Prof. A.F.Guimarães Questões Cinemática 5 – Movimento Circular Questão 1 a) Qual o valor da velocidade linear de um ponto da superfície do cilindro? (MACK) Os ponteiros dos relógios convencionais b) Qual a velocidade angular de um ponto P distante 4 cm do eixo de rotação? descrevem, em condições normais, movimentos circulares uniformes (M.C.U.). A relação entre a Resolução: velocidade angular do ponteiro das horas e a do a) A velocidade linear de um ponto da superfície do cilindro é dada pela velocidade escalar ⎛ω ⎞
ponteiro dos minutos ⎜⎜ h ⎟⎟⎟ é: média do fio. Assim, ⎜⎝ ωmin ⎠⎟
A( ). 1/12; ∆S 50
vm =
=
= 5cm ⋅ s−1. B( ). 1/24; ∆t 10
C( ). 1/48; D( ). 1/60; b) A velocidade linear para um ponto na E( ). 1/1.440. superfície do cilindro (r = 2m) é dada por: Resolução: A velocidade angular do ponteiro das horas é v = ωr ⇒ 5 = ω ⋅ 2
dada por: ω = 2,5rad ⋅ s−1.
2π π
ωh =
= rad ⋅ h−1. 12 6
Logo para um ponto a 4 cm do eixo de rotação a E a velocidade angular do ponteiro dos minutos é velocidade vale 2,5 rad s ‐1. dada por: 2π
−1
ωmin =
= 2π rad ⋅ h . Questão 3 1
Assim, (FEI) Um móvel em trajetória circular de raio r = π
/
5 m parte do repouso com aceleração angular ωh
1
= 6 = . constante de 10 rad s ‐2. Quantas voltas ele 2π
ωmin
/ 12
percorre nos 10 primeiros segundos? Letra “A”. A( ). 500; B( ). 250/π; Questão 2 C( ). 100π; D( ). 500/π; (FUVEST) O raio do cilindro de um carretel mede E( ). 500π. 2 cm. Uma pessoa, em 10 s, desenrola Resolução: uniformemente 50 cm de linha que está em O móvel executa um MCUV. Assim, teremos que contato com o cilindro. utilizar a equação horária angular: γt 2
P θ = θ0 + ω0t +
2
10 ⋅102
θ = 0+0+
2
θ = 500rad .
Para uma volta o ângulo descrito vale 2π rad. Então, 1 www.profafguimaraes.net nº =
Resolução: A velocidade angular inicial vale: ω0 = 2π f 0 = 1800πrad ⋅ min−1. A velocidade angular final é nula, o ventilador para de girar. Ao completar 75 voltas, o ventilador terá descrito um ângulo dado por: ∆θ = 75 ⋅ 2π = 150πrad . Para o MCUV, podemos escrever: ∆θ ω + ω0
ωm =
=
∆t
2
150π 0 + 1800π 150π
/
=
⇒
= 900π
/ ∆t
2
∆t
1
∴ ∆t = min=10s.
6
500 250
. =
2π
π
Totalizando 250/π voltas. Letra “B”. Questão 4 (UNAERP) Um “motorzinho” de dentista gira com frequência de 2000 Hz até a broca de raio 2 mm encostar no dente do paciente, quando após 1,5 segundo, o mesmo passa a ter frequência de 500 Hz. O módulo da aceleração escalar média, nesse intervalo de tempo, é em m s ‐2: A( ). 2π; B( ). 3π; C( ). 4π; D( ). 5π; E( ). 6π. Resolução: A velocidade angular inicial vale: ω0 = 2π f 0 = 4000πrad ⋅ s−1. A velocidade angular final vale: ω = 2π f = 1000πrad ⋅ s−1. A aceleração angular é dada por: ∆ω 1000π − 4000π
γ=
=
= −2000πrad ⋅ s−2 . ∆t
1,5
A aceleração linear é dada por: a = γ r ⇒ a = −2000π ⋅ 2 ⋅10−3
∴ a = −4πm ⋅ s−2 .
Em módulo a aceleração linear (escalar média) vale: 4π m s ‐2. Letra “C”. Questão 6 (MACK) Determine o número de rotações que uma roda faz em 20 s, se sua velocidade angular varia, nesse intervalo de tempo, de 3 rad s ‐1 para 10 rad s ‐1, com aceleração angular constante. Resolução: A velocidade angular média é dada por: ∆θ ω + ω0
ωm =
=
2
∆t
∆θ 10 + 3
=
⇒ ∆θ = 130rad .
20
2
Para esse ângulo, temos que o nº de voltas vale: 130 65
∴ nº =
= . π
2π
Questão 7 Questão 5 (UNICAMP) Um disco de 100 mm de raio rola sem escorregar sobre um plano. O gráfico mostra como varia a velocidade v do centro do disco, em função do tempo t. Obtenha o número de voltas dadas pelo disco. (UFPR) Um ventilador gira à razão de 900 rpm. Ao desligá‐lo, seu movimento passa a ser uniformemente retardado, até parar após 75 voltas. Qual o tempo transcorrido desde o momento de desligá‐lo até sua parada completa? 2 www.profafguimaraes.net rodas traseiras do velocípede completam uma volta em, aproximadamente: A( ). 1/2 s; B( ). 2/3 s; C( ). 1 s; D( ). 3/2 s; E( ). 2s. 628
528
v(mm/s)
428
328
228
128
28
‐72 0
5
10
15
Resolução: Como as rodas dianteira e traseiras estão com contato com o chão sem derrapar, as velocidades linear das rodas traseiras e dianteiras são iguais. Logo, vt = vd
20
t(s)
a) do instante inicial até t = 10 s. b) de t = 10 s até t 0 20s. Considere π=3,14. Resolução: a) A velocidade do centro do disco é exatamente igual a velocidade linear do referido disco. Podemos determinar o espaço percorrido pelo disco utilizando a área da figura formada no gráfico. Assim, B ⋅ h 10 ⋅ 628
A0→10 =
=
= 3140.
2
2
∴ ∆S0→10 = 3140mm.
Mas, o comprimento da circunferência do disco vale: C = 2π R ⇒ C = 200 ⋅ 3,14 = 628mm. Assim, o nº de volta do instante inicial até t = 10s, vale: 3140
= 5. nº =
628
b) Do instante t = 10 s até o instante t = 20 s, o disco não executa movimento circular, portanto, o nº de voltas é nulo. 2π
T
Rt
R
16 24 = d ⇒ =
1
Tt
Td
Tt
ωt Rt = ωd Rd ; ω =
∴ Tt =
Letra “B”. Questão 9 (PUC – SP) Numa polia diferencial, ligados por cordas inextensíveis, que distam respectivamente 10 cm e 6 cm do eixo da polia, estão suspensos dois corpos, A e B. Num certo instante, o corpo A tem aceleração constante de 10 cm s ‐2 e velocidade de 15 cm s ‐1, ambas dirigidas de baixo para cima. Neste instante, a velocidade e a aceleração de B têm valores respectivamente iguais a: 6cm
10cm B
A Questão 8 (FUVEST) Uma criança montada em um velocípede se desloca em trajetória retilínea, com velocidade constante em relação ao chão. A roda dianteira descreve uma volta completa em um segundo. O raio da roda dianteira vale 24 cm e o das traseiras 16 cm. Podemos afirmar que as 3 www.profafguimaraes.net 2
s.
3
A( ).
B( ).
C( ).
D( ).
E( ).
uma bica cuja vazão é de 160 litros, a roda executa 2 voltas por minuto (2 rpm). Logo o período é de ½ minuto. Ou 30 s. b) Em uma hora de funcionamento, o consumo correspondente é de 60mim x 160 litros min ‐1 = Resolução: Como as polias possuem os eixos em comum, 9600 litros. podemos escrever para a velocidade angular: Questão 11 ω A = ωB
(FCMSC‐SP) A plataforma P, representada no vA
v
15 v
= B ⇒ = B esquema a seguir, está em movimento retilíneo 10
6
RA RB
uniforme de velocidade escalar v. G
∴ vB = 9cm ⋅ s−1.
v
Q
R Para a aceleração angular temos: G
• v
P
γ A = γB
C aA
a
10 a
= B ⇒ = B RA RB
10
6
Obs.: C é um ponto fixo da plataforma. −2
A extremidade Q da haste rígida QC está em ∴ aB = 6cm ⋅ s .
movimento circular uniforme em torno do ponto C, com velocidade escalar v, em relação à Letra “C”. plataforma. Enquanto a haste QC descreve um ângulo de 900, a plataforma percorre uma Questão 10 distância igual a: A( ). R; (FUVEST) A figura ilustra uma roda d’água B( ). R/2; constituída de 16 cubas. Cada cuba recebe 5 C( ). 2πR; litros de água de uma bica cuja vazão é de 160 D( ). πR; litros min ‐1. A roda gira em movimento uniforme. E( ). πω/2. Resolução: Se a extremidade Q possui velocidade v com relação à plataforma, o intervalo de tempo que ela leva para descrever um ângulo de 900 executando um MCU é dado por: π
∆S R ⋅ 2 π R
. ∆
t
=
=
=
2v
v
v
Neste intervalo de tempo, a plataforma com velocidade v com relação ao solo, percorre um a) Qual o período de rotação da roda? espaço dado por: b) Qual a quantidade de água utilizada em uma πR
v
; ω= .
∆S Pla = v ⋅∆t = v ⋅
hora de funcionamento do sistema? 2v
R
Resolução: vπ π R
.
∴ ∆S Pla =
=
a) A quantidade de água para uma volta 2ω
2
corresponde a um total de 80 litros. Assim, para 25 cm s ‐1 e 6 cm s ‐2; 25 cm s ‐1 e 10 cm s ‐2; 9 cm s ‐1 e 6 cm s ‐2; 9 cm s ‐1 e 10 cm s ‐2; 15 cm s ‐1 e 5 cm s ‐2. 4 www.profafguimaraes.net Questão 12 (DESAFIO) Dois discos de raios RA = 4 cm e RB = 40 cm, perpendiculares entre si, giram sem deslizar um sobre o outro, como mostra a figura. A distância entre o ponto de contato do disco A e o centro do disco B é x e a velocidade angular do disco B é de 20 rad s ‐1. Disco B
x Disco A Qual é a expressão da velocidade angular do disco A em função de x? (x medido em cm). Resolução: Para que o disco A rotacione sobre o disco B, sem deslizar, a velocidade linear do disco A deve ser igual a velocidade linear do disco B no ponto x. Assim, v A = vB
ω A RA = ω B x
ωA =
ωB x
20 x ⇒ ωA =
RA
4
∴ ω A = 5 x.
Sendo que x deve ser medido em centímetros. 5 www.profafguimaraes.net