MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Armando Leite Ferreira
Carlos Alberto Würth Teixeira
CATALOGAÇÃO NA FONTE
DO
DEPARTAMENTO NACIONAL DO LIVRO
F383m
Ferreira, Armando Leite,
Matemática financeira / Armando Leite Ferreira, Carlos
Alberto Würth Teixeira. - Rio de Janeiro : Expertbooks, 2004.
ISBN 85-85837-15-2
1. Matemática Financeira. I. Teixeira, Carlos Alberto Würth.
II. Título.
CDD-513.93
2a. Edição / 2004
Coordenação Editorial: Apeiron Casa Editorial e Treinamento Ltda.
Revisão: Heloísa Leite
EXPERTBOOKS Editora
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Direitos Reservados
É expressamente proibida a reprodução de qualquer parte desta obra sem autorização expressa da Editora (Lei no. 5.998, de 14.12.1973).
Agradecimentos
Um projeto desta magnitude tinha,
forçosamente, que contar com a colaboração
de pessoas ainda maiores. Durante os anos
de desenvolvimento desse projeto, contamos
com o apoio irrestrito da ExpertBooks Editora
que comprou esse projeto quando ainda era
apenas uma idéia.
Muitas pessoas colaboraram com o
desenvolvimento do projeto. Os autores
agradecem de forma muito especial a Vanise
Paraíso Vetromile pelo tempo e dedicação
gasto quando esse projeto começou, ainda em
ambiente de planilha. Fernanda Baião nos
ajudou nos primeiros passos em linguagens
mais estruturadas e Frederico Peter Strube foi
sempre um conselheiro crítico e mentor da
diagramação original do texto. Próximo ao final
do projeto, Heloísa Leite foi uma revisora crítica,
implacável e adorável do texto e dos números.
E Sonia Hinds de Oliveira fez a última e crucial
revisão quando todos nós já haviamos
decorado cada parte do livro.
A muitas outras pessoas são os autores
devedores, mas não é possível passar para o
papel tudo o que está escrito em nossos
corações. A elas nosso agradecimento pelo
tempo e paciência. Aos nossos, de quem o
desenvolvimento deste método roubou tanto
tempo, que vejam no trabalho agora finalizado
o sonho que ajudaram a construir. Embora
menor que o tempo, ajudou-nos a crescer.
Apresentação
Estrutura do Curso
Forma de Avaliação
Instalando o Programa de Apoio
Iniciando o Curso
Lições
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Conceitos 1
Capitalização Simples 15
Taxas Proporcionais 37
Capitalização Composta 53
Taxas Equivalentes 71
Desconto Bancário 89
Desconto Composto 107
Séries Uniformes 125
Sistemas de Amortização SAA e SAC 149
Sistema de Amortização Francês 183
Fluxo de Caixa e Valor Presente Líquido 211
Taxa Interna de Retorno 235
Apêndices
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Exercícios Complementares
Cálculo da Taxa Equivalente com a HP12C
Outras Formas de Descontos
Sistema de Amortização Crescente - SACRE
Taxas de Juros
Fómulas de Matemática Financeira e uso do Excel
1 Conceitos
1
Conceitos
Conceitos
Ao final desta lição, você deverá:
Conhecer os conceitos fundamentais da Matemática Financeira.
Entender o conceito de taxa.
Entender o significado financeiro de juros.
Saber identificar o capital, o prazo e a taxa de juros em uma operação
financeira.
1
1 Conceitos
Conceitos
A Matemática das Finanças ou Matemática
Financeira é um conjunto muito simples de
conceitos e regras que estão sempre presentes
na “vida financeira” das pessoas, empresas ou
mesmo países.
Certamente você já ouviu esses termos
relacionados a diversos assuntos financeiros.
A matemática financeira é, em essência, a
análise de como os recursos financeiros se
modificam ao longo do tempo.
Existem três conceitos simples, porém
fundamentais, que contribuem para o
entendimento desta análise: capital, prazo e
taxa de juros.
Escreva nas linhas abaixo o que você entende
pelo significado de cada conceito.
Capital
Prazo
Taxa da Juros
Você pode ter algumas dúvidas em como definir conceitos aparentemente tão conhecidos.
Veremos, agora, como esses conceitos podem
ser definidos individualmente e, em seguida,
como estão interligados.
2
1 Conceitos
Capital
Denomina-se capital o valor dos recursos
envolvidos em uma operação financeira,
geralmente expresso na moeda de um país.
Neste curso, utilizamos “$” como símbolo de
uma moeda genérica, e você verá que os
conceitos de capital, prazo e taxa de juros
podem ser utilizados com qualquer moeda.
EXEMPLO 1
Em uma operação financeira de empréstimo, quando você pede emprestado
$1.000, está recebendo recursos de terceiros, ou seja, tomando capital
emprestado e, em troca, se obriga a remunerar quem emprestou os recursos.
EXEMPLO 2
Por outro lado, numa operação financeira de aplicação, quando você deposita
$5.000 numa Caderneta de Poupança, está cedendo recursos para terceiros,
ou seja, emprestando capital e, em troca, receberá uma remuneração para
esses recursos.
Prazo
O prazo é o tempo de duração de uma
operação financeira, medido em dias, meses,
semestres ou anos.
EXEMPLO 3
Em um empréstimo, o prazo é o tempo decorrido entre a data de empréstimo
(quando os recursos são recebidos) e a data de vencimento (quando os
recursos são devolvidos).
EXEMPLO 4
Na aplicação financeira, o prazo é o tempo decorrido entre a data de aplicação
(quando os recursos são cedidos) e a data de resgate (quando os recursos
são recuperados).
3
1 Conceitos
Taxa de Juros
A taxa de juros é a combinação de dois conceitos básicos, porém muito importantes: juros e
taxa.
Juros
Os juros são a remuneração paga a quem
possui os recursos financeiros (capital).
EXEMPLO 5
Você contrai um empréstimo de $1.000 em um banco pelo prazo de um mês e
são cobrados juros de $100. Isto significa que, na data de vencimento do
empréstimo, o tomador (você) devolverá o capital de $1.000 mais $100 a título
de juros. Desta forma, o banco recebeu de volta $1.100.
EXEMPLO 6
Um banco paga juros de $500 para você aplicar $2.000 pelo prazo de três
meses. Ou seja, na data de resgate, o aplicador (você) receberá de volta o
capital de $ 2.000, acrescido de juros de $500. Então, no prazo de três meses,
seus recursos aumentaram de $2.000 para $2.500.
Taxa
Uma taxa expressa a relação percentual entre
dois valores.
EXEMPLO 7
A relação entre $10 e $100 é:
$10
———— = 0,10 (ou 10%), significando que $10 é 10% de $100.
$100
4
1 Conceitos
EXEMPLO 8
A relação entre $500 e $2.000 é:
$500
———— = 0,25 (ou 25%), significando que $500 é 25% de $2.000.
$2000
Taxa de Juros
A taxa de juros expressa a relação percentual entre juros e capital.
Juros
Taxa de Juros = ————
Capital
EXEMPLO 9
Você contrai um empréstimo de $1.000, pelo prazo de um mês, com pagamento
de juros de $100. A taxa de juros é:
Juros
Taxa de Juros = ————
Capital
$100
Taxa de Juros = ———— = 0,10 (10% em um mês),
$1000
representando o custo do seu empréstimo.
EXEMPLO 10
Você aplica $2.000, pelo prazo de três meses, com o recebimento de juros de
$500. A taxa de juros é:
Juros
Taxa de Juros = ————
Capital
$500
Taxa de Juros = ———— = 0,25 (25% em três meses),
$2000
representando a remuneração da sua aplicação.
Sempre que houver uma operação financeira, estarão envolvidos capital, prazo e taxa
de juros.
5
1 Conceitos
A partir dos três conceitos aprendidos,
podemos concluir que a Matemática Financeira
é a análise de como o capital é acrescido de
juros durante o prazo de uma operação
financeira.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Você contrai um empréstimo de $100, junto a um banco. Ao final de um ano, na
data de vencimento, você devolve o capital de $100 emprestado e mais $50, a
título de juros.
Capital: $100
Prazo: 1 ano
Juros: $50
Juros
Taxa de Juros = ————
Capital
$50
Taxa de Juros = ———— = 0,50 (50% em um ano)
$100
Trata-se de uma operação financeira, pois os três elementos necessários para
sua caracterização (capital, prazo e taxa de juros) estão presentes.
EXERCÍCIO SEMI-RESOLVIDO 1
Você deposita a quantia de $100 em um banco, com a promessa do gerente de
receber $12 de juros ao final de três meses, na data de resgate.
Capital: $100
Prazo: _____
Juros: $ _____
Juros
Taxa de Juros = ————
Capital
$12
Taxa de Juros = ———— = 0,12 (12% em três meses)
$100
6
1 Conceitos
EXERCÍCIO SEMI-RESOLVIDO 2
Você contrai um empréstimo de $1.000, junto a um banco, pelo prazo de cinco
meses, prometendo pagar $200 de juros.
Capital: $ _____
Prazo: 5 meses
Juros: $ _____
Juros
Taxa de Juros = ————
Capital
$200
Taxa de Juros = ———— = 0,20 (20% em cinco meses)
$1000
EXERCÍCIO SEMI-RESOLVIDO 3
Você compra um carro, no valor de $10.000, pagando por ele uma entrada de
$4.000 no ato da compra, e fica devendo uma parcela de $6.000, a ser paga no
prazo de seis meses, acrescida de juros de $1.500.
Capital: $ 6000
Prazo: _____
Juros: $ _____
Juros
Taxa de Juros = ————
Capital
$ _____
Taxa de Juros = ———— = 0,25 (25% em seis meses)
$ _____
Perceba que, neste caso, muito embora o valor do carro seja $10.000, você só
ficou devendo $6.000. Para a entrada de $4.000 não há prazo, portanto, esses
recursos não estão envolvidos na operação financeira. Apenas a parcela de
$6.000, a ser paga ao final de 6 meses, faz parte da operação financeira. E,
sobre esta parcela, incidem juros de $1.500.
Verifique o seu aprendizado, descrevendo os
conceitos apresentados nesta lição.
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1 Conceitos
Conceitos Básicos
Capital
Prazo
Juros
Taxa
Conceito Avançado
Taxa de Juros
8
1 Conceitos
Fazendo os Exercícios
Monitorados
Dando continuidade a essa lição, você deve
fazer os exercícios monitorados no Programa
de Apoio, instalado de acordo com as
instruções apresentadas na seção “Instalando
o Programa de Apoio”, na Apresentação.
Nesta lição, você encontra dois tipos de
exercícios monitorados: os de múltipla escolha
e os de desempenho escrito.
9
1 Conceitos
Exercícios de Múltipla Escolha
Para resolver este tipo de exercício, basta
selecionar – clicando com o mouse – a opção
que você considera correta.
Em caso de dúvida, clique no item Ajuda no
menu superior.
Se sua resposta está correta, é apresentado
um botão embaixo e à direita da tela. Para
passar para o próximo exercício, basta clicálo.
Se sua resposta está incorreta, a opção que
você marcou fica em vermelho e, antes da nova
tentativa, você é remetido ao Expertexto para
10
uma revisão dos conceitos envolvidos no
exercício.
O Expertexto é um resumo da teoria vista até
a lição atual, interligando os conceitos entre si.
Você pode navegar para tirar suas dúvidas
clicando nas palavras-chave destacadas.
Ao retornar ao exercício, você tem uma nova
chance para acertar. Se sua resposta for
novamente incorreta, você será enviado ao
Expertexto. Você só poderá passar para o
próximo exercício quando a sua resposta
estiver correta.
1 Conceitos
Exercícios de Desempenho
Escrito
Ao iniciar o exercício, o cursor estará
posicionado na primeira lacuna. Você deve digitar a palavra que está faltando e pressionar a
tecla Enter.
Se a sua resposta estiver correta, o cursor é deslocado para a próxima lacuna. Se não houver mais
lacunas a preencher, será apresentado um botão,
embaixo e à direita da tela. Para passar ao próximo
exercício, basta clicá-lo.
Se a sua resposta estiver incorreta, você será
remetido ao Expertexto para uma revisão dos
conceitos envolvidos no exercício.
Ao retornar ao exercício, você tem uma segunda e última chance de acertar. Se a sua resposta for novamente incorreta, a lacuna será
preenchida com a resposta correta. O cursor
será deslocado para a próxima lacuna ou,
então, será apresentado o botão para passar
ao próximo exercício.
Atenção: Erros de digitação serão considerados como resposta incorreta. Você pode
digitar em maiúsculas ou minúsculas, mas sempre com a acentuação correta.
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1 Conceitos
Exercícios Monitorados
Interrompendo o Treinamento
Inicie o Programa de Apoio:
Você pode interromper o treinamento a qualquer
momento, inclusive no meio de um exercício.
Para entrar na lição basta clicar no link
Conceitos.
Uma vez terminada a lição, você poderá revêla, clicando no mesmo link na tela de entrada.
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A avaliação do seu desempenho e o número
do exercício e da lição atual são gravados.
Quando o Programa de Apoio for acionado novamente, você voltará ao ponto em que o treinamento foi interrompido.
1 Conceitos
P&A
Problemas & Aplicações
Resolva os problemas e veja as respostas na
página seguinte.
1- Depois de muito pesquisar, você achou a
seguinte oferta em um encarte de jornal.
Fogão
Preço à Vista, R$ 278.
Ou em duas vezes, com entrada de R$ 139
e uma prestação de R$ 139 ao final de um
mês.
Se você decidir comprar financiado, como
será a operação financeira que estará
fazendo?
2- Você deixou de pagar R$ 500 da conta de
abril de seu cartão de crédito. Em maio, a
administradora do cartão enviou o seguinte
extrato:
Saldo devedor anterior = R$ 500
Juros sobre o saldo devedor = R$ 52
Total a pagar = R$ 552
Qual a taxa de juros cobrada pela
administradora nesse prazo?
13
1 Conceitos
Resposta:
1- Capital = R$ 139
Prazo = 1 mês
Juros = 0 (zero)
Taxa de juros = 0%
2- Capital= R$ 500
Prazo = 1 mês
Juros = R$ 52
Taxa de juros = 52 / 500 = 0,104 (10,4% em um mês)
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