Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo 1. Na vista superior da Figura 1, uma bola de 300 g a uma velocidade v de 6,0 m/s bate em uma parede com um ângulo θ de 30◦ e depois ressalta com a mesma velocidade, em módulo, e ângulo Ela fica em contato com a parede por 10 ms. Figura 1: Problema 1 (a) Qual a impulsão que a parede exerce sobre a bola? (b) Qual a força média que a bola exerce sobre a parede? 2. Uma bala de 5,20 g movendo-se a 672 m/s clide com um bloco de madeira de 700 g em repouso sobre uma superfı́cie sem atrito. A bala emerge, viajando na mesma direção e mesmo sentido com sua velocidade em módulo reduzida para 428 m/s. (a) Qual a intensidade velocidade resultante do bloco? (b) Qual a intensidade velocidade do centro de massa do sistema bala-bloco? 3. Uma bala de massa igual a 10 g bate em um pêndulo balı́stico de 2,0 kg de massa. O centro de massa do pêndulo eleva-se de uma distância vertical de 12 cm. Supondo que a bala permaneça alojada no pêndulo, calcule a velocidade inicial da bala. 4. Na Figura 2a, uma bala de 3,50 g é disparada horizontalmente em direção a dois blocos em Figura 2: Problema 4 1 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo repouso sobre a superfı́cie de uma mesa sem atrito. A bala passa pelo primeiro bloco, que possui massa igual a 1,20 kg, e se aloja no segundo, que tem uma massa de 1,80 kg. Dessa forma são fornecidas as velocidades v1 = 0, 630 m/s e v2 = 1, 40 m/s, respectivamente, aos blocos (Figura 2b). Desprezando a massa removida do primeiro bloco pela bala, ache (a) a velocidade da bala imediatamente após ela emergir do primeiro bloco e (b) a velocidade original da bala. 5. Uma vagão de carga de uma ferrovia de massa igual a 3, 18 × 104 kg colide com o último vagão de carga em repouso. Eles ficam acoplados, e 27,0% da energia cinética inicial são transferidos para energia térmica, som, vibrações, etc. Ache a massa do último vagão. 6. Na Figura 3, uma bola de massa m é atirada com velocidade vi para dentro do cano de uma espingarda de mola de massa M que se encontra inicialmente em repouso sobre uma superfı́cie sem atrito. Suponha A bola fica presa no cano no ponto de compressão máxima Figura 3: Problema 6 da mola. que o aumento da energia térmica devido ao atrito entre a bola e o cano seja desprezı́vel. (a) Qual a velocidade da espingarda de mola depois que a mola pára no campo? (b) Que parcela da energia cinética da bola fica armazenada na mola? 7. Um bloco de massa m1 = 2, 0 kg desliza em uma mesa sem atrito com uma velocidade de 10 m/s. Bem na frente, e movendo-se na mesma direção, existe um bloco de massa Figura 4: Problema 7 m2 = 5, 0 kg movendo-se a 3,0 m/s. Uma mola sem massa (ou seja, de massa desprezı́vel quando comparada com a massa dos blocos) com constante de mola k = 1120 N/m está presa ao lado de m2 mais próximo a m1 , como mostrado na Figura 4. Qual a compressão máxima 2 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo da mola quando os blocos colidem? (Dica: No momento de compressão máxima da mola, os doi blocos movem-se como um. Ache a velocidade observando que a colisão é completamente inelástica neste ponto.) 8. Na Figura 5 o bloco A (com uma massa de 1,6 kg) desliza em direção ao bloco B (com uma massa de 2,4 kg) ao longo de um superfı́cie sem atrito. Os sentidos de três velocidades antes (i) e depois f da colisão estão indicados; as intensidades das velocidades correspondentes são vAi = 5, 5 m/s, vBi = 2, 5 m/s e vBf = 4, 9 m/s. Os blocos da Figura 5 deslizam sem atrito. Figura 5: Problema 8 (a) Determine o módulo e o sentido (para esquerda ou para direita) da velocidade ~vAf . (b) A colisão é elástica? 9. Uma bola de aço de massa 0,500 kg está presa em uma extremidade de uma corda de 70,0 cm Figura 6: Problema 9 de comprimento. A outra extremidade está fixa. A bola é liberada quando a corda está na horizontal (Figura 6). na parte mais baixa da trajetória a bola choca-se com um bloco de 3 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo metal de 2,50 kg inicialmente em respouso sobre uma superfı́cie sem atrito. A colisão é elástica. Determine (a) a intensidade da velocidade da bola e (b) a intensidade da velocidade do bloco, ambas imediatamente após a colisão. 10. Um corpo de massa igual a 2,0 kg colide elasticamente com outro corpo em repouso e continua a mover-se na direção original mas com um quarto da sua velocidade original. (a) Qual a massa do outro corpo? (b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois corpos se a velocidade inicial do corpo de 2,0 kg era de 4,0 m/s? 11. Dois corpos de 2,0 kg, A e B colidem. As velocidades antes da colisão são ~vA = 15î + 30ĵ e ~vB = −10î + 5, 0ĵ. Após a colisão, ~vA = −5, 0î + 20ĵ. Todas as velocidades são dadas em metros por segundo. (a) Qual a velocidade final de B? (b) Quanta energia cinética é ganha ou perdida na colisão? 12. Um próton com uma velocidade de 500 m/s colide elasticamente com outro próton inicialmente em repouso. Os prótons que fazem os papéis de projétil e alvo movem-se então ao longo de trajetórias perpendiculares, com a trajetória do projétil fazendo 60◦ com a direção original. Após a colisão, quais são as velocidades (a) do próton-alvo e (b) do próton-projétil? 13. Duas bolas A e B, tendo massas diferentes mas que são desconhecidas, colidem. Inicialmente, A está em repouso e B possui velocidade v. Após a colisão, B possui velocidade v/2 e move-se perpendiculamente a sua direção de movimento original. (a) Ache a direção na qual a bola A move-se após a colisão. (b) Mostre que não se consegue determinar a velocidade de A a partir das informações dadas. 14. Um bola de bilhar movendo-se a uma velocidade de 2,2 m/s acerta uma bola idêntica em repouso dando um golpe de raspão. Após a colisão, observa-se que uma bola está se movendo a uma velocidade de 1,1 m/s em uma direção que faz um ângulo de 60◦ com a linha original de movimento. (a) Ache a velocidade da outra bola. 4 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo (b) Para os dados fornecidos, a colisão pode ser inelástica? 15. Energia de ligação da molécula de hidrogênio. Quando dois átomos de hidrogênio de massa m se combinam para formar a molécula diatômica do hidrogênio (H2 ), a energia potencial do sistema depois da combinação é igual a −∆, onde ∆ é uma grandeza positiva denominada energia de ligação da molécula. (a) Mostre que em uma colisão envolvendo somente dois átomos de hidrogênio é impossı́vel formar uma molécular de H2 porque não poderia ocorrer simultaneamente conservação do momento linear e conservação da energia (Sugestão: Se você provar que essa afirmação é válida em um dado sistema de referência, então ela será válida em qualquer sistema de referência. Você sabe por quê?) (b) Em uma colisão envolvendo três átomos de hidrogênio, uma molécula de H2 pode ser formada. Suponha que antes da colisão cada um dos três átomos se aproximem com velocidade igual a 1, 00 × 103 m/s e que as direções dessas velocidades formem entre si ângulos iguais a 120◦ , de modo que a cada instante os átomos estejam sobre os vértices de um triângulo eqüilátero. Calcule a velocidade do átomo de hidrogênio que sobra depois da colisão e a velocidade da molécula de H2 . A energia de ligação da molécula de H2 é dada por ∆ = 7, 23 × 10−19 J e a massa do átomo de hidrogênio é igual a 1, 67 × 10−27 kg. 16. Um próton desloca-se ao longo do eixo +Ox com velocidade vA1 sofre uma colisão elástica fora da linha central com outro próton idêntico que está inicialmente em repouso. Depois desse impacto, o primeiro próton desloca-se com velocidade vA2 no primeiro quadrante, formando um ângulo α com o eixo +Ox, e o segundo próton desloca-se com velocidade vB2 no quarto quadrante formando um ângulo β com o eixo +Ox. (a) Escreva as equações que descrevem a lei da conservação do momentum linear para os componentes x e y. (b) Eleve ao quadrado as equações obtidas na parte (a) e some membro a membro os resultados. (c) Introduza agora o fato de a colisão ser elástica e demonstre que α + β = π/2. (Você está demonstrando que esse resultado é válido para qualquer colisão elástica fora da linha central entre dois corpos de mesma massa quando um dos corpos está inicialmente em repouso.) 17. A Figura 7 mostra três esferas de massas m, m0 e M . As duas esferas da direita, de massas m0 e M , estão ligeiramente separadas e inicialmente em repouso. A esfera da esquerda, de ~0 . Suponha que as colisões sejam frontais, ou massa m, está se aproximando com velocidade V 5 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo seja, sejam unidimensionais e ainda que elas podem ser todas elásticas, ou todas inelásticas, ou, ainda, algumas elásticas e outras inelásticas. Mostre que, para transferir o valor máximo de energia cinética da esfera de massa m para a esfera de massa M , o corpo intermediário deve ter a massa m0 = √ mM isto é, a média geométrica das massas adjacentes (É interessante observar que esta mesma relação existe entre as massas das camadas sucessivas de ar na corneta exponencial em acústica). Quais as colisões possı́veis para a ocorrência das situações descritas no enunciado? Figura 7: Problema 17 18. Um nêutron de massa m colide elasticamente de forma unidimensional com um núcleo estacionário (em repouso) de massa M . Mostre que a energia do núcleo após a colisão é " Tnúcleo = # 4mM (m + M ) 2 Tn , onde Tn é a energia cinética inicial do nêutron. 19. A Figura 8 mostra o resultado de uma colisão entre dois corpos de massas distintas. Dado: Figura 8: Problema 19 6 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo tan θ1 = 2 (a) Determine o módulo da velocidade v2 , em função de v0 , e o ângulo θ2 referente ao corpo de massa maior, após a colisão. (b) Mostre que a colisão é elástica. 20. Um projétil de massa igual a m é lançado contra a massa de um pêndulo cuja massa é igual a M . Quando o pêndulo, agregado com o projétil, está em sua altura máxima, a haste faz um ângulo igual a θ com a direção vertical. O comprimento da haste é L. Determine, em função de θ, m, M , L e g, a velocidade do projétil no momento em que ele atinge o pêndulo. 21. Uma partı́cula tem uma velocidade inicial ~v0 . Ela colide com uma segunda partı́cula em repouso que tem a mesma massa e sofre um desvio angular φ. Sua velocidade após a colisão é ~v . A segunda partı́cula sofre um impulso e sua velocidade faz um ângulo θ com a direção inicial da primeira partı́cula. (a) Mostre que tan θ = vsen φ v0 − v cos φ onde, v = |~v | e v0 = |~v0 | (b) Mostre que, se a colisão for elástica, então, v = v0 cos φ 22. Um corpo A, com massa m e velocidade v0 î, colide com um corpo B de massa 2m e velocidade 1 1 v0 ĵ. Após a colisão, o corpo B tem uma velocidade de v0 î. Considere o sistema isolado. 2 4 (a) Determine a velocidade do corpo A após a colisão. (b) Essa colisão é elástica? Caso não seja, expresse a variação na energia cinética em função de m e v0 . 23. Uma partı́cula de massa m desloca-se com velocidade v em direção a duas outras idênticas de massa m0 , alinhadas com ela, inicialmente separadas e em repouso (vide a Figura 9). As colisões entre as patı́culas são todas elásticas. (a) Mostre que, para m ≤ m0 haverá duas colisões, e calcule as velocidades finais das três partı́culas. (b) Mostre que, para m > m0 , haverá três colisões, e calcule as velocidades finais das três partı́culas. 7 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo Figura 9: Problema 23 24. Um objeto em repouso com massa mB é atingido frontalmente por um objeto com massa mA que está se movendo inicialmente à velocidade v0 . (a) Se a colisão for elástica, determine as velocidades finais de cada um dos objetos. (b) Se a colisão for elástica, determine a porcentagem da energia original que cada objeto terá após a colisão. (c) O que a sua resposta para o item (a) fornece para os seguintes casos especiais (i) mA = mB ; (ii) mA = 5mB . 25. A fissão, processo que fornece energia para um reator nuclear, ocorre quando um núcleo pesado é dividido em dois núcleos com pesos médios. Uma dessas reações ocorre quando um Figura 10: Problema 25 8 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo nêutron colide com um núcleo de 235 U (urânio) dividindo-o em um núcleo de 141 Ba (bário) e um núcleo de de 235 92 Kr (criptônio). Nessa reação, dois nêutrons também são emitidos do núcleo U original. Antes da colisão, a configuração é indicada na Figura 10(a). Depois da colisão o núcleo de 141 Ba move-se no sentido +Oz e o núcleo de 92 Kr move-se no sentido do eixo −Oz. Os três nêutrons passam a mover-se no plano xy como mostra a Figura 10(b). (a) Sabendo que o módulo da velocidade do nêutron original é v0 e que o módulo de sua 2 velocidade final é v0 com as direções indicadas, explique como as velocidades dos outros 3 dois nêutrons podem ser determinadas. Encontre o sistema de equações que uma vez resolvido determina essas velocidades em função de v0 , α, β e θ. Observação: não é solicitado que se resolva o sistema. (b) O que você pode afirmar sobre as velocidades dos núcleos 141 Ba e 92 Kr? Determine os seus valores. (A massa do núcleo de do núcleo 92 141 Ba é aproximadamente 1,5 vezes igual a massa Kr.) 26. Em um sistema isolado, duas partı́culas de mesma massa m são liberadas do repouso em um recipiente hemisférico liso e raio R, a partir da posição indicada na Figura 11. Despreze o atrito entre as partı́culas e a superfı́cie do recipiente. Figura 11: Problema 26 (a) Cite e explique os princı́pios básicos envolvidos e a validade dos mesmos neste problema. (b) Se as duas partı́culas colarem ao colidirem, determine a altura, em termos de R, acima da parte inferior do recipiente que elas atingirão após a colisão. (c) A energia mecânica do sistema para o item (b) é conservada? Por quê? Em caso negativo determine, em termos de m, g e R, a variação do seu valor. 9 Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo RESPOSTAS 1. (a) 1, 8̂ N· s (b) Mostre! (b) 180̂ N 14. (a) 1,9 m/s com direção de 30◦ abaixo da linha da colisão. 2. (a) 1,81 m/s (b) 4,96 m/s (b) A colisão é elástica. Explique! 3. 3, 1 × 102 m/s 15. (a) Mostre! (b) 2, 41 × 104 m/s 4. (a) 721 m/s com a direção da pelo enunciado. 16. (a) Escreva! (b) 937 m/s com a direção da pelo enun(b) Mostre! ciado. (c) Mostre! 5. 1, 18 × 104 kg m vi m+M M (b) m+M 17. O máximo valor de transferência de ener- 6. (a) gia cinética de m para M acontece √ quando m0 = mM e com todas as colisões elásticas. 7. 0,25 m 18. Mostre! 8. (a) 1,9 m/s para a direita (b) Elástica. Justifique! 19. (a) θ2 = 9. (a) 2,47 m/s √ π e v2 = 2v0 2 (b) Mostre! M p 20. 1 + 2gL (1 − cos θ) m (b) 1,23 m/s 10. (a) 1,2 kg 21. (a) Mostre! (b) 2,5 m/s (b) Mostre! 1 22. (a) ı̂ + ̂ v0 2 11. (a) (10ı̂ + 15̂) m/s (b) a perda de energia cinética é de 5, 0× 102 J (b) Elástica. 12. (a) 433 m/s com direção de 30◦ acima 23. (a) Mostre! da linha da colisão. (b) Mostre! (b) 250 m/s com direção de 60◦ abaixo 24. (a) vA da linha da colisão. = mA − mB v0 ; mA + mB 2mA v0 mA + mB 13. (a) 117◦ em relação à bola B. 10 vB = Universidade Federal da Bahia Instituto de Fı́sica Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09 Informações adicionais: www.fis.ufba.br/˜angelo (b) 2 TAfinal mA − mB TBfinal = ; = Tinicial mA + mB Tinicial 4mA mB (mA + mB ) (b) vKr = mBa vBa = 1, 5vBa mKr 2 (c) Se mA = mB , temos que TAfinal =0 Tinicial 26. (a) Cite e explique. TBfinal e = 1. Para mA = 5mB , Tinicial TAfinal 4 TBfinal 5 temos que = e = Tinicial 9 Tinicial 9 (b) R 4 25. (a) (c) A perda é de v1 cos(α + β) + v2 cos θ = v0 1 − 2 3 cos β −v sen (α + β) + v sen θ = 2 v sen β 1 2 3 0 11 1 mgR 2