas de chegadas dos aviões das rotas norte e nordeste são, respectivamente, λN/hora e λNE/hora.
(a) Seja A o evento em que um avião da rota nordeste encontra-se a 8 km de J quando um
avião da rota norte chega no ponto J.
P(A) = 1 – P(Ac)
= 1 – P(nenhum avião da rota nordeste a 8 km de J)
8
= 1 – P(nenhum avião da rota nordeste passa no intervalo de tempo [t − 960
,t +
8
960
]),
sendo t o instante em que o avião da rota norte chega em J. Considerando a propriedade da
perda de memória de processos Poissonianos, t é irrelevante para o cálculo da probabilidade. Utilizando a fórmula para cálculo do número de chegadas Poissonianas durante um intervalo de duração ∆t, P(N (t ) = k ) =
( λ∆t )k e − λ∆t
k!
, obtemos
P(A) = 1 – P(nenhum avião da rota nordeste passa no intervalo de tempo ∆t =
(λ 16 )0 e− (λ
= 1 − NE 960
16
NE 960
16
960
)
)
0!
(λ 1 )0 e −(λ
= 1 − NE 60
1
NE 60
)
0!
=1 − e
−
(
)
1
λ NE 60
.
(b) Seja B o evento em que um avião da rota norte encontra-se a 8 km de J quando um avião
da rota nordeste chega no ponto J. Seguindo o mesmo raciocínio utilizado em (a)
P(B) = 1 – P(nenhum avião da rota norte passa no intervalo de tempo ∆t =
0 − (λ
λ N 601 ) e
(
=1 −
1
N 60
16
960
)
)
0!
=1 − e
(
− λN
1
60
)
.
(c) Inicialmente definimos uma distância D, medida a partir de J, sobre o eixo da rota nordeste, de tal forma que se nenhum avião desta rota estiver a D quilômetros de J quando um
avião da rota norte chega em J, o avião da rota norte nunca estará a 8 km de um avião da
rota nordeste nas proximidades de J (veja a figura a seguir).
1
N
NE
Q
x
D
J
D
x
45o
S
R
Considere inicialmente o caso em que um avião da rota nordeste chega no ponto Q quando
o avião da rota norte chega em J. Suponha em seguida que o avião da rota norte ainda não
chegou no ponto J e está na ponto S que localiza-se x quilômetros ao sul de J. Como os aviões de ambas as rotas viajam com uma mesma velocidade, o avião da rota nordeste está
passando pelo ponto T neste momento. Portanto, a distância entre os dois aviões, L(x) é
dada por
L(x ) = ST = x 2 + (D − x ) − 2 x (D − x )cos
2
=
(2 − 2 )x − (2 − 2 )Dx + D
2
2
3π
4
.
Nos queremos obter então a menor distância L(x) entre os aviões das duas rotas, o que pode ser obtido minimizando L(x). Isto é equivalente a minimizar L(x)2:
dL(x )
D
=2 2− 2 x− 2− 2 D =0⇒ x = .
dx
2
(
2
) (
)
Portanto, a menor distância possível L* é
D
L = L  =
2
*
(
)
2
(
)
D
D
2 − 2   − 2 − 2 D2 + D2 =
2+ 2
2
2
Para que L* seja maior que 8 km,
D
2+ 2 >8⇒ D >
2
16
2+ 2
⇒ D > 8,66 km.
Isto significa que se nenhum avião da rota nordeste estiver a 8,66 km do ponto J no momento em que um avião da rota norte chega em J, a distância entre o avião da rota norte e
o avião da rota nordeste nas proximidades de J serão sempre maiores que 8 km.
Chamando então de P(C) a probabilidade de que um avião da rota norte nunca esteja a
2
8 km de um avião da rota nordeste nas proximidades de J,
P(C) = 1 – P(Cc)
,32
= 1 – P(nenhum avião da rota nordeste passa no intervalo de tempo ∆t = 17960
=1 − e
(
,32
− λ NE 17960
)
.
(d) Seja E o evento em que existem exatamente 2 aviões da rota nordeste voando a 8 km de J.
Seja F o evento em que os dois aviões desta rota estejam no mínimo a 8 km um do outro.
Queremos então calcular P(E∩F), que pode ser calculada através da distribuição de Poisson. inicialmente, calculamos P(E):
P(E) = P(dois aviões da rota nordeste passam no intervalo de tempo ∆t =
=
(λ NE 601 )2 e− (λ
1
NE 60
16
960
)
)
2!
Em seguida, calculamos P(F |E). Chamando de X1 e X2 as respectivas localizações dos dois
aviões, P(F |E) = P(|X1 – X2 | ≥ 8), dado que X1 e X2 estão distribuídas num intervalo de
16 km. Como X1 e X2 estão uniformemente distribuídas no intervalo, podemos calcular
P(|X1 – X2 | ≥ 8) geometricamente, como sendo razão entre a soma das áreas dos dois triângulos hachurados (figura abaixo) em relação ao quadrado de 16 × 16, ou seja
P ( X 1 − X 2 ≥ 8) =
2 × 12 ⋅ 82
16
2
=
1
4
X2
16
8
0
8
X1
16
Portanto,
( )e
P(E ∩ F ) = P(F | E )P(E ) =
λ NE 2
60
8
−
λ NE
60
.
2. (Kang, 2001)
(a) A taxa de risco de morte por vôo, Q, para o período de 10 anos entre 01/09/1991 e
31/08/2001 é
3
∑
Q=
N
x
i =1 i
N
=
0 ,60 + 0,71 + 1,00 + 1,00 + 0,08
= 6,16 × 10−8
5,5 × 106 × 10
(b) A taxa de risco de morte por vôo, Q, para o período de 10 anos entre 01/09/1991 e
30/06/2001 é
∑
Q=
N
x
i =1 i
N
=
0 ,60 + 0 ,71 + 1,00 + 1,00 + 0,08 + 1,00 + 1,00 + 1,00 + 1,00
= 1,34 × 10 − 7
6
5,5 × 10 × 10
(c) Os ataques terroristas em 11 de setembro de 2001 a quatro aviões nos Estados Unidos
(dois deles destruíram os prédios do World Trade Center, em Nova Iorque, e outro destruiu parte do Pentágono, em Washington, D.C.), fizeram com que o valor da estatística Q
aumentasse de forma significativa neste período de 10 anos.
4