2.003 Primavera 2002
Conjunto de Problemas 3: Soluções
Problema 1 - Palm 2.24
Todos estes problemas são de segunda ordem, desta forma as raízes das equações
características podem ser determinadas mediante o uso da fórmula da equação de
segundo grau:
Figura 1: Diagrama de pólos para 2.24
a) s1;2 = - 0,3333 ± 3,1447i, estável
b) s1;2 = ±3,1447i, marginalmente estável
c) s1;2 = 2 ± 5i, instável
d) s1;2 = -2,4396; 1,6396, instável
e) s1;2 = ±5,3853, instável
Problema 2 - Palm 2.22
a) s1;2 = - 5; - 2, nenhuma oscilação, response dominada pelo pólo em –2, portanto
τ d = 0:5, testabilização = 4τ = 2 s.
b) s1;2 = - 2; - 2, raiz repetida, nenhuma oscilação, τ d = 0:5, testabilização = 4τ = 2 s.
c) s1;2 = - 2 ± 5i, oscila, τ d = 0:5, testabilização = 4τ = 2 s, ω = 5 rad/s
.
Problema 3 - Palm 2.15
Embora seja possível resolver esta questão usando as fórmulas da Tabela 2.3-1, penso
que é proveitoso verificar donde estas soluções foram deduzidas. Em geral a solução
para qualquer sistema não forçado de segunda ordem m.d2x/dt2+c.dx/dt+kx = 0 é:
onde
s 1;2 = as raízes da equação característica.
A e B podem ser expressos em termos de condições iniciais do sistema como segue:
x(0) = x 0 = A + B
Sem fazer qualquer outro esforço, a solução até aqui está compatível com a do Caso 1
(raízes reais distintas) da Tabela 2.3-1. A solução para o Caso 2 (raízes reais repetidas)
pode ser encontrada em qualquer compêndio sobre equações diferenciais. A solução para
o Caso 3 (pares conjugados complexos) é apresentada aqui, visto que ela é a mais difícil
e interessante. No caso de pares conjugados complexos a solução da equação
característica é:
s 1 = a + bj e s 2 = a - bj
Substituindo estes valores na solução homogênea geral, obtemos:
Substituindo nas nossas expressões gerais de A e B, teremos:
Usando a Identidade de Euler para exponenciais complexas , obteremos:
Combinando as equações acima, resulta:
Usando a identidade trigonométrica:
Podemos provar que
Esta expressão é equivalente àquela apresentada na Tabela 2.3-1. A expressão
ligeiramente diferente deve-se ao fato de que eu não estou supondo que a seja um
número negativo
Para todas as seções x0 = 0 e
a) s1;2 = - 2 ± 2i, par complexo conjugado
b) s1;2 = - 6;- 2, raízes reais distintas
c) s1;2 = - 2;- 2, raízes repetidas
Problema 4 - Palm 4.29
Isto é uma questão algo enganosa, porque você necessita de mais informação para
determinar k e c. Especificamente você precisa conhecer o período da oscilação. Apesar
de tudo, podemos determinar ζ usando o decremento logarítmico:
Se nós tivéssemos o período P, poderíamos calcular k e c usando as seguintes relações:
Problema 5 – Palm exemplo 4.3-3
A equação característica para este problema é:
Onde
Isto significa que:
Figura 2: Freqüência natural versus R.
(**Tradução das legendas na figura 2:
§
natural frequency squared as a function of R for a random system values = freqüência natural ao quadrado, como
função de R para um sistema típico;
§
R/R0 where R0 is the initial radius = R/R0 onde R0 é o raio inicial.)
É um pouco difícil de ver, pois o numerador e o denominador contêm R, mas podemos
constatar que à medida que R diminui, o denominador converge a um valor real positivo,
enquanto o numerdor converge para zero. Portanto a freqüência natural do sistema
diminui à medida que R diminui. A figura ilustra como a freqüência natural diminui à
medida que R se torna menor para este sistema com algum conjunto de valores para I, R.
m, e k, definido de forma aleatória.
Problema 6 - Palm 1.21
Problema 7 - Palm 1.22