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Sugestões de Problemas: Unidade IX – Colisões
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1. Na vista superior da Figura 1, uma bola de 300 g a uma velocidade v de 6,0 m/s bate em
uma parede com um ângulo θ de 30◦ e depois ressalta com a mesma velocidade, em módulo,
e ângulo Ela fica em contato com a parede por 10 ms.
Figura 1: Problema 1
(a) Qual a impulsão que a parede exerce sobre a bola?
(b) Qual a força média que a bola exerce sobre a parede?
2. Uma bala de 5,20 g movendo-se a 672 m/s clide com um bloco de madeira de 700 g em repouso
sobre uma superfı́cie sem atrito. A bala emerge, viajando na mesma direção e mesmo sentido
com sua velocidade em módulo reduzida para 428 m/s.
(a) Qual a intensidade velocidade resultante do bloco?
(b) Qual a intensidade velocidade do centro de massa do sistema bala-bloco?
3. Uma bala de massa igual a 10 g bate em um pêndulo balı́stico de 2,0 kg de massa. O
centro de massa do pêndulo eleva-se de uma distância vertical de 12 cm. Supondo que a bala
permaneça alojada no pêndulo, calcule a velocidade inicial da bala.
4. Na Figura 2a, uma bala de 3,50 g é disparada horizontalmente em direção a dois blocos em
Figura 2: Problema 4
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repouso sobre a superfı́cie de uma mesa sem atrito. A bala passa pelo primeiro bloco, que
possui massa igual a 1,20 kg, e se aloja no segundo, que tem uma massa de 1,80 kg. Dessa
forma são fornecidas as velocidades v1 = 0, 630 m/s e v2 = 1, 40 m/s, respectivamente, aos
blocos (Figura 2b). Desprezando a massa removida do primeiro bloco pela bala, ache
(a) a velocidade da bala imediatamente após ela emergir do primeiro bloco e
(b) a velocidade original da bala.
5. Uma vagão de carga de uma ferrovia de massa igual a 3, 18 × 104 kg colide com o último
vagão de carga em repouso. Eles ficam acoplados, e 27,0% da energia cinética inicial são
transferidos para energia térmica, som, vibrações, etc. Ache a massa do último vagão.
6. Na Figura 3, uma bola de massa m é atirada com velocidade vi para dentro do cano de
uma espingarda de mola de massa M que se encontra inicialmente em repouso sobre uma
superfı́cie sem atrito. Suponha A bola fica presa no cano no ponto de compressão máxima
Figura 3: Problema 6
da mola. que o aumento da energia térmica devido ao atrito entre a bola e o cano seja
desprezı́vel.
(a) Qual a velocidade da espingarda de mola depois que a mola pára no campo?
(b) Que parcela da energia cinética da bola fica armazenada na mola?
7. Um bloco de massa m1 = 2, 0 kg desliza em uma mesa sem atrito com uma velocidade
de 10 m/s. Bem na frente, e movendo-se na mesma direção, existe um bloco de massa
Figura 4: Problema 7
m2 = 5, 0 kg movendo-se a 3,0 m/s. Uma mola sem massa (ou seja, de massa desprezı́vel
quando comparada com a massa dos blocos) com constante de mola k = 1120 N/m está presa
ao lado de m2 mais próximo a m1 , como mostrado na Figura 4. Qual a compressão máxima
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da mola quando os blocos colidem? (Dica: No momento de compressão máxima da mola, os
doi blocos movem-se como um. Ache a velocidade observando que a colisão é completamente
inelástica neste ponto.)
8. Na Figura 5 o bloco A (com uma massa de 1,6 kg) desliza em direção ao bloco B (com uma
massa de 2,4 kg) ao longo de um superfı́cie sem atrito. Os sentidos de três velocidades antes
(i) e depois f da colisão estão indicados; as intensidades das velocidades correspondentes são
vAi = 5, 5 m/s, vBi = 2, 5 m/s e vBf = 4, 9 m/s. Os blocos da Figura 5 deslizam sem atrito.
Figura 5: Problema 8
(a) Determine o módulo e o sentido (para esquerda ou para direita) da velocidade ~vAf .
(b) A colisão é elástica?
9. Uma bola de aço de massa 0,500 kg está presa em uma extremidade de uma corda de 70,0 cm
Figura 6: Problema 9
de comprimento. A outra extremidade está fixa. A bola é liberada quando a corda está na
horizontal (Figura 6). na parte mais baixa da trajetória a bola choca-se com um bloco de
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metal de 2,50 kg inicialmente em respouso sobre uma superfı́cie sem atrito. A colisão é
elástica. Determine
(a) a intensidade da velocidade da bola e
(b) a intensidade da velocidade do bloco, ambas imediatamente após a colisão.
10. Um corpo de massa igual a 2,0 kg colide elasticamente com outro corpo em repouso e continua
a mover-se na direção original mas com um quarto da sua velocidade original.
(a) Qual a massa do outro corpo?
(b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois corpos se a velocidade inicial do corpo de 2,0 kg era de 4,0 m/s?
11. Dois corpos de 2,0 kg, A e B colidem. As velocidades antes da colisão são ~vA = 15î + 30ĵ e
~vB = −10î + 5, 0ĵ. Após a colisão, ~vA = −5, 0î + 20ĵ. Todas as velocidades são dadas em
metros por segundo.
(a) Qual a velocidade final de B?
(b) Quanta energia cinética é ganha ou perdida na colisão?
12. Um próton com uma velocidade de 500 m/s colide elasticamente com outro próton inicialmente em repouso. Os prótons que fazem os papéis de projétil e alvo movem-se então ao
longo de trajetórias perpendiculares, com a trajetória do projétil fazendo 60◦ com a direção
original. Após a colisão, quais são as velocidades
(a) do próton-alvo e
(b) do próton-projétil?
13. Duas bolas A e B, tendo massas diferentes mas que são desconhecidas, colidem. Inicialmente,
A está em repouso e B possui velocidade v. Após a colisão, B possui velocidade v/2 e move-se
perpendiculamente a sua direção de movimento original.
(a) Ache a direção na qual a bola A move-se após a colisão.
(b) Mostre que não se consegue determinar a velocidade de A a partir das informações
dadas.
14. Um bola de bilhar movendo-se a uma velocidade de 2,2 m/s acerta uma bola idêntica em
repouso dando um golpe de raspão. Após a colisão, observa-se que uma bola está se movendo
a uma velocidade de 1,1 m/s em uma direção que faz um ângulo de 60◦ com a linha original
de movimento.
(a) Ache a velocidade da outra bola.
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(b) Para os dados fornecidos, a colisão pode ser inelástica?
15. Energia de ligação da molécula de hidrogênio. Quando dois átomos de hidrogênio
de massa m se combinam para formar a molécula diatômica do hidrogênio (H2 ), a energia
potencial do sistema depois da combinação é igual a −∆, onde ∆ é uma grandeza positiva
denominada energia de ligação da molécula.
(a) Mostre que em uma colisão envolvendo somente dois átomos de hidrogênio é impossı́vel formar uma molécular de H2 porque não poderia ocorrer simultaneamente
conservação do momento linear e conservação da energia (Sugestão: Se você provar
que essa afirmação é válida em um dado sistema de referência, então ela será válida em
qualquer sistema de referência. Você sabe por quê?)
(b) Em uma colisão envolvendo três átomos de hidrogênio, uma molécula de H2 pode ser
formada. Suponha que antes da colisão cada um dos três átomos se aproximem com
velocidade igual a 1, 00 × 103 m/s e que as direções dessas velocidades formem entre si
ângulos iguais a 120◦ , de modo que a cada instante os átomos estejam sobre os vértices
de um triângulo eqüilátero. Calcule a velocidade do átomo de hidrogênio que sobra
depois da colisão e a velocidade da molécula de H2 . A energia de ligação da molécula
de H2 é dada por ∆ = 7, 23 × 10−19 J e a massa do átomo de hidrogênio é igual a
1, 67 × 10−27 kg.
16. Um próton desloca-se ao longo do eixo +Ox com velocidade vA1 sofre uma colisão elástica fora
da linha central com outro próton idêntico que está inicialmente em repouso. Depois desse
impacto, o primeiro próton desloca-se com velocidade vA2 no primeiro quadrante, formando
um ângulo α com o eixo +Ox, e o segundo próton desloca-se com velocidade vB2 no quarto
quadrante formando um ângulo β com o eixo +Ox.
(a) Escreva as equações que descrevem a lei da conservação do momentum linear para os
componentes x e y.
(b) Eleve ao quadrado as equações obtidas na parte (a) e some membro a membro os
resultados.
(c) Introduza agora o fato de a colisão ser elástica e demonstre que α + β = π/2. (Você está
demonstrando que esse resultado é válido para qualquer colisão elástica fora da linha
central entre dois corpos de mesma massa quando um dos corpos está inicialmente em
repouso.)
17. A Figura 7 mostra três esferas de massas m, m0 e M . As duas esferas da direita, de massas
m0 e M , estão ligeiramente separadas e inicialmente em repouso. A esfera da esquerda, de
~0 . Suponha que as colisões sejam frontais, ou
massa m, está se aproximando com velocidade V
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seja, sejam unidimensionais e ainda que elas podem ser todas elásticas, ou todas inelásticas,
ou, ainda, algumas elásticas e outras inelásticas. Mostre que, para transferir o valor máximo
de energia cinética da esfera de massa m para a esfera de massa M , o corpo intermediário
deve ter a massa
m0 =
√
mM
isto é, a média geométrica das massas adjacentes (É interessante observar que esta mesma
relação existe entre as massas das camadas sucessivas de ar na corneta exponencial em
acústica). Quais as colisões possı́veis para a ocorrência das situações descritas no enunciado?
Figura 7: Problema 17
18. Um nêutron de massa m colide elasticamente de forma unidimensional com um núcleo estacionário (em repouso) de massa M . Mostre que a energia do núcleo após a colisão é
"
Tnúcleo =
#
4mM
(m + M )
2
Tn ,
onde Tn é a energia cinética inicial do nêutron.
19. A Figura 8 mostra o resultado de uma colisão entre dois corpos de massas distintas. Dado:
Figura 8: Problema 19
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tan θ1 = 2
(a) Determine o módulo da velocidade v2 , em função de v0 , e o ângulo θ2 referente ao corpo
de massa maior, após a colisão.
(b) Mostre que a colisão é elástica.
20. Um projétil de massa igual a m é lançado contra a massa de um pêndulo cuja massa é igual
a M . Quando o pêndulo, agregado com o projétil, está em sua altura máxima, a haste faz
um ângulo igual a θ com a direção vertical. O comprimento da haste é L. Determine, em
função de θ, m, M , L e g, a velocidade do projétil no momento em que ele atinge o pêndulo.
21. Uma partı́cula tem uma velocidade inicial ~v0 . Ela colide com uma segunda partı́cula em
repouso que tem a mesma massa e sofre um desvio angular φ. Sua velocidade após a colisão
é ~v . A segunda partı́cula sofre um impulso e sua velocidade faz um ângulo θ com a direção
inicial da primeira partı́cula.
(a) Mostre que
tan θ =
vsen φ
v0 − v cos φ
onde, v = |~v | e v0 = |~v0 |
(b) Mostre que, se a colisão for elástica, então,
v = v0 cos φ
22. Um corpo A, com massa m e velocidade v0 î, colide com um corpo B de massa 2m e velocidade
1
1
v0 ĵ. Após a colisão, o corpo B tem uma velocidade de v0 î. Considere o sistema isolado.
2
4
(a) Determine a velocidade do corpo A após a colisão.
(b) Essa colisão é elástica? Caso não seja, expresse a variação na energia cinética em função
de m e v0 .
23. Uma partı́cula de massa m desloca-se com velocidade v em direção a duas outras idênticas
de massa m0 , alinhadas com ela, inicialmente separadas e em repouso (vide a Figura 9). As
colisões entre as patı́culas são todas elásticas.
(a) Mostre que, para m ≤ m0 haverá duas colisões, e calcule as velocidades finais das três
partı́culas.
(b) Mostre que, para m > m0 , haverá três colisões, e calcule as velocidades finais das três
partı́culas.
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Figura 9: Problema 23
24. Um objeto em repouso com massa mB é atingido frontalmente por um objeto com massa
mA que está se movendo inicialmente à velocidade v0 .
(a) Se a colisão for elástica, determine as velocidades finais de cada um dos objetos.
(b) Se a colisão for elástica, determine a porcentagem da energia original que cada objeto
terá após a colisão.
(c) O que a sua resposta para o item (a) fornece para os seguintes casos especiais
(i) mA = mB ;
(ii) mA = 5mB .
25. A fissão, processo que fornece energia para um reator nuclear, ocorre quando um núcleo
pesado é dividido em dois núcleos com pesos médios. Uma dessas reações ocorre quando um
Figura 10: Problema 25
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nêutron colide com um núcleo de 235 U (urânio) dividindo-o em um núcleo de 141 Ba (bário) e
um núcleo de
de
235
92
Kr (criptônio). Nessa reação, dois nêutrons também são emitidos do núcleo
U original. Antes da colisão, a configuração é indicada na Figura 10(a). Depois da
colisão o núcleo de
141
Ba move-se no sentido +Oz e o núcleo de
92
Kr move-se no sentido
do eixo −Oz. Os três nêutrons passam a mover-se no plano xy como mostra a Figura 10(b).
(a) Sabendo que o módulo da velocidade do nêutron original é v0 e que o módulo de sua
2
velocidade final é v0 com as direções indicadas, explique como as velocidades dos outros
3
dois nêutrons podem ser determinadas. Encontre o sistema de equações que uma vez
resolvido determina essas velocidades em função de v0 , α, β e θ. Observação: não é
solicitado que se resolva o sistema.
(b) O que você pode afirmar sobre as velocidades dos núcleos 141 Ba e 92 Kr? Determine os
seus valores. (A massa do núcleo de
do núcleo
92
141
Ba é aproximadamente 1,5 vezes igual a massa
Kr.)
26. Em um sistema isolado, duas partı́culas de mesma massa m são liberadas do repouso em um
recipiente hemisférico liso e raio R, a partir da posição indicada na Figura 11. Despreze o
atrito entre as partı́culas e a superfı́cie do recipiente.
Figura 11: Problema 26
(a) Cite e explique os princı́pios básicos envolvidos e a validade dos mesmos neste problema.
(b) Se as duas partı́culas colarem ao colidirem, determine a altura, em termos de R, acima
da parte inferior do recipiente que elas atingirão após a colisão.
(c) A energia mecânica do sistema para o item (b) é conservada? Por quê? Em caso
negativo determine, em termos de m, g e R, a variação do seu valor.
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RESPOSTAS
1. (a) 1, 8̂ N· s
(b) Mostre!
(b) 180̂ N
14. (a) 1,9 m/s com direção de 30◦ abaixo
da linha da colisão.
2. (a) 1,81 m/s
(b) 4,96 m/s
(b) A colisão é elástica. Explique!
3. 3, 1 × 102 m/s
15. (a) Mostre!
(b) 2, 41 × 104 m/s
4. (a) 721 m/s com a direção da pelo enunciado.
16. (a) Escreva!
(b) 937 m/s com a direção da pelo enun(b) Mostre!
ciado.
(c) Mostre!
5. 1, 18 × 104 kg
m
vi
m+M
M
(b)
m+M
17. O máximo valor de transferência de ener-
6. (a)
gia cinética de m para M acontece
√
quando m0 = mM e com todas as colisões elásticas.
7. 0,25 m
18. Mostre!
8. (a) 1,9 m/s para a direita
(b) Elástica. Justifique!
19. (a) θ2 =
9. (a) 2,47 m/s
√
π
e v2 = 2v0
2
(b) Mostre!
M p
20. 1 +
2gL (1 − cos θ)
m
(b) 1,23 m/s
10. (a) 1,2 kg
21. (a) Mostre!
(b) 2,5 m/s
(b) Mostre!
1
22. (a)
ı̂ + ̂ v0
2
11. (a) (10ı̂ + 15̂) m/s
(b) a perda de energia cinética é de 5, 0×
102 J
(b) Elástica.
12. (a) 433 m/s com direção de 30◦ acima
23. (a) Mostre!
da linha da colisão.
(b) Mostre!
(b) 250 m/s com direção de 60◦ abaixo
24. (a) vA
da linha da colisão.
=
mA − mB
v0 ;
mA + mB
2mA
v0
mA + mB
13. (a) 117◦ em relação à bola B.
10
vB
=
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(b)
2
TAfinal
mA − mB
TBfinal
=
;
=
Tinicial
mA + mB
Tinicial
4mA mB
(mA + mB )
(b) vKr =
mBa
vBa = 1, 5vBa
mKr
2
(c) Se mA = mB , temos que
TAfinal
=0
Tinicial
26. (a) Cite e explique.
TBfinal
e
= 1. Para mA = 5mB ,
Tinicial
TAfinal
4 TBfinal
5
temos que
= e
=
Tinicial
9 Tinicial
9
(b)
R
4
25. (a)
(c) A perda é de



v1 cos(α + β) + v2 cos θ = v0 1 −



2
3
cos β




−v sen (α + β) + v sen θ = 2 v sen β
1
2
3 0
11
1
mgR
2