Lista 5: Derivada como taxa de variação - Cálculo Diferencial e Integral I Professora: Elisandra Bär de Figueiredo 1. Calcule a área do triângulo retângulo ABC na Figura 1, sabendo-se que n é a reta normal a f (x) = ex no ponto xo = 1 y x y=e x n Figura 1: Exercício 1 2. Um forno industrial coze a temperatura constante de 608 graus centígrados. A temperatura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de cozedura, é dada por: T (t) = 20t2 + 5t + 32 , t em minutos e T (t) em ◦ C. Determine: t+2 (a) a temperatura inicial do forno? (b) a variação da temperatura no intervalo de tempo [2, 10]. (c) a variação instantânea da temperatura para t = 10. 3. O valor de um automóvel ao m de t anos é dado por V (t) = 50000e−0.12t , sendo V dado em reais e t em anos. (a) Por qual preço foi comprado o automóvel? (b) Represente gracamente a função e determine o valor aproximado do automóvel daqui a 5 anos. (c) A taxa de variação é negativa para qualquer valor de t. Justique esta armação e interprete este fato no contexto da situação. (d) Em que momento a taxa de variação é -2500 reais ao ano? (e) Mostre que o gráco V ′ tem uma assíntota horizontal. Qual o seu signicado relativo à situação? 4. Seja y = √ 3 3x + 2 a equação do movimento de uma partícula, determine: (a) a velocidade da partícula quando transcorridos 2s. (b) a aceleração da partícula quando transcorridos 2s. ( 3 ) 5. Um carro está a s = 16t 2 − 24t + 16 km a leste de uma parada no instante t horas. Pergunta-se: 1 1 4 (a) Qual é a velocidade no instante t = h e qual é o sentido que ele se move? (b) Qual a posição do carro quando sua velocidade é nula? 6. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s1 = t3 + 4t2 + t − 1 e s2 = 2t3 − 5t2 + t + 2. Determine a velocidade e as posições desses dois corpos no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere s1 e s2 em metros e t em segundos. 7. Dois pontos partem da origem do eixo x no instante t = 0 e se movem ao longo desse eixo de acordo com as equações x1 = t2 − 2t e x2 = 8t − t2 , com x1 e x2 em metros e t em segundos. (a) Em que instante os dois têm mesma velocidade? (b) Qual a velocidade desses pontos no instante em que eles têm a mesma posição? 8. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo y varia com o tempo x segundo a ) v ( equação y = 0 1 − e−cx , x ≥ 0, onde v0 e c são constantes positivas. Use a DEFINIÇÃO de c derivadas para determinar a velocidade da partícula no instante x. 9. Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce a razão de 12, 5 cm/s. Qual a variação do volume no instante em que o raio é de 15, 2 cm? 10. Dois carros, um dirigindo-se para leste com velocidade de 80 km/h, o outro dirigindo-se para sul com velocidade de 50 km/h, estão viajando em direção ao encontro das rodovias. A que velocidade os carros se aproximam um do outro, no momento em que o primeiro carro está a 400 m e o segundo está a 300 m da interseção das rodovias? 11. Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base 2 m. O mesmo se enche de água à razão de 7 m3 /min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de profundidade? 12. Uma piscina tem 18 m de largura, 28 m de comprimento, 2 m de profundidade em um extremo e 8 m no outro, o fundo tem forma de um plano inclinado. Se a água está sendo bombeada para a piscina à razão de 0, 8 m3 /min, com que velocidade se eleva o nível da água no instante em que ele esta a 1, 8 m na extremidade mais profunda? 13. Em que pontos da parábola y 2 − 18x = 0 a ordenada y cresce duas vezes mais depressa que a abscissa x? 14. Uma criança esta empinando uma pipa e movendo-se horizontalmente a 4 m/s. Supondo que a pipa permaneça sempre a 80 m de altura, sobre o nível do solo, qual é a velocidade com que a criança está soltando a corda da pipa quando esta corda medir 100 m? Obs : Despreze a altura da criança. 15. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base de 5 m e altura de 10 m. Se instante t = 0s, a água começa a uir no tanque à razão de 25 m3 /h, determine: (a) com que velocidade sobe o nível da água? (b) quanto tempo levará para encher o tanque? 16. Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de 1 m/s. Quando ele está a 17 m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade 3 constante de 5 m/s passa por baixo dele. A que taxa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará 3s depois? 2 17. O nível de café que escoa de um ltro cônico, de diâmetro e altura 15 cm, para uma cafeteira cilíndrica, de diâmetro e altura 15 cm, varia a uma taxa de 2 · 10−4 cm/min. A que taxa o nível do café, na cafeteira, aumentará quando a altura de café no ltro for 5 cm? 18. Um cabo de cobre tem diâmetro de 1 cm a 0◦ C . Suponha que seu comprimento é de 1 m e não se altera com a variação da temperatura. Se seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0, 02cm/◦ C, Calcule a taxa de variação do volume desse cabo quando a temperatura está a 20◦ C . 19. Numa granja de frangos, o abastecimento de ração é automático. A ração está num reservatório que tem a forma de uma pirâmide de base quadrada com 2 m de lado e 6 m de altura, cujo vértice está voltado para baixo. Se o consumo de ração é de 0, 05 m3 /h, com que velocidade desce o nível de ração quando este está a 2 m do vértice? 20. A altura de um triângulo cresce a razão de 1cm/ min e sua área aumenta a razão de 2cm2 / min. Qual a taxa de variação da base do triângulo quando sua altura for 10cm e sua área 100cm2 . 21. Uma piscina tem 24m de comprimento e seus extremos são trapézios isósceles com altura de 6m, uma base menor 6m e uma base maior de 8m. A água está sendo bombeada para a piscina à razão de 10m3 /mim. Com que velocidade o nível de água está subindo quando a profundidade da água é de 2m? 22. Um avião (A) voa a 124 m/s, paralelamente ao solo, a uma altitude de 1220 m no sentido oeste, tomando como referência um holofote (H), xado no solo, que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical (P) do avião e sabendo que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual será a velocidade com que θ estará variando quando a distância entre o holofote e a projeção vertical do avião for de 610 m? 23. Às 7 : 00 horas dois navios partem de um ponto O em rotas que formam um ângulo de 120◦ . Os navios A e B deslocam-se a 20 km/h e 25km/h, respectivamente. Determine qual é a velocidade de afastamento desses navios às 9 : 00 horas. Respostas: 1. A = e3 u.a. 2 2. . (a) 16◦ C. (b) 17,875◦ C. (c) 19,29◦ C por minuto. 3. . (a) 50000 reais. (b) (c) (d) 7,3 anos. (e) 1 4 4. (a) v(2) = u.c./s (b) a(2) = − 1 u.c./s2 16 5. (a) v(1/4) = −12km/h e está indo na direção oeste 3 (b) s(1) = 8km 6. t = 3s; v1 (3) = 52m/s; v2 (3) = 25m/s; s1 (3) = 65m; s2 (3) = 14m 7. (a) 2,5s (b) t = 0s ⇒ v1 = −2cm/s e v2 = 8cm/s; t = 5s ⇒ v1 = 8cm/s e v2 = −2cm/s 8. v0 e−cx u.c./u.t. 9. 11552π cm3 /s 10. 94km/h 11. 7 m/min π 12. 0,005m/min ou 0,025m/min, dependendo da interpretação da piscina. ( 13. 9 9 , 8 2 ) 14. 2,4m/s 15. (a) 1 m/h π (b) 31,4h 27 ≈ 3, 46m/s 61 16. √ 17. 2 · 10−4 cm/min 9 18. 1, 4π cm3 /min 19. -0,1125m/h 20. -1,6cm/min 21. 0,0625m/min 22. 0,08rad/s √ 23. 5 61km/h 4