UNIVERSIDADE FEDERAL DE
RONDÔNIA
CAMPUS DE JI-PARANÁ
CLEIDSON BRUNO DE ABREU COELHO BARRETO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS NA
DEFINIÇÃO DA HORA MORTE DE UM INDIVÍDUO E
ESTIMATIVA POPULACIONAL DA ARARA-AZULDE-LEAR
JI-PARANÁ/RO
2012
CLEIDSON BRUNO DE ABREU COELHO BARRETO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS NA
DEFINIÇÃO DA HORA MORTE DE UM INDIVÍDUO E
ESTIMATIVA POPULACIONAL DA ARARA-AZULDE-LEAR
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado a Fundação Universidade
Federal de Rondônia ―UNIR, como
requisito parcial para obtenção do título de
Licenciatura Plena em Matemática, sob
orientação do Prof. Ms. Reginaldo Tudeia
dos Santos.
JI-PARANÁ/RO
2012
UNIVERSIDADE FEDERAL DE
RONDÔNIA
CAMPUS DE JI-PARANÁ
CLEIDSON BRUNO DE ABREU COLELHO BARRETO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS NA
DEFINIÇÃO DA HORA MORTE DE UM INDIVÍDUO E
ESTIMATIVA POPULACIONAL DA ARARA-AZULDE-LEAR
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado como parte dos requisitos para
obtenção do título de Licenciado em Matemática e teve o parecer final como aprovado, no dia
26 de Novembro de 2012, pelo Departamento de Matemática e Estatística da Universidade
Federal de Rondônia, Campus de Ji-Paraná.
Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos
(Prof. Orientador e Presidente da Banca)
Prof. Dr. Ariveltom Cosme da Silva
(Membro da Banca)
Prof. Ms. Marlos Gomes de Albuquerque
(Membro da Banca)
Ji-Paraná, 26 de Novembro de 2012
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus por me dá forças para lutar todos os dias em busca
de meus sonhos. Mesmo em momentos difíceis onde pensava ser impossível o senhor me
mostrou luz e paz para não desacreditar e seguir em frente, sempre com o pensamento de que
não existe limite para todos que desejam ir ao infinito.
A minha Mãe, Rosângela, ao meu Pai, Evaldo e a meus irmãos, Cleiton Carlos e
Cleisson Ricardo, que sempre acreditaram nos meus sonhos e me incentivaram a sempre
continuar persistindo nos meus objetivos e este trabalho é o resultado de apenas um dos meus
sonhos que dedico a vocês, pois vocês são os alicerces que me ensinaram a resistir e
enfrentar os obstáculos visando sempre à vitória.
A minha noiva, Bruna Talita Reis, que acompanhou de perto meu esforço, me apoiou
e compreendeu os momentos de ausência, assim como esteve ao meu lado compartilhando
minhas vitórias e realizações. Não posso deixar de agradecer a Família Reis que também
sempre estão me apoiando.
Ao Professor Reginaldo, por suas sábias palavras de incentivo, que acreditou desde o
início neste trabalho, sabendo criticar nos momentos certos e elogiar de maneira construtiva.
Ao Professor Ariveltom por aceitar avaliar e colaborar de forma a enriquecer este trabalho.
Ao professor Marlos, que me ensinou a matéria de equações diferenciais de maneira tão
brilhante, que me inspirou a querer desenvolver um trabalho nesta área, por avaliar e
contribuir no desenvolvimento desta pesquisa. Esse conhecimento levarei comigo para
sempre, por isso deixo meus mais sinceros agradecimentos a todo o corpo docente do
departamento de matemática de Ji-Paraná.
Aos meus amigos, que conhecem minha vida e estão comigo em todos os momentos,
essa vitória também vai para vocês, não pensem que o tempo me fará esquecer seus nomes,
mesmo que muitos já não estejam convivendo comigo, ainda sou o mesmo, o simples Cleidson
Bruno.
“As equações diferenciais tem uma importância muito grande nas
aplicações de matemática”
Louis Leithold (1994)
RESUMO
Esta pesquisa traz um breve contexto histórico das equações diferenciais e de alguns
pesquisadores que contribuíram para o seu desenvolvimento, além de apresentar algumas de
suas contribuições. A pesquisa apresenta ainda, uma abordagem teórica das equações
diferenciais relacionada a seus teoremas, suas definições e resoluções, além de apresentar
algumas aplicações em biologia. Dentre as aplicações, ela apresenta uma equação utilizada
para determinar o instante da morte de um indivíduo, além de tratar do crescimento e
decrescimento populacional, através de modelos matemáticos, da Arara-azul-de-Lear, espécie
ameaçada de extinção.
PALAVRAS-CHAVE
Equações Diferenciais; Tempo da morte de um sujeito; Equações Diferenciais aplicadas a
Biologia.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 8
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................................ 9
1.1 UM BREVE CONTEXTO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .................................... 9
1.2 DEFINIÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................... 10
1.2.1 Equações Diferenciais Ordinárias ........................................................................ 12
1.2.1 Equações Diferenciais Parciais ............................................................................. 13
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS A BIOLOGIA ......................................... 13
2.1 METODOLOGIA DA PESQUISA ................................................................................ 15
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES ..................................................................................... 16
3.1 TEOREMA DE NEWTON: LEI DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA ................... 16
3.2 ENTREVISTA COM UM MÉDICO LEGISTA DA POLICIA CIVIL ......................... 17
3.3 MÉTODOS PARA DETERMINAR O INSTANTE DA MORTE DE UMA PESSOA 18
3.4 APLICAÇÃO DO TEOREMA DE NEWTON .............................................................. 20
3.5 CRESCIMENTO POPULACIONAL DA ARARA-AZUL-DE-LEAR ........................ 23
3.6 APLICAÇÃO DA TEORIA DE MALTHUS NA ESPÉCIE ARARA-AZUL-DE-LEAR
............................................................................................................................................... 25
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 28
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 29
APÊNDICES ........................................................................................................................... 31
8
INTRODUÇÃO
As equações diferenciais estão diretamente relacionadas ao cálculo diferencial e
integral desenvolvidos por Isaac Newton1 (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz2 (16461716). Ao longo dos séculos foram surgindo outros estudiosos que aprofundaram os conceitos
fundamentais e ampliaram os campos de atuações. Existem estudos relacionados à aplicação
das equações diferenciais em engenharia, em estatística, em questões financeiras, em
fenômenos biológicos envolvendo modelagem matemática, entre outros.
Na biologia é comum o uso das equações diferenciais em modelos populacionais,
manipulação de medicamentos e casos de variações de temperatura. Para entender o processo
de formação de modelos matemáticos e quais são eles, é necessário compreender teoremas e
definições que os envolvem, além de fazer uma análise da história das equações diferenciais.
Essa pesquisa busca mostrar parte da evolução histórica das equações diferencias,
além de algumas de suas aplicações. Para tanto, ela esta assim distribuída.
No capitulo 1. É feita uma abordagem histórica relacionada às descobertas do cálculo
com autores e suas contribuições. Apresenta algumas definições de derivadas, além de
algumas definições de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e de Equações Diferenciais
Parciais (EDP).
O capitulo 2, destaca a importância da matemática aplicada à biologia e apresenta a
metodologia usada para o desenvolvimento da pesquisa.
O capítulo 3, traz os resultados e discussões sobre aplicações das equações
diferenciais. Ele traz dois casos de aplicações das EDO, o primeiro é a da determinação da
hora da morte de um indivíduo, por meio da Lei de Variação de Temperatura de Newton. O
segundo caso, aborda o crescimento e da população de Araras-azuis-de-Lear, atualmente
ameaçada de extinção e protegida legalmente. Por meio de Equações Diferenciais será
mostrado que o aumento populacional destas espécies obedece a um modelo matemático que
permite especular o número de indivíduos de acordo com o tempo decorrido.
1
Nasceu no interior da Inglaterra, no dia de natal e ano da morte de Galileu. Estudou no Trinity College em
Cambridge em 1661.
2
Nasceu em Leipzig na Alemanha, entrou na universidade 15 anos onde concluiu bacharelado. Estudou teologia,
direito, filosofia e matemática na universidade.
9
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1.1 CONTEXTO HISTÓRICO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Viana & Silva (2007, p. 3) afirmam sobre a História da Matemática (HM) que:
O conhecimento da HM possibilita perceber que as teorias que hoje aparecem
acabadas e elegantes resultaram de desafios que os matemáticos enfrentaram e que
foram desenvolvidas com grande esforço, quase sempre, numa ordem bem diferente
daquela em que são apresentadas após o processo de formalização.
O início do estudo das equações diferenciais surgiu com Newton, que desenvolveu o
teorema fundamental do cálculo e Leibniz que chegou aos mesmos resultados em um estudo
paralelo. Mas Isaac Newton era reservado quanto à divulgação de seus resultados, por não
gostar de ouvir críticas, enquanto Leibniz era mais flexível e publicava o resultado de seus
trabalhos, como a descoberta do cálculo diferencial e integral. Mas ainda assim, Newton
apresentou contribuições para o desenvolvimento da matemática, dentre elas é possível
destacar a classificação das equações diferenciais de 1ª ordem. Alguns conceitos nesta área
são atribuídos a Leibniz, como a criação da notação usada na diferencial, o sinal da integral, o
método de separação de variáveis, a redução de equações homogêneas e as equações
separáveis, além do método de resolução de equações diferenciais de 1ª ordem.
Depois de algumas tentativas ele se fixou em
e
para as diferenças menores
possíveis (diferenciais) em
e , embora inicialmente usasse
e
para
indicar o abaixamento de grau. A principio ele escreveria simplesmente omn (ou
“todos os ”) para soma das ordenadas sob uma curva, mas mais tarde ele usou o
símbolo ∫ , e ainda mais tarde ∫
, o sinal de integral sendo uma letra s (para
soma) aumentada. (BOYER, 1974, p. 295)
Jakob Bernoulli3 (1654-1705) e Johann Bernoulli4 (1667-1748) desenvolveram uma
nova forma de resolver problemas usando equações diferenciais, conhecida como equação de
Bernoulli, além da realização de outros estudos. Daniel Bernoulli5 (1700-1782) era fascinado
por essa área e concentrou-se em ampliar o campo de suas aplicações. Outro matemático
considerado o maior do século XVIII foi Leonard Euler6 (1703-1783), um dos pioneiros no
estudo das equações diferenciais parciais, ele definiu sua forma geral e apresentou o modelo
3
Nasceu em Basel na Suíça, tornou-se professor de matemática em Basel em 1687.
Nasceu na mesma cidade de Jakob e assumiu a posição do irmão em 1705 quando ele faleceu.
5
Nasceu na Holanda, era filho de Johann e integrou a academia de São Petersburgo.
6
Nasceu na Basiléia, foi aluno de Johann, considerado o maior matemático do século XVIII. Ficou cego nos
últimos 17 anos de sua vida, mas escreveu diversos trabalhos.
4
10
para a solução geral, desenvolveu o método do fator integrante, além de fornecer bases para a
continuidade dos estudos sobre o assunto, como Boyer (1974, p. 333) cita.
Euler foi sem dúvida o maior responsável pelos métodos de resolução usados hoje
nos cursos introdutórios sobre equações diferenciais, e até muitos dos problemas
específicos que aparecem em livros textos de hoje remontam aos grandes tratados
que Euler escreveu sobre o Cálculo – Institutiones calculi diffrentialis (Petersburgo,
1768-1770, 3 volumes).
Dentre os grandes matemáticos, ainda é possível citar Joseph-Louis Lagrange7 (17361813), ele demonstrou que uma solução geral de uma equação diferencial linear homogênea
de ordem , é uma combinação linear de
soluções independentes, ele ainda criou o método
de variação dos parâmetros. Certamente, outros matemáticos propuseram métodos
alternativos de resoluções dessas equações, mas é necessário ressaltar como foram iniciados
os primeiros passos até chegar à forma conhecida e ensinada atualmente.
1.2 DEFINIÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
As equações diferenciais envolvem conceitos diretos de derivadas e integrais,
portanto, torna-se fundamental apresentar suas definições, assim como Abunahman (1982, p.
1) expõe “Toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada
ou diferencial destas funções denomina-se equação diferencial”.
Derivada é inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas, que nada mais é do que
a reta tangente ao gráfico em um determinado ponto. A Figura 1 ilustra uma reta secante,
enquanto a Figura 2 apresenta uma reta tangente ao gráfico no ponto (x, f(x)).
7
Nasceu em Turim na Alemanha, tornou-se professor de matemática na academia militar de Turim.
11
Figura 1 - Inclinação da secante ao gráfico de f
Figura 2 - Inclinação da tangente à curva como a derivada de ( )
Leithold (1994, p. 140) traz a seguinte definição para a reta tangente:
Suponhamos que a função
ponto (
(i)
seja contínua em
. A reta tangente ao gráfico de
no
( )) é
A reta por
( ), dada por
tendo inclinação
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
se o limite existir
(ii)
A reta
se
( )
e
Se (i) nem (ii) forem verdadeiras, então não existirá reta tangente no gráfico
ponto (
( )).
( )
, no
12
Com base nessas definições, Bronson (1977) expõe que “Uma equação diferencial é a
que envolve uma função incógnita e suas derivadas.”. Veja os exemplos expostos:
( )
( )
O objetivo do uso das equações diferenciais é encontrar suas incógnitas através de
derivação e/ou integração da função em questão. Dependendo do número de incógnitas
envolvidas no problema, a equação pode ser classificada em dois tipos, Equações Diferenciais
Ordinárias e ou Equações Diferenciais Parciais.
1.2.1 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Se uma equação envolvendo derivadas depender de uma só variável, como a equação
(6), então ela será classificada como Equação Diferencial Ordinária (EDO) (BOYCE &
DIPRIMA, 2002).
( )
( )
( )
onde:


ou y’ representa a diferencial;
( ) e q(x) são funções contínuas em algum intervalo.
Outra classificação de uma EDO é quanto à ordem e o grau, sua ordem é identificada
pela maior diferencial encontrada na equação, enquanto o grau é identificado pelo maior
expoente da maior derivada. A seguir alguns exemplos:
(
)
(
( )
)
( )
Existem várias maneiras de resolver uma EDO, alguns mais fáceis e outras requerem
métodos mais elaborados para sua resolução completa. Barreto et al (2011) afirma que
13
“Existem equações em que não é possível desenvolver apenas usando as integrais
diretamente.”.
1.2.2 Equações Diferenciais Parciais (EDP)
Se uma equação diferencial depender de mais de uma variável, ela será classificada
como Equação Diferencial Parcial (EDP) (BOYCE & DIPRIMA, 2002).
Exemplo:
( )
(
)
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS A BIOLOGIA
O meio ambiente apresenta relações de variações que podem ser traduzidas por
equações matemáticas, sendo que algumas delas somente podem ser explicadas por
conhecimentos específicos na área de exatas, logo abre espaço para um matemático atuar, pois
possui especialidade em resolução de problemas e poderia demonstrar uma ocorrência por
mio de um modelo matemático. Essa possibilidade de conciliar Matemática e Biologia através
pode ser denominada como Biomatemática8, que se encontra em fase inicial se comparada ao
desenvolvimento e aplicações das ciências exatas, mas já tem mostrado importantes avanços
através de algumas linhas de pesquisa como em analise genômica, que estuda o
desenvolvimento de células em estágios que se encontram infectadas ou em testes de uma
nova droga. Em equações diferenciais é comum encontrar pesquisas biológicas direcionadas a
dinâmica populacional, que através da análise de dados estipulam a quantidade de indivíduos
ao longo do tempo, ou em termodinâmica que estuda casos de variações de temperatura. Um
fato concreto é que, muitos comportamentos na natureza, apresentam características de
variações através de taxas.
8
É a união de duas ciências distintas trabalhando em conjunto, cada uma com seus conceitos.
14
Muitos dos princípios, ou leis, que governam o universo físico são preposições, ou
relações, envolvendo a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Como as taxas de
variações são representadas matematicamente por derivadas, conclui-se que tais
princípios podem ser expressos em termos de equações diferenciais (ALITOLEF et
al, p.75, 2010).
Existem estudos recentes que através de modelagem matemática conseguiu chegar a
uma conclusão de ocorrências biológicas. Pesquisadores do Grupo de Biologia Matemática do
Instituto de Física Teórica da Universidade Estadual Paulista, por meio da matemática,
mostraram a ausência de epidemias de malária em regiões de Mata Atlântica, enquanto na
região Amazônica ocorre o processo inverso. Para explicar a ausência de malária na região
atlântica, pesquisadores observaram que nela ocorre maior biodiversidade que na região
Amazônica, sendo assim, eles transformaram essa informação em conceitos matemáticos que
Sá (2012) chamou de “uma relação inversamente proporcional entre biodiversidade e
transmissão de agentes infecciosos”. Considerando os animais abundantes e quantidade
considerável de pessoas que vivem na região da Mata Atlântica, concluíram que existe maior
incidência de mosquitos Anopheles9. Então, eles criaram um modelo matemático que estima
quantas picadas são necessárias para uma pessoa buscar se proteger. O resultado mostrou que
quanto maior a quantidade de mosquitos, mais as pessoas se protegem para não serem
picadas. No sentido oposto, em regiões amazônicas, os mosquitos aparecem em menor
número, como consequência as pessoas se protegem menos e ficam mais sujeitas a ameaças
dos mosquitos transmissores de malária.
Outro modelo matemático importante relaciona-se ao declínio da população de
anfíbios. Esta pesquisa considerou quais as condições para a manutenção da população de
anfíbios sendo nomeada por Sá (2012) de “mortalidade, taxas de nascimento, migração da
água para a floresta e da remigração da floresta para à agua”. Os resultados mostram que os
anfíbios são obrigados a saírem da água para completar seu ciclo de vida e ao redor de seu
habitat encontra-se desmatada, logo eles ficam mais expostos à ação de predadores naturais.
Então, um modelo matemático os ajudaram na conclusão que os anfíbios correm sério risco de
extinção.
Quando da criação de um modelo matemático, dependendo de uma série de fatores,
inclusive da variação da amostra que poderá requerer cálculos mais complexos. Nesses casos,
e em muitos outros, as equações diferenciais poderá facilitar o processo.
9
Gênero do mosquito transmissor da malária.
15
Entretanto existem casos em que no acompanhamento de uma pesquisa surjam
variações desordenadas, ou seja, se altera de forma não linear. Logo, é possível por
em prática essas alterações e transformá-las em taxas ou conceitos encontrados em
equações diferencias (BARRETO et al, 2011).
2.1 METDOLOGIA DA PESQUISA
Para melhor embasamento da pesquisa, foi feita uma revisão bibliográfica para obter
fundamentação histórica sobre matemáticos e suas principais contribuições em equações
diferenciais, o qual direcionou a busca de seus teoremas e definições para melhor
compreensão e utilização de suas equações.
Em seguida realizou-se um levantamento de informações relacionadas ao óbito de
pessoas. Através de entrevista com a Doutora Gelka Lamego, fez-se um estudo das
possibilidades para determinar o instante da morte de uma pessoa, a partir desta entrevista, foi
esclarecido de que forma ocorre a determinação do tempo de morte, ela explicou que um dos
processos é através do resfriamento do corpo ou através da rigidez cadavérica, outra forma se
dá pelo surgimento de larvas. No caso do resfriamento é possível utilizar a Lei de Variação
de Temperatura de Newton, que através de Equações Diferenciais, permite estimar o instante
aproximado de morte de um indivíduo.
Posteriormente, foi aplicada a Lei de Newton em um caso de óbito, para comparar seu
resultado com os dados fornecidos pelo legista. Com autorização do Chefe do Departamento
de Perícia Criminal da Policia Civil de Ji-Paraná, o senhor João Universo, forneceu as
informações referentes a um homicídio ocorrido em 30 de maio de 2012 na cidade de JiParaná.
Em outra linha de pesquisa, buscou-se modelar o crescimento populacional da Araraazul-de-Lear através do teorema de Malthus. A peça fundamental para a criação do modelo
foi à colaboração de pesquisadores do Instituto Chico Mendes, que desenvolvem o projeto de
conservação através do CEMAVE10, além do coordenador João Luiz Xavier do Nascimento
que disponibilizou informações importantes para o desenvolvimento desta pesquisa, por meio
de telefonemas e e-mails, além de colaborar na busca de informações no site oficial do
Instituto. Os contatos ocorreram nos meses de março a maio de 2012. De posse das
10
Centro Nacional de Pesquisas e Conservação de Aves Silvestres.
16
informações, buscou-se modelar o crescimento populacional dessas aves, além de fazer uma
projeção para a quantidade de indivíduos da espécie em 2017, ano em que termina o
monitoramento da espécie.
3 RESULTADOS E DISCUSSÕES
3.1 LEI DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA DE NEWTON
Em muitos casos, pessoas vão a óbito sem que haja alguma testemunha ou alguém que
pudesse ajudá-la. Em especial, quando se trata de crime ou acidente, o agente causador muitas
vezes busca a fuga na tentativa de não ser responsabilizado pelo ato. Na busca da elucidação
do ato criminoso ou ainda por um familiar que deseja conhecer o momento morte de seu ente
querido é possível determinar o instante da morte do individuo através de alguns aparatos.
Uma delas é a Lei do Resfriamento de Newton onde há a possibilidade de se conhecer o
tempo de morte da pessoa. Nesse procedimento, é necessário considerar a temperatura do
corpo como Ө(t) e T a temperatura ambiente.
A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de
temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o
meio ambiente, seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente.
Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é dT/dt, e a lei de Newton relativa
à temperatura pode ser formulada como dT/dt = - k(T-Tm) ou como dT/dt + kT =
KTm, onde k é uma constante positiva de proporcionalidade (BRONSON, 1977, p.
49).
Para ser possível aplicar esse modelo, é necessário avaliar em quais ambientes é
possível desenvolver a teoria de Newton, já que existem locais em que a temperatura
ambiente altera frequentemente. Outro caso a ser considerado são os equipamentos utilizados
para medir a temperatura do local e do corpo.
Para esclarecer tais questionamentos a Doutora Gelka Lamego CRM11 47-RO que
desempenha a função de médica legista da polícia civil em Ji-Paraná/RO, se disponibilizou a
colaborar com a pesquisa.
11
Conselho Regional de Medicina serve para certificar que um médico pode exercer plenamente suas funções.
17
3.2 ENTREVISTA COM UM MÉDICO LEGISTA DA POLICIA CIVIL
Esta entrevista tem como objetivo, buscar informações sobre quais são os métodos
utilizados para determinar o instante da morte de uma pessoa e confirmar a aplicabilidade da
Lei de variação de temperatura de Newton. Pois é de fundamental importância para o
pesquisador conhecer a opinião de um profissional que atue na área, além de compreender
outros métodos que cheguem ao mesmo resultado.
APÊNDICE A
Nome: Gelka Lamego
Cargo: Médica Legista
Órgão: Policia Civil do Estado de Rondônia
Cidade: Ji-Paraná/RO
CRM: 047-RO
Data: 15/05/12
Entrevista com um médico legista da Policia Civil
1) É possível calcular o instante da morte de uma pessoa utilizando a Lei de Variação de
Temperatura de Newton?
Dra. Gelka: Sim
2) Em quais casos há restrições para aplicar esse teorema?
Dra. Gelka: Quando o cadáver perdeu muito sangue ou se morreu devido á ingestão
de veneno ou se passa muito tempo após o óbito. Também há questões relacionadas a
mudanças constantes de temperatura.
3) Quais instrumentos são necessários para se obter as medidas das temperaturas do
corpo e do ambiente?
Dra. Gelka: Um termômetro digital é ideal para se obter a temperatura ambiente e
através do reto do cadáver é possível obter sua temperatura.
4) Quando uma pessoa morre em um ambiente natural, até que temperatura o corpo
varia?
Dra. Gelka: Geralmente a temperatura do cadáver tende a se igualar com a
temperatura ambiente dependendo das condições onde o corpo se encontra e as
características da morte.
5) Qual a temperatura normal de uma pessoa?
Dra. Gelka: 37°C.
18
6) Qual o método utilizado pela policia civil para se determinar o horário de morte de
uma pessoa?
Dra. Gelka: Após uma pessoa morrer, com o passar do tempo o corpo começa a
apresentar sinais de rigidez cadavérica e também há como verificar pela presença de
larvas, mas é feita a necropsia após um período de 6 horas.
3.3 MÉTODOS PARA DETERMINAR O INSTANTE DA MORTE DE UMA PESSOA
É comum em séries de televisão ou em filmes, abordarem enredos forenses em que
médicos ou peritos afirmam com precisão o instante em que uma pessoa morre. Alguns dos
aparatos utilizados referem-se a fenômenos cadavéricos vitais negativos, que ocorre quando
fica explicito a ausência de vida, ou seja, apresenta inconsciência, insensibilidade,
imobilização, abolição do tono muscular, baixa da temperatura corporal, cessação da
respiração e circulação e fenômeno cadavérico transformativo, que modificam a característica
do corpo, como a putrefação.
A temperatura normal de uma pessoa é mantida através de um equilíbrio direto entre o
metabolismo corpóreo e a temperatura ambiente, que podem ser notados quando uma pessoa
apresenta sudorese, tremor ou até mesmo a própria circulação sanguínea, serve como
regulador de temperatura. Quando uma pessoa morre, inicia-se uma série de processos como o
resfriamento do cadáver, conhecido como frigor mortis, a temperatura do corpo tende a cair
até igualar-se a do ambiente. Esse resfriamento ocorre de forma diferente, dependendo da
idade do indivíduo, o que torna imprescindível a consideração da idade da vítima, pois,
quando se trata de idosos, que possuem trocas metabólicas de calor mais vagarosos, ou recémnascidos, que embora possuam um metabolismo acelerado, no entanto tem o corpo muito
pequeno e a pele muito delicada, a temperatura do corpo tende a esfriar mais rapidamente. O
ambiente em que se encontra o cadáver também deve ser levado em consideração, uma vez
que variações constantes de temperatura influenciam no resfriamento do corpo, há de se
ressaltar que as extremidades do corpo tendem a esfriar mais rapidamente que as demais
partes do corpo. Logo, para melhor acompanhar a variação de temperatura do cadáver é
necessário medir a temperatura através do reto.
19
A temperatura interna, ou central, mantém-se suficientemente constante, porem, isso
não significa que essa temperatura seja invariável. Órgãos que possuem uma maior
taxa de produção de calor podem ser mais quentes que outros, mas não são
resfriados pelo sangue (isto é, o sangue venoso que sai desses órgãos é mais quente
que o arterial). As diferenças de temperatura no centro podem ser de até 0,5 ºC de
um local para outro. Logo, não se pode falar de uma única temperatura central, mas,
para fins práticos, a temperatura retal profunda é frequentemente utilizada como
uma medida. (SCHIMIDT-NIELSEN, 2002, p. 242)
Outro caso a ser considerado na determinação do tempo morte é através da rigidez
cadavérica, mecanismo que no passado, a pessoa só era considerada morta se mostrasse esses
sinais.
Até 3 ou 4 séculos, a morte era rejeitada antes da constatação dos fenômenos da putrefação cadavérica. Passou depois pelo estado de rigidez e resfriamento do cadáver,
a cessão da respiração e pela parada cardíaca. Todavia, os progressos da terapêutica
médica, como medidas de restabelecimento dos batimentos do coração parado e o
emprego de meios mecânicos artificiais para manter a respiração, abalaram a
definição clínica habitual da morte (CHAVES, p. 94, 1994).
A rigidez cadavérica ou rigor mortis é o estado em que o corpo se encontra rígido,
geralmente ocorre de 6 a 12 horas após a morte de um indivíduo, dependendo do índice de pH
-potencial hidrogênico- que indica a acidez, neutralidade ou alcalinidade de um corpo, estimase um horário aproximado do fato ocorrido, após esse período ocorre o início do processo de
decomposição.
A decomposição cadavérica tem início quando o tecido do morto é invadido por
microrganismos anaeróbicos, isto é, aqueles que não necessitam de oxigênio para sobreviver,
que digerem o corpo e geram a liberação de gases levando a alterações químicas.
Alguns aspectos do cadáver podem ser notados através do uso dos sentidos, tais como:

Aparecimento da rigidez cadavérica;

Eliminação de sangue pelas vias naturais;

Odor cadavérico decorrente da formação de substâncias voláteis por ação de
bactérias. Entre as substâncias mal cheirosas formadas durante a putrefação.
Em ambientes abertos, é comum encontrar a presença de larvas de moscas no cadáver.
Para a postura de ovos, elas preferem local onde haja orifícios ou feridas. As larvas começam
a aparecer entre 10 e 24 horas após as moscas colocarem seus ovos.
20
3.4 APLICAÇÃO DO TEOREMA DE NEWTON
No dia 30/05/12 na cidade de Ji-Paraná/RO, ocorreu um homicídio de um homem de
38 anos, causado por arma de fogo. A chegada da perícia ocorreu às 19h45min, sendo medida
a temperatura do cadáver que apresentava temperatura corporal de 36,3°C, às 20h45min o
corpo estava com 35,4°C. Considerando a temperatura normal de um corpo 37°C e a
temperatura ambiente no dia de 30°C, é possível fazer uma linha do tempo e determinar o
instante da morte dessa pessoa usando
⁄
(
).
A seguir, a Tabela 1 indica uma linha do tempo de ocorrência da morte do homem em
questão e a medidas policiais e periciais.
Tabela 1: Linha do tempo em relação aos eventos
Resolução:

representa a temperatura do corpo;

tempo;

variação da temperatura em relação o tempo;

constante de variação de temperatura no decorrer do tempo;

temperatura ambiente.
21
De posse dessas informações e utilizando a equação da variação de temperatura de
Newton é possível estimar o tempo de morte do indivíduo.
(
(
)
(
)
)
Aplicando a integral na equação anterior e utilizando como intervalos de integração, as
temperaturas medidas no corpo no momento da chegada da pericia e a segunda temperatura
medida, para
a temperatura ambiente quando da chegada da perícia, tem-se:
∫
(
∫
)
(
(
)
|
)|
⇒
Encontrado
e substituindo o seu valor, as variações de temperatura e tempo na
equação (12), onde t representa o instante da morte do indivíduo, tem-se:
∫
(
(
)
)|
(
∫
|
) ⇒
Com o horário de morte estimado, é possível transportá-lo para a Tabela 2.
22
Tabela 2: Linha do tempo com os resultados obtidos
O sinal negativo do resultado encontrado em t indica que o tempo de morte ocorreu
antes das 19h45min, momento da chegada dos peritos, chamado de tempo 0. Logo, para
determinar o momento da morte, aplica-se o produto de t em módulo, por 60 minutos. Assim
é possível concluir que a pessoa faleceu aproximadamente 41 minutos antes da chegada dos
peritos, ou seja, próximo das 19h04min.
O relatório oficial do CBMRO12 informou que ao chegar no local, às 19h03min para
socorrer a vitima, constataram que a mesma apresentava ausência dos sinais vitais. Logo, o
modelo apresentado demonstra uma margem de erro de apenas 1 minuto em relação aos dados
oficiais e assim pode ser considerado válido.
O homicídio em questão teve seu horário confirmado através de testemunhas que
presenciaram o fato, além do horário de acionamento da equipe de resgate para socorrer a
vítima. No entanto, existem casos em que não existem testemunhas para relatar a hora da
ocorrência devido a diversos fatores, como; o agente causador evadir-se sem prestar socorro
e/ou deixar de informar o caso, ou em situações de morte natural em que os familiares não
percebem o horário do ocorrido. Nestes casos, o método de Newton é um bom recurso para
determinar o horário da morte da pessoa.
12
Corpo de Bombeiros Militar do Estado de Rondônia.
23
3.5 CRESCIMENTO POPULACIONAL DA ARARA-AZUL-DE-LEAR
A Arara-Azul-de-Lear (Anodorhynchus leari) é uma das três espécies que compõe o
gênero Anodorhynchus. As outras são a arara-azul-pequena (Anodorhynchus glaucus)
considerada extinta e a arara-azul-grande (Anodorhynchus hyacinthinus) que estão dispersas
no Brasil.
A espécie alvo deste estudo segundo o ICMBio13(2012), é encontrada nos municípios
baianos de Canudos, Uauá, Paulo Afonso, Euclides da Cunha, Jeremoabo, Sento Sé e Campo
Formoso, tendo registros históricos de 1856. Devido à redução do habitat natural e ação de
caçadores, chegou a ser estimada em 60 indivíduos no ano 1979.
Devido ao risco de extinção desta espécie, foi criada a Portaria n° 19, de 17 de
fevereiro de 2012 e pulicada no diário oficial da união, que apresenta no Plano de Ação
Nacional alguns dos objetivos em (JUSBRASIL, 2012), tais como:
Art. 2° - O PAN Arara-azul-de-Lear tem como objetivo geral “Manter o crescimento
populacional da Arara-Azul-de-Lear até 2017, garantindo e incrementando a
qualidade do habitat e envolvendo as comunidades de ocorrência da espécie na sua
conservação”.
§ 1º - O PAN Arara-Azul-de-Lear (Anodorhynchus leari) abrange uma espécie
ameaçada de extinção.
§ 2º - Para atingir o objetivo previsto no caput, o PAN Arara-Azul-de-Lear, com
prazo de vigência até fevereiro de 2017 e como supervisão e monitoria anual, possui
as seguintes metas:
I - Até 2017, Programa de Educação Ambiental Integrado específico para a AraraAzul-de-Lear implementado na área de ocorrência da espécie, em pelo menos sete
municípios, e que promova o envolvimento das comunidades no Programa de
Conservação e Manejo da Arara-Azul-de-Lear;
II - Habitat da Arara-Azul-de-Lear incrementado em qualidade em 5% até 2017;
III - Programa de Conservação e manejo da Arara-Azul-de-Lear integrado e
fortalecido até 2017 para gerar, sistematizar e divulgar o conhecimento necessário
para o manejo da espécie e seu habitat, abordando os temas-chave definidos nas
ações;
A Figura 3 ilustra um dos habitats da Arara-Azul-de-Lear.
13
Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade.
24
Figura 3 - Arara-azul-de-Lear em seu habitat natural
FONTE: ICMBio, 2012
Apesar de haver informações sobre a quantidade de indivíduos desta espécie desde a
década de 70, os números não eram precisos devido à falta de pessoas para realizar a
contagem e não conhecer a localização de todos os dormitórios da espécie. Mas a partir de
1998, pesquisadores do Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade, já
disponibilizavam de uma equipe habilitada para realizar a contagem desses indivíduos. O que
tornou possível realizar 12 censos neste ano, levando-os a um total de 181 aves da espécie.
Outra constatação importante foi que nos anos seguintes houve aumento populacional,
conforme mostra a Tabela 3. Em 1998 foram observadas 181 araras e esse número evoluiu
para 652, observados em 2006.
Tabela 3- Crescimento populacional da espécie Anodorhynchus leari de 1998 a 2006
FONTE: ICMBio, 2012.
25
Com base nos dados da Tabela 3 e utilizando um modelo matemático adequado, é
possível estimar o crescimento da população de araras para os anos seguintes. A previsão da
quantidade desses indivíduos, nesta pesquisa, será baseada no modelo de Malthus14 (17661834).
Em 1798, Malthus publicou seu Ensaio sobre a população, no qual desenvolveu
uma teoria demográfica que se apoiava basicamente em dois postulados:

A população, se não ocorrerem guerras, epidemias, desastres naturais, etc.,
tenderia a duplicar a cada 25 anos. Ela cresceria, portanto, em progressão geométrica
(2, 4, 8, 16, 32...) e construiria um fator variável, que cresceria sem parar.

O crescimento da produção de alimento ocorreria apenas em progressão
aritmética (2, 4, 6, 8, 10...) e possuiria certo limite de produção, por depender de um
fator fixo: a própria extensão territorial dos continentes.
Ao considerar esses dois postulados, Malthus concluiu que o ritmo de crescimento
populacional seria mais acelerado que o ritmo de crescimento da produção de
alimentos (progressão geométrica versus progressão aritmética). (MOREIRA &
SENE, 2009, p. 431).
A quantidade de indivíduos de uma espécie, num determinado tempo, fica
perfeitamente representada pela equação
(
onde
representa o número de indivíduos após um tempo desejado,
de indivíduos no instante inicial,
)
representa o número
é a taxa de variação e o tempo desejado.
Os dados obtidos foram coletados pelo ICMBio nos anos de 1998 a 2006 e portanto,
deve-se considerar que haja uma margem de erro referente ao número de indivíduos, pois os
locais onde vivem essas aves são de difícil acesso. Outros fatores que podem influenciar no
resultado, é a ação de caçadores ou de predadores naturais, além da mortalidade natural de
algumas araras, podendo ocasionar divergência nos números apresentados.
3.6 APLICAÇÃO DA TEORIA DE MALTHUS NA ESPÉCIE ARARA-AZUL-DE-LEAR
Com base nos dados da Tabela 3, em 1998 foram catalogadas 181 aves da espécie
arara-azul-de-lear, três anos depois foram registrados 280 indivíduos dessa espécie.
Conhecido o tempo decorrido e a quantidade de indivíduos em cada época é possível
14
Nasceu em Rookery, na Inglaterra, conhecido como o pai da demografia ao elaborar a teoria malthusiana.
26
encontrar , taxa de variação relacionada ao número de araras. Portanto, substituindo os dados
em (13);
aplicando logaritmo natural, tem-se:
Logo a equação que modela o crescimento da arara-azul-de-Lear é:
(
)
Utilizando a equação (14), deseja-se conhecer o número de exemplares de
Anodorhynchus leari havia no ano de 2011. Como decorreram 13 anos, de 1998 a 2011, basta
substituir esse valor de t e assim encontra-se o valor de N.
Portanto, em 2011 haveria aproximadamente 1199 araras, valores próximos aos
obtidos pelo ICMBio com uma amostragem de 1150 indivíduos, uma diferença de apenas
4,2450261% em relação aos dados obtidos no modelo. Segundo Bassanezi (2006, p. 54)
“Uma regressão ou ajustes de curvas é um recurso formal para expressar algumas tendências
da variável dependente de y quando relacionada com a variável independente x”. Logo, a
equação (14) pode ser usada para expressar o número de espécies em relação ao tempo.
O Plano de Ação Nacional n°19, de 17 de fevereiro de 2012, prevê um crescimento
populacional monitorado até 2017. Com base nos dados da Tabela 3 e o modelo matemático
em questão, é possível prever o número de Araras-azuis-de-Lear em 2017. Como no período
27
em questão decorreram 19 anos, utilizando a equação (14), chegará à população aproximada
em 2017.
Portanto, em 2017 é previsto aproximadamente 2869 Araras-Azuis-de-Lear. Com base
nos resultados, é possível traçar metas de monitoramento e ações de políticas ambientais para
preservação, não apenas da arara-azul-de-lear, mas de outras espécies ameaçadas de extinção.
28
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho foi feito um levantamento histórico da evolução das equações
diferenciais desde o século XVII. Nele, foi possível conhecer os principais autores de
teoremas e definições, que serviram de base para fundamentar e entender o processo de
construção dos modelos apresentados.
Através da Lei de Variação de Temperatura de Newton, foi possível prever o instante
da morte de uma pessoa, de forma satisfatória. Por meio da determinação da hora morte do
indivíduo é possível em muitos casos pôr suspeitos na cena do crime, descartar testemunhas,
inocentar ou incriminar suspeitos. Além de poder ser aplicado para determinar a hora do
falecimento em casos de morte natural, para satisfazer o desejo de familiares que queiram
conhecer a hora do falecimento do ente querido.
A previsão da população em um certo período, contribui para o desenvolvimento de
ações ambientais e governamentais para a preservação da espécie. Resultados como estes,
atraem novos investidores que contribuem com contratação de mais pesquisadores e aquisição
de melhores equipamentos, de forma a melhorar a qualidade das pesquisas, aperfeiçoar a
eficácia dos métodos. Ação que faltou na preservação da arara-azul-pequena, o que poderia
ter sido evitado com ações eficazes.
Enfim, desde o início da humanidade, a matemática contribui para a solução de
problemas reais e atualmente não é diferente, ela continua contribuindo na busca de soluções
de problemas reais, que servem de baliza para serem traçadas ações de políticas públicas na
busca por uma solução mais adequada, na preservação de várias espécies ou em outras
situações que careçam de ações governamentais ou não.
29
REFERÊNCIAS
ABUNAHMAN, S. A.; Equações Diferenciais. Livros Técnicos e Cientificos; Editora S.
A., Rio de Janeiro; 1ª edição; 1982.
ALITOLEF, Sérgio dos Santos; SANTOS, Reginaldo Tudeia dos; SOUZA, Rubens Batista
de, GOUVEIA NETO, Sérgio Candido de. História das Equações Diferenciais e Algumas
de suas Aplicações. X Semana de Matemática da UNIR, Ji-Paraná, RO, 2010.
BARRETO, Cleidson B. A. C.; CANDIDO, Lenilson Sergio; GOUVEIA NETO, Sérgio
Candido de. Um Breve Contesto Histórico das Equações Diferenciais e Algumas
Aplicações em Biologia. XI Semana de Matemática e I Semana de Estatística da UNIR, JiParaná, RO, 2011.
BASSANESI, R. C.; Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática; Editora
Contexto; São Paulo; 3ª edição; 2006.
BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C.; Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. Livros Técnicos e Científicos; Editora S.A.; Rio de Janeiro; 7ª
edição; 2002.
BOYER, C. BENJAMIN. História da Matemática; Editora Edgard Blucher Ltda; 1974.
BRONSON, Richard; Moderna Introdução as Equações Diferenciais; Editora McGrawHill do Brasil, SP; 3ª edição; 1977.
CHAVES, Antônio. Direito à vida e ao próprio corpo: intersexualidade, transexualidade,
transplantes. SP; 2ª edição, 1994
ICMBio – Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade. Brasília, 2012.
Disponível em <www.icmbio.gov.br>. Acesso em 14 de abril de 2012.
JUSBRASIL, Jurisprudência do Brasil; Portaria n° 19, de 17 de Fevereiro de 2012, Brasília,
2012. Disponível em <http://www.jusbrasil.com.br/diarios/34573734/dou-secao-1-22-022012-pg-66>. Acesso em 20 de Abril de 2012.
LEITHOLD, Louis; O Cálculo Com Geometria Analítica; Editora Harbra, São Paulo – SP,
3ª edição; vol. 1 e 2; 1994.
MOREIRA, J. C. SENE, Eustáquio; Geografia; Editora Scipione, São Paulo – SP, 1ª edição;
2009.
SCHMIDT-NIELSEN, Knut; Fisiologia Animal: Adaptação e Meio Ambiente; Editora
Santos Livraria, São Paulo-SP, 5ª edição; 2002.
SÁ, Vanessa de. Equações da Vida. Unesp Ciência, São Paulo, março 2012. Matemática, p.
32.
30
VIANA, M. C. V.; SILVA, C. M. Concepções de Professores de Matemática sobre a
utilização da História da Matemática no processo de Ensino-Aprendizagem. In: ENCONTRO
NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Pôsteres...
Belo Horizonte, 2007.
31
APÊNDICES
APÊNDICE A- Modelo de entrevista
Nome:
Cargo:
Órgão:
Cidade:
CRM:
Data:
Entrevista com um médico legista da Policia Civil
1) É possível calcular o instante da morte de uma pessoa utilizando a Lei de Variação de
Temperatura de Newton?
2) Em quais casos há restrições para aplicar esse teorema?
3) Quais instrumentos são necessários para se obter as medidas das temperaturas do
corpo e do ambiente?
4) Quando uma pessoa morre em um ambiente natural, até que temperatura o corpo
varia?
5) Qual a temperatura normal de uma pessoa?
6) Qual o método utilizado pela policia civil para se determinar o horário de morte de
uma pessoa?