Semana 8 – Condições de Equilíbrio, Equação Fundamental dos Gases
Perfeitos
1) (Callen, 1985, 2.6-3). Dois sistemas específicos têm as seguintes equações de
estado:
1
3 N (1)
= R
T (1) 2 U (1)
,
1
5 N (2)
= R
T (2) 2 U (2)
onde R é a constante dos gases perfeitos (R = 8,3145 J K-1 mol-1). O número de
moles no sistema 1 é N (1) = 2, 0 mol e no sistema 2 é N (2) = 3, 0 mol . Os dois
sistemas estão separados por uma parede diatérmica, fixa e impermeável, e a
energia total do sistema composto é 2,5 ×103 J . Qual é a energia interna de cada
sistema no equilíbrio?
2) (Callen, 1985, 2.6-4). Considere agora que os dois sistemas do problema anterior
estão inicialmente separados por uma parede adiabática, fixa e impermeável, com
o mesmo número de moles em cada um que no problema anterior. As
temperaturas em cada sistema são T (1) = 250 K e T (2) = 350 K . De seguida, a
parede adiabática passa para diatérmica. Quais são os valores de U(1) e de U(2)
depois de se estabelecer o novo equilíbrio? Qual é o valor de equilíbrio da
temperatura?
3) (Callen, 1985, 2.7-2). Dois sistemas têm as seguintes equações de estado:
1
3 N (1) P (1)
N (1)
=
R
,
=
R
,
T (1) 2 U (1) T (1)
V (1)
1
3 N (2) P (2)
N (2)
=
R
,
=
R
,
T (2) 2 U (2) T (2)
V (2)
com R = 8,3145 J K-1 mol-1. Inicialmente, os dois sistemas estão contidos num
cilindro isolado, separados por um pistão fixo, adiabático e impermeável. As
temperaturas iniciais são T (1) = 200 K e T (2) = 300 K , o volume total é 20 L e o
número de moles em cada sistema é N (1) = 0,50 mol e N (2) = 0, 75 mol . O pistão
passa então a ser móvel, diatérmico e impermeável. Quais são os valores da
energia interna, volume, pressão e temperatura de cada sistema quando se
estabelece um novo equilíbrio?
1
4) (Exame de Termodinâmica de 20/01/2003). Três substâncias, 1, 2 e 3, estão
distribuídas pelos três compartimentos apresentados no seguinte esquema.
(1)
(2)
(3)
O conjunto dos três compartimentos é isolado. A separação entre os
compartimentos (1) e (2) é diatérmica, móvel, permeável ao componente 1 e
impermeável aos componentes 2 e 3. A separação entre os compartimentos (2) e
(3) (constituída por duas paredes unidas por um eixo fixo) é diatérmica, móvel e
impermeável a todos os componentes.
No compartimento (1), existem moléculas dos componentes 1 e 2, no
compartimento (2) existem moléculas dos componentes 1 e 3 e no compartimento
(3) existem moléculas do componente 1.
As relações entre as áreas das paredes que separam os compartimentos são
A3 = kA2 = kA1 , onde k é uma constante positiva.
a) Determine as condições de equilíbrio, para quaisquer substâncias em cada
compartimento.
b) Assumindo que as substâncias dentro dos compartimentos são gases perfeitos
simples, calcule N 1(1) em função das quantidades conservadas do problema.
c) Interprete fisicamente a situação quando N 3 = 0 .
5) (Callen, 1985, 3.4-2). Mostre que a relação entre o volume e a pressão de um gás
perfeito monoatómico ( c = 3 2 ), durante uma expansão adiabática reversível (isto
é, com entropia constante), é dada por
(
Pv 5 3 = P0 v05 3e
2 s0 3 R
)e
2s 3R
= constante .
Esboce uma famílias destas curvas “adiabáticas” no plano P – v.
6) (Exame de 21 de Janeiro de 2005). A temperatura da atmosfera diminui com a
altitude. O ar mais quente expande-se quando se eleva do nível do mar para as
regiões superiores onde a pressão é mais baixa. Como o ar é mau condutor de
calor, a expansão é aproximadamente adiabática e a temperatura diminui quando o
ar sobe. Que variação de volume terá de sofrer uma massa de ar para que a sua
temperatura passe de 20 ºC para 0 ºC devido a uma expansão adiabática (o ar
comporta-se nestas condições como um gás perfeito diatómico, com cP cv = 7 5 ).
7) (Exame de Termodinâmica de 14/02/2003). Considere um cilindro onde se
encontram Ni moles de um gás perfeito simples, ocupando um volume Vi. O
sistema está em contacto com o reservatório térmico, que o mantém à temperatura
constante T.
a) É injectada neste cilindro uma quantidade adicional de moles do mesmo gás,
passando o número de moles no interior do cilindro para Nf. Calcule o trabalho
químico necessário para realizar este processo.
b) De seguida, o gás é comprimido, passando de um volume Vi para um volume
Vf.
i) Calcule o trabalho realizado neste processo.
ii) Calcule o calor trocado entre o sistema e o reservatório térmico.
iii) Interprete fisicamente o valor do trabalho quando Vf = 0.
8) (Exame de Termodinâmica de 17/09/2004). Um recipiente cilíndrico isolado está
dividido em duas partes (1) e (2) por um pistão perfeitamente condutor. O lado (1)
contém 1 mol de um gás perfeito monoatómico à pressão p(1) = 1,0 MPa, e
temperatura T(1) = 300 K. O lado (2) contém 1 mol do mesmo gás, com p(2) = 0,10
MPa, e temperatura T(2) = 300 K. Inicialmente, o pistão está preso. O pistão é de
seguida libertado, e o sistema atinge um estado de equilíbrio.
a) Qual é o volume final de cada lado do recipiente?
b) Qual é a temperatura e a pressão do gás?
c) Qual é a variação de entropia do sistema conjunto?
d) O processo é reversível?
9) (Exame de Termodinâmica de 26-01-2004) Um cilindro rígido isolado com um
volume total de 0,015 m3 está dividido em dois compartimentos, (1) e (2), cada
um contendo uma mistura dos mesmos dois gases perfeitos monoatómicos, 1 e 2.
O volume de (1) é o dobro do volume de (2). Os compartimentos estão separados
por uma membrana diatérmica, rígida, permeável ao gás 1 e impermeável ao gás 2.
a) Determine os valores de T e N1 em cada compartimento, depois de se ter
estabelecido o equilíbrio, em função dos valores iniciais do número de moles e
(1)
de temperatura em cada compartimento, isto é, N 1(,1i) , N 2(1,i) , Ti , N 1(,2i ) , N 2( 2,i) ,
Ti( 2)
(para simplificar a apresentação dos resultados, pode definir grandezas
auxiliares que dependem só destes valores e dos parâmetros).
b) Considere agora que os valores iniciais são N 1(1) = 0,60 mol , N 2(1) = 0,80 mol ,
T (1) = 400 K , N 1( 2) = 1,2 mol , N 2( 2) = 0,60 mol , T ( 2) = 300 K . Calcule os valores
finais de T e N1 em cada compartimento. Descreva os processos que ocorrem à
medida que o sistema tende para o equilíbrio, relacionando os valores iniciais
de temperatura e número de moles com os valores finais.
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10) (Exame de Termodinâmica de 13/02/2004). Considere uma mole de um gás
perfeito monoatómico inicialmente a 1, 00 × 105 Pa e 298 K. Calcule Q, W, e U
para cada processo da seguinte sequência (que forma um ciclo fechado):
a) um aquecimento a volume constante até uma temperatura igual ao dobro da
temperatura inicial.
b) uma expansão adiabática e quase-estática para 298 K.
c) uma compressão isotérmica até 1, 00 × 105 Pa .
11) (Exame de 21 de Janeiro de 2005). Considere um sistema composto, com dois
subsistemas, (1) e (2), respectivamente com volumes V(1) e V(2). No lado (1) está
uma mistura de gases perfeitos, que contém o gás k. Do lado (2), está o gás k
sozinho. A membrana que separa os dois compartimentos é diatérmica, fixa,
permeável ao gás k e impermeável a todos os restantes gases. Relembrando que o
potencial químico de um dado componente j numa mistura de gases perfeitos é
dado por
µ j = RT ln
N j v0
V
+
(T ) ,
determine, em equilíbrio, o número de moles do gás k em cada subsistema.
12) (Exame de Termodinâmica de 26-01-2004) Uma expressão geralmente utilizada
para o capacidade calorífica molar a pressão constante é:
cp = aT + b.
a) Determine a expressão geral para a quantidade de calor necessária para levar de
Ti a Tf, a pressão constante, uma substância descrita por esta expressão.
b) Para o caso específico do cobre, a expressão acima escreve-se
cp/J K-1 mol-1 = 6,28 10-3T/K + 22,59.
Calcule a quantidade de calor necessária para levar, a pressão constante, 1,00 mol
de cobre de 300 K para 1300 K. Para este processo e esta substância, teria sido
uma boa aproximação considerar a = 0?