Prática 4
Medindo Velocidades e um Aceleração Constante
4.1
Objetivos
Estudar o efeito de usar distâncias, ∆x, diferentes no cálculo de uma velocidade instantânea
∆x
v = lim
. Estimar as velocidades instantâneas de um planador em dois pontos de um trilho de ar,
∆x→0 ∆t
e usá-las para estimar o valor de uma aceleração ’constante’. Comparar a aceleração obtida com o valor
calculado a partir do ângulo de inclinação do trilho.
4.2
Introdução
A velocidade média de um corpo é definida como a razão entre o deslocamento do corpo e o
intervalo de tempo transcorrido durante tal deslocamento. Para movimento em três dimensões podemos
dizer que
~v =
∆~r
∆x
∆y ~ ∆z ~
=
~ı +
j+
k.
∆t
∆t
∆t
∆t
No caso de um movimento unidimensional, podemos reescrever a expressão acima como
v=
∆x
xb − xa
=
.
∆t
tb − ta
Figura 4.1: Relação entre posição e tempo em um movimento unidimensional.
v representa o coeficiente angular da reta que une os pontos cujas coordenadas são (ta , xa ) e (tb , xb ),
como pode ser visto na figura 4.1.
A velocidade média nos diz quão rapidamente o corpo se desloca de sua posição inicial (xa ) até sua
posição final (xb ) mas nada nos diz sobre como é este movimento. Por exemplo, o corpo poderia percorrer
todo o espaçco com velocidade constante (neste caso sua velocidade, a cada instante de tempo, seria a
1
própria velocidade média) ou poderia partir com determinada aceleração, parar por alguns instantes e,
em seguida, continuar seu caminho com velocidade constante. Se, para realizar o percurso total, o corpo
“gastar” o mesmo intervalo de tempo, os dois movimentos apresentarão mesma velocidade média. Se
quisermos conhecer o verdadeiro movimento do corpo, em cada instante de tempo, devemos conhecer a
sua velocidade instantânea, isto é
dx
∆x
=
.
v(t) = lim
∆t→0 ∆t
dt
v(t) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva x(t) no instante t, como pode ser visto
na figura 4.2.
Figura 4.2: A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
Em outras palavras, para conhecermos a velocidade de um corpo num exato instante de tempo t
devemos calcular a sua “velocidade média” entre dois instantes de tempo t e t + ∆t. É claro que este
seria um valor aproximado para a sua velocidade instantânea. Quanto menor for o ∆t considerado,
mais próximo do valor exato da velocidade instantânea estará o nosso resultado. Por isso definimos a
velocidade instantânea como sendo o limite de quando ∆t tende a zero de ∆x
. Quanto menor os valores
∆t
de ∆x (e ∆t) usados, quanto mais próximo será nossa velocidade à velocidade instantânea.
Obviamente, somente no caso de uma velocidade constante, os valores das velocidades média e
instantânea coincidem pois, se v não variar, teoricamente não importa a distância, ∆x, usada para
medi-la.
Porém no laboratório há um fator que complica essa análise. A velocidade é um razão de duas
grandezas facilmente mensuráveis: distância e tempo. Mas cada uma dessas grandezas terá uma incerteza associada. Lembramos que, pela teoria de propagação de incertezas (erros), a incerteza percentual (ou relativa) do quociente é igual à soma das incertezas percentuais (ou relativas) de suas partes.
Se soubermos ∆x com uma precisão de 2%, e ∆t com uma precisão de 1%, então a incerteza percentual
em v será de 3%.
Para um instrumento de medição de precisão fixa, embora a incerteza absoluta seja constante
(tipiciamente ±1mm para uma régua) as incertezas percentuais (e relativas) tendem a crescer quanto
menor seja o objeto mensurado.
Enfim, há dois efeitos trabalhando em sentidos opostos: a precisão da velocidade média diminui
para ∆x pequeno, mas o valor mais se aproxima da velocidada instatânea, e é a velocidade instantânea
que consta em quase todos as equações cinemáticas da Fı́sica.
2
Neste experimento, analizaremos o efeito de usar dois valores diferentes de ∆x, usando objetos de
comprimentos diferentes para interromper o feixe de luz de um sensor óptico.
Da mesma maneira, podemos definir a aceleração instantânea como
∆v
.
∆t→0 ∆t
a = lim
que, no caso de uma aceleração constante, será igual à aceleração média
a=
v2 − v1
.
t
Neste experimento, consideramos que a aceleração é constante, e usamos estimativas de velocidades
instantâneas em dois pontos diferentes para estimar a.
4.3
-
4.4
Material Necessário
cronômetro com 2 sensores ópticos,
trilho de ar com 1 planador,
apetrechos para interromper o sensor óptico (pino redondo e placa),
massas de aço inox para elevar uma das extremidades do trilho de 1 ou 2 cm.
Procedimentos
1. Nivele o trilho de ar usando os pés ajustáveis (o trilho está nivelado quano um planador colocado
no repouso no trilho, com o ar ligado, não se desloca à esquerda ou à direita).
2. Eleve uma das extremidades do trilho de ar utilizando os suportes de aço inox (disponı́vel no kit)
de 1 ou 2 cm.
3. Coloque um sensor óptico a aproximadamente 20 cm do ponto inicial do trilho e o segundo a
uma distância de aproximadamente 100 cm do primeiro. Anote cuidadosamente as posições dos
cronômetros.
4. Prepare o cronômetro para a posição GATE. Desta forma o cronômetro medirá o tempo pelo qual
o feixe de luz está interrompida. Verifique que o cronômetro está ajustado para a maior precisão
(0,1 ms).
5. Pressione o botão RESET, para limpar o mostrador do cronômetro.
6. Prepare o cronômetro para a posição PULSE. Desta forma o cronômetro será disparado quando
a luz do primeiro for interrompida e será desligado quando a luz do segundo for interrompida
7. Coloque um pino cilı́ndrico do kit no encaixe superior do planador.
8. Regule a altura dos senores óticos de forma que somente o pino corte a luz quando o planador
atravessar o portão.
9. O planador será colocado na extremidade mais alta do trilho e abandonado do repouso, sempre
desta mesma posição. Registre na guia o intervalo de tempo transcorrido entre as passagens do
planador pelo primeiro sensor óptico. Meça o tempo (que chamaremos de t1 ) um total de dez
vezes. A média dos tempos será usada para calcular a velocidade no primeiro sensor, v1 .
3
10. Repita para o segundo sensor óptico (para não mexer no primeiro sensor, largue o planador de
repouso e aperte o botão RESET após ele passar pela primeiro sensor). Faça esta medição (que
chamaaremos de t2 ) também um total de 10 vezes. A média dos tempos será usado para calcular
a velocidade no segundo sensor, v2 .
v2 − v1
(pois a aceleração é constante). O tempo medido
t
será o tempo para passar do primeiro sensor (onde a velocidade é v1 ) até o segundo sensor (velocidade v2 ). Coloque o coronômetro na posição PULSE, que medirá o tempo para passar de um
sensor óptico ao outro. Meça o tempo de passagem, t3 , um total de 10 vezes.
11. Para medir a aceleração temos que a =
12. Repita a medição de t1 , t2 e t3 com os sensores nas mesmas posições, mas trocando o pino cilı́ndrico
pela placa retangular.
13. Meça os tamanhos aparentes (detectados pelo sensor) do pino e da placa, colocando o planador
nas posições em que a luz vermelha em cima do sensor acende e apaga, e fazendo a diferença.
Esses valores servirão como ∆x no cálculo das velocidades. Anote também a incerteza em ∆x
(precisão da escala no trilho).
4.5
Análise
1. Calcule os valores médios de t1 , t2 e t3 , tanto para o pino quanto para a placa, com os desvios
médios. Usando as incertezas percentuais em ∆x, t1 e t2 , calcule as velocidades v1 e v2 , com suas
incertezas percentuais.
2. Calcule as incertezas (os erros) absolutas em v1 e v2 .
3. Calcule os valores das acelerações nos dois casos (placa e pino), junto com suas incertezas.
4.6
Questões
1. Os valores das acelerações calculdas com o pino e placa são iguais?
2. Levando em conta as incertezas, os valores das acelerações calculadas com o pino e placa são
compatı́veis?
3. Qual aceleração tem mais precisão (menor incerteza)?
4. Por que o ∆x usando no cálculo da velocidade nos sensores não é simplesmente igual ao diâmetro
do pino (ou comprimento da placa)?
5. O planador é acelerado pelo componente da gravidade ao longo do trilho. Teoricamente, esse
componente vale g sen θ, onde θ é o ângulo de inclinação do trilho. Sabendo que cada massa
de inox tem espessura de 12,7mm, e que os pés do trilho são 1m a parte, calcule o ângulo de
inclinação do trilho e a aceleração esperada. O valor obtido concorda com os valores medidos?
4
GUIA DO EXPERIMENTO Nome:
Distância em cm durante a qual o feixe é interrompido: ∆x =
Incerteza em ∆x:
Tabela 1: Cálculo de v1 (PINO)
Medição no
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t1
δt1 = ti − t1
t1
desvio |ti − t1 |
Desvio médio
v1 = ∆x/t1 =
Incerteza em v1 :
Tabela 2: Cálculo de v2 (PINO)
Medição no
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t2
t2
δt2 = ti − t2
desvio |ti − t2 |
Desvio médio
v2 = ∆x/t2 =
Incerteza em v2 :
5
Tabela 3: Cálculo da aceleração (PINO)
Medição no
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t3
δt3 = ti − t3
t3
desvio |ti − t3 |
Desvio médio
v2 − v1
=
t3
Incerteza em a:
a=
Tabela 4: Cálculo de v1 (PLACA)
Medição no
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t1
t1
δt1 = ti − t1
desvio |ti − t1 |
Desvio médio
v1 = ∆x/t1 =
Incerteza em v1 :
6
Tabela 5: Cálculo de v2 (PLACA)
Medição no
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t2
δt2 = ti − t2
t2
desvio |ti − t2 |
Desvio médio
v2 = ∆x/t2 =
Incerteza em v2 :
Tabela 6: Cálculo da aceleração (PLACA)
Medição no
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t3
t3
δt3 = ti − t3
desvio |ti − t3 |
Desvio médio
v2 − v1
=
t3
Incerteza em a:
a=
7