ANAIS do XII EPEM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO CONTEXTO DAS PROPOSTA DO
ENSINO INTEGRADO: PROJETOS E POLÍTICAS
1, 2 e 3 de maio de 2014
ISBN 978-85-98092-16-4
VOLUME 1
IFSP-SP - BIRIGUI –SP
2014
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo
Campus Birigui
ANAIS do XII EPEM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO CONTEXTO DAS PROPOSTA DO
ENSINO INTEGRADO: PROJETOS E POLÍTICAS
Organizadores
Profa Dra. Luciane de Castro Quintiliano
Profa Dra. Zionice Garbelini Martos Rodrigues
Prof. Me. Adriano de Souza Marques
Realização
Apoio
FICHA CATALOGRÁFICA
E46a
Encontro Paulista de Educação Matemática (12 : 2014 : Birigui).
Anais do XII Encontro Paulista de Educação Matemática, 2 e 3
de maio de 2014 / organizado por Zionice Garbelini Martos
Rodrigues, et al. - Birigui : SBEM-SP : IFSP, 2014.
E-Book.
ISBN: 978-85-98092-16-4
1. Educação Matemática - Congresso. 2. Pesquisa em
Matemática. 3. Iniciação científica. I. Sociedade Brasileira de
Educação Matemática. II. Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo – Campus Birigui. III. Título
CDD 510.07
COMISSÃO ORGANIZADORA (SBEM-SP)
Eliane Matesco Cristovão
Nelson Antonio Pirola
COMISSÃO ORGANIZADORA (LOCAL)
Docentes
Allan Victor Ribeiro (IFSP – Birigui)
Ana Paula Ximenes Flores (IFSP – Birigui)
Andréia de Alcântara Cerizza (IFSP – Birigui)
Jessé Valério de Paula (IFSP – Birigui)
Luciane de Castro Quintiliano (IFSP – Birigui)
Lidiane Ap. Longo e Garcia Gonçalves (IFSP – Birigui)
Luiz Fernando da Costa Zonetti (IFSP – Birigui)
Manuella Aparecida Felix de Lima (IFSP – Birigui)
Régis Leandro Braguim Stábile (IFSP – Birigui)
Zionice Garbelini Martos Rodrigues (IFSP – Birigui)
COMISSÃO CIENTÍFICA
Comissão Editorial (SBEM-SP)
Dario Fiorentini (Unicamp – Campinas)
Edna Maura Zuffi (USP - São Carlos)
Marisa da Silva Dias (UNESP – Bauru)
Miriam Cardoso Utsumi (USP – São Carlos)
Saddo Ag. Almouloud (PUC –SP)
Zionice Garbelini Martos Rodrigues (IFSP - Birigui)
Comissão Editorial (Local)
Allan Victor Ribeiro (IFSP - Birigui)
Jessé Valério de Paulo (IFSP - Birigui)
Luciane de Castro Quintiliano (IFSP - Birigui)
Zionice Garbelini Martos Rodrigues (IFSP - Birigui)
Pareceristas
Conceição Aparecida Cruz Longo
Cristiane Alexandra Lazaro (UNESP – Bauru)
Emília de Mendonça Rosa Marques (UNESP- Bauru)
Érica Valéria Alves (UNEB - Bahia)
Fernanda Aparecida Ferreira (CEFET - Belo Horizonte)
Ivete Baraldi (UNESP - Bauru)
José Roberto Giardinetto (UNESP - Bauru)
Jurandyr Carneiro de Lacerda Neto (IFSP - Araraquara)
Liliane Neves Inglez Souza (UNIP – Limeira)
Luis Américo Monteiro Júnior (IFSP - Caraguatatuba)
Marcelo Carlos de Proença (UEM – Maringá)
Márcio Pironel (IFMG - Formiga)
Maria Ednéia Martins Salandim (UNESP – Bauru)
Marta Santana Comério (UNICAMP– Campinas)
Maria José da Silva Fernandes (UNESP - Bauru)
Milene Machado (UNICAMP – Campinas)
Miriam Godoy Penteado (UNESP – Rio Claro)
Moacir Pereira de Souza Filho (UNESP – Presidente Prudente)
Norma Sueli Gomes Allevato (UNICSUL)
Odalea Ap. Vianna- (UFU – Uberlândia)
Rogério Marques Ribeiro (IFSP – Guarulhos)
Silvia Regina Quijadas Aro Zuliani (UNESP - Bauru)
Silvia Viel (FACEF – Franca)
Silvia Regina Vieira da Silva (UNESP – Ilha Solteira)
Sueli Liberatti Javaroni (UNESP - Bauru)
Telma Assad Mello (UNICAMP –Campinas)
Índice
SOBRE O EPEM .................................................................................................................. 12
COMUNICAÇÕES CIENTÍFICAS ............................................................................................ 16
EIXO TEMÁTICO: E1 - AVALIAÇÃO....................................................................................... 16
SARESP: SOBRE AS ESTRATÉGIAS UTILIZADAS POR UM GRUPO DE ALUNOS PARA RESOLVER
SITUAÇÕES ENVOLVENDO FRAÇÕES ....................................................................................... 16
QUE CONCEPÇÕES DE ÁLGEBRA SURGEM NAS QUESTÕES DE MACROAVALIAÇOES: o caso do
ENEM 2011. ............................................................................................................................. 30
AS AVALIAÇÕES EXTERNAS NA FORMAÇÃO DOCENTE E NO ENSINO DE MATEMÁTICA ........ 42
SISTEMA DE AVALIAÇÃO DE RENDIMENTO ESCOLAR DO ESTADO DE SÃO PAULO – SARESP –
UM HISTÓRICO ........................................................................................................................ 57
A PROVA BRASIL/2011: IDENTIFICANDO DIFICULDADES RELACIONADAS ÀS CONCEPÇÕES DE
ÁLGEBRA POR MEIO DOS DESCRITORES ................................................................................. 72
EIXO TEMÁTICO: E2 – CURRÍCULO ...................................................................................... 89
PROCESSO DE APROPRIAÇÃO, DE PROFESSORES, DE MATERIAIS DIDÁTICOS QUE
APRESENTAM O CURRÍCULO DE MATEMÁTICA ...................................................................... 89
CURRÍCULO E A PESQUISA EM CURRÍCULO DE MATEMÁTICA NO BRASIL. .......................... 103
EIXO TEMÁTICO: E4 – FORMAÇÃO DE PROFESSORES ........................................................ 118
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA EM MATO GROSSO: UMA HISTÓRIA ....... 118
A TRAJETÓRIA DE VIDA ESCOLAR DO PROFESSOR E POSSÍVEIS IMPLICAÇÕES EM SUA
PRÁTICA PEDAGÓGICA .......................................................................................................... 130
PRÁTICAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA FORMAÇÃO INICIAL: UM ESTUDO INSPIRADO
NO RALI MATEMÁTICO.......................................................................................................... 144
UMA EXPERIÊNCIA DOCENTE EM SALA DE AULA DA GRADUAÇÃO COM A RESOLUÇÃO DE
EQUAÇÕES DO 2º GRAU PELO MÉTODO DO COMPLETAMENTO DE QUADRADO DE ALKHWARIZMI ........................................................................................................................... 159
O PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES E AS CONTRIBUIÇÕES DE UM PROGRAMA
INSTITUCIONAL PARA A LICENCIATURA EM MATEMÁTICA .................................................. 175
INVESTIGAÇÕES DAS CRENÇAS DOCENTES NO PROJETO PIBID. ........................................... 190
A PRÁTICA PEDAGÓGICA DE UMA PROFESSORA AO UTILIZAR O JOGO “PERDAS E GANHOS”
NA AULA DE MATEMÁTICA ................................................................................................... 207
ANÁLISE DE NARRATIVAS DE PROFESSORES QUE ENSINAM MATEMÁTICA E PARTICIPAM DE
UM GRUPO COLABORATIVO ................................................................................................. 222
INVESTIGANDO AS ZONAS DE UM PERFIL CONCEITUAL DE EQUAÇÃO PRESENTES NAS
CONCEPÇÕES DE UM GRUPO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA NUM CURSO DE
FORMAÇÃO CONTINUADA .................................................................................................... 232
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA- EVASÃO NOS CURSOS DE FORMAÇÃO
CONTINUADA ........................................................................................................................ 243
ESTUDOS EM GRUPO NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA A
DISTÂNCIA ............................................................................................................................. 255
UM ESTADO DO CONHECIMENTO SOBRE A FORMAÇÃO CONTÍNUA DE PROFESSORES DOS
ANOS INICIAIS NO CAMPO MULTIPLICATIVO........................................................................ 268
UM PERFIL DOS ALUNOS INGRESSANTES NA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA UFMT –
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE RONDONÓPOLIS ..................................................................... 282
A APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA ESCOLAR A PARTIR DOS DEPOIMENTOS DE FUTUROS
PROFESSORES: PERCEPÇÕES, COMPREENSÕES, FACILIDADES E DIFICULDADES .................. 298
UMA COMPREENSÃO DE ÁLGEBRA CONSTRUÍDA PELO OLHAR DAS CONCEPÇÕES DE
PROFESSORAS DE ENSINO SUPERIOR ................................................................................... 314
INVESTIGAÇÃO SOBRE OS CONHECIMENTOS PARA O ENSINO DE SITUAÇÕES PARTE-TODO
EM UM PROCESSO FORMATIVO ........................................................................................... 328
FORMAÇÃO NA DESCONTINUIDADE: UM ESTUDO SOBRE A FORMAÇÃO CONTINUADA DE
PROFESSORES ........................................................................................................................ 342
EIXO TEMÁTICO: (E5 – HISTÓRIA E FILOSOFIA) .................................................................. 353
É POSSÍVEL DEFINIR O CONCEITO DE VERDADE EM LINGUAGENS COMO DA MATEMÁTICA?
............................................................................................................................................... 353
SIMETRIA E ARQUITETURA: UM ESTUDO DE CASO DA IGREJA MATRIZ DE VOTUPORANGA-SP
............................................................................................................................................... 368
CONCEPÇÕES DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: UM ESTUDO A PARTIR DE
NARRATIVAS .......................................................................................................................... 383
REFLEXÕES SOBRE MATEMÁTICA, INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL, CONSCIÊNCIA E CINEMA ..... 394
UMA PERSPECTIVA CULTURAL PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA ...................................... 406
A MATEMÁTICA VIVA: EXPLORANDO A CURIOSIDADE COM CONJECTURAS SOBRE NÚMEROS
PRIMOS.................................................................................................................................. 420
OS LIVROS DE MATEMÁTICA PARA OS CURSOS COMERCIAIS BÁSICOS DA REFORMA
CAPANEMA............................................................................................................................ 434
EIXO TEMÁTICO: E6 - PSICOLOGIA .................................................................................... 449
FRAÇÃO: SITUAÇÃO PARTE-TODO EM QUESTÕES DE NOMEAR FRAÇÃO E DE RACIOCÍNIO.449
EIXO TEMÁTICO: E7 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA.......... 459
TEMPO E SUAS MEDIÇÕES: UM ESTUDO DOS CONHECIMENTOS MOBILIZADOS POR ALUNOS
DO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL ............................................................................... 459
TEORIA DO CAOS E FRACTAIS: A UTILIZAÇÃO DE UM “PÊNDULO CAÓTICO” COMO
ESTRATÉGIA DE ENSINO ........................................................................................................ 471
A UTILIZAÇÃO DE UM QUEBRA-CABEÇA NO ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL: ANÁLISE,
ELABORAÇÃO DE ATIVIDADES E USO EM SALA DE AULA ...................................................... 485
A COMPREENSÃO EM LEITURA E SUA INFLUÊNCIA NA RESOLUÇÃO DE
EXERCÍCIOS/PROBLEMAS DE MATEMÁTICA ......................................................................... 497
EDUCAÇÃO FINANCEIRA: ANALISANDO OS CONHECIMENTOS DE ALUNOS DO PRIMEIRO ANO
DO ENSINO MÉDIO ................................................................................................................ 513
EIXO TEMÁTICO: E8 - TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO .......................... 529
O USO DA FERRAMENTA GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZADO DA MATEMÁTICA PELOS
ALUNOS DA FATEC OURINHOS.............................................................................................. 529
TECNOLOGIAS DIGITAIS E A PRÁTICA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA NO ENSINO
FUNDAMENTAL II .................................................................................................................. 544
EXPOSIÇÃO DO GEOGEBRA PARA DISPOSITIVOS MÓVEIS E WEB 2.0 COMO FERRAMENTA NA
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA..................................................................................................... 556
A UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA NA CONSTRUÇÃO DE FUNÇÕES REAIS DEFINIDAS POR MAIS DE
UMA SENTENÇA .................................................................................................................... 568
A INSERÇÃO DO COMPUTADOR NAS AULAS DE MATEMÁTICA............................................ 581
O USO DE JOGOS ELETRÔNICOS COMO ELEMENTOS MOBILIZADORES NO PROCESSO DE
ENSINO-APRENDIZAGEM DE FÍSICA. ..................................................................................... 593
EIXO TEMÁTICO: E9 - EDUCAÇÃO INCLUSIVA .................................................................... 604
ORIGENS DAS DIFICULDADES DE APRENDER MATEMÁTICA NOS PRIMEIROS ANOS DO
ENSINO FUNDAMENTAL........................................................................................................ 604
O QUE OS PROFESSORES DE MATEMÁTICA DIZEM QUANDO O ASSUNTO É EDUCAÇÃO
INCLUSIVA?............................................................................................................................ 616
Eixo Temático: E-10: Educação Profissional .......................................................................... 628
DERIVADAS E INTEGRAIS NOS CURSOS MÉDIOS INTEGRADOS AO TÉCNICO-O QUE DIZEM OS
PROFESSORES DAS DISCIPLINAS TÉCNICAS ........................................................................... 628
RELATOS DE EXPERIÊNCIA ................................................................................................ 644
EIXO TEMÁTICO: E1 - AVALIAÇÃO..................................................................................... 644
TRIGONOMETRIA: EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS PARA A PRÁTICA DOCENTE ................. 644
EIXO TEMÁTICO: E3 – ETNOMATEMÁTICA E MODELAGEM................................................ 657
OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO: ATIVIDADES DESENVOLVIDAS UTILIZANDO A MODELAGEM
MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA .................................................................................. 657
UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA NO CURSO DE JOGOS DIGITAIS ............. 666
ETNOMATEMÁTICA NA REGIÃO DE PENAPÓLIS: UMA POSSIBILIDADE DE TRABALHO COM OS
POVOS DA ALDEIA ICATU ...................................................................................................... 673
EIXO TEMÁTICO: E4 – FORMAÇÃO DE PROFESSORES ........................................................ 678
UM PROJETO INTERDISCIPLINAR SOBRE A DENGUE ENVOLVENDO O ................................. 678
IFSP E UMA ESCOLA DE INTERVENÇÃO PRIORITÁRIA ........................................................... 678
O ENSINO DE GEOMETRIA, A UTILIZAÇÃO DE TICs E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA
MISTURA POSITIVA PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA ........................................................ 686
O ENSINO DO GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE SOLUÇÕES DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS POR MEIO DE CONSTRUÇÕES GEOMETRICAS – ENSINO FUNDAMENTAL II e
ENSINO MÉDIO ...................................................................................................................... 696
DIÁLOGOS ENTRE MATEMÁTICA E CULTURA: CONTRIBUIÇÕES DA ETNOMATEMÁTICA NA
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA ESCOLA EM TEMPO INTEGRAL ....................................... 704
DAS CONCEPÇÕES DE CURRÍCULO À FORMAÇÃO DE PROFESSORES QUE ENSINAM
MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS: UM OLHAR SOBRE O PROJETO EMAI DA SECRETARIA DA
EDUCAÇÃO DE SÃO PAULO ................................................................................................... 714
APLICANDO JOGOS E MODELOS GEOMÉTRICOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA .................. 725
PROFESSORES E TECNOLOGIAS: A INCLUSÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA NA ERA
DIGITAL .................................................................................................................................. 731
MATEMÁTICA & FUTEBOL: CONSTRUINDO CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS A PARTIR DA
CONFECÇÃO DE UMA BOLA .................................................................................................. 734
O ESTÁGIO DOCENTE NO ENSINO SUPERIOR: EXPERIÊNCIAS VIVIDAS E COMPARTILHADAS
............................................................................................................................................... 743
O PROCESSO COLETIVO NA ELABORAÇÃO DE UMA SITUAÇÃO DESENCADEADORA DE
APRENDIZAGEM DO CONCEITO DE MEDIDA DE ÁREA.......................................................... 753
ENSINO DE POTENCIAÇÃO COM MÚSICA E INSTRUMENTOS MUSICAIS .............................. 768
UMA COLABORAÇÃO ÀS POLÍTICAS PÚBLICAS VISANDO À MELHORIA DA FORMAÇÃO DO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA: DUAS INCLUSÕES NA SALA DE AULA ................................... 776
CONTRIBUIÇÕES DO SUBPROJETO DE MATEMÁTICA DO PIBID/UVA/2009 NA FORMAÇÃO DE
PROFESSORES ........................................................................................................................ 790
RELATO DE EXPERIÊNCIA COM O PIBID. ............................................................................... 799
EIXO TEMÁTICO: E5 – HISTÓRIA E FILOSOFIA .................................................................... 803
O USO DA HISTÓRIA ORAL COMO FERRAMENTA DE PESQUISA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
NA CIDADE DE BIRIGUI/SP..................................................................................................... 803
LEITURA E ESCRITA NAS AULAS DE MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA UTILIZANDO A HISTÓRIA
DA MATEMÁTICA .................................................................................................................. 808
A UTILIZAÇÃO DA MÚSICA COMO RECURSO DIDÁTICO NO ENSINO DA MATEMÁTICA....... 817
EIXO TEMÁTICO: E7 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA .......... 826
PIBID/MATEMÁTICA/UVA E A INVESTIGAÇÃO EM SALA DE AULA: ...................................... 826
UMA POSSIBILIDADE PARA O ENSINO INTEGRADO .............................................................. 826
ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA DESENVOLVIDAS PELO OBSERVATÓRIO DA
EDUCAÇÃO ............................................................................................................................ 834
GEOMETRIA PLANA VERSUS ESPACIAL: UMA EXPERIÊNCIA NA EXPLORAÇÃO DE
MULTISSIGNIFICADOS. .......................................................................................................... 844
CLUBE DE MATEMÁTICA: EM BUSCA DE MULTIPLICADORES DE MATEMÁTICA .................. 852
UTILIZANDO BRINCADEIRAS PARA O ENSINO DE NOÇÕES MATEMÁTICAS NA EDUCAÇÃO
INFANTIL. ............................................................................................................................... 859
O LÚDICO COMO DIFERENCIAL NO ENSINO DE MATEMÁTICA............................................. 863
A IMPORTÂNCIA DOS MATERIAIS MANIPULATIVOS NO ENSINO DE GEOMETRIA ............... 873
O USO DE JOGOS NO ENSINO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU .................................................... 881
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA POR MEIO DA VISUALIZAÇÃO: CONSTRUÇÃO DE FIGURAS
ESPACIAIS .............................................................................................................................. 891
ENSINO DE NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS UTILIZANDO FRAÇÕES CONTÍNUAS ...... 899
UTILIZAÇÃO DE SOFTWARE NO ENSINO DE MATEMÁTICA: RELATOS DE EXPERIÊNCIA....... 908
APRENDENDO E ENSINANDO NÚMEROS COMPLEXOS:........................................................ 914
EXPERIÊNCIA COM TECNOLOGIA EDUCACIONAL.................................................................. 914
ENTRE ISOMETRIAS E CALEIDOSCÓPIOS VIRTUAIS: UMA EXPERIÊNCIA COM O GEOGEBRA NO
ENSINO SUPERIOR ................................................................................................................. 924
EIXO TEMÁTICO: E9 - EDUCAÇÃO INCLUSIVA ................................................................... 935
O ENSINO DE MATEMÁTICA PARA UM ALUNO COM A SÍNDROME DE STURGE-WEBER ..... 935
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA TERCEIRA IDADE: UMA EXPERIÊNCIA COM ATIVIDADES
MANIPULATIVAS ................................................................................................................... 943
UNO EM LIBRAS PARA ALUNOS COM DEFICIÊNCIA AUDITIVA DO ENSINO FUNDAMENTAL,
ANOS FINAIS .......................................................................................................................... 952
EIXO TEMÁTICO: E10 - EDUCAÇÃO PROFISSIONAL ............................................................ 962
A DISCIPLINA DE MATEMÁTICA NO ENSINO TÉCNICO INTEGRADO COM O MÉDIO EM
QUÍMICA: ALGUMAS CONSIDERAÇÕES................................................................................. 962
MINI-CURSOS .................................................................................................................. 971
EIXO TEMÁTICO: E2 - CURRÍCULO ..................................................................................... 971
RELAÇÕES ESPACIAIS E O USO DO LIVRO DIDÁTICO: REFLEXÕES SOBRE O ENSINO E A
PRÁTICA DOS PROFESSORES ................................................................................................. 971
EIXO TEMÁTICO: E3 - ETNOMATEMÁTICA E MODELAGEM. ............................................... 977
CONSTRUINDO CONCEITOS GEOMÉTRICOS ATRAVÉS DA ARTE. .......................................... 977
EIXO TEMÁTICO: E4 – FORMAÇÃO DE PROFESSORES ........................................................ 982
A UTILIZAÇÃO DE JOGOS EM SALA DE AULA: O UNIVERSO DOS JOGOS E O ENSINO DE
MATEMÁTICA ........................................................................................................................ 982
OS JOGOS NO ENSINO DO CAMPO MULTIPLICATIVO ........................................................... 987
O ORIGAMINA NA MATEMÁTICA ESCOLAR .......................................................................... 992
REFLEXÕES SOBRE DIFERENTES CONCEPÇÕES DE ÁLGEBRA NA MATEMÁTICA ESCOLAR ... 997
EIXO TEMÁTICO: E5 - HISTÓRIA E FILOSOFIA. .................................................................. 1002
ATIVIDADES HISTÓRICAS PARA O ENSINO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ......................... 1002
EIXO TEMÁTICO: E7 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA ........ 1007
ANÁLISE DE ERROS NA PROMOÇÃO DA .............................................................................. 1007
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA UTILIZANDO O .................................................................. 1007
ENSINO ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS............................................................ 1007
OS BLOCOS DE CONTEÚDO DOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS TRABALHADOS
POR MEIO DA METODOLOGIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM-AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ......................................................................... 1012
A TORRE DE HANÓI NAS AULAS DE MATEMÁTICA ............................................................. 1017
MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA: AS POSSIBILIDADES DA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO .......................................................................................... 1023
EIXO TEMÁTICO: E8 - TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO ........................ 1027
USANDO O ARDUINO COMO FERRAMENTA NO ENSINO DE MATEMÁTICA....................... 1027
PROFESSORES E TECNOLOGIAS: A INCLUSÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA NA ERA
DIGITAL ................................................................................................................................ 1031
EIXO TEMÁTICO: E9 – EDUCAÇÃO INCLUSIVA ................................................................. 1035
PRIMEIRAS NOÇÕES NUMÉRICAS PARA CRIANÇAS COM SÍNDROME DE DOWN ATRAVÉS DE
MATERIAIS MULTISSENSORIAIS .......................................................................................... 1035
INTEGRAÇÃO ENTRE NEUROCIÊNCIAS E EDUCAÇÃO NO APOIO A CRIANÇAS COM
DISCALCULIA........................................................................................................................ 1041
EIXO TEMÁTICO: E10 – EDUCAÇÃO PROFISSIONAL.......................................................... 1046
O ENSINO DE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO PROFISSIONAL BASEADO NA ENGENHARIA
DIDÁTICA E COM O AUXÍLIO DE SOFTWARES ..................................................................... 1046
SOBRE O EPEM
Descrição do logotipo do XII EPEM
O logotipo do XII Encontro Paulista de Educação Matemática, integra elementos geométricos
que aludem à cidade Birigui, à Matemática e à Instituição onde se realiza o evento.
O tema:
“Birigui, cidade pérola”.
Cidade Pérola, um segundo nome de Birigui, remonta de 1934 quando
um jornalista vindo de São Paulo, de forma romântica, usou essa
expressão para designar a cidade a qual acabou por permanecer até
hoje.
Concha Acústica de Birigui Praça
Dr. Gama.
As formas:
Todas as formas presentes no logo são elementos geométricos que
fazem referência à Matemática.
A Forma Elíptica muito presente alude à Concha Acústica, um ponto de
referência de Birigui localizado na praça central. Para exaltar os conceitos
matemáticos foram representados no logo, os focos da elipse.
A Esfera localizada ao centro representa a Pérola.
As Setas Cruzadas na horizontal e vertical representam as coordenadas do
Plano Cartesiano que, criado pelo matemático René Descartes é elemento
matemático de grande importância, pois associa a geometria à álgebra.
As cores:
As cores, verde e vermelho em predominância fazem alusão ás cores do IFSP, Instituição onde
se realiza o evento.
A criação:
Projeto vencedor do Concurso de Criação de Logotipo para o XII EPEM escolhido pela
Comissão Organizadora do Evento foi desenvolvido por Edvan Ferreira dos Santos, graduando
do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Ciência e Tecnologia de São
Paulo Campus Birigui.
12
XII Encontro Paulista de Educação Matemática e V Fórum de Licenciaturas em
Matemática
O tema escolhido para o XII EPEM, realizado nos dias 02 e 03 de Maio de 2014, foi a
“Educação Matemática no contexto das propostas de Ensino Integrado: projetos e políticas”.
Nosso principal objetivo foi discutir os impactos das políticas públicas do governo do Estado de
São Paulo tais como, matriz curricular, avaliação de desempenho de alunos, entre outros, no
ensino da Matemática das escolas de Ensino Integrado.
A proposta do Ensino Médio Integrado à Educação Profissional tem como objetivo
proporcionar um avanço na qualidade dessa etapa final da educação básica. E o currículo, nesta
modalidade, caracteriza-se pelo ensino dos conteúdos do Ensino Médio e da formação
profissional de forma integrada ao longo de todo o curso, os quais devem ser trabalhados
considerando a indissociabilidade entre teoria e prática.
Aos estudantes é proporcionada a oportunidade de concluir o Ensino Médio e,
simultaneamente, obter uma formação específica habilitando-os para mundo do trabalho. Assim,
tal modalidade de ensino tem por objetivo possibilitar a melhoria das condições de cidadania, de
trabalho e de inclusão social aos jovens e adultos buscando uma formação profissional de
qualidade que permita alçar novos rumos para suas vidas.
Neste sentido, acreditamos ser necessária e primordial a discussão sobre como o ensino
de matemática vem sendo abordado nesses cursos. Vários autores1 têm enfatizado que para o
processo de ensino-aprendizagem da Matemática, neste contexto, é importante não só
considerar as diversas abordagens existentes tais como, a resolução de problemas, a modelagem
matemática e o trabalho com projetos, mas também torna-se necessário que a comunidade de
educadores matemáticos não ignore o avanço desta modalidade de ensino, bem como sob qual
perspectiva a Matemática deve ser abordada nesses cursos.
Na Reunião Anual da Anped2 de 2011 cuja temática foi “Educação Matemática e
Ensino Médio”, dois textos foram produzidos e submetidos para a Sessão de Trabalho
Encomendado3 pelo Grupo de Trabalho de Educação Matemática (GT19) os quais trazem,
segundo Lopes (2011), para a discussão e reflexão uma questão primordial que é “Qual
Educação Matemática se faz necessária?”, e ainda ressaltam a necessidade premente da
ampliação na produção científica, para esse nível de ensino.
A partir do XI EPEM, quando na ocasião houve apenas a candidatura do IFSP Campus
Birigui para a realização do XII EPEM, muitas ações e decisões tiveram que ser tomadas. Desde
a definição de um tema até a busca de parcerias para que o evento acontecesse da melhor forma
possível.
1
MAGALHÃES, Renato.; NACARATO, Adair M.; REINATO, Rosicler A. O. Educação Matemática e o ensino
técnico profissionalizante em nível médio: notas para o debate. Texto produzido atendendo à solicitação
do Grupo de Trabalho de Educação Matemática da ANPED, 2011.
2
Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação.
LOPES,
Celi
Espasandin.
Os
desafios
e
as
perspectivas
para
a
Educação
Matemática no Ensino Médio. Trabalho encomendado pelo GT19- Educação Matemática, para
apresentação na 34ª Reunião Anual da ANPED. Natal, 2011.
3
13
A composição da comissão organizadora local ocorreu de forma colaborativa e todos
aqueles que possuíam alguma ligação com a Licenciatura em Matemática estiveram envolvidos.
Colaboraram na organização também a área de Gestão, Automação e Informática. E pudemos
contar ainda, com a parceria de uma fábrica de calçados da cidade de Birigui que nos cedeu a
confecção das bolsas e também de uma indústria que fez doação de refrigerantes. A elaboração
da plataforma “Antuérpia” para o recebimento dos trabalhos em forma digital foi realizada pela
Profa. Helen de Freitas do IFSP, campus Birigui, que prontamente nos atendeu.
Os trabalhos selecionados foram divididos em 10 eixos listados a seguir: E1 –
Avaliação; E2 – Currículo; E3 – Etnomatemática e Modelagem; E4 – Formação de Professores;
E5 – História e Filosofia; E6 – Psicologia; E7 – Resolução de Problemas e Investigação
Matemática; E8 – Tecnologias de Informação e Comunicação; E9 – Educação Inclusiva; E10 –
Educação Profissional.
Os trabalhos puderam ser submetidos na forma de Comunicação Científica, Relato de
Experiência e Minicurso. Na modalidade Comunicação Científica foram aprovados 48
trabalhos, na modalidade Relato de Experiência foram aceitos 37 e ainda, na modalidade
Minicursos foram aprovados 16 trabalhos, e que todos poderão ter acesso por meio deste Ebook.
O EPEM já se consolidou como um evento importante da Educação Matemática no
Estado de São Paulo, constituindo-se em um momento privilegiado para debater questões sobre
políticas públicas, formação de professores e o ensino da matemática nos diversos níveis.
Ao longo de sua história, a SBEM tem procurado atuar como um fórum de debates com
o objetivo de promover mudanças na formação matemática de todos os cidadãos e, em especial,
no campo da formação de profissionais que ensinam Matemática.
•
I EPEM - 1989 - PUC Campinas, Campinas.
•
II EPEM - 1991 – USP, São Paulo.
•
III EPEM - 1993 – UNESP, Bauru.
•
IV EPEM - 1996 – PUC, São Paulo.
•
V EPEM - 1998 – FIRP/UNESP, São José do Rio Preto.
•
VI EPEM - 2001 – FAFICA, Catanduva.
•
VII EPEM - 2004 – USP, São Paulo.
•
VIII EPEM - 2006 – UNICSUL, São Paulo.
•
IX EPEM – 2008 – UNESP – Bauru
•
X EPEM – 2010 – USP/UFSCar – São Carlos
•
XI EPEM – 2012 – UNESP – São José do Rio Preto
Assim, o V Fórum Paulista de Licenciaturas em Matemática foi realizado nas
dependências do IFSP-Campus Birigui, no dia 01/05/2014 e teve como tema a “Formação do
professor de matemática e a valorização da carreira docente”.
14
O evento contou com a participação de 128 inscritos, entre alunos de Licenciatura em
Matemática, estudantes de pós-graduação, e professores do ensino superior e da educação
básica.
A mesa de abertura contou com a presença das pesquisadoras Profª Drª Marta Maria
Pontin Darsie, da Universidade Federal do Mato Grosso (UFMT), Profª Maria Sufaneide
Rodrigues, Diretora da Secretaria de Assuntos Educacionais e Culturais do Sindicato dos
Professores do Ensino Oficial do Estado de São Paulo (APEOESP) e a Mediadora Profª Drª Ana
Cristina Ferreira, da Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP).
No período da tarde, os trabalhos foram desenvolvidos em três grupos de trabalho, e em
seguida houve uma Plenária de encerramento do V Fórum, na qual definiu-se uma comissão
para a elaboração de documento síntese/propositivo contendo as discussões e reflexões sobre os
temas abordados pelos três grupos de trabalho formados, onde discorrer-se-ia sobre as críticas e
anseios dos professores sobre a eficácia ou não das políticas públicas implementadas pelo
governo do Estado de São Paulo. A comissão foi composta pelas seguintes professoras: Profa.
Dra. Luciane de Castro Quintiliano, Profa. Dra. Zionice Garbelini Martos Rodrigues, Profa.
Ma. Kátia Lima. Os pontos discutidos nos GTs serão apresentados, posteriormente, no relatório
síntese que será elaborado. Os pontos de discussão para o debate propostos pela Profa. Dra. Ana
Cristina Ferreira na ocasião da abertura do V Fórum foram os seguintes: 1. Salário/piso salarial;
2.
Carreira; 3. Condições de trabalho; 4. Formação inicial; 5. Formação continuada; 6.
Legislação e diretrizes.
15
COMUNICAÇÕES CIENTÍFICAS
EIXO TEMÁTICO: E1 - AVALIAÇÃO
SARESP: SOBRE AS ESTRATÉGIAS UTILIZADAS POR UM GRUPO DE
ALUNOS PARA RESOLVER SITUAÇÕES ENVOLVENDO FRAÇÕES
Tiago Augusto dos Santos ALVES – UNIBAN – SP ([email protected])
Angélica Fontoura GARCIA SILVA – UNIBAN – SP ([email protected])
Cíntia Caputo PORTELA ALVES – UNIBAN – SP ([email protected])
Resumo: O presente trabalho é parte de um estudo desenvolvido no ano de 2013, o qual
teve a finalidade de analisar a compreensão dos alunos da 5ª série/ 6º ano do Ensino
Fundamental em relação a situações-problema apresentadas no Sistema de Avaliação do
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP – de anos anteriores que
versavam sobre a representação fracionária dos Números Racionais. Trata-se de uma
pesquisa de natureza qualitativa cujos dados foram coletados por meio de um
questionário – de caráter diagnóstico – e entrevistas. O questionário era composto de 10
questões, das quais três são aqui discutidas. Esses dados foram coletados em uma
escola da rede pública de ensino paulista. Na sequência, foram realizadas análises das
estratégias adotadas pelos participantes à luz de resultados de pesquisa da área e
também comparamos com os resultados apresentados nos relatórios do SARESP.
Teoricamente, fundamenta-se esta investigação em Vergnaud e Nunes que investigam
questões didáticas sobre o objeto matemático: representação fracionária do número
racional. De modo geral, a análise das informações obtidas permitiu identificar que os
alunos apresentaram maior dificuldade nos itens que se referem à representação da
situação quociente e à equivalência de frações e, em contrapartida, demonstraram um
considerável desempenho em situações parte-todo. Disso é possível inferir que o ensino
destes estudantes teve foco em tal tipo de situação.
Palavras-chave: Ensino e aprendizagem; Fração; SARESP; Situação quociente;
Equivalência de frações; Parte-todo.
16
1. Introdução
Este artigo faz parte de uma pesquisa que vem sendo desenvolvida no âmbito do
projeto Observatório da Educação. Trata-se de um projeto de formação e investigação,
financiado por um programa da Capes – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal
de Nível Superior – com o objetivo de fomentar estudos e pesquisas em educação, de
forma a proporcionar a articulação entre pós-graduação, licenciaturas e escolas de
educação básica.
Considerando-se o termo fração, definido por Kieran (1993), como sendo a
representação fracionária de número racional, formado por , em que a e b são números
inteiros e b ≠ 0, o presente trabalho pretende, a partir de revisão bibliográfica e pesquisa
de campo, analisar a compreensão desse assunto por um grupo de alunos da 5ª série/ 6°
ano do Ensino Fundamental da rede pública estadual paulista, frente aos resultados
obtidos com os relatórios do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de
São Paulo (SARESP) de anos anteriores.
2. Relevância e Fundamentação
Nesta investigação procuramos analisar a resolução de alunos que frequentam
uma escola da rede pública participante do Projeto Observatório à luz de outras
pesquisas que tratam de questões relacionadas aos processos de ensino e aprendizagem
das frações. Apoiamos-nos também em estudos como o de Nunes e colegas (1997,
2005) que fundamentados nas ideias de Vergnaud (1990) propõem que sejam
considerados os invariantes ordem e equivalência e diferentes situações que pretendam
dar significados à fração e as suas possíveis representações.
Nunes e Bryant (1997) consideravam o ensino das frações, já no final da década
de 90, alertando quanto à forte tendência por parte dos professores em trabalhar o seu
conceito utilizando, sobretudo, o significado parte-todo. Salienta-se que esse fato
também é evidenciado por Canova (2006), Damico (2007), Garcia Silva (2007) e
Monteiro Cervantes (2011). Para este trabalho será adotada a definição da relação partetodo fornecida por Nunes e Bryant (2009) apoiada em Behr, Harel, Post e Lesh (1992;
1993) como uma quantidade dividida em um certo número de partes (y), do qual é
retirado um número especificado (x). Os autores afirmam ainda que “o símbolo
17
representa esta quantidade em termos de relação parte-todo” (NUNES e BRYANT,
2009, p.10).
Admitir-se-á para este trabalho a definição de Nunes et al (2009) para o
significado quociente como a indicação de uma divisão e seu resultado, na qual os
autores assim a consideram quando duas grandezas, x e y, são tratadas como
componentes de uma divisão, ou seja, x como o dividendo e y como divisor, e, portanto,
obtém-se uma única quantidade . Definição próxima a essa é adotada nos Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática (1998). Para seus autores a ideia de quociente é
identificada na interpretação do número racional como quociente de um inteiro por
outro (a:b = ; b ≠ 0).
A partir de tais definições, Garcia Silva et al (2013), apoiados nos trabalhos
desenvolvidos por Nunes (2003), verificaram que a utilização, principalmente, da
situação quociente, estimula os alunos a refletirem sobre o uso de frações. Além disso,
chamam a atenção para a utilização desse significado ao introduzir o conceito de fração,
o que acarretaria uma melhor compreensão do conteúdo pelos alunos. Tal consideração
também é observada nos estudos de Campos (2011), sobretudo como meio a ser
utilizado para que as crianças pudessem compreender mais facilmente as invariantes
ordenação e equivalência entre frações.
Todavia documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997)
de Matemática para os anos iniciais, por exemplo, definem como um de seus objetivos
favorecer o estudante do 2º ciclo (3ª e 4ª séries) a construir o significado do número
racional, por meio de suas representações fracionárias e decimais, a partir de seus
diferentes usos em seu dia-a-dia.
Em complemento, os PCN (1998) para alunos da 5ª à 8ª séries do ensino
fundamental apresentam a seguinte concepção:
O estudo dos números racionais, nas suas representações
fracionária e decimal, merecem especial atenção no terceiro
ciclo (5ª e 6ª séries), partindo da exploração de seus
significados, tais como: a relação parte/todo, quociente, razão e
operador. (BRASIL, 1998, p.66)
18
Damico (2007), diante dos resultados de seus estudos acerca da formação de
professores de Matemática para o ensino de números racionais no Ensino Fundamental,
o qual mostrou limitação de conhecimento por parte dos pesquisados, aponta a
necessidade de que os professores detenham elevado conhecimento acerca dos
fundamentos teóricos e práticos pertinentes à Educação Básica e, referindo-se à
formulação do currículo para futuros docentes para o ensino dos números racionais,
defende que constantes pesquisas e discussões acerca do assunto são primordiais, além
da flexibilidade para aceitar possíveis mudanças, uma vez que o ensino e aprendizagem
requerem uma investigação contínua e esforço pessoal e coletivo.
Apesar da indubitável importância das frações no processo de ensino e
aprendizagem de Matemática, Campos (2011) em seus estudos observa que esse assunto
se apresenta como um obstáculo tanto para os alunos como para os professores, desde o
4º ano ao término do ensino fundamental, sendo, pois, uma necessidade a escola buscar
meios de promover seu entendimento.
Em relação à rede pública de ensino paulista, podemos observar a utilização de
um mecanismo para avaliar o aprendizado dos alunos. Isso ocorre por meio do Sistema
de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP), o qual consta
da aplicação de testes em suas escolas. De acordo com o relatório do SARESP (2011),
esta prática objetiva diagnosticar o sistema de ensino e fornecer indicadores para
subsídio ao monitoramento das políticas públicas de educação.
Esses diagnósticos são esboçados em relatórios, cujos resultados são vinculados
a níveis de compreensão/domínio de conceitos e aplicação a situações práticas pelos
alunos, a saber: abaixo do básico, básico, adequado e avançado. Na sequência, são
agrupados por meio de três classificações: insuficiente, suficiente – composto pelos
níveis básico e adequado – e avançado.
Tal avaliação retrata de modo superficial as estratégias dos alunos da rede
pública, uma vez que a análise de seus resultados é feita a partir, tão somente, de suas
respostas às questões fechadas. Outro fator dificultador é a falta de análise e discussão
dos resultados com os avaliados, o modo como pensaram, interpretaram e raciocinaram
para resolver as situações-problemas. Dessa maneira, os relatórios apenas presumem as
dificuldades e óbices de aprendizado do corpo discente da rede pública de ensino
paulista.
19
Ao encontro dessa perspectiva e visando ao aprimoramento do processo de
ensino aprendizagem de Matemática, Campos (2011), ao se referir às resistências de
professores e responsáveis pelas políticas educacionais quanto aos trabalhos que tratam
desse tema, registra em seu artigo, apoiada em estudos de Nunes e Bryant (2006), a
necessidade de se realizar investigações adicionais frente ao questionamento de que tais
estudos ao serem aplicados diretamente por pesquisadores em interação com os alunos
poderiam gerar resultados diferentes se fossem apresentados por professores em sala de
aula. Nesse sentido, como o primeiro autor, estava participando do cotidiano escolar
poderia atingir resultados mais próximos aos conseguidos em sala de aula.
3. Procedimentos Metodológicos
A investigação aqui apresentada é de natureza qualitativa, no sentido definido
por Bogdan e Biklen (1999). Para tanto, escolhemos pesquisar as estratégias utilizadas
por um grupo de alunos ao resolver itens divulgados pelo relatório pedagógico do
SARESP sobre a representação fracionária dos números racionais.
Depois de um primeiro levantamento bibliográfico sobre o tema e uma pesquisa
nos relatórios pedagógicos do SARESP, foi realizado um trabalho de campo. Esse
trabalho corresponde a um teste contendo questões relacionadas a Frações de exames
anteriores do SARESP aplicado a alunos da 5ª série/ 6° ano do ensino fundamental, de
uma Escola Estadual da cidade de São Paulo/SP, no dia 23 de outubro de 2013. Foram
alocados em uma sala seis alunos escolhidos aleatoriamente dentre os componentes de
uma classe da série supramencionada.
A fim de verificar o perfil e o desempenho em sala de aula dos referidos
participantes, a Professora que leciona a disciplina de Matemática foi entrevistada e
apresentou algumas características comuns aos alunos, a saber: interessados, esforçados,
alta taxa de frequência às aulas, além de seus pais serem participativos, acompanhando
de perto seus filhos. Relatou ainda que, de modo geral, os alunos da 5ª série/ 6º ano da
escola demonstram grande dificuldade em frações e tabuada.
Em relação à aplicação dos testes, inicialmente, foi-lhes apresentado o conteúdo
do trabalho, a saber: o caderno continha dez questões pertinentes a frações, com um
tempo máximo de uma hora de duração; poderiam resolver a lápis; ao terminarem a
resolução, seriam entrevistados para elucidarem o raciocínio que seguiram para
solucionar os problemas apresentados; não lhes foi informado quanto à obrigatoriedade
20
ou não de escreveram a resolução, a fim de estudar a peculiaridade de raciocínio de cada
um deles.
O aluno que terminou por último o fez em aproximadamente cinquenta minutos
e o primeiro a terminar, vinte e cinco minutos. Das dez questões propostas, neste
trabalho serão apresentadas três, relacionadas a frações, e possuem a seguinte
caracterização: a questão 01 tratava o significado parte-todo em sua representação
fracionária; a questão 02 abordava o significado parte-todo e a invariante equivalência;
e a questão 03 apresentava a situação quociente e sua representação fracionária.
A seguir, apresentam-se os três problemas propostos juntamente com a análise e
discussão dos dados coletados.
4. Análise e Discussão dos Dados
A análise dos resultados obtidos obedecerá a dois critérios: o levantamento de
índices de acertos por questão, significado, invariante e representação; e uma análise
qualitativa relacionando os resultados encontrados com os obtidos pelos alunos que
realizaram as provas do SARESP e com outras pesquisas da área. A primeira questão
envolvia o significado parte-todo e previa verificar se o aluno identificaria a
representação fracionária da situação apresentada. Esse item foi apresentado na prova
do SARESP de 2009.
Quadro 1: questão 1
Paulo comeu 3 partes de uma barra de chocolate que foi dividida em 8 partes iguais. A
fração que representa a parte da barra de chocolate que Paulo comeu é
a)
b)
c)
d)
Fonte: Relatório Pedagógico SARESP 2009
Todos os alunos acertaram a questão e a resolveram apenas mentalmente; cinco
deles apresentaram o raciocínio muito parecido, pois, quando entrevistados, informaram
que de um total de 8 partes, apenas 3 foram utilizadas, deste modo bastava representar a
parte consumida no numerador da fração e o total de partes no denominador; já o aluno
F informou que imaginou uma barra de chocolate dividida em oito partes e, como foram
comidas três, bastava representar com o número 3 o numerador e 8 o denominador.
De acordo com o relatório do SARESP (2009), a habilidade avaliada é
identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados
21
(parte/todo, quociente, razão). Dos alunos avaliados em 2009, 72% obtiveram êxito na
resolução da situação. Neste relatório, esse tipo de situação-problema pertence ao nível
abaixo do básico e aqueles que conseguiram resolvê-la dominam o conceito de fração
parte-todo. Isso demonstra que mesmo os alunos que, no geral, não foram tão bem na
prova resolveram a questão com correção.
Tais resultados podem ser justificados pelas pesquisas de Nunes e Bryant (1997)
que, em relação ao ensino das frações, no final da década de 90, já chamavam a atenção
sobre a forte tendência por parte dos professores em trabalhar o conceito de fração
utilizando principalmente o significado parte-todo. Fato também evidenciado por
Canova (2006), Damico (2007), Garcia Silva (2007) e Monteiro Cervantes (2011).
A segunda questão envolvia o significado parte-todo e previa verificar se o
estudante compreendia o invariante equivalência da situação apresentada. Esse item foi
apresentado na prova do SARESP de 2010.
Quadro 2: questão 2
De um bolo de chocolate cortado em 15 pedaços iguais, Paulo comeu , Juca
comeu
, Zeca comeu
e Beto comeu
. Os dois que comeram a mesma
quantidade de bolo foram:
a)
b)
c)
d)
Paulo e Juca
Paulo e Zeca
Zeca e Beto
Beto e Juca
Fonte: Relatório Pedagógico SARESP 2010
Nenhum dos participantes apresentou algum registro quanto à resolução da
questão. Dos seis alunos, quatro erraram a questão: os alunos A e C afirmaram que não
conseguiram entender o exercício e, portanto, não escolheram nenhuma das alternativas;
os alunos D e F erraram, apresentando os seguintes raciocínios, respectivamente: “como
3 x 5 = 15, então a fração
o número
é igual à fração ” e “como o número é o menor (Paulo) e
é o maior (Juca), então quem comeu a mesma quantidade foi Zeca e Beto”.
Deste modo, demonstraram não dominar o conceito de equivalência entre frações.
Os alunos B e E obtiveram êxito na referida questão e, de acordo com a
entrevista, apresentaram o mesmo raciocínio de resolução: utilizaram o procedimento de
cálculo, ou seja, executaram o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores
22
das frações e
e concluíram que elas eram equivalentes.
Segundo o relatório do SARESP (2010), a habilidade trabalhada nessa questão
remete a identificar diferentes representações de um mesmo número racional, e o nível
de aprendizado é o avançado, ou seja, os alunos que acertaram esse item foram os que
se saíram bem na prova. Além disso, retrata que apenas 17,4% dos alunos avaliados no
SARESP 2010 acertaram a situação-problema, indicando que não dominam com
exatidão o conceito de fração, em que o todo é dividido em partes iguais, nem a
equivalência entre frações.
Estudos como os de Kerslake (1986), Behr, Wachsmuth, Post & Lesh (1984) e
Nunes et al. (2004) apontam que os estudantes encontram dificuldades para
compreender os conceitos relativos a equivalência. Nunes e colegas afirmam que a
dificuldade de entendimento se deve ao fato de que para os estudantes, a compreensão
da equivalência no campo dos números naturais, o número funciona como “rótulo” e
isso facilita ao aluno a perceber a equivalência. Todavia o mesmo não acontece com as
frações: temos uma infinidade de rótulos para identificar uma mesma quantidade:
de
um chocolate ou desse mesmo chocolate, temos quantidades equivalentes.
A terceira questão envolvia a representação de uma situação envolvendo o
significado quociente. Esse item foi apresentado na prova do SARESP de 2010.
Quadro 3: questão 3
Para fazer um trabalho de Arte, a professora Jaqueline dividiu igualmente 8 cartolinas entre seus 24
alunos. Que fração de uma cartolina cada aluno recebeu?
Fonte: Relatório Pedagógico SARESP 2010
Todos os alunos apresentaram registros em relação à tentativa de resolução do
problema, porém nenhum deles conseguiu solucioná-lo com correção.
Os participantes A, B, E e F resolveram da seguinte forma: executaram a divisão
de 24 (alunos) por 8 (cartolinas) e o resultado obtido correspondia ao numerador da
fração de cartolina recebida por cada aluno. O denominador seria a quantidade de
cartolinas. A seguir, apresentam-se os registros executados pelo Aluno A:
Figura 1 – Resolução da questão nº 3 do aluno A
23
Durante a entrevista, o referido aluno apresentou a seguinte justificativa para ter
resolvido a situação-problema desse modo: “a gente dividiu igualmente oito, então 24
dividido por 8, e como o resultado é 3, então é ”.
O aluno C executou a divisão de 24 por 8 e obteve 3 e registrou a resposta
.
Questionado durante a entrevista, informou que como eram 8 cartolinas para 24 alunos
deveria executar a divisão acima mencionada e que o resultado seria o numerador da
resposta para a questão, já o numerador seria 24, pois o material estava sendo dividido
por total de alunos. Abaixo, são esboçados seus registros:
Figura 2 – Resolução da questão nº 3 do aluno C
O aluno D começou a solucionar a questão corretamente, ou seja, considerou
que tal situação poderia ser representada por uma divisão a partir da fração
dividiu pela fração
, porém a
. Questionado durante a entrevista quanto ao modo que pensou
durante a resolução da questão, informou que o total de alunos era 24 e o resultado da
divisão de 24 por 8 é 3; dessa forma, deveria dividir a fração
por
a fim de
determinar quanto de cada cartolina cada aluno receberia. Abaixo são apresentados seus
registros:
Figura 3 – Resolução da questão nº 3 do aluno D
24
Conforme o relatório do SARESP (2010), a habilidade trabalhada nessa
situação-problema é identificar a fração como representação que pode estar associada a
diferentes significados (parte/todo, quociente, razão), sendo que somente 27,3% dos
alunos avaliados no ano de 2010 a acertaram. Outros 24,1% resolveram de modo
semelhante à maioria dos alunos participantes do trabalho de campo, pois executaram a
divisão de 24 por 8, porém apresentaram como resposta o nº 3. O relatório (2010, p.88)
conclui que: “É muito provável que estes alunos (24,1%) entendam ‘o todo’ como o
maior dos números”.
Garcia Silva et al (2013), apoiados nos trabalhos desenvolvidos por Nunes
(2003), verificou que a utilização, principalmente, da situação quociente, estimula os
alunos a refletirem sobre o uso de frações. Além disso, chamam a atenção para a
utilização deste significado ao introduzir o conceito de fração, o que implicaria em uma
melhor compreensão do conteúdo pelos alunos.
Considerações finais
Considerando o estudo realizado, incluindo a aplicação de questões que
envolvessem o assunto Fração a um grupo de alunos da 5ª série/ 6º ano do ensino
fundamental da rede pública paulista, amparada em entrevistas aos respectivos
participantes e à Professora, juntamente com a análise de relatórios do SARESP,
utilizando-se de embasamento teórico de estudos de diversos autores conclui-se que
apesar da notória desenvoltura em relação à construção da representação significado
parte-todo os alunos apresentam considerável dificuldade em compreender situaçõesproblemas que envolvam os assuntos relacionados à equivalência de frações no
significado parte-todo e à situação quociente.
Acredita-se que esse paradoxo seja fruto do modelo de ensino e aprendizagem
adotado nas escolas, conforme apresentado nos PCN:
25
Entre os obstáculos que o Brasil tem enfrentado em relação ao
ensino de Matemática, aponta-se a falta de uma formação
profissional qualificada, as restrições ligadas às condições, de
trabalho, a ausência de políticas educacionais efetivas e as
interpretações equivocadas de concepções pedagógicas.
(BRASIL, 1998, p.21)
Ainda se referindo à formação dos professores do ensino da Matemática no
Brasil, os autores dos PCN salientam que:
(...) tanto a inicial quanto a continuada, pouco tem contribuído
para qualificá-los para o exercício da docência. Não tendo
oportunidade e condições para aprimorar sua formação e não
dispondo de outros recursos para desenvolver as práticas da sala
de aula, os professores apóiam-se quase exclusivamente nos
livros didáticos, que, muitas vezes, são de qualidade
insatisfatória. (BRASIL, 1998, pp.21-22)
Tal ótica sobre o ensino no Brasil é confirmada por Campos (2011, p.1), “O
ensino e aprendizagem de frações constituem um obstáculo considerável para
professores e alunos, desde o 4º ano do ensino fundamental no Brasil, quando esse tema
é abordado.”
Corroborando essa perspectiva, Garcia Silva, Campos e Pietropaolo (2011)
observaram em seus estudos que, dentre os professores participantes da pesquisa de
campo, uma maior parcela apresentou melhor desempenho sobre o significado
parte/todo (76,6% de índice de acertos) quando comparado ao significado quociente
(64,7% de índice de acertos). Além disso, presenciaram em seus trabalhos a situação em
que uma professora, ao executar a adição entre duas frações, realizou a soma dos
numeradores e a soma dos denominadores, demonstrando a não compreensão da idéia
de equivalência entre frações. Em entrevista aos professores, a maioria informou que
suas dúvidas resultavam de um trabalho insatisfatório acerca de números racionais em
sua formação inicial. A partir disso, os autores inferiram que os docentes optam por
trabalhar o significado parte/todo em vez do significado quociente. Desta forma, tornase perceptível um considerável problema no processo de ensino e aprendizagem dos
alunos.
A partir de tais colocações, depreende-se que o processo de ensino
26
aprendizagem apresenta lacunas que afetam diretamente o desempenho dos alunos,
sobretudo quanto a uma preparação insuficiente de professores, conforme apontadas
pelo PCN e pelos autores supracitados.
Ou seja, uma ênfase nas aulas de frações sob o aspecto do significado parte-todo
eleva o conhecimento do aluno nessa área, o que não se observa em outras situações,
como significado quociente e invariante equivalência.
Cabe ressaltar que, apesar dos participantes do trabalho de campo não terem
obtido resultado satisfatório na questão nº 5 (envolvendo situação quociente), nas outras
duas questões aqui apresentadas, eles se destacaram frente ao resultado do SARESP de
anos anteriores. Presume-se que isso seja fruto do perfil verificado durante a entrevista
realizada com a Professora de Matemática, a qual informou que eles são esforçados e
interessados e que, sobretudo, seus pais são participativos, acompanhando de perto o
desempenho de seus filhos.
Finalmente, com base nos estudos de Campos (2011) e de Garcia Silva et al
(2013), apoiados nos trabalhos desenvolvidos por Nunes (2003), também acreditamos
que se fosse utilizada a situação quociente nos anos iniciais em que se trabalha frações,
poderia vir a surtir mais efeitos positivos no processo de ensino aprendizagem dos
alunos.
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MACROAVALIAÇOES: o caso do ENEM 2011.
Regina Lucia da silva – UFABC – SP ([email protected])
Debora da Silva Souza – UFABC – SP ([email protected])
Francisco Jose Brabo Bezerra – UFABC – SP ([email protected])
Resumo: Neste artigo apresentamos nossas primeiras compreensões sobre quais
concepções da álgebra surgem nas macroavaliações. Nosso foco foi verificar quais
concepções aparecem nas questões da prova ENEM de 2011. Este trabalho é parte dos
estudos realizados no Projeto Observatório da Educação da UFABC “Conhecimento
matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais”
que visa investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por professores, ao
ensinar álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma abordagem de ensino baseada
em perfis conceituais. A pesquisa tem uma abordagem qualitativa, os dados foram
coletados e analisados, sendo que das 44 questões, nove questões acreditamos estar no
campo da àlgebra. Desta forma, selecionamos para este trabalho a discussão de três
delas, cuja a escolha tem por base as competências que constam na Matriz de
Referência Para as análises da pesquisa consideramos os seguintes critérios: identificar
quais conteúdos algébricos está presente nas questões; verificar quais habilidades
necessárias para a resolução de cada questão; reconhecer nas questões, qual concepção
de Álgebra está envolvida.Como aporte teórico central das pesquisas realizadas pelos
integrantes desse projeto, elegemos as Concepções de Álgebra de Usiskin (1995)
apresenta quatro concepções, Lee (2001) aponta seis concepções, Fiorentini, Miorin e
Miguel (1993) defendem quatro concepções, Lins e Gimenez (1997) expõem três
concepções. A partir dos resultados preliminares, percebemos que as concepções mais
frequentes são as de Usiskin (1995). Com relação as situações-problema, destaca-se a
contextualização dos conteúdos, na qual apresentam elementos que faz parte do domínio
vivencial do aluno, bem como contextos que se articulam com outras disciplinas. A
ideia delineada neste trabalho foi o primeiro passo para subsidiar futuras análises que
sejam mais elucidativas.
Palavras-chave: Concepções, Álgebra, Ensino, Avaliação, Educação Matemática.
30
Introdução
Quando se observa os resultados das macroavaliações como a Prova Brasil e o
Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) percebe-se um movimento crescente em
relação ao desempenho dos estudantes em Matemática. Segundo Ribeiro (2012), apesar,
desta evolução positiva, com relação no desempenho das notas, ainda não devemos
considerar um progresso para a Educação Brasileira. Pois, existem várias lacunas
relacionadas às competências matemáticas que os estudantes não desenvolveram.
Portanto, há uma necessidade em colaborar na construção destes conhecimentos
matemáticos, que ainda não foram adquiridos pelos estudantes. Este autor relata que,
um dos campos da matemática que possui deficiência é a Álgebra. Nesse sentido o
Projeto do Observatório da Educação “Conhecimento matemático para o ensino de
álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais” (aprovado pela CAPES em
2013), e de autoria de Ribeiro (2012), na UFABC, pretende olhar para os
conhecimentos algébricos dos alunos e dos professores, da Educação Básica, quando se
ensina Matemática, baseada em perfis conceituais. Nossa coleta de dados foi realizada
dentro de um subgrupo de estudos que está inserido neste projeto.
A construção deste artigo se apoia no projeto, e toma, como ponto de partida,
elementos teóricos que envolvem o Conhecimento Matemático para o Ensino (CME)
(BALL; THAMES; PHESPS, 2008) e de Perfil Conceitual (PC) (MORTIMER, 1994).
Ribeiro (2013) descreve o modelo teórico Perfil Conceitual citado por Mortimer (1994)
sendo: “Segundo esse modelo, conceitos polissêmicos permitem a elaboração de perfis
conceituais, os quais são compostos de diferentes zonas, que correspondem a diferentes
formas de ver, representar e significar o mundo”. Destacamos que, os resultados
apresentados neste artigo são preliminares e que neste primeiro momento de estudos, o
nosso objetivo buscou analisar questões de matemática ENEM 2011 que estão no
campo da álgebra, pretendendo dessa forma, uma contribuição para melhor
entendimento sobre as concepções de Álgebra.
Nosso subgrupo, coordenado pelo Professor Dr. Francisco José Brabo Bezerra,
da UFABC, buscou analisar e estudar as várias concepções de álgebra, que no presente
trabalho destacaremos as concepções que abrangem as três questões por nós
selecionadas, dentro de um grupo de nove questões. Por isso, consideramos as leituras
dos textos de Usiskin (1995), que considera quatro concepções; Lee (2001) apresenta
31
seis concepções; Lins e Gimenez (1997) três concepções; Fiorentini, Miorin e Miguel
(1993) defendem quatro concepções.
Para guiar esse momento de trabalho surgiu a seguinte questão norteadora: Quais
as questões do ENEM 2011 estão contidas no campo da Álgebra? Ao fazermos alguns
levantamentos teóricos sobre as concepções de Álgebra, verificamos que aparecem
várias concepções que envolvem este tema. Com isto, reflexões surgiram sobre a
relevância de compreender estes significados e, assim, ampliar os estudos do projeto do
observatório, bem como os modelos de perfis conceituais. Desta forma, acreditamos ter
subsídios para gerar e desenvolver atividades matemáticas que considerem diversas
concepções de Álgebra aplicadas nos ensinos fundamental e médio. Dentro do grupo do
OBEDUC pretendemos produzir produtos e materiais de cunho pedagógico e curricular
para a formação inicial e continuada de professores.
Revisão de literatura
Nosso ponto de partida, dentro do projeto do OBEDUC, foi perceber que, no
caso especifico da Álgebra, a partir dos resultados apresentados pelo Instituto de
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), observa-se que os estudantes
não dominam competências como (1) identificar um sistema de equações do 1º grau que
expressa um problema; (2) resolver equações do 1º grau com uma incógnita; (3)
resolver problemas que envolvam equação do 2º grau; (4) identificar a relação entre as
representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau; (5)
identificar, em um gráfico de função, o comportamento de crescimento/decrescimento;
(6) identificar o gráfico de uma reta dada sua equação; dentre outras.
Numa perspectiva de superar tais deficiências, uma vez que a Álgebra, assim
como a Matemática, pode ser mais e melhor explorada quando seus significados são
articulados
com
outras
áreas
do
conhecimento
(KILPATRICK,
HOYLES,
SKOVSMOSE, 2005), este artigo foi buscar compreender quais questões do ENEM
2011 estavam relacionadas à álgebra e quais foram as habilidades cobradas no referido
exame. Em nossa revisão bibliográfica observamos que o ENEM, criado em 1998, tem
o objetivo de avaliar o desempenho do estudante ao fim da escolaridade básica. Podem
participar do exame alunos que estão concluindo ou que já concluíram o ensino médio
em anos anteriores. Além disso, o ENEM é utilizado como critério de seleção para os
estudantes que pretendem concorrer a uma bolsa no Programa Universidade para Todos
32
(ProUni) e também cerca de 500 universidades já usam o resultado do exame como
critério de seleção para o ingresso no ensino superior, seja complementando ou
substituindo o vestibular.
Sendo assim, fomos buscar quais habilidades são avaliadas no exame no que se
diz respeito à álgebra e encontramos tais habilidades nas matrizes de referência do
exame. São elas: H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação
entre grandezas; H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre
grandezas; H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos; H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a
construção de argumentação; e H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade
utilizando conhecimentos algébricos. Tais habilidades se encontram na competência de
área 5 na qual se espera que o aluno possa modelar e resolver problemas que envolvam
variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
No texto “Álgebra na Escola Básica e os Papéis das Variáveis” (Adaptado de
Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis) Usiskin (1995)
traz a ideia de que o conceito de variável é multifacetado e isso não nos permite reduzir
a álgebra ao estudo das variáveis apenas. Para ele, em álgebra não há uma única
concepção para variável. O autor nos apresenta quatro diferentes concepções, que
detalharemos a seguir. Na primeira concepção temos a álgebra como aritmética
generalizada. Aqui as ações importantes para o estudante da escola básica são as de
traduzir e generalizar. Já na segunda concepção concebe a álgebra como estudo de
procedimentos para resolver certos tipos de problemas. Assim, para resolver uma
equação, devemos raciocinar exatamente de maneira oposta à que empregaríamos para
resolver o problema aritmeticamente, as instruções chaves são simplificar e resolver. O
aluno precisa dominar não apenas a capacidade de equacionar os problemas, como
também precisa ter habilidades em manejar matematicamente essas equações. A terceira
concepção relaciona-se à álgebra como estudo das relações entre grandezas. Nessa
concepção as variáveis realmente variam, o modelo é fundamentalmente algébrico e as
variáveis são diferentes do argumento como, por exemplo, a equação de uma reta. E
finalmente na quarta concepção temos a álgebra como estudo das estruturas, e nesse
caso temos os produtos notáveis, fatoração, operações com monômios e polinômios e as
instruções chaves são manipular e justificar.
33
Lee (1996) em seu texto: “An Initiation Into Algebraic Culture Through
Generalization Activities” nos traz a relevância da introdução da álgebra quando
queremos generalizar atividades. Ela afirma que a álgebra é uma minicultura dentro da
cultura da matemática. Nesse sentido a álgebra é uma linguagem, e quando há interação
entre a linguagem e o conhecimento ocorre um gradual processo de aculturação
algébrica.
Ao enfatizar que para introduzir álgebra como uma atividade cujo foco seja
padrão de generalização, Lee (1996) afirma que isso pode auxiliar o aluno a
compreender com certo grau de facilidade a tarefa. Ela afirma também que a introdução
à álgebra, por meio de funções, resolução de problemas e modelagem, propiciam de
modo adequado à utilização da generalização de atividades e, assim, iniciar os alunos na
cultura algébrica. Em outro estudo sobre álgebra Lee (2001) diz que para fornecer um
modelo sobre visões de concepções de álgebra, destaca-se a álgebra como: Linguagem
para desenvolver a comunicação em uma linguagem algébrica; Caminhos de
Pensamento, ou seja, pensamentos sobre relações matemáticas em lugar de objetos
matemáticos; Atividade como modelo de construção de atividades; Ferramenta para
resolver problemas de modo a veicular e transformar mensagens; Generalização ou
estudo das estruturas da aritmética; e Cultura cuja linguagem de comunicação é a
algébrica.
Repensando a Educação Algébrica Elementar, autores como: Fiorentini, Miorin
e Miguel, (1993) trazem algumas concepções sobre álgebra por meio do
desenvolvimento histórico e uma segunda leitura do desenvolvimento da álgebra que se
apoia na contribuição das diversas culturas à constituição desse campo de
conhecimento. Tal compreensão da Álgebra assenta-se em outros aspectos e não mais
nos aspectos exteriores da linguagem algébrica, ou seja, no significado que contém os
símbolos desta linguagem.
Os autores Fiorentini, Miorin e Miguel, (1993) antes de iniciar a discussão sobre
as concepções de Educação Algébrica, colocam uma questão: em que medida se
relacionam as concepções dominantes de Educação Algébrica que se manifestaram ao
longo da história da Educação Matemática elementar com as concepções mais
frequentes de Álgebra? E eles apresentam três concepções: Linguístico-pragmática,
Fundamentalista-estrutural, e Fundamentalista-analógica. Na primeira concepção
34
prevalece a crença de que a aquisição, ainda que mecânica, das técnicas requeridas pelo
“transformismo algébrico” seria necessária e suficiente para que o aluno adquirisse a
capacidade de resolver problemas, ainda que esses problemas fossem, quase sempre,
artificiais, no sentido de que não era a natureza e relevância deles que determinariam os
conteúdos algébricos a serem aprendidos, mas a forma como “fabricar” um problema
para cuja solução tais e tais tópicos, tidos como indispensáveis, deveriam ser utilizados.
Já na Fundamentalista-estrutural ocorre à introdução de propriedades estruturais das
operações, que justificassem logicamente cada passagem presente no transformismo
algébrico, capacitaria o estudante a identificar e aplicar essas estruturas nos diferentes
contextos em que estivessem subjacentes. Isto traria como consequência uma
reorganização dos tópicos algébricos (expressões algébricas, valores numéricos,
operações, fatoração). E na última, temos a síntese entre as duas anteriores, uma vez que
procura, por um lado, recuperar o valor instrumental da Álgebra e, por outro, manter o
caráter fundamentalista só que não mais de forma lógico-estrutural de justificação das
passagens presentes no transformismo algébrico.
Já os autores Linz e Gimenez (2001) trazem a ideia de que a atividade algébrica
é descrita como “fazer ou usar álgebra”. Para eles, dizer que essa atividade algébrica é
um cálculo com letras é uma tolice. Os autores corroboram com essa ideia sobre álgebra
em um capítulo do livro “Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI” cuja
ideia central é perceber que as atividades algébricas são cálculos com letras, e afirmam
que:
“Não é simplesmente adotar uma caracterização da atividade algébrica
com cálculo literal, mas buscar mostrar como uma suposta linha de
desenvolvimento histórico da álgebra pode ser retraçada seguindo o
desenvolvimento das notações algébricas.” (Lins e Gimenez, 2001, p.
90).
Esses autores apresentam três concepções sobre a educação algébrica. A
primeira diz respeito à concepção letrista que resume o cálculo com letras as atividades
citadas como algébricas que envolvem atividades baseadas em cálculo com letras,
admitindo a sequência técnica-prática, via algoritmo – exercícios. A segunda concepção
é denominada letrista facilitadora, que por meio de trabalho com situações concretas é
considerada a capacidade de lidar com expressões algébricas literais alcançadas por
abstração. As atividades propostas são o uso de áreas para ensinar produtos notáveis,
balança de dois pratos para ensinar resolução de equações. E a terceira concepção de
35
modelagem matemática nos apresenta como ponto de partida uma situação concreta,
porém com sentido diferente da segunda concepção, pois o concreto aqui é visto como
real e as atividades proposta são de investigação de situações reais.
Será de posse desse arcabouço teórico que iremos analisar e discutir as três
questões escolhidas pelo subgrupo, e podemos afirmar que as mesmas pertencem ao
campo da álgebra, pois apresentaram elementos suficientes que podemos destacar
segundo os autores estudados.
Procedimentos metodológicos
Este presente artigo se apoia na metodologia qualitativa (BODGAN; BIDKLEN,
1994), já que descreveremos todos os avanços de nossa pesquisa com riqueza de
detalhes. O processo de coleta de dados deste trabalho está baseado em pesquisa de
caráter documental. Para tanto utilizamos como instrumento de pesquisa a avaliação de
matemática do ENEM 2011. O primeiro passo foi selecionar as questões que
consideramos estar no campo da Álgebra, e nesta busca identificamos nove questões.
Das nove questões identificadas, optamos por analisar três delas, que a nosso ver
contemplam a grande maioria. O segundo passo teve ênfase nos estudos sobre as
concepções de Álgebra, no qual formamos um conjunto de teorias com seus principais
aspectos, tendo por base a bibliografia sugerida, a Matriz de Referência e a consulta dos
Microdados no INEP do ENEM 2011.
Para analisar as questões por nós selecionadas, nos baseamos em três critérios, a
saber: identificar quais conteúdos algébricos está presente nas questões; verificar quais
habilidades necessárias para a resolução de cada questão; e por último, reconhecer em
cada questão, qual concepção de Álgebra estava envolvida.
Análise das questões do ENEM 2011
Ao analisar as questões do ENEM 2011 tivemos por objetivo observar que
conteúdos, habilidades e concepções de álgebra aparecem nesta avaliação. No primeiro
momento notamos que, das 44 questões de Matemática e suas Tecnologias, nove
questões fazem referência a Álgebra. Para o presente artigo vamos destacar somente três
36
questões da prova Amarela do 2o dia. Os motivos de nossa escolha foram: a primeira,
questão 139 está situada na competência II – capacidade de compreender fenômenos (no
caso, outra disciplina recorrendo ao instrumental matemático adequado); a segunda,
questão 153 se localiza na competência III- Enfrentar situações-problema (interpretar os
dados e tomar decisões): a terceira, questão 160 percebemos a competência I – Dominar
Linguagens (as linguagens da Matemática (linguagem natural sendo transposta para
linguagem algébrica)). Neste caso, estudos indicam que pode haver uma boa leitura,
mas não garante a transposição adequada. Além de surgir dois objetos do conhecimento
algébrico: Função e Equação.
Apresentaremos a seguir as três questões escolhidas, e em cada uma faremos
uma discussão em relação à habilidade descrita na matriz de referência do ENEM, bem
como qual das concepções a questão se caracteriza melhor, e finalmente qual conteúdo
algébrico se faz presente. A primeira questão a ser analisada é a de número 139,
presente na prova amarela de 2011, conforme identificada na figura 1.
Figura 1 - Questão 139 do ENEM-2011 e sua resolução sugerida pelo nosso Grupo
Fonte: Questão 139 da prova Amarela do ENEM – 2011.
Este problema, apresentado na figura 1, abrange o conteúdo algébrico de função
logarítmica e as propriedades dos logaritmos que se fazem presentes no ensino de
Matemática do Ensino Médio. A nosso ver a questão está diretamente relacionada com a
37
Habilidade de número 21, que diz: Resolver situação-problema cuja modelagem
envolva conhecimentos algébricos. Quanto à concepção de álgebra que a caracteriza,
reconhecemos que a segunda concepção de Usiskin (1995) é a que melhor se aproxima,
pois ela é tida como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas, e
ainda podemos relacionada à primeira concepção de Fiorentini et al. (1993), a
linguístico-pragmática onde prevalece a crença de que a aquisição do conhecimento se
dá modo mecânico, com uso de técnicas requeridas pelo “transformismo algébrico”
seria necessária e suficiente para que o aluno consiga resolvê-la.
Figura 2 – Questão 153 do ENEM 2011 e sua resolução sugerida pelo nosso Grupo
Fonte: Questão 153 da prova Amarela do ENEM – 2011.
A questão, apresentada na figura 2 acima, podemos destacar que o conteúdo
algébrico evidenciado foi o das equações. Para a resolução da mesma acreditamos estar
relacionada à habilidade de número 23, pois trata de avaliar proposta de intervenção na
realidade utilizando conhecimentos algébricos. A fórmula para resolução da mesma é
apresentada juntamente com a questão, e cuja variável é funcional (altura). A
característica desta questão consiste em relacionar conhecimentos matemáticos à
realidade cotidiana. Após a resolução o aluno poderá realizar a interpretação de seu
resultado, analisando se o IMC ou o IAC encontram-se em níveis normais ou não. Em
38
relação à concepção de Álgebra identificamos que a terceira concepção de Lins e
Gimenez (1997), que relata sobre a Modelagem Matemática, pode ser adequada, e
mesmo a concepção da Lee (2001), que afirma ser uma atividade. Além dessas
possibilidades, poderíamos também classifica-la dentro da segunda concepção de
Usiskin (1995), que a concebe como estudo de procedimentos para resolver certos tipos
de problemas.
Figura 3 – Questão 160 do ENEM 2011 e sua resolução sugerida pelo nosso Grupo
Fonte: Questão 160 da prova Amarela do ENEM – 2011.
Na questão de número 160, representada na figura 3 acima, consideramos que o
conteúdo algébrico abordado faz referência ao conceito de Função Afim, uso de
sistemas lineares com a resolução de uma equação na variável n. A princípio a questão
contempla a linguagem natural que deverá ser transposta para a linguagem algébrica.
Neste caso, o aluno deverá expressar a resolução em uma equação. A questão pode ser
enquadrada na habilidade 5, que aborda sobre a avaliação de propostas de intervenção
na realidade utilizando os conhecimentos numéricos. A questão foi por nós classificada
dentro das concepções de Fiorentini et al. (1993), como sendo fundamentalista
estrutural, pois ocorreu a introdução de propriedades estruturais das operações, que
justificassem logicamente cada passagem presente no transformismo algébrico.
Também a classificamos dentro da quarta concepção de Usiskin (1995), que considera a
álgebra como estudo das estruturas, e nesse caso temos os produtos notáveis, fatoração,
39
operações com monômios e polinômios e as instruções chaves são manipular e
justificar.
Considerações finais
Este trabalho faz parte de um projeto mais amplo, no qual esta primeira etapa
teve por objetivo analisar questões de Matemática ENEM 2011 que estão no campo da
Álgebra. Uma característica que podemos citar refere-se às questões apresentarem no
seu contexto temas com referências no cotidiano do educando. As abordagens das
questões, com relação aos conceitos matemáticos, necessitam que o aluno tenha o
domínio e a habilidade para resolver as questões em muitos contextos, que podem ser
matemáticos ou outras áreas do conhecimento (Biologia, Física, Química). Quanto à
questão de pesquisa, notamos que as concepções de Álgebra que mais aparecem são as
concepções de Usiskin, tendo em vista que elas se encaixam em todas as questões aqui
apresentadas. Apesar do universo escolhido ser pequeno, ainda assim é possível afirmar
que suas concepções estabelecem maiores interligações com as questões que os demais
autores. Este estudo não termina aqui, e futuras analises pretendem ser maiores e mais
esclarecedoras.
Na perspectiva do presente trabalho, temos a pretensão de obter subsídios para:
compreender o papel de atividades matemáticas que contemplem perfis conceituais de
conceitos matemáticos do campo da Álgebra, na formação inicial e/ou continuada dos
professores envolvidos com/na pesquisa e identificar e mapear os diferentes
conhecimentos algébricos que emergem na interação dos professores com as atividades.
Referências
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Journal of Teacher Education, n.59, p. 389-407, 2008.
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Introdução à Teoria e aos Métodos. Tradutores: Maria João Alvarez, Sara Bahia dos
Santos e Telmo Mourinho Baptista. Portugal: Porto Editora Ltda, 1994.
40
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Educacionais (INEP). Disponível em < http://portal.inep.gov.br/web/enem/enem >.
Acesso em: 12/07/13.
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<http://www.ceps.ufpa.br/daves/PS%202012/PS%202012%20ENEM.pdf>. Acesso em:
06/08/13.
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variáveis. In: COXFORD, A.F.; SHULTE, A.P. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual,
1995, p. 9-22.
41
AS AVALIAÇÕES EXTERNAS NA FORMAÇÃO DOCENTE E NO ENSINO DE
MATEMÁTICA
Simone Bueno PUC – SP ([email protected])
Edvonete Souza de Alencar PUC – SP ([email protected])
Resumo: Este trabalho é de natureza exploratória, no qual realizamos uma triangulação
entre os dados das avaliações externas, teóricos de base das temáticas - avaliação e de
formação de professores - e pesquisas com este enfoque. Nosso objetivo nesse estudo é
identificar como as avaliações externas podem influenciar o planejamento docente ao
ensinar Matemática. Como referencial teórico abordamos Luckesi (1998), Hoffman
(1995) e Ball (1988). Utilizamos os dados das avaliações externas do Programme for
International Student Assessment (Pisa), Prova Brasil e Sistema de Avaliação e
Rendimento do Estado de São Paulo (Saresp). Ao compararmos com nossa teoria sobre
avaliação verificamos a preocupação dos autores com medir e avaliar e ao mesmo
tempo nos indicam a necessidade de utilização das avaliações externas para o
replanejamento das ações. Tais indícios são corroborados pelas pesquisas que indicam a
necessidade de utilização das avaliações externas nas ações de replanejamento. Ao
observar os dados das avaliações externas e articular com estudos teóricos e científicos,
percebemos a importância de investigar as dificuldades dos alunos. Esse olhar
investigativo deve ser incentivado nas formações docentes. A busca pela qualidade na
escola configura-se como um grande desafio e demanda estratégias que possam
modificar a situação da baixa qualidade da aprendizagem e melhores condições de
trabalho para o professor. Acreditamos que a qualidade de ensino não deve estar apenas
atrelada ao rendimento escolar ou ao rankeamento entre as instituições de ensino.
Evidenciamos ainda que utilizar desses dados não requer desenvolvermos moldes ou
treinamentos a serem desenvolvidos em sala de aula, mas propiciar a reflexão dos dados
e conteúdos por eles abordados.
Palavras-chave: Avaliação, Formação de professores e Planejamento.
42
Introdução
Atualmente vê-se a preocupação de algumas instituições com o desempenho dos
alunos nas avaliações externas e como estão sendo utilizados os dados para a
implementação de políticas públicas que promovam a melhoria dos resultados. As
avaliações externas demonstram a dificuldade dos alunos em todos os conteúdos e
segmentos do ensino, principalmente em Matemática. O Instituto Nacional de Pesquisas
Educacionais (INEP), vinculado ao Ministério da Educação (MEC), promove estudos,
pesquisas e avaliações sobre o Sistema Educacional Brasileiro com o objetivo de
subsidiar a formulação e implementação de políticas públicas para a área educacional a
partir de parâmetros de qualidade e equidade, bem como produzir informações claras e
confiáveis aos gestores, pesquisadores, educadores e público em geral. Esse instituto
sinaliza um nível progressivo de dificuldade nos finais dos ciclos de ensino,
especificamente no 5° ano do Ensino Fundamental I, 9 ° ano do Ensino Fundamental II
e 3° ano do Ensino Médio. Tal fato acreditamos ser influenciado por condições
ambientais, econômicas, a falta de valorização da profissão de professor, sem contar as
condições de trabalho do docente . Todos estes aspectos influenciam nas ações do
professor , e assim inferimos que este profissional possui formação deficitária o que
dificulta suas ações de planejamento , o que por sua vez atingirá a questão de qualidade
de ensino. Nesse cenário, nosso intuito com este estudo é identificar como as avaliações
externas podem influenciar o planejamento.
Para a realização desta pesquisa analisamos os dados das avaliações do Pisa do
ano de 2012, Prova Brasil e Saresp do ano de 2011, relacionando a teoria quanto ao
aspecto da avaliação e as pesquisas na área de estudo.
As avaliações externas
Com o intuito de obtermos uma melhor descrição de cada avaliação
apresentaremos os principais aspectos que a constituem.
O Programme for International Student Assessment (Pisa), em tradução nossa,
Programa Internacional de Avaliação de Estudantes, trata de “uma iniciativa
internacional de avaliação comparada, aplicada a estudantes na faixa dos 15 anos, idade
em que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria dos
países.”
(In:
http://portal.inep.gov.br/pisa-programa-internacional-de-avaliacao-de43
alunos). A sua organização e desenvolvimento é realizada pela Organização para
Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), no qual em cada pais há uma
instituição que coordena as ações, no Brasil a instituição responsável pela coordenação
é o INEP, que tem como objetivo “produzir indicadores que contribuam para a
discussão da qualidade da educação nos países participantes, de modo a subsidiar
políticas de melhoria do ensino básico”(In: http://portal.inep.gov.br/pisa-programainternacional-de-avaliacao-de-alunos). Com isso essa avaliação pretende verificar até
que ponto as instituições estão preparando adequadamente os alunos para a sociedade
atual. Estas ocorrem trienalmente e compõem–se por três áreas do conhecimento:
Leitura, Matemática e Ciências. Especificamente neste artigo discutiremos os
conhecimentos matemáticos. Este ainda possui questionários para os discentes e para as
instituições, com o intuito de definir o perfil socioeconômico, educacional e
demográfico.
O INEP criou em 2005 a Prova Brasil com o intuito de identificar as
dificuldades e subsidiar a qualidade da educação, assim como analisar indicadores do
seu público. Segundo dados do site da Prova Brasil sua aplicação ocorreu somente em
2007. Cabe salientar que estes dados também são utilizados no cálculo do Índice de
Desenvolvimento da Educação Básica
( IDEB). A sua aplicação ocorre no 5º ano do
Ensino Fundamental I, 9º ano do Ensino Fundamental II e no 3º ano do Ensino Médio
de escolas públicas urbanas e rurais com no mínimo 20 alunos por classe. Esta avaliação
é orientada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) possuindo descritores de
referência e compostas pelas disciplinas de Português e Matemática. Assim como o Pisa
há nesta avaliação o questionário socioeconômico, porém as seleções são por
amostragens.
O Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp )
é uma avaliação cessionária, realizada no Estado de São Paulo, sendo um dos
indicadores que compõem o índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São
Paulo ( IDESP). O SARESP, por meio de aplicação de provas para os alunos e
questionários que respondidos por professores, pais, alunos, gestores de ensino, o busca
traçar metas e monitorar ações para o ensino das escolas públicas para que possam
aprimorar o ensino. Atinge o segmento do 2° ano e 5° ano do Ensino Fundamental I, 7°
ano e 9 ° ano do Ensino Fundamental II, e o 3º ano do Ensino Médio, sendo composta
por habilidades que estão inseridas nas disciplinas de Língua Portuguesa, Matemática e
44
Ciências.
Cabe salientar que estas habilidades permitem a composição de itens-
questões para essa avaliação.
Cenário das avaliações
Em nossas análises, utilizando os dados fornecidos pelo Pisa, identificamos que
o número de alunos participantes aumentou no decorrer dos anos, e em relação ao
desempenho, se formos considerar a média das três áreas, podemos observar que
Matemática é a que apresenta melhor desempenho.
Quadro 1 – Evolução e crescimento em relação ao desempenho de Matemática ao
longo dos anos
Pisa 2000
Número de alunos
participantes
Pisa 2003
Pisa 2006
Pisa 2009
Pisa 2012
4.893
4.452
9.295
20.127
18.589
Leitura
396
403
393
412
410
Matemática
334
356
370
386
391
Ciências
375
390
390
405
405
Fonte : http://portal.inep.gov.br/internacional-novo-pisa-resultados
Na disciplina de Matemática saímos em 2000 de 334 pontos para em 2012
atingir 391 pontos, no entanto, temos que observar que a média da OCDE é de 494
pontos. Com as avaliações externas da Prova Brasil 2011 e Saresp 2011, conseguimos
realizar um comparativo entre as dificuldades encontradas nos conteúdos.
Quadro 2 – O que é avaliado na Prova Brasil e Saresp?
DADOS DO 5° ANO
Prova Brasil
Saresp
D7- Resolver problemas significativos Nível abaixo do básico
utilizando
unidades
de
medidas
padronizadas como Km- m-cm-mm. As habilidades não foram divulgadas
pelo documento
23%
D11- Resolver problema envolvendo o Nível adequado
45
cálculo do perímetro de figuras planas, H13- Resolver problemas envolvendo a
desenhadas em malhas quadriculadas multiplicação e a divisão, especialmente
23%
em situações relacionadas à comparação
entre razões e a configuração retangular
D13Reconhecer
e
utilizar
39,6%
características do sistema de numeração
decimal, tais agrupamentos e trocas na H27- Resolver problemas envolvendo o
base 10 e princípio do valor posicional. cálculo do perímetro de figuras planas,
25%
desenhadas em malhas quadriculadas
45%
D25 – Resolver problema com números
racionais expressos na forma decimal, H16 – Resolver problema envolvendo
envolvendo diferentes significados de noções
de
porcentagem
adição e subtração 26%
(25%,50%,100%) 47,7%
D19 – Resolver problema com números
naturais,
envolvendo
diferentes
significados da adição ou subtração:
juntar, alteração de um estado inicial
(positiva ou negativa), comparação e
mais de uma transformação (positiva ou
negativa)
27%
H13- Resolver problemas envolvendo a
multiplicação e a divisão, especialmente
em situações relacionadas a comparação
entre razões e a configuração retangular
47,9%
H 24- Efetuar cálculos envolvendo
valores de cédulas e moedas em
D 27 – Ler informações e dados situações de compra e venda
apresentados em tabelas
27%
48,3%
D9- Estabelecer relações entre horário H 24- Efetuar cálculos envolvendo
de inicio e término e ou o intervalo da valores de cédulas e moedas em
duração de um evento ou acontecimento situações de compra e venda
33%
48,8%
D18 – Calcular o resultado de uma H 15- Resolver problemas com números
multiplicação e divisão de números racionais expressos na forma decimal
naturais 36%
envolvendo diferentes significados da
adição ou subtração. 49,3%
D1- Identificar a localização –
movimentação de objeto em mapas, Nível avançado
croquis e outras representações gráficas
H27- Resolver problema envolvendo o
37%
cálculo do perímetro de figuras planas,
D26- Resolver problema envolvendo desenhadas em malhas quadriculadas.
noções
de
porcentagem
(25%,
34,5%
50%,100%) 37%
H18 – Identificar formas geométricas
D4- Identificar quadriláteros observando tridimensionais como esfera, cone etc.
as relações entre seus lados (paralelos, ou formas bidimensionais como
congruentes,
perpendiculares) quadrado, triangulo etc sem o uso
46
38%
obrigatório de nomenclatura 39,4%
D3- Identificar propriedades comuns e H04- Identificar representações de um
diferenças entre figuras bidimensionais mesmo número racional
pelo número de lados e pelos tipos de
17,4%
ângulos 39%
Questões abertas
D22- Identificar a localização de
números racionais representados na H16 – Resolver problema envolvendo
noções
de
porcentagem
forma decimal na reta numérica. 40%
(25%,50%,100%) 41,4%
D10- Estabelecer em um problema troca
de cédulas e moedas do sistema H28- Resolver problema envolvendo o
monetário brasileiro, em função de seus cálculo ou estimativa de áreas de figuras
planas,
desenhadas
em
malhas
valores. 42%
quadriculadas. 27,7%
H06Identificar
fração
como
representação que pode estar associada a
diferentes significados (parte – todo,
quociente – razão) 27,3%
DADOS DO 9° ANO
Prova Brasil
Saresp
D1 – Identificar a localização, Nível abaixo do básico
movimentação de objeto em mapas,
croques e outras representações gráficas. Não foi divulgado pelo documento
36%
Nível Básico
D2 – Identificar propriedades comuns e H1 – Reconhecer as diferentes
diferenças entre figuras bidimensionais representações de um número racional.
e tridimensionais, relacionando as com 45,9%
as suas planificações. 45%
Nível Adequado
D3Identificar
propriedades
de
triângulos pela comparação de medidas H15 – Resolver problema com números
racionais envolvendo as operações
de lados. 40%
(adição,
subtração,
multiplicação,
D4 – Identificar a relação entre divisão, potenciação e radiciação) 40,2%
quadriláteros por meio de suas
H16 – Resolver problema que envolva
propriedades 36%
porcentagem. 34,8%
D5- Reconhecer a conservação ou
modificação de medidas dos lados , do H30 – Resolver problemas em diferentes
47
perímetro , da área em ampliação e ou contextos
envolvendo
triângulos
redução de figuras poligonais usando semelhantes. 37,2%
malhas quadriculadas 48%
Nível Avançado
D6 – Reconhecer ângulos como
mudança de direção ou giros H06 Identificar um sistema de equações
identificando ângulos retos ou não retos. do 1° grau que expressa um problema
34,2%
38%
D7 – Reconhecer que as imagens de
uma figura construída por uma
transformação
homotética
são
semelhantes, identificando propriedades
e / ou medidas que se modificam ou não
se alteram. 30%
H09- Utilizar a notação científica como
forma de representação adequada para
números muito grandes ou muitos
pequenos. 22%
D8- Resolver problema utilizando
propriedades dos polígonos ( soma de
seus ângulos internos, número de
diagonais, calculo de medida de cada
ângulo interno nos polígonos regulares.
43%
H27 – reconhecer circulo/circunferência,
seus elementos e algumas de suas
relações . 19,8%
H11- Efetuar cálculos simples com
valores aproximados de radicais. 17,6%
H28 – Usar o plano cartesiano para
representação de pares ordenados e
coordenadas cartesianas e equações
D9Interpretar
informações lineares. 30%
apresentadas por meio de coordenadas
H29- Resolver problema utilizando
cartesianas. 37%
propriedade dos polígonos (somo de
D10- Utilizar relações métricas do seus ângulos internos, numero de
triângulo retângulo para resolver diagonais calculo da medida de cada
problemas significativos. 18%
ângulo interno nos polígonos regulares)
D12- Resolver problema envolvendo o 26%
cálculo de perímetro de figuras planas. H36 – Resolver problemas em diferentes
38%
contextos, envolvendo as relações
D13- Resolver problema envolvendo o métricas dos triângulos retângulos (
teorema de Pitágoras) 34,2%
calculo de área de figuras planas 39%
D14 – Resolver problemas envolvendo H44- Resolver problemas envolvendo
processos de contagem do principio
noções de volume 26%
multiplicativo. 8,5%
D15 – Resolver problema utilizando
relações entre diferentes unidades de Questões abertas
medida. 26%
H15 – Resolver problema com números
D18- Efetuar cálculos com números racionais envolvendo as operações (
inteiros, envolvendo as operações adição, subtração, multiplicação, divisão
48
(adição,
subtração,
multiplicação, , potenciação e radiciação)
divisão e potenciação ) 43%
H20 – Resolver problemas envolvendo
D20 – Resolver problemas com relações de proporcionalidade direta
números inteiros, envolvendo as entre duas grandezas por meio de
operações
(adição,
subtração, funções de 1° grau. 5,1%
multiplicação, divisão e potenciação)
H30- Resolver problemas em diferentes
37%
contextos
envolvendo
triângulos
D21
–
Reconhecer
diferentes semelhantes. 2,8%
representações de um número racional
H32 – Calcular o volume de prismas em
32%
diferentes contextos. 3,9%
D23 – Identificar frações equivalentes
H42 - Resolver problema envolvendo
26%
informações apresentadas em tabelas em
D24 – Reconhecer representações gráficos. 8,1%
decimais dos números racionais como
uma extensão de numeração decimal,
identificando a existência de ordens
como décimos, centésimos e milésimos.
26%
D25- Efetuar cálculos que envolvam
operações com números racionais (
adição,
subtração,
multiplicação,
divisão,potenciação) 26%
D26- Resolver problemas com números
racionais envolvendo as operações
(adição,
subtração,
multiplicação,
divisão e potenciação) 24%
D27- Efetuar cálculos simples com
valores aproximados de radicais. 15%
D28 – Resolver problema que envolva
porcentagem 26%
D29 – Resolver problemas que envolva
variação proporcional direta ou inversa
entre grandezas. 29%
D30 – Calcular o valor numérico de
uma expressão algébrica 26%
D31 – Resolver problemas que envolva
49
equação do 2° grau 45%
D32 – Identificar a expressão algébrica
que
expressa
uma
regularidade
observada em sequência de números de
figuras (padrões) 33%
D33 – Identificar uma equação ou
inequação do 1° grau que expressa um
problema. 34%
D34 – Identificar um sistema de
equações do 1° grau que expressa um
problema. 43%
D35 – Identificar a relação entre as
representações algébricas e geométricas
de um sistema de equações do 1° grau.
33%
D36 – Resolver problemas envolvendo
informações apresentadas em tabelas ou
gráficos 28%
Com a observação desses dados verificamos que as habilidades no decorrer dos
anos se tornam-se mais complexas e portanto inferimos que também as prováveis
dificuldades dos alunos nos anos iniciais ficam mais complexas no decorrer dos anos
escolares.
Um convite à reflexão: referencial teórico
A avaliação da aprendizagem escolar vem sendo objeto de constantes pesquisas
e estudos e está presente na vida de todos nós que, de algum modo, estamos
comprometidos com atos e práticas educativas. Professores, alunos, demais
profissionais da equipe pedagógica, os responsáveis pelos alunos, gestores das
atividades educativas públicas e privadas, administradores da educação, todos, estamos
cada vez mais preocupados com essa temática que vem ocupando cada vez mais espaço
em nosso sistema educacional.
50
De acordo com Azâmor e Naiff (2009) a avaliação da aprendizagem escolar vem
passando por modificações, com o propósito de atender às novas demandas que surgem
no ambiente escolar.
Os instrumentos de avaliação cada vez mais tornam-se alvo de indagações,
reflexões e críticas, por grande parte dos estudiosos da educação, como Luckesi (1998),
que considera que o atual processo de aferição da aprendizagem é sob a forma de
verificação e não de avaliação. No entender desse autor, o conceito de verificação:
“...emerge das determinações da conduta de, intencionalmente,
buscar “ver se algo é isso mesmo...”, “investigar a verdade de
alguma coisa...” O processo de verificar configura-se pela
observação, obtenção, análise e síntese dos dados ou
informações que delimitam o objeto ou ato com o qual se está
trabalhando. A verificação encerra-se no momento em que o
objeto ou ato de investigação chega a ser configurado,
sinteticamente, no pensamento abstrato, isto é, no momento em
que se chega à conclusão que tal objeto ou ato possui
determinada configuração”(LUCKESI,2008 p. 92)
Desse modo, entendemos que a verificação é uma ação que “congela” o objeto,
pois não permite que se retire consequências novas ou significativas. Na contramão da
verificação, a avaliação transpõe a configuração do objeto, direcionando num trilha
dinâmica de ação.
No entender de Luckesi (1998) o conceito de avaliação é formulado a partir das
determinações da conduta de “atribuir um valor ou qualidade a alguma coisa, ato ou
curso de ação...” (pg.92), portanto o ato de avaliar não se encerra na atribuição de um
valor ou qualidade atribuído a um objeto, a avaliação é um processo dinâmico e que
implica:
“...coleta, análise e síntese dos dados que configuram o objeto
da avaliação, acrescido de uma atribuição de valor ou qualidade,
que se processa a partir da comparação da configuração do
objeto avaliado com um determinado padrão de qualidade
previamente estabelecido para aquele tipo de objeto. O valor ou
qualidade atribuídos ao objeto conduzem a uma tomada de
posição a seu favor ou contra o objeto, ato ou curso de ação, a
partir do valor ou qualidade atribuídos, conduz a uma decisão
nova: manter o objeto como está ou atuar sobre ele.”(Luckesi,
1998, p. 93)
51
No entender desse autor, uma avaliação escolar conduzida de forma inadequada
pode, consequentemente, ocasionar a repetência do aluno, ou mesmo causar sua evasão.
Nesse contexto, entendemos que uma avaliação da aprendizagem quando bem
empregada pode ser uma ferramenta para a melhoria do ensino, visto que a avaliação
descreve quais conhecimentos os alunos adquiriram relativos a um assunto, podem
revelar quais objetivos do ensino os educandos já atingiram em um determinado
momento de sua vida escolar e em quais conteúdos apresentam mais dificuldades ou
facilidades.
Esse conjunto de informações são necessários para que o professor por meio de
estratégias possa auxiliar os educandos a resolver as dificuldades encontradas. Nesse
contexto, Hoffmann (1995, p. 21) defende que: "A avaliação deixe de ser o momento
terminal do processo educativo [...] para se transformar na busca incessante de
compreensão das dificuldades do educando e na dinamização de novas oportunidades de
conhecimento".
Portanto, entendemos que a avaliação deve ser um processo contínuo, realizada
em diferentes momentos, subsidiando as decisões a respeito da aprendizagem dos
educandos pelo professor.
Nesse cenário a concepção de avaliação dos Parâmetros Curriculares Nacionais
vai além da visão tradicional, para ser compreendida como parte integrante do processo
educacional, de modo que possibilite ao professor uma reflexão contínua sobre sua
prática e realizando os ajustes necessários para que ocorra a aprendizagem dos alunos.
A avaliação subsidia o professor com elementos para uma
reflexão contínua sobre a sua prática, sobre a criação de novos
instrumentos de trabalho e a retomada de aspectos que devem
ser revistos, ajustados ou reconhecidos como adequados para o
processo de aprendizagem individual ou de todo grupo. Para o
aluno, é o instrumento de tomada de consciência de suas
conquistas, dificuldades e possibilidades para reorganização de
seu investimento na tarefa de aprender. Para a escola, possibilita
definir prioridades e localizar quais aspectos das ações
educacionais demandam maior apoio. (BRASIL, 1997, p. 55)
Desse modo, entendemos que um sistema educacional comprometido com o
desenvolvimento das capacidades dos alunos, concebe a avaliação como um processo
52
relevante para a produção da qualidade desejada, redimensionando investimentos,
indicando mudanças curriculares, gerando impactos dentro da sala de aula, a fim de que
os educandos aprendam cada vez mais e atinjam os objetivos propostos.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais, sinalizam para que:
Esse uso da avaliação, numa perspectiva democrática, só poderá
acontecer se forem superados o caráter de terminalidade e de
medição de conteúdos aprendidos — tão arraigados nas práticas
escolares — a fim de que os resultados da avaliação possam ser
concebidos como indicadores para a reorientação da prática
educacional e nunca como um meio de estigmatizar os alunos.
Utilizar a avaliação como instrumento para o desenvolvimento
das atividades didáticas requer que ela não seja interpretada
como um momento estático, mas antes como um momento de
observação de um processo dinâmico e não-linear de construção
de conhecimento. (BRASIL, 1997, p. 56)
Nesse cenário entendemos que uma avaliação da aprendizagem bem empregada
pode ser uma ferramenta para a melhoria do ensino, levando o aluno ao sucesso, muito
importante, tanto para as mudanças da educação como da própria sociedade.
Formação docente
Não poderíamos tratar a questão da avaliação, sem mencionar um ator
importante desse processo: o professor. Apesar da intenção de utilizar os resultados do
SARESP para a orientação de programas de formação de professores ter sido divulgada
desde sua implantação, “poucas têm sido as informações divulgadas através de
documentos a sua real utilização que tem sido feita desses resultados” ( Bauer 2008, p.
56)
Ball (1988) relata sobre as três mitos que referem-se à formação de professores:
acredita-se que os futuros professores sabem ensinar pois dominam assuntos básicos,
assuntos complexos como os que envolvem a Matemática não necessitam ser revistos e
se este docente é formado por esta disciplina será dotado de grande conhecimento
matemático e por tanto apto para ensiná-la mesmo sem conhecimentos pedagógicos. Em
seu estudo a autora investigou as concepções que os professores trazem de sua formação
e concluiu que mesmo os que possuíam vasto conhecimento da matemática tinham
dificuldade em ensiná-la, principalmente quanto aos significados e conexões
53
matemáticas. Neste momento a autora afirma que os docentes necessitam ampliar seu
conhecimento sobre como o aluno aprende e que matemática devo ensinar ao mesmo,
Para isso ela propõe o conhecimento especializado do conteúdo que é a capacidade do
professor em perceber os erros e identificá-los de modo a promover intervenções que as
superem.
Pesquisas que identificam a influência da avaliação externa na formação docente
Entre muitos estudos que indicam a influência das avaliações externas nas ações
de planejamento docente apresentamos duas, que a nosso ver, exemplificam e nos dão
apoio para correlacionarmos com os dados anteriores.
Vasconcelos (2008) investigou o processo de formação continuada dos
professores que atuam na 3ª e 4ª séries do Ensino Fundamental I rede pública estadual,
da região metropolitana de Alagoas. Seu estudo aconteceu no espaço do laboratório de
Matemática, com foco de estudo nas estruturas multiplicativas. Escolheu esta temática,
pois os dados do SAEB indicavam baixo resultado. Em sua análise observou-se muitos
aspectos que poderiam contribuir para o desenvolvimento da aprendizagem, entre estes:
[...] é que os professores só querem saber do “como fazer” e não
do “por que fazer” e “para que fazer”, dificultando assim as
mudanças. No eixo da formação continuada em serviço de
professores deve-se organizar a formação por temas direcionados
pelas dificuldades de ensino detectados em sala de aula e/ou
baseados nos resultados das provas em larga escala, SAEB,
PROVA-BRASIL, vigente no país, que apontam alguns entraves
na aprendizagem, decorrentes do ensino. (VASCONCELOS,
2008, p.140)
A dissertação de Alencar (2012) analisa uma escola bem sucedida nos resultados
do Saresp e propõe como estudo investigar quais foram os conhecimentos profissionais
docentes desses professores dos anos iniciais para que os alunos tivessem uma boa
proficiência. Seu estudo nos dá indícios que as avaliações devem ser utilizadas para o
replanejamento das ações de ensino e aprendizagem. O estudo apresenta questionários
contendo perguntas do Saresp com diferentes resoluções de alunos fictícios e propõe
que as formações docentes seja dirigida pelo conhecimento especializado do conteúdo
de Ball (1988).
54
Análise do cenário
Observamos que os dados de algumas das avaliações externas indicam a
dificuldade dos alunos em Matemática , e portanto as
avaliações especificam os
conteúdos e indicam um crescente indício de dificuldade dos conteúdos.
Ao compararmos com nossa teoria sobre avaliação verificamos a preocupação
dos autores com medir e avaliar (Luckesi, 1998) e ao mesmo tempo nos indica a
necessidade de utilização das avaliações externas para o replanejamento das ações
(Hoffman, 1995). Tais indícios são corroborados pelas pesquisas que indicam a
necessidade de utilização das avaliações externas nas ações de replanejamento
(Vasconcelos, 2008), assim como a pesquisa de Alencar (2012) que complementa
relatando sobre a possibilidade de utilização do conhecimento especializado do
conteúdo, na formação de professores (Ball, 1988).
Considerações finais
A avaliação apresenta uma importância social e política fundamental no fazer
educativo vinculando-a a ideia de qualidade. Ao observar os dados das avaliações
externas e articular com estudos teóricos e científicos, percebemos a importância de
investigar as dificuldades dos alunos. Esse olhar investigativo deve ser incentivado nas
formações docentes. Evidenciamos ainda que utilizar desses dados não requer
desenvolvermos moldes ou treinamentos a serem desenvolvidos em sala de aula, mas
propiciar a reflexão dos dados e conteúdos por eles abordados.
A busca pela qualidade na escola configura-se como um grande desafio e
demanda estratégias que possam modificar a situação da baixa qualidade da
aprendizagem e melhores condições de trabalho para o professor. Acreditamos que a
qualidade de ensino não deve estar apenas atrelada ao rendimento escolar ou ao
“rankeamento” entre as instituições de ensino.
Assim, para qualificar a aprendizagem de nossos educandos, é necessário que
esta esteja vinculada ao desenvolvimento processual e integral do aluno, o que envolve
dimensões muito mais amplas e incapazes de serem captadas e quantificadas somente
pelas avaliações externas.
55
Referências
ALENCAR, E. S. D. Conhecimento Profissional Docente de Professores do 5 ° ano
em uma escola com bom desempenho em Matemática: o caso das estruturas
multiplicativas. Dissertação ( Mestrado em Educação Matemática): UNIBAN , São
Paulo, 2012.
AZÂMOR, C. R; NAIFF, L. A. M. Representações sociais da avaliação da
aprendizagem em professores do ensino público fundamental de Niterói. Estudos
Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v. 90, n. 226, p. 650-672, set./dez.
2009.
Ball, D. L. Knowledge and reasoning in mathematical pedagogy: Examining what
prospective teachers bring to teacher education. Unpublished doctoral dissertation,
Michigan State University, East Lansing.1988
Bauer, Adriana. Uso dos resultados do SARESP: o papael da Avaliação nas políticas
de formação docente. 173f. Dissertação ( Mestrado). Faculdade de Educação da
universidade de São Paulo.2006
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Introdução. Brasília: MEC/SEF, 1997.
_______ Relatório do Saeb Prova Brasil. Brasília: MEC/SEF, 2011.
HOFFMAN, Jussara. Avaliação: mito e desafio: uma perspectiva construtivista. 16.ed.
Porto Alegre: Educação & Realidade, 1995.
LUCKESI , C. Verificação ou Avaliação: O Que Pratica a Escola? Idéias n. 8, São
Paulo: FDE, 1998. p. 133-140.
INEP. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas. Acesso: 13 de fevereiro de 2014 as
10:30 AM. 2014
SÃO PAULO. Secretária do Governo Estadual. Relatório do Saresp. FDE – Fundação
e Desenvolvimento da Educação. São Paulo, 2011.
VASCONCELOS, C. F. B. S. D. A reconstrução do conceito de dividir na formação
dos professores: o uso do jogo como recurso tecnológico. Dissertação ( Mestrado em
Educação): UFAL , Macéio, 2008.
56
SISTEMA DE AVALIAÇÃO DE RENDIMENTO ESCOLAR DO ESTADO DE
SÃO PAULO – SARESP – UM HISTÓRICO
Alessandra Carvalho Teixeira - UNICSUL – SP ([email protected])
Cintia Ap. Bento dos Santos - UNICSUL – SP ([email protected])
Norma Suely G. Allevato – UNICSUL – SP ([email protected])
Resumo
O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – Saresp, é
uma avaliação anual, em larga escala e obrigatória na rede estadual de ensino. Seus
resultados são utilizados para acompanhar e verificar a melhoria da qualidade de ensino,
subsidiando a tomada de decisões pelas instâncias da Secretaria de Estado da Educação
de São Paulo – SEE/SP. O presente artigo é parte de uma pesquisa desenvolvida para
elaboração de dissertação no âmbito de um Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática. O objetivo é apresentar um panorama do Sistema de Avaliação de
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – Saresp quanto à sua implantação e
histórico. Apresenta, ainda, o contexto em que se dá essa avaliação externa realizada no
Estado de São Paulo. A pesquisa foi desenvolvida por método qualitativo e técnica de
análise documental, uma vez que foram analisados documentos oficiais referentes ao
Saresp, de modo a construir um histórico desde a sua implantação. Os estudos
realizados mostraram como o Saresp foi sendo modificado em seu formato, recursos
empregados e formas de análise dos resultados, sempre com vistas à construção de
análise diagnóstica e subsidiando ações no tocante à formação de professores e às
práticas e orientações para a sala de aula na rede estadual de ensino do Estado de São
Paulo. O presente artigo possibilita, portanto, que outros pesquisadores envolvidos ou
interessados nesta ou em outros sistemas de avaliação em larga escala tenham, neste
trabalho, uma visão das mudanças ocorridas no Saresp, desde sua implantação até a
edição de 2012.
Palavras chave: Avaliação em larga escala, Saresp, Qualidade de ensino
57
1. Introdução
A avaliação externa, também conhecida como avaliação em larga escala, está,
dentre os instrumentos utilizados para a elaboração de políticas públicas do sistema de
ensino, como um dos principais. Além da relação com as políticas públicas, esse tipo de
avaliação também está relacionado ao redirecionamento das metas estabelecidas para
cada unidade escolar. Esse tipo de avaliação tem como objetivo monitorar e promover
melhorias no desempenho das escolas e utiliza os resultados como uma medida de
proficiência, ou seja, para o retrato desse desempenho das unidades escolares. O Saresp
é uma avaliação externa em larga escala, aplicada na Educação Básica do Estado de São
Paulo desde 1996, o qual apresenta os mesmos objetivos citados acima.
O presente artigo, cujo objetivo é apresentar um panorama do Sistema de
Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – Saresp quanto à sua
implantação e histórico, está organizado de forma a retratar brevemente a implantação
desse sistema de avaliação no Estado de São Paulo; traça seu histórico desde a sua
origem (a partir de projetos anteriores) até 2012, explicitando o caráter da avaliação, a
matriz e os itens de prova, o tratamento dos resultados, as séries avaliadas, os
componentes curriculares avaliados, os instrumentos utilizados, a forma de divulgação
dos resultados, objetivos e algumas mudanças em cada edição do Saresp; e encerra com
algumas considerações finais e as referências.
2. Histórico do Saresp – de 1996 a 2012
Antes de discorrermos sobre cada edição, vale ressaltar que em 1999 não houve
Saresp, e nos documentos consultados da SEE/SP não são explicitados os motivos para
tal ocorrência. Também em 2006, segundo Arcas (2009), a pedagoga Maria Lúcia
Marcondes Carvalho Vasconcelos, recém empossada no cargo de Secretária da
Educação, observou a necessidade de repensar o Saresp, organizando, assim, um
seminário para analisar os resultados obtidos anteriormente, o que resultou na não
aplicação da prova.
Apresentaremos a seguir, separadas por tópicos, algumas informações relevantes
para a descrição do histórico das 15 edições.
58
2.1 Implantação do Saresp
Antes da implantação do Saresp pela Resolução SE nº 27, de 29 de março de
1996, havia avaliações de caráter mais pontual. Dentre as avaliações precedentes ao
Saresp temos: o Projeto de Inovações no Ensino Básico, que tinha como objetivo
realizar avaliações de impacto das políticas educacionais vigentes em 1992 e 1993 sobre
o rendimento dos alunos. Os resultados do Projeto apontaram a necessidade de se
criarem avaliações que permitissem tomadas de decisões pelas várias instâncias da
SEE/SP para a melhoria da qualidade de ensino, permitindo o estabelecimento de uma
política de avaliação articulada com o Sistema Nacional de Avaliação da Educação
Básica (SAEB), proporcionando maior autonomia às Diretorias de Ensino e escolas e,
também, que permitisse informar à sociedade o desempenho do sistema de ensino e seus
objetivos. Visando essas ações e necessidades apontadas, a SEE/SP repensou as
avaliações que eram realizadas anteriormente e implantou, em 1996, o Saresp.
O Saresp está na sua 16ª edição, ocorrida em novembro de 2013. Os anos nos
quais elas aconteceram foram 1996, 1997, 1998, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005,
2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012 e 2013. Nessas edições, participaram
obrigatoriamente as escolas da rede pública estadual e, por adesão, as escolas das redes
municipal e particular, sendo que as municipais não aderiram em 2002/2003, e as
particulares, de 2000 a 2003. A 3ª série do Ensino Médio das Escolas Técnicas do
Centro Paula Souza – ETE passou a participar a partir de 2009, também por adesão.
2.2 Caráter da avaliação
Desde sua implantação em 1996 até a edição que ocorreu em 1998, o Saresp
apresentava caráter censitário, onde cada aluno era avaliado em apenas um componente
curricular. Por exemplo: se em uma determinada edição, a prova contemplava Língua
Portuguesa e Matemática, então parte dos alunos respondia a prova de Matemática e a
outra parte, a de Língua Portuguesa. A partir de 2000 até as edições atuais, continua
apresentando caráter censitário, mas os alunos não são mais avaliados em apenas um
componente curricular, e sim, em todos os componentes que a avaliação contempla no
ano de aplicação.
59
2.3 Matriz e Itens de prova
Em 1997, foi elaborada a Matriz de Referência do Saeb, que buscou a associação
dos conteúdos às competências cognitivas utilizadas no processo de construção do
conhecimento. O Inep (2001) apresenta como significado de competência a definição
apresentada por Perrenoud (1993): “capacidade de agir eficazmente em um determinado
tipo de situação, apoiando-se em conhecimentos, mas sem se limitar a eles”.
As competências cognitivas devem ser caracterizadas de modo objetivo,
mensurável e observável, visto que possibilitam ao aluno saber o que é necessário para
resolver o que foi solicitado em cada questão, e são, assim, úteis na elaboração das
questões. Com a unificação do Currículo Escolar Estadual, as competências foram
apresentadas em três grupos, de acordo com seus esquemas cognitivos, apresentados na
Matriz de Referência para Avaliação – documento básico – Saresp, São Paulo (2009):
Grupo I – esquemas representativos (propostos por Jean Piaget) – Competências para
observar; Grupo II – esquemas procedimentais – Competências para realizar; Grupo III
– esquemas operatórios – Competências para compreender.
Segundo a Matriz de Referência (SÃO PAULO, 2009), nem todas as habilidades
e competências indicadas na Proposta Curricular do Estado de São Paulo foram
incluídas na Matriz de Avaliação do Saresp por não serem passíveis de serem avaliadas
de acordo com os instrumentos utilizados em avaliação de larga escala. Um exemplo de
habilidade que não pode ser medida é a de realização do cálculo mental. Não é possível
determinar, nesse tipo de avaliação, se o aluno utilizou alguma ferramenta para resolver
o item proposto ou apenas o cálculo mental.
A matriz de uma avaliação é formada por um conjunto de descritores. Os
descritores mostram as habilidades, possíveis de serem conferidas em testes de
desempenhos, esperadas dos alunos de acordo com sua fase de escolarização. Os itens
de prova são as questões de múltipla escolha que a compõem, para aferição das
habilidades citadas acima.
Em 1996, a matriz e os itens de prova foram elaborados pela Coordenadoria de
Estudos e Normas Pedagógicas – CENP. De 1997 a 2001, foram elaborados por
professores da rede estadual de ensino e, a partir de 2002, por uma comissão técnica,
60
com base nas Propostas Curriculares (SÃO PAULO, 2008) da CENP e nos Parâmetros
Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1997).
Da edição de 2009 em diante, os itens de prova passaram a ser elaborados com
base na Matriz de Referência do Saresp (SÃO PAULO, 2009).
2.4 Níveis de proficiência
Os níveis de proficiência são escalas métricas que permitem comparações de
diferentes resultados de avaliações de larga escala. São utilizados valores arbitrários e
são construídos com os resultados da Teoria de Resposta ao Item (TRI). As informações
que constam deste item foram retiradas de São Paulo (2011).
Os pontos selecionados que determinam a Escala de Matemática, os mesmos
para as quatro séries avaliadas (4ª, 6ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e 3ª série do
Ensino Médio) são 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300, 325, 350, 375, 400, 425, que
foram determinados de acordo com a média da 8ª série/ 9º ano no Saeb 1997, que foi
250 e, a partir dela, instaurados intervalos de 25 pontos. O Quadro 1 elucida os níveis de
proficiência por classificação.
Quadro 1 – Classificação e descrição dos níveis de proficiência do Saresp
Fonte: São Paulo (2011, p. 6).
Como é de responsabilidade de cada órgão o agrupamento do desempenho
indicado nos diferentes valores da escala, o Governo do Estado de São Paulo os agrupou
em quatro níveis de desempenho, definidos a partir das expectativas de aprendizagem
apresentadas no Currículo Estadual. Os valores apresentados na Tabela 1 são referentes
à 8ª série/9º ano do Ensino Fundamental.
61
Tabela 1 – Níveis de proficiência de Matemática do Saresp
Níveis de proficiência
Abaixo do básico
8ª série/9º ano
< 225
Básico
225 a < 300
Adequado
300 a < 350
Avançado
≥ 350
Fonte: São Paulo (2011, p. 6).
Cada intervalo significa que o aluno realizou tudo o que é apresentado nos
pontos anteriores mais o que está sendo indicado no próprio intervalo, ou seja, cada
intervalo da escala indica que o aluno atingiu os objetivos requeridos na pontuação
indicada mais os objetivos das pontuações anteriores; por exemplo, o aluno que atingiu
270 pontos desenvolveu as habilidades previstas no nível abaixo do básico, mais as
habilidades previstas entre 225 e 270 do nível básico.
2.5 Séries avaliadas
Nesta seção, apontaremos as séries/anos que participaram de cada edição.

1996 – 3ª e 7ª séries do Ensino Fundamental.

1997 – 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e 1ª série do Ensino Médio.

1998 – 5ª série do Ensino Fundamental e 1ª série do Ensino Médio.

2000 – 5ª e 7ª séries do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio.

2001 e 2002 – 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental.

2003 a 2005 – todas as séries do Ensino Fundamental e Ensino Médio.

A partir de 2007 – 2ª, 4ª, 6ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino
Médio, atuais 3º, 5º, 7º e 9º anos do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino
Médio.
Em 2001 houve, também, a participação de alunos do supletivo (atual Educação
de Jovens e Adultos – EJA) que, até então, não havia participado de nenhuma edição.
62
2.6 Componentes Curriculares avaliados
Apontaremos a seguir, os componentes curriculares avaliados em cada edição:

1996 – Língua Portuguesa, Matemática, História, Geografia e Ciências.

1997, 2000 e 2007 – Língua Portuguesa e Matemática.

1998 – Língua Portuguesa, Matemática e Biologia.

2001 – Língua Portuguesa.

2002 a 2004 – Leitura e Escrita.

2005 – Matemática, Leitura e Escrita.

2008, 2010 e 2012 – Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, Biologia, Física e
Química.

2009 e 2011 – Língua Portuguesa, Matemática, História e Geografia.
Cabe salientar que, como dito anteriormente, a partir de 2008, os componentes
Língua Portuguesa e Matemática têm sido avaliados anualmente; e bienalmente, de
forma intercalada, Ciências da Natureza e Ciências Humanas.
2.7 Instrumentos utilizados
Nas edições de 1996 a 2000, os instrumentos utilizados foram prova,
questionário do aluno e da escola. Segundo Siebra (2009), os questionários dos alunos e
da escola foram utilizados para analisar quais as variáveis que interferiam na
aprendizagem dos alunos. Entre as edições de 2001 e 2003, o instrumento utilizado foi
apenas a prova, não havendo questionário para o aluno e para a escola, como nas
edições anteriores. Já em 2004 e 2005, os instrumentos utilizados foram a prova e o
questionário do aluno, o qual voltou a ser aplicado com o intuito de traçar o perfil dos
estudantes.
A edição de 2007 apresentou como instrumento a prova, com 30 itens em cada
uma das disciplinas avaliadas e uma redação do tipo narrativo para o Ensino
Fundamental, e dissertativo para o Ensino Médio. Além do questionário dos alunos e da
escola (representada pelos diretores escolares), nessa edição foram aplicados
questionários a professores das séries/disciplinas avaliadas e professores coordenadores
buscando subsídios que orientassem políticas educacionais.
63
A partir de 2008, foi realizada a prova e, além dos questionários a alunos,
diretores de escola, professores das disciplinas avaliadas e professores coordenadores,
foram aplicados questionários aos pais e aos supervisores de ensino, que objetivavam
diagnosticar fatores que pudessem interferir no desempenho dos alunos.
2.8 Tratamento dos Resultados
O tratamento dos resultados apresentados nas edições de 1996 a 1998 foi feito
por análise clássica e comparativa a partir da utilização da TRI e Modelos Lineares
Hierárquicos (MLH), sobre os quais comentaremos a seguir, respectivamente.
Segundo Andrade, Tavares e Valle (2000), os indivíduos, nesse caso os alunos,
apresentam características que não proporcionam formas de observação direta, e a TRI
propõe modelos para que elas sejam observadas. Cada item da TRI apresenta uma
discriminação que permite diferenciar a habilidade dos alunos, o grau de dificuldade e o
acerto casual, de modo que uma ou mais habilidades sejam relacionadas com a
probabilidade de a pessoa acertar a resposta. Assim, uma das suas principais
características é o fato de não ter como elemento central a prova como um todo, e sim,
os itens que a compõem de acordo com as habilidades apresentada em cada item. A TRI
permite que os desempenhos dos alunos sejam comparados e colocados numa mesma
escala de conhecimento. Segundo Andrade, Tavares e Valle (2000, p. 7), “[...] quanto
maior a habilidade, maior a probabilidade de acerto no item”.
Essa Teoria apresenta vantagens quanto à Teoria Clássica de Medidas utilizada
em algumas avaliações, pois não é dependente de um conjunto de itens permitindo que
escalas de habilidades sejam construídas.
No caso dos Modelos Lineares Hierárquicos (MLH), cada nível é formado por
amostras aleatórias, em que há unidades experimentais agrupadas em outras unidades
maiores, permitindo avaliar cada um dos itens hierárquicos separadamente e incorporar
efeitos aleatórios em cada um dos níveis. Em uma avaliação do sistema educacional, por
exemplo, pelo MLH pode-se considerar dois níveis de amostras: um composto por
alunos de uma determinada escola e outro pelas escolas envolvidas.
O tratamento dos resultados na edição de 2000 apresentou um instrumento
diferente das edições anteriores. Além da Teoria Clássica de Medidas, que é baseada
nos resultados por escores brutos ou padronizados, TRI e MLH, a edição contou com a
64
Detecção Automática de Interação (AID), que é uma técnica exploratória de dados,
também considerada ferramenta para imputação de valores ausentes.
Em 2001 e 2002, o tratamento foi apenas pela Teoria Clássica de Medidas. A
partir de 2003, os resultados passaram a ser tratados apenas pela Teoria de Resposta ao
Item, ação que perdurou até a 15ª edição, ocorrida em novembro de 2012.
A partir de 2008 a metodologia de Blocos Incompletos Balanceados (BIB)
passou a ser utilizada na montagem das provas. O BIB permite o estabelecimento de
vários blocos formados por diversos itens, sendo eles iguais ou diferentes, que
possibilitam avaliar uma grande parte das habilidades previstas para uma determinada
disciplina e série. Cada prova é formada por certa quantidade de blocos, estabelecendo
um padrão de rodízio entre eles. O rodízio é necessário, uma vez que temos maior
número de blocos do que os utilizados para compor uma avaliação.
De acordo com Bekman (2001), sobre o BIB,
Isto é especialmente útil nos sistemas de avaliação quando
desejamos obter informações amplas sobre o ensino, utilizando
um grande número de itens, ao passo que precisamos limitar a
quantidade de itens submetido a cada aluno num valor aceitável
e adequado ao tempo de prova (Ibidem, p. 121).
Podemos perceber, de acordo com a citação anterior, que a metodologia BIB
permite que através da elaboração e utilização de diversos itens em uma mesma prova,
várias proficiências são contempladas em um único instrumento, possibilitando melhor
avaliação do desempenho dos alunos.
2.9 Divulgação dos Resultados
Nas edições de 1996 a 2000, os resultados foram divulgados por meio da Revista
do Saresp/FDE e relatórios produzidos pelos diferentes âmbitos de organização da
educação. Eles foram utilizados para subsidiar o trabalho em sala de aula, avaliar os
programas da Secretaria Estadual de Educação que estavam em vigor e formular
políticas públicas. Além disso, em 1998, os resultados também auxiliaram na
construção do Projeto Político Pedagógico (PPP) das escolas.
65
Em 2001, a divulgação se deu por boletins produzidos e distribuídos pela
Fundação para o Desenvolvimento da Educação (FDE), e no site da SEE
(www.educacao.sp.gov.br), sendo usados para decidir se os alunos da Progressão
Continuada teriam continuidade de estudo ou seriam encaminhados para a recuperação
de ciclo.
Na edição de 2002, os resultados foram encaminhados para as escolas e
diretorias como subsídio para capacitação dos professores. As escolas elaboraram
boletins que circularam internamente e na comunidade escolar.
Os resultados de 2003 foram utilizados para a formação continuada dos
professores e gestores, e a divulgação foi individualizada, por aluno.
Os de 2004 e 2005, foram divulgados em treinamentos e capacitações, por meio
de manuais e informes, e vistos como importante instrumento de monitoramento do
ensino. Subsidiaram a tomada de decisão e o estabelecimento de políticas públicas, além
de reorientarem o trabalho pedagógico quanto à capacitação e elaboração de planos e
estratégias de ação visando ao aprimoramento das práticas pedagógicas em cada
Unidade Escolar. Em 2005, foram apresentados às escolas de forma nominal para cada
estudante.
A partir da edição de 2007, houve uma inovação quanto à divulgação dos
resultados, a qual foi feita no site da Secretaria Estadual de Educação através de boletins
de desempenho da escola.
2.10 Objetivos e algumas mudanças ainda não citadas em cada edição do Saresp
Neste item, comentaremos sobre os objetivos de cada edição do Saresp e
algumas mudanças ainda não citadas.

1996 – monitorar a qualidade do sistema de ensino, subsidiar tomadas de decisões e
fornecer às equipes técnicas informações para orientação na formulação do Projeto
Pedagógico.

1997 –- ampliar o conhecimento do perfil do aluno a fim de subsidiar o trabalho
desenvolvido em sala e permitir que a SEE/SP auxiliasse os professores com
recursos, serviços e orientações.
66

1998 – além dos anteriores, avaliar o impacto de programas criados
especificamente para esse fim e para a melhoria do sistema educacional.

2000 – obter informações que auxiliassem na tomada de decisão dos diferentes
níveis do sistema de ensino e, após identificar os problemas, desenvolver ações que
os resolvessem, proporcionando situações de aprendizagem mais significativas.

2001 – fundamentar as decisões quanto ao encaminhamento de cada aluno para
continuidade dos estudos ou para a recuperação de ciclo.

2002 – diagnosticar, em termos de habilidades, o desempenho dos alunos.
Esse diagnóstico forneceria informações às diretorias e escolas para que
estratégias pedagógicas fossem adotadas a fim de sanar os fatores negativos
apresentados quanto à qualidade de ensino.

2003 – promover uma cultura avaliativa no sistema escolar, obter indicadores
significativos para subsidiar intervenções técnico-pedagógicas que corrigissem
distorções e melhorassem a qualidade do ensino, e estender o Saresp aos alunos de
todas as séries do Ensino Fundamental e Ensino Médio.

2004 e 2005 – obter indicadores educacionais que pudessem subsidiar a elaboração
de propostas de intervenção para a melhoria da qualidade de ensino e correção de
distorções detectadas no sistema.

2007 – monitorar a qualidade do sistema de ensino e subsidiar tomadas de decisões.
Muitas mudanças ocorreram na formulação do Saresp a partir de 2007, entre
elas, a adequação das habilidades às do Saeb/Prova Brasil para 4ª série/5º ano, 8ª
série/9º ano do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio, utilizando a mesma
escala. Além disso, nessa edição, a SEE/SP divulgou em seu site as provas por série e
período seus gabaritos, assim como as habilidades avaliadas, por considerá-los
importantes indicadores para os educadores da rede.

2008 – diagnosticar o sistema de ensino e monitorar as políticas públicas de
educação.
A partir de 2008, os resultados de Língua Portuguesa e Matemática das séries
finais de ciclo têm sido utilizados para compor o Índice de Desenvolvimento da
Educação Básica do Estado de São Paulo – Idesp –, o qual apresenta como um de seus
objetivos acompanhar o cumprimento das metas estabelecidas quanto à melhoria da
67
qualidade de ensino pelas escolas estaduais e, também, para subsidiar o sistema de
bonificação dos profissionais caso as determinadas metas sejam alcançadas.

2009 – diagnosticar e monitorar sistematicamente o sistema educacional do Estado
de São Paulo, verificar o rendimento escolar dos alunos e fornecer informações
relevantes ao sistema de ensino e equipes que dele fazem parte, interna ou
externamente.

2010, 2011 e 2012 – verificar o rendimento escolar dos alunos e fornecer
informações relevantes ao sistema de ensino e equipes que dele fazem parte, interna
ou externamente.
Uma inovação na edição de 2010 foi que, diferentemente dos anos anteriores, a
Redação apareceu por amostragem, assim como foi feito com as questões de
Matemática.
3. Metodologia e materiais
Para atender ao objetivo da nossa investigação, foi realizada uma pesquisa do
tipo qualitativa, com técnica de análise documental. Lüdke e André (1986) consideram
que a pesquisa qualitativa envolve a obtenção de dados descritivos por meio do contato
direto do pesquisador com a situação estudada, enfatizando mais o processo do que o
produto. Creswell (2007) a caracteriza como sendo uma pesquisa que utiliza diferentes
concepções filosóficas; métodos de coleta, análise e interpretação de dados; e variadas
estratégias de investigação, as quais têm influência sobre os procedimentos.
De acordo com Sá-Silva, Almeida e Guindani (2009), a pesquisa documental é
um procedimento metodológico que, dependendo do objeto de estudo e dos objetivos da
pesquisa, pode se caracterizar como principal caminho de concretização da investigação
ou se constituir como instrumento metodológico complementar. Ela se propõe a
produzir novos conhecimentos, criar novas formas de compreender os fenômenos e dar
a conhecer a forma como estes têm sido desenvolvidos. Considerando as afirmações dos
autores, na nossa pesquisa, a análise documental, enquanto técnica, foi o principal
caminho.
Considerando a dificuldade de encontrarmos, na época da pesquisa para o
mestrado, um documento que fornecesse a linha do tempo completa do Saresp, o
levantamento foi feito através de documentos diversos, muitos deles disponíveis no site
68
da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo – SEE/SP. Como referências para a
elaboração deste artigo foram utilizados os Relatórios Pedagógicos de 2008, 2009,
2010, 2011, 2012, a Matriz de Referência para a Avaliação – documento básico –
Saresp, o Sumário Executivo de 2008, 2009, 2010 e o Currículo do Estado de São
Paulo. Embora já tenha sido realizada, os dados referentes à edição de 2013 ainda não
foram disponibilizados, o que restringe o presente trabalho até a edição de 2012.
4. Considerações finais
Durante nossas categorizações para a dissertação de mestrado (TEIXEIRA,
2013), a falta de material sobre a Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São
Paulo – Saresp, desde a sua origem, e a não divulgação de todos os itens que compõem
a avaliação, para análise e categorização, nos impuseram limitações de modo que não
temos a pretensão de considerar que este trabalho se constitua em resultado completo
desse sistema de avaliação. A falta de acesso a alguns dados relevantes pode ter
comprometido a elaboração de um histórico mais consistente dessas avaliações, foco de
nossa pesquisa.
A importância deste artigo reside na possibilidade de entendermos a evolução do
Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo e como ele é
elaborado. Ao longo desta comunicação pudemos perceber as modificações que
ocorreram durante as edições do Saresp, embora os objetivos tenham permanecido
praticamente os mesmos, quais sejam: a melhoria da qualidade de ensino, de acordo
com a análise do desempenho dos alunos e a utilização dos resultados obtidos como
base de informações para suporte das instâncias da Secretaria da Educação do Estado de
São Paulo.
Destaque-se que a partir de 2007, houve uma reestruturação do currículo das
séries finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Um dos objetivos era a
possibilidade de uma base comum, a qual também nortearia a avaliação do Saresp. Em
2008, iniciou-se uma renovação no olhar para a avaliação; ela seria realizada dentro dos
moldes do Currículo Básico da rede de ensino do Estado de São Paulo, com base na
Proposta Curricular do Estado de São Paulo, e visava saber o que avaliar e avaliar o que
o aluno deveria aprender.
69
Considerando o exposto, com base nos estudos realizados sobre o Sistema de
Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – Saresp, a avaliação deixa
de ter um caráter pontual para se tornar um sistema de avaliação articulado.
Finalmente, esperamos que o presente artigo possibilite que outros
pesquisadores envolvidos ou interessados neste ou em outros sistemas de avaliação em
larga escala tenham suas compreensões ampliadas e/aprofundadas, a partir deste retrato
construído das mudanças ocorridas no Saresp, desde sua implantação até a edição de
2012.
REFERÊNCIAS
ARCAS, P. H. Implicações da Progressão Continuada e do SARESP na Avaliação
Escolar: tensões, dilemas e tendências. Tese (Doutorado). Universidade de São Paulo.
Faculdade de Educação, São Paulo, 2009.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução aos Parâmetros
Curriculares Nacionais. – Brasília: MEC/SEF, 1997.
CRESWELL, J. W. Projeto de pesquisa: métodos qualitativo, quantitativo e misto.
Trad. Luciana de Oliveira da Rocha. 2. ed. Porto Alegre: Artmed, 2007.
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS - INEP.
SAEB 2001: novas perspectivas. Brasília: O Instituto, 2001.
LUCKE, M. ANDRÉ, M. Pesquisa em educação: Abordagens qualitativas. São Paulo:
EPU, 1986.
PERRENOUD, P. Não mexam na minha avaliação: para uma abordagem sistêmica de
mudanças pedagógicas. In: ESTRELA, Albano; NÓVOA, Antonio (Org.). Avaliação
em educação: novas perspectivas. Porto: Porto Editora, 1993.
SÁ-SILVA, J. R. S.; ALMEIDA, C. D.; GUINDANI, J. F. Pesquisa documental: pistas
teóricas e metodológicas. Revista Brasileira de História e Ciências Sociais, v. 1, p. 115, 2009.
SÃO PAULO. Resolução SE nº 27, de 29 de março de 1996. Dispõe sobre o Sistema de
Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo. Diário Oficial do Estado de
São Paulo, Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. Disponível em:
<http://siau.edunet.sp.gov.br/ItemLise/arquivos/27_1996.htm?Time=
4/14/2013%205:00:50%20PM>. Acesso em: 10/01/2012.
___________. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática;
coordenação Maria Inês Fini. – São Paulo: SEE, 2008.
70
___________. Matrizes de referência para a avaliação Saresp: documento
básico/Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini. – São Paulo: SEE,
2009.
SIEBRA, M. J. Dificuldades e erros de alunos de 8ª série com relação a questões
que envolvem álgebra. 2009. 99 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática).Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2009.
TEIXEIRA, A. C. Uma análise sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos
em relação aos itens e questões do Saresp 2010 do 9º ano do ensino fundamental.
2013. 187 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)–Universidade
Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.
71
A
PROVA
BRASIL/2011:
IDENTIFICANDO
DIFICULDADES
RELACIONADAS ÀS CONCEPÇÕES DE ÁLGEBRA POR MEIO DOS
DESCRITORES
Karina Aguiar ALVES – UFABC – SP ([email protected])
Letícia Verdinelli Navarro FAGUNDES - SEESP - SP ([email protected])
Mônica Cristina do N. ROSSETTO - SEESP - SP ([email protected])
Thais Helena Inglêz SILVA – UFABC – SP ([email protected])
Vivili Maria Silva GOMES – UFABC – SP ([email protected])
Resumo: O presente trabalho é parte integrante do projeto de pesquisa denominado
“Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: Uma abordagem baseada em
perfis conceituais”, alocado no âmbito do Programa Observatório da Educação
(OBEDUC) e financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES). Um dos subgrupos deste projeto investiga a Prova Brasil, uma
avaliação em larga escala aplicada a cada dois anos ao final de cada ciclo de
escolarização, ou seja, 5º e 9º anos do Ensino Fundamental e 3º ano do Ensino Médio. O
objetivo de estudo deste subgrupo é identificar os conteúdos algébricos que apresentam
menor percentual de acerto nas provas do 9º ano, em particular no município de Santo
André - SP. O intuito desta comunicação é fazer uma breve discussão teórica sobre
diferentes concepções de educação algébrica a partir dos trabalhos de Fiorentini,
Miorim e Miguel (1993), Usiskin (1995) e Lins e Gimenez (2001) e apresentar uma
relação com os descritores de álgebra identificados na matriz de referência da Prova
Brasil. Para fazer o levantamento destes percentuais utilizamos os microdados
disponíveis no site do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio
Teixeira (INEP), identificando os descritores relacionados à álgebra e selecionando os
de menor percentual de acerto, o que nos possibilitou construir quadros comparativos
entre as concepções algébricas e os conteúdos relacionados aos descritores. Desta
análise depreende-se uma tendência da Prova Brasil a enfatizar a resolução
procedimental das questões, sendo que esta é uma das dificuldades de ensino e
aprendizagem identificadas através dos dados. Encontramos obstáculos para aprofundar
as análises por não termos acesso às provas aplicadas e pela complexidade de
tratamento dos dados. Entretanto, estas análises ainda são preliminares e novas
investigações serão empreendidas pelo grupo para aprofundar possíveis relações.
Palavras-chave: Prova Brasil, Educação Algébrica, Dificuldades de Ensino e Aprendizagem
72
Introdução
Este artigo trata de estudos preliminares realizados por um subgrupo de pesquisa
inserido no Projeto “Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: Uma
abordagem baseada em perfis conceituais”, vinculado ao Programa Observatório da
Educação - OBEDUC, coordenado pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro e
financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES), edital 049/12.
O referido projeto tem por objetivo investigar os
conhecimentos algébricos mobilizados por professores ao ensinar álgebra na Educação
Básica, utilizando-se uma abordagem baseada em perfis conceituais (RIBEIRO, 2013).
Para o levantamento de tais conhecimentos algébricos serão utilizados os dados das
avaliações em larga escala desenvolvidas pelo Ministério da Educação (MEC), a Prova
Brasil/SAEB no que tange o Ensino Fundamental, mais precisamente o 9º ano, e o
Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) referente ao Ensino Médio. Os dados
coletados estão sendo analisados e discutidos pelo grupo ao longo da execução do
projeto sendo que, posteriormente, serão desenvolvidas ações didáticas de intervenção
em sala de aula que visem a melhoria do ensino e da aprendizagem de álgebra na
Educação Básica. Neste trabalho nos concentraremos na discussão de alguns fatores
envolvidos na Prova Brasil/SAEB de 2011, tais como a constituição da prova e os
descritores, que serão posteriormente apresentados.
O contexto das avaliações em larga escala no Brasil, também chamadas
macroavaliações, inicia-se a partir da publicação da Lei de Diretrizes e Bases da
Educação (LDB) (RABELO e PLAZA, 2011), que em seu artigo 9º, inciso VI, atribui à
União a avaliação do rendimento escolar em todos os níveis, com o objetivo de
melhorar a qualidade do ensino (BRASIL, 1996). Com base no exposto, as
macroavaliações teriam um caráter formativo-diagnóstico na medida em que se inserem
em um projeto educativo maior e identificam as dificuldades no processo de ensino e
aprendizagem. Por serem realizadas em larga escala, teriam, ainda, o intuito de
contribuir com a reorganização de políticas públicas voltadas à área de educação.
Em 1990, o MEC aplicou pela primeira vez o Sistema de Avaliação da Educação
Básica (SAEB) em algumas séries do Ensino Fundamental, avaliando os estudantes nas
disciplinas de Português, Matemática e Ciências. A partir de 1995 a construção dos
73
testes e análise dos resultados passou a seguir a metodologia de Teoria de Resposta ao
Item (TRI), também utilizada no ENEM, o que possibilitou a comparação dos
resultados ao longo do tempo. Nessa mesma edição decidiu-se que seriam avaliados os
estudantes dos ciclos finais de cada etapa de escolarização e foram incluídas as escolas
particulares. A partir de 2001, as disciplinas avaliadas passaram a ser somente
Português e Matemática e a prova manteve sua periodicidade bienal; na última edição
de 2013, incluiu-se em caráter experimental a avaliação da disciplina de Ciências. (INEP,
2011a)
O SAEB é um conjunto de avaliações aplicadas em escala nacional com o
objetivo de avaliar a Educação Básica e por meio desse processo contribuir para a
formulação e monitoramento das políticas educacionais nas esferas municipal, estadual
e federal. Esse conjunto de avaliações é composto por:

ANEB – Avaliação Nacional da Educação Básica.

ANRESC/Prova Brasil – Avaliação Nacional do Rendimento Escolar.

ANA – Avaliação Nacional da Alfabetização (incorporada ao SAEB em 2013).
A Prova Brasil, objeto de estudo deste artigo, teve sua primeira edição em 2005
e tem como objetivo avaliar a qualidade do ensino, contribuir para o desenvolvimento
em todos os níveis educacionais, reduzir as desigualdades, contribuir para a
democratização da gestão do ensino público nos estabelecimentos oficiais e possibilitar
informações sistemáticas sobre as unidades escolares. A avaliação ocorre por meio de
habilidades e competências (INEP, 2011b), que compõem doze níveis, divididos em uma
escala que varia de 0 a 425. Cada nível refere-se a um conjunto de competências que o
aluno deveria atingir. A comunidade escolar administrativa também é avaliada através
de questionários aplicados a professores e diretores, a fim de coletar dados
demográficos, perfis profissionais e informações sobre condições de trabalho e
infraestrutura.
Após o processo de avaliação, os resultados são divulgados pelo Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), fornecendo
médias de desempenho por aluno, escola participante, município e estados. Estes dados
oferecem subsídios para o cálculo do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica
(IDEB) que, por sua vez, serve como parâmetro para comparar diferentes regiões do
74
país e direcionar os investimentos em educação de acordo com o Plano de
Desenvolvimento da Educação (INEP, 2011c).
Os resultados preliminares apresentados na sequencia referem-se a alguns
estudos teóricos e à análise da Prova Brasil/SAEB 2011, realizados no ano de 2013 com
a finalidade de identificar dificuldades na aprendizagem de conceitos algébricos. O
objetivo perseguido até o momento, como anteriormente dito, é fazer o levantamento
dos conceitos algébricos que apresentam maior deficiência, conforme os resultados na
Prova Brasil/2011 e, principalmente, relacionar tais conceitos às visões de álgebra que o
grupo tem estudado. Apresentamos a seguir essas visões e, posteriormente, os
resultados obtidos da análise da prova. Por último, relacionamos as duas frentes e
fazemos algumas considerações finais.
Estudos Teóricos
Nesta etapa do trabalho serão apresentadas breves sínteses de alguns autores que
embasarão uma análise preliminar dos dados. Dentre os autores estudados, elencamos
três teorias que contribuíram mais significativamente para a análise dos dados, dentre
eles destacamos: Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), Usiskin (1995) e Lins e Gimenez
(2001).
Aspectos importantes da teoria desenvolvida por Fiorentini, Miorim e Miguel
(1993) sobre “Concepções de Álgebra e Educação Algébrica” são, constantemente,
pontos de discussão e aprimoramento para que o grupo amplie sua concepção do que
será considerado como álgebra na análise dos dados e das questões. Para os autores há
uma distinção entre as concepções de álgebra e de educação algébrica, mas em nossos
estudos focamos na segunda, uma vez que nossa intenção é investigar os conhecimentos
de álgebra na educação básica.
Fiorentini, Miorim e Miguel classificam três concepções de educação algébrica.
São elas:
1. Linguístico-pragmática: Essa concepção é baseada em atividades pedagógicas
que visam a resolução de problemas, por meio de aquisição mecânica das
técnicas, ou seja, transformismo algébrico.
2. Fundamentalista-estrutural:
Consiste
na
introdução
das
propriedades
estruturais das operações, incentiva o estudante a identificar e aplicar as
75
diferentes estruturas matemáticas, a partir de um currículo centrado na Teoria de
Conjuntos.
3. Fundamentalista-analógica: Retoma o papel pedagógico para solucionar
problemas, não mais com o caráter mecânico, mas a partir dos fundamentos
algébricos. Para isso faz uso de materiais manipulativos e de modelos
geométricos.
O segundo referencial adotado foi Usiskin (1995), que em seu trabalho
“Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis” relaciona a
compreensão do significado das letras, também chamadas de variáveis, ao estudo de
álgebra. Acredita que os alunos estudam álgebra quando manipulam variáveis e também
afirma que as finalidades da álgebra estão relacionadas às diferentes concepções e aos
diversos usos das variáveis.
Usiskin apresenta quatro concepções de álgebra conforme os diferentes
empregos das variáveis:
1. A álgebra como aritmética generalizada: letras são variáveis utilizadas para
generalizar modelos numéricos e o papel do estudante da escola básica passa a
ser o de traduzir e generalizar.
2. A álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de
problemas: nesta concepção as variáveis são incógnitas ou constantes que
servem para simplificar e resolver problemas em linguagem natural.
3. A álgebra como estudo de relações entre grandezas: As variáveis não são
incógnitas, nem letras utilizadas para generalizar modelos numéricos. Nessa
concepção não há busca por uma fórmula, mas análise da variação em função da
variável (como, por exemplo, fórmulas utilizadas na Geometria e na Física), que
pode ser um argumento, valores do domínio da função ou um parâmetro ou
representar um número do qual outros números dependem.
4. A álgebra como estudo das estruturas: As variáveis não recebem atribuição de
um significado numérico, uma vez que a intenção é manipular e justificar
recorrendo às propriedades. Assim, tornam-se um objeto arbitrário de uma
estrutura pré-estabelecida por estas propriedades.
76
Outra vertente selecionada para a análise são as concepções adotadas por Lins e
Gimenez (2001), onde o objetivo é discutir uma abordagem para o ensino e
aprendizagem de álgebra. Essa proposta é dividida em três tendências:
1. Letrista: Consiste em atividades mecânicas, ou seja, a utilização de técnicas que
transformam a atividade algébrica em “cálculo literal”. Sendo assim, a resolução
de problemas é vista somente do ponto de vista de aplicação de algoritmos.
2. Facilitadora: Esta tendência ainda está muito atrelada a concepção letrista com
algumas diferenças. Neste caso, as atividades propostas partem de situações
concretas para chegar a situações mais abstratas, por exemplo, o uso de balanças
de dois pratos para ensinar equações. Em estudos citados pelos autores, chegouse à conclusão que falta um processo intermediário de aprendizagem entre o
concreto e o formal.
3. Modelagem matemática: Esta concepção parte de uma perspectiva baseada na
realidade do aluno, de um ponto de vista mais concreto. A educação algébrica se
dá na medida em que a produção do conhecimento vai se tornando significativa
para a aprendizagem.
As três teorias apresentadas sobre Concepções de Educação Algébrica
convergem em muitos pontos, tais como, a utilização de técnicas para resolução de
problemas e os diferentes significados que as letras podem assumir. No entanto, diferem
em alguns aspectos dependendo das perspectivas e dos campos de trabalho de cada
autor. Por exemplo, no caso de Usiskin vemos uma preocupação em diferenciar o
significado de variáveis, tendo seus trabalhos fortes relações com a área da computação;
no caso de Lins e Gimenez, percebemos uma ligação forte com as teorias de
aprendizagem, e por fim, Fiorentini explora o caráter histórico das concepções. Neste
trabalho, agruparemos as diferentes categorias apresentadas em cada teoria de acordo
com a sua similaridade, com o intuito de construirmos quadros reflexivos que nos
permitam, posteriormente, categorizar os descritores.
77
A Prova Brasil
A Prova Brasil tem periodicidade bienal e é aplicada em anos ímpares, por uma
equipe capacitada e treinada para manter os critérios e a padronização dos testes em
âmbito nacional. O agendamento das datas e horários para a realização das provas é
feito pelos aplicadores, no segundo semestre. Durante a prova os aplicadores fazem
apenas a leitura das orientações do teste, sendo responsabilidade dos alunos lerem os
procedimentos para preenchimento do formulário de respostas e a interpretação das
questões. O tempo total estipulado para a realização das provas é de 2 horas e 30
minutos. A prova de matemática é composta por 7 blocos de 13 questões cada um, onde
esses blocos são definidos apenas no momento da prova. (INEP, 2011d)
A avaliação dos alunos é realizada por meio das competências e habilidades
descritas na Matriz de Referência (INEP, 2011b), que é um documento oficial que
apresenta todas as informações referentes a prova. O conteúdo a ser avaliado está
dividido em quatro temas - que são as competências - e trinta e sete descritores que são
as habilidades. Trabalharemos nesse projeto do descritor 29 ao 35, que estão inseridos
no Tema III - Números e Operações/ Álgebra e Funções. Os descritores citados acima
são apresentados no Quadro 1, abaixo.
Quadro 1 - Descritores de álgebra
Descritor
Descrição
D 29
Abrange o conceito de resolver um problema que envolva grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais.
D 30
Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
D 31
Resolução de problemas envolvendo equações do 2° grau.
D 32
Verificar a expressão algébrica correspondente ao problema descrito na questão, sendo
sequencias de números ou padrões.
D 33
Identificar uma equação ou uma inequação de primeiro grau que expressa um
problema.
D 34
Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema.
D 35
Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de
equações de primeiro grau
Fonte: Elaborado pelas autoras com base na Matriz de Referência (INEP, 2011b)
78
As provas, bem como as escolas, municípios e estados, são classificados em
doze níveis, a partir de uma escala gradativa de desempenho que varia de 0 a 425 e, de
acordo com a ONG Todos pela Educação, a pontuação desejável seria de 300 (NOVA
ESCOLA, 2011). O município de Santo André, SP, local de estudo deste projeto, teve
desempenho na edição de 2011 de 247,37, que corresponde ao nível 5, onde o aluno
deveria ter desenvolvido as seguintes habilidades:

Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, desenhado em
malha quadriculada;

Reconhecer e utilizar as regras do sistema de numeração decimal, tais como
agrupamentos e trocas na base 10 e o princípio do valor posicional;

Calcular o resultado de uma adição por meio de uma técnica operatória;

Ler informações e dados apresentados em tabelas;

Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas,
desenhadas em malhas quadriculadas;

Resolver problemas;

Utilizar a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro.
De acordo com a proposta do projeto, analisaremos as competências e
habilidades relacionadas à álgebra. Faremos a análise através de dados estatísticos
disponíveis no site do INEP, que serão apresentados a seguir.
Análise dos Dados
Os conjuntos de dados apresentados e analisados neste trabalho são intitulados
pelo INEP de microdados, e estão disponíveis na aba “Informações Estatísticas” na
página virtual do referido instituto. Consistem em um arquivo compactado contendo
seis pastas com informações gerais sobre a prova. Quatro delas trazem arquivos
auxiliares aos dados, sendo que alguns destes podem ser acessados de outras formas
pelo próprio site como, por exemplo, a Matriz de Referência. Os demais arquivos
trazem os modelos dos questionários socioeconômicos - respondidos por professores,
gestores e alunos - além de um manual de usuário e um dicionário para o acesso aos
dados das provas. As outras duas pastas referem-se aos dados estatísticos da prova e aos
79
cálculos das médias para o país, regiões e estados. O acesso a estes dados é feito pelo
uso do programa Statistical Package for the Social Sciences (SPSS), ou pelo próprio
MS-Excel, no caso das planilhas menores.
Apesar da disponibilidade dos microdados no site do INEP, existem algumas
dificuldades na obtenção e manipulação desses dados. A maioria das planilhas contém
uma quantidade de dados superior à capacidade de processamento do MS-Excel, sendo
necessário fazer o download do SPSS, que é um programa auxiliar de licença paga,
capaz de abrir planilhas com grande quantidade de informações. Foi utilizada uma
versão de teste, disponível gratuitamente por 30 dias. Contudo, existiram outras
dificuldades, como também na manipulação dessa ferramenta por desconhecimento do
programa e a falta das provas aplicadas em 2011, já que no site só são disponibilizadas
provas modelo, contendo questões do mesmo tipo da matriz de referência.
Após a obtenção dos dados, trabalhamos com duas planilhas, nomeadas
TS_RESPOSTA_ALUNO, que traz as informações das respostas dos alunos e
TS_ITEM, com informações das habilidades dos itens da prova e do gabarito. Para
acessar as informações contidas na primeira planilha, foi necessário usar o programa
SPSS para selecionar os dados de interesse desta pesquisa, ou seja, as respostas dos
alunos do município de Santo André, SP. Estes dados foram transferidos para uma nova
planilha no MS-Excel, por preferência de uso deste grupo, que já tem alguma
familiaridade com o programa.
A partir da planilha TS_RESPOSTA_ALUNO, pôde-se obter as respostas de
cada aluno à cada questão da prova e por fim, correlacionar, a partir da planilha
TS_ITEM, com o descritor da mesma. Como esta pesquisa interessa-se pelo
levantamento de dados em relação à álgebra, apenas as questões referentes aos
descritores anteriormente listados foram levadas em consideração nesta análise. Foram
encontradas treze questões distribuídas entre seis dos sete blocos existentes relacionadas
aos descritores D29 a D35.
Da junção dos dados dos primeiro e segundo blocos respondidos por cada aluno,
além do levantamento da quantidade de alunos que respondeu cada um dos sete blocos
existentes, foi possível identificar os percentuais de acertos e erros para cada uma das
questões analisadas, apresentados na Figura 1, a seguir.
80
Figura 1 - Porcentagem de acertos e erros nas questões de álgebra da Prova Brasil/2011. Os códigos
abaixo de cada par de barras indicam o bloco (B), a questão (Q) e o descritor (D) para cada dado
apresentado.
Fonte: Elaborado pelas autoras.
O intuito deste levantamento era identificar alguma relação entre os percentuais
de acertos e os descritores relacionados às questões. No entanto, pôde-se observar que
apenas os descritores, em alguns casos, não são suficientes para identificar dificuldades
na aprendizagem dos alunos, como no caso do descritor 29, presente nos blocos 1, 2, 3 e
7, com questões com percentuais de acerto, respectivamente, iguais a 35,8%, 36,7%,
63,0% e 59,8%. A provável causa desta variação nos percentuais de acertos de questões
relacionadas ao mesmo descritor é o modelo de avaliação segundo o TRI, uma vez que é
característica deste sistema o uso de questões com diferentes níveis de dificuldade.
Sendo assim, torna-se muito difícil identificar as dificuldades sem ter acesso às questões
propriamente ditas.
Outro dado importante é que cerca de 15% dos alunos de Santo André foram
avaliados em álgebra por uma única questão, correspondente ao descritor 33. Isso
porque, uma vez que o Bloco 5 não possui questões de álgebra, os alunos que receberam
os Blocos 5 e 6 responderam à única questão presente neste segundo bloco.
Evidentemente, esse aspecto não afeta os propósitos da Prova Brasil, uma vez que seu
81
intuito é mapear de forma geral a aprendizagem de matemática, mas compromete
parcialmente a investigação deste trabalho.
Em virtude da extensão da investigação realizada, apresentaremos uma análise
parcial relacionando as concepções de educação algébrica apresentadas a dois
descritores. Foram selecionados os descritores D30 e D31, por relacionarem-se às
questões de menor percentual de acerto na edição de 2011. Esta análise aparece
sintetizada no quadro a seguir:
Quadro 2 - Os descritores D30 e D31 relacionados com as concepções de educação algébrica
Concepção de Educação Algébrica
D 30 - Calcular o valor
numérico de uma
equação algébrica

Fiorentini –– Linguística
Pragmática

Usiskin – Como estudo de
procedimentos para resolver certos
tipos de problemas
e
D 31 – Resolver
problemas que envolvam
equações do 2º grau

Lins e Gimenez – Modelagem
Matemática ou Facilitadora
Justificativa
Estuda as expressões algébricas
seguido do uso das equações
para resolução de problemas
Atividades
que
envolvam
incógnitas, com o objetivo de
simplificar e resolver.
A Educação Algébrica se dá na
medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao
propósito de iluminar ou
organizar uma situação. Como
exemplo
da
concepção
facilitadora temos o uso de
balança de dois pratos para
exemplificar uma equação.
Fonte: Elaborado pelas autoras.
Observamos que os descritores D30 e D31 correspondem às mesmas concepções
de educação algébrica. Também observamos que ambos requerem a resolução de
equações algébricas. Percebemos, contudo, que os alunos não apresentam, pelo menos
nesta prova, tanta dificuldade na identificação de equações que caracterizam um
problema, dados os percentuais de acerto dos descritores D32 e D33. Podemos atribuir
esse baixo percentual de acerto dos descritores D30 e D31 a dificuldades de assimilação
do procedimento de resolução de equações.
82
É importante destacar que outros descritores envolvem as mesmas concepções
procedimentais de educação algébrica apresentadas no quadro anterior, o que pode ser
conferido nos demais quadros, anexos. Entretanto, dada a amplitude dos descritores, a
concepção de educação algébrica a eles relacionada pode ser justificada por diferentes
razões. Por exemplo, o descritor D31, que categorizamos, conforme Lins e Gimenez,
em duas concepções contrárias, tanto pode se encaixar em uma como em outra
concepção dependendo da questão elaborada. Salientamos, mais uma vez, que a
inacessibilidade à prova inviabiliza uma análise mais profunda das relações dos
descritores com as concepções aqui apresentadas.
Vale, por fim, destacar que a maior parte das concepções que a Prova Brasil
contempla dão ênfase às resoluções procedimentais.
Considerações Finais
Como parte de resultados preliminares da investigação apresentada, apontaremos
algumas considerações no que tange ao prospecto da Prova Brasil, em específico a
edição de 2011.
Em primeiro lugar gostaríamos de salientar que a ênfase dada aos procedimentos
de resolução, prevista e criticada pelos autores estudados, não condiz com os resultados
observados na análise dos dados. Pelo que extraímos dos dados analisados, observamos
que o processo de ensino e aprendizagem de determinados conceitos algébricos não tem
obtido êxito, visto que os alunos conseguem, por vezes, identificar equações que
descrevem um problema, mas não são capazes de resolvê-las.
Em contrapartida, pela experiência das professoras que compõe este grupo e
pelo relato de outros trabalhos, estes resultados diferem das vivências em sala de aula,
que apontam que os alunos “não dominam nem compreendem o enunciado da situação
problema para transpô-lo para a linguagem matemática” (PETRONILO, 2008). Ainda não
sabemos como justificar e interpretar estes dados, o que pode ser relacionado à
inacessibilidade da prova e à dificuldade de acesso e tratamento dos dados
disponibilizados.
83
As implicações destas limitações e, principalmente, das características
identificadas na Prova Brasil, nos possibilitaram retomar os objetivos do projeto de
pesquisa, que futuramente subsidiarão intervenções didáticas, a fim de confrontarmos os
resultados aqui apresentados com a prática em sala de aula e, talvez, encontrar meios
para justificar as discrepâncias aqui apresentadas.
Referências
BRASIL. Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996., 1996. Disponivel em:
<http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/ldb.pdf>. Acesso em: 05 fevereiro 2014.
FIORENTINI, D.; MIORIM, M. Â.; MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar. a
Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições, Campinas - SP, v. 4, n. 1, p. 78-91,
março 1993.
INEP.
Histórico
do
SAEB,
2011a.
Disponivel
<http://portal.inep.gov.br/web/saeb/historico>. Acesso em: 05 fevereiro 2014.
em:
INEP.
Matrizes
de
Referência,
2011b.
Disponivel
em:
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fevereiro 2014.
INEP. As avaliações e o Ideb, 2011c. Disponivel em: <http://provabrasil.inep.gov.br/asavaliacoes-e-o-ideb>. Acesso em: 12 fevereiro 2014.
INEP.
Aplicação,
2011d.
Disponivel
<http://portal.inep.gov.br/web/saeb/aplicacao>. Acesso em: 08 fevereiro 2014.
em:
INEP. Escalas da Prova Brasil e SAEB, 2011e. Disponivel em:
<http://portal.inep.gov.br/web/saeb/escalas-da-prova-brasil-e-saeb>. Acesso em: 14
fevereiro 2014.
LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Sobre álgebra. In: LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas
em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus Editora, 2001. Cap.
III, p. 89-157.
Como interpretar os resultados da Prova Brasil. Nova Escola, n. 222, abril 2011.
PETRONILO, A. C. D. S. Dificuldades de aprendizagem na resolução de problemas
envolvendo equações de 1º grau. Trabalho de Conclusão de Curso (TCC).
Universidade Católica de Brasília. Brasília, p. 10. 2008.
RABELO, M. H. M.; PLAZA, E. M. Avaliação na educação básica: um estudo teórico
sobre a Prova Brasil. Conferência Interamericana de Educação Matemática. Recife:
[s.n.]. 2011. p. 11.
84
RIBEIRO, A. J. Elaborando um Perfil Conceitual de Equação: Desdobramentos para o
Ensino e a Aprendizagem de Matemática. Ciência & Educação, v. 19, 2013. 55-71.
USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das
variáveis. In: COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Alberto P.(Org). As idéias da álgebra.
São Paulo: Atual, 1995.
ANEXOS
Quadro 3 - Relação do descritor 29 com as concepções de educação algébrica
Concepção de Educação
Algébrica
D 29 - Resolver problema
que envolva variação
proporcional, direta ou
inversa, entre grandezas.
Justificativa

Fiorentini –– Linguística
Pragmática
Estuda as expressões algébricas
seguido do uso das equações para
resolução de problemas

Usiskin – Como estudo
de procedimentos para
resolver certos tipos de
problemas
Atividades
que
envolvem
incógnitas, com o objetivo de
simplificar e resolver.

Lins e Gimenez –
Modelagem Matemática
A Educação Algébrica se dá na
medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao
propósito de iluminar ou organizar
uma situação
Fonte: Elaborado pelas autoras
Quadro 4 - Relação do descritor 30 com as concepções de educação algébrica
Concepção de Educação
Algébrica
D 30 - Calcular o valor
numérico de uma equação
algébrica
Justificativa

Fiorentini –– Linguística
Pragmática
Estuda as expressões algébricas
seguido do uso das equações para
resolução de problemas

Usiskin – Como estudo
de procedimentos para
resolver certos tipos de
problemas
Atividades
que
envolvem
incógnitas, com o objetivo de
simplificar e resolver.

Lins e Gimenez –
Modelagem Matemática
ou Letrista Facilitadora
A Educação Algébrica se dá na
medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao
propósito de iluminar ou organizar
uma situação. No caso da Letrista
Facilitadora o uso de balança de
dois pratos para ensinar resolução
de problemas
Fonte: Elaborado pelas autoras
85
Quadro 5 - Relação do descritor 31 com as concepções de educação algébrica
Concepção de Educação
Algébrica
D 31 - Resolver problema
que envolva equação do 2
grau.
Justificativa

Fiorentini –– Linguística
Pragmática
Estuda as expressões algébricas
seguido do uso das equações para
resolução de problemas

Usiskin – Como estudo
de procedimentos para
resolver certos tipos de
problemas
Atividades
que
envolvem
incógnitas, com o objetivo de
simplificar e resolver.

Lins e Gimenez –
Modelagem Matemática
ou Letrista Facilitadora
A Educação Algébrica se dá na
medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao
propósito de iluminar ou organizar
uma situação. No caso da Letrista
Facilitadora o uso de balança de
dois pratos para ensinar resolução
de problemas
Fonte: Elaborado pelas autoras
Quadro 6 - Relação do descritor 32 com as concepções de educação algébrica
Concepção de Educação
Algébrica
D 32 - Identifica a expressão
algébrica que expressa uma
regularidade observada em
sequencias de números ou
figuras (padrão).
Justificativa

Fiorentini –
Fundamentalista
Estrutural
Estudo
de
tópicos
“fundamentadores”
precedendo
estudo de expressões algébricas,
valores numéricos e outros.

Usiskin – Como
Aritmética
generalizada
Atividades de generalização de
propriedades de operação

Lins e Gimenez –
Modelagem
Matemática ou Letrista
Facilitadora
A Educação Algébrica se dá na
medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao
propósito de iluminar ou organizar
uma situação. No caso da Letrista
Facilitadora a abstração ocorre por
adivinhação e não é passagem
natural.
Fonte: Elaborado pelas autoras
86
Quadro 7 - Relação do descritor 33 com as concepções de educação algébrica
Concepção de Educação
Algébrica
D 33 - Identificar uma
equação ou inequação do 1
grau que expressa um
problema
Justificativa

Fiorentini ––
Linguística Pragmática
Estuda as expressões algébricas
seguido do uso das equações para
resolução de problemas

Usiskin – Como estudo
de procedimentos para
resolver certos tipos de
problemas
Atividades que envolvem incógnitas,
com o objetivo de simplificar e
resolver.

Lins e Gimenez –
Modelagem
Matemática ou Letrista
Facilitadora
A Educação Algébrica se dá na
medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao
propósito de iluminar ou organizar
uma situação. No caso da Letrista
Facilitadora o uso de balança de dois
pratos para ensinar resolução de
problemas
Fonte: Elaborado pelas autoras
Quadro 8 - Relação do descritor 34 com as concepções de educação algébrica
Concepção de Educação
Algébrica
D 34 - Identificar um sistema de
equação do 1 grau que expressa
um problema

Fiorentini
––
Linguística Pragmática
ou
Fundamentalista
Analógica

Usiskin – Como estudo
de procedimentos para
resolver certos tipos de
problemas

Lins e Gimenez –
Modelagem
Matemática ou Letrista
Justificativa
Estuda as expressões algébricas
seguido do uso das equações
para resolução de problemas.
Para
a
Fundamentalista
Analógica predomina tarefas
que utilizam recursos analógicos
geométricos
e
materiais
concretos, como balanças e
gangorras, para justificar a
transformação algébrica.
Atividades
que
envolvem
incógnitas, com o objetivo de
simplificar e resolver.
A Educação Algébrica se dá na
medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao
propósito de iluminar ou
organizar uma situação. No caso
da Letrista atividades baseadas
em cálculo com letras, admitindo
a
sequencia
técnica-prática
(algoritmo-exercícios).
Fonte: Elaborado pelas autoras
87
Quadro 9 - Relação do descritor 35 com as concepções de educação algébrica
Concepção de Educação
Algébrica

D 35 - Identificar a relação
entre as representações
algébrica e geométrica de um
sistema de equação do 1 grau
Fiorentini
Fundamentalista
Analógica
Fundamentalista
Estrutural
Justificativa
ou
Para
a
Fundamentalista
Analógica predomina tarefas
que utilizam recursos analógicos
geométricos
e
materiais
concretos, como balanças e
gangorras, para justificar a
transformação algébrica.
Já
para
o
Fundamentalista
Estrutural é o estudo de tópicos
“fundamentadores” precedendo
estudo de expressões algébricas,
valores numéricos e outros.

Usiskin – Como estudo
de procedimentos para
resolver certos tipos de
problemas
Atividades
que
envolvam
incógnitas, com o objetivo de
simplificar e resolver.

Lins e Gimenez
Modelagem
Matemática
–
A Educação Algébrica se dá na
medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao
propósito de iluminar ou
organizar uma situação.
Fonte: Elaborado pelas autoras
88
EIXO TEMÁTICO: E2 – CURRÍCULO
PROCESSO DE APROPRIAÇÃO, DE PROFESSORES, DE MATERIAIS
DIDÁTICOS QUE APRESENTAM O CURRÍCULO DE MATEMÁTICA
Gilberto JANUARIO – [email protected]
Katia LIMA – [email protected]
Célia Maria Carolino PIRES – [email protected]
Resumo: Neste artigo, expomos algumas reflexões sobre o processo de apropriação, de
professores dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental, de materiais didáticos que apresentam o
currículo de Matemática. Os resultados são frutos do desenvolvimento do projeto Avaliação de
Professores do Ensino Fundamental da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo, em
relação a documentos e materiais de apoio à organização curricular na área de Educação
Matemática. Dentre as questões de pesquisa que nortearam o projeto, selecionamos duas para
explorarmos neste texto: Como se dá a apropriação e a implementação pelos professores de
materiais que visam a transformar o currículo proposto em currículo praticado, no caso do
ensino de Matemática? Como os professores utilizam esses materiais, que mudanças realizam,
que interpretações fazem das intenções que motivaram as diferentes atividades referentes a uma
dada expectativa de aprendizagem? Para discutirmos essas questões apresentamos as
contribuições de Sacristán (2000) sobre o nível de currículo apresentado aos professores, e de
Remillard (2009) e de Brown (2009) sobre o uso que os professores fazem de materiais
curriculares de Matemática e o impacto que causam no ensino. Os professores relatam que a
participação no projeto e o uso do material tiveram grande implicação nas atividades realizadas
em sala de aula, que foram melhor planejadas e realizadas de forma mais adequada, ressaltando
a necessidade de estudos como esse serem parte integrante das propostas de formação.
Palavras-chave: Currículo de Matemática, Relação Professor-Currículo, Materiais Didáticos,
Educação Matemática.
89
Introdução
Ao discutirmos o processo de elaboração e desenvolvimento curricular, consideramos
ser o professor o ator fundamental para que diferentes proposições possam se materializar em
situações de aprendizagem. Apesar de diferentes agentes e especialistas da educação estarem
envolvidos com o currículo, seja na instância das decisões governamentais ou no interior das
instituições escolares, é o professor quem coloca em prática as determinações, orientações,
sugestões e decisões curriculares.
Concebemos, então, o professor como o elo fundamental entre as prescrições e as
atividades que favorecem e promovem a construção da aprendizagem. Nesse sentido, embora
seja necessária e importante a discussão sobre organização e desenvolvimento curricular, é
preciso conhecer como o professor se relaciona com o currículo e com os materiais didáticos.
Nesse aspecto, consideramos a relação que os professores estabelecem com os materiais
que apresentam o currículo de Matemática como o campo de investigação em Educação
Matemática que oportuniza conhecer crenças, concepções e valores atribuídos por esses
profissionais aos diferentes níveis do desenvolvimento curricular, além de conhecimentos da
própria área de ensino.
Nosso objetivo é o de apresentar alguns resultados de um projeto de pesquisa que
envolveu professores dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental e o processo de apropriação, por
eles, de materiais didáticos que apresentam o currículo de Matemática.
O texto é organizado em quatro partes. Na primeira, discutimos sobre o nível de
currículo apresentado aos professores, na segunda apresentamos as contribuições de estudos
sobre a relação de professores com materiais didáticos, seguida da apresentação do cenário em
que ocorreu a pesquisa e, por fim, destacamos alguns resultados.
O currículo apresentado ao professor
O educador espanhol José Gimeno Sacristán, ao refletir sobre o currículo a partir da
prática que se faz dele, expõe que, de modo geral, ao longo da história dos movimentos
educacionais, a cultura pedagógica tratou de problemas relacionados aos programas e ao
trabalho escolar sem “a amplitude nem ordenação de significados que quer sistematizar o
tratamento sobre currículos” (SACRISTÁN, 2000, p. 13).
Embora seja tema de diferentes discussões no interior da escola, o significado de
currículo restringe-se a programa de ensino, constituído por tópicos de conteúdos, metodologia
e objetivos, a ser desenvolvido em um determinado período letivo.
90
Diferente desse significado, assumimos em nossos trabalhos e em nossos estudos, o
currículo, em Educação Matemática, inserido na concepção segundo a qual
é uma práxis antes que um objeto estático emanado de um modelo coerente
de pensar a educação ou as aprendizagens necessárias das crianças e dos
jovens, que tampouco se esgota na parte explícita do projeto de socialização
cultural nas escolas. É uma prática, expressão da função socializadora e
cultural que determinada instituição tem, que reagrupa em torno dele uma
série de subsistemas ou práticas diversas, entre as quais se encontra a prática
pedagógica desenvolvida em instituições escolares que comumente
chamamos ensino. (SACRISTÁN, 2000, p. 15-16)
Como um conjunto de diferentes elementos, como discussão, reflexão, proposições,
normatizações, sugestões, decisões, conteúdos, objetivos, metodologias, competências,
habilidades e expectativas de aprendizagem – dentre outros – o currículo se materializa na sala
de aula por meio da prática pedagógica do professor. Porém, da sua elaboração por especialistas
da educação à realidade escolar, há diferentes níveis da objetivação curricular.
Em uma primeira fase o currículo é idealizado e organizado por uma instância de
realidade distante da comunidade onde a instituição escolar está inserida. O nível que, de certo
modo, traduz as prescrições oficiais aos docentes e gestores, é o currículo apresentado aos
professores. De modo geral, os autores de materiais didáticos ao selecionar, organizar e tratar os
conteúdos para elaborar livros, apostilas, ou recursos similares, traduzem para o professor os
significados e os conteúdos do currículo prescrito, a partir de seus modos de interpretar as
prescrições oficiais. Além de autores de materiais didáticos, guias para a elaboração desses
livros também fazem uma transposição do conjunto das orientações oficiais como, por exemplo,
o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).
Sacristán (2000) explicita que por serem muito genéricas, as prescrições não são
suficientes para orientar o professor quanto ao conjunto de atividades a serem desenvolvidas em
situações de aprendizagem. A formação do professor e suas condições de trabalho, muitas vezes
precárias, são exemplos de agentes que tornam difícil a prática da decodificação das prescrições.
Desse modo, o currículo apresentado por meio de materiais didáticos é a fase que melhor traduz,
para o docente, o que evidencia o currículo prescrito.
Porém, ao fazer uso de sequências de atividades dos materiais didáticos, aspectos
didáticos, metodológicos, teóricos e conceituais que embasam as orientações curriculares podem
não ficar claros para o professor. Para desenvolver situações de aprendizagem não é suficiente
ao docente reproduzir os materiais à luz de suas convicções e suas experiências. É preciso ele
mesmo traduzir as orientações curriculares para propor, problematizar e tematizar os conteúdos
matemáticos no desenvolvimento de competências e habilidades.
91
Nesse sentido, a pesquisa sobre a relação que professores estabelecem com materiais
didáticos – aqui considerados como o nível de currículo apresentado – dá elementos para
identificar e compreender que concepção e conhecimentos têm esses profissionais acerca da
Matemática, do currículo, de aspectos didáticos, metodológicos e conceituais e, desse modo,
permite elaborar e propor ações formativas para repertoriar a prática docente.
A relação professor-materiais didáticos
Em nossos estudos sobre currículos prescritos de Matemática temos observado que
embora eles possam expressar propostas interessantes e inovadoras, parecem ter dificuldades de
se incorporarem à prática dos professores em sala de aula. As adaptações feitas pelos
professores no âmbito dos currículos moldados (SACRISTÁN, 2000; PACHECO, 2005) e
efetivamente praticados em sala de aula são uma realidade pouco conhecida.
No Brasil, os livros didáticos são os materiais curriculares mais difundidos e utilizados.
Em Educação Matemática, esses materiais têm sido objeto de diferentes pesquisas, porém sem o
foco em como os professores os utilizam e se, e como, estes de fato influenciam as práticas nas
aulas de Matemática.
Por outro lado, Secretarias de Educação têm elaborado e oferecido materiais
curriculares a seus professores, como documentos de orientações e materiais apostilados que
procuram traduzir essas orientações em situações de aprendizagem. No entanto, a
implementação desses materiais não tem sido acompanhada de estudos mais sistemáticos sobre
seu uso.
Ao buscar na literatura aportes para nossas reflexões, encontramos a publicação
Mathematics Teachers at Work: Connecting Curriculum Materials and Classroom Instruction,
coordenada por Janine Remillard, Beth Herbel-eisenmann e Gwendolyn Lloyd, os quais
destacam que em resposta a um campo de pesquisa de rápido crescimento, o livro coloca uma
ênfase particular – mas não se limita a – nos materiais curriculares desenvolvidos em resposta às
Normas do National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).
Ao questionar-se a respeito do "que entendemos sobre a relação entre os materiais
curriculares no ensino”, Remillard (2009) destaca a urgente necessidade de percebermos que o
campo de pesquisa sobre o uso de materiais curriculares de Matemática pelos professores carece
de uma base teórica e conceitual.
Como um campo, não temos – ou que não tenham sido explícito sobre – teorias que
fundamentam e explicam as relações que são objetos centrais de estudo. Como
resultado, o campo não produziu um corpo de conhecimento sobre a relação do
professor com os materiais curriculares, que possam ser generalizáveis a outros
92
professores, materiais, ou contextos, ou que possam informar o trabalho dos
decisores políticos, currículos prescritos e designers de materiais de maneiras
substantivas. (REMILLARD, 2009, p. 85)
A leitura do livro mostra que nos Estados Unidos há um número crescente de pesquisas
na área de Educação Matemática que procuram entender o que acontece com professores e
alunos quando do uso de materiais que apresentam os currículos prescritos. Considera essencial
compreender o que os professores fazem com os materiais curriculares de Matemática, porque e
como fazem suas escolhas e como os materiais influenciam a atividade de sala de aula.
Um dos artigos do livro intitula-se The teacher–tool relationship: theorizing the design
and use of curriculum materials, escrito por Matthew William Brown, que destaca serem essas
pesquisas importantes fontes de informação para as investigações sobre a organização e o
desenvolvimento curricular, como também as pesquisas e ações no mundo das práticas,
focalizando especialmente os resultados sobre o que os estudantes aprendem. Segundo esse
autor, embora o campo de pesquisa sobre o uso de recursos curriculares por professores esteja
crescendo, é ainda insuficientemente desenvolvido.
Nos Estados Unidos, estudos sobre professores usando livros didáticos de Matemática,
ou sobre a influência dos livros didáticos no currículo começaram a surgir por volta dos anos
1970. Ao longo dos anos, o interesse por essas pesquisas tem oscilado, ora aumentando, ora
diminuindo. Também ao longo do tempo, pesquisadores têm trazido contribuições sobre a
relação professor-currículo. No entanto, antes dos anos 1990, este campo nunca reuniu impulsos
ou coesão em torno de um conjunto particular de questões. Na primeira década dos anos 2000,
contudo, o campo cresceu consideravelmente, sinalizando um aumento no interesse pelas
questões sobre como os professores usam os materiais curriculares e se estes materiais de fato
podem influenciar as práticas em sala de aula e o ensino de forma mais ampla.
Brown (2009) afirma que entender por que os professores interagem com os materiais
curriculares de diferentes formas requer o exame de como as características dos materiais
interagem com as capacidades que os professores trazem para essa interação. Em suas
pesquisas, Brown analisou os recursos que os professores e os materiais curriculares trouxeram
para o intercâmbio do professor com esses materiais. Ele explicita seu procedimento
metodológico, por meio de uma figura intitulada The Design Capacity for Enactment
Framework (DCE), figura 1.
Brown argumenta que o quadro DCE capta os diferentes elementos da dinâmica
professor-ferramenta e representa os diferentes tipos de interações que ocorrem entre os
93
recursos dos professores e recursos curriculares, ou seja, como professores adaptam,
adotam ou improvisam com recursos curriculares.
À direita do quadro, ele situa os conhecimentos, habilidades, objetivos e crenças
dos professores e como eles influenciam as maneiras pelas quais professores percebem e
se apropriam dos diferentes aspectos dos designs curriculares.
Os professores trazem pelo menos três tipos diferentes de recursos para seu
uso dos materiais curriculares: (a) o conhecimento do conteúdo, (b)
conhecimento pedagógico do conteúdo (Shulman, 1986), e (c) os objetivos e
crenças. Conhecimento do conteúdo denota conhecimento de fatos e
conceitos do domínio (Ball, 1991; Stodolsky e Grossman, 1995).
Conhecimento pedagógico do conteúdo combina o conhecimento pedagógico
geral, com conhecimento específico para descrever o conhecimento de como
ensinar um domínio específico. Ele inclui os objetivos e fins de ensino do
conteúdo, conhecimento de como os alunos se relacionam com o conteúdo, o
conhecimento dos recursos disponíveis e representações para o ensino do
conteúdo, e conhecimento das estratégias instrucionais e métodos para o
ensino do conteúdo específico (Shulman, 1986). Objetivos e crenças – que
Ball e Cohen (1999) expressam "compromissos" – referem-se às orientações
dos professores para com o material que ensinam. Isso vai além de sua
capacidade de ensinar alguém se concentrar em suas motivações para ensinála. Pesquisadores têm documentado o que acontece quando as reformas
curriculares não conseguem atender ou, em alguns casos desafiam objetivos e
crenças dos professores. Por exemplo, Spillane (1999) e Wilson (1990)
documentam como as crenças dos professores sobre a natureza das
capacidades de aprendizagem dos alunos podem impedir a adoção de novas
abordagens de ensino. Da mesma forma, Cohen (1988a, 1988b) observa
como objetivos conflitantes – individual e social – podem resultar entraves
significativos à implementação das reformas educacionais. Assim, a natureza
dos objetivos e crenças dos professores é altamente relevante para a
compreensão de como os professores percebem e se apropriam dos materiais
currículares. (BROWN, 2009, p. 27)
À esquerda do quadro, o autor engloba os recursos do design e conhecimento
incorporado que compõem os materiais curriculares – incluindo três aspectos básicos dos
materiais curriculares: (a) os objetos físicos e representações de objetos físicos, (b)
representações de tarefas (procedimentos), e (c) representações de conceitos (representações de
domínio). Objetos físicos denotam a natureza material dos materiais curriculares em si mesmos,
incluindo suprimentos de acompanhamento.
Representações de objetos físicos representam materiais que são
recomendados, mas não foram incluídos dentro, os materiais curriculares.
Eles também incluem projetos para montagem ou arranjando de outros
objetos. Representações de tarefas incluem instruções, procedimentos e
scripts que são destinados à promulgação por professores e alunos. Estes
94
podem incluir recomendações sobre como estruturar uma lição (para
professores) ou problemas para resolver (para estudantes). Materiais
curriculares podem também representar tarefas de outras formas mais
indiretas. Por exemplo, o sequenciamento deliberado de atividades podem
implicitamente representar práticas de alto nível de domínio que os designers
pretendem transmitir. Finalmente, as representações de conceitos referem-se
à representação e organização de conceitos de domínio e seus
relacionamentos por meio de meios tais como diagramas, modelos,
explicações, descrições e analogias. Estruturas maiores, tais como tópicos
sequenciais, também podem representar conceitos de domínio. Este é
frequentemente o caso em livros didáticos, que muitas vezes são
sequenciados de acordo com as formas que os especialistas pensam sobre o
domínio. Juntas, essas três facetas abrangem o mais fundamental aspectos do
conteúdo e estrutura de um currículo: as suas ideias principais, as atividades
realizadas na sua exploração, e os objetos que apóiam tal atividade.
(BROWN, 2009, p. 27)
Figura 1: The Design Capacity for Enactment Framework (BROWN, 2009, p. 26)
Para o autor, o Design Capacity for Enactment Framework fornece um ponto de
partida para identificar e situar os fatores que podem influenciar o modo como um
professor adapta, desenvolve ou improvisa a partir dos recursos curriculares. Ele chama atenção
para o fato de que os recursos dos professores e os recursos curriculares que selecionou não são
de maneira alguma exaustivos, e refletem os objetivos particulares e as limitações do seu
próprio contexto de investigação – o que pôde observar nas interações em sala de aula.
95
Contextualizando a Pesquisa
A Secretaria Municipal de Educação de São Paulo desde 2006 tem investido na
elaboração de materiais curriculares para nortear a prática dos professores que ensinam
Matemática nos diferentes níveis e modalidades de ensino. Dentre esses materiais,
destacamos as Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem
de Matemática para o Ensino Fundamental – 1º ao 5º anos e 6º ao 9º anos –, e
Cadernos de Apoio e Aprendizagem de Matemática – 1º ao 9º anos para alunos e
professores.
Em 2011 e 2012 foi desenvolvido o projeto Avaliação de Professores do Ensino
Fundamental da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo, em relação a
documentos e materiais de apoio à organização curricular na área de Educação
Matemática, inserido no Programa de Melhoria do Ensino Público da Fundação de
Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)4.
Além de duas pesquisadoras responsáveis, o estudo contou com oito
pesquisadores-colaboradores que coordenavam as reuniões de 31 professores da rede
municipal, por agrupamentos correspondentes aos anos de escolaridade, utilizando a
metodologia de grupos focais. As reuniões eram realizadas aos sábados, com
periodicidade quinzenal. No total do Projeto, os professores participaram de 112 horas
de trabalho.
Em relação aos 6º e 7º anos, esses dois grupos foram compostos por três
professores e cinco professoras, com idade predominante de 40 a 50 anos. Quanto à
formação, um professor possuía licenciatura em Ciências e os demais, em Matemática.
Três docentes tinham mais de 20 anos de tempo de Magistério na rede municipal de São
Paulo, uma professora possuía 14 anos e os demais, menos de 10 anos de carreira
docente na rede municipal.
Nesse projeto de pesquisa procurou-se compreender quais eram as contribuições
que os Cadernos de Apoio e Aprendizagem de Matemática poderiam trazer para as
experiências pedagógicas inovadoras das escolas dessa rede.
4
O Projeto foi proposto e desenvolvido a partir da parceria das pesquisadoras Celia Maria
Carolino Pires (PUC/SP) e Edda Curi (UNICSUL), com a anuência da Secretaria Municipal de
Educação de São Paulo.
96
Foram questões norteadoras da pesquisa: (1) Como se dá a apropriação e a
implementação pelos professores de materiais que visam a transformar o currículo
proposto em currículo praticado, no caso do ensino de Matemática? (2) Como os
professores utilizam esses materiais, que mudanças realizam, que interpretações fazem
das intenções que motivaram as diferentes atividades referentes a uma dada expectativa
de aprendizagem? (3) Que aspectos de sua formação precisam ser aperfeiçoados com
vistas a uma atuação mais criativa num processo de ensino compatível com perspectivas
de aprendizagem? (4) Quais reformulações precisam ser incorporadas nos materiais para
otimizar seu uso? Neste texto iremos explorar apenas as duas primeiras questões.
Como parte das atividades, os professores avaliavam conjuntamente as unidades
de ensino e planejavam seu desenvolvimento. Durante a realização da unidade, cada
professor produzia dois relatórios. Posteriormente, o pesquisador-colaborador de cada
grupo produzia um relatório síntese, no qual as informações eram agrupadas nas
seguintes categorias: adequação das expectativas de aprendizagem e das atividades
propostas em relação a elas; adequação das atividades para explorar conhecimentos
prévios dos alunos; avanços observados nas aprendizagens dos alunos; pontos
merecedores de complementação ou de correção nos materiais; e outras observações (se
houvesse). Nesse texto iremos explorar essas categorias apresentando algumas análises
resultantes das discussões nos encontros e dos relatórios produzidos pelo grupo de
professores do 6º e do 7º anos5.
Alguns resultados da pesquisa
Os Cadernos de Apoio e Aprendizagem de Matemática (CAA) são compostos
por oito unidades, nas quais são desenvolvidas sequências didáticas a partir das
expectativas de aprendizagem propostas nas Orientações Curriculares (SÃO PAULO,
2010).
Quanto à adequação das expectativas de aprendizagem e das atividades
propostas em relação a elas todos os professores participantes dos grupos do 6º e do 7º
anos afirmaram, durante os encontros realizados, que as sequências didáticas estavam
5
Os relatórios em relação aos 6º e 7º anos foram consolidados pelos pesquisadorescolaboradores Gilberto Januario e Kátia Lima.
97
adequadas às expectativas de aprendizagem propostas para as oito unidades do Caderno
de Apoio e Aprendizagem de Matemática. Essa adequação refere-se apenas às
expectativas de aprendizagem. Não foram consideradas, nessa categoria, as
necessidades de intervenções e de outras atividades que complementassem essas
sequências.
Referente à adequação das atividades para explorar conhecimentos prévios dos
alunos, os professores afirmaram que os CAA de Matemática para os 6º e 7º anos
apresentam boas situações de aprendizagem, as quais possibilitam os alunos a
mobilização de seus conhecimentos prévios, o levantamento de hipóteses e as trocas de
estratégias para a resolução das situações. Nesse sentido, ressaltam a resolução de
problemas e a exploração como metodologias que propiciam a interação dos alunos
entre si, com o professor e com as situações propostas. Apesar disso, os professores
relataram que algumas das atividades propostas nas oito unidades potencializaram a
mobilização dos conhecimentos prévios por parte dos alunos, mas outras não. Como
ações para identificar os diferentes saberes e hipóteses dos alunos, destacam-se os
questionamentos no início de cada sequência de atividade e os diálogos e perguntas
estabelecidas entre os professores e os alunos.
Em relação aos avanços observados nas aprendizagens dos alunos, os
professores relataram, em cada unidade, os avanços referentes a cada expectativa de
aprendizagem trabalhada. Quanto às aprendizagens mais gerais e não específicas de um
conteúdo ou expectativa de aprendizagem, destacaram que a partir das sequências de
atividades aliadas com a metodologia da resolução de problemas, foi possível ao aluno
desenvolver importantes avanços: compreensão mais consistente da utilização dos
números em diferentes contextos sociais; procedimentos para a resolução de problemas
– importância de uma boa leitura e análise cuidadosa do enunciado; levantamento de
hipóteses de resolução; elaboração e apresentação, por meio de painel, de diferentes
estratégias de resolução e validação dos resultados obtidos; desenvolvimento da
competência leitora dos alunos com diversos portadores de textos – gráficos, tabelas,
textos informativos, texto jornalístico, mapas e obras de arte – mostrando-lhes que essas
ferramentas também possibilitam o acesso ao conhecimento matemático; utilização da
calculadora e de ferramentas tais como régua, compasso e transferidor para resolução de
problemas; ampliação do conhecimento dos alunos sobre a Cidade de São Paulo a partir
98
de textos informativos, mapas, obras de arte e vídeos; desenvolvimento do cálculo
mental, entre outros.
Relativamente aos pontos merecedores de complementação ou de correção nos
materiais, as contribuições dos professores foram de diferentes naturezas: necessidade
de troca de um conceito por outro, quando estes possuem diferentes aceitações na
comunidade acadêmica; utilização de material manipulativo antes do desenvolvimento
da sequência, principalmente em algumas sequências referentes à geometria;
apresentação de uma sequência mais simples antes da sequência que foi apresentada,
por considerarem o conteúdo complexo e por ter sido a primeira abordagem sobre o
conteúdo – essa consideração foi relatada pelos professores do 7º ano em duas
sequências didáticas –; reformulação da sequência didática para atingir o objetivo
proposto;
necessidade
de
sistematização
dos
conceitos
abordados
após
o
desenvolvimento das sequências; proposição de atividades de livros didáticos que visem
à fixação ou que possam ser extensão das atividades propostas nos Cadernos de Apoio e
Aprendizagem, principalmente quando os alunos apresentaram maiores dificuldades
com o desenvolvimento da sequência didática; utilização de calculadoras, mesmo
quando seu uso não foi indicado no CAA do professor; proposição de oficinas de
Matemática para o aprimoramento de um determinado conteúdo ou conceito;
proposição de atividades ou exposição oral antes do desenvolvimento da sequência.
Quanto à sugestão para alteração/inclusão, as contribuições dos professores
foram diversas. Tanto os professores do 6º quanto os do 7º ano indicaram alguns erros
presentes nos Cadernos. Esses erros referiram-se principalmente à escrita de um
enunciado, à gramática, à escala de um gráfico, a uma imagem ou figura e a respostas
contidas no Caderno do professor. Porém, não encontraram erros conceituais. Os
professores também indicaram a necessidade de correção e melhoramento nos contornos
de algumas tabelas, nos enunciados de algumas questões, sugeriram a ampliação de
alguns mapas que poderiam vir como encarte no CAA do professor, além de sugestões
para serem acrescentadas às indicações para o professor como forma de melhor
desenvolverem as sequências em sala de aula. Os professores perceberam a necessidade
de ampliação de algumas sequências, e um professor indicou atividades que poderiam
ser contempladas para essa ampliação.
99
Outra sugestão indicada pelos professores, refere-se à antecipação de algumas
atividades presentes nos Cadernos de Apoio e Aprendizagem de Matemática. Essa
sugestão merece destaque, pois inicialmente, os professores, indicavam a antecipação de
sequência didática inteira, mas, com as reflexões feitas nos encontros, começaram a
perceber a importância e as justificativas para a ordem das sequências apresentadas nos
Cadernos. Uma sugestão específica e pontual do 6º ano refere-se à exploração dos
diferentes conceitos de ângulo para a melhor compreensão dessa ideia ou desse
conceito. No referido Caderno é apresentado apenas a dimensão estática desse conceito,
e os professores sugerem que também seja abordada a dimensão dinâmica, apesar de
reconhecerem que essa questão é contemplada no Caderno de Apoio e Aprendizagem de
Matemática do 7º ano.
Quanto aos tipos de uso apresentados por Brown (2009), segundo o relato dos
professores participantes, o fato de haver, no grupo, docentes muito experientes
evidenciou que nesses casos predomina o uso com adaptações e criações. As adaptações
consistiam por vezes em fazer alterações nas sequências propostas, em ampliar o
número de exemplos, de problematizações e também de inserir revisões que achavam
necessárias. Os mais inexperientes mostraram uma dependência maior do material e as
modificações que propunham muitas vezes se relacionavam às suas próprias
dificuldades tanto com conteúdos matemáticos como em relação a conhecimentos
didáticos.
Os participantes avaliaram como positivo o fato do material explicitar com
razoável transparência as concepções teóricas subjacentes. As discussões das atividades
com os pares, realizadas nas reuniões no grupo, foram indicadas como positivas pelos
professores que avaliaram como fatores importantes para seu desenvolvimento
profissional.
Considerações finais
Nos relatos escritos e orais ficou bastante evidente que a participação no projeto
e o uso do material tiveram grande impacto nas atividades realizadas em sala de aula,
que foram melhor planejadas e realizadas de forma mais adequada. E isso ficou bem
evidente para os professores.
100
Alguns deles demonstraram que tinham algumas dificuldades quanto à
abordagem metodológica proposta pelos Cadernos de Apoio e Aprendizagem, porém
relataram que as discussões com seus pares e com o pesquisador-colaborador durante os
encontros favoreceram a compreensão de alguns processos, principalmente porque a
dinâmica de discussão proposta pelo grupo possibilitou que os colegas expusessem
como procederiam e fariam as intervenções para determinadas situações propostas nas
sequências didáticas das unidades do CAA.
Uma das categorias analisadas refere-se aos pontos merecedores de
complementação. Nela, uma das complementações destacadas pelos professores é a
inserção de atividades. Com as discussões nos grupos, percebemos diferentes
justificativas, por parte dos professores, para essa inserção. Eles têm consciência de que
nenhum material por si só será suficiente para a construção do conhecimento dos
alunos, necessitando, portanto, de outras fontes. Em alguns casos, acrescentaram outras
atividades por perceberem que na sequência didática, de uma atividade para outra, havia
uma ruptura que deixava algumas lacunas. Houve ainda situações, em que os
professores precisaram retomar alguns conceitos antes de desenvolverem a sequência,
mas estavam conscientes de que nos Cadernos de Apoio e Aprendizagem dos anos
anteriores havia essa retomada. E isso, por sua vez, gerava o relato de que se todos os
professores utilizassem o material, seria mais fácil o desenvolvimento das sequências,
pois os alunos já estariam acostumados com a abordagem metodológica.
Um fato identificado por nós foi o da necessidade de alguns professores fazerem,
com seus alunos, uma aula expositiva de alguns conteúdos de uma ou outra unidade
antes de trabalhar a sequência didática, o que contraria a proposta metodológica do
material.
Dessa forma, percebemos que a reprodução, a complementação, o tipo de
adaptação que o professor faz ao propor uma atividade, ou, ainda, o que o faz adaptar
esta ou aquela atividade, bem como os resultados produzidos por essas adaptações ou
até mesmo o nível de reprodução que o professor faz em relação aos materiais
curriculares, precisam de reflexões mais aprofundadas.
Apesar de não ter sido objetivo inicial do projeto, essa proposta se revela como
uma importante estratégia para a formação docente, pois os professores avaliaram que
participar do Grupo Focal, no papel de professor-pesquisador, foi uma dimensão
101
importante para o seu desenvolvimento profissional, e, portanto, concluem, que estudos
como os realizados nesta pesquisa seriam fundamentais para serem vistos como parte
integrante dos projetos de formação docente na escola, junto com seus pares.
Referências
BROWN, M. W. The Teacher-Tool Relationship: Theorizing the Design and Use of
Curriculum Materials. In: REMILLARD, J. T; HERBEL-EISENMANN, B. A.;
LLOYD, G. M. (Ed.), Mathematics Teachers at Work: Connecting curriculum
materials and classroom instruction. New York: Taylor & Francis, 2009, p. 17-36.
PACHECO, J. A. Escritos Curriculares. São Paulo: Cortez, 2005.
REMILLARD, J. T. Considering What We Know About the Relationship Between
Teachers and Curriculum Materials (Part II Commentary). In: REMILLARD, J. T;
HERBEL-EISENMANN, B. A.; LLOYD, G. M. (Ed.), Mathematics Teachers at Work:
Connecting curriculum materials and classroom instruction. New York: Taylor &
Francis, 2009, p. 85-92.
REMILLARD, J. T; HERBEL-EISENMANN, B. A.; LLOYD, G. M. Teachers’ Use of
Curriculum Materials: An Emerging Field. In: REMILLARD, J. T; HERBELEISENMANN, B. A.; LLOYD, G. M. (Ed.), Mathematics Teachers at Work:
Connecting curriculum materials and classroom instruction. New York: Taylor &
Francis, 2009, p. 3-14.
SACRISTÁN, J. G. O currículo: uma reflexão sobre a prática. 3. ed. Tradução: Ernani
F. da Fonseca Rosa. Porto Alegre: Artmed, 2000.
SÃO PAULO (Município). Secretaria Municipal de Educação. Diretoria de Orientação
Técnica. Orientações curriculares e proposição de expextativas de aprendizagem para
o Ensino Fundamental II: Matemática. 2. ed. São Paulo: SME/DOT, 2010.
102
CURRÍCULO E A PESQUISA EM CURRÍCULO DE
MATEMÁTICA NO BRASIL.
João Acácio Busquini – SEESP – Brasil
[email protected]
Vinício de Macedo Santos – FEUSP – Brasil
[email protected]
Resumo: Entender a produção recente de propostas curriculares no Brasil decorrente das teorias
curriculares, apenas é possível se tomarmos como base o próprio conceito de ‘currículo’,
desvelando a invisibilidade de sua história nessa produção, assim, neste artigo buscamos
classificar um tipo de produção curricular restrita ao campo da Matemática. Fazemos uma
primeira incursão à produção das teorias curriculares para, em seguida, examinarmos a
produção acadêmica sobre o Currículo de Matemática. Para tanto, produzimos algumas
categorias para tecermos nossas considerações.
Palavras-chave: Currículo
103
104
Introdução
No artigo que ora apresentamos consideramos o currículo sob um processo de
indução. Partimos de sua elaboração no campo da Educação, da concepção dos
pesquisadores que o fundamentam, sua inserção no meio educacional brasileiro e as
teorias curriculares que influenciam as elaborações para, em seguida, explorarmos o seu
termo adjetivado, ou seja, o Currículo de Matemática.
Nesse processo de indução fizemos uma revisão da produção curricular em
Matemática, por meio de teses e dissertações a partir das pesquisas elaboradas na
universidade na qual destacamos cinco grupos de produção. O primeiro, denominado
conteúdos curriculares discutem objetos da Matemática e sua inserção nos currículos
ou de suas orientações. O segundo grupo, trata do currículo destinado aos cursos
superiores tanto dos cursos de Matemática como da disciplina Matemática em outros
cursos. O terceiro grupo é destinado aos impactos das políticas curriculares que
influenciam a Matemática. Esse grupo se destaca pela produção intensa comparada aos
demais grupos constituídos em nossa pesquisa o qual creditamos pela forte produção
crítica na área da Educação Matemática. O quarto grupo refere-se ao currículo na
formação de professores e que têm sido objeto de debates constantes em seminários e
congressos organizados pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM). Se
os estudos sobre os impactos das políticas são candentes, o quinto grupo, das sugestões
curriculares ainda, carece de uma maior produção.
Acreditamos que isso seja necessário, primeiro pela própria organização e
classificação dessas produções em diversos centros de pesquisas no Brasil; segundo,
para identificarmos as concentrações e escassez dessas pesquisas, a fim de subsidiar
futuras pesquisas e terceiro, para lançar luz ao alinhamento ou desalinhamento das
orientações nacionais frente ao campo de pesquisa.
1. Currículo
Na busca por uma definição singular para ‘currículo’, encontramos pluralidades.
O termo em destaque, segundo Goodson (2010) teve início na Escola de Montaing, no
século XV, na França, com sua divisão em classes, tendo a ideia de ordem, no sentido
de sequência, como base para as práticas educativas francesas do século XVI.
Esse termo admite novo significado durante o período mercantilista. As
transformações sociais e econômicas foram condições para a reorganização do processo
educativo. Passa a existir, nesse momento, o conceito de currículo como etapas de
ensino com a intenção clara da padronização (SILVA, 2006).
No inicio do século XX, nos Estados Unidos, as mudanças de uma América rural
para um processo de industrialização possibilitam a Francis Bobbit e Edward Thorndike
entre outros, a elaboração de um currículo cuja finalidade seria de controle social, já que
uma nova classe necessitava de uma preparação para enfrentar as mudanças. Na
declaração de Apple (2006, p. 102) sobre as intenções desses idealizadores do currículo
105
“o interesse dos primeiros teóricos a estruturarem o currículo estava na preservação do
consenso cultural e, ao mesmo tempo, em destinar os indivíduos ao seu ‘lugar’
adequado numa sociedade industrial interdependente”.
Silva (2006) discute que é nesse contexto da transição das habilidades manuais
para a flexibilidade e rapidez que Ralph Tyler propõe um currículo que realce os
‘objetivos comportamentais’, atentando para sua prescrição, daquilo que deve ocorrer
ou ser feito para atender às demandas de mercado. Creditamos a Tyler, ainda, quatro
outras questões relevantes como: quais objetivos educacionais a escola deve procurar
atingir; que experiências educacionais podem ser oferecidas e que tenham probabilidade
de alcançar seus propósitos; como organizar eficientemente essas experiências
educacionais; e como podemos ter certeza de que esses objetivos estão sendo
alcançados.
Enquanto Ralph Tyler buscava os objetivos comportamentais, John Dewey
sugeria um currículo voltado às experiências das crianças e dos jovens, de reconstrução
contínua, flexível, privilegiando a prática de princípios democráticos, considerando a
escola um local para vivências estimulantes.
Na década de 1960, o advento da denominada Guerra Fria, expressão usada por
não ter ocorrido embate bélico e sim, econômico, ideológico, social, político, colocou
duas das superpotências da época em conflito; de um lado, os Estados Unidos e, de
outro, a União Soviética provocaram novas mudanças no estabelecimento curricular. O
sentimento de derrota dos americanos frente aos soviéticos, na corrida espacial,
produziu na comunidade cientifica americana a necessidade de uma ampla reforma nos
programas educacionais, não apenas na América do Norte, mas que fez ecos em
diversos países, entre eles o Brasil.
O próprio campo que dá origem aos estudos curriculares em Educação não
advém das disciplinas que compõem esta área. Como aponta Cherryholmes (1993, p.
143)
[...] a Psicologia educacional tem raízes na Psicologia, a
Filosofia da educação na Filosofia [...]. O currículo lida com
problemas que são singularmente educacionais da mesma forma
que o ensino tem suas próprias tarefas especiais [...].
No dicionário, os significados utilizados explicitam que o currículo é tido como
programas escolares e, discordando dessa definição, Sacristán (2000, p. 13) revela que
na prática o currículo é estabelecido por meio de “comportamentos didáticos, políticos,
administrativos e econômicos”. Para ele, esses preceitos escondem, “pressupostos,
teorias parciais, esquemas de racionalidade, crenças e valores que condicionam o
currículo”. Currículo não é um conceito e sim uma construção cultural, aponta Grundy
(1987 apud SACRISTÁN, 2000).
É pela prática que Stenhouse (1991, p. 29) define o currículo. Para ele, “um
currículo é uma tentativa de comunicar os princípios e características essenciais de um
106
propósito educativo, de tal forma que permaneça aberta a discussão crítica, podendo ser
remetida efetivamente à prática”.
Outro pesquisador, Bernstein (1996) define o currículo como o conhecimento
válido e em sua teoria apresenta o currículo como um princípio regulador que está na
base dos sistemas do discurso. Também delineia dois tipos de currículo: o primeiro,
denominado de coleção, referindo-se a um currículo cuja classificação é fortemente
marcada e suas áreas e seus campos do conhecimento são organizados de maneira
isolados. No segundo, o currículo integrado, há uma diminuição das distinções entre as
áreas do conhecimento, a classificação já não é uma marca. Bernstein, analisando o
projeto durkheimiano da divisão de trabalho, situa a mudança do currículo como
coleção para o integrado, segundo a evolução da solidariedade mecânica atribuída aos
membros de uma sociedade com mesmas características sociais e até mesmo psíquicas
para a solidariedade orgânica, complexa, em suas relações de trabalho e de acordo com
as diferenças dos indivíduos.
Cabe aqui uma distinção ou similaridade dos termos currículo, currículo oficial,
propostas curriculares, orientações curriculares, currículo oculto, currículo nacional,
currículo regional, enunciados anteriormente e com os quais, com frequência, nos
depararemos. Utilizamos o termo currículo para indicar o modelo geral, enquanto as
demais denominações se farão adjetivadas.
Embora muitas fossem as designações do termo currículo, Ponte et al (1999)
observam que podemos classificá-lo em dois níveis, sendo que o primeiro nível
distingue o currículo oficial, o currículo implementado e o currículo adquirido, e o
segundo nível distingue entre o global associado a um país, o local pertinente a uma
região ou escola e o individual ligado às pessoas.
Analisando o primeiro nível, Ponte et al (1999) apontam como currículo oficial
aquele que se constitui pelos programas, suas associações sociais e científicas, suas
teorias de aprendizagens e suas filiações políticas. Desse ponto, estão anexas as
propostas curriculares e orientações curriculares que, mesmo em suas fases iniciais, são
estabelecidas pelas secretarias estaduais ou municipais de Educação ou, no nível
nacional, pelo Ministério da Educação.
Para Sacristán (2000), o currículo oficial é um processo de regulação de todo
sistema educativo e, para tal, existe uma prescrição ou orientação do conteúdo em
relação ao seu grau de ensino. É a partir desse ponto que são produzidos os materiais e o
controle de todo o sistema. É histórico e local, pois se trata da política vigente e de suas
intervenções. O currículo prescrito como política curricular se incumbe de: regular o
conhecimento, delimitando os espaços de decisões entre a administração central, escolas
e professores; controlar os conteúdos mínimos exigidos; exercer o controle sobre as
escolas por intermédio da supervisão das práticas escolares executadas pelos professores
e das avaliações externas, bem como organizar políticas de inovações curriculares por
meio da sua criação e consumo.
Já os currículos implementados são aqueles que denotamos pelos gestos dos
professores, os que realmente são empregados nas salas de aula e que dão substância à
sua prática. Ponte et al (1999) destacam quatro hipóteses no acesso ao currículo oficial,
relacionando-o com o currículo implementado: (i) as dificuldades dos professores em
107
adquirir uma nova organização em detrimento da antiga; (ii) nos projetos de inovações
curriculares, o currículo oficial, de forma geral, é mais avançado que o currículo
implementado; (iii) no início de uma nova reforma, os gestos profissionais que os
professores devem mobilizar em sua prática ainda não estão estabilizados; (iv) a
dificuldade de um currículo adaptado a certas necessidades. Se o currículo
implementado aqui é revelado na prática institucionalizada, é no currículo oculto que as
discussões se intensificam.
Sacristán (2000) trata o currículo implementado ou apresentado – definição
dada por ele – como aquele que costuma ser traduzido para os professores com base no
currículo prescrito. São conceituações genéricas e geralmente não são suficientes para
orientar os professores na prática da sala de aula. O papel do professor nessa
implementação é decisivo, já que reproduz sua cultura profissional. Seu planejamento é
configurado segundo a tradução que se faz do currículo prescrito e do implementado. O
fato é que o currículo deve responder não apenas à escola, mas também, à sociedade,
sob a sua ordem social e cultural. Isso torna a prática pedagógica complexa. A
competência profissional é relevante para implementar o currículo, assim como, a
formação docente. Por fim, nesse aspecto de implementação e apresentação,
consideram-se as condições sob as quais se realiza o trabalho do professor como: a
estrutura física da escola e o número de alunos na sala de aula.
Para Sacristán (2000), é em virtude da formação docente precária e dos
conhecimentos adquiridos pela experiência dos professores que se estabelece o que se
chama de currículo oculto.
O currículo escolar, frente a toda essa concorrência exterior,
talvez esteja perdendo o monopólio da transmissão de certos
valores culturais explícitos, mas reforça, por isso mesmo, outras
funções do currículo oculto da instituição escolar: socialização,
inculcação de pautas de comportamento, valores sociais,
validação para subir pela pirâmide social, etc. (SACRISTÁN,
2000, p. 74)
Para Torres Santomé (1995) a discussão a respeito do currículo oculto nos faz
perceber o significado das práticas docentes que, no passado, eram despercebidas. São
princípios e valores ensinados de maneira implícita no processo educativo. Implica-se
dessa forma um determinado resistir aos programas oficiais. Acreditamos que a
resistência referida por Torres Santomé esteja relacionada a diversos fatores, entre eles,
a incompreensão dos documentos curriculares, a falta de formação dos professores, a
não participação na elaboração dos currículos etc. Torres Santomé ainda descreve que
esse tipo de currículo reproduz características da esfera econômica social.
108
Giroux (2004, p.70), em uma tentativa de ampliar o debate acerca dessa
reprodução, propõe três insigths essenciais:
(a) As escolas não podem ser analisadas como instituições
removidas do contexto socioeconômico em que estão
situadas;
(b) As escolas são espaços políticos envolvidos na construção
e controle do discurso, dos significados e das subjetividades;
(c) Os valores e crenças do senso comum que guiam e
estruturam a prática escolar não são universais a priori, mas
construções sociais baseadas em pressuposições normativas
políticas.
Outro autor, Apple (2006), apoiado nos estudos de Jackson (1968), analisou
como os significados são transmitidos nas escolas e a maneira pela qual alguns valores e
atitudes ocorrem em determinados contextos políticos e econômicos, tornando-se os
valores do capitalismo.
É nesse sentido de reprodução dado por esses autores que as escolas estão
inseridas nos contextos da sociedade e da economia, sendo espaços políticos e de
disseminação de crenças e valores.
A terceira dimensão denotada por Ponte et al (1999) – o currículo adquirido – é
analisado do ponto de vista dos alunos, suas aprendizagens mediante as avaliações. Do
ponto de vista da crítica, as avaliações homogeneízam uma determinada cultura; trata-se
de uma redistribuição das forças de mercado. Apple (1994, p. 74), respondendo sobre a
questão do currículo e da avaliação, nos diz que, “em parte, tanto um currículo nacional
quanto um sistema de avaliação nacional podem ser vistos como concessões necessárias
para a persecução desse objetivo de longo prazo”.
Enfim, são mediantes as diversas classificações e níveis sobre o currículo em
geral, aos quais, os currículos específicos são produzidos. Compreendermos suas
dimensões e alcance possibilita elaborarmos um quadro da produção curricular de
matemática.
2. Uma revisão da produção curricular das pesquisas em Matemática.
Apresentada a seara dos currículos gerais, cujas pesquisas são intensas,
acreditamos que o mesmo dinamismo não pode ser dito na produção curricular em
Matemática elaborada nos centros de pesquisas em currículo, sobremaneira, aqui no
Brasil.
Pesquisamos as produções de dissertações e teses que trazem a discussão recente
sobre currículo de matemática, no Brasil. Acreditamos que isso seja necessário,
primeiro pela própria organização e classificação dessas produções em diversos centros
de pesquisas no Brasil; segundo, para identificarmos a densidade dessa produção e
como ela está distribuída no país para lançar luz sobre a nossa pesquisa, encontrando o
alinhamento ou desalinhamento das orientações nacionais frente ao campo de pesquisa.
109
Pesquisamos, para o presente trabalho, teses e dissertações relacionadas com o
tema currículo e Matemática na base de dados elaborada no período de 1993 a 2011 da
Revista Zetetiké, editorada pela Universidade Estadual de Campinas.
Foi a partir das análises nessa base de dados, que fizemos uma busca pelo título
do trabalho, sobre currículo ou seus derivativos curricular (es) e a Matemática, tentando
localizar as dissertações e teses produzidas no meio acadêmico a respeito do tema.
Encontramos ao todo 49 (quarenta e nove) trabalhos os quais classificamos em
cinco temas centrais: (a) os conteúdos curriculares; (b) currículos nos cursos superiores;
(c) as políticas curriculares; (d) a formação de professores, e; (e) as sugestões
curriculares. Em torno das quantidades, 12 (doze) tratam sobre os conteúdos
curriculares, 07 (sete) abordam o tema do currículo nos cursos superiores, 24 (vinte e
quatro) trabalhos sobre o tema impacto das políticas curriculares no ensino da
Matemática na Educação Básica, 04 (quatro) pesquisam a formação de professores e
apenas 02 (dois) trabalhos versando sobre sugestões curriculares.
Das pesquisas que debatem os conteúdos curriculares da Matemática,
destacamos aquelas que analisam (ver Quadro 1): espaço e forma e tratamento de dados,
os conteúdos na Educação infantil e as demonstrações no currículo.
Quadro 1 - Conteúdos curriculares.
LOPES, Celi A. Espasandin. A probabilidade e a estatística no ensino fundamental: uma
análise curricular. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação,
Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1998.
NACARATO, Adair M. Educação Continuada sob a perspectiva da Pesquisa-ação:
currículo em ação de um grupo de professoras ao aprender ensinando Geometria. Tese
de Doutorado – Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP, 2000.
PIETROPAOLO, Ruy Cesar. (Re)significar a demonstração nos currículos da educação básica
e da formação de professores de Matemática. Tese de Doutorado em Educação Matemática.
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. 2005.
SANTOS, Clemente Ramos. O tratamento da informação: Currículos prescritos,
formação de professores e implementação em sala de aula. Dissertação de Mestrado
Profissional. São Paulo, 2005. PUC-SP.
CERQUEIRA, Ana Ferreira de. Isometrias: Análise de documentos curriculares e uma
proposta de situações de aprendizagem para o ensino médio. Mestrado profissional, São
Paulo: PUC-SP, 2005.
BAIER, Tânia. O nexo "Geometria Fractal - Produção da Ciência Contemporânea"
Tomado como Núcleo do Currículo de Matemática do Ensino Básico. Tese (Doutorado
em Educação Matemática) — Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro
(SP), 2005.
110
LEAL, Fabiana Rodrigues de Oliveira. Letramento e numeramento no currículo oficial
para a pequena infância: problematizando concepções no Referencial Curricular de
Educação Infantil. Dissertação de Mestrado. Universidade São Francisco. 2008. Itatiba-SP.
NOGUEIRA JÚNIOR, Dárcio Costa. Elaboração de uma sequencia didática para a
aprendizagem de valor absoluto e da função modular, utilizando a organização
curricular em rede. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e
Matemática) — PUC-Minas, Belo Horizonte (MG), 2008.
FERREIRA, Rogério Carlos. Orientações curriculares para ensino de geometria: do
período da Matemática moderna ao momento atual. Dissertação de Mestrado. Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo - PUCSP, 2008.
SANTOS, Talita Secorun dos. A inclusão das geometrias não-euclidianas no currículo da
Educação Básica. Dissertação de Mestrado. Universidade Estadual de Maringá. Maringá-PR,
2009.
MARCO, Suzana. As concepções de tempo profundo e suas implicações curriculares no
ensino da Matemática. Dissertação de Mestrado. Centro Universitário Univates. LageadoRS, 2009.
DANTAS, Jorge Luiz Barbosa. Possibilidades para a inserção curricular de objetos de
aprendizagem na educação matemática. Dissertação (Mestrado em Educação: Educação
Escolar e Profissão Docente) — Faculdade de Educação, PUC-Minas, Belo Horizonte (MG),
2009.
Fonte: Autor
Nas fontes pesquisadas intituladas pelos conteúdos, observamos uma carência
sobre os debates com os temas sobre a álgebra, números e funções nos documentos
curriculares, já que na década de 1980 destacavam-se como conteúdos predominantes.
Acreditamos que este fato alimentaria as pesquisas com esse tema em detrimento de
conteúdos como a geometria que naquele período fora dada pouca ênfase. Por sua vez é
possível que a ênfase no currículo sob a álgebra seja predominante no ensino, porém é
necessária uma pesquisa com esta temática.
Outra organização de trabalhos pode ser encontrada no Quadro 2. Nesta
organização, classificamos as pesquisas sobre currículo e Matemática. Localizamos dois
estudos. O primeiro trata do currículo em cursos de licenciatura Matemática, enquanto o
segundo trata da aplicação dessa área em cursos aplicados.
Quadro 2 - Currículo nos Cursos Superiores.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Qualidade no Ensino de Matemática na Engenharia:
uma proposta metodológica e curricular. Tese (Doutorado em Engenharia de
Produção) — UFSC, Florianópolis (SC), 1997.
CASTELLUBER, Arildo. Os currículos de matemática em universidades públicas
da região sudeste e os professores egressos do IMPA. Dissertação (Mestrado em
Educação). Centro de Educação, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória-ES,
2000.
111
VIANA, Marger da C. V. Perfeccionamiento del currículo para la formación del
profesor de Matemática en la UFOP. Dissertação (Doutorado em Ciências
Pedagógicas).ICCP- La Habana, Cuba, 2002.
FRANCHI, R. H. de O. L. Uma proposta curricular de Matemática para cursos de
Engenharia utilizando Modelagem Matemática e Informática. Tese (Doutorado em
Educação Matemática) – Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 2002.
Gazire, Priscila Rodrigues. A inserção curricular do computador na formação
inicial do professor de matemática: o que revelam estudantes de uma licenciatura.
Dissertação de Mestrado. Belo Horizonte-MG, 2009.
VILANI, Marcelo Kruppa. Um estudo das atuais diretrizes para os cursos de
licenciatura em matemática, sob a perspectiva de sua aderência aos projetos
curriculares de matemática para a educação básica brasileira. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) — UNIBAN, São Paulo (SP), 2009.
LEIVAS, José Carlos Pinto. Imaginação, intuição e visualização: a riqueza de
possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de licenciatura de
matemática. Tese (Doutorado em Educação) — Setor de Educação, UFPR, Curitiba
(PR), 2009.
Fonte: Autor
Acreditamos que seja possível a ampliação de pesquisas que desenvolvam e
amplifiquem o debate sobre o currículo de Matemática em cursos de licenciatura,
fomentando a formação dos futuros professores.
Quando analisamos o impacto das políticas curriculares, estas constituem a
maior preocupação em parte da produção pesquisada como apontamos anteriormente,
ou seja, determinada primazia da crítica em detrimento da análise dos conteúdos.
Destacamos que o nosso estudo diz respeito ao olhar dos professores em torno de suas
concepções, sentidos, percepções, formação ou visão. De outro ponto de vista, também
observamos o percurso da implementação dos currículos ou propostas curriculares.
Quadro 3 - As políticas curriculares.
SOUSA, Maria do Carmo. A percepção de professores atuantes no ensino de
Matemática nas escolas Estaduais da Delegacia de Ensino de Itu, do Movimento da
Matemática Moderna e de sua influência. Dissertação de Mestrado. Universidade de
Campinas, 1999.
MIGNONI, Ednéia Poli. A trama ideológica do currículo: a visão do professor de
matemática. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Faculdade de
Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, 1994.
CARDOSO, Edson Alves. Uma análise da perspectiva do professor sobre o
currículo de Matemática na EJA. Dissertação de Mestrado. Pontifícia Universidade
Católica – PUC-SP, 2001.
GODOY, Elenilton Vieira. Matemática no Ensino Médio: Prescrições das Propostas
Curriculares e Concepções dos Professores. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2002.
112
PASQUINI, Iria Augusto Soares. O Ensino da Matemática no Contexto dos
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio. Dissertação (Mestrado em
Educação). Pontifícia Universidade Católica de Campinas, Campinas, 2003.
CERQUEIRA, Dermeval Santos. Implementação de inovações curriculares no
Ensino Médio e formação continuada de professores: as lições de uma experiência.
Dissertação de Mestrado. Pontificia Universidade Católica de São Paulo, 2003.
ORTIGÃO, Maria Isabel Ramalho. Currículo de matemática e desigualdades
educacionais. Tese (Doutorado) - Departamento de Educação, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, 2005.
FONSECA, Marco Aurélio. Etnomatemática: dimensão educacional e as tendências
sobre os currículos de matemática na visão dos autores dos boletins ISGEm.
Dissertação (Mestrado em Educação) — USF, Universidade São Francisco, Itatiba (SP),
2005.
KOBASHIGAWA, Mutsu-ko. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática
para o Ensino Fundamental: das prescrições ao currículo praticado pelos
professores. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) — Centro
das Ciências Exatas e Tecnologias, PUC-SP, São Paulo (SP), 2006.
PAIM. Aida Rotava. Uma história da Proposta Curricular de Santa Catarina 19881991: políticas e textos. Tese de Doutorado. Campinas/SP: Faculdade de Educação,
2007.
SILVA, Fabiana B. de S. da. A (prender) matemática é difícil: Problematizando
verdades do currículo escolar. Dissertação – Curso de Pós-Graduação em Educação da
Universidade do Vale do Rio dos Sinos, São Leopoldo, 2008.
COAN, Lisani Gení Wachholz. A implementação do PROEJA no CEFET-SC:
relações entre seus objetivos, os alunos e o currículo de matemática. Dissertação de
Mestrado, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2008.
COLOMBO, Janecler Aparecida Amorin. Representações semióticas no ensino:
contribuições para reflexões acerca dos currículos de Matemática Escolar.
Florianópolis, Tese (Doutorado em Educação Científica e Tecnológica) – Centro de
Educação, Ciências Físicas, Biológicas e Matemáticas, Universidade Federal de Santa
Catarina, 2008.
Moreira, Luís Eduardo Ferreira Barbosa. A influência da reforma Benjamin Constant
no currículo de matemática do Colégio Pedro II. Dissertação (Mestrado em
Educação)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.
PEREIRA, Margareth Conceição. Currículo nas Escolas- Referência De Minas
Gerais: como a matemática chega a uma sala de aula. Dissertação (Mestrado) Curso de Educação, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2008.
AGUIAR, Glauco da Silva. Estudo comparativo entre Brasil e Portugal sobre
diferenças nas ênfases curriculares de matemática a partir da análise do
Funcionamento Diferencial do Item (DIF) do PISA 2003. Tese (Doutorado)
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.
OLIVEIRA, Rosana de. Políticas de currículo na escola: a produção de sentidos de
uma educadora matemática. Tese de Doutorado, Rio de Janeiro: UERJ, 2009.
SILVA, Marcio Antonio da. Currículos de Matemática no Ensino Médio: em busca
de critérios para escolha e organização de conteúdos. Tese de Doutorado. Pontifícia
Universidade Católica – PUC-SP, 2009
113
ARAÚJO, A. M. Um baú de memórias: de "Meninas de Pinhais" a co-autores de uma
proposta curricular de matemática. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade
Federal do Paraná, 2009.
FARIA, Marlene Aparecida da Silva. Reorientação Curricular: avaliação do impacto
na prática do professor de matemática do ensino fundamental de Goiânia.
Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) — UFG, Goiânia
(GO), 2010.
CHISTE, Leyla. Dienes e os guias curriculares de São Paulo da década de 1970: um
estudo sobre as influências. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) —
Universidade Bandeirante de São Paulo, UNIBAN, São Paulo (SP), 2010.
COSTA, José Carlos Oliveira. O currículo de matemática no ensino médio do Brasil
e a diversidade de percursos formativos. Tese (Doutorado em Educação) - Faculdade
de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2011.
MOTTA, Cristina Dalva Van Berghem. Um retrato de aprendizagem em Educação
Matemática: professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental em processo de
inovação curricular. Tese (Doutorado em Educação) - Faculdade de Educação,
Universidade de São Paulo, São Paulo, 2011.
ALMEIDA, Arlete. A. Oliveira. Currículos de Matemática do Ensino Médio: a
polarização entre aplicações práticas e especulações teóricas. Tese (Doutorado em
Educação Matemática). Pontificia Universidade Católica de São Paulo, 2011.
Fonte: Autor
O diagnóstico que fazemos sobre os impactos dos currículos refere-se à área
pesquisada, ou seja, à Educação Matemática. Alguns pesquisadores envolvidos na busca
de uma identidade ou delimitação ao campo da Educação Matemática tratam-na pela
relação entre ensino, aprendizagem e conhecimento matemático. Ponte (1999) discute
ainda que a Educação Matemática é um campo de investigação onde seu papel é
formular e analisar os problemas do ensino e da aprendizagem em Matemática
propondo conceitos, estratégias e instrumentos relevantes para aqueles que atuam nesse
campo profissional. Ampliando esses conceitos, entendemos que um dos propósitos é
dado pela crítica ao currículo de Matemática com ênfase nas demonstrações, no
conhecimento a partir das estruturas matemáticas, na organização linear e centrada no
professor. Trata-se, como apresenta Pires (2008, p. 37), de realizar uma retrospectiva da
influência da Educação Matemática sobre os documentos curriculares, em diferentes
momentos. A consolidação parte de
[...] aplicações cotidianas, formação de capacidades específicas
e base de uma formação tecnológica (...) na construção do
conhecimento pelos alunos (...) na relação da constituição de
competências e habilidades do estudante, na contextualização e
interdisciplinaridade, nos projetos e sequências didáticas e
centrada na relação professor-aluno. (PIRES 2008, p. 37)
Outro quadro (Ver Quadro 4) que formulamos destaca as pesquisas sobre a
formação dos professores. Essas pesquisas destacam os significados e saberes do
114
professor fazendo a interlocução com o currículo. Uma análise do período revela que a
temática do currículo de matemática do ponto de vista do professor são recentes.
Quadro 4. Formação de Professores.
VALLE, Silvana Maria Giacomini. Rupturas e (Re)significação do Currículo de
Matemática: um olhar nos ciclos de formação. Dissertação (Mestrado em Educação
nas Ciências) — Departamento de Pedagogia, Unijuí, Universidade do Noroeste do Rio
Grande do Sul, Ijuí (RS), 2006.
DANTAS, Wildes Gonçalves. Os saberes e concepções acerca das práticas dos
professores de matemática dos anos finais do ensino fundamental em escolas
públicas do estado de São Paulo em um processo de implementação do currículo.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) — Universidade Bandeirante de São
Paulo, UNIBAN, São Paulo (SP), 2010.
NEVES, Eder Wilson. Análise da percepção de professores acerca do novo
currículo de matemática do 6º ano do ensino fundamental do Estado de São Paulo.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) — Universidade Bandeirante de São
Paulo, UNIBAN, São Paulo (SP), 2010.
RODRIGUES, Rosineide Monteiro. Os desafios da formação continuada de
professores que ensinam matemática no ensino médio em um cenário de
reorganização curricular. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) —
Universidade Bandeirante de São Paulo, UNIBAN, São Paulo (SP), 2010.
Fonte: Autor
Por fim, nossa busca revelou um campo ainda pouco pesquisado na área do
currículo e da Matemática que é o relativo às sugestões curriculares. Nesse sentido, a
tese “Currículos de Matemática: da Organização linear à ideia de rede”, defendida por
Célia Maria Carolino Pires é emblemática, pois articula uma nova concepção não linear
do currículo, subvertendo o significado atual (linear) e aproximando-o dos hipertextos
(não linear).
Quadro 5 - Sugestões Curriculares.
PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da Organização linear à
ideia de rede. Tese de Doutorado. Faculdade de Educação – Universidade de São
Paulo, 1995.
AMADEU, João Ricardo. A educação financeira e sua influência nas decisões de
consumo e investimento: proposta de inserção da disciplina na matriz curricular.
Dissertação de Mestrado. Universidade do Oeste Paulista- UNOESTE: Presidente
Prudente – SP, 2009.
Fonte: Autor
Da produção que analisamos é representativa a crítica às políticas curriculares,
porém não é equivalente às sugestões feitas para esse mesmo tema. A ênfase aos
115
conteúdos curriculares em matemática representa avanço em relação às demais
pesquisas constituindo tema relevante.
Outro aspecto, da formação de professores na perspectiva do currículo de
Matemática concentra-se em praticamente uma única instituição o que caracteriza o
desinteresse de outros grupos de pesquisa com esse tema.
Acreditamos, contudo que esta classificação ainda necessita maior profundidade
para entender o estado da arte nesta temática tendo em vista que não é esse o propósito
deste estudo.
Considerações finais
O campo dos estudos curriculares revela extensa produção acadêmica e
certamente influencia a produção específica. Acreditamos que a Educação Matemática,
seja o campo fértil desta produção tendo a vista sua interseção entre a Educação e a
Matemática.
A classificação que obtemos na análise das dissertações e teses são
demasiadamente descritoras e uma análise dos conteúdos possa revelar um outro estado
da arte desta temática, bem como, apontar novas categorias.
Bibliografia
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TORRES SANTOMÉ, J. O currículo oculto. Portugal, Porto Editora, 1995.
117
EIXO TEMÁTICO: E4 – FORMAÇÃO DE PROFESSORES
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA EM MATO GROSSO:
UMA HISTÓRIA
Bruna C. BOTH – Unesp – Rio Claro ([email protected])
Williane BARRETO – Unesp – Rio Claro ([email protected])
Ivete M. BARALDI - Unesp – Bauru ([email protected])
Resumo: O presente artigo é fruto de duas pesquisas de mestrado em andamento, na
Unesp de Rio Claro, Programa de Pós Graduação em Educação Matemática, que visam
mostrar uma versão histórica da formação de professores de Matemática em Cuiabá, nas
cercanias da criação do primeiro curso superior do estado, abordando entre as décadas
de 1960 a 1980, e no Médio Araguaia, desde a implantação do Projeto Inajá, na década
de 1980, até as Licenciaturas Plenas Parceladas em Matemática, que se fazem presente
na região ainda nos dias atuais. Valendo-se para isso da metodologia da História Oral,
comumente utilizada no Grupo de Pesquisa História Oral e Educação Matemática,
GHOEM, do qual participam. Os estudos abordados fazem parte de um projeto maior
do GHOEM, o de mapeamento da formação de professores de Matemática no Brasil.
Além dos depoimentos coletados, estão sendo utilizadas fontes escritas disponíveis, no
esforço de escrever uma versão histórica para o tema em questão. Nesta constituição
mesclam-se a história da UFMT, bem como do Projeto Inajá e das Licenciaturas Plenas
Parceladas, sendo que a primeira e a última se mantém até os presentes dias formando
professores nesta área. Como considerações para este, trazemos uma parte das análises
preliminares já elaboradas, que mostram cursos ofertados para a formação de
professores antes da implantação do primeiro curso superior na capital, bem como,
contribuições trazidas ao Médio Araguaia por meio dos Projetos Inajá e Parceladas.
Essas análises mostram que, muitas vezes, os professores (de matemática) possuem uma
formação marcada pela urgência e pela carência, como em outras partes do Brasil,
também mostrado por outros estudos.
Palavras-chave: Universidade Federal de Mato Grosso. Projeto Inajá. Projeto
Parceladas. História Oral.
118
Introdução
Nos dias atuais a formação de professores vem recebendo destaque nas
pesquisas acadêmicas, inclusive na Educação Matemática. Estes estudos permitem
reflexões a respeito da prática pedagógica e processo de ensino e aprendizagem, entre
outros assuntos.
Com relação a isso Gama (2009) nos alerta que para avançarmos na qualidade
no ensino e aprendizagem, faz-se necessário conhecer e repensar a formação dos
professores. Apoiando-se em tal ideia surgiram nossas pesquisas de mestrado,
atualmente em desenvolvimento, que visam formular uma versão histórica sobre a
formação de professores de Matemática em Cuiabá, capital do estado de Mato Grosso, e
no Médio Araguaia, região do mesmo estado.
O interesse em trabalhar com este tema decorre de nossa graduação, pois,
durante este período, começamos a ministrar aulas e, dessa forma, pudemos perceber
grande diferença nos processos de formação dos professores de Matemática,
principalmente quando se observam as metodologias empregadas em sala de aula por
educadores formados há mais tempo e os recém-formados.
Sendo assim, nossas experiências foram despertando curiosidades em relação
como se dava e como ocorre atualmente a formação dos docentes em Matemática, nos
conduzindo a esta temática e envolvendo-nos em um universo de possibilidades.
Paralelamente às nossas experiências pessoais, tivemos acesso a vários estudos e
pesquisas que enfocam o processo de formação de professores que ensinam Matemática,
apontando desafios e possibilidades, metodologias de ensino, práticas pedagógicas e
saberes docentes muito diferenciados, em diferentes partes do Brasil. Grande parte
dessas pesquisas faz parte do projeto de mapeamento sobre a formação de professores
de Matemática brasileiros, desenvolvido pelo Grupo de Pesquisa História Oral e
Educação Matemática, do qual somos membros.
Surge daí nosso interesse em estudar a formação de professores de Matemática
nas regiões destacadas, sendo que, ainda, existem pontos a serem conhecidos nesse
processo, permitindo uma nova visão sobre esta. Não se esgotam, no entanto, nestas
119
pesquisas, todas as possibilidades de compreensão dessa história, que sempre poderá ser
retomada, complementada, revista e reeditada por quem quer que se dedique a tomar
como tema a formação de professores no estado do Mato Grosso.
Metodologia
Para a concretização de nossas pesquisas nos valemos da metodologia da
História Oral, a qual não abarca apenas procedimentos, como também uma
fundamentação teórica que constantemente é revista e questionada.
Com o uso da História Oral nos apoiamos em depoimentos, produzidos por meio
de entrevistas, com os quais buscamos elaborar uma versão histórica para a formação de
professores de Matemática, nos locais já descritos, versão esta escrita na memória de
nossos colaboradores. A utilização desta metodologia não impede, no entanto, o uso de
outras fontes, pelo contrário, trabalhamos com o cotejamento entre fontes orais e
escritas.
No decorrer de nossas pesquisas entrevistamos profissionais que estiveram
envolvidos, direta ou indiretamente, com o tema, locais e períodos abordados.
Transcrevemos as gravações, ou seja, redigimos no papel exatamente o que foi dito no
decorrer da entrevista, e as textualizamos, momento no qual tornamos a transcrição um
texto mais homogêneo, livre de vícios de linguagem e repetições. Além das entrevistas
coletamos registros escritos, que também tem nos ajudado na compreensão de nosso
foco de estudo.
Conhecida a metodologia por nós adotada, cabe adentrar, mesmo que
ligeiramente, num histórico do ensino no estado estudado.
Um histórico do ensino em Mato Grosso
Visando situar nossas pesquisas, destacamos algumas características do estado
abordado: Mato Grosso possui grande dimensão territorial, 903.329,700 km2, dividido
em 141 municípios, com população aproximada de 3.035.122 habitantes e densidade
demográfica de 3,36 hab/km2. Sua capital, Cuiabá, possui 551.098 habitantes, com uma
extensão territorial de 3.362,755 km2 e densidade demográfica de 163,88 hab/km2
(Censo 2010).
120
Na Figura 1 abaixo, é possível uma visualização da localização do estado em
relação ao nosso país, bem como a da capital Cuiabá, local, também, de interesse de
nosso estudo, quanto sua disposição no estado.
Figura 1: Mapa do Brasil e do Mato Grosso
Fonte:<www.ibge.gov.br/cidadesat/link.php?uf=mt> Acesso em 25 set.13
A precariedade da educação e da formação de professores em Mato Grosso se
manteve por longo período, sendo decorrente de circunstâncias que marcaram a
trajetória do estado desde a criação da Capitania de Mato Grosso, em 1748, até a década
de 1980 (SILVA, 1997). Sendo que ainda no século XIX e início do século XX, a
educação era vista como desnecessária, pois a economia era fruto de trabalho
extremamente rudimentar. Citando palavras de Leite (1970 apud Silva, 1997, p. 114) a
“instrução na província, no período colonial e imperial, não foi além digamos da fase
inicial de preparação”.
Datam da década de 1870 as primeiras ideias de habilitação de professores, no
entanto, neste período ela tinha como finalidade levá-los a compreender o método que
deviam colocar em prática, pois sem instrução, apenas repetiam o que haviam
aprendido. Em 1874, por meio da Lei Provincial número 13, de 9 de julho, determina-se
a criação do Curso Normal na Província de Mato Grosso visando formação aos
professores do Primário. Em 1879, por meio da lei número 536 implantou-se o Liceu
Cuiabano, que passou a ofertar dois cursos, um Normal, que habilitava professores do
Primário, e um segundo Curso de Línguas e Ciências Preparatórias, que auxiliava aos
que buscavam seguir estudos a nível superior e conferia título de Bacharel em Ciências
121
e Letras, o que os permitia atuar como docentes em instituições de nível secundário
(GONZALES, 2011).
Mas, apesar disso, até a década de 1950, as diversas reformas ocorridas no
campo educacional aparecem como meros paliativos, sendo que, em 1961, ainda não
existiam, no estado, escolas superiores para a formação de professores.
Em 1963 é criado o Centro de Aperfeiçoamento e Treinamento do Magistério e
o primeiro curso de Supervisores, visando habilitar os leigos que, dedicados ao
magistério, atuavam como professores, sendo que estes totalizavam mais de 60% dos
docentes estaduais.
Em Cuiabá, os cursos superiores de formação de professores iniciam-se com a
criação do Instituto de Ciências e Letras de Cuiabá (ICLC), em 1966, ofertando os
cursos de Matemática, História Natural, Geografia e Letras, posteriormente oferecendo
também Química, Física e Pedagogia. Os docentes formados neste Instituto eram
considerados aptos a lecionarem no Segundo Grau, atual Ensino Médio.
Com a reforma universitária de 1968 formulou-se a lei n° 5540/68, que instituiu
os princípios para a organização e funcionamento do ensino superior, bem como sua
articulação com a escola média. Após a reforma universitária cria-se, em 10 de
dezembro de 1970, a Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT), que incorpora a
Faculdade de Direito de Cuiabá (considerado o primeiro estabelecimento de ensino
superior do estado) e o Instituto de Ciências e Letras de Cuiabá, levando consigo seus
professores.
A Universidade Federal, segundo Silva (1997), surge como resposta às
reivindicações populares por melhores oportunidades educacionais. Portanto é criada
em caráter de urgência, carente de um prévio e consistente planejamento, o que é
reforçado por Gianezini (2012, p. 5): “não havia tempo suficiente para discutir e
planejar o que era necessário fazer, motivo pelo qual esta fase ficou conhecida como
fase de fazejamento”.
A Universidade inicia seus primeiros cursos em 1971 e 1972: Direito, Economia,
Engenharia, Pedagogia, Letras, Geografia, História Natural, Matemática, Serviço
Social, Física, Química e Ciências Contábeis. Sendo até 1988 a única provedora de
Educação Superior no estado, desde então surgiram outras, especialmente no setor
122
privado. Em 2005, o setor público era representado por cinco instituições superiores, e o
privado por cinquenta e uma. No estado apenas as universidades públicas estão
credenciadas a ofertarem cursos de pós-graduação strictu sensu, a UFMT oferece
dezessete (dezesseis de mestrado e um de doutorado) e a Universidade do Estado de
Mato Grosso, UNEMAT, oferta dois cursos de mestrado.
Desde sua criação até os presentes dias, muitas mudanças ocorreram:
implantaram-se novos cursos, tanto de graduação quanto de pós-graduação; abriram-se
três novos campi: Rondonópolis (sul do estado), Médio Araguaia (leste), Sinop (norte).
A expansão qualitativa e quantitativa da UFMT faz dela a mais abrangente instituição
de ensino superior no Estado, atendendo a todas as regiões do mesmo, especialmente
por meio de polos de formação à distância. Tanto a criação dos campi, quanto o ensino
por meio da Educação Aberta e à Distância, EAD, são buscas de interiorização, de levar
formação superior aos diversos pontos do estado.
A modalidade EAD ela teve seu início no ano de 1992, visando formar
professores em serviço que não dispunham de formação em nível superior. O Núcleo de
Educação Aberta e à Distância, NEAD, iniciou sua atuação ofertando cursos de
Pedagogia. Após a verificação dos resultados positivos obtidos neste curso, passou a
oferecer, também, nas áreas de Administração e Ciências Naturais e Matemática.
Atualmente a UFMT, no sistema de modalidade à distância, oferece cursos de
graduação, pós-graduação lato sensu, de aperfeiçoamento e extensão (informações
retiradas do site: <www.ufmt.br>).
Baseado no acima descrito é possível perceber que a formação de professores de
Matemática sofreu transformações com o passar do tempo. Atualmente, tem-se a visão
de que a “construção” do professor é contínua, ocorrendo desde o início de sua
graduação, ou até mesmo antes disto e não terminando na colação de grau, mas,
perpetuando por toda sua vida docente. Como afirmado por Perez (2005, p. 261), “a
formação inicial não deve gerar produtos acabados, mas, sim, deve ser encarada como a
primeira fase de um longo processo de desenvolvimento profissional”. Assim,
entendemos a formação docente como algo contínuo, que não ocorre apenas por meio
das aulas da graduação (quando isso é possível), iniciando muito antes de seu ingresso
na universidade e não terminando em sua colação de grau, sendo fruto especialmente do
desejo de se formar educador e de seu desenvolvimento profissional.
123
No Médio Araguaia, uma região no interior de Mato Grosso, a formação, em
nível superior, não diferente da capital, fez-se necessária pelo intenso aumento da
população em curto período de tempo, devido à migração de pessoas de outros estados
em busca de terras baratas e com promessa, por vezes, de gratuidade das mesmas.
Decorrente disso, o número de escolas dos municípios desta região também sofreu
aumento considerável, faltando, assim, profissionais qualificados para atuarem nessas
escolas.
Percebendo a necessidade de fornecer formação aos professores, diversas
pessoas, entre elas autoridades influentes das cidades, resolveram se mobilizar e
trouxeram qualificação para os professores que atuavam até mesmo sem a formação em
nível médio. Segundo Camargo (1997)
A grande maioria dos professores era leiga, uma vez que
possuía, apenas, formação de 1º grau incompleta. Na
zona rural, a incidência era muito maior. Em geral, a
maioria dos professores leigos se concentrava nas escolas
municipais em decorrência do alto índice destas
instituições nas áreas rurais. (p. 19)
Como fruto dessa mobilização, foi planejado para a região o Projeto Inajá,
ofertado em duas etapas: Inajá I e Inajá II, com duração de três anos cada. Tal Projeto
foi desenvolvido em alguns municípios da região como Canarana, Porto Alegre do
Norte, Ribeirão Cascalheira, São Felix do Araguaia, Luciara e Santa Terezinha. Este
curso de caráter emergencial ocorreu durante os anos de 1987 a 1992.
Esse Projeto possuía perfil diferenciado, buscava trabalhar com os cursistas
temas dentro de suas próprias realidades, foi moldado de modo a atender pessoas da
zona rural, urbana e indígena da região, contou com mais de 100 alunos. Acontecia
durante as férias dos professores para que não prejudicasse o ano letivo. Trabalhava
com as diversas disciplinas do currículo educacional do segundo grau (atual ensino
médio), entre elas, portanto, a Matemática, que era enfocada de modo bastante lúdico e
palpável.
O Inajá recebeu contribuição da Universidade Estadual de Campinas, Unicamp,
a qual cedia professores para ir à região trabalhar com os alunos, sendo que cada etapa
era em um município. Tinha o apoio das prefeituras, da Secretaria de Educação
(SEDUC) e da Igreja Católica, que sempre disponibilizava espaço físico e até auxiliava
financeiramente quando os cursistas não tinham como se locomover até o polo em que
124
aconteceria a etapa. Em cada município ficava um monitor que, geralmente, era o
Secretário de Educação ou professor com Ensino Médio completo.
Ao término destes cursos, os professores possuíam formação em nível médio para
atuação em sala de aula. Dessa maneira, posteriormente, os profissionais sentiram
necessidade de obter uma formação superior, surgindo as Licenciaturas Parceladas,
ofertadas pela UNEMAT, que perduram até os dias de hoje. A principal intenção das
Licenciaturas Plenas Parceladas é atender aos professores em serviço, portanto, trata-se
de um projeto de formação em serviço e continuada.
O currículo dessas Licenciaturas abrange dois momentos: inicia com Formação
Fundamental, duração de um ano e meio e, em seguida, a Formação Específica, a qual
perdura em torno de dois anos e meio, voltada para as diversas áreas (História,
Geografia, Matemática, Português, ...).
São cursos exclusivos para professores que estão em sala de aula que não possuem
a formação específica, em curso superior, e que atuam há vários anos. Eles acontecem
durante as férias escolares, nos meses de janeiro, fevereiro e julho, por um período de
quatro anos.
Assim como o Inajá, as Parceladas também surgiram como emergencial, visando
sanar o problema de falta de capacitação adequada em alguns municípios
matogrossenses, no entanto, a carência se mantém e as Parceladas ainda estão na ativa,
mesmo após vinte anos de seu início.
Quando as Licenciaturas Plenas Parceladas iniciaram, a UNEMAT era uma
universidade nova e carente de recursos, mas contava com vários colaboradores de
outras universidades, tais como Unicamp já citada, Universidade Estadual Paulista
(Unesp), Universidade de São Paulo (USP), Universidade Federal de São Carlos
(UFSCar), UFMT, Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Universidade
Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) e Universidade Federal do Rio Grande do Sul
(UFRGS).
Cabe ressaltar que a UNEMAT não foi fundada com esse nome. Primeiro existia o
Instituto de Ensino Superior de Cáceres (IESC) que foi criado em 20 de julho de 1978,
vinculado a Secretaria Municipal de Educação, com base na Lei nº 703, Decreto
Municipal 190. Tendo sofrido várias alterações por meio de Leis e Decretos, até que 15
125
anos depois, com a Lei Complementar 30, de 15 de dezembro de1993, passou a
denominar-se Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT).
Já o Campus Universitário do Médio Araguaia, que será o foco principal da
pesquisa, Polo Luciara, foi criado como Núcleo Pedagógico pelo Decreto
Governamental nº 643 de 23/09/91 e transformou-se em Campus pela Lei nº 30 de
15/12/93.
Atualmente a UNEMAT, faz-se presente em mais de 100 municípios do estado,
atendendo acerca de 15 mil acadêmicos em 82 cursos regulares e modalidades
diferenciadas, portanto, na tentativa de atender a todo o Mato Grosso, apresenta-se com
estrutura multicampi, tendo sua Sede Administrativa no município de Cáceres. Na
Figura 2, destacamos as cidades atendidas pela UNEMAT.
Figura 2: Mapa de polos atendidos pela UNEMAT
Fonte: <www.unemat.br/prpti/anuario> Acesso em 05 out.13.
126
Considerações acerca da formação de professores de Matemática em Cuiabá e no
Médio Araguaia
Como dito anteriormente, o tema exposto trata de duas pesquisas de mestrado e,
diante dos resultados preliminares, já são possíveis algumas considerações sobre a
formação de professores nessas duas regiões abordadas.
Com relação a Cuiabá, percebemos que antes da implantação do primeiro curso
superior nesta cidade, datado de 1966, os professores de Matemática eram formados nas
Escolas Normais ou por meio da Campanha de Difusão e Aperfeiçoamento do Ensino
Secundário, CADES (Baraldi; Gaertner, 2013). Os docentes que possuíam nível
superior antes de 1969, quando se concluiu a primeira turma, haviam se formado fora do
estado de Mato Grosso. Assim, os professores de matemática atuantes nas escolas
básicas eram, em grande maioria, leigos ou profissionais formados em outras áreas que
não o magistério.
O curso superior em Matemática no ICLC era na modalidade Licenciatura Plena
que, mesmo após sua incorporação à UFMT, perdurou até o ano de 1974, sendo que em
1975 iniciaram-se as primeiras turmas de Licenciatura de Curta Duração em Ciências,
podendo o aluno se habilitar posteriormente em Matemática. Esta modalidade de
licenciatura se manteve na Universidade Federal até o ano de 1985. Em 1987 iniciaramse as turmas em Licenciatura Plena em Matemática.
Feitas as considerações com relação a Cuiabá, destacamos agora alguns pontos
de interesse na formação de professores de Matemática no Médio Araguaia. Antes da
implantação do Projeto Inajá, os professores atuantes, em sua maioria, não possuíam
sequer o Ensino Fundamental completo; com a vinda deste curso puderam receber uma
qualificação, mesmo que ainda em nível de Ensino Médio, como um Magistério, mais
adequada aos anos em que atuavam.
Após o contato com os professores do Inajá, especialmente os vindos da
Unicamp, e com os novos conhecimentos adquiridos, os alunos formados neste projeto
sentiram a necessidade de prosseguir em seus estudos, ao que clamaram e receberam o
Projeto das Parceladas, com o qual puderam ter acesso a um curso superior em
Matemática na região, que iniciou em 1992. Nas Parceladas buscou-se manter a mesma
metodologia já adotada no Projeto Inajá.
127
Concluindo
A partir dos dados expostos acima, é possível perceber que a formação docente
em Mato Grosso foi um processo tardio, recebendo atenção e sendo, de fato, constituído
apenas quando a situação começava a mostrar-se insustentável.
A Universidade Federal de Mato Grosso foi criada após muitas reivindicações
populares, tendo o início de suas atividades ainda em meio a canteiros de obras, sem
tempo para um planejamento prévio.
No Médio Araguaia a situação não foi diferente, a carência por profissionais
formados na educação fez com que o Projeto Inajá chegasse àquela região e,
posteriormente, a falta de formação em nível superior, sentida por parte destes
profissionais, instigou o Projeto de Licenciaturas Plenas Parceladas, da UNEMAT.
Atualmente o ensino superior no estado está mais difundido, permitindo que se
atendam diferentes lugares, no entanto, ainda faltam, em muitos locais, profissionais da
educação formados para as áreas específicas nas quais atuam.
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129
A TRAJETÓRIA DE VIDA ESCOLAR DO PROFESSOR E POSSÍVEIS
IMPLICAÇÕES EM SUA PRÁTICA PEDAGÓGICA
Valdir AMÂNCIO SILVA - UNIBAN – SP ([email protected])
Angélica GARCIA E SILVA – UNIBAN – SP ([email protected])
Resumo: O presente trabalho é parte de um estudo realizado num processo formativo
com professores da rede pública estadual de São Paulo finalizado no ano de 2012. A
investigação procurou responder se professores inseridos em um processo formativo
(re) construiriam concepções acerca de pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais
de Vergnaud, especificamente sobre o Campo Aditivo. Foram considerados também
estudos como os de Tardif e a trajetória escolar do professor. A parte apresentada nesse
artigo trata especificamente da relação do professor com a matemática acerca de
situações-problema do Campo Aditivo. A pesquisa mostrou que além de mudar suas
concepções acerca do Campo Aditivo o professor modificou sua forma de se relacionar
com a matemática.
Palavras-chave: Processo formativo, Campo Aditivo, Trajetória de vida escolar.
130
Introdução
Como se sabe o professor que atua nos anos iniciais da Educação Básica é um
polivalente, isto é, ministra aulas de várias áreas do conhecimento.
Portanto, pode-se dizer que esse profissional não é um especialista na área da
matemática. Os conhecimentos acerca dos conceitos matemáticos que ele faz uso para
ministrar as aulas podem ser aqueles adquiridos ao longo de sua trajetória escolar
(TARDIF – 2000).
A didática para articular a abordagem de conceitos matemáticos junto a seus
alunos é apresentada, nos dias de hoje, nos cursos de graduação em pedagogia. A grade
curricular desses cursos não oferece muitos subsídios ao futuro professor. Pesquisas
como as de Gatti e Nunes (2009), por exemplo, que investigou as propostas
disciplinares e os respectivos conteúdos oferecidos pelas instituições de ensino superior
dos cursos presenciais das licenciaturas em Pedagogia brasileiros observaram que
“dentre as universidades públicas analisadas, nenhuma destinava disciplina para os
conteúdos substantivos de cada área, nem mesmo para Língua Portuguesa e
Matemática” (GATTI e NUNES, 2009, p.33).
Conhecer com certa profundidade o objeto de estudo a ser ensinado, estar
preparado para articular situações que favoreceram a aprendizagem e atuar em
consonância com as propostas curriculares (SHULMAN -1987), são ações que podem
contribuir com o ensino e a aprendizagem de conceitos matemáticos.
No estado de São Paulo existem mais de duzentos mil professores sendo que
uma parte atua do sexto ao nono ano do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, e
outra parte, atua nos anos iniciais, ou seja, do primeiro ao quinto ano do Ensino
Fundamental.
Nos últimos anos materiais tais como Ler e Escrever (Orientações Curriculares),
que propunha atividades de alfabetização e matemática no mesmo volume, Jornada da
Matemática, cujo objetivo era promover uma competição de matemática entre as escolas
estaduais e o EMAI (Educação Matemática nos Anos Iniciais), cuja proposta é rever,
com a participação do professor, as questões curriculares do ensino e aprendizagem da
matemática nesse seguimento foram planejados e aplicados na rede. O EMAI tornou-se
131
um programa de formação continuada que é oferecido ao professor da rede estadual de
São Paulo, com encontros semanais.
No âmbito federal existe também o Projeto Observatório da Educação– que
desenvolve pesquisa e formação, financiado pela CAPES. Tal Projeto é desenvolvido
em uma diretoria de ensino da rede estadual paulista. Nele são promovidos encontros
quinzenais com professores e pesquisadores que atuam nos primeiros anos da Educação
Básica para discutir, debater os processos de ensino e aprendizagem de conceitos
matemáticos.
No entanto, apesar desses esforços, os órgãos competentes pela criação e
aplicação de políticas públicas acerca da formação continuada de matemática nos anos
iniciais compreende que o melhor caminho para tentar atingir toda a rede é a do modelo
formativo formador/professor/multiplicador, isto é, um grupo recebe uma formação na
fonte e leva essa formação para um grupo maior e sucessivamente. Estudos como o de
Aguerrondo (2000) apontam para uma possível ineficácia nesse procedimento.
Esse artigo procura mostrar a importância da prática de formações continuadas,
sobretudo aquelas na qual o professor torna-se, realmente, agente da construção de
novos olhares para o ensino e a aprendizagem da matemática. Essa participação do
professor é mostrada numa investigação realizada com três professoras da rede estadual
de ensino que atuavam nos iniciais da educação básica desenvolvida por Amâncio
(2012).
Para essa comunicação apresentamos parte desse estudo. Os professores
elaboraram problemas envolvendo situações do Campo Aditivo à luz da Teoria dos
Campos Conceituais de Vergnaud (1990), no inicio do processo formativo. Nove meses
após o encerramento das sessões entrevistamos os sujeitos de pesquisa. Com a
entrevista procuramos perceber se o processo formativo promoveu mudanças nas
concepções do objeto de estudo em questão e de atitudes pedagógicas adquiridas
durante sua trajetória escolar.
132
Fundamentação Teórica
A análise apresentada neste estudo tem como fundamento a Teoria dos Campos
Conceituais. Sobre essa temática, Vergnaud (1990) considera que os estudantes
desenvolvem suas competências ao longo do tempo por meio de experiências
cotidianas. Afirma também que o Campo Conceitual se forma pela terna (S, I, R):

S- O conjunto de situações que tornam o conceito significativo;

I- O conjunto de invariantes que podem ser reconhecidos e utilizados
pelos estudantes para dominar as situações;

R- O conjunto das representações simbólicas que podem ser utilizadas
para representar os invariantes e as situações.
Dentre os Campos Conceituais Vergnaud (1990 - 2010) define o Campo
Conceitual Aditivo como composto pelas seis relações descritas a seguir. O autor afirma
ainda que elas permitem relacionar as diferentes situações da adição e subtração. Chama
a atenção ainda para o fato de que tais relações “podem ser combinadas para dar origem
a um número quase infinito de casos diferentes” (2010, notas do autor)
Em nosso estudo nos atemos somente às relações 1,2 e 3, ou seja, Composição,
Transformação e Composição.
133
Sobre os conhecimentos formalizados do professor
O conhecimento formalizado é oferecido para os professores nas universidades.
Tais conhecimentos são transmitidos de forma disciplinar não promovendo um
intercâmbio entre as disciplinas e a prática.
Para Tardif o professor é, talvez, o único profissional que vive no ambiente de
trabalho que vai promover sua própria formação, ou seja, desde criança esteve dentro da
escola e mais tarde retorna para lecionar. O autor afirma que esse movimento propicia a
criação dos saberes temporais:
Em primeiro lugar, uma boa parte do que os professores
sabem sobre o ensino, sobre os papéis do professor e sobre
como ensinar provém de sua própria história de vida, [...]
Os professores são trabalhadores que foram mergulhados
em seu espaço de trabalho Durante aproximadamente 16
anos (em torno de 15 mil horas), [...] Essa imersão se
manifesta através de toda uma bagagem de conhecimentos
anteriores, de crenças, de representações e de certezas
sobre a prática docente. ( Tardif, 2000, p.13).
Tardif diz ainda que além desses saberes (temporais) os professores adquirem os
saberes institucionais, isto é, aqueles ministrados durante sua formação inicial. Desta
forma, Tardif caracteriza os saberes dos professores como sendo plurais e heterogêneos
(Tardif, 2000, p. 14).
Para nosso estudo precisamos considerar, portanto, os saberes temporais dos
professores durante a realização das discussões nas sessões da formação, pois de acordo
com suas falas, parece, ainda, muito presente em suas práticas pedagógicas.
Metodologia
Em nossa pesquisa procuramos entender como os professores dos anos iniciais
do Ensino Fundamental, que participaram de um programa de formação continuada, (re)
construíam suas práticas pedagógicas, no âmbito do Campo Conceitual Aditivo. Para
esse artigo focamos os dados que estariam mostrando a relação do professor com o
objeto matemático, desde sua trajetória escolar até o momento atual de atuação.
134
Fundamentamos nossa investigação, metodologicamente, nos estudos de Bodgan
e Biklen (1994) que descrevem cinco características de uma pesquisa qualitativa:
1. “Na investigação qualitativa a fonte directa de dados é o
ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento
principal”;
2. “A investigação qualitativa é descritiva. [...] A palavra escrita
assume particular importância na abordagem qualitativa, tanto
para o registro dos dados como para a disseminação dos
resultados”;
3. “Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo
processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos.
[...] Este tipo de estudo foca-se no modo como as definições (as
definições que os professores têm dos alunos, as definições que
os alunos têm de si próprios e dos outros) se formam”;
4. “Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus
dados de forma indutiva”;
5. “O significado é de importância vital na abordagem
qualitativa. [...] Os investigadores qualitativos estabelecem
estratégias e procedimentos que lhes permitam tomar em
consideração as experiências do ponto de vista do informador”
(BODGAN E BIKLEN, 1994, p. 47-50).
A quinta característica foi à escolhida para a fundamentação de nossa análise
nesse artigo devido ao fato de buscar nas experiências do sujeito de pesquisa
informações que pudessem ajudar a responder a questão da importância de, num
processo formativo, o professor atuar como um construtor de saberes a partir de suas
vivências.
A tabela abaixo mostra como foi realizada a coleta de dados de nossa
investigação.
135
Momentos da formação
1.º momento
Conhecimentos do professor sobre
o Campo Aditivo e sua atuação
pedagógica relacionada a esse
conceito antes dos encontros de
formação.
3º momento
2.º momento
Durante o processo formativo
Conhecimento do professor sobre o
Campo Aditivo e sua atuação
pedagógica relacionada a esse
conceito depois dos encontros de
formação.
Finalidade

Perceber a relação do professor
com a matemática, seus
conhecimentos acerca do Campo
Aditivo e como atuava quando
ensinava os conceitos matemáticos
sobre adição e subtração.

Verificar o conhecimento dos
professores sobre o Campo Aditivo,
objeto de estudo no início da
participação do processo de
formação continuada.

Verificar o conhecimento dos
professores sobre o Campo Aditivo,
objeto de estudo durante o
programa de formação continuada.

Perceber se, e como, o professor
reflete sobre as estratégias
utilizadas pelos alunos para
resolver situações-problema.

Verificar se, e como, após o período
de formação o professor (re)
construiu seus conhecimentos
acerca do campo aditivo.
Fonte: AMÂNCIO SILVA, 2012. p. 34
Consideramos, para esse artigo, os dados coletados no primeiro item do1º
momento e o 3º momento.
Apresentação e análise dos dados
Três sujeitos de pesquisa participaram da investigação que ocorreu durante
aquele processo formativo (Observatório da Educação), denominados Professor A,
Professor B e Professor C.
136
Com esses dados procuramos perceber a relação do professor com a matemática,
seus conhecimentos acerca do Campo Aditivo e como atuava quando ensinava os
conceitos matemáticos sobre adição e subtração. Entendemos que a análise desses dados
poderiam nos ajudar a descrever a relação do professor com o objeto matemático na sua
trajetória escolar por meio de seu depoimento.
No questionário de entrada da investigação na dissertação os professores falaram
um pouco de suas experiências com a matemática. Para os Professores A e B a
formação inicial não contribuiu com a questão profissional. De acordo com o Professor
A, tal aprendizado era “sujeitado as expectativas do professor, que não permitia
momentos de assimilação dos conceitos matemáticos estudados”. O Professor C
afirmou que não tinha problemas com o aprendizado da matemática, no entanto, alegou
que as aulas eram muito tradicionais.
Analisando os depoimentos das três professoras observamos que há indícios de
que esses profissionais vivenciaram experiências metodológicas bastante próximas
daquela que Fiorentini (1995)6 denomina de tecnicista. No geral, observamos que as
vivências relatadas parecem não ser tão significativas no sentido de contribuir para que
essas profissionais produzissem conhecimentos sobre sua prática.
Estudos como os de Garcia Silva (2007, p.238), por exemplo, mostraram que
muitos professores, desse segmento de ensino, alegaram não ter tido experiências
positivas relacionadas à matemática na formação inicial.
Analisando tais resultados e considerando os estudos de Tardif (2000)
acreditamos que tal fato pode não atender as expectativas esperadas de um curso de
formação profissional, já que, segundo o autor, é esse o momento que permite ao
educador construir representações e certezas sobre a prática docente. E num processo
formativo pode favorecer a construção de novos saberes por parte do docente.
Portanto, consideramos a possibilidade de que a relação com a matemática, de
nossos sujeitos de pesquisa, fora muito influenciada pelas atuações de seus professores
dessa disciplina durante seu período de formação inicial, todavia, outras experiências
positivas (ou negativas) podem também ter influenciado a prática destes profissionais.
6
Fiorentini (1995) descreve alguns modos de ver e conceber o ensino de matemática
no Brasil produzido historicamente.
137
Durante as sessões de formação no Observatório da Educação os Professores A,
Be C, tiveram contato com situações-problema do Campo Aditivo. Ora elaborando
problemas, ora discutindo a classificação (composição, comparação ou transformação),
ora analisando estratégias utilizadas pelos alunos.
Depois de nove meses do encerramento das sessões de formação procuramos
investigar se as concepções dos Professores A, B e C modificaram e se foram inseridas
em suas práticas pedagógicas, descrevendo, desta forma, uma nova relação com a
matemática em sua trajetória profissional (que teve seu início ainda quando era
estudante. Tardif -2000).
A investigação desse momento foi realizada por meio de uma entrevista
semiestruturada, na qual apresentamos três situações-problema do Campo Aditivo para
que os professores analisassem e refletissem. Na pesquisa da dissertação solicitamos
que interpretassem as estratégias dos alunos, no entanto, para esse artigo vamos focar
somente os depoimentos dos sujeitos acerca de suas mudanças conceptuais.
As situações-problema tomadas como base para as reflexões dos Professores A,
B e C foram as seguintes:
Fonte: AMÂNCIO SILVA, 2012. p. 133
138
Fonte: AMÂNCIO SILVA, 2012. p. 133
Fonte: AMÂNCIO SILVA, 2012. p. 134
Com essas situações problemas esperávamos que os sujeitos percebessem a
presença de pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais, tais como, o uso do
cálculo mental como estratégia de resolução, a influência da palavra ganhou e a
utilização de representações iconográficas. Vale lembrar que segundo Vergnaud (2009)
uma situação-problema pode ser resolvida considerando-se diferentes conceitos e
significados.
Os depoimentos dos sujeitos acerca de suas vivências no processo formativo
foram os seguintes:
Depois do curso ampliou minha visão pedagógica, antes eu olhava com olhar de
professor, mas não tão detalhada, faltava conhecimento matemático mesmo, [...] hoje
eu tenho uma bagagem maior de conhecimento do que no ano passado. [...]
(PROFESSORA A)
139
[...] era aquela professora que subjugava os alunos, não tinha essa visão ampla de que
uma criança consegue fazer uma soma com números maiores, não sabendo
quantidades, principalmente quando eles trabalhavam com dinheiro, então, eu observei
minha fala...eu parei e mudei minha didática, mudei meu método, a minha fala ficou
diferente, as crianças ficaram mais críticas, elas começaram a observar mais.[...]
(PROFESSORA B)
Era aquela tradicional... a mãe foi na feira comprou tanto, quanto ela gastou? É... o
amigo foi numa festa tinham tantos doces ....partiu. Então muito tradicional. Muito fora
da realidade deles. [...] Não queria saber o que o aluno já sabe, não...era o problema
pronto e acabou.[...] (PROFESSORA C)
Com relação às reflexões acerca das estratégias dos alunos os sujeitos disseram
o seguinte:
Para a situação-problema do aluno A:
Na verdade ele fez uma soma, mas primeiro ele contou quanto tinha do 17 ao 25 aí ele
usou o cálculo da adição e ai fez a adição pra mostrar que chegava ao 25, né! [...] Ele
fez o cálculo mental, né! [...] É! De qualquer maneira ele usou o cálculo mental e a
sentença pra justificar, no entanto pode não ter encontrado a resposta no meio da
sentença. (PROFESSORA A)
[...] Ele usou como eu fiz com a primeira série...ele usou o valor do quadradinho...ó!
17 mais o valor do quadradinho é igual a 25 [...] Ele fez 17, somou 8, pra chegar no 25.
Ele fez 17 e depois fez contagem até chegar no 25. (PROFESSORA B)
É. na realidade a sentença...ah!...eu entendo que ele consegue...visualizar isso aqui e
depois passa para conta armada depois volta pra isso aqui. (PROFESSORA C)
Para a situação-problema do aluno B:
Eu acho que ele entendeu que esse 25 aqui ia ter que somar com o que ele já tinha. Ele fez
140
uma interpretação pessoal que não entendeu, né! [...] Ficou né? Ficou com 25.
Ganhou 17 ficou ...ele pode ter entendido sim, ficou com mais 25.(PROFESSORA A).
Aqui não ( olhando para a estratégia do aluno B), aqui ele já não soube interpretar. Ele
somou...pegou 17 e somou com o 25. [...] Nesse caso aqui é uma criança viciada naquele
problema que a professora dá dois números e soma esses dois números. Ele não chega a
nem ler o problema! [...] Sabe aquela coisa fechada? Aquele onde aparece a palavra
ganhou, perdeu, então, eu evitava usar essas palavras. Então ele usou só a palavra chave
aqui ó! Então ele ganhou 17 ficou com 25, aí ele somou. Aqui é uma aula tradicional,
criança viciada já! (PROFESSORA B)
Então, o que ele fez...ele vai só no cálculo, ou ele visualizou os dados, e pensou. Na
verdade ele não entendeu o que perguntou. [...] Ganhou...esse ganhou aqui ó! Porquê é o
que eles fazem “ganhou” aí...soma. (PROFESSORA C)
Para a situação-problema do aluno C:
Ele foi agrupando e esse aqui (os riscos cortados) ele tirou? [...] Ele somou né? Ou ele
usou os agrupamentos e fez o cálculo mental também, né? [...] E aí ele foi agrupando e
fez um subtração do que...ele achou que formou os oito, né? (PROFESSORA A)
Esse aqui já passou por todas as etapas..aqui o que o aluno fez é maravilhoso, aí pe
cálculo mental! No caso o professor teria que estar perguntando como ele chegou nesse
resultado? [...] O que tá na cabeça da criança? Aí eles são teimosos, mas provavelmente
ele fez contagem também. Foi na contagem, foi cálculo mental. Aí ele contaria pra
professora nos dedos, dependendo da série poderia até montar uma conta, mas
geralmente, o aluno quando chega nessa etapa aqui dificilmente gosta de fazer
desenhos..ele já que logo o resultado, ele não quer fazer mais. Então daqui ó...do aluno A
quando você trabalha os ivariantes, os números que estão faltando , o antigo valor do
quadradinho, você consegue chegar aqui ó (mostrando a estratégia do aluno A até a do
aluno C). (PROFESSORA B)
Então, aqui ele ainda ta no concreto...ele ainda precisa...ele não entendeu que posso fazer
agrupamento de 10 em 10, de 5 em 5, de 3. [...] Ele ta no concreto, pra ele passar pra
141
realmente a conta. Mentalmente ele entendeu! Ele tem interpretação! Falta sistematizar
agora! [...] colocou a quantidade...tirou...e sobrou alguma coisa. (PROFESSORA C)
Percebemos de acordo com o exposto pelos professores A, B e C que com
relação aos conceitos sobre o Campo Aditivo suas concepções se modificaram. E no que
diz respeito à relação com a matemática, conforme seus depoimentos, também sofreu
alteração, é possível perceber em suas declarações que o contato com essa disciplina
pode ser diferente pra quem aprende. No sentido de professor que vai ensinar, nota-se
em suas declarações que ocorreu uma mudança na forma de trabalhar conceitos
matemáticos com seus alunos.
Considerações Finais
É bem verdade que para investigar a importância de uma formação continuada
propiciar aos professores a oportunidade de uma aproximação com o conhecimento
matemático de forma mais construtiva, e verificar a influência dessa construção pessoal
no ensino e na aprendizagem dessa disciplina seria necessário um estudo muito mais
amplo.
Contudo, o caminho existe. Considerar a trajetória escolar do professor, lembrar
que ele é um profissional inserido num campo de trabalho do qual viveu (e vive) por
muito tempo pode leva-lo a abordar conceitos matemáticos de forma a refletir sobre os
mesmos por conta própria.
Referências
AMANCIO SILVA, Valdir. Conhecimento profissional docente sobre o campo
conceitual aditivo: uma investigação em um processo formativo. 2012. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Bandeirante de São Paulo, São
Paulo.
AGUERRONDO I. Los desafios de la política educativa relativos a las reformas de la
formación docente. In: Programa de formación de la reforma educativa en América
142
Latina y Caribe. Maestro en América Latina: nuevas perspectivas sobre su formación y
desmpeño. Santiago de Chile: Preal; Ed. San Marino, 2004.
BODGAN, R. C; BIKLEN, S. K. Investigação qualitativa em educação matemática.
Lisboa: Porto Editora, LTDA, 1994.
FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil.
Zetetike, Campinas, n. 4, 3. 1995, p. 1-37.
GATTI, Bernardete A.; NUNES, Marina MR. Formação de professores para o ensino
fundamental: estudo de currículos das licenciaturas em pedagogia, língua portuguesa,
matemática e ciência s biológicas. São Paulo: FCC/DPE, v. 29, 2009.
SHULMAN, L. Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational
Researcher, American Educational Research Association, p. 1-24, 1986
TARDIF, M. Saberes profissionais dos professores e conhecimentos universitários. In:
REVISTA BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO. Jan/fev/mar/abr, 2000, n. 13 ANPED –
Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação.
VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da
matemática na escola elementar. Tradução de Maria Lúcia Faria Moro. Revisão técnica
de Maria Teresa Carneiro Soares. Curitiba: Ed. da UFPR, 2009.
143
PRÁTICAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA FORMAÇÃO INICIAL:
UM ESTUDO INSPIRADO NO RALI MATEMÁTICO
Ana Paula JAHN – IME/USP – SP ([email protected])
Maria Cristina BONOMI – IME/USP – SP ([email protected])
Resumo: O presente trabalho é parte de um projeto maior que se insere na problemática
da formação de professores de Matemática para um ensino dinâmico e que valoriza a
participação do aluno. Por meio de parceria Universidade-Escola, buscou-se oportunizar
ações de formação docente para estudantes de Licenciatura em Matemática,
aproximando-os da realidade escolar da Educação Básica. Numa perspectiva
metodológica de desenvolvimento colaborativo entre pesquisadores e licenciandos,
procurou-se conduzir um processo de comunicação no qual o significado construído
leva a uma ação, ou ainda, a reflexão sobre a ação conduz à construção de novos
significados. Neste texto são descritos resultados de um subprojeto do referido projeto,
com o objetivo de estabelecer um ambiente propício à prática de resolução de
problemas na escola, visando a produção de conhecimento pelos licenciandos, com
ênfase na investigação e autonomia. O foco do estudo foi na implementação, por três
licenciandas de uma universidade estadual paulista, de atividades de resolução de
problemas com duas turmas de primeiro ano do Ensino Médio. Tais atividades, bem
como as ações de intervenção, foram inspiradas nos princípios da competição
internacional denominada Rali Matemático de forma a propiciar um contexto no qual as
licenciandas teriam oportunidade de observar a evolução das competências dos alunos,
tanto do ponto de vista dos conceitos matemáticos, procedimentos e atitudes como dos
aspectos transversais subjacentes, em particular as capacidades de leitura, escrita,
argumentação e comunicação. Os resultados mostram que tais vivências propiciaram às
licenciandas a compreensão de elementos específicos dos processos de aprendizagem
dos alunos e do papel do professor em atividades de resolução de problemas, fortemente
relacionados ao contexto do Rali. A análise dos relatórios das licenciandas trazem
evidências de evolução de seus conhecimentos sobre resolução de problemas e a
valorização desse tipo de prática pedagógica.
Palavras-chave: Formação de professores, Resolução de problemas, Rali Matemático.
144
Introdução
Inúmeras pesquisas na área da Educação Matemática, tanto no Brasil como no
mundo, mostram a necessidade de se adequar o trabalho escolar a novas tendências que
levem a melhores formas de ensinar, aprender e avaliar o progresso dos alunos e de
aprimorar o trabalho dos professores. Desde a década de 80, nos Estados Unidos, havia
entre os educadores matemáticos um interesse crescente em fazer da Resolução de
Problemas (RP) o foco do currículo de Matemática. O National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM) manifestava sua preocupação com essa questão e elaborou uma
série de recomendações para avanço da Matemática escolar naquela década. A primeira
dessas recomendações era: resolver problemas deve ser o foco da Matemática escolar
para os anos 80 (NCTM, 1980).
No Brasil, seguindo algumas recomendações dos Standards do NCTM, os
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCN) também apontam o
desenvolvimento da capacidade de resolver, explorar, generalizar e propor novos
problemas, como um dos propósitos principais do ensino de Matemática. Nesses
parâmetros, a RP é tida como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem.
De fato, um dos princípios fundamentais apontados é a situação-problema como ponto
de partida da atividade matemática e não a definição. Com isso, a RP não deve ser uma
atividade desenvolvida em paralelo ou somente como aplicação da aprendizagem, mas
sim uma orientação para a aprendizagem (BRASIL, 1998, p. 40-41), uma vez que
proporciona um contexto para aprender conceitos, procedimentos e atitudes
matemáticas.
Em orientações curriculares atuais, a RP tem sido recomendada não apenas
como um simples método, mas como uma concepção de educação propriamente dita, ou
seja, ela deve oferecer aos alunos a possibilidade de construir conhecimento a partir e
através de problemas, e de vivenciar situações de aprendizagem por meio de um
trabalho autônomo, criativo e significativo (ONUCHIC e ALLEVATO, 2009).
Cabe observar que a atual proposta curricular do Estado de São Paulo
recomenda fortemente a RP em sala de aula e diversos programas da Secretaria Estadual
de Educação do Estado de São Paulo (SEE/SP), no que se refere à disciplina
145
Matemática, têm sido claramente orientados para um trabalho em resolução de
problemas.
Desta forma, os problemas deveriam ser o ponto central do ensino de
Matemática e, no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, conteúdos, ideias e
métodos matemáticos deveriam ser abordados mediante a exploração de problemas.
Mas, ensinar os alunos a resolver problemas significa ensiná-los a pensar, tarefa nada
fácil, principalmente para um professor iniciante.
Em dois estudos realizados com a metodologia de ensino por meio da RP, Zuffi
(2008) constatou que existia ainda um desconhecimento inicial dos princípios
norteadores dessa metodologia por parte dos professores participantes da pesquisa. Por
outro lado, ao longo do projeto, houve um aumento do interesse desses professores pela
mesma e também aprendizagens quanto a conhecimentos didáticos dos conteúdos
matemáticos envolvidos nessas atividades. Por estas razões, a autora defende que tal
metodologia é viável para a escola pública, quer seja em atividades de oficinas
complementares, quer na sala de aula usual de Matemática, chamando a atenção de que
deve ser incorporada em processos de formação inicial e/ou continuada de professores,
a fim de acompanhá-los em suas primeiras experiências com essa metodologia.
De modo geral, no contexto da formação de professores de Matemática para a
Educação Básica, busca-se destacar o ensinar e o aprender em Matemática, valorizando
ações que possibilitam a construção de conhecimentos, tanto no que se refere à cultura
matemática, quanto à cultura escolar e, especificamente, aos modos de ensinar essa
disciplina. A RP pode constituir um desses modos, devendo ser discutida e vivenciada
pelos licenciandos, em particular no que se refere ao trabalho do professor para a
condução deste processo junto aos alunos, bem como para as formas de avaliação da
aprendizagem nesse tipo de atividade matemática.
Como afirmam Viseu e Ponte (2009), não é fácil para os futuros professores
realizarem desde logo um ensino desafiante e dinâmico, pois esse tipo de ensino
reveste-se de grande incerteza e complexidade. Num ensino dinâmico – como aquele
pautado na RP – que valoriza a participação dos alunos, não apenas a aprendizagem é
mais difícil de ser observada, como também não é fácil prever tudo o que pode
acontecer numa aula.
146
Concordando com esses autores, entende-se que o conhecimento didático
desempenha um papel essencial na prática docente e, embora alguns aspectos teóricos
desse conhecimento possam ser tratados em disciplinas universitárias, é na prática – e
na reflexão sobre ela – que os futuros professores têm oportunidade de reformulá-los e
sistematizá-los. Com isso, é necessário promover ações, tanto no espaço da sala de aula
do curso de formação inicial, como fora dela, visando promover experiências práticas e
ambiente favorável à reflexão sobre tais ações. Nesse sentido, os projetos desenvolvidos
nos cursos de formação inicial que estabelecem parcerias com escolas públicas de
Educação Básica são fundamentais, constituindo meios para a articulação entre o que se
aprende e o que se ensina. Um subprojeto no âmbito de uma parceria dessa natureza foi
desenvolvido com licenciandos em Matemática de uma universidade pública do estado
de São Paulo, num contexto inspirado na competição internacional denominada Rali
Matemático, que é descrita a seguir.
1.
Rali Matemático Transalpino
O Rali Matemático Transalpino (RMT), segundo seus idealizadores, é uma
competição entre classes de 8 a 15 anos – do terceiro ano do Ensino Fundamental à
segunda série do Ensino Médio – no âmbito da resolução de problemas de Matemática,
e que se desenvolve em diversos países. Teve início em três países da região dos Alpes
europeus – Suíça, França e Itália – o que justifica sua denominação. O RMT está na sua
22ª edição e ao longo dos anos, outros países passaram a participar, dentre eles Argélia,
Argentina, Bélgica e Luxemburgo (mais detalhes em http://www.armtint.org/).
A organização do Rali é responsabilidade da Associação Rali Matemático
Transalpino (ARMT), uma associação sem fins lucrativos, cujo estatuto garante
promover a resolução de problemas para melhoria do ensino e da aprendizagem de
Matemática por meio de uma competição entre classes. A noção de problema é,
portanto, de fundamental importância, completamente diferente daquela de exercício de
fixação ou aplicação. No contexto do Rali, um problema é uma situação para a qual não
se dispõe de uma solução imediata, mas que exige a elaboração de estratégias,
eventualmente, a modelagem da própria situação. Tentativas, conjecturas, verificações,
justificativas são passos que, em geral, precisam ser realizados a fim de se resolver um
147
problema desse tipo. Um problema do RMT precisa ser original, estimulante e
desafiador para os alunos.
Uma característica importante do RMT é o da competição entre classes. Não se
busca revelar talentos individuais, trata-se de desenvolver a cooperação entre todos os
alunos de uma turma a fim de que a produção do grupo todo seja a melhor possível. A
participação no RMT é uma decisão conjunta da classe com o professor, após a fase
treino: ou a classe participa ou não, não cabem decisões individuais ou, por exemplo,
apenas do professor. A organização da classe, inclusive, para a resolução de uma prova
do RMT, é de responsabilidade dos próprios alunos. Assim, a proposta é a de um
trabalho colaborativo para o qual todos – e cada um dos alunos da classe – precisam
estar envolvidos e compromissados.
A competição envolve classes de diferentes escolas de diferentes países. Esse
caráter internacional da proposta torna o Rali muito estimulante tanto para os alunos
como para os professores envolvidos. O sentimento de pertencimento a um determinado
grupo nos diferentes níveis é muito interessante e merece um olhar especial dos
educadores. A participação de uma turma no RMT aproxima-se da situação de produção
de conhecimento científico para o que muitos são os responsáveis, sem a ilusão de que o
conhecimento é fruto do trabalho de um indivíduo, alheio e sem considerar os esforços
de outros.
Nesse sentido, o RMT pretende promover o desenvolvimento da autonomia e
proporcionar aos alunos a possibilidade de trabalhar com a resolução de problemas,
aprendendo a discutir soluções, a respeitar as regras do debate científico, a desenvolver
a capacidade de trabalho em grupo, entre outras habilidades, tão importantes e
essenciais nos dias de hoje.
1.1 Operacionalização e funcionamento do Rali
Em cada escola participante do Rali, a competição acontece em etapas, que
compreendem a prova treino, a prova I, a prova II e a grande final.
Para a fase treino, o professor pode escolher os problemas – no banco de
problemas disponível no site do RMT – analisá-los com os alunos e direcionar a
aplicação de acordo com as regras do Rali. Após essa fase, a decisão de participação –
148
ou não – é tomada. Para as turmas que decidem participar, as provas I, II e a grande
final, de acordo com as normas do Rali, são aplicadas por outros professores que não os
professores de Matemática das turmas, ou seja, os professores devem combinar com
colegas para que façam a aplicação das provas, sem qualquer tipo de interferência, a não
ser a gestão do tempo, a distribuição e recolhimento das provas. A grande final ocorre
apenas com as turmas melhor classificadas nas etapas I e II.
Em todas as etapas, com exceção da etapa de treino, as provas compreendem 5 a
7 problemas (dependendo da categoria) com 50 minutos de duração. Toda a turma deve
produzir uma única resposta coletiva para cada problema, com justificativa ou descrição
de como chegou à solução.
As provas do Rali, divididas por categorias de 3 a 10 que correspondem a turmas
de 8 a 15 anos, devem abranger conceitos matemáticos de diversos domínios, em
particular, aritmética, álgebra, geometria, lógica e combinatória.
A pontuação é atribuída a cada problema pelo comitê responsável de acordo com
critérios pré-estabelecidos, determinados durante a elaboração dos problemas e
aprimorados pelos professores responsáveis pelas sedes. Vale observar que o rigor do
processo e a clareza das explicações ou justificativas dadas são consideradas na
pontuação; não basta apresentar somente a resposta correta.
Cabe aos alunos dividir e organizar o trabalho, gerenciar o tempo, contribuir
pessoalmente na resolução e aceitar as contribuições dos colegas.
Como mencionado, são 50 minutos para a resolução de 5 ou 7 problemas. Essa
escolha visa estimular a cooperação e a valorização das interações entre os alunos. Os
problemas são elaborados e selecionados, em número e em grau de dificuldade, de tal
forma que cada aluno, independentemente de seu nível, possa prestar sua contribuição e
que o conjunto da prova seja praticamente impossível para um só aluno resolver, por
mais ágil que ele seja.
Pode-se ainda ressaltar que os problemas do RMT são inéditos, ricos e
estimulantes para os alunos, buscando possibilitar a resolução de várias maneiras e
conter questões abertas para que os alunos expliquem e justifiquem suas estratégias. Os
problemas do RMT são aplicáveis em sala de aula após a competição, aliás, esse é um
dos principais objetivos da ARMT: que os problemas do Rali possam ser explorados no
149
contexto escolar, tanto na preparação das turmas participantes quanto depois das etapas
da competição, de forma que alunos e professores possam discutir suas resoluções, os
acertos e erros, ampliando suas vivências e percepções sobre diferentes situações, temas
e estratégias adotadas. Assim, incentiva-se fortemente que, após as aplicações das
provas, os professores possam explorar os problemas, discuti-los, retomá-los e analisar
as soluções e resultados com seus alunos em suas aulas.
É importante observar que, apesar da ideia de competição, presente no próprio
nome, o Rali possui um caráter extremamente forte de trabalho colaborativo. Essa
característica é a que, de fato, dá o tom a todo o processo, pois os alunos devem
perceber e valorizar a importância do trabalho dos colegas. A competição existe sim,
mas é entre grupos, nada individual, colocando ênfase, ela própria, no poder do grupo.
2.
O estudo
Como já mencionado, o trabalho aqui apresentado faz parte de um projeto maior
que tem por objetivo oportunizar ações de formação docente para estudantes de
Licenciatura em Matemática, aproximando-os da realidade escolar da Educação Básica.
Os objetivos específicos desse subprojeto podem ser assim descritos:
 organizar atividades que propiciem ao licenciando a compreensão de processos
de aprendizagem dos alunos e as contribuições da resolução de problemas na
prática pedagógica;
 orientar o licenciando na elaboração, adequação, (re)organização de recursos
didáticos – incluindo estratégias didáticas – que favoreçam o desenvolvimento
de atividades de resolução de problemas e os permitam acompanhar a evolução
dos alunos.
Como estratégia metodológica, formulou-se a hipótese de que o Rali
Matemático permitiria estabelecer um ambiente propício à prática de resolução de
problemas em Matemática na escola, possibilitando atingir os objetivos acima
mencionados. Destacam-se em particular dois aspectos que embasam esta escolha: não
interferência do professor durante a prova e posterior discussão dos problemas com os
alunos a partir de – e valorizando – suas resoluções e soluções.
Desta forma, considerou-se que, no contexto do Rali, os licenciandos teriam
oportunidade de observar a evolução das competências dos alunos, tanto do ponto de
150
vista dos conceitos matemáticos, procedimentos e atitudes como dos aspectos
transversais subjacentes, em particular as capacidades de leitura, escrita, argumentação
e comunicação.
A equipe do subprojeto foi composta de duas pesquisadoras e três alunas do
curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade pública do estado de São
Paulo (identificadas por L1, L2 e L3) e duas turmas de 1ª série do Ensino Médio da
escola técnica da referida Universidade. O período de realização das atividades aqui
relatadas foi de abril/2012 a março/2013.
A estratégia planejada contou com um desenvolvimento colaborativo entre as
pesquisadoras e as licenciandas. Mais especificamente, buscou-se conduzir um processo
de comunicação colaborativa no qual o significado construído leva a uma ação, ou
ainda, a reflexão sobre a ação conduz à construção de novos significados.
A coleta de dados foi feita com base nos relatórios produzidos pelas licenciandas
nos diferentes momentos de intervenção, incluindo os materiais e recursos elaborados
por elas. No início das atividades do subprojeto, foi criado um espaço virtual para apoio
ao trabalho presencial, facilitando as comunicações entre os membros da equipe e o
compartilhamento das decisões e ações.
O trabalho foi organizado em duas fases inter-relacionadas. A primeira fase
centrou-se no levantamento dos conhecimentos e experiências das licenciandas sobre
resolução de problemas, bem como na discussão de alguns artigos sobre o assunto. Na
segunda fase, o foco foi na implementação, pelas licenciandas, de atividades de
resolução de problemas nos moldes do Rali, com adaptações para o contexto específico
da Escola. Na sequência, concentraremos nossa atenção na descrição e análise de
atividades dessa fase, enfatizando a participação das licenciandas no processo.
3.
Ações desenvolvidas e principais resultados
Para que as licenciandas vivenciassem a experiência de realizar atividades de RP
nos moldes do Rali, foram propostas as seguintes tarefas, sob orientação das
pesquisadoras: 1) planejamento e realização de uma oficina de RP com o objetivo de
discutir com os alunos o que caracteriza um problema, familiarizá-los com o tipo de
problema do Rali e com a resolução em grupo; 2) organização e realização de duas
151
etapas do Rali (prova I e prova II), desde a seleção dos problemas até a posterior
discussão dos mesmos com as turmas.
Cabe observar que as licenciandas eram responsáveis pelas intervenções junto
aos alunos em ambas as tarefas, assumindo o papel de professoras. Os encontros com as
turmas ocorreram semanalmente, em aulas cedidas pelo professor de Matemática da
Escola. No que concerne os encontros presenciais com os alunos das turmas nessa
segunda fase, no total foram 4 encontros de 1h40 de duração cada um para a oficina e 6
encontros para realização das duas etapas do Rali, sendo: dois momentos de 50 minutos
para aplicação das provas e 4 encontros de 1h40 cada para o que foi denominado de
“devolutiva”, ou seja, discussão e retomada das produções dos alunos, resolução de
novos ou problemas similares e apresentação de resultados. Neste tipo de atividade, as
licenciandas foram desafiadas a elaborar estratégias para retomada dos problemas,
sempre a partir das resoluções apresentadas pelos alunos e das dificuldades observadas
no momento da correção coletiva.
Para as licenciandas, em particular, o processo foi muito significativo e alguns
dos relatos transcritos a seguir embasam essa afirmação. L1 explica o que foi priorizado
na fase inicial durante a realização da oficina.
“Escolhemos problemas similares aos do Rali. A intenção de
começarmos com esses desafios foi mostrar para os alunos que
esses problemas podem ser encarados como uma diversão, mas
como pede o Rali, não basta dar a resposta, é preciso explicar.”
E L2 complementa, indicando algumas características dos problemas
propostos aos alunos inicialmente.
“A gente queria motivar bastante os alunos, então de início
tentamos buscar problemas parecidos com os do Rali, mas do
tipo desafio. Depois, fomos incluindo os do banco do Rali, para
eles irem se acostumando que tinham problemas com várias
possibilidades e que deviam explicar como pensaram ou como
chegaram na solução.”
Observa-se que as licenciandas apropriaram-se da proposta, refletindo tal
compreensão nas justificativas das escolhas dos problemas para a oficina.
Desde os primeiros encontros, e em particular nos momentos de aplicação das
provas do Rali, as licenciandas identificaram algumas dificuldades ao assumirem o
152
papel de professoras. Duas delas (L1 e L3) referem-se à questão de não haver
interferência durante a resolução coletiva dos problemas, tanto nos momentos
preparatórios, quanto na realização das provas do Rali.
“Tentei não influenciar, deixar os alunos pensarem primeiro. Em
alguns momentos, interferi um pouco, só para tirar dúvidas
sobre o enunciado. Mas, era difícil! Os alunos perguntavam
bastante, principalmente nos primeiros encontros e na primeira
prova. Tentei seguir a regra do Rali e falava para eles que
tinham que se organizar e tentar fazer sozinhos.” (L2)
“Professor sempre quer ajudar e dar dicas. No começo, não foi
fácil adotar essa postura de não interferir. Depois com o tempo,
principalmente nas provas, os alunos entenderam e não
perguntavam tanto, aí foi ficando mais fácil.” (L3)
Ao observarem e registrarem os comportamentos dos alunos durante as
resoluções em grupo, as licenciandas foram unânimes em relatar que a proposta do Rali
motivou e envolveu os alunos, sendo rapidamente incorporada por eles.
“Observamos pelo comportamento dos alunos que o clima não
era de ‘aprender a matéria’, mas de ‘encontrar uma solução’,
correndo contra o tempo, pois para todos os problemas, um
tempo era estipulado.” (L1)
“Percebi que a maioria dos alunos não estava ali para cumprir o
horário. Eles queriam se superar, descobrir coisas novas e tentar
melhorar a pontuação. Eles encararam a competição pelo lado
positivo.” (L3)
Como descrito anteriormente, na maioria dos problemas do Rali, os alunos
devem explicar como chegaram à solução e/ou justificar suas respostas, o que é
pontuado na correção. Já era esperado que os alunos tivessem dificuldades nessa tarefa e
tal aspecto foi analisado pelas licenciandas.
“Essa questão da justificativa foi melhorando aos poucos, mas
desde o primeiro encontro, era um problema para os alunos.”
(L2)
“Na hora de fazer a explicação como chegaram na resposta, foi
aquele primeiro impacto: – Mas como assim? Eu chutei! O
costume de explicar o que fizeram ou como resolveram ainda
não estava fixado em suas mentes. Para eles, o importante era
acertar, independente de como. No começo, demos algumas
153
dicas... – Vocês não usaram nenhuma estratégia? Será que não
tem nenhum detalhe que direcione o chute?” (L1)
Elas consideraram que houve evolução ao longo do processo, sendo importante
trabalhar esse aspecto nas devolutivas. Analisaram ainda os problemas que favoreciam
esse tipo de atividade e buscaram orientar os alunos.
“A gente tinha que falar toda vez sobre as explicações, para os
alunos tentarem sempre justificar suas respostas. Quando eles
viam que contava bastante na pontuação, começaram a se
esforçar, alguns, porque a maioria queria resolver e pronto.
Acho que foram melhorando essa parte. Tinha problema que era
mais fácil de justificar. Dei a dica de irem escrevendo passo a
passo o que estavam fazendo ou pensando. Alguns grupos
conseguiam, como no problema da adição.” (L3, cf. Anexo 1)
Ao avaliarem as contribuições das práticas para sua própria formação, as
licenciandas destacaram a ênfase no ensinar “sobre” a RP, como pode ser constatado
nas considerações abaixo.
“Acho que conseguimos trabalhar mais sobre a resolução de
problemas e não via resolução de problemas. Na devolutiva de
alguns problemas, falamos bastante da teoria do Polya, sobre os
passos para se resolver um problema: compreender, elaborar um
plano, executar e examinar a solução. Quando entendemos o
problema, o passo seguinte é elaborar um plano baseado em
todas as informações dadas, e então executar esse plano. Por
último, tem que verificar a solução obtida, pois é nessa
verificação que vamos perceber se todas as condições impostas
no enunciado foram respeitadas.” (L2)
L1 também reconhece alguns problemas de aplicação, ou seja, problemas nos
quais os alunos tiveram oportunidade de aplicar conhecimentos construídos
anteriormente.
“Não sei ao certo, mas acho que ficamos mais na parte de como
resolver um problema, como se organizar, baseado mesmo no
Polya. É muito difícil ir além. Mas talvez os alunos tenham feito
algumas aplicações do que já tinham estudado também, como no
caso do problema que caía numa equação do 2º grau e que
vários grupos resolveram a equação por Bhaskara.” (L1)
O problema intitulado “Treino de Basquete” (cf. Anexo 2) mereceu destaque nos
relatórios das licenciandas devido ao fato de nenhum grupo ter apresentado uma solução
154
correta, nem parcialmente. Isso chamou a atenção delas, em particular no momento de
preparação da intervenção para discuti-lo com os alunos na sala de aula. O trecho
abaixo ilustra como essa questão foi tratada pelas licenciandas.
“Como ninguém chegou na resposta, resolvemos reler e retomar
os dados para que eles compreendessem melhor o problema.
Depois de alguma discussão, decidimos sugerir aos alunos que
atribuíssem horários de saída de casa da mãe e de retorno com o
filho e tentassem resolver novamente. Na verdade, um grupo já
tinha comentado algo a respeito, perguntando se podia ‘chutar’
um horário só para ver como resolver. Ai, aproveitamos a ideia
desse grupo para compartilhar com os outros.” (L1)
A partir de tal intervenção, vários grupos resolveram satisfatoriamente e foram
convidados a apresentar suas soluções na lousa. Com isso, as licenciandas buscavam
explicitar que os horários assumidos não interferem na solução e a fazer os alunos
perceberem uma “nova” estratégia.
“Foi bem difícil pensar como trabalhar esse problema com os
alunos. Aliás, esse problema foi difícil para mim também!
Propus de fazer um outro parecido, mas um pouco mais simples,
indicando horário de saída e de chegada. E depois pedir que
tentassem de novo.” (L2)
“Os alunos não estão acostumados com esse tipo de problema,
pensam que faltam dados. E não é simples mesmo! Confesso
que eu demorei para resolver... A ideia era aproveitar esse
problema para discutir isso que às vezes podemos usar um
raciocínio hipotético, tentando simular a situação e pode
ajudar.” (L3)
Na reflexão sobre esse problema, L1 escreveu:
“Casos assim nos mostram a importância do professor em sala.
Os alunos devem se tornar cada dia mais independentes, mas
isso não significa que devemos deixá-los totalmente soltos e sem
direção. É preciso que eles aprendam, mesmo com os erros,
alguma coisa nova. Casos não vistos, que geram muita confusão
e provavelmente um pouco de desânimo, devem ser trabalhados
nas turmas de forma cuidadosa e com bastante atenção, para que
todos percebam a importância de analisar vários aspectos e
perspectivas dos problemas.” (L1)
155
A percepção de que partir do trabalho dos alunos para uma posterior
sistematização por parte do professor é uma estratégia interessante e conveniente foi
real e declarada pelas licenciandas.
“Entendi que temos que partir do que os alunos fizeram. Foi
muito importante fazer a correção coletiva, entender os critérios
de pontuação e preparar a síntese dos resultados apresentados
pelos alunos. Só assim é que podíamos ir para a lousa e
sistematizar os conhecimentos, resgatando o que os alunos
discutiram durante a resolução dos problemas.” (L1)
“Quando a gente trazia os resultados, a discussão das soluções
não era simplesmente assistida como uma correção de exercícios
na lousa. Eles tinham que participar. No começo, eles queriam
mais era conferir as respostas e saber quantos pontos fizeram.
Não foi nada fácil convencê-los a explicar o que fizeram. Mas,
quando erravam ou acertavam parcialmente, aí se interessavam,
e a discussão fazia sentido para eles.” (L2)
Considerações finais
A partir das descrições de suas vivências, as licenciandas evidenciaram
aprendizagens que foram possíveis a partir da participação no subprojeto. Entende-se
que os objetivos foram globalmente atingidos e que a hipótese da escolha do Rali
Matemático como contexto privilegiado para realização das atividades foi confirmada.
Verificou-se um aumento do interesse das licenciandas para atuarem como
docentes na Educação Básica, em particular na promoção da resolução coletiva de
problemas. Os depoimentos que seguem refletem tais aspectos.
“O contato com as turmas foi uma experiência única e
animadora. Conforme o texto que lemos do Dante, o sucesso em
alguma atividade nos leva a desenvolver atitudes positivas em
relação a ela, e poder trocar ideias e experiências com as colegas
e com os alunos trouxe isso, foi muito gratificante. Fez com que
minha visão como professora mudasse e percebesse que ensinar
matemática vai muito além dos cálculos, dos números e das
fórmulas. Para ensinar matemática devemos ser capazes de
desenvolver nos alunos o raciocínio, o interesse pela
investigação, a criatividade, a colaboração e muito mais. E com
o Rali foi possível praticar esse ensino!” (L2)
156
Ao longo de toda trajetória, as licenciandas foram fortemente incentivadas, por
um lado, a praticarem o que estudaram na “teoria” e, por outro, a refletirem sobre as
práticas didáticas que implementaram, exercícios importantes para se constituírem como
professoras pesquisadoras de suas práticas.
Referências bibliográficas
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through problem solving. In: Researh and Development in Problem Solving in
Mathematics Education. ICME, México, 2008, p. 59-70.
BRASIL (país). Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – PCN, 3º e 4º
ciclos. Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de Educação Fundamental,
1998. Disponível em: www.portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf
Último
acesso em: 11 de fevereiro de 2014.
NCTM. An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics of the
1980’s, The National Council of Teachers of Mathematics, 1980. Disponível em:
http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=17278 Último acesso em: 21 de abril
de 2014.
ONUCHIC, L. R., ALLEVATO, N. S. G. Formação de professores – mudanças
urgentes na Licenciatura em Matemática In. REZENDE, M. C.; NASSER, L. Educação
Matemática no Ensino superior: Pesquisas e Debates. Biblioteca do Educador.
Coleção SBEM, vol. 5, 2009, p. 169-187.
VISEU, F.; PONTE, J. P. Desenvolvimento do conhecimento didático do futuro
professor de Matemática com o apoio das TIC. Revista Latinoamericana de
Investigación em Matematica Educativa – RELIME, 12(3), 2009, p. 383-413.
ZUFFI, E. M. Resolução de Problemas: dois casos de formação de professores na escola
pública. Trabalho apresentado no I SERP – Seminário em Resolução de Problemas,
realizado
em
2008
na
UNESP
de
Rio
Claro.
Resumo
disponível
em:
http://www.rc.unesp.br/serp/trabalhos_completos/completo5.pdf Último acesso em:
7 de fevereiro de 2014.
157
Anexo 1: Solução de um grupo de alunos da Turma A
Anexo 2: Enunciado do Problema da Prova I do 11º RMT
O TREINO DE BASQUETE
©ARMT 2003 – 11° – Prova I
Cada vez que João vai ao treino de basquete, sua mãe vem buscá-lo de carro. Ela sai de
casa, não para em lugar algum do caminho, chega regularmente ao clube no final do
treino e volta para casa imediatamente com seu filho.
Mas, hoje, o treino acabou mais cedo que o previsto. Como sua mãe ainda não chegou,
João decide ir embora imediatamente a pé para encontrá-la no caminho.
Eles chegaram em casa juntos, 12 minutos antes que os outros dias.
A mãe de João mantém sempre a mesma velocidade que é 5 vezes a de João a pé.
Quanto tempo João andou até encontrar sua mãe?
Quantos minutos antes o treino foi encerrado?
Tentem explicar como chegaram à solução.
Fonte: www.armtint.org (tradução nossa)
158
UMA EXPERIÊNCIA DOCENTE EM SALA DE AULA DA GRADUAÇÃO
COM A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU PELO MÉTODO DO
COMPLETAMENTO DE QUADRADO DE AL-KHWARIZMI
Francisco de Assis FREITAS JUNIOR – UNIFEI – MG
([email protected])
Eliane Matesco CRISTOVÃO – UNIFEI - MG
([email protected])
Resumo: Este artigo refere-se aos resultados parciais de uma pesquisa, ainda em
andamento, realizada em contexto de sala de aula. Muitos professores ensinam seus
alunos a resolverem equações do 2º grau por meio da fórmula “de Bhaskara”,
apresentada geralmente sem qualquer justificativa, fazendo com que alunos e alunas
acreditem na falsa ideia de que fórmulas são soluções mágicas criadas por gênios.
Enclausurados nesse método, os discentes dificilmente ultrapassam o nível da técnica.
Pensando nessa problemática o primeiro autor deste artigo decidiu elaborar e aplicar
uma sequência de atividades que contemplasse diferentes métodos de resolução de
equações quadráticas, sem a necessidade do uso de fórmulas. Esta ideia surgiu no
contexto das aulas de Prática de Ensino V, disciplina que é ministrada pela segunda
autora no 6º semestre do curso de licenciatura em Matemática da Universidade Federal
de Itajubá (UNIFEI). A sequência, elaborada segundo os princípios da metodologia de
Resolução de Problemas, partia de problemas que abordavam os conhecidos métodos de
resolução de equações incompletas e também o método do completamento de quadrado,
desenvolvido pelo matemático árabe Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (ca
780 - 850) no século IX. Por ter sido realizada como um processo intencional, esta
experiência configurou-se como uma pesquisa sobre a própria prática para o futuro
professor. Relatou-se desde o processo de busca de subsídios para a elaboração da
sequência até a análise dos resultados obtidos a partir de seu desenvolvimento junto a
alunos da graduação. Os resultados obtidos apontam para a importância da associação
entre a metodologia de Resolução de Problemas e o uso da História no Ensino da
Matemática para promover um ensino significativo desta disciplina, além das
possibilidades de aprendizagem profissional para o aluno, futuro professor, que se
engaja numa experiência que toma sua prática como foco de estudos.
Palavras – chave: Resolução de equações do segundo grau; Método do Completamento
de Quadrado; Formação inicial de professores de Matemática; Pesquisa da própria
prática.
159
Introdução
Tudo começou na disciplina de Prática de Ensino de Matemática V do curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Itajubá, ministrada pela
segunda autora. Ao iniciar a disciplina, a professora apresentou o plano de curso
contendo etapas de estudos que culminariam na preparação e desenvolvimento, em sala
de aula, de um plano de aula e uma sequência de atividades acerca de um determinado
tema. O conteúdo matemático abordado deveria ser referente ao Ensino Fundamental II
(6º ao 9º ano) e cada aluno poderia escolher um tema de seu interesse. Motivado pela
observação de uma aula, durante as atividades de estágio, na qual foi demonstrada
algebricamente a Fórmula de Bhaskara, o primeiro autor, um dos alunos da disciplina,
optou pelo conteúdo de equações do 2º grau. A partir deste ponto, ele relata sua
experiência em primeira pessoa. Em outros trechos do texto, o mesmo acontecerá.
Foi notável, ao ouvir e observar os alunos, que a demonstração não lhes fez
sentido algum e ao final da aula a maioria deles fazia um uso estritamente mecânico da
fórmula, sem sequer saber identificar corretamente os coeficientes de uma equação que
não estivesse na forma canônica. Esta demonstração, quando feita apenas
algebricamente, não esclarece, por exemplo, a origem do termo
que completa o
trinômio quadrado perfeito. Inclusive eu quando vi a demonstração pela primeira vez na
disciplina de Fundamentos de Matemática, fiquei com essa dúvida.
Como já conhecia o histórico método do completamento de quadrado de AlKhwarizmi das disciplinas de Prática de Ensino de Matemática cursadas anteriormente,
busquei a utilização deste e de outros métodos na tentativa de explorar a compreensão
desses sentidos e das potencialidades de uma abordagem mais ampla, que utilizasse
recursos à História da Matemática e a Metodologia de Resolução de Problemas,
entendida por nós como um meio de se ensinar Matemática, sendo o problema o
gerador do processo de ensino-aprendizagem (SOUZA e NUNES, 2007, p.3).
A ideia inicial era elaborar e desenvolver um plano de aula com alunos do
ensino fundamental em alguma escola da cidade de Itajubá – MG. Como nem todos os
alunos da turma estavam realizando estágio, optamos por aplicá-los com alunos e alunas
que estavam cursando Prática de Ensino de Matemática I, disciplina que integra a matriz
160
curricular do 2º semestre do curso de Licenciatura em Matemática da UNIFEI,
ministrada pela Professora Flávia Sueli Fabiani Marcatto, no mesmo curso e instituição.
Seria uma maneira de verificar as potencialidades e limites de nossas sequências
de atividades e, ao mesmo tempo, propiciar aos alunos ingressantes a oportunidade de
ressignificar conceitos que poderiam, talvez, não ter sido trabalhados de forma
adequada em sua formação básica. Com estes dois enfoques, esta pesquisa configurouse numa uma oportunidade, como futuro professor, de refletir sobre a prática de ensinar,
ainda enquanto licenciando.
Dessa forma, podemos caracterizá-la, de acordo com Palis (2008), como uma
pesquisa da própria prática. Nesse tipo de pesquisa, o professor pesquisador de sua
própria prática alia investigação e ensino: em face de um problema didático, submete-o
a exame crítico, resolve-o da melhor maneira possível e divulga sua solução (PALIS,
2008, p. 1).
Metodologia
A proposta de trabalho da disciplina foi o que norteou metodologicamente este
trabalho. A partir da definição de um conteúdo matemático como foco de estudos, no
meu caso o de equações quadráticas, as seguintes etapas foram realizadas:
• Caracterização e análise de orientações e propostas curriculares para o ensino
de Matemática para o Ensino Fundamental, por meio do estudo comparativo de
propostas, de livros e de materiais didáticos;
• Estudo teórico por meio da leitura de um artigo ou relato de experiência
referente ao tema escolhido que propusesse algum tipo de inovação;
• Elaboração de um plano aula e de uma sequência de atividades utilizando
diferentes metodologias, sob orientação da professora da disciplina;
• Apresentação do plano e da sequência aos colegas, para que colaborassem com
comentários e críticas;
• Aplicação do plano de aula e da sequência de atividades junto a turma,
contando com o recurso de uma filmadora para o registro das falas do aluno
responsável pela aula, suas intervenções e comentários dos alunos, sempre que
possível;
• Registro escrito desta experiência em forma de artigo ou narrativa.
Inicialmente, foi feita uma pesquisa bibliográfica com o intuito de identificar
como o conteúdo de equações do 2º grau era abordado nas Propostas Curriculares dos
161
estados de Minas Gerais e São Paulo. Para tanto, houve uma análise do Currículo
Básico Comum (CBC) do Ensino Fundamental, das Orientações Pedagógicas e de um
Módulo Didático com uma proposta de atividades, disponíveis no Centro de Referência
Virtual do Professor de Minas Gerais. Foi analisada também uma situação de
aprendizagem do Caderno do Professor de Matemática do estado de São Paulo.
Após feitas as análises, foi verificado como o conteúdo era trabalhado em dois
livros didáticos de matemática do 9º ano, quais sejam, “Matemática para todos” de
Imenes & Lellis e “Matemática” de Antonio José Lopes (Bigode). Foram reunidos os
pontos principais do estudo comparativo e apresentados, em forma de slides, aos
colegas e Professora para que pudessem contribuir com críticas e considerações.
Na sequência, foi realizada a leitura de um artigo apresentado no XI Encontro
Nacional de Educação Matemática (ENEM) intitulado: Equações quadráticas e a sua
história: Uma possibilidade de tornar significativo o seu aprendizado e a história da
matemática como tendência metodológica (SCHERER e RIBEIRO, 2013). Para um
melhor entendimento do artigo, houve uma discussão mais detalhada do mesmo
juntamente com os colegas e a Professora.
Após consultar, analisar e comparar todos esses materiais foi dado início ao
preparo do plano de aula destinado à alunos e alunas do 9º ano do Ensino Fundamental.
As atividades foram selecionadas de forma a atender aos requisitos da abordagem de
Resolução de Problemas, ou seja, começavam sempre pela proposição de um problema
que era o ponto de partida das atividades.
Ao término da produção do plano e da sequência de atividades pudemos então
iniciar a preparação da aplicação dos mesmos numa aula com os alunos e alunas do 1º
ano da graduação do nosso curso. As aulas foram filmadas com a finalidade de ter
elementos para, futuramente, trabalhar com a metodologia do Lesson Study, ou estudo
de aulas, que tem sido divulgada por John Elliot. Esta metodologia consiste na
preparação de sequências de atividades a serem aplicadas e gravadas para posterior
estudo a partir da análise das filmagens.
Cada licenciando podia optar por filmar ou não a aula. Contando com o auxílio
de nossos colegas de classe, decidimos que esta aula seria filmada. Assim, ao final de
todo esse processo, teríamos um registro que nos permitisse uma reflexão sobre nossa
própria prática docente, o que seria muito importante para nossa formação como futuros
162
professores. É importante ressaltar que o que apresentamos neste artigo é o resultado de
uma análise preliminar, antes de fazermos o estudo a partir da análise das filmagens, o
que ocorrerá futuramente.
Sentindo na pele o que é ensinar
A aula destinada ao desenvolvimento da sequência de atividades junto aos
alunos ocorreu numa sala do Instituto de Mecânica da UNIFEI no dia 13 de novembro
de 2013 das 21h às 22h40min. No início me apresentei, defini o tema e apresentei os
objetivos da aula, dentre os quais destaco a compreensão do método geométrico de
completamento de quadrados para resolução de equações do 2º grau e a dedução da
solução geral. Em seguida, questionei aos alunos e alunas como se resolvia uma
equação do 2ºgrau e a resposta foi um quase uníssono: “Por Bhaskara” (se referindo a
fórmula “de Bhaskara”). Sugeri então que eles “esquecessem” o que haviam aprendido
sobre equações do 2º grau para iniciarmos as atividades propostas.
Vale lembrar que a sequência, trabalhada nos 100 minutos da aula, seria feita
com mais calma e detalhes numa situação real com alunos do Ensino Fundamental, o
que demandaria algumas semanas de aula. Partindo da Metodologia de Resolução de
Problemas, propus inicialmente duas situações problema, cuja resolução recairia em
equações quadráticas completas. Como os alunos ainda não saberiam resolvê-las (de
acordo com nosso combinado de que esquecessem o que sabiam), estudar métodos de
resolução de equações do 2º grau seria nossa motivação para resolver os problemas e
consequentemente desenvolver o conteúdo. Os problemas propostos inicialmente foram
os seguintes:
1. Os participantes de um festival de música decidiram que, ao final do
festival, fariam uma festa de encerramento, e cada um dos participantes
daria uma flor de presente a cada um dos colegas também participantes
do festival. Quantas flores serão distribuídas se o total de participantes
for 5? E se for 6? E 7?
Se o total de flores distribuídas for 930, qual será o número de
participantes do festival?
2. Cláudia teve parte do terreno de sua propriedade desapropriada pela
prefeitura, que pretendia alargar duas avenidas. Do terreno, em forma de
quadrado, foram retiradas uma faixa de 4m de largura ao norte e uma
faixa de 3m de largura a leste. A área do terreno ficou reduzida à metade.
De que tamanho era o terreno?
163
Após um tempo de discussão, os alunos observaram que seria difícil resolver os
problemas sem o uso da fórmula, e que uma saída seria por tentativa e erro. A ideia era
deixar os dois problemas “pendurados” e, após o estudo do tema retornar para
solucioná-los.
Enfatizei que antes de explorar métodos e formas de resolução seria importante
identificar e caracterizar as equações do 2º grau. Pudemos assim, discutir uma definição
para equações desse tipo, reconhecer e caracterizar seus coeficientes, exemplificar
vários casos, inclusive com coeficientes nulos (excetuando-se claro o coeficiente de x²),
introduzindo assim o conceito de equações do 2º grau incompletas.
Durante a discussão, observou-se que uma mesma equação poderia ser escrita de
maneiras distintas e sugerimos, para evitar erros e otimizar a comunicação, que todos
escrevessem as equações sob uma mesma forma que denominamos forma geral ou
canônica (ax² + bx + c = 0). Na sequência foi definido o conceito de raiz ou solução de
uma equação quadrática. Foram trabalhados exemplos em que alguns números eram
soluções de uma dada equação e outros não, como se segue:
Na equação x² + 5x + 6 = 0, -2 e -3 são raízes, pois:
(-2)² + 5(-2) + 6 = 4 -10 +6 = 10 – 10 = 0
(-3)² + 5(-3) + 6 = 9 -15 + 6 = 15 – 15 = 0
1 não é raiz dessa equação pois:
(1)² + 5(1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 ≠ 0
Na equação x² - 6x + 8 = 0, 2 e 4 são raízes, pois:
(2)² - 6(2) + 8 = 4 – 12 + 8 = 12 – 12 = 0
(4)² - 6(4) + 8 = 16 – 24 + 8 = 24 -24 = 0
3 não é raiz dessa equação pois:
(3)² - 6(3) + 8 = 9 -18 +8 = 17 – 18 = -1 ≠ 0
164
Foi discutido o que representava um número ser raiz ou solução de uma dada
equação do 2º grau através da substituição da incógnita por este número antes de
abordar como eles seriam obtidos, como se pode observar.
Para resgatar os processos de resolução das equações do 2º grau, iniciei pelas
incompletas, sempre com base em situações problema. Comecei pelas equações
incompletas em “b”, isto é, quando o coeficiente de “x” era nulo (ax² + c = 0), e discuti
com os alunos a possibilidade de resolver problemas desse tipo isolando a incógnita por
meio de operações aritméticas básicas. Os problemas propostos nessa etapa estão
dispostos a seguir:
1. A área de um quadrado de lado L é igual a 49 cm². Qual é a medida do lado
desse quadrado?
2. Um retângulo tem área igual a 242 cm² e seu lado maior é o dobro do
menor. Qual é a medida do lado maior desse retângulo?
3. A área de um triângulo retângulo isósceles é 18 cm². Determine as medidas
de seus catetos e da hipotenusa.
4. Um homem quer construir uma casa de 8m por 10m. A legislação do
município só permite construir, nesse loteamento, em no máximo 20% da área
do terreno. Sabendo que o terreno é quadrado, quais serão as medidas do
terreno para construir a casa desejada?
Em seguida propus o seguinte problema: “Um
quarteirão na forma de um quadrado foi contornado por
uma calçada de 2 metros de largura, o que reduziu a área
reservada à construção de imóveis, conforme a figura a
seguir. Com isso a área para construção passou a ser
144m². Qual era a medida do lado original do quarteirão?”
Minha expectativa era que os alunos resolvessem o problema pelo método da
raiz do binômio, isto é, equacionando o problema da seguinte forma: (x - 4)² = 144 → x
- 4 = 12 → x = 16. Quando trouxe este problema, o intuito era frisar que quando temos
um trinômio quadrado perfeito em um dos membros da equação podemos resolvê-la
facilmente com algumas operações básicas, o que nos levaria a pensar na importância
do completamento de quadrado.
165
Mas fui pego de surpresa com uma resolução completamente fora do padrão que
eu havia idealizado! Quando perguntei aos alunos como se resolveria aquele problema,
percebi que um deles disse alguma coisa em voz baixa. Como não entendi o que ele
havia dito, solicitei que falasse novamente. Ele disse para “deixar pra lá”, mas busquei
estimular mais uma vez sua resposta. O aluno explicou que como o quadrado verde
tinha 144m² seu lado só podia medir 12m, somando os 4m que foram retirados segue-se
que a medida do lado do quarteirão deveria ser 16m.
No momento fiquei paralisado, pensando.... Eu não estava esperando aquela
resposta. Logo vi que ele estava certo e tinha pensado de um modo bastante esperto.
Expliquei qual era minha intenção com aquele exercício, tendo em vista que, ali, éramos
todos futuros professores e que era interessante discutir a dificuldade que um professor
pode passar ao elaborar um problema para abordar um conceito e ser surpreendido por
um aluno dessa forma.
Após esse episódio que gerou um momento importante para reflexão partimos
para as equações incompletas em “c”, isto é, quando o termo independente era nulo (ax²
+ bx = 0). Para resolver equações desse tipo relembramos um pouco sobre a fatoração
de equações algébricas, buscando estimular a percepção de que colocar fatores comuns
em evidência nesse caso auxiliava na resolução dos problemas. No anexo I, estão os
problemas propostos nesta etapa.
Discuti, em seguida, o caso em que “b” = “c” = 0 (ax² = 0) e os próprios alunos
chegaram à conclusão de que apenas o zero poderia ser solução de equações dessa
natureza. Por fim chegamos a equação do 2º grau completa.
Acredito que foi nesta parte da sequência que, de fato, pude contribuir com algo
novo para os alunos da graduação, trazendo o método histórico de resolver equações
quadráticas de al-Khwarizmi. Comecei resgatando um pouco de história… Seguindo a
tradição grega de interpretar geometricamente situações problema que hoje
interpretamos algebricamente, o matemático árabe al-Khwarizmi, no século IX,
desenvolveu um método geométrico para resolução de equações do 2º grau, cujos
passos transformam uma equação desse tipo em um quadrado perfeito. Nesse método, o
lado do quadrado é considerado o valor da incógnita, sendo, portanto, desprezadas as
soluções negativas. A falta de significado dos números negativos, nesse contexto, é
devida à representação geométrica utilizada para a resolução das equações. Al166
Khwarizmi considerava alguns tipos de equações do 2º grau, entre elas, equações do
tipo “quadrados” mais “raízes” igual a “números” que hoje representamos
algebricamente por: x² + bx = c. Para explicar tal método resolvemos o seguinte
problema na lousa: “O quadrado de um número acrescido de oito vezes o mesmo
número é igual a 65. Qual é esse número?” Na álgebra moderna, essa sentença é dada
pela expressão: x² + 8x = 65. O método de al-Khwarizmi consistia nos seguintes passos:
1º. O mesmo problema poderia ser escrito da seguinte
forma: A área de um quadrado, acrescida de um
retângulo cuja área é equivalente a 8 vezes o lado do
quadrado resulta 65. Assim, as expressões x² e 8x são
interpretadas como as áreas de um quadrado e de um
retângulo, respectivamente. A solução do problema é,
então, a medida do lado do quadrado.
2º. O retângulo era dividido em dois retângulos
de mesma área. A equação era interpretada
como:
3º. Cada retângulo era arranjado de modo que ficasse justaposto a
dois lados do quadrado. Com essa composição, a área da figura
continua sendo 65.
4º. Para completar o quadrado, acrescentava-se um quadrado no
canto da figura anterior. Com esse método, “completava-se um
quadrado perfeito” de lado x + 4 e área igual a 65 + 16 = 81.
5º. Sendo a nova área 81, a medida do lado do novo quadrado é então √81=9. Assim, o
lado do quadrado é x + 4 = 9, portanto, x = 5 é a solução. Na linguagem algébrica
moderna, transformamos a equação x² + 8x = 65 em uma equivalente (x + 4)² = 81. Isso
foi possível aplicando-se o método chamado “completamento de quadrado”.
Acompanhando o desenvolvimento algébrico, observamos que, embora apoiados no
processo figurativo, são encontradas todas as raízes da equação: x2+8x+16=65+16
(x+4)2 = 81  x+4 = ±81  x+4 = ±9  O que nos dá x = 5 ou x = -13.
167
Chamei atenção ao fato de que nessa atividade, embora as soluções negativas
não tenham sentido geométrico, elas satisfazem as equações algébricas. Mais uma vez
pude aproveitar a oportunidade para discutir com os alunos que, enquanto o método
geométrico permite a escrita da equação na forma fatorada conhecida, o método
algébrico permite a determinação de todas as soluções reais da equação, quando
existirem.
As discussões feitas até aqui convergiram para a ideia de que as equações de 2º
grau quando fatoradas podem ser resolvidas com fatos já apreendidos. Com essa
abordagem pude enfatizar que o desenvolvimento do quadrado da soma e do quadrado
da diferença de dois números e seus respectivos processos de fatoração ganham nova
importância. Após apresentar este exemplo solicitei aos alunos que fizessem as
seguintes atividades:
1. Encontre as raízes das equações de 2º grau aplicando o método do
“completamento do quadrado” desenvolvido por Al-Khowarizmi:
a) x² + 20x = 300
b) x² + 5x = 6
c) x² + 2x + 1 = 0
Durante a resolução fui andando pela sala para tirar possíveis dúvidas e o mais
interessante foi ver o rosto de surpresa dos alunos. Era como se eles estivessem dizendo:
“mas podia fazer desse jeito?”. Em seguida, pedi que um dos alunos resolvesse um dos
problemas na lousa. Também discutimos os outros e depois partimos para a dedução da
solução geral de uma equação quadrática.
Apoiado no processo geométrico, sem esquecer de considerar suas limitações, e
utilizando a álgebra, fomos deduzindo juntos a fórmula que nos fornece a solução geral
de uma equação do 2º grau. A seguir reproduzo o passo a passo do procedimento
utilizado.
Seja a equação ax² + bx + c = 0, com a≠0:
Como a ≠ 0 podemos dividir ambos os membros da equação por a:
+
+ =
Simplificando temos:
x² +
+ =0
168
Subtraindo a parcela
em ambos os membros da equação temos:
x² +
=-
Obtemos uma equação muito parecida com aquelas que al-Khwarizmi
resolvia pelo método geométrico...
Interpretando as expressões x² e
como as áreas de um quadrado e de
um retângulo, respectivamente:
x² +
+
=
-
²=
=
=
=
=
=
,
Chegamos à solução geral para qualquer problema que envolva uma equação do
segundo grau. Cabe ressaltar que denotamos o número b² - 4ac por uma letra grega
(delta) devido a sua importância para determinação do número de soluções da equação.
Assim, pude aproveitar para recordar que este número é também chamado de
discriminante da equação e para explicar sua importância (o que também foi novidade
para alguns alunos).
No caso do trabalho com alunos da escola básica, eu poderia optar por
desenvolver a demonstração de maneira mais concreta, fazendo a comparação com um
exemplo numérico. Acredito que, dessa forma, seria mais fácil para o aluno dar sentido
a cada passagem da demonstração algébrica, como se pode ver no anexo II. E
finalmente pudemos resolver aqueles dois problemas que ficaram “pendurados”!
169
Algumas considerações
Ao final da aula, foi entregue uma lista (anexo III) com sete problemas
selecionados intencionalmente para mostrar que, em cada caso, há um método mais
adequado para resolver a equação. Foi solicitado que os alunos resolvessem pelo
método que julgassem conveniente e entregassem ao terminar. A partir da análise das
produções, poderemos verificar se os alunos continuaram presos ao uso da fórmula ou
buscaram soluções por métodos alternativos.
O que podemos afirmar por enquanto é que a resolução pelo método do
completamento de quadrado tem pelo menos uma grande vantagem. Ela favorece a
compreensão da demonstração da fórmula “de Bhaskara”.
Com a interpretação
geométrica de al-Khwarizmi foi possível explicar de onde o termo
havia saído,
fazendo total sentido para os alunos. Notamos ainda que completar um quadrado
perfeito na álgebra era o mesmo que completar um quadrado na geometria! E o futuro
professor, o que aprendeu? É melhor que ele mesmo o diga.
A pesquisa da própria prática beneficia o próprio professor e os alunos, gera
conhecimento e desenvolve a cultura profissional da comunidade de referência.
(PALIS, 2008, p. 1). Pude comprovar isso ao perceber, após o episódio do “problema do
quarteirão” como eu estava preso ao pensamento algébrico enquanto o aluno resolveu o
problema de forma bem mais simples, recorrendo apenas ao pensamento aritmético.
Percebi, mais ainda naquele momento, a importância de dar voz aos alunos e estimular
que eles criem suas próprias formas de resolver situações problema.
Aprendi com essa experiência que devemos estimular mais a participação dos
alunos, selecionar bem as atividades, pensar em diferentes formas de resolução para, ao
menos, minimizar as “surpresas”, mas não ao ponto de que tudo torne-se previsível,
visto que essa surpresa trouxe reflexões importantes. Esses aprendizados, entre outros,
certamente levarei para a minha própria prática docente.
170
Referências
CRISTOVÃO, E. M. Equação do 2º grau. Sequência elaborada como trabalho final da
disciplina de Didática. Unicamp, 1995.
IMENES, L.M.; LELLIS, M. Matemática para todos: 8ª série, 4° ciclo - São Paulo:
Scipione, 2002.
LOPES, A. J. Matemática: 9º ano – 1. Ed. São Paulo: Scipione, 2013.
O'CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. “Abu Ja'far Muhammad ibn Musa AlKhwarizmi” Disponível em: <http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/AlKhwarizmi.html>. Acesso em Nov. 2013.
OLIVEIRA, D. P. A.; LOPES, M.M. Dois modos históricos de resolver equações do
segundo grau. Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), Ano 1,
n.0, Mar. 2013.
PALIS, Gilda de La Rocque. A pesquisa sobre a própria prática no ensino superior de
matemática. In: IV Colóquio de História e Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de
Janeiro, Brasil, de 5 a 9 de maio de 2008. Anais do evento. Disponível em
http://www.limc.ufrj.br/htem4/papers/40.pdf. Acesso em Fev. 2014.
SCHERER, A. C. S.; RIBEIRO D. M. Equações quadráticas e a sua história: Uma
possibilidade de tornar significativo o seu aprendizado e a História da Matemática como
tendência metodológica. In: XI ENEM, Curitiba, 18 a 21 de jul/2013. Anais do evento.
Disponível em:<http://sbem.bruc.com.br/XIENEM/pdf/976 _381_ID.pdf>. Acesso em
Nov.2013.
SEE/SP. Secretaria de Estado da Educação de São Paulo. Caderno do professor:
matemática, ensino fundamental - 8ª- série, volume 2. Coordenação geral, Maria Inês
Fini – São Paulo: SEE, 2009.
SOUZA, A.C.P.; NUNES, C.B. A resolução de problemas como metodologia de ensinoaprendizagem-avaliação de Matemática em sala de aula. In: IX ENEM, Belo Horizonte, 18 a 21
de
jul/2007.
Anais
do
evento.
Disponível
em:
<http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Minicurso/Trabalhos/MC65873300534T.doc>.
Acesso em Fev. 2014.
171
Anexo I: II Parte da sequência de atividades
1. Fatore o 1º membro das seguintes equações:
a) 5x2 + 10x = 0
c) -4x2 – 8x = 0
2
b) x – 20x = 0
d) –x2 + x = 0
2. Indique com V ou F se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas,
respectivamente:
( ) Se numa multiplicação de dois fatores um deles é 19 e o produto é zero, então, o
outro fator é, necessariamente, igual a zero.
( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, um dos fatores é,
necessariamente, igual a zero.
( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é 6, então, um dos fatores pode ser
igual a 6.
( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é 6, então, um dos fatores é,
necessariamente, igual a 6.
( ) Se numa multiplicação de 1000 fatores o produto é zero, então, um dos fatores é,
necessariamente, igual a zero.
( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, ambos os fatores são,
necessariamente, iguais a zero.
( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, ambos os fatores
podem ser iguais a zero.
3. Considerando os exercícios 1 e 2, encontre quais valores de x satisfazem as seguintes
equações:
a) -3x = 0
d) x (x + 2) = 0
b) x.x = 0
e) 2x (x – 5) = 0
c) 5 (x – 1) = 0
f) x (3x + 9) =0
4. Agora faça o mesmo para as equações do exercício 1.
5. Determine o comprimento, em centímetros, do lado do quadrado cuja área é
numericamente igual ao perímetro.
6. Pensei num número não nulo. Somei ao quadrado desse número o seu triplo e obtive
0 como resultado. Em que número pensei?
172
Anexo II: Demonstração acompanhada de um exemplo numérico.
2 x 2  5x  3  0
ax 2  bx  c  0
2
2x
5x 3

 0
2
2
2
5x 3
2
x 
 0
2
2
2
x2 
5x  5 
3 5
     
2
2 4
4
ax
bx c
0

 
a
a
a
a
bx c
x2 
 0
a
a
2
2
x2 
bx  b 
c  b 

   

a
a  2a 
 2a 
2
b 
c
b2

x 
  
2a 
a 4a 2

2
b 
 4ac  b 2

x 
 
2a 
4a 2

5
3 25

x     
4
2 16

5
1

x   
4
16

2
5
1

4
16
x
b
b 2  4ac

2a
4a 2
x
5
1

4
4
x
b

2a
b 2  4ac
2a
b

2a
b 2  4ac
2a
x
5 1

4 4
 5 1
4
2
2
x
x
a0
2
x
x
b
b 2  4ac
2a
Anexo III: Lista de Problemas.
1) Um pedreiro usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a
medida do lado de cada azulejo em centímetros?
2) O triplo de um número menos o quadrado desse mesmo número é igual a 0. Qual é esse
número?
3) Pai e filho hoje tem 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual
ao quadrado da idade do filho?
4) Um terreno retangular mede 26m de comprimento
e 16m de largura. Aos fundos do terreno e em uma de
suas laterais (como mostra a figura ao lado) serão
acrescentadas duas faixas de mesma largura. Com essa
expansão do terreno, a nova área medirá 816m². Qual
será a largura dessas faixas?
173
5) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143.
6) Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro e área medem, respectivamente,
50cm e 150cm²?
7) A figura ao lado é composta por um quadrado com um
triângulo em seu interior. A área amarela corresponde a 112
unidades de área. Nessas condições, determine o valor de x.
174
O PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES E AS CONTRIBUIÇÕES
DE UM PROGRAMA INSTITUCIONAL PARA A LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
Zionice Garbelini MARTOS RODRIGUES IFSP/ Campus Birigui
([email protected])
Luciane de Castro QUINTILIANO IFSP/ Campus Birigui ([email protected])
Allan Victor RIBEIRO IFSP/ Campus Birigui ([email protected])
Moacir Pereira de SOUZA FILHO UNESP/ Departamento de Física, Química e
Biologia/P. Prudente/SP ([email protected])
Resumo: O presente artigo estabelece algumas reflexões sobre os relatos de um grupo
de alunos do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus Birigui, sobre suas primeiras percepções
referente a um subprojeto do PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a
Docência), financiado pela CAPES, em parceria com duas escolas da Rede Estadual de
Ensino de Birigui/SP. Tal subprojeto teve como ideia central contribuir para a melhoria
do processo ensino-aprendizagem na disciplina Matemática, a qual tem uma relação
direta com a melhora na formação inicial dos futuros docentes. Essa melhoria implica
na ampliação do conhecimento matemático e político-pedagógico do discente. No
Subprojeto PIBID – Matemática Birigui foco desta pesquisa, procurou-se trabalhar
algumas metodologias diferenciadas que possam ajudar a compreender e planejar ações
mais eficazes para o ensino de Matemática na Educação Básica. A partir dos presentes
relatos pode-se verificar a importância do projeto PIBID Matemática nas escolas, pois
através dos relatos dos alunos bolsistas observou-se que o mesmo traz benefícios para
alunos, professores e acadêmicos tanto do Ensino Básico quanto do Ensino Superior.
Desta forma, se estende na prática a ponte entre escola e universidade que tanto se
procurava. E ainda, proporciona grande experiência, vivência para os alunos bolsistas e
mais conhecimento para os alunos participantes.
Palavras-chave: Formação inicial, Metodologias Alternativas, Jogos, Ensino Médio.
175
Introdução
O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) tem como
finalidade o desenvolvimento de ações entre Universidade e Escola Pública para
promover o aprimoramento e a dinamização do trabalho já desenvolvido no âmbito
escolar, com o intuito de viabilizar a obtenção de resultados relevantes para a promoção
da aprendizagem significativa dos alunos, e ainda proporcionar o aperfeiçoamento da
formação dos alunos-bolsistas como futuros professores.
No desenvolvimento do subprojeto PIBID de Matemática existe uma dedicação
tanto dos alunos-bolsistas quanto dos professores da escola participante do projeto, nas
diversas atividades propostas. Dentre as inúmeras atividades desenvolvidas pode-se
mencionar o aprofundamento por meio de leituras envolvendo os conhecimentos
teóricos e específicos acerca dos conceitos próprios da Matemática e ainda, os
conhecimentos de caráter político-pedagógico.
Além disso, o aperfeiçoamento da prática de ensino por meio do apoio às aulas,
regências, a participação em atividades de planejamento e reuniões pedagógicas, a
proposição e construção de soluções para situações da prática cotidiana da escola e do
ensino de Matemática, através da preparação de oficinas, gincanas, olimpíadas e outros
eventos. E ainda, o desenvolvimento de uma cultura de integração entre ensino e
pesquisa por meio do registro, avaliação e relato das práticas vivenciadas, à luz das
teorias que sustentem suas análises e possíveis proposições.
O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), realizado
no IFSP-Birigui, teve como parceiras duas escolas da Rede Estadual de Ensino de
Birigui/SP e, foi financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES).
A ideia central do subprojeto era, dentro do contexto da educação matemática,
explicitar entre os envolvidos que a educação ideal se faz por meio da ação direta de
seus atores, em especial dos professores, e que o avanço dos resultados educacionais
tem relação direta com a melhoria na formação inicial docente. Tal progresso implica,
por um lado, na ampliação do conhecimento matemático e político-pedagógico, no
domínio das técnicas e tecnologias próprias da profissão docente, e, por outro, no
desenvolvimento de uma cultura onde o ensino e a pesquisa sejam componentes
176
indissociáveis.
Partindo disso, a proposta desenvolvida pelo PIBID foi elevar a qualidade das
ações no processo de ensino-aprendizagem durante a formação inicial dos futuros
professores de Matemática formados pelo campus Birigui do IFSP. Inserindo-os no
cotidiano das escolas públicas, possibilitando a integração da educação superior e
básica, e promovendo a participação dos futuros professores em experiências
inovadoras e interdisciplinares que melhorem a qualidade do processo de ensinoaprendizagem. Dessa forma, ao trabalharem junto com os professores atuantes na Rede
Pública de Ensino podem vislumbrar o seu trabalho como futuros professores e, através
da pesquisa, possibilita-se a análise da realidade em que se inserem e a construção de
novos conhecimentos a partir de suas experiências.
Parte
dos
Matemática
problemas
estão
referentes
relacionados
ao
ao
ensino
de
processo
de
formação do magistério, tanto em relação à formação
inicial como à formação continuada. Decorrentes dos
problemas da formação de professores, as práticas na
sala de aula tomam por base os livros didáticos, que,
infelizmente,
são
muitas
vezes
de
qualidade
insatisfatória. A implantação de propostas inovadoras,
por sua vez, esbarra na falta de uma formação
profissional qualificada, na existência de concepções
pedagógicas inadequadas e, ainda, nas restrições
ligadas às condições de trabalho. (BRASIL, 1997, p.
22).
Assim, as atividades propostas para os licenciados foram: 1) aprofundamento do
fundamento teórico acerca dos conhecimentos próprios da Matemática e os de caráter
político-pedagógico por meio de leituras, participação em atividades de planejamento e
reuniões pedagógicas; 2) desenvolvimento da prática de ensino por meio do apoio às
aulas e regências; 3) proposição e construção de soluções para situações da prática
177
cotidiana da escola e do ensino de Matemática que requerem alternativas para a solução
de problemas que neles se apresentem, preparando e aplicando atividades tais como
oficinas, gincanas, olimpíadas e outros eventos; 4) desenvolvimento de uma cultura de
integração entre ensino e pesquisa, por meio do registro, avaliação e relato das práticas
vivenciadas, à luz das teorias que sustentem suas análises e possíveis proposições.
A partir disso, a proposta apresentada no Programa de Bolsa de Iniciação à
Docência pelos alunos-bolsistas foi de realizar ações como: a) troca de experiências
com a comunidade escolar; b) elaboração de materiais didático-pedagógicos através de
oficinas a serem ministradas na escola, bem como na interlocução com outros campi do
IFSP; c) participar, junto com os professores dos cursos de Ensino Médio Integrado
com a Educação Profissional de Nível Médio, nas atividades dos Projetos Integradores
dos cursos, desenvolvendo materiais pedagógicos para o ensino-aprendizagem de
Matemática e de um portal na internet para a disposição desses recursos ao público em
geral.
No presente artigo, serão apresentados os resultados obtidos através dos relatos
realizados pelos alunos-bolsistas referente às suas primeiras percepções sobre o
subprojeto do PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência), no qual
um dos objetivos era de contribuir para a melhoria do processo ensino-aprendizagem, na
disciplina Matemática, através de metodologias que possibilitassem um progresso
durante o ensino dos conceitos matemáticos em sala de aula.
E diante das várias metodologias existentes os alunos-bolsistas optaram pela
elaboração e utilização de jogos para o ensino da matemática. Tais atividades foram
desenvolvidas a partir dos trabalhos realizados por Pires (2001), que tem uma produção
muito significativa nessa área de estudo.
Estudos recentes relatam que utilizar a metodologia de jogos permite facilitar a
socialização e a inclusão, visto que os alunos, ao buscar alternativas para vencer, aliamse formando laços de amizade e cooperação, deixando o ambiente de aprendizagem
mais agradável e produtivo; professor e alunos tornam-se parceiros em busca de um só
objetivo. O ato de jogar ainda permite a discussão, a experimentação e o estudo de
conceitos de modo espontâneo.
178
Referencial teórico
Desde seu início, ainda na era platônica e pitagórica, a Matemática tem sido
vista como uma ciência difícil, associada a uma classe privilegiada. Em razão dessa
bagagem, o ensino de Matemática apresenta elevados índices de dificuldade. Para tentar
suprir essa defasagem, surgiram diversas reformas, como o Movimento de Matemática
Moderna (MARTOS-RODRIGUES, 2010).
As dificuldades no processo de ensino-aprendizagem da Matemática na escola,
sobretudo no Ensino Médio vêm aumentando aceleradamente uma vez que a família
tem deixado de exercer sua contribuição no desenvolvimento da aprendizagem. Diante
de tais evidências é preciso que a escola cumpra sua função transformadora e que a
Matemática renasça com um novo olhar pedagógico no meio escolar configurando um
novo sentido e facilitando o desenvolvimento do ensino-aprendizagem da Matemática.
Hoje, para poder ensinar o aluno, o professor tem buscado fontes alternativas
que propiciem um aprendizado didático e concreto ao mesmo tempo. Uma alternativa
tem sido a adoção de jogos matemáticos que além do aprendizado, estimulam a
criatividade do aluno.
Quando se fala em jogo, as pessoas em geral tendem a imaginar uma
brincadeira. Por isso, é necessário delimitar as diferenças entre jogos e brincadeiras e
para tanto, considera-se, como segue, o que enfatizam as autoras Flemming (2009) e
Kishimoto (2008).
Se procurarmos a palavra jogo no dicionário, ela virá como sinônimo de
brincadeira. Porém, nesse contexto, ela será utilizada como sendo “atividade
relacionada com o ensino, de natureza recreativa, usada em sala de aula para obtenção
de um maior rendimento no processo de ensino-aprendizagem de um conteúdo
específico” (FLEMMING, 2009, p. 4). Como característica geral, os jogos possuem um
sistema de regras.
Saber o conceito de brinquedo também é útil para ver nitidamente a diferença
levantada. Neste sentido, Kishimoto (2008, p. 21) afirma que: “Diferindo do jogo, o
brinquedo supõe uma relação com a criança e uma abertura, uma indeterminação quanto
ao uso, ou seja, uma ausência de um sistema de regras que organizam sua utilização”.
Grandes teóricos da educação infantil, como Piaget (1961), veem o jogo como
179
algo essencial na vida da criança, pois é o período em que prevalece a assimilação. No
jogo, a criança se apropria daquilo que percebe da realidade.
Em razão da grande importância dada ao jogo, há a necessidade de reflexões
sobre algumas questões antes da sua aplicação, sendo uma delas a respeito da
diferenciação sobre o que é jogo e o que é brincadeira.
Abaixo, segue o fluxograma da metodologia elaborado por Flemming (2009)
que aborda as questões citadas:
Quadro 1: Tabela na qual FLEMING (2009) apresenta reflexões que o professor deve fazer
antes de iniciar o jogo em sala de aula.
Um exemplo de disso é uma atividade já bastante utilizada denominada de
“mercadinho”. As crianças são convidadas a trazer sucata de casa para compor o
estoque e confeccionar o dinheiro para as compras. Além de usar conceitos matemáticos
como operações com decimais, a cidadania também lhes é ensinada.
Flemming (2009, p.4) argumenta que o professor ao decidir trabalhar com jogos
deve responder às seguintes questões: “Pretendo usar o jogo em minha sala de aula?
Qual o objetivo que pretendo atingir? Conheço um jogo adequado? Vou precisar fazer
uma adaptação? Como aplicá-lo? Em que momento da minha sequência didática o jogo
vai ser inserido? Depois de aplicado: Os meus objetivos iniciais foram atingidos?”.
Após responder a essas questões e analisar suas respostas, acredita-se que o
professor saberá se o jogo trará benefícios a sua turma. E como afirma Flemming (2009,
p.4): “Os jogos podem minimizar as dificuldades de aprendizagens e, principalmente,
180
facilitar o resgate de conceitos e propriedades Matemáticas de forma mais espontânea e
natural”.
Dessa forma, como afirma Pimenta (2009, p.17), “(...) estamos empenhados em
ressignificar os processos formativos a partir da reconsideração dos saberes necessários
à docência, colocando a prática pedagógica e docente escolar como objeto de análise”.
Diante do exposto, este artigo relata, de forma geral, as experiências vividas
pelos alunos do PIBID/BIRIGUI Subprojeto-Matemática, desde 2º semestre de 2013 até
o ínicio do 2º semestre de 2014, nas escolas públicas parceiras, localizadas na cidade de
Birigui/SP.
Problemática anunciada, desenvolvimento e metodologia
A metodologia deste trabalho baseou-se em analisar as percepções dos alunos
bolsistas do PIBID – Campus Birigui sobre o projeto em um contexto geral e em relação
às intervenções pontuais realizadas nas escolas parceiras. O projeto realizado no IFSP
campus de Birigui possui prazo de vigência de 08/2012 a 02/2014 e é constituído de um
coordenador de área do subprojeto; dois professores supervisores e doze alunos
bolsistas. Este trabalho foi desenvolvido em duas escolas parceiras de educação básica
da rede estadual de educação na cidade de Birigui, sendo o ensino médio o foco
principal das atividades atreladas a este subprojeto.
Como parte das atividades do subprojeto, ao final de cada etapa do plano de
trabalho os alunos bolsistas foram estimulados a elaborar relatos de experiência sobre as
atividades desenvolvidas semestralmente. Nestes relatos além da descrição das
sequencias didáticas, materiais elaborados, intervenções realizadas nas aulas de
regência, estudo dos referencias teóricos e pressupostos metodológicos também foi
solicitado aos estudantes o registro, em formato de depoimentos, das impressões gerais
sobre o PIBID e a importância do programa para a sua formação.
Os relatos e os materiais didático-pedagógicos analisados neste trabalho foram
elaborados pelos estudantes bolsistas ao longo do ano de 2013. Como critério de
escolha foram selecionados os depoimentos de bolsistas de diferentes semestres,
visando assim investigar a percepção do licenciando em diferentes momentos de seu
181
processo formativo do curso de Licenciatura em Matemática.
Para discussão foram selecionados três depoimentos e uma intervenção realizada
por uma das duplas de alunas bolsistas em uma turma do 2° ano do Ensino Médio em
duas aulas de regência com duração de 50 minutos cada. A temática abordada foi
definida a partir de uma avaliação diagnóstica realizada pelo professor supervisor. Nesta
avaliação foi possível verificar dificuldades relacionadas a operações com frações e
números decimais. A partir deste levantamento as alunas bolsistas desenvolveram um
jogo intitulado "Baralho de Frações".
O jogo possuía as mesmas regras de um jogo muito conhecido pelos estudantes
chamado "truco", a diferença era que os "naipes" foram substituídos por outros
símbolos, neste caso, símbolos de conceitos matemáticos, os números das cartas eram
representados por frações. Na execução do jogo os alunos teriam que simplificar as
frações possíveis e transformá-las em números decimais e assim, determinar qual carta
possuía um valor maior que a outra.
Para a coleta de dados foi elaborado um questionário previamente estruturado
contendo dez questões abertas que indagavam sobre a contribuição do PIBID na
formação inicial dos alunos bolsistas; os pontos positivos e negativos das atividades
desenvolvidas; vivências referentes à imersão em sala de aula; articulação entre teoria e
prática; elaboração e execução das sequências didáticas e análise das intervenções
realizadas.
Esta pesquisa tem natureza predominantemente qualitativa. Trata-se de uma
pesquisa exploratória, pois, além de registrarmos e analisarmos os dados, nós buscamos
identificar as impressões e, consequentemente, as potencialidades que o subprojeto
PIBID exerce sobre os elementos participantes da pesquisa.
Discussão e análise dos resultados
O instrumento de análise utilizado foi constituído de questões abertas que foram
respondidas pelos participantes da pesquisa. O questionário buscou investigar por meio
dos depoimentos as impressões gerais e específicas dos alunos-bolsistas sobre o PIBID
e a importância do programa para a sua formação como futuros docentes.
182
Diante do espaço que dispomos para este artigo, apresentamos apenas algumas
falas identificadas a partir dos relatos dos alunos-bolsistas sobre suas percepções acerca
das questões a eles apresentadas no questionário acima citado. Indicamos “Relato n”,
onde n significa o excerto extraído da fala do aluno, sem identificá-lo. A terminologia
utilizada para identificar os relatos acerca das concepções gerais (G) e para as
específicas (E).
Destaca-se a seguir algumas constatações elencadas a partir de relatos referentes
às impressões gerais dos bolsistas após a realização das atividades propostas pelo
projeto.
Relato 1 (G): "No começo do projeto fiz a leitura dos textos
“Apologia do Diário Escolar”, “O uso de brinquedos e jogos na
intervenção
psicopedagógica
de
crianças
com
necessidades
especiais”, “Apologia do diário Escolar” entre outros, que me
ajudaram na elaboração de um seminário sobre jogos para crianças
com necessidades especiais... Em paralelo com as leituras e o
seminário acompanhei o professor de matemática... no 1º ano do
ensino médio integrado... Isso foi pra mim um grande aprendizado,
pois foi a primeira vez que tive esse tipo de contato com alunos. O
professor algumas vezes abriu espaço nas suas aulas para que fossem
dado jogos para os alunos, a fim de ajudar na compreensão do
conteúdo". (Aluna do 6º semestre do curso de Licenciatura em
Matemática).
Relato 2 (G): "...acompanho o professor-supervisor em suas aulas de
Matemática no primeiro ano do Ensino Médio. A primeira impressão
que tive foi um pouco frustrante. Os alunos conversavam muito e
mostravam-se bastante desinteressados em aprender. O professorsupervisor se desdobra para poder ter a atenção da turma e ensinar
tudo da melhor maneira possível, e é muito competente em sua
metodologia de ensino, contudo, tem que parar a aula várias vezes
para pedir silêncio. (Aluno do 5º semestre do Curso de Licenciatura
em Matemática)
183
Relato 3 (G): "...Inserir os alunos de licenciatura em Matemática no
cotidiano das escolas públicas e acompanhar um supervisor do
projeto é um dos melhores meios para adquirir experiência e
conhecer métodos de ensino-aprendizagem diversificados ...os alunos
da licenciatura participam do cotidiano escolar, aprendem a lidar
com os estudantes e conhecem diversas metodologias de ensino.
(Aluna do 4º semestre do curso de Licenciatura em Matemática).
A partir dos relatos acima constata-se o quanto é importante à realização desse
tipo de projeto nos cursos de Licenciatura em Matemática, pois colabora de fato para a
formação do aluno-bolsista como futuro professor. Nesta perspectiva, o subprojeto visa
desencadear ações que proporcione aos alunos-bolsistas licenciandos em Matemática o
conhecimento e a observação da realidade escolar; fundamentação teórica,
instrumentalização da prática e aprofundamento de conteúdos matemáticos tanto Ensino
Fundamental quanto do Médio, considerados de suma importância à formação e atuação
profissional.
No relato1 (G) destacamos na fala da estudante que apesar da mesma cursar o
sexto termo do curso o Programa lhe proporcionou o primeiro contato com a realidade
escolar. Outros trabalhos já realizados também sinalizam a falta de uma articulação
eficiente com o cotidiano escolar durante o processo formativo dos licenciandos (Zeulli
et al 2012). Severino (2002, p. 46) ressalta que “A teoria, separada da prática, seria
puramente contemplativa e, como tal, ineficaz sobre o real; a prática, desprovida da
significação teórica, seria pura operação mecânica, atividade cega.
A partir do relato 2 (G) pode-se observar que o aluno bolsista retratou um
cenário bem diferente dos demais relatos. Foi destacado por meio da observação
diversas variáveis que influenciam negativamente o processo de ensino-aprendizagem,
tais como: indisciplina, falta de interesse. Este contra ponto permitiu ao estudante
vivenciar uma situação real em que o educador (professor supervisor) ao se deparar com
elementos desmotivadores e que se não mediados de forma efetiva podem levar ao
fracasso escolar (BORUCHOVITCH 2001).
184
Sendo assim o subprojeto PIBID de Matemática buscou promover a participação
desses futuros professores em experiências inovadoras e interdisciplinares que
melhorem as condições do processo de ensino-aprendizagem, e o trabalho junto aos
professores atuantes da rede pública é extrema importância, pois reforça o caráter
formador do curso de Licenciatura em Matemática, para que os novos professores
possam ser estimulados, por meio da pesquisa, a análise da realidade em que se inserem
e a construção de novos conhecimentos a partir das suas experiências. O relato abaixo
corrobora com as afirmativas acima:
No que se refere à intervenção "Baralho de frações" realizada destacamos ainda
a seguir alguns relatos referentes às percepções específicas das alunas bolsistas após a
realização da atividade elaborada. Para análise foram selecionadas duas das questões
respondidas por uma das alunas que realizaram a intervenção em sala de aula.
Questão 1: Descreva a intervenção (atividades em grupo/individual;
houve a colaboração de outros bolsistas Pibid; tempo de duração):
Hoje a sala foi dividida em dois grupos, cada grupo foi para uma
sala, de modo que uma turma tinha a matéria normal com o professor
supervisor e a outra turma foi jogar jogos matemáticos comigo e com
a Maria. No final dos primeiros 50min as turmas trocaram de sala, e
a que estava com o professor supervisor foi pra sala dos jogos e vice e
versa... O intuito dos jogos era fazer com que os alunos assimilassem
de forma mais didática o conteúdo programado, através de jogos
matemáticos os alunos aprendem “brincando” e isso torna o
aprendizado mais dinâmico e divertido. Os alunos em geral gostaram
da experiência, alguns não queriam jogar, mas ao pensar que eles
teriam que voltar pra sala com o professor supervisor, eles logo
mudaram de ideia.
Questão 2: Após a intervenção houve aprendizagem significativa dos
conceitos abordados?
Não consegui ver os resultados em provas, mas segundo relatos dos
próprios alunos o jogo de Batalha Naval os ajudou muito ao
185
encontrar o ponto no plano cartesiano, o Baralho de frações alguns
alunos não gostaram muito, pois acharam muito complicado
transformar em os números fracionários em decimais, como tinham
dois modelos, um mais fácil e o outro um pouco mais complexo, os
alunos, obviamente, gostaram do mais fácil, sendo que um dos grupos
no final da aula começou a jogar perfeitamente e sem muita
dificuldade.
A partir da resposta apresentada na Questão 1 pode-se notar que apesar dos
alunos inicialmente não se interessarem pela atividade proposta, houve um consenso
entre eles de que a atividade com jogos é mais atrativa e motivadora que uma aula
tradicional. Neste sentido, segundo Flemming (2009) o uso de jogos no ensino da
Matemática pode abrir possibilidades de mudar a dinâmica da sala de aula, em um
aspecto positivo, pois pode aumentar o interesse do aluno pelo conteúdo desenvolvido.
Na Questão 2 foi observado pela aluna bolsista que alguns estudantes
apresentaram dificuldades ao lidarem com os conceitos abordados pelo jogo, tais como:
operações com frações e números decimais. Percebe-se que a falta de conhecimento
prévio acerca destes conceitos influenciaram na motivação da realização da atividade
proposta, porém ao realizar a atividade em grupo evidenciou-se que os mesmos
demonstraram maior familiaridade com o jogo e facilidade na execução as operações
evidenciando assim a aprendizagem significativa dos conteúdos envolvidos. Abaixo
apresentamos um recorte do depoimento desta aluna ao final da execução da
intervenção por ela proposta.
Relato 1 (E): O PIBID me proporcionou desde o começo um contato
com os alunos que eu dificilmente iria ter em um estágio, pude
acompanhar e ajudar os professores em sala de aula, além de
preparar algumas aulas, desenvolver jogos e ter uma boa relação
com os alunos e professores. O projeto preenche a lacuna que a
faculdade deixa, pois disponibiliza esse contado com a rotina em sala,
nos preparando para ela da melhor forma que existe, vivenciando, o
186
que acaba nos dando mais confiança para assumir uma sala. Na
faculdade vemos a parte teórica, aprendemos novos métodos e com o
projeto podemos aplicar eles nas aulas e assim conseguimos ver os
pontos que fazem a diferença no aprendizado dos alunos, o que acaba
tornando o trabalho prazeroso e gratificante. (Aluna do 6º semestre
do curso de Licenciatura em Matemática).
O Relato 1 (E) apresenta elementos importantes e significativos acerca dos
pontos positivos e contribuições que o PIBID traz para os seus participantes. Também é
evidenciada a motivação dos estudantes vivenciadas nas atividades com jogos
matemáticos e alguns aspectos relevante dessa prática pedagógica. Nesse sentido, o
PIBID colabora em “[...] tomar a prática existente como referência para sua formação
(PIMENTA, 2005, p. 26) e refletir-se nela.
No que se refere à introdução dos jogos como recurso didático para Smole
(2007, p. 11), as habilidades e competências são desenvolvidas ao jogar, neste sentido
os alunos têm a oportunidade de solucionar problemas, investigar e definir a melhor
estratégia de jogo, pois ao refletir e analisar as regras é possível estabelecer relações
entre os elementos do jogo e os conceitos matemáticos. Partindo disso os jogos
pedagógicos como o “Baralho de frações”, além a função lúdica, tem a função
educativa, ou seja, proporcionar determinadas aprendizagens nos indivíduos
participantes.
De maneira geral verificamos na maioria dos depoimentos referentes às
vivências proporcionadas pelo projeto, no contexto da sala de aula, são primordiais para
o desenvolvimento das habilidades e competências necessárias no sentido de “aprender
a ser professor” e ensinar (Perrenoud 2000), pois é fundamental compreender como agir
e solucionar os problemas na sala de aula assim como, entender e trabalhar melhor com
os conteúdos.
Conclusões e considerações finais
A partir da análise dos dados identificou-se alguns dos elementos que,
possivelmente, indicam o porquê os cursos de Licenciatura em Matemática têm
apresentado deficiências em sua estrutura quanto à formação dos futuros professores.
187
Neste sentido, tais problemas vêm afetando a qualidade de ensino de Matemática nas
escolas, pois as deficiências ocasionadas por uma má formação acabam sendo
transportadas para sua vida profissional acarretando ainda mais lacunas no processo
ensino-aprendizagem, como enfatiza os Parâmetros Curriculares de Matemática
(BRASIL, 1997).
Sabemos que ensinar Matemática não é uma tarefa fácil, porém é necessário
criar novos métodos e tentar mostrar a grande importância dessa área do conhecimento
no cotidiano, para que assim não ocorra somente uma aprendizagem tradicional e
mecânica, e sim uma reflexão sobre o que se está aprendendo.
A partir dos presentes relatos podemos perceber como é importante o projeto
PIBID Matemática nas escolas, o mesmo traz benefícios para alunos, professores e
acadêmicos tanto do Ensino Básico quanto do Ensino Superior, desta forma se estende
na prática a ponte entre escola e universidade que tanto se procurava. E ainda,
proporciona grande experiência, vivência para os alunos bolsistas e mais conhecimento
para os alunos participantes.
Todo esse trabalho além de colaborar com a carreira docente dos acadêmicos, os
futuros professores, consequentemente, também contribui para a elevação da qualidade
do ensino das escolas públicas.
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189
INVESTIGAÇÕES DAS CRENÇAS DOCENTES NO PROJETO PIBID.
Jurandyr C. N. Lacerda [email protected]
Giancarla Cavichioli Petrucelli Bettoni– [email protected]
RESUMO: Este trabalho evidencia alguns aspectos envolvendo os alunos do projeto
PIBID, implantado no IFSP/Araraquara estudando a crenças dos alunos do programa
verificando se esses alunos apresentarão as mesmas crenças dos professores iniciantes.
A identificação de crenças individuais é um processo muito complexo. Discussões sobre
pesquisas em crenças e motivação convergem para um mesmo consenso em que os
processos de ensino-aprendizagem levam a estudar e compreender variáveis externas
como a situação social e o contexto em que esses alunos estão inseridos. Nossas
conclusões são que a vivência de alternativas ao ensino de matemática tradicional,
mesmo com uma prática reflexiva não são sufucientes para mudanças na crenças
docentes.
Palavras-chave: Alunos projeto PIBID; crenças; conflitos.
190
INTRODUÇÃO
Atualmente, parece ser consensual nos trabalhos de pesquisa, que os professores
organizam mentalmente uma grande quantidade de conhecimento, do qual depende o
seu ensino e a forma como usam na sua prática. Assim, histórias pessoais diferentes,
crenças, concepções, e valores dos professores parecem influenciar nos saberes e nas
atitudes que estes manifestam em suas práticas, caminhando-se para uma aceitação de
que o conhecimento profissional do professor é fundamentalmente pessoal e prático, no
qual as suas concepções e crenças desempenham um papel importante (KAGAN, 1992).
Portanto, todos os dias, quando um professor de ciências entra em sala de aula,
traz consigo suas crenças, concepções e saberes sobre a ciência, e sobre o ensino e
aprendizagem de ciências, nos quais apoia e direciona suas ações. Para Kagan (1992),
essas imagens e crenças, gestadas anteriormente, sobre a sala de aula e o trabalho
docente são inflexíveis ocorrendo raras mudanças durante as atividades teóricas e
práticas do pré-serviço. Por extensão, a inflexibilidade dessas construções leva os
futuros professores a usarem essas mesmas imagens e crenças, como verdadeiros
“filtros” na relação estabelecida com os programas. Ou seja, as contribuições advindas
dos programas são vistas como efêmeras superficiais quando percebidas sob o efeito de
“filtro” de crenças e imagens.
De acordo com Barcelos (2006), nos estudos recentes sobre crenças nota-se uma
tendência em se tentar entender sua função no processo de ensino e aprendizagem de
matemática, seja através da análise do papel que elas exercem no ensino reflexivo, na
tomada de decisões dos professores, na sua identidade ou como elas interferem na
relação professor-aluno.
Araújo (2006) postula que as crenças são consideradas uma das grandes forças
que atuam na dinâmica da sala de aula e que as decisões dos professores podem ser um
reflexo de suas crenças a respeito de si próprio e de seus aprendizes, sobre matemática.
Acredita-se, portanto ser necessário que as crenças sejam compreendidas, por
um lado, como filtros usados pelos alunos para dar sentido e lidar com contextos
específicos de aprendizagem e, por outro, como uma investigação sobre experiências e
ações deles e do professor, suas interpretações, o contexto social. A definição para o
termo “crença” adotada neste estudo é a de que crenças são pressupostos adquiridos de
experiências prévias, construídas socialmente, a partir da percepção individual destas
191
experiências, que têm valor de verdade e credibilidade pra guiar o pensamento e o
comportamento e que são passíveis de mudanças. (SIEGEL, 1985; HARVEY,1986;
BARCELOS, 1995, 2006).
Neste trabalho procuramos identificar as crenças docentes em alunos de
licenciatura em Matemática nas reuniões semanais do PIBID para dar continuidade ao
nosso projeto de pesquisa. O programa institucional de bolsa de iniciação á Docência
(PIBID) é um investimento do Governo federal brasileiro patrocinado pela CAPES
diretamente aos cursos de licenciatura de todo o país.
Durante o curso de licenciatura em matemática, os estudantes convivem com
várias propostas para mudanças na forma de ensinar e aprender, visando a uma maior
qualidade no ensino.
No caso do PIBID, esses alunos já tem contato com escolas de ensino
fundamental, e fica mais fácil apresentar as crenças “filtros” e desenvolver conflitos ou
preocupações educacionais, especialmente em contextos que afrontem essas crenças. É
nesse contexto que observamos esses alunos, quando, e em que momento essas crenças
vão sendo evidenciadas, e os conflitos gerados pelas mesmas.
Durante nossas observações nos deparamos com situações descritas pelos
autores citados acima. Separamos essas situações em três momentos para que a
identificação dos conflitos ficassem mais claros, visto que identificar as crenças é um
processo muito complicado, já que estamos trabalhando com seres humanos com
personalidades bem diferentes e complexas.
Momento 1: Discussões sobre a atividade que os pibidianos irão desenvolver para a
aplicação em sala de aula. Neste momento deparamos com várias crenças, identificando
alguns conflitos que Franco (2000) coloca como conflitos internos e institucionais. Os
dilemas e dificuldades do professor iniciante que são causados pela exigência de
atuação na resolução de vários problemas, entre os quais, segundo Franco (2000),
destacam-se:
192
1)
problemas em conduzir o processo de ensino-aprendizagem,
considerando as etapas de desenvolvimento de seus alunos e o conteúdo
a ser desenvolvido; 2) problemas com a disciplina dos alunos e com a
organização da sala de aula. (p.34).
Também neste sentido, Sousa (1997) comenta:
Neste momento o professor sente “[...] como se da noite para o dia o
indivíduo deixasse subitamente de ser estudante e sobre os seus ombros
caísse uma responsabilidade profissional, cada vez mais acrescida, para
qual percebe não estar preparado.”(p.53).
Perrenoud (2002) faz uma síntese das características peculiares ao professor,
nesse período:
1. Está entre duas identidades, o de ser aluno e de assumir-se como professor;
2. O estresse, a angústia, diversos medos e mesmo momentos de pânico assumem
enorme importância, embora eles diminuírem com a experiência e com a confiança;
3. Precisa de muita energia, de muito tempo e de muita concentração para resolver seus
problemas que o profissional experiente soluciona de forma rotineira;
4. A forma de administrar o tempo (preparação, correção, trabalho de classe) não é
muito segura, e isso lhe provoca desequilíbrio, cansaço e tensão;
5. Passa por um estado de sobrecarga cognitiva devido ao grande número de problemas
que tem de enfrentar. Em um primeiro momento, conhece a angústia da dispersão, em
vez de conhecer a embriaguez do profissional que “joga” com um número crescente de
bolas;
6. Geralmente se sente muito sozinho, distante de seus colegas de estudo, pouco
integrado ao grupo e nem sempre se sente acolhido por seus colegas mais antigos;
193
7. Está em um período de transição, oscilando entre os modelos aprendidos durante a
formação inicial e as receitas mais pragmáticas que absorve no ambiente profissional;
8. Não consegue se distanciar do seu papel e das situações;
9.
Tem a sensação de não dominar os gestos mais elementares da profissão, ou de
pagar um preço muito alto por ele;
10. Mede a distância entre o que imaginava e o que está vivenciando, sem saber ainda
que esse desvio é normal e não tem relação com incompetência em com sua fragilidade
pessoal, mas que está ligado à diferença que há entre a prática autônoma e tudo o que já
conhecera.
Todas essas características citadas acima por Perrenoud (2002) são transpostas
para os alunos do PIBID, e muitas delas são o gatilho para os conflitos estudados no
nosso projeto de pesquisa.
Momento 2: discussão de como seria aplicada a atividade pelos Pibidianos na escola
desde o momento da separação dos grupos de alunos, até o fechamento da atividade,
pensando aqui em todas as possibilidades no momento do processo do
ensino/aprendizagem.
Veenman(1984) observou em suas pesquisas a ocorrência de mudanças
do
comportamento do professor iniciante com práticas características de um estilo mais
democrático no início da carreira para um estilo severo à medida que vai ganhando mais
experiência no exercício de sua função.
No entanto, é importante ressaltar que se são os piores anos, também constituem
um momento profícuo para mudanças e desenvolvimento profissional, pois :
[...] favorecem a tomada de consciência e o debate... Enquanto os
profissionais experientes não consideram ou nem percebem mais seus
gestos cotidianos, os estudantes medem o que supõem ser serenidade e
competência duramente adquiridas. [...] a condição de principiante
induz em certos aspectos, a uma disponibilidade, a uma busca de
194
explicação, a um pedido de ajuda, a uma abertura à reflexão. (
Perrenoud, 2002, p.14).
É o que Cavaco (1995), Gonçalves (1992) e Hubermam (1992) verificaram ao
observar sentimentos como
também
insegurança, peculiar ao início da carreira. Destacam
a ocorrência do sentimento
de descoberta nesse período profissional,
identificando assim um paralelismo, que esta fase conserva, entre a sobrevivência ou o
choque com o real e a descoberta, sendo a última motivadora para suportar a primeira.
Para Cavaco (idem, p.39) a sobrevivência é um aspecto caracterizado pela:
[...] confrontação inicial com a complexidade da situação profissional: o
tatear constante, a preocupação consigo próprio (“Estou-me a me
agüentar”), a distância entre os ideais e a realidade cotidiana de sala de
aula, a fragmentação do trabalho, a dificuldade em fazer face,
simultaneamente,
a
relação
pedagógica
e
a
transmissão
de
conhecimentos, a oscilação entre relações demasiado intimas e
demasiado distantes, dificuldades com alunos que criam problemas [...]
(p.39).
Entendemos que os conflitos aconteceram nos momentos citados acima, e no
fechamento quando os pibidianos relatam sua experiência falando sobre os momentos
em que perceberam o envolvimento dos alunos da escola onde aplicarão a atividade, ou
seja, momentos onde realmente aconteceu o processo de ensino –aprendizagem.
Momento 3: neste momento os pibidianos se encontram para seus relatos sobre a
aplicação da atividade proposta, neste encontro se torna clara as crenças dos
participantes quando se deparam com a realidade das escolas e o conteúdo visto pelos
alunos do ensino básico.
195
Este trabalho evidencia alguns aspectos envolvendo os alunos do projeto PIBID,
implantado no IFSP/Araraquara estudando a crenças dos alunos do programa
verificando se esses alunos apresentarão as mesmas crenças dos professores iniciantes.
Discutindo também a possibilidade de debates dessas crenças num ambiente de trabalho
de professor-pesquisador propiciado pela estrutura do projeto.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nos últimos anos, tem crescido o número de estudos que enfocam o trabalho do
professor (formação inicial e/ou contínua) do ponto de vista de suas próprias crença.
Alguns autores (LIMA, et al., 2007; MARCELO GARCIA, 1999; VONK, 1995)
entendem que a formação do professor é um continuum, ou seja, um processo que se
inicia antes da formação básica e se estende durante toda sua carreira. Desta forma, o
início da docência pode ser compreendido como uma das fases que compõe este
continuum e se dá efetivamente quando o professor ingressa na vida profissional,
período no qual ele passa a ter contato com o contexto escolar e vive situações reais de
ensino, ambientando-se à cultura escolar vigente, lutando por fazer parte do corpo
profissional da escola e assumindo efetivamente a responsabilidade pelo processo
educativo de uma classe de alunos.
Uma das abordagens de interpretação e investigação do processo de iniciação à
docência é aquele em que a análise “enfatiza os elementos sociais e culturais da
profissão docente e no assumir deles por parte do professor principiante” (MARCELO
GARCIA, 1999, p.114), entendido como o processo de socialização, no qual
“seletivamente adquirem os valores e atitudes, os interesses, habilidades e conhecimento
– em suma, a cultura – corrente nos grupos dos quais elas são ou pretendem se tornar
membros” (MERTON, READER e KENDALL, 1957 apud LÜDKE, 1996, p.25). A
socialização de professores em início de carreira com a cultura escolar representa,
portanto, um momento de adaptação com a instituição de ensino e a sua cultura. A
análise do processo de iniciação à carreira docente, do ponto de vista da socialização
dos professores com os membros da escola, pode identificar diversas fontes de
influência, tanto estruturais como pessoais, que determinam a adoção da “cultura de
196
ensino” por parte do professor principiante. Jordell (1984) indicou um modelo com
quatro níveis de influência: dimensão social, de classe, pessoal e institucional.
Lüdke (1996), em sua investigação sobre a socialização profissional de
professores, conseguiu perceber a importância de um bom “clima institucional” para o
desenvolvimento profissional dos professores participantes do estudo.
Quase todos os nossos informantes atestaram a importância da ajuda que receberam
dos colegas. [...] Na fase inicial parece ter sido fundamental a boa acolhida de uma
diretora, a orientação espontânea dada por supervisoras, por colegas de escola [...] A
própria escola foi percebida por alguns como desempenhando papel central nesta cena
inaugural (LÜDKE, 1996, p. 39).
A partir do estudo de Lüdke (1996) é possível perceber a importância que uma
boa acolhida tem para o início da docência e o papel central que a escola exerce nesse
período. Segundo Veenman (1988), a satisfação do trabalho pelos professores iniciantes
está diretamente ligada ao apoio e à qualidade das relações desses professores com
diretor e colegas de trabalho. Entretanto, alguns autores como Lima et al. (2007) são
unânimes ao constatar que o professor, em início de carreira, não recebe apoio
institucional. Há uma escassez de ações organizadas pela instituição que proporcionem
ao professor principiante ajuda para sanar dúvidas e partilhar dificuldades.
A análise feita por Gonçalves com as professoras dos anos iniciais permite a
identificação dos primeiros anos de carreira ou os últimos como os piores. A causa de o
final de carreira ser uma péssima fase a ver com a diferença e o mau comportamento
dos alunos, o cansaço, o sentimento de rotina, o desinvestimento amargo, agravado às
vezes por problemas de saúde.
Contudo, o início da carreira é identificado como a fase mais negativa da vida
profissional pela maioria das entrevistadas por Gonçalves, em vista da sua colocação
profissional, local do trabalho; um outro apontamento das entrevistadas se refere ás
condições
de
trabalho
e
um
grupo
significativo
ainda
apontou
aspectos
socioeconômicos dos alunos, a vida particular e a formação inicial.
197
Os alunos difíceis são geralmente relacionados ás dificuldades de aprendizagem
e/ou ao mau comportamento. Os meios carenciados trazem, como consequência a falta
de interesse dos pais, a escassa estrutura material, uma insuficiência de nutrição, de
agasalho, etc.
A vida particular exerce igualmente papel central no insucesso do início de
carreira, como saúde, filhos, gravidez e horários. Além disso os professores mencionam
a fraca formação e a falta de apoio pedagógico no início da carreira.
Todos esses fatores, mais a dificuldades encontradas dentro do ambiente escolar,
dito agora no nível institucional, desencadeiam conflitos muito significativos nos
professores em início de carreira, e que merecem um estudo mais aprofundado desse
assunto.
Beach & Pearson (1998), ao estudarem o pensamento de estudantes candidatos a
professores de um programa de formação inicial descobriram a emergência de 4 tipos
fundamentais de conflitos.
1.
Conflitos pessoais em suas relações com os estudantes, professores e
administradores.
2.
Conflitos relacionados às questões de ensino, que denominamos conflitos de
instrução, onde os alunos não respondiam positivamente à instrução, como o professor
previa.
3.
Conflito entre o currículo da escola e o currículo do professor.
4.
Conflitos de papel como professor, incluindo problemas com a ambiguidade da
transição de estudante para professor.
5.
Conflitos institucionais, expressos na expectativa com o programa da
universidade ou então com as complexidades e políticas do sistema escolar e pressões
para se socializar com a cultura das escolas e do ensino.
Nesse sentido, Beach & Pearson (1998) sugeriram uma categorização de
estratégias utilizadas pelos professores para enfrentarem os conflitos emergentes.
1.
Estratégias de nível I caracterizam-se pela negação/recusa/afastamento dos
conflitos, não levando aos questionamentos sobre as crenças.
198
2.
Estratégias de nível II geram apenas soluções de curto prazo, procuram mudar
fatores externos, entretanto estas estratégias de nível II levam a pouca interrogação de
suas teorias pessoais ou sistemas de crenças.
3.
Estratégias de nível III, envolvem a consideração e/ou implementação de
mudança de longo prazo nas crenças. Ocorre o uso dessas estratégias quando os
professores ganham mais consciência da complexidade do ensino e estão mais abertos a
interrogar suas próprias percepções e teorias de ensino.
Alguns estudos apontam a solidão e o isolamento como sentimentos que tomam
conta do professor iniciante, sendo fruto de um sentimento de inexperiência e
insegurança no início da carreira (MARIANO, 2005). O professor novato ao observar a
realidade de seu trabalho, apoiando- se em suas crenças e desejos, pode desenvolver
conflitos e/ou preocupações educacionais, especialmente em contextos que afrontem
suas construções psíquicas (BEJARANO e CARVALHO, 2003). Tais conflitos podem
ser entendidos como situações em que o professor não esperava encontrar ou que está
em contradição com suas próprias crenças e expectativas do que é ser professor
(QUADROS et al., 2006). Nestas situações muitas vezes o iniciante tende, mesmo que
inconscientemente, a ver o professor experiente como um modelo, um espelho. Neste
contexto, partindo do pressuposto que a profissão professor é eminentemente
conflituosa e que os primeiros passos potencializam esses conflitos, a presente pesquisa
busca relatar alguns dos principais conflitos vividos por alguns professores em início de
carreira. 199
METODOLOGIA.
A identificação de crenças individuais é um processo muito complexo.
Discussões sobre pesquisas em crenças e motivação convergem para um mesmo
consenso em que os processos de ensino-aprendizagem levam a estudar e compreender
variáveis externas como a situação social e o contexto em que esses alunos estão
inseridos.
No presente trabalho serão realizadas técnicas de levantamento de dados por
observação,. A observação é uma técnica que deve ser sistematicamente planejada,
registrada e ligada ao contexto de levantamento de dados que está sendo realizado. O
199
sentido dessa técnica é trazer a realidade vivenciada por esses alunos por meio de
gestos, atitudes simbólicas e verbais.
Propomos investigar o problema através de um estudo de caso, com análise
qualitativa dos dados. O estudo de caso é um estudo de natureza empírica que investiga
um determinado fenômeno, geralmente contemporâneo, dentro de um contexto real de
vida, quando as fronteiras entre o fenômeno e o contexto em que ele se insere não são
claramente definidas. Trata-se de uma análise aprofundada de um ou mais objetos
(casos), para que permita o seu amplo e detalhado conhecimento (GIL, 1996; BERTO;
NAKANO, 2000). Seu objetivo é aprofundar o conhecimento acerca de um problema
não suficientemente definido (MATTAR, 1996), visando estimular a compreensão,
sugerir hipóteses e questões ou desenvolver a teoria.
Propomos um estudo único e longitudinal e a coleta dos dados e resultados
apresentados abaixo foi feito através das observações realizadas nas reuniões do PIBID.
RESULTADOS E DISCUSSÕES.
Os alunos do projeto desenvolveram uma atividade relacionada com o cálculo de
área e perímetro e aplicaram essa atividade em duas escolas conveniadas com o
IFSP/Araraquara, sendo essas escolas muito distintas em sua realidade, uma urbana e
outra localizada em um assentamento rural nas proximidades da cidade de Araraquara,
trabalhando com uma realidade e culturas bem distintas.
Essa diferença entre as escolas acrescentou uma discussão muito mais produtiva
quanto à observação.
A atividade elaborada pelos licenciandos foi apresentar aos alunos o seguinte
problema: "Nossa escola tem a necessidade de substituir o alambrado por um muro de
dois metros de altura.
A prefeitura municipal se prontificou a fazê-lo, porém cabe a nós alunos
calcularmos o custo do mesmo.
Planeje o procedimento necessário para a execução da obra."
200
Na bancada ao lado deles, foram colocadas algumas trenas de diferentes
tamanhos e algumas réguas graduadas. Também foram cortados três barbantes iguais,
medindo 5,30 cm cada. Cada grupo ficou com um pedaço de barbante que seria
utilizado para a medição da escola, a trena só auxiliaria para medir espaços menores ou
que o barbante não daria para medir. A régua não auxiliou nas medidas, apenas para
fazer desenhos geométricos na hora da resolução dos exercícios.
Foi fornecido aos alunos o preço de três tipos de tijolos com suas dimensões e
preços, conforme a tabela 1.
Tabela 1- preço de três tipos de tijolos com suas dimensões e preços
Tijolo
Dimensões (cm)
Preço (R$)
Tijolo de Cerâmica
11x14x24
1,00
Bloco de Concreto
10x20x40
2,30
Tijolo Comum
11x7x23
0,60
A ideia principal da atividade foi contextualizar os conceitos de área e perímetro
entre os alunos com algo próximo a eles. No caso, o muro é algo que faria com que eles
mesmos fizessem as medições e chegassem a resultados importantes. Além disso, os
alunos dessa escola são da área rural, sendo o trabalho de pequenas construções como
cercas e muros algo normal na sua vida cotidiana.
Dessa forma, pretendíamos atender ao quesito que a tarefa fosse familiar por um
lado, pois era algo normal de ser visto na realidade do aluno e, provavelmente, muitos
deles já se envolveram na tarefa de ajudar um parente no conserto ou construção de
algo. Por outro lado era não usual, pois exigia medidas usando um instrumento não
comum para esta tarefa, como um pedaço de barbante, que envolvia uma reflexão sobre
o ato de medir e conversão de unidades, além do uso de operações básicas e dos
conceitos de área e perímetro.
201
Os licenciandos foram divididos em duplas e cada dupla acampanhou um grupo
de três alunos durante a realização dasa atividades. Cada bolsista carregava consigo um
“diário de bordo” onde deveria anotar sua observações e reflaxões in loco.
Após a realização das atividades, cada licenciando deveria preparar uma
narração sobre a atividade a apresentá-la a todo o grupo PIBID em uma reunião
marcada para este fim. Após a apresentação das narrações, houve um debate sobre as
conclusões por eles apresentadas.
Num primeiro momento, todos se mostraram entusiasmados com o resultado da
atividade. Ressaltaram a grande participação e interesse dos alunos por aquela atividade
que destoava do cotidiano da sala de aula. Porém, quando nos aprofundávamos na
descrição de como havia sido o transcorrer da atividade, mostraram descontentamento
com a dificuldade dos alunos em fazerem os cálculos de operações básicas e de alguns
conceitos elementares da matemática. Acusavam o insucesso da escola em ensinar ou
responsabilizavam os alunos pelo mal desempenho em cálculos que no entender deles já
deveriam ser de domínio dos alunos.
O interessante, é que ressaltavam a maneira como os alunos intereagiam entre si
e com eles próprios na superação das dificuldades, mas isso não bastava para superar o
descontentamento com os resultados da sala de aula. Como professores iniciantes,
valorizaram mais o desempenho pontual do que o processo de ensino/aprendizagem.
Algum tempo depois dessa experiência, a escola elaborou um simulado de
questões objetivas preparatório para o Saresp em que havia questões sobre área e
perímetro. A supervisora (professora da rede pública de ensino e participante do grupo
PIBID) teve o cuidado de separar o resultado do desempenho dos alunos da sala
trabalhada especificamente nas questões que envolveram este tema.
Aqui, percebemos novamente a frustação dos licenciandos quanto ao
desempenho dos alunos que, embora estivessem na média da escola, ainda não
apresentavam o resultado que eles imaginavam que deveria haver depois do trabalho
desenvolvido. Alguns chegaram a manifestar a necessidade do retorno do tema da aula
naquela sala, mas desta vez trabalhada com “mais rigor” de modo tradicional e com
mais exercícios objetivos, além avaliações mais rígidas de forma a reconduzir alunos
ruins ao “bom caminho”.
202
Ou seja, o reconhecimento do processo de ensino/aprendizagem durante a
atividade, assim como trabalho de leitura de textos sobre educação e construção do
conhecimento ou mesmo o próprio processo de construção das atividades não se
mostraram suficientes para a superação das crenças docentes sobre a valorização do
desempenho em detrimento da aprendizagem.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após a análise feita mediante a observação, temos como conclusão que os
alunos participantes do PIBID mostram as crenças docentes típicas dos professors
iniciantes. Na verdade este resultado já era esperado, pois estas crenças são
desenvolvidas na sua vivência escolar enquanto alunos, como mostram as literaturas
sobre o tema.
Tais crenças, em especial aquela em que a culpa do insucesso da aprendizagem
se deve apenas aos alunos que não se esforçam ou a escola que não avalia
adequadamente, são reforçadas no ambiente escolar por cobranças de desempenho cada
vez mais frequentes no sistema de ensino, tais como o Saresp, ENEM etc, que chegam a
premiar ou desqualificar o trabalho do docente apenas baseados em avaliações pontuais.
A prática da sala de aula acaba por se guiar por um treinamento objetivando
resultados rápidos de desempenho para os quais prevalece a ideia de que o ensino pode
ser planejado conforme uma racionalidade técnica, tal como se planeja a construção de
um prédio.
Em tais espaços não há tempo para se levar em consideração os processos
individuais de construção do conhecimento, pois há pouca interação ente professores e
alunos e as avaliações são sempre feitas por desempenho e de maneira homogênea. O
único resultado possível de tais avaliações são se o grupo de alunos obtiveram o
desempenho esperado ou não, diagnóstico que pouco contribui para o aperfeiçoamento
do processo de ensino/ aprendizagem.
Esperava-se que o trabalho feito num espaço privilegiado como o Pibid
melhorasse a superação dessas crenças na medida em que as discussões sobre a
literatura, o envolvimento na elaboração de práticas alternativas e a reflexão em sala de
aula e fora dela fossem acontecendo. Porém, notamos que a despeito de percebemos
203
algum avanço nas reflexões, a resistência a mudança dessas crenças foi maior do que o
esperado. Não conseguimos provocar de maneira ampla um desequilíbrio cognitivo de
forma a que reavalissem seu papel de professor de maneira profunda. Quando
confrontados com a realidade retornavam ao seu discurso antigo.
Desta forma a proposta presente em vários trabalhos que tais crenças poderiam
ser confrontadas ou até mesmo superadas em uma prática reflexiva num ambiente de
baixo risco nas quais os licenciandos teriam contato com alternativas fundamentadas
teoricamente parece ser apenas uma parte da verdade, uma condição necessária mas não
suficiente.
Resta como proposta para futuras pesquisas elaborar dinâmicas de práticas
reflexivas que aumentassem a chance do aparecimento do conflito cognitivo a respeito
dos valores docentes tradicionais. Tais dinâmicas teriam de ir além da simples
apresentação de propostas alternativas ou do trabalho prático e sistemático em sala de
aula, já que a vivência destas propostas estão aquém das necessidades para superação
destas crenças.
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206
A PRÁTICA PEDAGÓGICA DE UMA PROFESSORA AO UTILIZAR O JOGO
“PERDAS E GANHOS” NA AULA DE MATEMÁTICA
Simone Cristina do Amaral PORTO - UNIAN – SP ([email protected])
Nielce Meneguelo LOBO DA COSTA – UNIAN – SP ([email protected])
Resumo: Este artigo discute parte de uma pesquisa que se desenvolve em um projeto
maior no âmbito do Programa Observatório da Educação da CAPES, a qual tem por
objetivo compreender de que maneira uma professora de matemática, do sexto ano do
Ensino Fundamental, participante de um processo formativo, integra a metodologia de
resolução de problemas à sua prática pedagógica. O curso de formação continuada
intitulado “Resolução de Problemas com Números Inteiros Por Meio de Jogos", foi
inspirado nos estudos de Bryant et al (2012) e discutiu diversos tipos de jogos para a
introdução dos números negativos e de operações com inteiros. A investigação se
caracteriza como qualitativa na visão de Bogdan & Biklen (1994) e a análise dos dados
é interpretativa. A fundamentação teórica quanto ao processo reflexivo está em Schön
(1988). Os estudos de Zabala (1998) nos auxiliam na observação e na análise da prática
pedagógica. A pesquisa se desenvolve em três fases interligadas: análise documental,
acompanhamento da participação do sujeito na formação continuada e observação da
prática de sala de aula, nesta última fase foram feitas entrevistas, uma inicial e outra
final. As atividades discutidas no âmbito do projeto foram adaptadas pela professora e
aplicadas em classe. Neste texto analisamos um episódio de aula, no qual a professora,
por meio do jogo “Perdas e Ganhos”, iniciou discussão sobre números positivos e
negativos. A partir de análises iniciais, pudemos concluir que a formação continuada
possibilitou à professora conhecer, confiar e utilizar a metodologia de resolução de
problemas ao iniciar um conteúdo matemático novo para seus alunos, no caso,
operações com números inteiros.
Palavras-Chave: Ensino de Matemática; Formação Continuada de Professores de
Matemática; Números Inteiros
207
Introdução
A pesquisa discutida nesse artigo está inserida em um projeto maior de formação
e pesquisa no âmbito do Programa Observatório da Educação (OBEDUC)i, intitulado
“Educação Continuada do Professor de Matemática do Ensino Médio: Núcleo de
Investigações Sobre a Reconstrução da Prática Pedagógica”, aqui referido como
“Projeto Observatório Práticas”ii. Para atingir seus objetivos, o Projeto Observatório
Práticas estabeleceu, no ano de 2013, uma parceria com três diretorias de ensino da
Secretaria Estadual do Estado de São Paulo (SEESP). A solicitação dessas diretorias de
ensino foi que as formações a serem empreendidas no projeto envolvessem tanto os
professores que lecionavam Matemática no Ensino Fundamental Anos Finais quanto os
do Ensino Médio, e não apenas os desse último segmento como era a proposta do
Projeto, uma vez que os professores licenciados em Matemática podem trabalhar nos
dois segmentos dependendo da atribuição de aulas que ocorrem no início de cada ano. A
demanda de formação foi sobre a resolução de problemas, portanto a formação
continuada se deu por meio de cursos, um deles intitulado “Resolução de problemas
com números inteiros por meio de jogos”.
O Curso de formação foi inspirado nos estudos de Bryant et al (2012)
desenvolvidos na Universidade de Oxford, Inglaterra, os quais abordaram a resolução
de problemas utilizando jogos para introduzir números inteiros. Vale enfatizar que,
entre os resultados desses estudos, consta que os professores ingleses estão cientes de
algumas demandas dos alunos para se prepararem para resolver de problemas
quantitativos com números inteiros, sendo uma delas a capacidade de decisão sobre a
operação a ser aplicada e, também, saber como executar os cálculos.
A Pesquisa
No cenário acima descrito se coloca nossa pesquisa que tem por objetivo:
“Compreender de que maneira uma professora de matemática do sexto ano do Ensino
Fundamental, participante de um processo formativo, integra a metodologia de
resolução de problemas em sua prática pedagógica”.
Com a intenção de atingir o objetivo, a seguinte questão norteou a pesquisa:
208
De que maneira a professora utiliza em sua pratica pedagógica a metodologia de
resolução de problemas para ensinar matemática no sexto ano do Ensino Fundamental?
A investigação, de cunho qualitativo segundo Bogdan e Biklen (1994), se realiza
em dois contextos: o da formação continuada e o escolar. No contexto da formação
continuada, por acompanhamento de oito encontros do Projeto Observatório Práticas
ocorridos no segundo semestre de 2013. No escolar por observação da prática da
professora participante, que leciona no sexto ano, em uma escola da zona norte da
cidade de São Paulo. O pseudônimo da professora será Sandra.
Justificativa
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) consideram a resolução de
problemas como uma estratégia para o ensino de Matemática, servindo como ponto de
partida para a atividade Matemática, que deve ser utilizada ao longo de toda a Educação
Básica. Contudo, salientam que essa estratégia vem sendo utilizado de forma
equivocada, “todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu
verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como
forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos.” (Brasil,
1998, p. 40).
Pesquisas sobre resolução de problemas como às de Coelho (2005), Redling
(2011) e Mengali (2011), que ocorreram vários anos depois desse alerta dos PCN,
confirmam que a resolução de problemas ainda, em muitos casos, é vista como uma
simples verificação de algoritmos e é utilizada após a formalização tradicional dos
conteúdos. Assim sendo, enfatizamos a relevância em oferecer cursos de formação
continuada nos quais os professores sejam estimulados a refletir sobre resolução de
problemas como uma metodologia possível a ser utilizada no ensino de conteúdos
matemáticos novos para os alunos. No processo formativo em questão, o foco foi em
resolução de problemas sobre “Números Inteiros”.
Os números inteiros estão presentes no dia a dia, como (-3ºC) indicando a
temperatura, ou (-1) para o subsolo do elevador, entretanto os alunos encontram
dificuldades na compreensão desses números e também ao operar com eles.
209
O Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo
(SARESP) acusa em seu Relatório Pedagógico de 2011 (SÃO PAULO, 2012), que um
grande percentual de alunos do 7º ano possuem domínio insuficiente em relação a esse
conteúdo, ou seja, quanto às competências e habilidades a ele relacionadas, e
classificados no nível de proficiência abaixo do básico. Como exemplo, a habilidade de
resolver problemas que envolvem operações com números inteiro, segundo o referido
Relatório Pedagógico de 2011, apresentou 38% de acertos (p.127), indicando a
dificuldade dos alunos em compreender as operações e utilizá-las quando se deparam
com um problema.
A dificuldade do ensino e aprendizagem dos números inteiros espelha os
obstáculos identificados na história para a construção desses números. Dissertações de
mestrado, tais como as de Hillesheim (2013), Salgado (2011) e Bordin (2011), que
abordam ensino de números inteiros, trazem um panorama histórico da construção
desses números e enfatizam que, embora os números negativos remontem da época de
Diofanto, esses números demoraram 1500 anos até serem rigorosamente definidos, dada
a dificuldade em compreendê-los.
Duarte (2013) enfatiza que, na Idade Média os números inteiros eram utilizados
principalmente nas questões comerciais, com o sentido de débito e crédito, contudo não
eram ainda aceitos como números. René Descartes (1596-1650), no século XVI definiu
um sistema de coordenadas a partir de duas semi-retas opostas, obtendo um eixo que
que vai do negativo para o positivo, estabelecendo uma representação para números
negativos, entretanto, ele operava somente na parte positiva do plano (1º quadrante), o
que pode ser um indicativo da insegurança em trabalhar com os negativos. Outros
cientistas como Leonard Euler (1707-1783), tentaram explicar a regra de sinais dos
números inteiros, mas suas explicações não foram convincentes. Foi somente no século
XIX com Herman Hankel (1867), em "Teoria dos sistemas complexos" que os números
inteiros foram definidos e apresentados com todo rigor matemático. Os obstáculos
enfrentados ao longo da história nos alertam para a complexidade de ensinar números
negativos para os nossos alunos.
Salgado (2011), em sua pesquisa apresentou uma sequencia de ensino dos
números inteiros com a utilização de calculadora e de jogos para o ensino desses
números, argumentando que o jogo, “trabalha com um nível de imaginação que,
210
balizadas por determinadas regras, lhe possibilita transcender o real, contribuindo pra
que desenvolva sua capacidade de abstração” (p. 69). Ele também alerta para os perigos
de usá-los em sala de aula sem um objetivo definido.
“quando os jogos são mal utilizados, existe o perigo de dar ao
jogo um caráter puramente aleatório, tornando-se um “apêndice”
em sala de aula; requer um tempo maior, por isso o professor
deve tomar cuidado para não prejudicar outros conteúdos; a
pressão do professor para que o aluno jogue o que provoca a
destruição da voluntariedade pertencente à natureza do jogo”
(Salgado, 2011, p. 70)
Nas conclusões da pesquisa, o autor apontou para as possibilidades em auxiliar
a aprendizagem, a partir da sequencia de ensino proposta, utilizando jogos e
calculadora, além disso, verificou que as aulas ficaram mais dinamicas e atraentes para
os alunos.
Na próxima seção apresentamos o aporte teórico-metodológico da pesquisa.
Fundamentação Teórico - Metodológica
A pesquisa que subsidia este artigo teve por fundamento os estudos de Zabala
(1998) para a observação e análise da prática pedagógica da professora. Para o autor, a
configuração da prática educativa é determinada por vários fatores, entre os quais os
parâmetros curriculares, características institucionais e organizativas, além de fatores
como ideias, valores, hábitos pedagógicos dos professores, etc. Essas variáveis não
podem ser vistas separadamente, pois o que acontece na aula só pode ser analisado na
interação de todos os elementos da aula. Portanto, pesquisar sobre a prática requer uma
observação constante.
Para Zabala o conhecimento e a experiência auxiliam o professor a obter uma
melhora na sua prática educativa.
Geralmente se consegue esta melhora profissional mediante o
conhecimento e a experiência: O conhecimento das variáveis que
intervêm na prática e a experiência para dominá-las. A
experiência, a nossa e a dos outros professores. O Conhecimento,
aquele que provém das investigações, das experiências dos outros
e de modelos, exemplos e propostas. (Zabala, 1998, p. 13)
211
Schön (1988) apresenta ideias do processo reflexivo na docência e considera que
a reflexão não é apenas um processo psicológico individual, também estão envolvidos
outros fatores como a experiência, valores, emoções, interesses pessoais entre outros.
Schön considera essencialmente três dimensões da reflexão: a que ocorre na ação, a
reflexão sobre-a-ação e a reflexão sobre a reflexão-na-ação.
A reflexão na ação se caracteriza nas ações rotineiras, no pensamento prático é o
fazer e pensar ao mesmo tempo em que o professor está atuando. Nesse processo o
professor se apresenta mais maleável durante as interações da prática. Esse tipo de
reflexão muitas vezes não favorece a formalização do conhecimento obtido nas
interações com os alunos. A reflexão sobre a ação e a reflexão sobre a reflexão-na-ação
ocorrem quando o professor se afasta da atividade docente podendo pensar nas situações
que ocorreram durante a aula, por exemplo como o conteúdo foi trabalhado, nas
relações professor aluno e nas mudanças que podem ser feitas para o aprimoramento de
sua prática.
Em relação à metodologia, a pesquisa tem caráter qualitativo, segundo Bogdan
& Biklen (1994), pois,
Os investigadores qualitativos (...) tentam compreender o
processo mediante o qual as pessoas constroem significados e
descrever em que consistem estes mesmos significados.
Recorrem à observação empírica por considerarem que é em
função de instâncias concretas do comportamento humano que
se pode refletir com maior clareza e profundidade sobre a
condição humana. (Bogdan & Biklen, 1994, p. 70).
Para a coleta de dados, utilizamos a concepção de pesquisa naturalista de
Bogdan & Biklen (1994) com coleta diretamente feita em campo, por meio de
observação participante, aplicação de questionários, entrevista,
entre outros
instrumentos.
Escolhemos a análise interpretativa dos dados, pois ela possibilita um caráter
inclusivo, na visão de Hernández (2000), para o qual esse tipo de análise “está na
compreensão do que acontece na classe”(p.40) levando-se em conta diversas váriaveis,
como por exemplo regras, valores pessoais e sociais.
212
A pesquisa se desenvolveu em três fases interligadas:
 Primeira fase – documental: envolvendo estudos sobre PCN e a resolução de
problemas como ferramenta pedagógica; o Currículo Oficial do Estado de São Paulo;
o livro didático utilizado na escola onde a professora leciona e análise de atividades
propostas pela professora (sujeito da pesquisa).
 Segunda fase – acompanhamento da participação do sujeito na formação continuada
proposta no Projeto Observatório Práticas.
 Terceira fase – observação da sala de aula com o propósito de acompanhar a pratica
durante e após os encontros de formação analisando a inserção da resolução de
problemas como estratégia pedagógica no ensino dos conceitos matemáticos. Nessa
fase também foi feita uma entrevista inicial, para levantar dados relevantes sobre as
concepções da professora sobre a resolução de problemas como metodologia de
ensino.
Na sequência, relatamos uma aula dupla da Professora Sandra, que foram observadas no
segundo semestre de 2013, nas quais ela utiliza o jogo, “Perdas e Ganhos”, que foi-lhe
apresentado e analisado na formação continuada do Projeto Observatório Práticas.
O jogo “Perdas e Ganhos” utilizado pela professora Sandra
Iniciamos apresentando o jogo proposto no curso de formação e escolhido pela
professora, denominado “Jogo de Perdas e Ganhos”. Em seguida descrevemos a
utilização desse jogo na sala de aula e por último, discutimos como os alunos de uma
classe de 6 ano participaram do jogo.
Na formação continuada foram discutidos diversos problemas e jogos, baseados
nos estudos de Bryant et al (2012) e também problemas e jogos de autores brasileiros.
O Jogo em questão está publicado no livro didático do 7º ano de Imenes & Lellis
(2012, p. 132), pode ser desenvolvido em duplas ou em grupos, e na sua confecção pode
ser utilizado material reciclado. No início, cada participante deve possuir 10 fichas
positivas, simbolizadas por tampinhas verdes e 10 fichas negativas, tampinhas
vermelhas. A cada dupla ou grupo deve ser distribuído doze cartões com escritos, por
exemplo, “perde 4 negativas” ou “ganha 3 positivas”, etc.
213
As cartas devem ficar com os comandos virados para baixo, cada jogador inicia
a rodada com 6 tampinhas verdes e 6 tampinhas vermelhas, simbolizando o positivo e o
negativo, a soma dos quais resulta em zero:
, as demais fichas ficam
reservadas. Na sua vez cada jogador sorteia uma carta, faz o que é pedido nela,
colocando ou retirando tampinhas, registra o cálculo em uma folha e passa a vez para o
próximo jogador. O final do jogo ocorre quando as cartas terminam e o vencedor é
aquele que tem o maior resultado.
Adaptação feita pela profa. Sandra
A partir da observação e de relato feito pela professora, observamos que ela fez
pequenas adaptações na abordagem pedagógica antes de aplicar o jogo aos seus alunos.
Os alunos auxiliaram a professora a confeccionar o jogo. No caso, as fichas foram feitas
em formato de círculos recortados em papel cartolina nas cores amarela, branca e rosa, e
as cartas com os comandos foram feitas em folha de papel sulfite, recortadas e depois
recobertas por plástico autoadesivo.
Sandra organizou os alunos em duplas e entregou a eles um conjunto de 16
fichas amarelas, 16 fichas rosas ou brancas e 12 cartas com os comandos para cada
dupla. A atividade do jogo foi desenvolvida em dupla, pois, segundo a professora isso
proporciona melhor concentração ao jogar e auxilia a gerenciar a sala.
Ela solicitou que os alunos registrassem em uma folha de papel sulfite os
resultados das jogadas que foram feitas inicialmente de forma livre, como treino.
Relato da aula na qual foi desenvolvido o jogo
A atividade em questão foi desenvolvida em uma aula dupla (1h40min) e a
professora iniciou conversando com os alunos informando que a atividade da aula seria
um jogo. Solicitou que eles se sentassem em duplas, e distribuiu folhas de sulfite com as
cartas de comando impressas e folhas de papel nas cores amarela, branca e rosa, pediu
aos alunos auxilio na confecção dos jogos recortando as cartas e circulos, conforme a
figura 1 e 2.
214
Figura 1: aluno confeccionando o jogo
Figura 2: material confeccionado para o jogo
Fonte: Acervo próprio
Fonte: Acervo próprio
Após a confecção do jogo a professora, definiu com toda turma que as fichas
amarelas representariam os números positivos e as fichas brancas ou rosas estariam
relacionadas aos números negativos. Entregou uma folha de sulfite em branco para cada
aluno e informou que os registros das jogadas seriam individuais, que na primeira
rodada o registro seria livre e depois ela iria inserir símbolos matemáticos para os
registros das próximas rodadas.
Explicou as regras do jogo fazendo uma jogada na lousa como exemplo e
solicitou aos alunos que jogassem. Circulou pela sala auxiliando algumas duplas.
Transcrevemos, a seguir, algumas interações entre a professora e as duplas de alunos.
Professora: Negativo é essa ficha?
Então o que a carta está falando?
Aluna 1: Perde 3 negativos
Professora: Então põe lá.
Começou com zero, ela perdeu 3.
Aluna 1: Agora é você.
Aluna 2: Perde 5 negativas.
Professora: Você tem 5 negativas?
Aluna: Não
Professora: Então você tem que acrescentar elas pra você tirar, o que você tem
que fazer pra dar 5 negativas?
Aluna 2: Acrescentar 2.
Professora: Agora eu posso tirar?
215
Aluna 2: Pode.
Professora: Então é assim que vocês tem que trabalhar.
Percebe-se a mediação da professora, auxiliando os alunos, segundo Zabala
(1998) é importante que o professor ofereça a ajuda necessária para que os alunos
superarem os obstáculos, nesse caso a regra do jogo.
Uma parte dessa rodada está na figura 3, na qual se pode observar uma carta que
um aluno virou e as fichas retiradas. No caso as três fichas rosa (que representavam os
negativos)
Figura 3: alunos jogando
Fonte: Acervo próprio
Na primeira rodada, os alunos se confundiram com o registro no papel, com quais fichas
deveriam colocar, ou tirar, que se após a jogada ficam sobre a mesa, por exemplo, duas fichas
amarelas e duas rosa o resultado dos seus pontos é zero, etc. A maioria das duplas só conseguiu
entender o jogo após a realização de uma rodada completa. Enquanto isso, a professora
caminhava pela sala para atender as duplas e dizia “Difícil né?”.
Observamos que em um determinado momento, nesta primeira rodada, ela orientou os
alunos:
Professora: Agora eu vou dar outra dica. Agora vou dar a parte da matemática.
(Ela se vira pra câmera dizendo) “Ou deixo jogar mais uma vez? Tá complicado
ainda né?
Se volta pra sala e Fala: Não. Pode jogar mais uma rodada, que a próxima eu entro
com a matemática.
216
Nesse momento foi possível constatar o que Schon considera a reflexão na ação,
fazer e pensar enquanto atua, modificando a qualquer tempo a estratégia para promover
a compreensão, nesse caso o jogo.
Na segunda rodada, notamos que os alunos já estavam mais familiarizados com
as regras e os registros, jogando com mais facilidade.
A figura 4, apresenta o registro de uma aluna envolvida na segunda rodada do
jogo. Nela é possível observar que a aluna registrou a jogada utilizando palavras e
símbolos, sinais (+ e -), para ela o sinal positivo significa que ganhou e o sinal negativo
que perdeu. Percebe-se que ela ainda não associa o sinal correto ao número inteiro
positivo e ao negativo, este é um conhecimento novo para o grupo.
Figura 4: registro de um aluno
Fonte: Acervo próprio
Fazendo a leitura da primeira linha temos: zero, início do jogo depois ganhou 4
negativos e perdeu 5 negativos. Nesse caso, a percepção sobre a equivalência entre, por
exemplo, perder cinco negativos com ganhar cinco positivos, foi sendo estabelecida
com o grupo de alunos a partir da mediação da docente ao longo da aula.
Pouco antes do término da aula a professora, conversou com alunos e pediu para
que todos prestassem atenção. Ela comunicou aos alunos que observou todas as mesas e
que os registros estavam certos, entretanto considerou interessante que alguns dos
alunos já usavam os sinais de (+ e -) no registro.
Perguntou então para todos os alunos como ficaria perdi 4, em coro os alunos
responderam, menos quatro (-4), depois ela perguntou ganhei 2 e os alunos
217
responderam novamente mais dois (+2). Na sequência, Sandra solicitou aos alunos que
terminassem a rodada e iniciassem outra, mudando a forma de registro, dessa vez
utilizando os sinais e não mais as palavras ganhou ou perdeu.
Nesse momento, nos reportamos novamente a Zabala (1998), que alerta sobre a
importância de considerar os aspectos positivos apresentados pelos alunos, criando
assim um clima adequado e de confiança que propicia maior interesse na participação
da atividade proposta.
Com a aula se aproximando do final, a professora solicitou a atenção dos alunos
e iniciou uma jogada, registrando os resultados na lousa, como se pode observar pela
figura 5. Nesse momento, foi sistematizando a atividade, dizendo que o jogo começou
com o zero, depois pediu para um aluno virar uma carta e registrou na lousa, depois
pediu para outro aluno virar a carta e registrou novamente.
Figura 5: registro da professora, para auxiliar os
alunos a utilizarem os sinais
Fonte: Acervo próprio
Figura 6: registro de aluno com a utilização de números inteiros
Fonte: Acervo próprio
A professora solicitou aos alunos que tentassem, terminar essa quarta rodada
utilizando apenas números e símbolos. Na figura 6 está o último registro de uma aluna
após a explanação da professora.
A seguir Sandra recolheu e guardou os jogos e a aula foi encerrada.
Considerações Finais
A professora usou o jogo para que os alunos começassem a compreender
números inteiros. A proposta de jogo abordou estratégias para executar operações de
adição com inteiros, de modo mais significativo para o aluno e não simplesmente
218
decorando algoritmos.
Além disso, o jogo foi inserido de modo a auxiliar o aluno
principalmente a construir o conceito de número negativo e a compreender o significado
do oposto de um negativo, por exemplo, – (-5).
As análises preliminares das observações da sala de aula, nos auxiliaram a
compreender de que maneira a professora iniciou o ensino de um conhecimento
matemáticos novo para os alunos com a utilização de jogo, a mediação feita e a gestão
da sala de aula.
A professora claramente tinha uma intenção pedagógica, ou seja um objetivo ao
aplicar o jogo, o que é fundamental ao usar jogos no ensino de matemática, como
registrou Salgado. Seu objetivo com a atividade, era formalizar a escrita dos números
inteiros, e verificar se os alunos perceberiam a regra de sinais, uma vez que, no
comando das cartas, a escrita da expressão numérica utilizava parênteses para depois
mudar o sinal conforme a operação, por exemplo perde 3 negativas –(-3), mas ela não
evidenciou para os alunos a sua intenção, foi aproveitando as oportunidades surgidas ao
longo das jogadas.
A professora usou a confecção do jogo em sala como estratégia para que os
alunos se sentissem mais inseridos na atividade. Consideramos essa estratégia eficaz,
pois os alunos puderam explorar as peças antes do jogo. No caso havia uma variável a
ser considerada, a professora utilizava sobras de cartolina e não tinha material suficiente
para confeccionar todas as fichas correspondentes aos números negativos da mesma cor
então utilizou as cores branco ou rosa. Assim, manipular as peças e os cartões, ler o que
cada um tinha escrito e, enfim, participar da confecção do material auxiliou os alunos na
sensação de pertencimento, quando as jogadas foram iniciadas.
Verificamos que Sandra ao atender as duplas, além de auxiliá-las com relação as
regras do jogo e manipulação das peças, introduziu os conceitos matemáticos
respeitando os conhecimentos prévios dos alunos e partindo deles. Para algumas duplas
ela apresentou o número inteiro, mas os alunos continuaram se apoiando na escrita do
perde ou ganha, entretanto, para as duplas que já haviam percebido que se pode registrar
somente com números e sinais ela auxiliou a formalização da escrita da expressão.
Verificamos a intenção pedagógica da professora, de que todos os alunos
tivessem o mesmo conhecimento e consequentemente montassem a expressão com o
219
rigor matemático, especialmente quando ela sistematiza na lousa a jogada mostrando o
registro na forma da expressão numérica.
Observamos a reflexão na prática, quando a professora fica em dúvida no
momento de inserir os sinais matemáticos, quanto à formalização da escrita dos
números inteiros logo na primeira jogada, decidindo que os alunos registrassem
livremente até compreenderem completamente as regras de funcionamento do jogo.
Analisando o protocolo de observação, concluímos que a professora está num
processo de reflexivo o que pode provocar mudanças na prática pedagógica. Embora a
aula seja centrada na figura da professora, o jogo proporcionou vários momentos nos
quais os alunos foram protagonistas, e administraram sua própria atividade,
principalmente com relação aos registros. Ainda que a professora indicasse a utilização
de números e sinais para anotarem a jogada, diversos alunos continuaram registrando
por palavras e a professora respeitou a expressão do raciocínio apresentado por eles.
Constatamos também o interesse dos alunos em participar de atividade
diferenciada do cotidiano da sala de aula e verificamos que os alunos vivenciaram a
exploração dos números inteiros e experimentaram a operação com esse conjunto
numérico. Vale ressaltar que a turma é de 6º ano e o conteúdo de números inteiros só
está na programação do 7º ano.
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ZABALA, A. A Prática Educativa - Como Ensinar . Porto Alegre: Artmed. 1998.
221
ANÁLISE DE NARRATIVAS DE PROFESSORES QUE ENSINAM
MATEMÁTICA E PARTICIPAM DE UM GRUPO COLABORATIVO
Neiva M. SAGIORO – UNICSUL – SP ([email protected])
Edda CURI – UNICSUL – SP ([email protected])
Resumo: Este trabalho é parte de uma dissertação de mestrado que analisa as narrativas
desenvolvidas por professores que lecionam matemática nos anos iniciais e finais do
Ensino Fundamental e participam de um Grupo Colaborativo de pesquisa na
Universidade Cruzeiro do Sul. Dessa forma, esta pesquisa apresenta o relato de duas
professoras que participam do Grupo, narrando o trabalho diagnóstico realizado com o
tema “Noção de Espaço” com alunos do primeiro ao sexto ano e os resultados
apresentados neste processo pelas docentes. Na curiosidade de uma análise mais rígida
sobre essas narrativas no ensino de matemática surgiu o seguinte questionamento:
“Como as narrativas de professores dentro de um grupo colaborativo de pesquisa
contribui para melhor compreensão e entendimento do ensino e aprendizagem na
educação matemática?” Com o objetivo de buscar contribuições significativas para o
trabalho com narrativas que estes professores apresentam dentro do Grupo e refletir
sobre o contexto de ensino bem como a própria prática docente, buscou-se dentro de
uma abordagem qualitativa uma revisão bibliográfica sobre o contexto de colaboração e
narrativas para melhor entendimento e compreensão do assunto, e na metodologia de
Bardin (2008) os recursos metodológicos da análise de conteúdo. Como dentro de um
Grupo Colaborativo de pesquisa em que professores narram suas experiências em sala
de aula é possível obter várias contribuições significativas, é importante a análise e
reflexão deste processo, tanto como pesquisador, como narrador e como professor que
pesquisa, visando aprimorar e melhorar sua prática docente. Assim, apresentamos
algumas considerações sobre este trabalho com narrativas de professores desenvolvido
no Grupo, buscando contribuições no processo de ensino de Matemática.
Palavras-chave: Ensino de Matemática, Grupo Colaborativo, Narrativas.
222
Introdução
O presente artigo aborda o trabalho de um Grupo Colaborativo de pesquisa na
Universidade Cruzeiro do Sul, campus da Liberdade em São Paulo, alocado no âmbito
do Programa Observatório da Educação, que conta com a participação de professores
dos anos iniciais e final do Ensino Fundamental, mestrandos e doutorandos do
Programa de Pós Graduação Stricto Sensu da Universidade e mestres e doutores. Este
grupo foi constituído ao final do ano de 2010, e apresenta em seus encontros o trabalho
que os professores desenvolvem em sala de aula, bem como, seus resultados e
expectativas para um melhor ensino de matemática com base em pesquisas recentes na
área.
Como o trabalho é desenvolvido com um grupo de professores, alguns
questionamentos sobre as narrativas das histórias que estes professores contavam,
começaram a despertar a curiosidade sobre uma análise mais rígida no que diz respeito a
essas narrativas no ensino de matemática. Primeiramente, foi desenvolvido a busca por
embasamentos teóricos sobre o que vem a ser colaboração e o que vem a ser narrativa, e
posteriormente a ponte entre esses dois contextos no ensino, com uma análise e reflexão
dos resultados encontrados.
Desta forma, esta pesquisa trabalha com a análise de conteúdo como
metodologia para análise das narrativas, buscando em Bardin (2008) os recursos
metodológicos.
No contexto de buscar contribuições significativas para o trabalho com
narrativas de professores dentro de um grupo colaborativo de pesquisa e refletir sobre
este contexto de ensino, bem como a própria prática docente, coloca-se em
questionamento “Como as narrativas de professores dentro de um grupo colaborativo de
pesquisa contribui para melhor compreensão e entendimento do ensino e aprendizagem
na educação matemática?”.
Para responder essa pergunta busca-se uma revisão bibliográfica e na
metodologia da análise de conteúdo os embasamentos necessários.
223
Embasamento Teórico
De acordo com a definição do dicionário Aurélio (2009, p. 244). Colaboração é
“o trabalho comum com uma ou mais pessoas; ajuda ou auxílio; artigo de jornal ou
revista feito por pessoas estranha à redação; participação em obra literária, científica,
etc”. Neste sentido, entende-se como uma forma de trabalho desenvolvida por mais de
uma pessoa, ou seja, em que mais pessoas estão juntas na busca de alguma coisa, de
algum objetivo comum.
Sobretudo, a colaboração vem a ser um tema bem sucedido atualmente,
principalmente nos últimos anos, encontrando bastante grupos que trabalham com
pesquisa colaborativa, aprendizagem colaborativa, ensino colaborativo. Para Stwart
(apud BOAVIDA, 2005), a colaboração envolve pessoas iguais em busca de um
objetivo comum, uma relação em que pessoas são de contextos diferentes podendo uma
utilizar a outra ou o contexto da outra para estudo, melhorando o ensino e a formação de
professores em Universidades e Escolas.
Dentro das Universidades e Escolas, com um número grande de pessoas,
trabalhar com a colaboração pode envolver tanto o todo como parte significativa desse
todo, e fazendo um trabalho de reflexão sobre a educação, visando à melhoria e
qualidade no ensino.
A colaboração contribui com resultados mais efetivos quando se tem uma
aprendizagem conjunta, e que aceita participar de um grupo colaborativo de
investigações, como sujeito dessa experiência conforme Larrosa (apud PONTE,
SEGURADO e OLIVEIRA, 2003) está, portanto aberto para a própria transformação.
A experiência de trabalhar em um contexto colaborativo de reflexões e
investigações traz aos integrantes do grupo, a possibilidade de expor seu trabalho, suas
dúvidas e seus objetivos como também de aprender com as narrativas e comentários de
outros participantes do grupo. Um processo de aprendizagem constante de ensino e
aprendizagem na busca da construção e reconstrução do conhecimento. Para Reason
(apud BOAVIDA e PONTE, 2002), a investigação colaborativa atravessa uma série de
passos lógicos com a identificação de questões, estabelecimento e implementação de um
plano de ação e reflexão sobre a experiência.
224
Conforme Magalhaes, Rocha e Varizo (2011), o trabalho colaborativo exige
negociação, um contínuo dar e receber, gerando novos conhecimentos, conhecimento do
outro e de si mesmo. O estar juntos na busca dos objetivos e nas negociações do
trabalho, onde os fatores de vontade de cada participante sejam determinantes para o
processo. Para Hargreaves (apud BOAVIDA, 2005) o trabalho coletivo nem sempre
representa colaboração, pois este é um princípio articulador e integrador da ação.
Portanto, para formar um grupo colaborativo tem que existir um interesse comum entre
as pessoas envolvidas e impulsionadas a investigar uma dada situação, que vise sempre
o crescimento e desenvolvimento do grupo, podendo promover aprendizagem e
construção de novos conhecimentos.
Quando realizado o ensino colaborativo, consequentemente, a aprendizagem está
vinculada a ele, já que o ato de ensinar envolve mais pessoas neste processo com o ato
de aprender. Segundo Anna, Bittencourt e Olsson (apud BOLEMA, 2011) o ensino
colaborativo por um lado, pode através das investigações, incentivar os docentes a
refletirem sobre suas próprias práticas; e de outro lado colocar uma aproximação entre o
universo acadêmico e as práticas escolares.
Neste sentido, de grupo colaborativo visando um ensino colaborativo, as
narrativas de professores podem ser trabalhadas dentro desses grupos com a finalidade
de refletir sobre a prática docente buscando contribuições para o sistema educacional.
Quando falamos em narrativas estamos além de tentando conhecer o narrador
conhecer também os fatos vividos por eles. As histórias narradas dão ao pesquisador
uma ideia e noção dos fatos, como também das pessoas que narram.
A narrativa segundo o dicionário Aurélio (2009, p. 573) é definida como: “sf. 1.
Narração (2). 2. Forma literária na qual se expõe uma série de fatos reais ou
imaginários; conto, história”.
Como esclarece Cunha (1997)
“Inicialmente tínhamos a perspectiva de que as narrativas
constituíam a mais fidedigna descrição dos fatos e era esta
fidedignidade que estaria garantindo consistência à pesquisa.
Logo nos apercebemos que as apreensões que constituem as
225
narrativas dos sujeitos são a sua representação da realidade e,
como tal, estão prenhes de significados e reinterpretações”.
Neste contexto, Bolivar (apud Cury 2010) faz a menção que a forma como as
narrativas são contadas nos fazem compreender o sentido que os humanos dão aquilo
que fazem. Quando o professor se torna o narrador, ele narra o que aconteceu em sua
experiência, em sua prática, buscando na memória cada detalhe para contar sua história.
Falar em narrativas de professores é envolver o ensino e aprendizagem, histórias
narradas que contam das experiências, da prática, o que ensinou, como aprenderam, o
que fez, como fez, onde fez. Narrar o seu trabalho docente, junto com sua vida e suas
emoções.
Larrosa (apud Marquesin e Passos, 2009) afirma que “a experiência envolve a
narrativa e narrativamente cada um expõe sua experiência”. Os professores que narram
suas experiências acabam expondo todo seu trabalho profissional, suas dificuldades,
inseguranças. Com a intenção de que estas narrativas venham a ser expostas dentro do
grupo colaborativo na forma de contribuir para o ensino, Marquesin e Passos (2009)
argumentam que “Consideram-se as narrativas como objetos que podem criar
oportunidades para que o professor examine a prática real de ensino, de forma a ampliar
seus saberes e a melhorar sua própria prática por meio do trabalho colaborativo”.
Tanto o narrador como o pesquisador, acaba aprendendo mais sobre o assunto
em questão como a partir dele acabam descobrindo novas coisas.
É importante falar de pesquisas que usam narrativas no sentido de entender e
compreender melhor a educação como um todo em se falando de ensino e
aprendizagem, como também, é a partir destas que podemos refletir sobre as práticas de
ensino bem como ajudar o narrador no seu trabalho docente.
Está é a principal intenção destas pesquisas que trabalham com narrativas na
educação. Não só a transcrição dos fatos, mas uma contribuição significativa no ensino,
em que o pesquisador usa destas falas para sua pesquisa e a partir delas um estudo que
busca analisar formas de contribuições significativas para o trabalho docente.
Dentro de um grupo colaborativo de pesquisa em que professores trabalham com
narrativas é possível obter várias contribuições significativas, mas é fundamental a
análise e reflexão deste processo, tanto como pesquisador, como narrador e
226
principalmente como professor que pesquisa, buscando aprimorar e melhorar sua prática
para o ensino e aprendizagem. De fato em toda análise sabe-se o ponto de partida, mas
não o resultado final. No entanto, o mais importante é o processo que se dá entre o
começo da pesquisa e o resultado, toda a análise e reflexão feita neste período.
Fiorentini (apud Oliveira e Passos, 2005) considera “A experiência investigativa, (...)
pode ser comparada a uma viagem na qual se sabe o ponto de partida, mas não se sabe o
ponto de chegada”.
Metodologia de Pesquisa
A análise de conteúdo é o método de análise apresentado no desenvolvimento
desta pesquisa para exploração qualitativa das mensagens narradas, uma vez que, a
análise de conteúdo ajuda a interpretar as mensagens buscando uma compreensão de
significados, como também uma ponte entre o que se investiga e os textos que
compõem a pesquisa. Segundo Bardin (2008, p. 33) “A análise de conteúdo é um
conjunto de técnicas de análise das comunicações”, ou seja, toda forma de comunicação
é possível de análise de conteúdo.
Como o próprio texto apresenta, esta análise é feita em cima de produções.
Nesta abordagem, encontra-se a linguagem como representante deste conteúdo. Assim,
Bardin (2008, p. 45) argumenta que “a linguística e a análise de conteúdo tem o mesmo
objeto: a linguagem”. Desta forma, explica que a linguística é a língua e que a análise
do conteúdo é a fala.
Quando feita está análise é também possível fazer uma divisão em unidades de
informações que vão surgindo, no caso, do trabalho com narrativas, é possível ir
separando as informações de mesma natureza para posteriormente reagrupar em
categorias e desta ainda que possível reagrupar em categorias de temas. “Classificar os
elementos em categorias impõe a investigação do que cada um deles tem um comum
com outros”, (Bardin, 2008, p. 146). Deste modo, ao analisar as narrativas é possível
classificar os elementos encontrados em cada uma em categorias de identificação do que
cada um tem em comum com outro.
No entanto, estas narrativas são histórias que contam experiências de vidas
recheada e acompanhada de sentimentos que o ser humano coloca em suas ações. O
227
sentimento nas ações e nas narrativas, duas vertentes distintas, mas dentro do mesmo
contexto, a primeira focando sua prática no ensino e a segunda que busca na memória o
acontecido para narrar.
Pesquisa das Narrativas
Como os professores trazem suas experiências práticas para o Grupo, foi
possível observar através de suas falas, “narrativas”, todo o trabalho que desenvolvem
em sala de aula, bem como o resultado de cada processo. Inicialmente, alguns
professores relataram o conteúdo proposto em suas aulas e depois como foi
desenvolvida a aula. Selecionando alguns desses relatos para esse texto, a análise das
narrativas direciona-se aos professores que trabalharam com o tema “Noção de Espaço”
nos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental.
A atividade que estas professoras desenvolveram com seus alunos do primeiro
ao sexto ano eram diagnósticas para verificar os conceitos iniciais que seus alunos
tinham do assunto em questão. Neste sentido, a atividade contava com uma
representação que os alunos faziam sobre a noção de espaço, tanto oral quanto em
desenhos.
De acordo com Pires, Curi e Campos (apud, Curi e Vece, 2013, p. 119)
[...] as primeiras relações que a criança representa graficamente,
são as de vizinhança, separação, ordem, entorno e continuidade;
muito cedo, ela distingue figuras fechadas e abertas, diferencia
interior e exterior de uma figura dada – noções topológicas. As
chamadas relações projetivas são aquelas que vão permitir à
criança, a constituição de uma Geometria, do espaço exterior e
não mais a partir de um único ponto de referência – ela própria –
mas a partir da coordenação de diferentes pontos de vista; desse
modo, noções como por exemplo, na frente/atrás, à direita/à
esquerda, deixam de ser absolutas e passam a ser relativas (na
frente/atrás de quê?/quem? À direita/à esquerda de quê?/quem?)
As professoras narraram o trabalho feito em sala de aula, apresentando os
resultados obtidos em um primeiro momento. Nestas falas as professoras expressam a
228
importância de trabalhar atividades que envolvem a Geometria, assim como a noção de
espaço, pois muitas vezes ficam presas ao livro didático, realizando atividades
mecânicas que o livro propõe.
Considerando a fala de uma dessas professoras, ela relata que percebe uma
evolução na compreensão de seu aluno no que diz respeito à forma de comunicação com
relação a posição ou trajeto de um objeto ou pessoa. Também argumenta a dificuldade
das crianças quanto à localização e sua representação a partir de um ponto referencial.
Em contrapartida, expressa a importância desse trabalho em que as crianças não são
podadas para realizar essas atividades e sim direcionadas.
Outra professora que também trabalhou este mesmo conteúdo de localização de
espaço relata que alguns alunos têm dificuldades por desconhecer a terminologia
adequada e não a utiliza, apresentando o que conhecem e não o que veem. Neste mesmo
sentindo, também expressa que as crianças tem melhor apropriação das expressões
“atrás” e “à frente” do que as expressões “direita” e “esquerda”. Finaliza narrando a
necessidade de estudar e explorar esse tema da Geometria.
Ao relatarem essas experiências da prática docente dentro do Grupo, todos os
professores participantes dos encontros colocavam seu ponto de vista e seus
conhecimentos sobre o assunto e em consenso procurávamos a melhor contribuição para
as dúvidas e questionamentos surgidos.
Nestas falas, foi possível observar não somente o trabalho realizado, mas
também todo sentimento que cada professor coloca em suas ações, tanto de realização
do trabalho, como em seus relatos.
Observando as falas das duas professoras mencionadas, foi possível reconhecer
que em ambos os relatos as professoras narram a importância de trabalhar atividades em
que as crianças podem se expressar e não ficar presas as atividades que o livro didático
propõe, como também, as dificuldades que as mesmas apresentam neste contexto de
representação de espaço, seja por falta de conhecimento, ou tratamento que é dado a
este contexto.
229
Considerações finais
Neste contexto de trabalhar as narrativas dentro de um Grupo Colaborativo de
Pesquisa desenvolve-se a formação continuada que deve ser dada ao professor que está
em exercício na sala de aula, no quesito de refletir sobre sua prática e de outros, ao
narrar ou escutar as histórias relatadas. Este processo de reflexão que é desenvolvido
nesse grupo, busca contribuições significativas no processo de ensino de Matemática.
Esse texto é apenas um recorte de dissertação de mestrado em andamento que
vai analisar as vídeo filmagens realizadas num período de seis meses das atividades
desenvolvidas pelo referido grupo nesse período.
Referências
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BOAVIDA, A. M. A argumentação em Matemática. Investigando o trabalho de
duas professoras em contexto de colaboração. Tese de doutoramento. Universidade
de Liboa, 2005.
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problemas. In GTI (Org), Refletir e investigar sobre a prática profissional (pp.4355). Lisboa: APM, 2002.
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Universidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro – Vol. 25, n. 41, dezembro, 2011.
CUNHA, M. I. CONTA-ME AGORA! As narrativas como alternativas
pedagógicas na pesquisa e no ensino. Ver. Fac. Educ. vol. 23 n. 1-2 São Paulo
Jan./Dec.
1997.
Disponível
em:
<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-25551997000100010>
Acesso em: 30 de dezembro 2013.
CURI, E.; VECE, J. P. Relações espaciais: práticas educativas de professores que
ensinam Matemática. São Paulo: Terracota Editora, 2013.
CURY, F. G. Análise Narrativa em Trabalhos de História da Educação
Matemática: algumas considerações. Bolema, Rio Claro – SP, v. 23, n. 35A, abr.
2010..
FERREIRA, Aurélio B. de Holanda. Mini Aurélio. 7 ed. Curitiba: Editora positivo,
2009.
230
MARQUESIN, D. F. B,; PASSOS, L. F. Narrativa Como Objeto de Estudo: Aportes
Teóricos. Revista Múltiplas Leituras, v.2, n.2, p. 219-237, jul./dez. 2009.
OLIVEIRA, R. M. M. A.; PASSOS, C. L. B. Investigando a contrução e aplicação e
narrativas para o ensino de matemática na formação de professores. ProExUFSCar. Educação Matemática / n. 19, 2005.
PONTE, J. P.; SEGURADO, M. I.; OLIVEIRA, H. CHAPTER 6. A collaborative
project using narratives: What Happens when Pupils Work on Mathematical
Investigations? A. Peter-Koop et al. (eds.), Collaboration in Teacher Education, 85-97.
Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands, 2003.
231
INVESTIGANDO AS ZONAS DE UM PERFIL CONCEITUAL DE EQUAÇÃO
PRESENTES NAS CONCEPÇÕES DE UM GRUPO DE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA NUM CURSO DE FORMAÇÃO CONTINUADA
Etienne LAUTENSCHLAGER - UFABC – SP ([email protected])
Alessandro Jacques RIBEIRO – UFABC – SP ([email protected])
Resumo: No presente trabalho apresentamos e discutimos as zonas de um perfil
conceitual de equação presentes nas concepções de um grupo de professores de
matemática participante de um curso de formação continuada. Para esta discussão,
desenvolvemos uma formação que priorizou o estudo, a análise e a discussão dos
diferentes significados do conceito de equação, fundamentada na tese de doutoramento
de um dos autores intitulada: "Equação e seus Multissignificados no Ensino de
Matemática: contribuições de um estudo epistemológico". Partindo do pressuposto de
que o conceito de equação é polissêmico, Ribeiro (2013) elaborou e categorizou
algumas zonas preliminares de um perfil conceitual de equação: pragmática,
geométrica, estrutural, processual e aplicacional. Com isso, nosso objetivo foi investigar
se e quais destas zonas fazem parte das concepções dos professores de Matemática que
participaram da formação. Dentre as conclusões podemos perceber que a maior parte
dos registros analisados, a priori, parece privilegiar as zonas pragmática e aplicacional.
Assim, apontamos algumas reflexões sobre a contribuição que uma abordagem baseada
em perfis conceituais de equação, em ambientes de formação continuada de professores,
poderá trazer ao ensino e a aprendizagem de matemática, mais especificamente ao
ensino da álgebra. Vale destacar que o presente trabalho encontra-se vinculado a um
projeto mais amplo, coordenado pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro, intitulado:
Conhecimento matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em
perfis conceituais. Tal projeto está sendo desenvolvido junto ao Programa de PósGraduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática (PEHFCM), bem
como situa-se vinculado ao Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC) da
Universidade Federal do ABC. Ressaltamos que os resultados desta pesquisa
contribuirão com o projeto mais amplo, uma vez que estes servirão de referenciais para
a elaboração das atividades de intervenção que serão desenvolvidas nas demais fases do
projeto.
Palavras-chave: Equação, Formação Continuada, Educação Algébrica.
232
Introdução
Este trabalho apresenta, analisa e caracteriza as zonas de um perfil conceitual de
equação presentes nas atividades elaboradas pelos professores de matemática
participantes de um curso de formação continuada, para o ensino das equações,
destinadas a uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental, tendo por objetivo principal
investigar quais destas zonas emergem nos processos de ensino e de aprendizagem da
Álgebra, mais especificamente no que se refere às equações.
As análises e reflexões aqui apresentadas estão fundamentadas no trabalho de
Ribeiro (2013), no qual, por intermédio do desenvolvimento de um estudo teórico
identificou e categorizou algumas zonas que compõem um perfil conceitual de equação.
A ideia de perfil conceitual foi desenvolvida por Mortimer (1994) e discute que
conceitos polissêmicos, como o de átomo, por exemplo, permitem a elaboração de
perfis conceituais. Os perfis conceituais são compostos de diferentes zonas que
correspondem a diferentes formas pelas quais os indivíduos vêem, representam e dão
significado ao mundo. As zonas são utilizadas pelas pessoas em diferentes contextos e
podem conviver simultaneamente num mesmo indivíduo.
Iniciaremos apresentando algumas pesquisas em Educação Algébrica que
contribuíram para delinear os rumos deste trabalho. A seguir, apresentaremos as zonas
de um perfil conceitual de equação conforme consta em Ribeiro (2013). Finalizaremos,
exibindo e analisando as diferentes zonas de um perfil conceitual de equação
evidenciadas nos relatos dos professores. Também apresentaremos as considerações e as
reflexões finais já que pretendemos apontar algumas implicações para o ensino de
matemática, bem como discutir os encaminhamentos que estão sendo levados a cabo
como desdobramentos das reflexões aqui postas.
Problemática
Ao realizarmos uma breve pesquisa dos resultados das avaliações em
Matemática do SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica), ENEM
(Exame Nacional do Ensino Médio) e SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento
233
Escolar do Estado de São Paulo) notamos um quadro preocupante, com índices que
indicam um resultado insatisfatório, reforçando a consideração (talvez equivocada) de
que a Matemática é realmente muito difícil de compreender.
Levando-se em conta a divulgação dos resultados da Prova Brasil/SAEB (2011),
ainda que os índices apontem para um crescimento no desempenho dos estudantes, os
quais obtiveram notas de 250,6 e de 273,6 – numa escala que vai até 400 – ao final dos
Ensinos Fundamental e Médio, respectivamente, identifica-se uma grande lacuna na
formação desses alunos em Matemática. No caso especifico da Álgebra, a partir dos
resultados apresentados pelo Instituto de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio
Teixeira (INEP), observa-se que os estudantes não dominam competências como (1)
identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema; (2) resolver
equações do 1º grau com uma incógnita; (3) resolver problemas que envolvam equação
do 2º grau; (4) identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de
um sistema de equações do 1º grau; (5) identificar, em um gráfico de função, o
comportamento de crescimento/decrescimento; (6) identificar o gráfico de uma reta
dada sua equação; dentre outras.
Por vezes, observamos que isso ocorre em razão da postura que o professor de
Matemática assume, transformando as aulas de Matemática em um processo árduo de
aprendizagem (e consequentemente de ensino); desprovido de significados tanto para o
aluno como também para o próprio professor, sendo assim, todo o processo de ensino e
aprendizagem de Matemática fica reduzido ao mero procedimento de reproduzir os
passos ou as técnicas ensinadas pelo mestre.
Não podemos nos esquecer de que a forma que o professor trabalha estes
conceitos e procedimentos algébricos pode estar dificultando ainda mais a sua
aprendizagem, fazendo com que o aluno tenha verdadeiro horror à Matemática. (GIL &
PORTANOVA, 2007).
O baixo rendimento dos alunos nos remete diretamente a pensar na prática de
ensino que é desenvolvida pelos professores de Matemática em sala de aula e também
no quanto o papel do professor é importante para que realmente exista a construção do
conhecimento.
234
Pesquisas como Ball (1990), Attorps (2003), Ribeiro (2007), Barbosa (2009),
entre outros, indicam que muitos professores de matemática não possuem a
compreensão conceitual de muitos tópicos de matemática elementar, e por isso, acaba
por privilegiar em suas aulas o desenvolvimento de habilidades algorítmicas, a
memorização de regras dando menor ou nenhuma atenção ao desenvolvimento do
conhecimento conceitual.
Numa perspectiva de superar tais deficiências, uma vez que a Álgebra, assim
como a Matemática, pode ser mais e melhor explorada quando seus significados são
articulados
com
outras
áreas
do
conhecimento
(KILPATRICK,
HOYLES,
SKOVSMOSE, 2005), a proposta do presente trabalho é, em linhas gerais, possibilitar a
ampliação daqueles significados que se fazem presentes nas ideias, ações e discursos
dos professores.
Fundamentação Teórica
Uma vez compreendido o caminho percorrido para a realização deste trabalho,
passaremos à discussão das pesquisas que fundamentaram a organização de situações
didáticas bem como a análise dos resultados obtidos.
Em estudo anteriormente desenvolvido, identificou-se a existência de diferentes
significados para o conceito de equação (RIBEIRO, 2007). Nesse trabalho de caráter
teórico, o autor pôde observar, por meio de estudo epistemológico e didático, como
diferentes povos, em diferentes épocas históricas, compreendiam e utilizavam o
conceito de equação. Os resultados obtidos receberam o nome de Multissignificados de
Equação (ver tabela 1).
Características
Intuitivo – Pragmático
Equação concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de
igualdade entre duas quantidades. Utilização relacionada à
resolução de problema de ordem prática originários de
situações do dia a dia.
Dedutivo– Geométrico
Equação concebida como noção ligada às figuras
geométricas, segmentos e curvas. Utilização relacionada
às relações envolvendo cálculos e operações com
segmentos, com medida de lados de figuras geométricas e
235
intersecção de curvas.
Estrutural – Generalista
Equação concebida como noção estrutural definida e com
propriedades e características próprias, considerada por si
própria e operando-se sobre ela. Utilização relacionada
com a busca de soluções gerais para uma classe de
equações de mesma natureza.
Estrutural – Conjuntista
Equação concebida dentro de uma visão estrutural, porém
diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma
ferramenta para resolver problemas que envolvam relações
entre conjuntos.
Processual – Tecnicista
Equação concebida como a sua própria resolução – os
métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la.
Diferentemente dos estruturalistas, não enxergam a
equação como um ente matemático.
Axiomático–
Postulacional
Equação como noção da Matemática que não precisa ser
definida, uma ideia a partir da qual outras ideias,
matemáticas e não matemáticas são construídas. Utilizada
no sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano
na Geometria Euclidiana.
Tabela 1: Multissignificados de Equação
Fonte: Adaptado de Ribeiro (2008, p.112)
Mortimer (1994) desenvolveu, em sua tese de doutorado, um modelo teórico
denominado Perfil Conceitual. O perfil conceitual toma por base a idéia de perfil
epistemológico de Bachelard. Na sua Filosofia do Não, Bachelard (1978) apresenta a
noção de perfil epistemológico a partir da idéia de que os conceitos encontram-se, no
seu curso de desenvolvimento, mais ou menos presos a alguns pontos de vistas
filosóficos (animista, realista, empirista, racionalista) dependendo do seu estágio de
maturidade.
A noção de perfil conceitual proposta por Mortimer (1994) estabelece que um
único conceito possa estar disperso entre vários tipos de pensamento filosófico e
apresentar características ontológicas também diversas, assim, qualquer pessoa pode
possuir mais de uma forma de compreensão da realidade, que poderá ser usada em
contextos apropriados. As diferentes interpretações da realidade são compostas em
236
zonas, lado a lado, com características epistemológicas e ontológicas distintas. Assim,
um mesmo conceito pode ser compreendido de várias formas diferentes, e estas diversas
formas convivem em um mesmo indivíduo. A noção de perfil conceitual (Mortimer,
1994) compartilha algumas características com o perfil epistemológico (Bachelard,
1978), tais como a hierarquia entre diferentes zonas do perfil, sendo cada zona sucessiva
caracterizada por conter categorias de análise com poder explanatório maior do que as
anteriores. Assumindo o pressuposto de que o conceito de equação é polissêmico,
Ribeiro (2013), relaciona as ideias apresentadas em Ribeiro (2007) com as de Mortimer
(1994), objetivando identificar e categorizar algumas zonas que poderão compor um
perfil conceitual de equação.
Vale ressaltar que o modelo teórico Perfil Conceitual, desenvolvido por
Mortimer (1994), vem sendo largamente empregado no Ensino de Ciências. De acordo
com esse modelo, conceitos polissêmicos oportunizam a elaboração de perfis
conceituais, os quais são compostos de diferentes zonas, que correspondem a diferentes
formas de ver, representar e significar o mundo.
Destarte, assumindo o pressuposto de que o conceito de equação é polissêmico,
Ribeiro (2013) identifica e categoriza algumas zonas de um perfil conceitual de
equação, utilizando-se de um jogo dialógico entre dados de estudos epistemológicos e
ontológicos, o autor apresenta as zonas preliminares de um perfil conceitual (ver tabela
2).
Categoria
Breve descrição
Categoria(s) originária(s)
Pragmática
Equação interpretada a partir de Pragmática. Intuitiva.
problemas de ordem prática. Equação Axiomática.
admitida como uma noção primitiva.
Busca pela solução predominantemente
aritmética.
Geométrica
Equação interpretada a partir de Geométrica. Dedutiva
problemas geométricos. Busca pela
solução
predominantemente
geométrica.
Estrutural
Equação interpretada a partir de sua Estrutural. Generalista.
estrutura interna. Busca pela solução Tecnicista.
237
predominantemente algébrica.
Processual
Equação interpretada a partir de Processual. Tecnicista.
processos de resolução. Busca pela Intuitiva.
solução aritmética ou algébrica.
Aplicacional
Equação interpretada a partir de suas Pragmática. Conjuntista.
aplicações. Busca pela solução Intuitiva.
aritmética ou algébrica.
Tabela 2: Zonas de um perfil conceitual de equação
Fonte: RIBEIRO (2013, p.63)
Apresentação e análise de alguns registros dos professores
Os dados aqui apresentados são resultados, conforme dito acima, de uma
formação continuada destinada aos professores de Matemática, com carga horária de 16
horas que foram distribuídas em quatro dias. A formação foi oferecida por uma
instituição de ensino superior localizada na região do Alto Tietê – SP, onde se priorizou
a realização de estudo, análise e discussão das diferentes concepções de Álgebra,
presentes ou não na Proposta Curricular do Estado de São Paulo, sobretudo no que se
refere mais especificamente das diferentes formas de ver e de tratar a noção de Equação,
constituindo uma oportunidade de estudo e discussão sobre a construção de novos
conhecimentos em trabalhos individuais e coletivos.
Num primeiro momento, fizemos um levantamento para investigar as zonas de
um perfil conceitual de equação e os conhecimentos dos sujeitos envolvidos no curso
sobre os processos de ensino e aprendizagem da equação. Coletamos os dados para este
estudo por meio dos seguintes instrumentos: questionários; registros escritos de
observações colhidas nas sessões de formação, passando, em seguida, para a
apresentação, discussão e estudo das categorias das zonas de um perfil conceitual de
equação e finalizando com a análise dos dados e das discussões. Vale ressaltar que a
maioria dos professores investigados julgou a equação como o conteúdo mais
importante em álgebra.
238
A análise dos dados irá considerar uma abordagem com caráter qualitativo que
visa apontar se e quais das zonas de um perfil conceitual de equação fazem parte do
repertório dos professores que ensinam Matemática. Tem ainda o objetivo de levantar
questionamentos e reflexões que auxiliem e possam subsidiar as futuras pesquisas do
grupo envolvido no projeto mais amplo.
Na intenção de ilustrar e de fundamentar a condição acima contemplada,
apresentaremos, a seguir, dois momentos de uma mesma situação que foram
apresentadas durante a formação.
Figura 1 – Protocolo: Atividade Formação de Professores de Matemática
Figura 2 – Protocolo (Resposta obtida do professor A)
Figura 3 – Protocolo (Resposta obtida do professor B)
As figuras 2 e 3 revelam no primeiro momento da formação, onde ainda não
foram apresentadas as zonas de um perfil conceitual de equação, que os professores
optam em utilizar situações de aprendizagem relacionadas à resolução de problema de
ordem prática originários de situações do dia-a-dia, evidenciando as zonas pragmática e
aplicacional. Tal fato, corrobora com as conclusões obtidas em Barbosa (2009):
239
“Percebemos em nossa pesquisa que a presença de
diferentes significados de equação na imagem de conceito
dos professores ainda é bastante limitada, estando muito
vinculada à ideia do princípio de equivalência e
principalmente a técnicas de resolução e à existência de
incógnita”. (BARBOSA, 2009, p. 177, grifo nosso)
Após realizarmos o estudo e a apresentação das zonas de um perfil conceitual de
equação, e solicitarmos novamente aos professores participantes para que refizessem a
situação 01 apresentada (ver figura 1) observamos uma maior diversificação das
mesmas. Na figura 4 fica evidenciada a noção estrutural definida da equação, com
propriedades e características próprias, evidenciando a categoria estrutural que no
primeiro momento não havia aparecido em nenhum dos registros realizados pelos
professores.
Figura 4 – Protocolo (Resposta obtida do professor C)
Considerações Finais
Nestas considerações finais, apresentamos uma síntese das reflexões sobre os
dados apresentados. Trazemos, ainda, nosso ponto de vista sobre os princípios que
deveriam ser levados em conta para desenvolver um projeto de formação continuada de
professores que ensinam Matemática, especialmente quando o objeto de discussão é a
equação. Fundamentadas na pesquisa elaborada por Ribeiro (2013), organizamos uma
intervenção em um curso de formação para professores que ensinam matemática. A
partir da nossa intervenção, percebemos que os professores procuraram contemplar as
240
diferentes categorias das zonas de um perfil conceitual de equação, apresentando uma
maior variedade de atividades e, em decorrência desse fato, também empregaram mais
de um significado de equação, tendo o segundo relato revelado uma presença bem
variada desses significados.
Destarte, acreditamos que as diferentes categorias das zonas de um perfil
conceitual de equação podem se constituir em um importante objeto de estudo para os
professores que ensinam Matemática, já que observamos que quando houve a
apropriação das diferentes zonas de um perfil conceitual de equação, os professores
elaboraram novas atividades contemplando uma maior variedade das mesmas,
possibilitando assim uma compreensão mais ampla e significativa da noção de equação
aos seus alunos.
Tendo em vista a comprovação da importância dessa Formação, em que
proporcionamos o estudo de algumas pesquisas, além da troca de experiências e de
discussões fundamentadas nos estudos realizados pelo grupo, este trabalho conclui pela
relevância de promover espaços que favoreçam a discussão e o estudo sobre o tema.
Vale ressaltar que, por vezes, tais pesquisas não chegam até o professor por vários
fatores, dentre os quais citamos, por exemplo, a falta de tempo para que o docente possa
pesquisar. Consideramos que os professores (re)construíram e ampliaram o conceito de
equação após a apresentação e discussão das novas zonas para o perfil conceitual de
equação.
Referências
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in Mathematics Education, n.3. Disponível em <http://ermeweb.free.fr/cerme3/ groups/
tg1/ tg1_ list_html>. Acesso em: 15/12/06.
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examining assumptions about becoming a mathematics teacher. ResearchReport
N.C.R.T.E.
BARBOSA, Y. O. Multisignificados de equação: uma investigação sobre as
concepções de professores de Matemática. 2009. 196 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) – Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2009.
241
BACHELARD, G. A Filosofia do Não. Coleção Os Pensadores. Editora Abril Cultural:
São Paulo. 1978.
GIL, K.H. & PORTANOVA, R. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na
aprendizagem de Álgebra. In Anais do IX Encontro Nacional de Educação
Matemática, Belo Horizonte/MG, 2007, CD-ROM.
KILPATRICK,J.et al. (Ed.) (2005). Meaning in mathematics education. New York:
Springer.
MORTIMER, E. F. Evolução do atomismo em sala de aula: mudanças de perfis
conceituais. 1994. 281 f. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação,
Universidade de São Paulo, São Paulo, 1994.
RIBEIRO, A. J. Equação e seus multisignificados no ensino de matemática:
contribuições de um estudo epistemológico. 2007. 144 f. Tese (Doutorado em
Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2007.
______________ Elaborando um perfil conceitual de equação: desdobramentos
para o ensino e a aprendizagem de Matemática. Ciênc. educ. (Bauru), Bauru
, v.19, n.1, 2013 .
______________ Multisignificados de Equação e o Ensino de Matemática: desafios
e possibilidades. Blucher Acadêmico, São Paulo 2008.
242
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA- EVASÃO NOS
CURSOS DE FORMAÇÃO CONTINUADA
Gisele Dionísio Ferreira da Rocha - UFSCAR – SP ([email protected])
Wania Tedeschi – IFSP – SP ([email protected])
Resumo: Esta comunicação trata da relação entre a formação continuada de
professores de matemática da rede estadual de ensino e os desdobramentos dessa
formação para a prática docente. Discutimos aspectos que estão presentes no contexto
do trabalho docente em relação aos cursos de formação continuada que são
oferecidos/realizados pelos professores da rede pública estadual de São Paulo no âmbito
da EFAP - Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores “Paulo Renato
Souza” da qual traçamos um breve perfil e descrevemos sua origem. Verificamos um
número significativo de não concluintes nos cursos de matemática oferecidos pela
EFAP e diante disso propomos um estudo diagnóstico visando ao levantamento dos
motivos dessa evasão do ponto de vista dos professores. Esse diagnóstico é parte de
uma pesquisa de mestrado em andamento que objetiva conhecer os desdobramentos que
a realização desses cursos traz para a prática docente dos professores de matemática e
quais as possíveis contribuições para a melhoria da qualidade de ensino da matemática
da escola básica. O que pudemos avaliar é que há pontos de insatisfação por parte dos
professores com os modelos de formação continuada que lhe são oferecidos que
apontam para a necessidade de uma formação em que os professores sejam ouvidos em
suas demandas relativas à prática docente. O significado atribuído para os cursos de
formação continuada nos parece apenas simbólico e funcional, pois ao menos os
certificados que os professores obtêm são oficiais para progredir na carreira. Todavia,
mesmo com essa contrapartida, muitos se evadem sendo este o nosso desafio para o
encaminhamento da pesquisa.
Palavras-chave: Formação continuada, evasão, EFAP.
243
Introdução
Vida de professor não é fácil... Sempre indo de uma escola para outra, com
correções e planejamentos a fazer, textos para estudar, cursos para realizar, dificuldades
apresentadas pelos alunos que precisam encontrar o melhor caminho para saná-las,
enfim o cotidiano do professor é repleto de deveres.
Diante da complexidade da profissão docente e dos desafios de suas práticas,
surge a necessidade constante de formação. Ao refletir sobre minha rotina e observar
também a de meus colegas professores, resolvi ampliar meus conhecimentos sobre
cursos de formação continuada que são oferecidos aos professores da rede estadual de
educação de São Paulo.
Muitas vezes, os professores não se interessam por formação, pois analisam
estas atividades como perda de tempo, uma vez que não conseguem estabelecer relação
e tão pouco encontrar soluções para suas aflições do dia-a-dia.
IMBERNÓN (2010)
analisa este fato como sendo consequência de um processo histórico sobre formação
continuada:
"Historicamente, os processos de formação foram
realizados para dar solução a problemas genéricos,
uniformes, padronizados. Tentava-se responder a
problemas que se supunham comuns aos professores, os
quais deveriam ser resolvidos mediante a solução dada
pelos especialistas no processo de formação." (p.53)
A formação continuada, nesse sentido, também parece despontar como uma
política compensatória da deficitária formação inicial, quando na verdade deveria ser
um “[...] meio de expansão cultural e de formação transdisciplinar” (GATTI, 1996,
p.64). Ao mesmo tempo, a busca dos professores por cursos de formação continuada
também têm ganhado ares de mera certificação, de treinamento e de distribuição de
méritos aos professores com mais cursos, com mais participação em palestras,
seminários, etc, isso tudo tendo como pano de fundo o individualismo, a
competitividade e a possibilidade de manter sua classificação na unidade escolar.
244
No plano oposto a essas características, IMBERNÓN (2010), indica que na
formação continuada é necessário abandonar o individualismo docente para se chegar
ao trabalho colaborativo. Segundo o autor existem duas formas que podem ajudar a
romper com esse individualismo:
Realizando uma formação colaborativa do grupo docente
com o compromisso e a responsabilidade coletiva, com
interdependência de metas para transformar a instituição
educacional em um lugar de formação continuada, como
um processo comunicativo compartilhado, para aumentar
o conhecimento profissional pedagógico e a autonomia
(autonomia participativa e não consentida)...
Desenvolvendo uma formação continuada em que a
metodologia de trabalho e o clima afetivo sejam os pilares
do trabalho colaborativo. Um clima e uma metodologia de
formação que coloquem os professores em situações de
identificação, de participação, de aceitação de críticas e de
discrepância, suscitando a criatividade e a capacidade de
regulação. (p.64)
Porto (2000) em um estudo sobre as diferentes modalidades de formação e suas
relações com a prática pedagógica enfatiza que a educação é um prática social
estruturada sob um novo tempo, repleto de mudanças sociais e tecnológicas que
impõem novas exigências. Diante dos dilemas que o professor vivencia na sociedade
contemporânea, faz-se necessário que ele esteja em constante formação.
(...) a formação continuada é importante condição de
mudança das práticas pedagógicas, entendida a primeira,
fundamentalmente, como processo crescente de autonomia
do professor e da unidade escolar, e a segunda, como
processo de pensar-fazer dos agentes educativos e em
particular dos professores, com o propósito de concretizar
o objetivo educativo da escola. (p.15)
Sendo assim encontramos pistas para pensar que a participação dos professores
em cursos de formação continuada possa refletir em mudanças significativas em sua
245
prática, embora também possa ocorrer o contrário, pois isso depende da proposta
envolta nos cursos que estão sendo oferecidos. Para que haja mudança na prática do
professor é necessário que seja uma formação que se dê de forma contínua, capaz de
articular os diferentes aspectos da profissão do professor, pois conforme CANDAU
(2007):
A formação continuada não pode ser concebida como
meio de acumulação ( de cursos, palestras, seminários, etc.
, de conhecimentos ou técnicas), mas sim através de um
trabalho de reflexividade crítica sobre as práticas e de (re)
construção permanente de uma identidade pessoal e
profissional, em interação mútua. (p.64)
Para IMBÉRNON (1999), é preciso analisar o que funciona na formação
continuada, o que devemos abandonar, o que temos de desaprender, o que é preciso
construir de novo ou reciclar sobre o velho. Segundo ele, somente quando os
professores constatam que o novo programa formativo ou as possíveis mudanças que a
prática oferece repercutirão na aprendizagem de seus alunos, mudarão suas crenças e
atitudes de maneira significativa, supondo um benefício para os estudantes e para a
atividade docente.
Promover mudanças nas estruturas dos cursos de formação continuada é um
processo complexo.
Garantir à formação continuada espaço de reflexão para o
professor faz com que a capacidade profissional dos professores não termine na
formação técnica, mas avance pela ação pedagógica.
Quadro Legislativo
A formação continuada se faz direito previsto em Lei (BRASIL, LDB 9394/96)
que tem por finalidade assegurar aos profissionais da educação o aperfeiçoamento da
profissão por meio da intervenção institucional pública (municipal ou estadual), como
regem os artigos:
Artigo 87 (das disposições transitórias) - Cada município e supletivamente, o
Estado e a União, deverá:
246
Parágrafo III - realizar programas de capacitação para todos os professores em
exercício, utilizando também para isso, os recursos da educação a distância.
Artigo 67 (dos profissionais da educação) - Os sistemas de ensino promoverão a
valorização dos profissionais da educação, assegurando-lhes, inclusive nos termos dos
estatutos e dos planos de carreira do magistério público:
Parágrafo
II-
aperfeiçoamento
profissional
continuado,
inclusive
com
licenciamento periódico remunerado para esse fim.
Essa garantia fortalece a ideia que as políticas educacionais estaduais devem
priorizar qualitativamente o aperfeiçoamento dos docentes, definindo linhas de ações
específicas voltadas às carências apresentadas pelo professores.
A atuação de políticas educacionais direcionadas ao suprimento de carências
formativas encontra-se como obrigação prevista também nos Referenciais para
Formação de Professores (BRASIL, 1999) que versa:
(...) A formação continuada deve propiciar atualizações,
aprofundamento das temáticas educacionais e
apoiar-se
numa reflexão sobre a prática educativa, promovendo um
processo constante de auto-avaliação que oriente a
construção contínua de competências profissionais. (p.70)
Ficam, portanto alguns questionamentos: Concordar que a formação inicial para
professor não consegue atualmente acompanhar as mudanças sociais, tecnológicas,
parece consenso, porém, quando em situações de formação continuada, ou em serviço,
as diversidades e especificidades locais são consideradas? Os professores são
consultados para um levantamento de suas necessidades e ou expectativas? Ouvir os
profissionais que interagem no cotidiano, os alunos, e a comunidade, compõe a
formação continuada?
247
Formação continuada na concepção da Secretaria Estadual de Educação de São
Paulo (SEE-SP)
Com o intuito de contribuir com a melhoria da qualidade do ensino público
paulista, foi criado em 2009 a EFAP, Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos
Professores "Paulo Renato Costa Souza". Utilizando uma infraestrutura tecnológica
composta por ambientes virtuais de aprendizagem, ferramentas de colaboração on-line e
uma rede de videoconferências, a EFAP implementou e estruturou cursos com o foco no
aperfeiçoamento e no desenvolvimento profissional dos servidores da Secretaria da
Educação do Estado de São Paulo.
Ela oferece, desde então cursos de formação
continuada aos 270 mil funcionários e professores da Secretaria da Educação, presentes
nos órgãos centrais e vinculados, em 91 Diretorias de Ensino e em 5.300 escolas.
Os cursos da EFAP combinam ensino a distância, por meio do sistema de
videoconferência da Rede do Saber e ambientes virtuais de aprendizagem, com
atividades presenciais e em serviço. De acordo com o artigo 10 §1º e 2º do decreto nº
56.460 de 30 de novembro de 2010, entende-se por curso presencial, o que ocorre
inteiramente com a presença dos participantes e do professor em local específico e por
cursos a distância, os que ocorrem, no todo ou em parte, em ambientes virtuais de
aprendizagem.
Na formação continuada, existe uma diversidade de cursos de formação que
visam atender as necessidades dos professores. Destes cursos, os oferecidos pelos
órgãos oficiais das secretarias de educação representam a grande maioria.
Um dos objetivos da formação continuada é capacitar o professor para as
exigências feitas aos docentes na escola.
Por formação continuada do professor
entendem-se os processos que acontecem em situações específicas, após a formação
inicial, ou seja, aquela desenvolvida depois da graduação. Muitos são os nomes que se
atribuem para a formação do professor: formação continuada, formação permanente,
capacitação de professores, entre outros, o fato é que os objetivos traçados para cada
um deles difere segundo a modalidade, as atividades desenvolvidas e o tempo de
duração.
248
A investigação diagnóstica
O problema a ser estudado está delimitado em função dos altos índices de
evasão dos professores de matemática nos cursos de formação continuada e como esta
interfere na melhoria da ação docente.
Em decorrência desse panorama, selecionamos alguns professores de
matemática da rede estadual de educação de São Paulo e, a partir de um roteiro fizemos
algumas perguntas com o objetivo de que estes avaliassem e apontassem, a partir de
suas experiências e considerando os cursos de formação continuada que os mesmos já
realizaram no âmbito da SEE-SP, o que consideram as principais causas de evasão
desses cursos.
Os sujeitos participantes da investigação
Selecionamos cinco professores de matemática da rede estadual de educação
da Escola Estadual Prof. “Octacílio Alves de Almeida”, situada na periferia do
município de São José do Rio Preto- SP. A escola atende alunos desde o 3º ano do
Ensino Fundamental até o 3º ano do Ensino Médio, conta com 12 salas de aulas
acolhendo aproximadamente 800 alunos distribuídos nos períodos matutino e
vespertino. A escolha por esta escola se deu pelo fato da pesquisadora ser coordenadora
pedagógica nesta unidade e principalmente por vivenciar diariamente as queixas e
anseios apresentados pelos docentes.
Dos cinco professores participantes, quatro são efetivos na escola e um é
professor eventual com aulas atribuídas em caráter de substituição por tempo
indeterminado.
Para a escolha dos professores, valemo-nos do fato de todos eles já terem
participado de cursos de formação continuada oferecidos pela EFAP e estarem dispostos
a contribuir com a investigação.
249
Entrevista Semiestruturada
Para a obtenção das informações utilizamos a entrevista semiestruturada.
A entrevista foi um importante instrumento para a coleta de dados. Ela nos
remete à ideia de profundidade, na qual é possível iniciar a conversa sem formalidades,
permitindo que o sujeito participante sinta-se à vontade.
TRIVINÕS (1987, p.145) diz que “a entrevista semiestruturada é um dos
principais meios que o investigador tem para realizar a coleta de dados”, pois nas
entrevistas semiestruturadas, os questionamentos realizados são mais objetivos, isto é,
mais específicos, mas é permitido que o entrevistado responda de forma livre, com seus
próprios termos já que a fala é do entrevistado, não limitando ou interpretando suas
respostas, é possível que na entrevista o entrevistador conduza-a de forma mista, em
momentos estruturados e não estruturados. Durante toda a entrevista seguimos um
roteiro pré-estabelecido.
1) Relate sobre sua trajetória até o cargo de professor de matemática da E.E. Prof.
“Octacílio Alves de Almeida”
2) Relate sobre os cursos de formação continuada oferecidos pela EFAP dos quais
participou.
3) Qual a relação entre os cursos de formação continuada e sua ação docente?
4) Dos cursos que participou quais você não concluiu? Por quê?
5) Quais são suas expectativas a respeito de um curso de formação continuada?
6) O que faria você ter concluído todos os cursos que participou?
As respostas foram anotadas posteriormente a fim de que a entrevista
acontecesse da maneira mais natural possível. Tomou-se o cuidado de fazer o registro
logo depois do encontro para que o mínimo de informação fosse perdida, tentando
preservar todos os elementos.
A partir dos resultados encontrados, qualificamos informações procurando
organizar as falas segundo os motivos apresentados para a evasão e como os sujeitos da
pesquisa compreendem esses cursos para sua ação docente e desenvolvimento
profissionais.
250
Análise das respostas e continuidade da pesquisa
Os sujeitos da investigação relatam a importância da oferta de cursos de
formação continuada pela secretaria estadual de educação. Cada um ressaltou, de modo
diferenciado, suas expectativas quando se inscreveram em tais cursos.
Ao serem abordados sobre as aprendizagens proporcionadas pelos cursos,
fizeram uma reflexão sobre o que aprenderam, tendo como base sua formação inicial e
conhecimentos anteriores, expressando uma visão singular quanto a importância que
cada um atribui para sua atualização profissional.
No que se refere à conclusão dos cursos de formação continuada nos quais se
inscreveram, a maior justificativa apresentada para o abandono se resume ao conteúdo
dos cursos não estarem adequados para que se coloque em prática em sala de aula com
alunos.
De acordo com o relato dos professores, a principal motivação para concluírem
os cursos se apresenta em relação à certificação emitida, a qual se converte em pontos
usados para sua evolução funcional.
Das entrevistas realizadas, destacamos algumas falas que nos auxiliam a
encaminhar os próximos passos da pesquisa:
P1 - A formação tem contribuído, porém algumas vezes não há nada novo. Parece que
estamos apenas relembrando.
P2 - Eu percebo uma certa preocupação da rede em estar promovendo essas formações,
porém nunca consegue agradar a todos, a rede é muito grande. A gente sempre espera
uma coisa e o que a gente espera nunca chega.
P3 - Critica-se tanto a formação inicial recebida nas universidades, mas a formação
continuada acaba que reproduzindo o mesmo. Repassa-se a teoria não oportunizando ao
professor momentos de reflexão sobre sua prática diária em sala de aula.
P4 - Gostaria que após a realização dos cursos tivéssemos a oportunidade de colocar em
prática o que aprendemos. Nos dedicamos para concluir os cursos e a nossa realidade
251
não permite que promovamos mudanças em nossa ação docente. Me sinto muito
desmotivado.
P5 - As formações deveriam ser sugeridas pelos professores. Nós conhecemos nossos
problemas, nossos alunos. Desisti de vários cursos por falta de tempo. Com jornada
completa fica difícil o professor se atualizar fora do horário de trabalho.
Nas falas desses docentes, percebeu-se uma reação por vezes ambígua, como
podemos notar na fala de P1 quando ao mesmo tempo em que afirma que há uma
contribuição para a prática, relata a falta de novas estratégias.
Para esses professores respondentes, o fato de ter participado de cursos de
formação continuada, não significou que estes tenham contribuído para aplicação de
novas metodologias em sala de aula. Esta desconexão entre teoria e prática, como citado
por P3, impede que o professor tenha momentos de reflexão sobre sua prática e coloca
em questão a eficácia de tais modelos de formação continuada.
Essa desconexão reafirma uma prática reprodutora na formação docente e
segundo FREIRE (1998) destrói elementos básicos de uma educação que se pretenda
crítica e autônoma, nesse sentido o autor considera:
“na formação permanente dos professores, o momento
fundamental é o da reflexão crítica sobre a prática. É
pensando criticamente a prática de hoje ou de ontem que
se pode melhorar a próxima prática” (p.44)
O discurso dos professores, entretanto é de que a formação continuada proposta
pela EFAP emerge como atualização teórica e com a qual alguns corroboram. Na fala
de P4 fica evidente o anseio pela atualização de conhecimentos para melhorar sua ação
docente.
Essa visão é chamada por IMBERNÓN (2010) como tradição na formação
continuada, ou seja, consiste na atualização dos professores com vistas à ação prática.
A formação continuada nesta perspectiva está isolada da prática reflexiva dos docentes
no contexto amplo do seu trabalho.
252
IMBERNÓN (2010) coloca a necessidade da formação continuada para a
reflexão prático-teórica sobre a própria prática. “[...] mediante a análise, a compreensão,
a interpretação e a intervenção sobre a realidade, a capacidade do professor de gerar
conhecimentos pedagógicos por meio da prática educativa.”
A reflexão neste sentido é parte inerente da prática do professor, que emana da
sua ação dotada de sentido e faz frente aos contextos em que seu trabalho está inserido.
Entretanto, alguns docentes ainda pensam que a reflexão é algo externo a eles e que ela
acontece mediante a um treinamento oferecido por uma escola de formação, não
obstante a essa forma de conceber a reflexão, os professores ainda não se vêm como
parte integrante deste processo de formação, como constatamos na fala de P5 quando
afirma a necessidade das formações serem sugeridas pelos professores.
Denota-se, portanto, que para os professores, a formação continuada tem mais a
ver com as questões práticas da sala de aula do que com aquelas que nascem do campo
teórico para depois refletirem no seu cotidiano escolar. Fica evidente a carência da
reflexão prático-teórica nos momentos formativos destes professores.
Temos assim um indício de que grande parte dos professores não se identifica com
os cursos de formação por não conseguirem estabelecer a relação teoria-prática e por
sentirem dificuldade em aplicar os conhecimentos adquiridos em seu cotidiano de sala
de aula.
O significado atribuído para os cursos de formação continuada nos parece apenas
simbólico e funcional, pois ao menos os certificados que os professores obtêm são
oficiais para progredir na carreira. Todavia, mesmo com essa contrapartida, muitos se
evadem sendo este o nosso desafio para o encaminhamento da pesquisa.
Em continuidade, nosso estudo realizará buscas sobre os motivos dos índices de
evasão dos cursos de formação continuada oferecida aos professores de matemática na
EFAP, encaminhando também uma análise ligada aos conteúdos da matemática escolar
presente nesses cursos de formação.
No intuito de contribuir para que mais docentes concluam seu aperfeiçoamento e
consequentemente ofereçam um ensino de melhor qualidade aos seus educandos, este
trabalho pretende aprofundar os indícios levantados e aprofundar as razões dos
professores em relação aos conteúdos, metodologias e outras demandas da prática
253
docente que podem estar presente nessa formação para contribuir para o
desenvolvimento profissional do professor de matemática e qualificar sua ação docente.
Referências
BRASIL. Ministério de Educação e Cultura. Secretaria de Educação Fundamental.
Referenciais para formação de professores. Brasilia, 1999.
______. Congresso Nacional. Lei Federal 9394 de 20 de dezembro de 1996. Estabelece
Diretrizes e Bases da Educação Nacional.
CANDAU, V. M. F. Formação continuada de professores: Tendências atuais.
In:_____ (Org.). Magistério: construção cotidiana: Petrópolis: Vozes, 1997, p. 51-68.
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia - saberes necessários à prática docente. Ed.
Paz e Terra, São Paulo, 1998.
GATTI, B. A. Diagnóstico, problematização e aspectos sobre a formação do
magistério: subsídios para o delineamento de políticas na área.São Paulo: Fundação
Carlos Chagas, 1996.
IMBERNÓN, F. Formação continuada de professores. São Paulo: Cortez, 2010.
______. Formação permanente do professorado: novas tendências. São Paulo:
Cortez, 2009.
NÓVOA, A. (Org.). Formação contínua de professores: realidade e perspectivas.
Aveiro: Universidade Aveiro, 1991
PORTO, Y. Formação continuada: a prática pedagógica recorrente. In: Marin, Alda
J. (Org.). Educação continuada. Campinas: Papirus, 2000.
TRIVIÑOS, A. N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais: a pesquisa
qualitativa em educação. São Paulo: Atlas, 1987.
254
ESTUDOS EM GRUPO NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA A DISTÂNCIA
Maria Teresa ZAMPIERI – UNESP – SP ([email protected])
Sueli Liberatti JAVARONI - UNESP – SP ([email protected])
Resumo: Nesse artigo trazemos recortes de uma dissertação de mestrado, os quais
apontaram a importância dos estudos em grupo para viabilizar a comunicação no
contexto da formação inicial de professores de Matemática a distância. Tal dissertação
teve como objetivo investigar como se deu a comunicação na disciplina Introdução a
Estatística, que compõe a grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática,
ofertado a distância pela Universidade Federal de Roraima (UFRR) e vinculado à
Universidade Aberta do Brasil (UAB). Assim, relatamos alguns desafios e diretrizes que
concernem à comunicação na EaD, tomando como base trabalhos cujos contextos
também se deram nessa modalidade. Em seguida, apresentamos relatos de alunos que
nos possibilitaram inferir a existência de estudos em grupo nos polos, que ocorreram de
maneira geral, com o acompanhamento dos respectivos tutores presenciais. Além disso,
articulamos tais relatos com obras literárias que abordam temas relacionados a estudos
em grupo, e também com comunicação. Concluímos que devido aos percalços
tecnológicos evidenciados ao longo do trabalho de campo, em particular com relação ao
acesso à internet, o incentivo do professor à comunicação de forma presencial nos
respectivos polos deve continuar, e que o potencial de tal comunicação pode ser mais
explorado, não só em sua vertente verbal, quanto em sua vertente escrita. Desse modo,
buscamos também nesse artigo provocar reflexões que concernem à exclusão digital,
realidade esta que ainda é vivenciada no Brasil, em particular na região Norte.
Palavras-chave: estatística, comunicação, internet.
255
Introdução
Nesse artigo trazemos recortes de uma dissertação de mestrado, os quais
apontaram a importância dos estudos em grupo para viabilizar a comunicação no
contexto da formação inicial de professores de Matemática a distância. Tal dissertação
teve como objetivo investigar como se deu a comunicação na disciplina Introdução a
Estatística, que compõe a grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática,
ofertado a distância pela Universidade Federal de Roraima (UFRR) e vinculado à
Universidade Aberta do Brasil (UAB).
O cenário da coleta de dados dessa pesquisa foi o ambiente virtual de
aprendizagem (AVA), disponibilizado no Moodle, referente à disciplina investigada em
questão. A participação da pesquisadora no desenvolvimento da disciplina foi
condizente com a de Malheiros (2008) em seu trabalho, cujas intervenções no cenário
de pesquisa foram feitas com o propósito de “[...]sugerir, questionar, dialogar e
apresentar possibilidades para que eles decidissem qual melhor caminho a ser
percorrido [...]” (MALHEIROS, 2008, p.80).
Vale ressaltar que o curso de Licenciatura em Matemática a distância da UFRR
iniciou suas atividades em 2011. A estrutura curricular está dividida em 8 semestres,
onde em cada um deles são ministradas cerca de 5 disciplinas. Além disso, o curso
conta com a seguinte carga horária: 1815 horas dedicadas a disciplinas de Formação
Matemática e Áreas Afins; 435 horas dedicadas a disciplinas de Prática como
Componente Curricular; 400 horas dedicadas a disciplinas de estágio supervisionado;
240 horas dedicadas a disciplinas de Formação Complementar e 200 horas dedicadas a
Atividades Científico-Culturais. Além disso, há uma coordenação acadêmica do curso
que é responsável por fazer uma interlocução entre os professores, tutores presenciais e
tutores a distância. Outra responsabilidade que compete a essa coordenação é o
acompanhamento das atividades didático-pedagógicas do curso.
256
A disciplina de Introdução a Estatística, objeto de estudo de tal dissertação,
contou com uma equipe formada por um professor7 responsável por todos os polos e por
tutores presenciais e a distância para cada polo, que, a saber, estão localizados nas
seguintes cidades: Boa Vista, Rorainópolis, Alto Alegre, São João da Baliza e Amajari.
Além disso, essa disciplina teve a duração de dez semanas, sendo que em cada uma foi
trabalhado um ou dois conteúdos estatísticos específicos, como, por exemplo: o
ferramental matemático necessário ao cálculo estatístico, bem como alguns conceitos
iniciais como População, Amostra, Variáveis Quantitativas e Qualitativas; Distribuição
de Frequências e Tabelas; Conteúdos sobre Medidas de Posição ou Tendência Central;
Medidas de dispersão; Conceitos básicos sobre Probabilidade; Leis de Morgan;
Probabilidade (permutação, arranjo e combinação) e Ajuste de curva.
Além disso, a disciplina contou com o desenvolvimento de 9 atividades
obrigatórias e 2 avaliações presencias, sendo que a média de cada aluno foi calculada da
seguinte forma: 40% da média aritmética dos trabalhos + 60% da média aritmética das
avaliações, de maneira que a responsabilidade em preparar as atividades e as avaliações
coube ao professor, o acompanhamento dos alunos nos respectivos polos coube aos
tutores presenciais e as correções das atividades e acompanhamento dos alunos no AVA
aos tutores a distância. São de responsabilidade do professor também, as correções das
avaliações e os cálculos das médias.
Ademais, cabe ressaltar que, ao longo da disciplina, houve 4 videoconferências
(que depois foram editadas e anexadas ao AVA), ministradas pelo professor responsável
pela disciplina, que foram transmitidas do polo de Boa Vista aos demais polos, onde os
alunos e tutores assistiram ao vivo, de forma que as dúvidas surgidas nesses demais
polos poderiam ser enviadas pelos respectivos tutores via sala de bate-papo do AVA.
Nesse sentido, por meio de uma entrevista concedida pelo professor, ele mencionou que
há um incentivo por parte dele e da coordenação para que os alunos compareçam aos
seus respectivos polos pelo menos duas vezes por semana, pois segundo ele, tanto as
constantes quedas de energia em algumas cidades do estado de Roraima, quanto à
geografia das mesmas dificultam o acesso rápido à internet em suas casas. Ou seja, pelo
fato de haver muitas regiões ribeirinhas nesse estado, fica inviável a chegada da internet
7
Os nomes do professor, bem como dos tutores e alunos serão modificados (ou não serão
citados) para que suas identidades sejam preservadas.
257
por cabos de fibras óticas, restando dessa forma, duas opções para o acesso a ela: Via
Satélite ou Internet Discada. No entanto, ainda prevalece esta última opção, mas há
indícios de que iniciativas governamentais8 já estão dando andamento à instalação de
antenas em algumas áreas, para que esse acesso seja expandido por todo estado.
Diante disso, fica claro que a comunicação a distância fica prejudicada, uma vez
que a internet seria o principal meio para que tal comunicação ocorresse de fato. Assim,
na seção seguinte apresentamos alguns aspectos que concernem à comunicação na EaD,
articulados a elementos evidenciados em outros trabalhos, que também estão inseridos
dentro deste contexto.
A comunicação na EaD: diretrizes e desafios
Consideramos relevante expor o nosso entendimento sobre EaD. Nesse sentido,
concordamos com as descrições feitas por Borba, Malheiros e Zullato (2007) que
apoiados em Moran (2002) argumentam que independentemente se há ou não encontros
presenciais nessa modalidade de ensino, o fundamental é que exista a possibilidade de
que professores e alunos se comuniquem por meio das tecnologias digitais. Ou seja, um
ponto importante (talvez o mais importante) referente a essa modalidade é que haja
possibilidades para a comunicação com
o intuito de “aproximar pessoas
geograficamente distantes” (BORBA; MALHEIROS; ZULATTO, 2007, p. 23).
E no que tange à comunicação nessa modalidade, os Referenciais de Qualidade,
elaborados pelo SEED/MEC, orientam que as instituições de ensino superior
apresentem de forma clara em seus respectivos projetos políticos pedagógicos como
esta ocorrerá, ou seja, “como se desenvolverão os processos de produção de material
didático, de tutoria, de comunicação e de avaliação, delineando princípios e diretrizes
que alicerçarão o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem” (BRASIL,
2007, p. 8).
Por esse mesmo viés, os Referenciais de Qualidade ainda preconizam
8
Mais detalhes sobre a Geografia do estado de Roraima, bem como outros motivos que levam
o acesso a internet ser difícil em tal estado podem ser visualizados em
http://www.educacao.rr.gov.br/index.php?option=com_content&task=view&id=718&Itemid=
29 Acesso em 31/07/2013.
258
[...] a importância da educação superior ser baseada em um
projeto pedagógico e em uma organização curricular inovadora,
que favoreçam a integração entre os conteúdos e suas
metodologias, bem como o diálogo do estudante consigo mesmo
(e sua cultura), com os outros (e suas culturas) e com o
conhecimento historicamente acumulado (BRASIL, 2007, p. 9).
Contudo, tais diretrizes que apontam para essa necessidade de comunicação na
EaD, nem sempre tem sido contempladas pelos cursos nessa modalidade. Santos (2013),
em seu trabalho, investigou um curso de Licenciatura em Matemática, ofertado a
distância, e vinculado ao Centro de Educação Superior do Estado do Rio de Janeiro
(CEDERJ). Como parte dos resultados evidenciados pela autora, ela constatou que a
comunicação entre os sujeitos envolvidos no curso apresenta pontos frágeis, em
particular porque os alunos entrevistados demonstraram insegurança com o fato de não
haver aulas presencias. Tal característica observada foi assim relatada
Na experiência vivenciada nessa pesquisa, pude perceber com
mais evidência essa passividade nos diálogos com os alunos
ingressantes. Quanto mais no início do curso eles estavam, mais
passivos e amedrontados eles mostravam-se com a ideia de não
terem aulas convencionais e/ou professores transmitindo o
conteúdo (SANTOS, 2013, p.99).
Além disso, Santos (2013) observou em sua pesquisa que as tecnologias da
informação e comunicação (TIC) não tiveram um uso efetivo, especialmente no que
concerne a favorecer a interação a distância. Assim como consta nos Referenciais de
Qualidade, ela enfatiza a importância do uso das TIC para viabilizar a comunicação, ou
seja, “as TIC apresentam possibilidades comunicacionais que podem oferecer inúmeras
potencialidades seja pela rapidez no feedback aos alunos, seja pela possibilidade de
aproximar os diferentes sujeitos do processo educativo” (SANTOS, 2013, p. 178).
Constatações semelhantes com relação ao (não) uso das TIC para viabilizar a
comunicação foram relatadas por Viel (2011). O objetivo de pesquisa dessa autora
também foi o de investigar um curso de Licenciatura em Matemática a distância,
vinculado ao CEDERJ. Mas diferentemente de Santos (2013), que fez sua análise
259
pautada na narrativa dos alunos iniciantes, Viel (2013) se pautou na ótica dos alunos
formados nesse curso. Esta autora infere que foram dois os motivos para o não uso das
TIC em seu curso investigado, sendo que “um dos maiores motivos, a meu ver, diz
respeito à falta de acessibilidade dos alunos às TIC, e um segundo motivo consiste na
falta de estrutura e incentivo propiciado pelo curso para que tal interação acontecesse”
(VIEL, 2011, p. 164). Além disso, essa autora aponta que como alternativa para superar
essas dificuldades na comunicação à distância, os alunos tendem a valorizar os estudos
em grupo. Contudo, Viel (2011) observou ainda uma ausência de discussões no âmbito
da Educação Matemática, onde levando em consideração que estão sendo formados
professores de Matemática nesses cursos, segundo a autora, “tais discussões se fazem
imprescindíveis [...]” (VIEL, 2011, p. 195).
Dessa forma, se pode observar que algumas diretrizes apontadas pelos
Referencias de Qualidade (BRASIL, 2007) ainda se mostram como metas a serem
alcançadas por alguns cursos na modalidade a distância, especialmente no que se refere
à comunicação entre os envolvidos nos cursos. Um exemplo de tal situação é a
disciplina aqui retratada, contexto do presente artigo.
Os estudos em grupo
Quando conseguimos estabelecer uma comunicação com alguns alunos por meio
de mensagens privadas dentro do AVA, indagamos sobre o modo como estudavam e
como se comunicavam em seus respectivos polos. Dentre os 13 alunos que nos
responderam, apenas dois alunos do polo de Rorainópolis e um do polo de São João da
Baliza alegaram que não tinham o costume de estudar em grupos frequentemente. Um
desses relatos pode ser observado no Quadro 1, a seguir.
Quadro 1 – Resposta do aluno Aldo (polo de Rorainópolis)9
como nossa turma é muito heterogenia, estudo geralmete sozinho
Fonte: Dados da pesquisa
Já o aluno Fábio, deu a resposta que pode ser observada no Quadro 2:
9
A escrita, a fonte, e o tamanho da fonte serão mantidos nos quadros que mostram os relatos
dos alunos, com o intuito de sermos fiéis ao que era “postado” no AVA.
260
Quadro 2 - Resposta do aluno Fábio (polo de S.J. da Baliza)
as vezes participo mais é raro
Fonte: Dados da pesquisa
Em contrapartida, todos os alunos dos polos de Boa Vista e Alto Alegre que se
comunicaram conosco, alegaram que costumavam estudar em grupos frequentemente.
Uma dessas respostas pode ser visualizada no Quadro 3.
Quadro 3 – Resposta da aluna Gabriela (polo de Alto Alegre)
GRUPOS DE ESTUDOS, REALIZAMOS AS ATIVIDADES JUNTOS, E UM
AJUDA O OUTRO.
Fonte: Dados da pesquisa
Respostas similares foram dadas pelos alunos do polo de Boa Vista, conforme se
pode observar no Quadro 4.
Quadro 4 – Resposta do aluno Lauro (polo de Boa Vista)
Sempre procuramos ... reunir para realizar os estudos.
Fonte: Dados da pesquisa
Em outra pergunta mais específica, questionamos sobre a dinâmica desses
estudos em grupo e de quem partiu a atitude de constituí-los. A aluna Ruth deu a
seguinte resposta.
Quadro 5 – Resposta da aluna Ruth (polo de Boa Vista)
Como são poucos alunos do curso de matemática, geralmente nos encontramos
todos mais o Orlando (pólo Alto Alegre) na Univirr10 e a tutora Clara, que tira
nossas dúvidas sobre as atividades e estudar para as provas. Quem tomou a
iniciativa foi a Camila e o Marcos, nos encotramos pelo menos uma vez por semana.
Fonte: Dados da pesquisa
Salvo as exceções dos três alunos que raramente estudavam em grupo, o que
pudemos evidenciar nos relatos dos demais é que eles costumavam estabelecer uma
comunicação com os colegas, buscar solução para suas dúvidas a partir da troca de
ideias com os mesmos e com os tutores presenciais. Nesse mesmo sentido, porém de
uma forma mais ampla, Viel (2011), fundamentada nas vozes dos alunos do curso a
10
http://univirr.edu.br/ . último acesso em 06/03/2013.
261
distância, o qual ela investigou, ressalta que segundo eles, “[...] o estímulo mútuo e a
troca são muito enfatizados como pontos essenciais para o sucesso no curso” (VIEL,
2011, p.146).
Sobre o fato de “um ajuda o outro”, conforme relatado por Gabriela no Quadro
3, no nosso modo de ver, essa comunicação com os colegas possibilita momentos de
reflexão e desenvolvimento da habilidade de argumentação, ou assim como destaca
Menezes (1999) “a possibilidade de os alunos discutirem entre si, tentando esclarecer
ideias menos claras, permite maior riqueza na discussão geral” (MENEZES, 1999, p.
11). Ademais, em seu trabalho, esse autor discute propostas de tarefas que foram
realizadas por alunos de maneira individual e em grupos. E com relação a esta última
forma, ele concluiu que “... os alunos tiveram oportunidade de expressarem as suas
ideias, de ouvirem, de clarificarem dúvidas e chegarem a consensos” (MENEZES,
1999, p. 12).
Já com relação ao que foi relatado pela aluna sobre o suporte da tutora em tirar
as dúvidas do grupo (Quadro 5), e sobre a procura por esses profissionais, conforme
relatado por alguns alunos por meio de mensagens privadas no AVA, obtivemos
indícios que mostram a importância de tais profissionais nas dinâmicas de estudos dos
alunos, seja por sanar suas dúvidas ou na orientação durante os estudos em grupo.
E as funções dos tutores, particularmente dos tutores presenciais, perpassam o
âmbito pedagógico, pois assim como descrevem Silva e Figueiredo (2011) o tutor
presencial “cumpre ainda a função de motivar, gerenciar os encontros presenciais e
identificar as dificuldades acadêmicas e administrativas” (SILVA e FIGUEIREDO,
2011, p.4).
De fato, esses profissionais têm exercido tais funções e outras que talvez não
tenhamos conhecimento, especialmente pelo fato de que a comunicação nessa disciplina
ocorreu com maior frequência, de forma presencial. Aliás, em alguns de seus relatos, os
alunos deixaram transparecer que preferem se comunicar presencialmente. Sobre essa
comunicação presencial, em particular entre os alunos, o coordenador do curso nos
informou em um de seus relatos que é comum os alunos formarem grupos de estudo em
seus respectivos polos. Por exemplo, ele reforçou que na maioria dos polos tal prática
ocorre, com exceção do polo de Rorainópolis, pelo fato de alguns alunos morarem a
quase 100 km de distância do polo. Além disso, ele argumentou que em Amajari, só há
262
grupos de estudo quando ocorrem as videoconferências, e que em São João da Baliza há
um grupo de estudos composto por 5 alunos.
Outro fato que nos permite inferir a preferência dos alunos pela comunicação
presencial é a resposta elaborada pelo grupo das alunas Sônia, Mara e Daiane no
relatório de uma atividade que ficou sob nossa responsabilidade. Tal atividade abordou
os conteúdos Desvio Padrão e Coeficiente de Variação, dentro da perspectiva da
Educação Estatística Crítica, que tem em seus pressupostos a valorização do diálogo, o
fomento de discussões de caráter político e/ou social articuladas aos conteúdos e a
valorização do processo de análise dos dados (CAMPOS, 2007). Sobre a forma que o
grupo escolheu para resolver a atividade, as alunas argumentaram o seguinte:
Quadro 6 – Resposta do grupo Sônia, Mara e Daiane no relatório
Apesar de o nosso curso ser a distancia tendo a internet como canal de
comunicação, o processo de comunicação que utilizamos para a confecção deste
trabalho foi o processo presencial, porque pessoalmente, as idéias, os pensamentos e
opiniões fluem mais rapidamente.
Fonte: Dados da pesquisa
Tendo em vista essa comunicação presencial que se dá entre os alunos,
especialmente no que tange à formação de grupos de estudo para o desenvolvimento de
atividades, concordamos com Viel que “geralmente, as discussões entre os alunos são
extremamente valiosas como um modo para ajuda-los a refletir sobre o conteúdo que foi
apresentado e testá-lo [...]” (VIEL, 2011, p. 79).
Essa comunicação estabelecida pelo grupo, que possibilitou que “as idéias, os
pensamentos e opiniões...” (Quadro 6) fluíssem, está em consonância com a
característica de comunicação interativa, descrita por Silva (2000). Para esse autor, essa
modalidade comunicacional “só se realiza mediante a sua participação. Isso quer dizer
bidirecionalidade, intervenção na mensagem e multiplicidade de conexões [...]”
(SILVA, 2000, p.71).
Nesse mesmo sentido, esse “processo de comunicação” relatado pelas alunas,
vai ao encontro da descrição de comunicação feita por Martinho e Ponte (2005). Para
esses autores, “a comunicação constitui um processo social onde os participantes
interagem trocando informações e influenciando-se mutuamente” (MARTINHO;
PONTE, 2005, p.2).
263
Nessa seção, apresentamos e discutimos relatos de alunos, onde evidenciamos a
existência de estudos em grupo nos polos, que ocorreram, em particular, com o
acompanhamento dos respectivos tutores presenciais. A seguir apresentamos algumas
reflexões sobre a importância de estudos em grupo, em particular, como forma de
superar os empecilhos tecnológicos que dificultam a comunicação a distância.
Considerações finais
Nesse artigo, tivemos o propósito de apresentar recortes de uma dissertação de
mestrado, os quais apontaram a importância dos estudos em grupo para viabilizar a
comunicação no contexto da formação inicial de professores de Matemática a distância.
Tal dissertação teve como objetivo investigar como se deu a comunicação na disciplina
Introdução a Estatística, que compõe a grade curricular do curso de Licenciatura em
Matemática, ofertado a distância pela Universidade Federal de Roraima (UFRR) e
vinculado à Universidade Aberta do Brasil (UAB).
Assim, relatamos alguns desafios e diretrizes que concernem à comunicação na
EaD, tomando como base trabalhos cujos contextos também se deram nessa
modalidade. Em seguida, apresentamos relatos de alunos que nos possibilitaram inferir
a existência de estudos em grupo nos polos, que ocorreram de maneira geral, com o
acompanhamento dos respectivos tutores presenciais. Além disso, articulamos tais
relatos com obras literárias que abordam temas relacionados a estudos em grupo, e
também com comunicação.
Contudo, temos em mente que essa “preferência” dos alunos pelos estudos em
grupo de forma presencial, além de estar relacionada com o que foi pontuado pelas
alunas Sônia, Mara e Daiane (Quadro 6), acreditamos que também esteja vinculada com
algo mais complexo, como por causa do contratempo com o acesso à internet. Dessa
forma, enfatizamos que tal empecilho não é característico apenas no estado de Roraima,
pois segundo Lucena et al (2012), cujo contexto de estudo é a EaD no estado do
Amazonas, um desafio para a oferta de cursos a distância que atendam a demanda de tal
estado é a procura por soluções frente às peculiaridades naturais da região, que causam
dificuldades não só no acesso à internet, como na logística necessária para a entrega de
materiais didáticos.
264
De toda forma, os autores salientam aspectos otimistas com relação à solução
para esses empecilhos. Segundo eles, “os problemas e dificuldades são latentes,
entretanto já vislumbra uma evolução e esperam-se crescentes melhorias na situação.
Programas do governo federal e da iniciativa privada sinalizam uma mudança na
realidade tecnológica desses lugares” (LUCENA et AL, 2012, p.11).
Enquanto essas soluções não chegam para a região Norte, ressaltamos aqui que,
a nosso ver, o incentivo do professor à comunicação de forma presencial nos respectivos
polos deve continuar, e que o potencial de tal comunicação pode ser mais explorado,
não só em sua vertente verbal, quanto em sua vertente escrita, como por exemplo,
solicitando aos alunos que elaborem relatórios sobre o desenvolvimento de atividades
abordando conceitos estatísticos, pois corroboro a ideia de Smith (1998) que ao escrever
um relatório em atividades de estatística, os alunos desenvolvem habilidades na escrita e
nos conceitos estatísticos trabalhados.
Complementando esse autor, consideramos que, se a atividade for desenvolvida
de forma conjunta, e o relatório for elaborado também dessa forma, os alunos
desenvolvem não só habilidades de escrita e de conceitos estatísticos, mas também de
argumentação. Ou seja, por meio da argumentação os alunos assumem uma postura
crítica, e passam a discutir suas ideias e emitir opiniões, e essas características vão ao
encontro das ideias de Freire (1967) de que uma prática educativa só pode “alcançar
efetividade e eficácia na medida da participação livre e crítica dos educandos”
(FREIRE, 1967, p. 4).
Por fim, esperamos com este artigo ter fomentado não somente novas reflexões
sobre a importância dos estudos em grupo para viabilizar a comunicação entre os
envolvidos na disciplina investigada, como também para provocar reflexões que
concernem à exclusão digital, realidade esta que ainda é vivenciada no Brasil, em
particular na região Norte.
Referências
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online. 1ª edição. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
265
BRASIL. Secretaria de Educação a Distância. Referenciais de qualidade para
educação superior a distância. Brasília: MEC/Seed, 2007.
CAMPOS, C. R. A Educação Estatística: uma investigação acerca dos aspectos
relevantes à didática da estatística em cursos de graduação. Tese de Doutorado.
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP-Rio Claro, 2007.
FREIRE, P. Educação como prática de Liberdade. 1 Ed. Rio de Janeiro, 1967.
GOMES, A. A. M.; NACARATO, A. M. Pistas, Indícios...A comunicação de ideias
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GIROUX, H. A. Os professores como intelectuais: rumo a uma pedagogia crítica.
Trad. Daniel Bueno. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.
LUCENA, K. K. T. et al. O desafio da Educação a Distância na Amazônia: um estudo
de caso. In: I Simpósio Internacional de Educação a Distância, 2012, São Carlos - SP.
Anais do I SIED (Reflexões pela democratização do conhecimento de qualidade), 2012,
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Modelagem. Tese (doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e
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MARTINHO, M.H.; PONTE, J.P. Comunicação na sala de aula de Matemática Práticas e reflexão de uma professora de Matemática. In: SEMINÁRIO DE
INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (SIEM), 16., 2005. Universidade
do Minho / FC da Univ. de Lisboa. Disponível em:
<http://fordis.ese.ips.pt/docs/siem/texto33.doc>.Acesso em: 16 mar. 2013.
MENEZES, L. Matemática, linguagem e comunicação. In: ENCONTRO NACIONAL
DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA. Atas do ProfMat 99. Portimão, Pt: APM,
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em: 16 mar. 2013.
SANTOS, S. C. Um retrato de uma Licenciatura em Matemática a distância sob a
ótica de seus alunos iniciantes. Tese (doutorado em Educação Matemática) – Instituto
de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro (SP), 2013.
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ensino a distância. In: Revista Científica de Educação a Distância - V.2. n.4, p. 1 - 12,
jul.2011.
266
SILVA, M. A. Sala de Aula Interativa. 1ª edição. Rio de Janeiro: Quartet Editora &
Comunicação Ltda, 2000.
SMITH, G. Learning Statistcs by doing Statistics. Journal of Statistics Education,
v.6, n.3, 1998. Disponível em: http://www.amstat.org/publications/jse/v6n3/smith.html.
Último acesso em 15.03.2013.
VIEL, S. R. Um olhar sobre a formação de professores de matemática a distância:
o caso do CEDERJ/UAB. Tese (doutorado em Educação Matemática) – Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro (SP), 2011.
267
UM ESTADO DO CONHECIMENTO SOBRE A FORMAÇÃO CONTÍNUA DE
PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS NO CAMPO MULTIPLICATIVO
Edvonete Souza de Alencar PUC – SP ([email protected])
Resumo: Esta comunicação cientifica é resultado parcial de uma tese de Doutorado em
andamento da área de Educação Matemática. Trata-se de um estado do conhecimento
que tem como objetivo realizar uma síntese de pesquisas sobre a formação contínua de
professores dos anos iniciais referentes ao Campo Multiplicativo no período de 1996 a
2013. Para a realização deste estudo fizemos uma busca na Biblioteca Nacional de
Dissertações e Teses , por meio de palavras chaves retiradas do nosso objetivo de
pesquisa. Posteriormente lemos os títulos, resumos e conclusões e selecionamos vinte e
nove trabalhos. Utilizamos como referencial teórico os autores mais citados nas
pesquisas analisadas com o intuito de realizar uma releitura dos dados. Em formação de
professores estes foram: Shulman e Tardif. No Campo multiplicativo foram utilizados:
Vergnaud e Nunes. Em análise observamos as similaridades das pesquisas identificando
três eixos: reflexão sobre a prática, necessidade de aprofundamento de estudo do objeto
matemático por parte do docente e contribuições a formação contínua. Neste ultimo
destacamos como contribuições: a análise das resoluções dos alunos e de suas
dificuldades, o estudo das diferentes estratégias, a mediação e intervenções
pedagógicas, a utilização de pensamento narrativo e lógico matemático como recurso
para o professor e aluno, a interação professor-aluno e o registro. Consideramos que os
aspectos analisados nas pesquisas são indicativos promissores a serem realizados em
uma formação contínua e nos permite inferir que as ações formativas provavelmente
possam ser reformuladas por meio dessas contribuições. Assim como promover a
reflexão e mudança de modo que avancem positivamente nos aspectos formativos.
Palavras-chave: Formação de professores, Anos iniciais, Campo Multiplicativo.
268
Introdução
Esta comunicação cientifica é um excerto de uma tese de Doutorado em
andamento na área de Educação Matemática, que tem o intuito de realizar uma síntese
de pesquisas que tratam da formação contínua de professores dos anos iniciais
referentes ao Campo Multiplicativo no período de 1996 a 2013.
Consideramos a formação contínua segundo Perrenoud (1966) que nos relata
que a mesma é orientada por objetivos em longo prazo, composta por competências,
ampliando o campo de trabalho dando-lhe a prática da realidade, para que desenvolva
uma formação de prática responsável e refletida, que esteja articulada entre a formação
inicial, a teoria e a prática.
Acreditamos ainda que existem aspectos a serem abordados nas pesquisas
desenvolvidas nos anos iniciais do Ensino Fundamental, principalmente no tocante a
formação contínua de professores. Tais indícios, encontramos no artigo de Fiorentini
Nacarato; Ferreira; Lopes ; Freitas e Miskulin (2002), que confirmam nossas hipóteses.
Assim, como também nos artigos de Melo (2011) que publicou um levantamento de
dissertações e teses defendidas nos últimos anos na Educação Matemática na Revista
Zetétike e Alencar (2012) que a partir dos dados de Melo (2011) investigou quantas
pesquisas haviam sido publicadas no segmento dos anos iniciais e constatou que ainda
existem poucos estudos nessa área.
Escolhemos o Campo Multiplicativo por observarmos em nossas práticas que há
uma maior dificuldade dos alunos e professores nesses conteúdos. Admitimos como
Campo Multiplicativo, o que Vergnaud (1996, p.35) explana “ser compostas pelas
operações de multiplicação, divisão, além dos conceitos de fração, razão, proporção e
probabilidade”.
Cabe salientar que ao invés de relatarmos sobre o Campo Conceitual
Multiplicativo como citado originalmente por Vergnaud (1996) adotamos o termo de
estudo Campo Multiplicativo por possuir uma maior abrangência.
Procedimentos de Pesquisa
Apresentaremos nesta comunicação um estado do conhecimento segundo o que
Romanovski e Ens (2006) caracterizam como: “O estudo que aborda apenas um setor
269
das publicações sobre o tema estudado vem sendo denominado estado do
conhecimento.”(ROMANOVSKI e ENS , 2006,p.39-40)
Para tanto realizamos uma busca na Biblioteca Nacional de Dissertações e
Teses, por meio de palavras chaves retiradas do nosso objetivo de pesquisa: Campo
Multiplicativo e seus termos similares (multiplicação, divisão, combinatória,
proporcionalidade), Formação de Professores e Anos iniciais. Foi usado o filtro
“relevância” na busca, no qual encontramos os seguintes resultados.
Tabela 1 - Pesquisa de dissertações e teses por temática
Campo Multiplicativo, Formação de Professores e Anos iniciais
1
Campo Multiplicativo , Formação de professores e séries iniciais
0
Formação de professores e séries iniciais
3
Campo Multiplicativo
17
Multiplicação , Formação de professores e anos iniciais
2
Multiplicação formação de professores series iniciais
0
Multiplicação e Formação de professores
14
Divisão , Formação de Professores e anos iniciais
2
Divisão Formação de Professores e series iniciais
0
Divisão e Formação de professores
64
Combinatória Formação de professores e anos iniciais
0
Combinatória Formação de Professores e series iniciais
0
Combinatória e Formação de professores
4
Proporcionalidade Formação de professores e Anos iniciais
0
Proporcionalidade Formação de Professores e series iniciais
0
Proporcionalidade e Formação de Professores
3
270
Fonte: Adaptado de www. bdtd.ibict.br
Ao lermos os títulos, resumos e conclusões selecionamos 29 trabalhos que
referiam-se as palavras chaves contidas em nosso objetivo e estabelecemos
similaridades.
Tabela 2 – Dissertações e Teses correlatas à Formação contínua de professores dos
anos iniciais sobre o Campo Multiplicativo
Título
Autor
Sonia Maria
O sistema de numeração
Losito
decimal e o principio
multiplicativo: um estudo na
4 serie do 1 grau
Instituição
Grau
Ano
UNICAMPFE
Mestrado
1996
O campo Conceitual
Multiplicativo na
perspectiva do Professor das
series iniciais (1ª a 4ª série)
Silvia Swain
Canoas
PUCSP
Mestrado
1997
O Ensino da Multiplicação
para crianças e adultos:
conceitos, princípios e
metodologia.
Mara Silvia
André
Ewbank
UNICAMPFE
Doutorado
2002
A passagem da 4.ª para 5.ª
série: o que pensam
professores dessas séries
sobre os conteúdos
essenciais de Matemática.
Angelita
Minetto
Araújo
UFPR
Mestrado
2003
A Matemática em uma
escola organizada por ciclos
de formação humana
Sheila Maris
Gomes
Goulart
UFMG
Mestrado
2005
Fração e seus diferentes
significados: um estudo com
alunos das 4 as 8 series do
ensino fundamental.
Leonel
Valpereiro
Moutinho
PUCSP
Mestrado
2005
O conceito de fração em seus Aparecido
dos Santos
diferentes significados : um
estudo diagnostico junto a
professores que atuam no
PUCSP
Mestrado
2005
271
Ensino Fundamental
Números decimais : no que
os saberes de adultos
diferem dos de crianças
Valdenice
Leitão da
Silva
UFPE
Mestrado
2006
Expressões aritméticas :
crenças , concepções e
competências no
entendimento do professor
polivalente
Ubiratan
Barros Arrais
PUCSP
Mestrado
2006
Crença , concepção e
competência dos professores
do 1 e 2 ciclo do ensino
fundamental com relação a
fração.
Raquel
Factori
Canova
PUCSP
Mestrado
2006
Ensino e aprendizagem de
problemas cartesiano: interrelações entre diferentes
representações
Vera Lucia
da Silva
PUCSP
Mestrado
2006
As dificuldades na
aprendizagem da divisão:
analise da produção de erros
dos alunos do ensino
fundamental e sua relação
com o ensino praticado pelos
professores
Edileni
Garcia
Juventino de
Campos
Universidade
Catolica Dom
Bosco
Mestrado
2007
O ensino desenvolvimental e
a aprendizagem de
Matemática na 1ª fase do
Ensino Fundamental.
Fernanda
Chaves
Cavalcante
Soares
Universidade
Católica de
Goias
Mestrado
2007
PUCSP
Doutorado
2007
Angélica da
O desafio do
Fontoura
desenvolvimento
profissional docente : analise Garcia Silva
da formação continuada de
um grupo de professores das
series iniciais do ensino
fundamental , tendo como
objeto de discussão o
processo de ensino e
272
aprendizagem das frações.
A reconstrução do conceito
de dividir na formação dos
professores : o uso do jogo
como recurso metodológico
Cheila
Francett
Bezerra Silva
de
Vasconcelos
UFAL
Mestrado
2008
Tabuadas: significados e
sentidos produzidos pelos
professores das séries
iniciais do Ensino
Fundamental
Jóyce
Nürnberg
UNESC
Mestrado
2008
Argumentação e
metacognição na solução de
problemas aritméticos de
divisão
Telma Assad
Mello
UNICAMP
FE
Mestrado
2008
A divisão e os números
racionais : uma pesquisa de
intervenção psicopedagógica
sobre o desenvolvimento de
competências conceituais de
alunos e professores
Regina da
Silva Pina
Neves
UNB
Doutorado
2008
O conhecimento dos alunos
de primeira serie do ensino
fundamental sobre a divisão
Josiane Elias
Nicolodi
UNIVALI
Mestrado
2009
A constituição dos saberes
da docência: uma analise do
campo multiplicativo
Adriana
Camejo da
Silva
PUCSP
Doutorado
2009
Doutorado
2009
Cristiane
UFPE
Quem dança com quem : o
Azevedo dos
desenvolvimento do
raciocínio combinatório do 2 Santos Pessoa
ano do ensino fundamental
ao 3 ano do ensino médio.
A multiplicação na Escola
Fundamental I analise de
uma proposta de ensino
Ana Ruth
Starepravo
USP FE
Doutorado
2010
A formação docente e o
ensino de problemas
combinatórios : diversos
Cristiane
Arimatea
UFPE
Mestrado
2011
273
olhares , diferentes
conhecimentos.
Rocha
Conhecimento Profissional
Docente de professores do
5.º ano em uma escola com
bom desempenho em
Matemática :o caso das
estruturas multiplicativas
Edvonete
Souza de
Alencar
UNIBAN
Mestrado
2012
Marcas da divisão: um
estudo de caso sobre a
aprendizagem da operação
de divisão no 4° ano do
Ensino Fundamental
Michele dos
Santos
Ferreira
UFRGS
Mestrado
2012
As potencialidades de um
processo formativo para a
reflexão na e sobre a
pratica de uma professora
das series iniciais : um
estudo de caso.
Vera Lucia
Merlini
PUCSP
Doutorado
2012
Processos de formação
colaborativa com foco no
Campo Multiplicativo: um
caminho possível com
professoras polivalentes
Aparecido
dos Santos
PUCSP
Doutorado
2012
UNIBAN
Mestrado
2013
UFSCAR
Mestrado
2013
Os pensamentos Narrativo e Caroline
lógico cientifico na resolução Adjane Fiore
de problemas no Campo
conceitual Aditivo e
Multiplicativo nos anos
finais do Ensino
fundamental
Um curso de atualização
para professores do ciclo I
utilizando novas tecnologias
no ensino de Matemática
Juliano
Osório da
Silva
Posteriormente elaboramos uma síntese de pesquisa que segundo Fiorentini e
Lorenzato (2006) caracterizam como:
274
[...]uma modalidade de pesquisa que objetiva desenvolver uma
revisão sistemática de um conjunto de estudos já realizados, sobre
um mesmo tema ou problema de pesquisa, tentando extrair deles,
mediante contraste e inter-relacionamento, outros resultados e
sínteses, transcendendo aqueles anteriormente obtidos
(FIORENTINI e LORENZATO, 2006,p. 226).
Um novo olhar sobre o referencial teórico
Nosso referencial teórico apoia-se em estudos da formação de professores e do
campo multiplicativo. Neste sentido analisamos quais foram os teóricos mais utilizados
pelas 29 pesquisas, para que pudéssemos realizar uma releitura das mesmas.
Observamos que os mais citados no campo da formação de professores foram: Shulman
(1986) e Tardif (2002). Quanto aos teóricos do Campo Multiplicativo os mais citados
foram: Vergnaud (1990) e Nunes (2001).
Shulman (1986) relata sobre o Conhecimento Profissional Docente, que é
composto por três vertentes de conhecimento: específico do conteúdo, pedagógico do
conteúdo e curricular. Observamos que o conhecimento específico do conteúdo é o
conhecimento próprio da disciplina a ser ensinada pelo docente. Já o conhecimento
pedagógico do conteúdo, são as estratégias, intervenções e planejamento utilizados para
que ocorra a aprendizagem. E os conhecimentos curriculares referem-se às
especificações e detalhamento do currículo proposto.
Tardif (2002) nos diz sobre a existência das relações entre os saberes e o tempo.
Em seus estudos destaca que os saberes são temporais e desenvolvidos no decorrer da
vida e experiências adquiridas de acordo com cada ocupação. Os saberes relatados pelo
autor são: profissionais, da disciplina, curriculares e da experiência. Estes são
construídos com o tempo que os docentes vivenciam experiências em seu trabalho e no
planejamento de suas aulas, além das experiências de formação ou como estudantes.
Quanto ao teórico do Campo Multiplicativo, utilizamos Vergnaud (1990) relata
sobre a Teoria dos Campos Conceituais , afirmando que esta é cognitivista e “apresenta
alguns princípios como base do desenvolvimento da aprendizagem e de competência
complexa” (VERGNAUD, 1990, p.133). Além disso, é psicológica, pois compõem-se
275
de “estudo de semelhanças e diferenças entre conhecimentos do ponto de vista
conceitual”. (ibidem).
Vergnaud (1990) com base em estudos de Piaget, nos diz que suas pesquisas
procuram identificar as influências das situações na formação do conhecimento. Para o
autor o conhecimento é uma adaptação, e o esquema é formado pela a análise da
mesma. Neste sentido sua teoria propõe o estudo do desenvolvimento do conteúdo.
Assim o Campo conceitual é construído por meio de experiências do cotidiano e da
escola, estando diretamente ligados às situações. Salientamos que existem vários
campos conceituais, neste estudo apresentamos o Campo Conceitual Multiplicativo.
Nunes (2001) relata sobre o raciocínio multiplicativo, ressaltando que esta é
composta por duas variáveis de grandezas diferentes. Destaca ainda que o raciocínio
multiplicativo envolve situações de correspondência um para muitos, relações entre
variáveis e situações que envolvem distribuição divisão e divisões ao meio.
Análises
Em primeira análise observamos as similaridades quanto ao objeto matemático
em consonância com Vergnaud (1990) e Nunes (2001), e identificamos que as pesquisas
de Losito (1996); Canoas (1997); Moutinho (2005) ; Santos ( 2005) ; Silva ( 2006a);
Silva (2006 b); Canova (2006); Campos (2007); Soares (2007) ; Garcia Silva ( 2007);
Neves (2008); Vasconcelos (2008) ; Mello (2008); Nicolodi, (2009); Alencar (2012) ;
Merlini (2012); Ferreira (2012) e Santos (2012) apresentam estudo direcionado a
divisão. Já Ewbank (2002); Araujo (2003); Goulart ( 2005); Silva ( 2006); Arrais (
2006); Nunberg (2008) , Camejo ( 2009) ; Pessoa( 2009); Starepravo (2010) ,Rocha (
2011) ; Fiore (2012); Santos (2012); Alencar (2012) e Silva (2013) apresentam estudo
sobre a multiplicação. Ressaltamos que alguns estudos direcionavam-se para ambos os
objetos matemáticos.
Em um segundo momento, analisamos algumas similaridades que envolvem a
formação contínua, compostas por três eixos: reflexão sobre a prática, aprofundamento
do objeto matemático e contribuições para a formação contínua de professores dos anos
iniciais no Campo Multiplicativo. Ressaltamos que apesar de alguns estudos como:
Losito (1996), Moutinho (2005), Silva (2006 a), Silva (2006 b), Campos (2007), Soares
276
(2007), Nicolodi (2009), Pessoa (2009), Starepravo (2010), Ferreira (2012) e Fiore
(2013) terem o foco na aprendizagem dos alunos do campo multiplicativo, este nos
trazem importantes contribuições a serem utilizadas na formação contínua dos
professores dos anos iniciais. Acreditamos que o docente é um dos principais
interlocutores nas ações em sala de aula e por isso estão intrinsicamente ligados as
relações entre o ensino e a aprendizagem.
A reflexão sobre a prática são abordadas nas pesquisas de Ewbank (2002), Garcia
Silva (2007), Vasconcelos (2008) Mello (2008), Neves (2008) Starepravo (2010),
Alencar (2012), Santos (2012), Merlini (2012), Santos (2012) e relatam como ponto
significativo a ser tratado na formação contínua dos professores dos anos iniciais.
Apresentaremos entre todas uma citação para demonstrar a assertiva. Ewbank (2002)
relata que: “O professor também constrói e re-constrói os seus saberes. É na ação em
sala de aula e pela reflexão crítica desta que tem a oportunidade de uma construção real
e efetiva do seu saber fazer pedagógico”.(EWBANK, 2002, p.215)
Verificamos que as pesquisas que indicam que os docentes necessitam de um
aprofundamento do estudo do objeto matemático são: Canoas (1997), Ewbank (2002),
Araújo (2003), Santos (2005), Arrais (2006), Canova (2006), Campos (2007), Soares
(2007), Garcia Silva (2007), Neves (2008), Vasconcelos (2008), Camejo (2009),
Merlini (2012) e Alencar (2012) .
Para confirmação das evidências apresentamos entre todos os estudos, uma das
considerações para confirmar nossas assertivas. Canoas (1997) em seu estudo aponta
duas perspectivas:
1)as professoras têm uma visão estreita do campo conceitual
multiplicativo, principalmente no que diz respeito a exploração
das situações presentes nesse campo; e 2) as professoras tendem a
utilizar conceitos e procedimentos dentro de um domínio de
validade que não são verdadeiros em outros domínios, sem
contudo ter um entendimento claro do que é possível e do que não
é possível ser conectado nesses domínios. (CANOAS, 1997, p.8)
O estudo de Shulman (1986) já destaca a importância do domínio do
conhecimento específico do conteúdo para as tarefas de planejamento.
277
Observamos contribuições para formação contínua nos estudos de Losito (1996);
Canoas (1997); Araújo (2003) ; Moutinho (2005); Goulart, (2005); Santos (2005); Silva
(2006a); Silva (2006b); Campos (2007); Soares (2007); Garcia Silva (2007), Nunrberg
(2008); Mello (2008); Vasconcelos (2008); Neves (2008); Camejo (2009); Nicolodi
(2009); Pessoa (2009); Starepravo (2010); Rocha (2011); Santos (2012); Ferreira
(2012); Alencar (2012); Fiore (2013) e Silva (2013). Entre as contribuições estão: a
análise das resoluções dos alunos e de suas dificuldades, o estudo das diferentes
estratégias, a mediação e intervenções pedagógicas e a utilização de pensamento
narrativo e lógico matemático como recurso para o professor e aluno, a interação
professor aluno e o registro. Em consonância a essa afirmação, destacamos Tardif
(2002) nos diz que os docentes desenvolvem suas aprendizagens por meio de situações
e experiências vividas. Neste sentido devemos proporcionar boas experiências nas
formações de professores com o intuito de desenvolver os saberes docentes.
Considerações finais
Observamos indicativos promissores a serem realizados em uma formação
contínua comprovados pelas pesquisas: reflexão sobre a prática, aprofundamento de
estudo do objeto matemático e contribuições para a formação docente. Estes indicadores
nos levam a crer que as formações contínuas provavelmente possam ser reformuladas
por meio dessas contribuições.
Destacamos que esta pesquisa permite a reflexão e mudança nas formações
contínuas de professores dos anos iniciais no Campo Multiplicativo, vindo contribuir
para que posteriores estudos avancem positivamente quanto aos aspectos formativos.
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281
UM PERFIL DOS ALUNOS INGRESSANTES NA LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA DA UFMT – CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE
RONDONÓPOLIS
Fernando Luís Pereira FERNANDES – UFMT/CUR ([email protected])
Adimar MORETTI JÚNIOR – UFMT/CUR ([email protected])
Resumo: Este trabalho é parte de uma pesquisa realizada por dois professores recém
ingressados no curso de Licenciatura Plena em Matemática da UFMT - Campus de
Rondonópolis e tem como objetivo identificar e analisar o perfil dos alunos ingressantes
nesse curso. Notamos, por meio de observação em aulas ministradas aos estudantes
calouros que parte deles escolhe Matemática como segunda opção e pretende utilizá-lo
como acesso a outros cursos de graduação que proporcionem status e/ou melhor retorno
financeiro quando entrarem no mercado de trabalho, quando comparado ao trabalho
docente. A partir do problema identificado, buscamos pesquisas na área de Educação e
Educação Matemática para melhor conhecer o aluno que tem optado pelo curso de
Matemática. Na revisão bibliográfica, nos atemos aos trabalhos relacionados à carreira
docente (Gatti, et al, 2009) e suas condições de trabalho e saúde. Identificamos-nos com
o trabalho realizado por Moreira et al (2012), no qual visa identificar o perfil do aluno
ingressante em diferentes cursos de Licenciatura em Matemática, de várias
universidades brasileiras e a sua escolha, ou não, pela carreira docente. Com base nesse
trabalho, aplicamos um questionário composto por 24 perguntas, as quais se referem a
aspectos formativos, de trabalho, socioeconômicos do aluno e sua família, além do
interesse e motivação para cursar Matemática. Ao analisar as respostas dos ingressantes,
foi possível traçar um perfil do estudante ingressante: há um equilíbrio entre homens e
mulheres, solteiro, oriundo de escola pública, gosta de matemática, mas tem dúvida se
seguirá a docência, exerce atividade remunerada, renda familiar entre 1 e 5 salários
mínimos, pais com pouca escolarização e possui computador em casa. Acreditamos os
resultados obtidos nesta investigação venham contribuir para discussões e reflexões
acerca de nosso e outros cursos de Matemática e, como continuidade do estudo, nos
interessamos em constituir um perfil do aluno egresso do curso.
Palavras-chave: Formação Inicial. Professor de Matemática. Carreira Docente.
282
Introdução
O presente artigo tem como objetivo principal apresentar uma breve análise do
perfil dos alunos ingressantes do curso Licenciatura em Matemática da Universidade
Federal de Mato Grosso - Campus Universitário de Rondonópolis (UFMT/CUR), no
ano de 2013. O curso de Matemática foi autorizado a funcionar a partir do primeiro
semestre de 1988, sendo reconhecido no ano de 1995 e se consolida como um dos
principais cursos de formação de professores de Matemática na e para a Região Sul do
Estado de Mato Grosso.
Atualmente, o curso recebe cinquenta alunos por ano, com ingresso por meio
do Sisu/MEC, sendo vinte e cinco alunos ingressantes no período vespertino, no
primeiro semestre, e outros 25 alunos no segundo semestre para o período noturno.
A partir da observação dos professores, autores deste trabalho, em classes do
primeiro semestre do curso e de conversas informais que tivemos com alunos e
professores do Departamento de Matemática, nos interessamos a investigar sobre o
perfil do aluno ingressante.
Somos professores recém-ingressados na UFMT e nos chamou atenção o fato
de muitos alunos abandonarem o curso de Matemática, seja por ter escolhido uma
carreira incorreta, seja por ter utilizado o curso de Matemática como possível acesso à
universidade. Como o ingresso para o curso de Matemática possui menor concorrência,
quando comparado às áreas de Engenharia, parte dos alunos que acabam de ingressar no
curso de Matemática busca transferir-se para cursos de carreiras tradicionais, as quais
poderiam proporcionar um melhor retorno financeiro, quando entrarem no mercado de
trabalho. No campus de Rondonópolis, há dois cursos de Engenharia: Agrícola e
Ambiental, e Mecânica.
Diante desse quadro, nos propusemos a pesquisar em artigos de Educação e
Educação Matemática sobre os temas: Perfil dos Alunos de Matemática; Atratividade da
Carreira Docente, Escassez na Formação de Professores, entre outros. Em um dos
artigos intitulado: “Quem quer ser professor de Matemática”, publicado em 2012 na
Revista Zetetiké, um grupo de pesquisadores (MOREIRA et al., 2012) se propôs a
283
elaborar e aplicar um questionário composto por 27 questões, nas quais os alunos
responderam sobre idade, sexo, estado civil, formação escolar, vestibular e a preferência
pela licenciatura, renda familiar e escolaridade dos pais. Para a pesquisa, responderam
664 ingressantes de 18 instituições de ensino superior em 10 estados da federação.
Como havia uma semelhança entre o objetivo da pesquisa realizada por
MOREIRA et al.(2012) e de nosso interesse em conhecer melhor o perfil do aluno
ingressante no curso de Matemática que trabalhamos, utilizamos o questionário citado
anteriormente, realizando pequenas adaptações. Ao todo, constam 24 questões no
questionário aplicado aos atuais 35 alunos ingressantes no ano de 2013. Note que, não
foi possível aplicar o questionário aos 50 alunos esperados, pois as turmas não tiveram a
sua ocupação máxima desde o início do período letivo e alguns alunos já desistiram do
curso. Não conseguimos identificar os motivos do abandono tão precoce.
A seguir, apresentaremos um breve panorama das condições de trabalho
docente, atratividade da carreira e o perfil dos alunos que ingressam nos cursos de
licenciatura.
Sobre formação, atratividade e interesse pela carreira docente
A escolha de uma profissão não é uma tarefa fácil. Ainda mais, quando ela
precisa ser feita em um período da vida em que temos mais dúvidas que certezas: a
adolescência. São milhões de estudantes do ensino médio, todos os anos, que se
dedicam aos estudos para obter uma vaga na universidade, mesmo com tantas dúvidas.
Dentre as diversas áreas, temos acompanhado, seja pelo noticiário ou pela divulgação de
resultados de pesquisas publicadas na área de formação de professores, a falta de
interesse dos jovens para cursar uma licenciatura. É notório, também, pela baixa
concorrência nos vestibulares e no Sisu/MEC.
Uma possível causa dessa falta de interesse pela carreira docente seja o baixo
salário ofertado pelos sistemas de ensino, em sua maioria, públicos. Apesar da
regulamentação e aplicação do Piso Nacional para Professores da Educação Básica,
criado em 2009, diversos estados e municípios alegam não ter condições de arcar com o
284
reajuste anual. Quando comparamos a média salarial de um professor com o de outros
profissionais com ensino superior, vemos uma diferença acentuada.
Outro fator que pode afetar a opção pela carreira de professor é a condição de
trabalho. Escolas não possuem infraestrutura mínima de ensino, alunos violentam
professores, verbal e fisicamente, e como conseqüência, docentes se afastam das aulas
por motivos de saúde. Segundo pesquisa realizada pela Apeoesp (Sindicato dos
Professores do Estado de São Paulo) (Menezes, 2013), 44% dos professores da rede
estadual sofreram algum tipo de violência (39% deles sofreram agressão verbal, 10%
sofreram assédio moral, 6% sofreram bullying e 5 % deles, agressão física). Em geral, o
alvo dessa violência são professores do sexo masculino e que lecionam no ensino
médio: 65% foram agredidos de alguma forma. Além da violência, a questão da saúde
do professor tem sido acompanhada e estudada por pesquisadores da área da medicina
do trabalho. Dentre as doenças diagnosticadas, são comuns os diagnósticos de bursite,
problemas nas pregas vocais, depressão e, mais recentemente, a Síndrome de Burnout.
Essa síndrome consiste no esgotamento físico e mental de um indivíduo, provocado
pelo trabalho. (Carlloto, 2002; Almeida et al, 2011)
Em relação ao interesse de alunos do ensino médio para cursar uma
licenciatura, segundo estudo realizado pela Fundação Carlos Chagas e coordenado pela
professora Bernadete Gatti, somente 2% dos alunos de ensino médio entrevistados
disseram ter como primeira opção a escolha pela licenciatura. Além desse dado, a
pesquisa também investigou o perfil dos alunos ingressantes em cursos de licenciatura
em todo o Brasil, com base no Censo Escolar de 2007.
A maioria dos alunos
ingressantes é proveniente das classes C e D, oriundos de escolas públicas e que “têm
dificuldades com a língua, com a leitura, escrita e compreensão de texto” (GATTI et al.,
2009, p.14).
A seguir, uma análise das respostas dos alunos ingressantes no ano de 2013. É
importante lembrar que foram aplicados 35 questionários, em ambos os períodos. O
questionário foi composto por 24 questões.
285
Análise dos Resultados
Em relação ao primeiro grupo de informações (idade, sexo e estado civil),
aproximadamente 34% dos ingressantes têm menos de 21 anos e quase metade deles
possui 26 anos ou mais. A divisão entre homens e mulheres é praticamente igual,
levemente predominada pela parte masculina, dezenove para quinze, respectivamente.
Um aluno não respondeu.
Quanto ao segundo grupo analisado (formação escolar), exatamente 80% dos
ingressantes
cursaram
o
Ensino
Médio
integralmente
em
escola
pública,
predominantemente estadual (86%), enquanto que pouco menos de 6% realizaram tal
estudo integralmente em escola particular. É importante destacar que dezesseis alunos
ingressantes concluíram o Ensino Médio há mais de cinco anos, o que nos dá quase
46% dos alunos. Oitenta e seis por cento dos discentes demoraram mais de dois anos
para ingressar no curso e somente cinco alunos ingressaram no Ensino Superior assim
que concluíram o Ensino Médio. Além disso, 54% dos pesquisados cursaram o Ensino
Médio no período diurno e, apenas, seis deles frequentaram cursinho preparatório.
No processo seletivo para o curso, 57% dos ingressantes conquistaram na
primeira vez em que se candidataram à vaga, com 40% considerando fácil a aprovação
para o curso. Perguntados se optariam novamente pelo curso de Licenciatura em
Matemática caso não tivessem sido aprovados, 60% disseram que sim, 74% afirmaram
que tentariam novamente a vaga, mesmo com a certeza da aprovação em qualquer outro
curso. Porém, dos trinta e cinco ingressantes, apenas onze pretendem ter a atividade de
docência como ocupação principal após se graduarem. Do restante, oito asseguraram
que não pretendem e quinze deles disseram que, talvez, poderiam ter a docência como a
principal ocupação. (um aluno não respondeu).
Além das informações apresentadas no parágrafo anterior, o terceiro grupo de
questões tinha como objetivo observar as influências que os alunos tiveram na decisão
de cursar Licenciatura em Matemática. Cerca de 40% das respostas estavam vinculadas
a fatores ligados à Matemática, enquanto que pouco mais de 20% delas associavam-se
com fatores ligados à atividade docente, 23% relacionadas ao mercado de trabalho e os
286
16% restantes referem-se a “outros” diferentes fatores, dentre eles a influência de
familiares, professores e falta de opções.
No último grupo de informações analisado, referente às condições
socioeconômicas e escolaridade dos pais, constata-se que 63% dos discentes possuem
uma atividade remunerada atualmente, sendo que a grande totalidade (57%) destes já a
exerciam antes de iniciarem o curso e 23% são os principais responsáveis pelo sustento
da família. Oitenta e três por cento dos ingressantes afirmam ter renda familiar de 1 a 2
ou 2 a 5 salários mínimos, sendo que 34% dos alunos não contribuem com o sustento da
família. Treze alunos não possuem automóvel na residência e vinte e nove possuem,
pelo menos, um computador em casa. Por fim, em relação a escolaridade dos pais, o
número de pais e mães que não concluíram o Ensino Fundamental foi o mesmo,
dezesseis, o que representa 46% em ambos os casos.
Assim, ao nos depararmos com os resultados obtidos, algumas observações nos
chamaram a atenção e se destacaram perante outras. O fato de os alunos pesquisados
não formarem um grupo tão jovem e, em grande parte, solteiros, somado com o tempo,
hipoteticamente, sem estudo após concluir o Ensino Médio, realça a idéia de que mesmo
tardiamente, o interesse em ingressar no Ensino Superior é mantido. Por outro lado,
visto que um terço dos ingressantes cursou ou estão cursando outro curso superior, não
podemos descartar a possibilidade de interpretarmos a procura pela licenciatura como a
busca de uma segunda profissão, desejo de ampliar as oportunidades profissionais ou
até mesmo, como um fortalecimento de um ensino da educação básica, em geral,
incipiente, do qual a quase totalidade dos ingressantes na Licenciatura em Matemática
foram submetidos. Fato este último, condizente com o perfil dos alunos ingressantes na
licenciatura, que, segundo Moreira et al (2012) e Gatti et al (2009) são provenientes de
escola pública, cursada em sua grande parte no período noturno. No nosso caso, não
fizemos essa análise separadamente.
Dentre as influências na escolha do curso, os fatores que predominaram para os
estudantes foram: Identificação com o curso; Interesse por dar aula; Facilidade com a
Matemática; A Matemática desenvolve o raciocínio lógico; Gostar de Matemática,
Mercado de trabalho e Concursos. Porém, além desses, outros argumentos foram
apresentados, como: “Possibilidade de eliminar disciplinas em outro curso
(Engenharia)”, “Quero aprender Matemática para cursar engenharia e, também, para
287
dar aula” e “ampliar a oportunidade profissional”. Para completar, juntamente com o
fato de, apenas, onze dos alunos ingressantes afirmarem o interesse na atividade docente
ao final do curso, nos faz ter a visão de que o curso de Licenciatura de Matemática,
nesse caso, está sendo usado como “trampolim” para outros cursos de graduação. Ou
seja, alguns discentes vêem no curso de Licenciatura em Matemática, um modo de se
prepararem para ingressar em outro curso superior, muitas vezes por meio de
transferência ou vestibular (situação esta vivenciada pelos professores-autores deste
trabalho, ao ministrar disciplinas para alunos ingressantes) ou, então, para ter um
melhor desempenho nos concursos públicos.
Essa falta de interesse pela carreira docente busca por outras profissões,
retratadas acima, não deixam de ser consequências das más condições de trabalho e
baixa remuneração que os futuros professores estariam a enfrentar, já mencionadas
anteriormente no texto. É diante deste panorama que, cursos considerados mais
conceituados no âmbito financeiro e do status social bem como concursos públicos em
carreira de técnico e com melhores salários têm despertado o interesse de alguns destes
ingressantes. No entanto, embora boa parte (quinze alunos) não demonstre segurança na
docência como ocupação principal, fica evidente que o gosto pela matemática se faz
presente na decisão do aluno quanto a ingressar na Licenciatura em Matemática, visto
que muitos optariam novamente pela vaga mesmo se não a tivessem conseguido,
inclusive, mesmo com a vaga garantida em qualquer outro curso. Podemos dizer que
prevalece o gosto pela matemática, apesar de possuírem dúvidas quanto à escolha da
profissão.
Outra observação a se destacar é que, embora alguns alunos tenham cursado
outro curso superior antes de ingressarem no curso de matemática, o fato de alguns
deles exercerem atividade remunerada há algum tempo e participar da renda familiar,
pode ser um dos motivos que justifique o ingresso tardio no Ensino Superior. Mesmo
que o ingresso tenha sido tardio, nota-se que a grande maioria dos está superando o
nível de escolarização de seus pais, o que para muitas destas famílias significa a
oportunidade de ascensão social e visto como uma grande conquista.
Em relação à renda familiar, há uma predominância na faixa de 1 a 5 salários
mínimos, apesar da expansão do crédito e poder de compra das famílias brasileiras,
cinco famílias ainda não possuírem computador e treze não possuírem automóvel em
288
suas residências. Desse último, vimos a necessidade de indagar o meio de transporte
utilizado para chegar à universidade, ou o trajeto residência-trabalho, pois muitos alunos
possuem motocicleta e no município de Rondonópolis há uma grande frota desse
veículo.
Considerações finais
Quando os autores se depararam com alguns relatos e situações ocorridas com
os discentes ingressantes no curso Licenciatura em Matemática da UFMT – Campus de
Rondonópolis, veio, então, o interesse em analisar o perfil e, principalmente, o real
interesse que os levaram a optar pela Matemática. Sintetizado os dados obtidos,
podemos esboçar um perfil do aluno ingressante: equilíbrio quanto a idade e sexo, na
grande maioria solteiro, advindo do ensino público, sendo o gosto pela matemática o
fator predominante na escolha pelo curso de licenciatura. Além disso, a maioria deles
contribui para o sustento da família, possui renda familiar entre 1 e 5 salários mínimos e
pais com baixa escolarização.
Vale destacar que, ao analisarmos os questionários, diagnosticamos diferenças
notáveis nas respostas quando comparamos os turnos vespertino e noturno, diferenças
estas que, em certas questões, influenciaram consideravelmente o resultado final, o que
nos dá a motivação para realizar estudos posteriores, visando esse detalhamento.
Encerrado este trabalho e de posse de um perfil do aluno ingressante, embora
não consigamos solucionar de forma definitiva a falta de interesse na profissão
apresentada por alguns, podemos utilizar esses resultados para subsidiar discussões e
reflexões que possam tornar o curso mais atraente, em especial para aqueles que ainda
possuem dúvidas sobre o curso e a carreira, além de superar expectativas e solidificar o
desejo pela profissão professor que, de forma tímida, já a desejavam.
As informações obtidas neste estudo poderão subsidiar reflexões em nosso
Colegiado de Curso e Departamento de Matemática, no qual estamos lotados. E, quem
sabe nossa experiência, mesmo simples, venha contribuir em outros cursos de
licenciatura. Afinal, conhecer o perfil do estudante que ingressa no curso de Matemática
289
fará com que repensemos a estrutura do curso, visando acompanhar as mudanças
ocorridas na sociedade e, em particular, no espaço escolar, vejamos com outro olhar a
questão do abandono e evasão nas licenciaturas, identifiquemos necessidades e
possíveis dificuldades que os licenciandos venham a enfrentar nas diferentes disciplinas
e questionemos nossas práticas, enquanto formadores de professores.
Como continuidade do estudo, vemos a importância de manter a dinâmica de
conhecer o aluno ingressante e ampliá-lo para identificar o perfil dos alunos formandos,
futuros egressos do curso de Matemática. Dessa forma, será possível avaliarmos o curso
e o trabalho pedagógico realizado, de suas contribuições e influências para a formação
matemática e didática do egresso e a sua escolha, ou não, pela profissão professor.
Referências
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Estudo, Maringá, v.7, n.1, p. 21-29, jan./jun 2002.
GATTI, B. et al. Atratividade da carreira docente no Brasil. Relatório Preliminar.
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MENEZES, L. Violência escolar: o professor sob ameaça. Folha Dirigida, Suplemento
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MOREIRA, P. C. et al. Quem quer ser professor de matemática. Zetetiké. v.20, n.37,
jan/jun
2012.
290
Anexo: Questionário
Questão 1) Idade:
(12) Abaixo de 21 anos
(06) 21-25 anos
(10) 26-30 anos
(06) 30-40 anos
(01) Acima de 40 anos
Questão 2) Sexo:
(19)Masculino
(15)Feminino
NR: 1
Questão 3) Estado Civil:
(23) Solteiro
(10) Casado
(02) Divorciado
(0) Viúvo
Questão 4) Ano de Conclusão do Ensino Médio:
(05) ano anterior
(10) há 2-3 anos
(04) há 4-5 anos
(16) mais de 5 anos
Questão 5) Em que tipo de escola você cursou o Ensino Médio?
(28) Integralmente em escola pública
291
(05) Parcialmente em escola pública
(02) Integralmente em escola particular
Questão 6) Se assinalou o 1º ou 2º item na questão anterior, identifique o tipo de escola
pública
(0) Federal
(30) Estadual
(03) Municipal
NR: 2
Questão 7) Anos para concluir o Ensino Médio
(25) 3, isto é, sem reprovação
(05) 4 anos
(02) Mais de 4 anos
(03) Suplência
Questão 8) Turno em que cursou o Ensino Médio
(19) Diurno
(16) Noturno
Questão 9): Quantas vezes prestou vestibular para a Licenciatura em Matemática?
(20) Uma vez
(13) 2-3 vezes
(0) Mais de 3 vezes
(02) Transferência
Questão 10) Você já cursou ou está cursando outro curso superior?
(11) Sim
292
(24) Não
Questão 11) Fatores que influenciaram a decisão pela licenciatura em matemática:
1.Fatores ligados à matemática
(11) Facilidade com a matemática
(16) Porque a matemática desenvolve o raciocínio lógico
(24) Gostar da matemática
(07) Outros:
- A falta de profissionais ligados à área de matemática
- Falta de opção
- Adquirir conhecimento para prestar vestibular para o curso de Engenharia Nuclear
-Possibilidade de eliminar disciplinas em Ciências Contábeis e Engenharia
- Aulas de Ciências Biológicas no 9º ano exigem saber um pouco de Matemática, então
ajuda a relembrar o conteúdo
- Quero aprender Matemática para fazer engenharia e também para dar aula
- Ampliar a oportunidade profissional
2. Fatores ligados à profissão docente
(14) Interesse por dar aula
(07) Facilidade para ensinar
(08) Gostar da área de Educação
3. Fatores ligados ao mercado de trabalho
(15) Mercado de trabalho
(18) Concursos
4. Outros
(14) Identificação com o curso
(04) Influência dos professores
(02) Influência de parentes
(02) Facilidade de passar no vestibular
293
(01) Falta de opções
Outros:
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
__________________
Questão 12) Você frequentou cursinho pré-vestibular, integrado ou não ao Ensino
Médio?
(06) Sim
(28) Não
NR: 1
Questão 13) Se não tivesse passado no vestibular para a licenciatura em matemática,
você faria o vestibular de novo para o mesmo curso?
(21) Sim
(03) Não
(09) Talvez
NR: 2
Questão 14) Você tem atualmente uma atividade remunerada?
(22) Sim
(12) Não
NR: 1
Questão 15) Por quanto tempo você tem ou teve atividade remunerada em sua vida?
(05) Nunca teve
(09) Menos de 2 anos
294
(03) 2-5 anos
(17) Mais de 5 anos
NR: 1
Questão 16) Qual a renda mensal do seu grupo familiar?
(0) Menos de 1 salário mínimo
(12) De 1 a 2 salários mínimos
(17) De 2 a 5 salários mínimos
(02) De 5 a 10 salários mínimos
(0) De 10 a 15 salários mínimos
(01) De 15 a 20 salários mínimos
(01) De 20 a 40 salários mínimos
(01) Acima de 40 salários mínimos
NR: 1
Questão 17) Qual é a sua participação na vida econômica de seu grupo familiar?
(10) Não trabalho nem contribuo para o sustento da família
(02) Trabalho, mas não contribuo para o sustento da família
(13) Trabalho e contribuo em parte para o sustento da família
(08) Trabalho e sou o principal responsável pelo sustento da família
NR: 2
Questão 18) Qual o nível de escolaridade do seu pai?
(16) Não concluiu o Ensino Fundamental
(04) Ensino Fundamental completo
(06) Ensino Médio completo
(06) Ensino Superior completo
295
(02) Não sei
NR: 1
Questão 19) Qual o nível de escolaridade de sua mãe?
(16) Não concluiu o Ensino Fundamental
(05) Ensino Fundamental completo
(06) Ensino Médio completo
(06) Ensino Superior completo
(01) Não sei
NR: 1
Questão 20)Quando se graduar, você pretende ter como ocupação principal a atividade
de professor de matemática na Escola Básica?
(11) Sim
(08) Não
(15) Talvez
NR: 1
Questão 21) Na sua casa (onde mora sua família) há microcomputadores? Quantos?
(05) 0
(16) 1
(09) 2
(02) 3
(01) 4
(0) 5
(0) 6
(01) Mais de 6
296
Questão 22) Na sua casa (onde mora sua família) há automóveis? Quantos?
(13) 0
(13) 1
(04) 2
(01) 3
(03) 4
(0) 5
(0) 6
(0) Mais de 6
Questão 23) Você considera que foi fácil passar no vestibular para a licenciatura em
matemática?
(14) Sim
(08) Não
(11) Mais ou menos
NR: 2
Questão 24) Você faria vestibular para a licenciatura em matemática, mesmo que
tivesse
certeza de que seria aprovado no vestibular para qualquer outro curso?
(26) Sim
(08) Não
NR: 1
Grupo 1: (Idade, Sexo e Estado Civil): 1 a 3.
Grupo 2: (Formação Escolar): 4 a 7; 12.
Grupo 3: (Ingresso e interesse pelo curso de matemática): 9 a 11, 13, 20, 23, 24.
Grupo 4: (Aspectos Socioeconômicos) 14 a 19, 21, 22.
297
A APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA ESCOLAR A PARTIR DOS
DEPOIMENTOS DE FUTUROS PROFESSORES: PERCEPÇÕES,
COMPREENSÕES, FACILIDADES E DIFICULDADES
Flávio de Souza PIRES - UFSCar – SP ([email protected])
Maria do Carmo de SOUSA – UFSCar – SP ([email protected])
Resumo: O presente trabalho é parte de uma pesquisa de mestrado em educação cujo
objetivo foi analisar as falas de um grupo de futuros professores de Matemática da
cidade de São Carlos, Estado de São Paulo, em relação ao ensino da linguagem
algébrica na Educação Básica. A questão que norteou o desenvolvimento da pesquisa
foi: O que dizem futuros professores de Matemática sobre o ensino da linguagem
algébrica na Educação Básica, a partir das vivências que tiveram e têm na graduação?
A pesquisa qualitativa de natureza analítico-descritiva foi realizada com um grupo de
estudantes dos cursos de Licenciatura em Matemática da cidade de São Carlos, Estado
de São Paulo, que já realizaram estágios nas escolas da Educação Básica. A análise dos
dados foi realizada mediante as declarações escritas fornecidas pelos futuros
professores, por meio de um único questionário, que foi disposto em categorias.
Apresentaremos nessa comunicação os aspectos referentes a categoria: Álgebra,
Pensamento Algébrico, e Ensino de Álgebra, que possibilitou a identificação de
dificuldades com a aprendizagem de álgebra dos futuros professores desde a Educação
Básica, sendo reforçada ao longo da vida acadêmica no ensino superior. Além disso,
também foi possível identificar como os futuros professores se preocupam com o ensino
quando comparam a álgebra escolar e a acadêmica no âmbito da sua própria
aprendizagem, indicando a dissociação entre elas.
Palavras-chave: Formação inicial de professores de matemática, Educação algébrica,
Educação matemática.
298
Introdução
Esta comunicação está relacionada a pesquisa de mestrado em educação de Pires
(2012) realizada no período de março de 2010 a fevereiro de 2012, intitulada: Álgebra e
formação docente: o que dizem futuros professores de matemática. A discussão
proposta aqui é apenas um fragmento das atividades realizadas durante o período de
investigação, mais especificamente no que diz respeito a educação algébrica e a
formação inicial de professores de matemática, perpassando pela fundamentação teórica
em que foi alicerçada as análises, os procedimentos e instrumentos metodológicos que
foram utilizados e uma breve análise dos depoimentos escritos dos licenciados,
colaboradores da pesquisa.
A investigação teve como foco a formação inicial do professor de Matemática da
educação básica, cujo principal objetivo foi analisar as falas de um grupo de futuros
professores de Matemática da cidade de São Carlos, estado de São Paulo, em relação ao
ensino da linguagem algébrica na educação básica.
A motivação para realizar essa investigação surgiu no período em que estudava
Álgebra no curso de formação inicial, as experiências nos estágios obrigatórios do curso
e à outras atividades docentes vivenciadas, que foram significativas para o meu
processo de constituição do vir a ser professor, uma vez que foram através delas que
tive tempo e oportunidade para as reflexões e questionamentos que proporcionaram a
gestação dessa investigação, uma inquietação relacionada ao ensino de álgebra na
educação básica, sem contudo dissociar minhas experiências acadêmicas e - mesmo que
poucas - profissionais.
Metodologia
Para atingir os objetivos propostos nesse trabalho realizou-se uma pesquisa
qualitativa de natureza analítico-descritiva a fim de responder a seguinte questão: O que
dizem futuros professores de Matemática sobre o ensino da linguagem algébrica na
Educação Básica, a partir das vivências que tiveram e têm na graduação? A
escolha dessa metodologia de pesquisa se deve ao fato de que para Borba (2004) a
pesquisa qualitativa tem ganhado vulto em Educação Matemática, principalmente nos
Programas de Pós-Graduação, devido as suas contribuições, e ainda ressalva que:
299
[...] pesquisa qualitativa deve ter por trás uma visão de
conhecimento que esteja em sintonia com procedimentos como
entrevistas, análises de vídeos, etc. e interpretações. O que se
convencionou chamar de pesquisa qualitativa, prioriza
procedimentos descritivos à medida que sua visão de
conhecimento explicitamente admite a interferência subjetiva, o
conhecimento como compreensão que é sempre contingente,
negociada e não é verdade rígida. O que é considerado
"verdadeiro", dentro desta concepção, é sempre dinâmico e
passível de ser mudado. Isso não quer dizer que se deva ignorar
qualquer dado do tipo quantitativo ou mesmo qualquer pesquisa
que seja feita baseada em outra noção de conhecimento. (p.2)
Além da natureza qualitativa, a pesquisa também apresentou um enfoque
analítico, já que buscou analisar as falas de um grupo de futuros professores. Dessa
maneira, também foi caracterizada como descritiva, que segundo Gil (2008), tem como
principal objetivo a descrição das características de determinada população ou
fenômeno, tendo como atributos mais significativos a utilização de técnicas
padronizadas de coleta de dados, como o questionário, por exemplo.
Uma pesquisa é considerada descritiva para Fiorentini, Lorenzato (2009) quando
o pesquisador deseja descrever ou caracterizar com detalhes uma situação, fenômeno ou
problema. Geralmente esse tipo de investigação utiliza observação sistemática (não
etnográfica) ou a aplicação de questionários padronizados, a partir de categorias
previamente definidas.
A pesquisa utilizou de recursos como o questionário, de modo que pudesse
alcançar o seu objetivo principal. Assim, a organização e análise de dados foram
imprescindíveis para a elaboração e sucesso da pesquisa, a qual contou com a ajuda de
procedimentos de categorização. Para Bogdan, Biklen (1994),
[...] embora os dados quantitativos recolhidos por outras pessoas
(avaliadores, administradores e outros investigadores) possam
ser convencionalmente úteis tal como foram descritos, os
investigadores qualitativos dispõem-se à recolha de dados
quantitativos de forma crítica. Não é que os números por si não
tenham valor. Em vez disso, o investigador qualitativo tende a
virar o processo de compilação na sua cabeça perguntando-se o
que os números dizem acerca das suposições das pessoas que os
usam e os compilam. [...] Os investigadores qualitativos são
inflexíveis em não tomar os dados quantitativos por seu valor
facial (p. 195).
300
A construção dos dados foi realizada com a participação de um grupo de
estudantes dos cursos de Licenciatura em Matemática, composto por 68 colaboradores,
da cidade de São Carlos, Estado de São Paulo, que já realizavam estágios nas escolas da
educação básica.
A análise dos dados foi realizada mediante declarações escritas fornecidas pelos
futuros professores por meio de um único questionário, que foi disposto em categorias.
O questionário misto estava composto por três momentos distintos: o primeiro envolveu
aspectos referentes à Álgebra, Pensamento Algébrico, e Ensino de álgebra; o segundo
contemplou mais especificamente o movimento de formação de professores; e o terceiro
procurou identificar o perfil dos futuros professores.
Para análise e interpretação dos dados nos aproximamos dos procedimentos
descritos por (FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p. 134) para o processo de
categorização, que significa, nada mais nada menos, que um processo de classificação
ou de organização de informações em categorias, isto é, em classes ou conjuntos que
contenham elementos ou características comuns.
Nesse trabalho priorizamos somente uma das categorias referente ao primeiro
aspecto do questionário: Álgebra, Pensamento Algébrico, e Ensino de álgebra; a qual
apresentaremos as análises realizadas a seguir:
A álgebra da Educação Básica: o olhar daqueles que vivem em seus contrários
Após uma leitura geral das repostas fornecidas pelos licenciandos realizou-se
uma primeira análise que permitisse aos depoimentos falarem e expressarem o que
parece estar explícito nas entrelinhas das falas.
Vale a pena ressaltar que, essa atividade, a de interpretar os dizeres dos
licenciandos, não é neutra nem tampouco uma verdade absoluta. As interpretações
realizadas aqui foram feitas a partir dos óculos do pesquisador, das suas próprias
crenças, experiências de vida, valores e visão de mundo, sejam elas a respeito da
301
educação, da escola, da matemática, do ensino da linguagem algébrica e da formação de
professores, elementos esses que ora se associam e dissociam, ora conversam
dialeticamente ou se contrapõem nos depoimentos. Dessa maneira, os pesquisadores
colocaram seus óculos para tentar compreender o dizer dos licenciandos acerca do
ensino de álgebra.
Os fragmentos apresentados nesse texto são análises das falas dos licenciandos
em relação à questão “Escreva um pouco sobre a álgebra que aprenderam até agora,
tanto no Ensino Fundamental e Ensino Médio quanto no Ensino Superior, indicando
suas percepções, compreensões, facilidades e dificuldades”. Ao responder à questão,
alguns separaram explicitamente a aprendizagem que tiveram na Educação Básica e no
Ensino Superior, enquanto outros compararam as duas.
Vamos apresentar a resposta em três momentos: aprendizagem da linguagem
algébrica na Educação Básica, aprendizagem da linguagem algébrica no Ensino
Superior e comparações entre as duas aprendizagens.
Nos fragmentos abaixo estão expostas as falas dos licenciandos em relação à
álgebra que tiveram, enquanto estavam cursando a educação básica:
Durante o Ensino Médio e Fundamental sempre tive facilidade
nos estudos referentes a álgebra (...). (LICENCIANDA 1,
questionário 23/08/2010, grifo nosso). De um modo geral, a
álgebra aprendida no Ensino Fundamental e médio é bem mais
simples (...). (LICENCIANDA 11, questionário 25/08/2010,
grifo nosso). Para mim até o fim do meu Ensino Médio, a
álgebra e todos os outros campos da Matemática eram muito
simples para mim, (...). (LICENCIANDA 13, questionário
25/08/2010, grifo nosso). No Ensino Fundamental e Médio, não
tive muita dificuldade em álgebra, (...). (LICENCIANDA 14,
questionário 25/08/2010, grifo nosso). A álgebra sempre me
fascinou muito. Nunca tive muita dificuldade. (...)
(LICENCIANDA 16, questionário 25/08/2010, grifo nosso). A
álgebra do Ensino Médio para mim foi mais fácil, sempre tive
facilidades na Matemática geral. (...) (LICENCIANDO 18,
questionário 25/08/2010, grifo nosso). Tive facilidade com a
maioria dos conceitos como função, variável, produtos notáveis,
polinômios, sistemas lineares, matrizes, determinante, equações,
(...) (LICENCIANDO 20, questionário 25/08/2010, grifo
302
nosso). (...) Já tinha facilidade com álgebra, principalmente na
resolução de equações. (...) (LICENCIANDA 24, questionário
26/08/2010, grifo nosso). A álgebra no Ensino Fundamental e
no Ensino Médio sempre foi de certo mais fácil, aliás, bem
mais fácil, (...) (LICENCIANDO 25, questionário 26/08/2010,
grifo nosso).
Nessas falas podemos perceber a facilidade e a naturalidade como os
licenciandos veem a álgebra da educação básica, seja em relação à aprendizagem, ao
processo como foi ensinada ou à afinidade devido à compreensão que já possuíam da
própria Matemática e da álgebra. Em contrapartida, o mesmo grupo de licenciandos
deixa claro algumas dificuldades em relação à aprendizagem dos conteúdos referentes à
álgebra desse nível de ensino, como podemos verificar abaixo nos vestígios de
incompreensão:
(...) tinha dificuldades em entender, o conceito de inequação,
principalmente
multiplicando
por
número
negativo.
(LICENCIANDO 20, questionário 25/08/2010, grifo nosso).
(...) O Ensino Fundamental e médio mostrou uma álgebra
difícil onde o importante é encontrar uma solução para o
problema. (...) (LICENCIANDO 23, questionário 25/08/2010,
grifo nosso). Bom tanto no Ensino Fundamental quanto no
Ensino Médio não tinha clareza dos vários sentidos que a
incógnita apresenta, dependendo do conteúdo trabalhado.
(LICENCIANDA 21, questionário 25/08/2010, grifo nosso). A
álgebra como a maioria das áreas da Matemática tem no início
um conteúdo fácil e que a maioria dos alunos não tem
dificuldades em entender, mas quando começa o Ensino
Médio e começa a introdução do conteúdo de função começa
a gerar dúvidas. (LICENCIANDA 28, questionário
26/08/2010, grifo nosso). Na realidade eu só fui aprender
álgebra no meu 3º colegial, nas series anteriores onde eu
realmente deveria ter aprendido, eu apenas decorei o
conteúdo. Eu fiz três anos de cursinho e por incrível que pareça
aprendi bastante álgebra lá, as incógnitas, as equações, e
inequações começaram a fazer sentido. (LICENCIANDA 17,
questionário 25/08/2010, grifo nosso). Do Fundamental ao
Médio, apesar da minha facilidade, não tinha ideia de
“fechamento” – interligação de todo conteúdo – de álgebra
em si e outros conteúdos. A maturidade para ver essa
“unidade” na álgebra somente ocorreu no cursinho. (...)
303
(LICENCIANDO 52, questionário 23/09/2010, grifo nosso).
Enquanto estava no Ensino Fundamental e Médio, eu não tinha
um conceito de álgebra, apesar de realizar cálculos com
incógnitas, mas fazia todos os cálculos sem grande dificuldade e
encontrava o valor de x (mesmo sem compreender a
finalidade disso). (...) (LICENCIANDA 5, questionário
23/08/2010, grifo nosso). Durante o Ensino Fundamental não
dava muita importância para os estudos, não entendia muito
bem de álgebra, foi no começo da 8ª série que as coisas
começaram a ficar claro para mim. No Ensino Médio percebi
que álgebra não era um bicho de 7 cabeças e passei a achar a
Matemática umas das matérias mais favoritas. (...)
(LICENCIANDO 7, questionário 23/08/2010, grifo nosso).
Conceitos relacionados à inequação, funções e variáveis são os que aparecem
como mais difíceis ou incompreensíveis. A justificativa dos próprios licenciandos a essa
dificuldade se deve ao fato de como a álgebra lhes fora ensinada e não devido à sua
abstração, como disseram anteriormente em outra questão, ou porque a matemática é
difícil.
Em algumas falas podemos perceber que a partir do momento em que
compreenderam o conteúdo através da prática de alguns professores, as dificuldades
com os conceitos algébricos foram diminuindo. Essa hipótese pode ser reforçada
quando relacionamos essas dificuldades às seguintes falas:
No Ensino Fundamental e Médio aprendi métodos eficientes
para a resolução de problemas de forma a preparar para o
vestibular. Funções, equações e polinômios eram dados pelo
professor de forma prática, sem que o conteúdo fosse muito
trabalhado. (...) (LICENCIANDO 46, questionário 27/09/2010,
grifo nosso). A álgebra do colégio tem aplicações práticas (....)
(LICENCIANDO 54, questionário 24/09/2010, grifo nosso).
Lembro que comecei a ver álgebra na 7ª série. Achei legal a
ideia de trabalhar com valores indefinidos – incógnitas. No
Ensino Médio lembro que eram aulas bem tradicionais e os
exercícios eram retirados de provas dos vestibulares. (...)
(LICENCIANDA 56, questionário 24/09/2010, grifo nosso).
304
Acredito que não tive muitas dificuldades quando comecei a
aprender álgebra, pois tive professores de Matemática muito
bons que influenciaram na minha escolha de carreira. (...)
(LICENCIANDO 8, questionário 23/08/2010, grifo nosso).
A partir do momento em que compreendeu, aprendeu. Os licenciandos ainda
fornecem alguns vestígios de como essa álgebra incompreensível lhes era ensinada:
No colégio, tanto no Ensino Médio e fundamental percebo que a
álgebra ensinada visava a resolução de exercícios. Não me
lembro de nenhum momento em que tive que pensar ou
desenvolver alguma conclusão. A álgebra que vi foi apenas
treinada até o ingresso no Ensino Superior. (...)
(LICENCIANDO 2, questionário 23/08/2010, grifo nosso). No
Ensino Médio, apesar de não fazer tanto sentido como agora
faz, aprendi de forma não muito aprofundada, isso de fato
refletiu e muito na universidade. Para mim durante o Ensino
Médio o aluno que tenha preferência ao curso de Matemática, a
exatas em geral, deveria ter uma formação mais aprofundada.
(...) (LICENCIANDO 9, questionário 23/08/2010, grifo nosso).
Lembro que sempre tive dificuldades no aprendizado dos
conceitos algébricos. A álgebra do Ensino Médio e Fundamental
que visualizei possuem a características de serem ensinadas
de forma tradicional e mecânica. (...) (LICENCIANDA 36,
questionário 27/09/2010, grifo nosso). Sempre tive (e tenho)
dificuldade com álgebra. Aprendi álgebra através de
exercícios muito simples e todos parecidos. (...)
(LICENCIANDO 44, questionário 27/09/2010, grifo nosso).
Minha trajetória estudantil foi em algumas ocasiões defasada e
em outros momentos os professores passaram por cima do
conteúdo. (LICENCIANDO 48, questionário 27/09/2010, grifo
nosso).
Eles consideram o fato de seus professores utilizarem a resolução de exercícios,
o treino, aulas tradicionais e mecânicas que priorizavam exercícios simples e todos
parecidos, além da desconsideração desses conteúdos, utilizam-na medida em que
utilizam o termo “os professores passaram por cima do conteúdo”, uma consequência
de suas dificuldades na aprendizagem dos conceitos algébricos. No entanto, essas
305
questões também os colocam em reflexão quando se projetam na profissão, pensando
em sua futura docência e tendo como base suas próprias experiências como estudantes:
No Ensino Médio e fundamental a álgebra desperta, assim como
despertava em mim, aquela pergunta corriqueira dos alunos:
“mas é letra?” letra não é número? Essa eu considero a maior
dificuldade, fazer com que os alunos entendam o conceito de
incógnita, variável e parâmetro, que para mim até poucos
dias atrás significavam a mesma coisa. (LICENCIANDO 26,
questionário 26/08/2010, grifo nosso). (...) Tenho plena certeza
da necessidade de capacitar o aluno com essa linguagem,
pois com ela será possível compreender fenômenos de nosso
dia-a-dia e da própria Matemática, mas não podemos querer
aplicá-la em todos os problemas, pois mesmo admitindo fluência
ela não representa a subjetividade. (LICENCIANDO 19,
questionário 25/08/2010, grifo nosso). (...) só penso que a
álgebra demora muito para aparecer no Ensino
Fundamental o que dificulta o entendimento dos alunos.
(LICENCIANDA 16, questionário 25/08/2010, grifo nosso).
Os licenciandos se posicionam a partir de suas experiências para repensar o
ensino desses conceitos (caracterizá-los). Todavia, não deixam de nos dizer o que é a
álgebra, fato importante para pesquisa, afinal de contas, essa compreensão é de certa
forma, um olhar que pode desvelar caminhos que poderão ser traçados quando
estiverem ensinando a linguagem algébrica:
(...) Pensava na álgebra como método para se descobrir
incógnitas. (...) (LICENCIANDA 41, questionário 27/09/2010,
grifo nosso). A álgebra que aprendi no Ensino Fundamental e
médio tratava-se de resolver funções, equações e polinômios.
(...) (LICENCIANDA 27, questionário 26/08/2010, grifo
nosso). A álgebra que aprendi no Ensino Fundamental estava
atrelada à resolução de equações do primeiro e segundo
graus essencialmente. (...) (LICENCIANDA 35, questionário
27/09/2010, grifo nosso). (...) acredito que a colaboração da
álgebra a esses níveis foi no sentido do desenvolvimento da
lógica e da abstração e não nos conteúdos em si. (...)
(LICENCIANDA 50, questionário 24/09/2010, grifo nosso).
306
(...) Essa motivação que a álgebra tem de generalizar tudo me
encanta, (...) (LICENCIANDA 16, questionário 25/08/2010,
grifo nosso). Álgebra para mim é uma confluência de
conceitos e raciocínio. A linguagem algébrica pode parecer
cheia de regras e cheia de facetas a serem decoradas, mas uma
vez entendido a lógica dessa linguagem seus símbolos e
intenções vão surgindo naturalmente. (...) (LICENCIANDO
19, questionário 25/08/2010, grifo nosso). A álgebra sempre foi
uma das áreas da Matemática que mais me agradaram, por ser
“matemática”, objetiva e
exigir raciocínio,
(...)
(LICENCIANDA 12, questionário 25/08/2010, grifo nosso).
Há licenciandos que veem a álgebra como uma ferramenta para resolver
problemas ou uma poderosa ferramenta para generalização, não descartando a
possibilidade de ser uma linguagem que possui seus próprios símbolos, métodos e
objetividade. Além disso, percebemos como estava presente nos currículos da Educação
Básica dos licenciandos quando foram estudantes:
No Ensino Fundamental o que predominava era a álgebra, me
lembro muito pouco de ter visto outras “partes” da
Matemática. Já no Ensino Médio, vários conteúdos não foram
passados,
por
exemplo,
números
complexos.
(...)
(LICENCIANDA 6, questionário 23/08/2010, grifo nosso). No
meu Ensino Fundamental e médio eu tinha grande facilidade
de aprender, estudar e ensinar álgebra. Sempre achei muito
mais atrativo estudar álgebra do que geometria. (...)
(LICENCIANDA 4, questionário 23/08/2010, grifo nosso).
As falas dos licenciandos apresentam uma série de conteúdos que estudaram na
Educação Básica:
Tive facilidade com a maioria dos conceitos como função,
variável, produtos notáveis, polinômios, sistemas lineares,
matrizes, determinante, equações, (...) (LICENCIANDO 20,
questionário 25/08/2010, grifo nosso). No Ensino Médio e
Fundamental aprendi todo o conteúdo desse nível, entre
equações, inequações, funções, sistemas lineares etc. Já tinha
facilidade com álgebra, principalmente na resolução de
307
equações. (...) (LICENCIANDA 24, questionário 26/08/2010,
grifo nosso). A álgebra que aprendi no Ensino Fundamental e
médio tratava-se de resolver funções, equações e polinômios.
(...) (LICENCIANDA 27, questionário 26/08/2010, grifo
nosso). No Ensino Fundamental me lembro vagamente, mas
lembro que gostava muito de resolver as equações, eu via como
um jogo, e adorava encontrar qual o valor de x que satisfazia
as equações, o valor da incógnita. No Ensino Médio, me
lembro ao aprender funções, e achava interessante representar
graficamente o que era escrito como uma equação. (...)
(LICENCIANDO 30, questionário 26/08/2010, grifo nosso).
(...) Os conteúdos aprendidos no Ensino Fundamental e Ensino
Médio são: Função, equação, variável, incógnita. (...)
(LICENCIANDA 31, questionário 26/08/2010, grifo nosso).
Até este momento no Ensino Fundamental e Médio aprendi
funções, expressões, equações, inequações e provavelmente
algum conteúdo que não me recordo. (...) (LICENCIANDO 32,
questionário 27/09/2010, grifo nosso). A álgebra que aprendi
no Ensino Fundamental estava atrelada à resolução de
equações do primeiro e segundo graus essencialmente. Os
outros conteúdos estavam relacionados a geometria e aritmética.
No Ensino Médio, começou o estudo algébrico dos conjuntos
numéricos, e que é complementado com maior profundidade
(...) (LICENCIANDA 35, questionário 27/09/2010, grifo
nosso). No Ensino Fundamental e Médio aprendi métodos
eficientes para a resolução de problemas de formar a preparar
para o vestibular. Funções, equações e polinômios eram dados
pelo professor de forma prática, sem que o conteúdo fosse muito
trabalhado. (...) (LICENCIANDO 46, questionário 27/09/2010,
grifo nosso). A álgebra que vi no Ensino Fundamental e médio
são as funções, as operações, matrizes, sistemas, entre outros.
(...) (LICENCIANDA 57, questionário 24/00/2010, grifo
nosso). No ensino básico aprendi apenas manipulações
algébricas (simplificar ou igualar expressões) e as raízes de
polinômios no 3º ano, sendo nada formal apenas com
exercícios. (...) Era bem fácil a álgebra do ensino básico por ser
pragmática e repetitiva, (...) (LICENCIANDO 58, questionário
24/09/2010, grifo nosso). Equação do primeiro grau e suas
resoluções, determinar incógnitas, sistemas de equação,
equação do segundo grau, polinômios, minha percepção é das
equações do 1º grau e 2º grau, são de total importância para
resolução de geometria e polinômios, a minha compreensão é
aplicação no cotidiano. (LICENCIANDO 61, questionário
23/06/2010, grifo nosso).
308
Em suma, apesar da lista acima parecer grande, os conteúdos que foram citados
várias vezes estão relacionados a atividades como: cálculos com incógnitas,
manipulações algébricas (simplificar ou igualar expressões), solução de problemas,
funções, variável, expressões, produtos notáveis, polinômios, sistemas lineares,
matrizes, determinantes, equações e inequações de 1º e 2º grau, raízes de polinômios e
conjuntos numéricos.
Apesar de todas essas considerações levantadas, a priori, em relação à álgebra da
Educação Básica explicitadas pelos licenciandos, alguns deles expõem que não se
lembram do que aprenderam, bem como explicitam suas dificuldades:
(...) não me recordo como a álgebra me foi apresentada nos
ensinos Fundamental e Médio. (...) (LICENCIANDA 12,
questionário 25/08/2010, grifo nosso). No Ensino Fundamental
e Médio, não tive muita dificuldade em álgebra, apesar de não
lembrar de forma clara só tive dificuldades em alguma parte
dela. (LICENCIANDA 14, questionário 25/08/2010, grifo
nosso). Eu não me lembro a forma que me ensinaram álgebra
no Ensino Fundamental. (LICENCIANDA 17, questionário
25/08/2010, grifo nosso). No Ensino Fundamental me lembro
vagamente, mas lembro que gostava muito de resolver as
equações, eu via como um jogo, e adorava encontrar qual o
valor de x que satisfazia as equações, o valor da incógnita. (...)
(LICENCIANDO 30, questionário 26/08/2010, grifo nosso).
Até este momento no Ensino Fundamental e Médio aprendi
funções, expressões, equações, inequações e provavelmente
algum conteúdo que não me recordo. (...) (LICENCIANDO 32,
questionário 26/08/2010, grifo nosso). No que diz respeito a
álgebra tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio,
eu não me recordo de praticamente nada daquela época, (...)
(LICENCIANDA 50, questionário 24/09/2010, grifo nosso). A
álgebra na educação básica eu não lembro, (...)
(LICENCIANDO 53, questionário 24/09/2010, grifo nosso).
As falas apresentadas acima ora se associam, ora se dissociam. Podem nos
oferecer vestígios da existência de dicotomias que devem ser consideradas à luz da
compreensão dos processos de ensino e aprendizagem da álgebra que ocorrem na
309
Educação Básica, já que as contradições permitem com que investiguemos as suas
causas. Afinal, como alguns podem ter dificuldades e facilidades, compreensões e
incompreensões, lembrar e não lembrar dos conteúdos estudados se todos serão
professores de matemática e já tiveram ou têm contato com a álgebra? O que mais nos
aproxima dessa questão são as falas que nos alertam sobre os processos de ensino
desses conteúdos.
Considerações finais
Houve aqui, a intenção de apresentar a visão global do que os licenciandos
parecem dizer sobre a relação que tiveram com a aprendizagem de álgebra, ao mesmo
tempo em que nos preocupamos em apresentar algumas particularidades que aparecem
nos depoimentos, indicando-nos suas contradições e dicotomias, angústias e
dificuldades. Dito em outras palavras, entendemos que, ao apresentar algumas falas, na
íntegra, pudemos retomar a ideia inicial do texto: os depoimentos podem se configurar
como elementos (...) que se associam e dissociam, conversam dialeticamente ou se
contrapõem (...) sobre os processos de ensino e aprendizagem de álgebra.
Se arriscarmos a conceituar o ensino de álgebra a partir dos depoimentos dos
licenciandos, podemos afirmar que as palavras que melhor expressam o ensino seriam
sem sombras de dúvidas: difícil e abstrata. Essa hipótese pode ser reforçada com os
estudos de Moreira, David (2003), quando nos convida a repensar a relação entre a
matemática escolar e acadêmica, por meio da prática profissional do professor do ensino
de Matemática e a dissociação e tensão entre essas duas. Ainda assim, encontramos
tensões entre esses dois tipos de conhecimento, e a sua complementaridade fica
dissociada da matemática escolar, uma vez que para Moreira, David (2003) citando
Ferreira et. al (1997):
[...] o processo de formação do professor na licenciatura em
matemática, além de veicular saberes considerados “inúteis”
(para a prática) e de trabalhar certos saberes “inadequadamente”
(com referência à prática), também se recusa — justificando-se
de variadas formas, entre as quais a utilização do paradoxal
argumento de isso não é objeto da matemática universitária — a
310
desenvolver uma discussão sistemática com os licenciandos a
respeito de conceitos que são fundamentais para o processo de
educação escolar básica em matemática (p.17).
No entanto, para esses pesquisadores, essa dissociação não deveria existir já que
são elementos essenciais para a prática docente em matemática e seu ensino. Vale a
pena ressaltar que, no prefácio do livro de Moreira, David (2003), Fiorentini diz que os
autores procuram em seu estudo apresentar e desenvolver uma concepção de formação
matemática do professor, tendo como referência a prática profissional efetiva dos
professores na educação básica, o que não difere e nem se contrapõe ao nosso objeto de
estudo, uma vez que nosso principal objetivo é o ensino da linguagem algébrica na
educação básica a partir das falas dos licenciandos.
Para Fiorentini, os estudos dos autores supracitados tem uma concepção que
situa “o processo de formação do professor a partir do reconhecimento de uma tensão –
e não identidade – entre educação matemática escolar e ensino da matemática
acadêmica elementar”; no nosso caso, essa “tensão” pode ser entendida no campo da
álgebra acadêmica e da álgebra escolar como uma particularidade da matemática
acadêmica e da matemática elementar.
Moreira, David (2003) realizam reflexões importantes acerca da matemática
escolar e da matemática acadêmica, quando nos ajudam a compreender nossas questões
e nos levam a refletir sobre as tensões entre a álgebra científica e a álgebra acadêmica
através da matemática. Apresentam-nos, ainda, a crítica de Chervel a Chevallard em
relação à passagem do saber científico (ou saber sábio) - aquele da academia - ao saber
ensinado- aquela da escola. Assim sendo, é importante esclarecer que Chevallard define
transposição didática como o “trabalho que transforma um saber a ensinar em um objeto
de ensino (...)” Chevallard (1991, apud MOREIRA, DAVID, 2007, p. 18). Todavia,
esse “trabalho” denominado transposição didática apresenta algumas incompatibilidades
segundo Moreira, David:
Mas o problema é que na sua noção de transposição didática,
Chevallard toma a Matemática Científica como a fonte
privilegiada de saber à qual o sistema escolar sempre recorre,
para se recompatibilizar com a sociedade. E toma, também, esse
saber científico, como referência última que permitiria à
311
comunidade dos matemáticos desautorizar o objeto de ensino
que não seja considerado, (...) suficientemente próximo ao saber
sábio.” (Ibidem).
Ou seja, Chevallard (1991 apud MOREIRA, DAVID, 2007), a partir da
transposição didática sugere uma concepção de Matemática Escolar excessivamente
dominada pela matemática científica, ao passo que Chervel (1990 APUD MOREIRA,
DAVID, 2007), ao propor certas reflexões sobre história das disciplinas escolares, tece
fortes críticas à visão de que elas sejam mera vulgarização das ciências de referência
para um público jovem, isto é, daqueles “conhecimentos que não lhe podem apresentar
em sua total pureza e integridade” (p. 18). Segundo esse autor, tal concepção induz à
ideia de que o papel da Pedagogia é apenas o de “lubrificante” desse processo de
vulgarização. Quanto à relação das disciplinas escolares com a Pedagogia, a visão de
Chervel é a de que esta é uma dos constituintes das disciplinas, parte do seu próprio
conteúdo:
excluir a pedagogia do estudo dos conteúdos é condenar-se a
nada compreender do funcionamento real dos ensinos. A
pedagogia, longe de ser um lubrificante espalhado sobre o
mecanismo, não é senão um elemento desse mecanismo, aquele
que transforma os ensinos em aprendizagens” (CHERVEL, p.
182).
O autor manifesta um elemento importante da concepção geral da disciplina
escolar: ela não pode ser vista meramente como uma “matéria” a ser ensinada, isto é,
uma lista de “conteúdos” constituída anteriormente ao processo de ensino escolar. Ao
contrário, se constitui historicamente em conjunção com a prática e a cultura escolar.
No entanto, para Moreira, David (2007) nenhumas dessas duas concepções são
satisfatórias, uma vez que a noção de matemática escolar que deriva da ideia de
transposição didática parece reduzir a matemática escolar a uma espécie de didatização
da Matemática Científica e são minimizadas as ações dos condicionantes da prática
docente e da própria cultura escolar.
312
Já Chervel (1990 apud MOREIRA, DAVID, 2007), ao mesmo tempo em que
abre caminho para se conceber a matemática escolar como uma construção associada
especificamente à instituição escola, “parece fechar as portas à consideração dos
múltiplos mecanismos e processos que condicionam essa construção a partir do exterior
do espaço escolar” (p.20).
Concordamos com Moreira, David (2007) que se deve equacionar melhor os
papéis da matemática científica e da matemática acadêmica de modo a redimensionar a
formação do licenciando, uma vez que não se priorize nenhuma das duas. Dessa forma,
a álgebra também não deve ser resumida à didatização da álgebra acadêmica e nem a
uma construção autônoma das práticas escolares.
Referências
BOGDAN, R.; BIKLEN, S. A investigação qualitativa em educação: uma
introdução às teorias e aos métodos. Porto: Porto Editora, 1994.
BORBA, M .C. Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. In: 27ª reunião anual
da Anped, 2004, Caxambu, MG. Anais... Minas Gerais: Associação Nacional de Pós
Graduação e Pesquisa em Educação, 2004. p. 1-18.
FIORENTINI, D. Investigação em Educação Matemática: Percursos Teóricos e
Metodológicos. Dario Fiorentini, Sergio Lorenzato. Campinas, SP: Autores Associados,
2009. (Coleção Formação de Professores).
GIL, A. C. Como Elaborar Projetos de Pesquisa. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
MOREIRA, P. C. ; DAVID, M. M. M. S. Matemática escolar, matemática científica,
saber docente e formação de professores. Zetétike (UNICAMP), Campinas, SP, v. 11,
n. 19, p. 57-80, 2003.
MOREIRA, P. C. ; DAVID, M. M. M. S. A formação matemática do professor:
licenciatura e prática docente escolar. 1. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. v. 1.
116 p.
PIRES, F. S., Álgebra e formação docente: o que dizem os futuros professores de
matemática. 138 f. Dissertação (Mestrado em Educação), Universidade Federal de São
Carlos, UFSCar, 2012.
313
UMA COMPREENSÃO DE ÁLGEBRA CONSTRUÍDA PELO OLHAR DAS
CONCEPÇÕES DE PROFESSORAS DE ENSINO SUPERIOR
Erlan Almeida e Silva - SEESP – SP ([email protected])
Marina Ludgério de Souza - UFABC – SP ([email protected])
Thais Helena Inglêz Silva - UFABC – SP ([email protected])
Alessandro Jacques Ribeiro - UFABC - SP ([email protected])
Resumo: Este trabalho tem por objetivo apresentar uma compreensão de álgebra
fundamentada em concepções identificadas na literatura da área, relacionando-as aos
resultados de uma investigação com quatro professoras de Ensino Superior. Tendo por
base as atividades desenvolvidas no âmbito do programa Observatório da Educação
(OBEDUC), esse trabalho procura identificar se e como as concepções de álgebra
tratadas na literatura se manifestam entre formadores de professores de matemática.
Inicialmente são apresentadas as ideias de quatro pesquisadores da área, as quais
subsidiam a análise de três questões de entrevistas semiestruturadas realizadas com
professoras de instituições de Ensino Superior. Estas análises também levam em
consideração, fundamentadas em autores que trabalham com os conhecimentos docentes
para o ensino, se as professoras explicitam diferenças no ensino de álgebra para os
licenciandos ou para alunos de demais cursos, evidenciando, assim um conhecimento
específico para o docente. Percebemos, em relação a este ponto, que apenas duas das
quatro professoras apontam diferenças no ensino de álgebra para os futuros professores.
Sobre as concepções, a maior parte das apresentadas na literatura foram identificadas
nas falas das professoras, o que possibilitou-nos construir uma compreensão – ainda que
provisória – de álgebra. Acreditamos que esta tentativa de reunir diferentes concepções
de álgebra e de diferenciar as concepções das visões seja promissora e contribua para os
demais trabalhos que tenham como objetivo o estudo do ensino de álgebra e que os
resultados futuros de uma análise completa das entrevistas possam contribuir ainda mais
para a construção de uma compreensão de álgebra adequada e fundamentada, tanto na
literatura quanto na prática.
Palavras-chave: Concepções de Álgebra, Educação Algébrica, Formação de
Professores, Conhecimento Matemático para o Ensino.
314
Introdução
Inserido em um projeto de pesquisa intitulado Conhecimento Matemático para o
Ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais, no âmbito do
Programa Observatório da Educação (OBEDUC), financiado pela Coordenadoria de
Aperfeiçoamento de Pessoal do Ensino Superior (CAPES), coordenado pelo Prof. Dr.
Alessandro Jacques Ribeiro e de duração de quatro anos, este trabalho apresenta
resultados parciais de investigações feitas pela equipe do projeto, com professores de
ensino superior, acerca de concepções de álgebra, especialmente voltadas para os cursos
de licenciatura.
O principal objetivo do projeto é “investigar os conhecimentos algébricos
desenvolvidos por professores, ao ensinar álgebra na Educação Básica, utilizando-se
de uma abordagem baseada em perfis conceituais”. O interesse em álgebra provém
tanto da ênfase que é dada a ela na Educação Básica como dos resultados das avaliações
em larga escala, que “explicitam as deficiências dos estudantes em seus conhecimentos
algébricos”. Para isso, neste primeiro ano de trabalhos do grupo envolvido, as
investigações foram feitas, dentre outras atividades, através de estudos da literatura, pela
leitura de publicações de autores como Fiorentini et al. (1993), Usiskin (1995), Lins e
Gimenez (1997) e Lee (2001), que abordam diferentes concepções de álgebra, a partir
de visões pautadas em fundamentos teóricos distintos.
O interesse pelas concepções de álgebra de professores do ensino superior
advém, em primeiro lugar, da necessidade de identificar uma compreensão de álgebra
própria ao grupo, uma vez que, destas discussões teóricas, fica evidente que o
entendimento sobre o que é álgebra não é fechado e nem, tampouco, único. Para isso,
pensamos em identificar, nos formadores de professores de matemática, quais
concepções de álgebra são mais comuns entre eles e que relações estes professores
percebem e constroem no ensino de álgebra para os licenciandos.
Este tipo de investigação tem sido comum em diversos trabalhos em Educação
Matemática, pois entende-se que investigar os conhecimentos docentes dos formadores
de professores significa, por extensão, conhecer a formação destes futuros professores
(SHULMAN, 1986). Entendemos por conhecimento docente o conjunto de diferentes
tipos de conhecimentos elencados por Shulman (1986) e, posteriormente, desenvolvidos
e ampliados, especificamente na área de educação matemática, por Deborah Ball e seus
315
colegas (BALL et al, 2008). Tais referenciais serão apresentados e discutidos em nossa
revisão de literatura.
Assim, com o intuito de relacionar, tanto as concepções estudadas na literatura,
àquelas trabalhadas nos cursos de licenciatura, identificadas através do que os
professores do ensino superior exteriorizam quando falam sobre álgebra e sobre prática
educacional, foram realizadas entrevistas com quatro professoras de diferentes
universidades públicas e particulares da Grande São Paulo. Destes resultados, como
apontado inicialmente, temos caminhado para a elaboração da compreensão de álgebra
que será utilizada, em nosso projeto do OBEDUC, no decorrer dos próximos três anos
de atividades.
Apresentamos a seguir, uma breve discussão acerca das ideias de Shulman
(1986) e Ball et al (2008), além de uma revisão dos trabalhos estudados por nosso
grupo, no qual inserem-se os referidos autores desse trabalho. Nosso propósito é,
posteriormente, apresentarmos as entrevistas realizadas, suas análises e finalizarmos
com um quadro-síntese que deverá fundamentar os próximos desdobramentos de nosso
grupo de pesquisa e de nosso projeto.
Revisão de literatura
Quando Shulman (1986) propôs investigar os conhecimentos docentes, dividiuos em três categorias, a saber: Content Knowledge, ou conhecimento do conteúdo, que
trata especificamente do conhecimento dos tópicos, conceitos ou estruturas da área em
questão; Pedagigical Content Knowledge (PCK), ou conhecimento pedagógico do
conteúdo, que, para Shulman, é o conhecimento do conteúdo que se relaciona
particularmente às situações de ensino e, por fim, Curricular Knowledge ou
conhecimento do currículo, inaugurando uma ampla área de investigação acerca do que
os professores sabem e precisam saber para lecionar.
Deborah Ball e seus colegas aprofundaram estes estudos, especificamente na
área de matemática, dividindo tanto o conhecimento do conteúdo como o conhecimento
pedagógico em outros três campos. Para eles, o conhecimento pedagógico do conteúdo,
por exemplo, pode ser dividido em conhecimento do conteúdo e os estudantes e
conhecimento do conteúdo e o ensino (BALL et al, 2008).
316
Nesse nosso trabalho, consideraremos - a partir das ideias de Shulman (1986) e
Ball et al (2008) - a existência de um conhecimento de conteúdo específico para os
docentes, o PCK. A partir do momento em que se entende que a formação de
professores deve levar em consideração alguns elementos distintos (em relação ao
próprio conteúdo matemático, por exemplo) da formação de bacharéis em matemática,
propomo-nos a investigar, a partir de pesquisas na área da Educação Matemática,
algumas que discutam diferentes concepções de álgebra.
Apresentaremos, a seguir, as ideias expostas em quatro trabalhos dos autores
mencionados. São eles: Contribuição para um Repensar a Educação Algébrica
Elementar, de Fiorentini et al. (1993), Concepções sobre a álgebra da escola média e
utilizações das variáveis, de Usiskin (1995), Sobre Álgebra, de Lins e Gimenez (1997)
e Uma Iniciação a cultura algébrica por meio de atividades que envolvem
generalizações (tradução nossa) de Lee (2001). Além disso, também tomamos por base
- para estudar o trabalho destes autores - a tese de doutorado de Figueiredo (2007), na
qual a autora constrói quadros síntese das diferentes concepções de álgebra apresentadas
por cada autor.
No trabalho de Fiorentini et al. (1993), os autores apresentam concepções, tanto
de Álgebra como de Educação Algébrica, constituídas como reflexo de alguns aspectos
do desenvolvimento histórico, tanto da própria álgebra, como das práticas escolares.
Apresentamos a seguir as três concepções de Educação Algébrica indicadas pelos
autores:
1. Lingüístico-pragmática: a álgebra está relacionada à atividades pedagógicas
que visam a resolução de problemas, prevalecendo a aquisição mecânica das
técnicas requeridas pelo transformismo algébrico. Este transformismo passa a
ser fundamental para a álgebra, segundo essa concepção;
2. Fundamentalista-estrutural: recebe este nome uma vez que são enfatizadas as
propriedades estruturais das operações, como forma de justificar logicamente
cada passagem presente no transformismo algébrico, capacitando o estudante a
identificar e a aplicar essas estruturas nos diferentes contextos subjacentes;
3. Fundamentalista-analógica: a álgebra também tem o caráter pedagógico de
instrumento para resolver problemas, mas mantem-se o caráter fundamentalista,
fazendo assim uma síntese das concepções anteriores.
317
A partir dessas concepções, os autores identificam duas tendências no ensino de
álgebra: priorizar a construção da linguagem em detrimento do pensamento ou priorizar
o ensino da linguagem algébrica já constituída, em detrimento da construção do
pensamento algébrico. Ao final, os autores concluem que, com isso, há uma redução do
pensamento algébrico à linguagem algébrica, pois, ao se tomar como ponto de partida a
existência de uma álgebra simbólica já constituída, reduz-se os processos de ensino e de
aprendizagem da álgebra ao transformismo algébrico.
O próximo autor a discutirmos é Usiskin (1995), o qual parte do pressuposto
que, na escola básica, a álgebra se relaciona com a compreensão das letras, as variáveis,
que estão sendo apresentadas pela primeira vez. Como as letras têm diferentes papéis e
significados, o entendimento da criança pode ser comprometido quando ela não tem
clara estas diferentes concepções. Assim, para Usiskin (1995), o ensino de álgebra e a
utilização das variáveis são pontos que estão relacionados e, dessa relação, surgem
quatro concepções de álgebra:
1. Aritmética generalizada: segundo esta concepção, o estudante da escola básica
deve conseguir traduzir e generalizar situações. Um exemplo é a propriedade
comutativa: o aluno deve ser capaz de perceber que a igualdade 3 + 5 = 5 + 3
continuaria valendo quaisquer que fossem os números reais;
2. Estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas: esses
problemas envolvem incógnitas, com a finalidade de simplificar e de resolver
problemas utilizando-se da linguagem algébrica A incógnita aparece como um
valor a ser descoberto e, com isso, o aluno pode apresentar dificuldade no
momento de passar de um exercício de aritmética para um problema de álgebra,
já que terá que desenvolver a capacidade de equacionar um problema;
3. Estudo de relações entre grandezas: atividades que envolvem variáveis, como
argumentos e parâmetros. Por exemplo, em uma atividade sobre área de figuras
geométricas com fórmulas, pode-se relacionar linguagem e pensamento
algébricos;
4. Estudo das estruturas: nesse caso, a variável deixa de representar um número e
passa a significar qualquer símbolo abstrato. Este tipo de tratamento é aplicado
em questões que priorizam a manipulação e a justificativa, como fatoração e
dedução de uma identidade.
318
Enquanto Usiskin (1995) dá ênfase ao papel das letras para distinguir suas
concepções, Lins e Gimenez (1997) por sua vez, trazem uma abordagem mais
pedagógica e preocupada com o pensamento algébrico e suas construções. Apesar de os
autores afirmarem não haver consenso a respeito do que seja pensar algebricamente,
consideram existir certo consenso sobre quais são as “coisas” da Álgebra: equações,
cálculo literal, funções e outros, destacando que ainda há outros tópicos que podem ou
não ser incluídos nesta lista, como por exemplo os gráficos.
Em um levantamento geral, os autores identificam dois enfoques dados à
atividade algébrica: a caracterização pelo uso de notações ou pelo uso de conteúdos.
Dentro destes enfoques a atividade algébrica é frequentemente descrita, segundo eles,
como “fazer ou usar álgebra” ou, de forma ainda mais banal, “calcular com letras”.
Deste aspecto, os autores concluem que “caracterizações por conteúdo ou por notação
deixam de fora coisas que gostaríamos de caracterizar como atividade algébrica”
(LINS e GIMENEZ, 1997, p. 99). Portanto, são indicadas três concepções de Educação
Algébrica, sendo que as diferenças encontradas entre elas têm raízes em diferentes
conceitualizações da atividade:
1. Letrista: é uma visão restrita ao “cálculo com letras”, muito presente nos livros
didáticos brasileiros e, portanto, comum na prática escolar, pois é possível que
esta visão corresponda a visão de atividade algébrica de que os professores já
dispõem;
2. Letrista Facilitadora: considera que a capacidade de lidar com as expressões
literais é alcançada pela abstração decorrente de situações concretas, ou seja,
uma certa estrutura que é manipulável em situações concretas e depois, por um
processo de abstração, é formalizada. Essa abordagem é insuficiente, pois os
estudantes não estabelecem relação entre o que havia desenvolvido no concreto
com o que transpõem para o formal;
3. Modelagem Matemática: essa concepção, segundo os autores, também
apresenta com o ponto de partida uma situação concreta. Contudo, o concreto na
modelagem não é visto como ilustrativo, e sim como um problema real, sendo as
atividades propostas de investigação de situações reais. Para os autores, nessa
perspectiva “a Educação Algébrica se dá na medida em que a produção de
conhecimento algébrico serve ao propósito de iluminar ou organizar uma
319
situação, como ferramenta e não como objeto primário do estudo” (LINS e
GIMENEZ, 1997, p. 109).
Por fim, no trabalho de Lee (2001), a autora apresenta visões de álgebra mais
abrangentes. Em sua pesquisa, Lee (2001) discute a importância de exercícios de
generalização para introdução da álgebra, os quais auxiliam no desenvolvimento dos
alunos, na elaboração de estratégias de resolução, argumentação, no momento de
relacionar os conhecimentos, desenvolver uma comunicação e até habilidades técnicas
mais rápidas. Embora neste trabalho a autora não aborde as concepções algébricas,
encontramos na tese de Figueiredo (2007) seis Concepções de Educação Algébrica que
Lee propõe. São elas:
1. Como linguagem: em exercícios que envolvem a evolução da linguagem da
álgebra elementar. Desenvolvendo a comunicação em uma linguagem algébrica;
2. Como caminho de pensamento: essa concepção trata do pensamento sobre as
relações matemáticas, e não dos objetos matemáticos. Um exemplo são os
exercícios de raciocínio sobre padrões e que trabalham o desconhecido;
3. Como atividade: atividades que envolvam modelagem matemática e
pensamento sobre as relações matemáticas. Está relacionada a linguagem e
pensamento algébrico;
4. Como ferramenta: está associada à linguagem e ao pensamento algébrico,
surgindo em problemas de modo a conduzir e transformar mensagens, seja para
a própria matemática ou para outras ciências;
5. Como aritmética generalizada: caracterizam esta concepção as relações do
pensamento algébrico e da linguagem, como álgebra das generalizações dos
números e álgebra como estudo de expressões simbólicas com letras;
6. Como cultura: envolve valores, crenças, práticas, tradições históricas e
processo para sua transmissão. Entrelaça o currículo de álgebra com o de
geometria, com o intuito de usar ferramentas, criando um pensamento algébrico.
Com isso, entendemos que, apesar de partirem de motivações diferentes, as
concepções apresentadas pelos autores têm intersecções significativas. Por exemplo,
identificamos relações entre a concepção de modelagem matemática, de Lins e Gimenez
(1997), e as concepções de álgebra como atividade e como ferramenta, de Lee (2001).
Assim, buscando identificar relações, nosso grupo de pesquisa, no Observatório da
Educação, construiu um quadro-síntese das ideias, apresentado posteriormente.
320
Feita esta primeira construção de relações, ainda buscamos identificar quais
destas concepções estão de fato presentes no ensino de álgebra e quais delas são
identificadas pelos professores. Neste primeiro momento, investigamos os formadores
de professores e futuramente, entrevistaremos também os próprios professores da
educação básica. A seguir, apresentamos as análises das entrevistas realizadas, as
relações que depreendemos delas e as implicações disto para o nosso projeto.
As entrevistas
Para a realização das entrevistas, primeiramente foi elaborado por todo o grupo
de pesquisa um questionário contendo nove questões, abordando assuntos pertinentes à
elaboração da compreensão de álgebra em nosso grupo. A seguir, foram indicados como entrevistados - seis professores de instituições de ensino superior diferentes, que
atuassem na formação de professores de matemática. Após estabelecer contato com os
professores, três deles se dispuseram a conceder a entrevista, sendo que uma quarta
professora foi posteriormente indicada e também aceitou participar. As entrevistas
foram realizadas geralmente por dois integrantes do grupo, munidos de gravador para
posterior transcrição.
Segue-se um breve perfil das professoras participantes e, na sequência, são
apresentadas três das nove questões utilizadas para conduzir as entrevistas, bem como
as respostas de todas as entrevistadas. Em nossas análises, procuramos estabelecer
algumas relações e comparações entre as respostas dos professores entrevistados, bem
como de suas respostas com as concepções de álgebra dos autores anteriormente
apresentados. Optamos por discutir, neste trabalho, apenas três das questões elaboradas,
por evidenciarem melhor as diferentes concepções de álgebra que pudemos identificar e
devido ao espaço estipulado para esta comunicação.
Perfil das professoras
Professora 1 (P1): Doutora e pesquisadora na área de Educação Matemática.
Atualmente é professora na Pós-Graduação em uma instituição particular e tem artigos
publicados sobre Educação Matemática, Álgebra Linear e Educação Algébrica.
321
Professora 2 (P2): Bacharel em matemática, com mestrado e doutorado em Matemática
Aplicada. É professora de uma instituição pública de ensino superior e duas instituições
particulares. Suas áreas de atuação são Teoria Fuzzy, Sistemas Dinâmicos, Educação
Matemática e Metodologias de Ensino.
Professora 3 (P3): Licenciada e mestre em matemática e doutora em aplicações em
tecnologia nuclear. Tem experiência com educação nos ensinos Fundamental, Médio e
Superior e, atualmente, é professora de graduação em uma instituição particular e
coordenadora do Colegiado de Licenciatura em Matemática.
Professora 4 (P4): Licenciada, mestre e doutora em matemática na área de álgebra.
Possui mais de vinte anos de experiência com docência no ensino superior, em cursos
de bacharelado e licenciatura e, atualmente, é professora associada em uma
universidade pública. Pesquisa na área de matemática pura, particularmente em álgebra.
Nossas análises e reflexões: as questões e suas respostas
Iniciamos nossas análises pela questão 1) Se você fosse explicar em poucas
palavras para um estudante da licenciatura o que é álgebra, como você faria? E para
um estudante de outro curso?
Nesta primeira questão, as professoras apresentam diferentes visões do que é a
álgebra, sendo que só duas delas fazem distinção entre como ensinar num curso de
licenciatura e nos demais. A professora P1 enfatiza que “A álgebra permeia todo o
ensino. (...) A álgebra não é só linguagem da matemática, mas ela estuda as
estruturas.”, contrapondo a visão apresentada pela professora P4, que diz: “a álgebra,
ela surgiu como uma linguagem, como assim, um socorro pra geometria, por
exemplo”. Ela ainda destaca, em diversos momentos de sua fala, que considera a
aritmética como parte da álgebra.
A professora P3 também menciona a aritmética, mas destaca que para aprender
álgebra é necessário primeiro uma base sólida na prática aritmética e que o que
caracteriza a álgebra é a presença de um valor desconhecido. Ela ainda diferencia o
ensino de álgebra para os estudantes de licenciatura e de outros cursos, enfatizando que
para os licenciandos é importante compreender as distinções entre álgebra e aritmética,
enquanto que para estudantes de outros cursos é mais relevante saber usar as estruturas e
manipulações algébricas. Ao distinguir estes conhecimentos, a professora parece
322
destacar que os futuros docentes precisam ter um conhecimento diferenciado do
conteúdo, que podemos relacionar ao conhecimento pedagógico do conteúdo
apresentado por Shulman (1986) e por Ball et al (2008). Não se trata de um
conhecimento do conteúdo, por si, mas de uma distinção importante para o ensino.
Por fim, a professora P2 afirma que “o sentido da álgebra é esse, de resolver
problemas”, fazendo uma diferenciação entre os alunos de licenciatura como “a arte de
resolver problemas”, enquanto que para os demais cursos seria um “instrumento para
resolver problemas”.
Do depoimento das professores, em sua falas, podemos destacar três concepções
distintas: (i) álgebra como estudo de estruturas (professora P1), relacionando às
concepções “fundamentalista-estrutural” (FIORENTINI et al, 1993) –“estudo das
estruturas” (USISKIN, 1995); (ii) álgebra como forma de resolver problemas
(professora P2), na qual parece-nos relacionar as concepções “linguístico pragmática” e
–“fundamentalista-analógica”
(FIORENTINI
et
al,
1993),
aos
“estudos
de
procedimentos para resolver certos tipos de problemas” (USISKIN, 1995) e à –“letrista
facilitadora” (LINS e GIMENEZ, 1997); (iii) álgebra como uma extensão da
aritmética (professora P3), a qual relacionamos às concepções “aritmética
generalizada”(USISKIN, 1995; LEE, 2001).
Destacamos ainda que, a visão de álgebra como linguagem (professora P4),
também foi destacada por todas as outras professoras, a qual se relaciona apenas à
concepção de “álgebra como linguagem” de Lee (2001). Assim, tais análises parecem
nos indicar que a linguagem é uma característica que permeia todas as concepções das
professoras por nós investigadas, o que chamaremos de uma visão de álgebra e não de
uma concepção.
Passamos a seguir, para nossas análises em relação à questão 2) Em sua opinião
quando uma atividade matemática pode ser caracterizada como sendo do campo da
álgebra?
Ao responder esta questão, as professoras P2 e P3 dizem que a incógnita
caracteriza uma atividade como sendo especificamente do campo da álgebra. A
professora P3 trabalha isso de forma mais abrangente, pois diz que “a matemática, na
minha opinião, a matemática não se separa”, no sentido em que “qualquer atividade
323
matemática tá no campo da álgebra”, uma vez que problemas aritméticos podem ser
resolvidos algebricamente e os conteúdos matemáticos são interdependentes. No caso
da professora P2, ela enfatiza isso elencando conteúdos como a resolução de matrizes,
sistemas, equações de segundo grau, todos como especificamente algébricos. P2 ainda
concluí que “muita coisa é álgebra, tirando geometria e trigonometria”, visão muito
semelhante à de P1, que afirma que “a matemática escolar é álgebra ou geometria.”. A
professora P1 também traz uma visão abrangente de álgebra, chegando a dizer que tudo
é álgebra na matemática e que o objetivo principal da matemática escolar é chegar ao
“conceito algébrico de função”. Por fim, a professora P4 é enfática ao dizer que “a
álgebra é a linguagem da equação”, respondendo à pergunta afirmando que uma
atividade é do campo de álgebra quando apresenta uma equação.
Destas respostas percebemos uma grande dificuldade em restringir a álgebra
como um campo da matemática com objetivos particulares, estendendo-a à toda
atividade matemática. É verdade que, em nossa opinião, quase toda a atividade
matemática pode ser colocada em termos de linguagem algébrica, mas é importante para
nós justamente distinguirmos quando uma atividade está efetivamente envolvendo
pensamento algébrico ou não.
As professoras P2 e P3 destacam que a existência da incógnita é essencial,
enquanto a professora P4 destaca a existência de uma equação. Estes apontamentos
estão tanto relacionados às concepções estruturais como à visão de álgebra como algo
que depende das variáveis, tal como Usiskin (1995) a construiu. Isso nos leva a crer que
o papel da variável, especialmente na álgebra escolar, é fundamental.
Por fim, analisamos a questão 4) Você poderia citar algumas abordagens de
ensino que considera adequadas para o ensino de álgebra?
Todas as professoras trazem a problematização de situações como uma
motivação para o ensino de matemática, no sentido de identificar um problema e
precisar de ideias matemáticas para resolvê-lo. As professoras P3 e P4 apresentam
exemplos de problemas históricos, sendo que P3 defende que antes de ensinar a
fórmula, é preciso entender o pensamento que a originou e as diferentes formas de
resolução que existiram até se chegar a ela. Por outro lado, P4 também traz essa
abordagem histórica, mas não no sentido de construir o caminho para se chegar aos
conhecimentos de hoje e sim, de motivar e incentivar o pensamento e as generalizações.
324
Além disso, P4 também enfatiza o uso de materiais manipulativos como uma
abordagem válida para a construção das ideias algébricas. A professora P2, por outro
lado, enfatiza o uso de situações contextualizadas e relevantes para a vida do aluno,
como o uso de jogos de videogame. A professora P1 não exemplifica exatamente como
trabalhar com as situações problema.
A ênfase na problematização nos remete à concepção “modelagem matemática”
(LINS e GIMENEZ, 1997), bem como às concepções “álgebra como ferramenta” e
“álgebra como atividade” (LEE, 2001), especialmente nas falas da professora P2. As
professoras P3 e P4, por outro lado, ao enfatizarem uma construção histórica, apontam
para a álgebra como uma construção humana situada no tempo e espaço, e como uma
resposta às necessidades e problemas de uma época. Acreditamos que tais concepções
inserem-se no que Lee (2001) chama de álgebra como cultura. Entretanto, em nosso
entendimento, esta ideia está presente em todas as outras concepções de álgebra,
portanto a caracterizaremos como outra das visões de álgebra.
Considerações finais: algumas implicações para nossas pesquisas
A partir das análises das entrevistas, pudemos perceber que a maior parte das
concepções de álgebra (ou de educação algébrica) encontradas na literatura, aparecem
nas falas/nas concepções das professoras. Parece-nos que, apenas a concepção “álgebra
como estudos das relações entre grandezas” (USISKIN, 1995) não apareceu em
nenhuma das questões analisadas. A partir de nossas análises, bem como das discussões
realizadas pelos integrantes do projeto, apresentamos a seguir uma proposta de
compreensão da álgebra, tendo em vista suas concepções e visões.
Este quadro - ainda que provisoriamente - parece-nos atender às necessidades de
nosso grupo, uma vez que deverá nos auxiliar na análise e na investigação das questões
das avaliações em larga escala, como a Prova Brasil e o ENEM. Em nosso
entendimento e para os nossos propósitos, parece-nos razoável elaborar uma
categorização “única” para utilizarmos em nossas investigações. Vejamos o quadro
abaixo:
325
Quadro 4 - Compreensão de álgebra construída a partir das análises das
entrevistas.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Assim, a partir dos resultados aqui apresentados, os quais decorrem de uma
análise parcial de apenas três das nove questões realizadas em nossas entrevistas,
observamos como as concepções das professoras nos auxiliam na construção de nossa
compreensão de álgebra. Imaginamos que, ao analisar as demais questões, poderemos
trazer novas considerações à compreensão de álgebra que estamos construindo, uma vez
que as demais questões possibilitam investigar as considerações sobre o papel do
conhecimento docente em álgebra, nas perspectivas de Shulman (1986) e Ball et al
(2008).
326
Referências
BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching: What
makes it special? Journal of Teacher Education, v. 59, 2008. 389-407.
FIGUEIREDO, A. D. C. Saberes e Concepções de Educação Algébrica em um Curso de
Licenciatura em Matemática. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUCSP, São Paulo, p. 290, 2007.
FIORENTINI, D.; MIORIM, M. Â.; MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar. a
Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições, Campinas - SP, v. 4, n. 1, p. 78-91,
março 1993.
LEE, L. An Initiation into Algebraic Culture Through Generalization Activities. In N.
Bednarz, C. Kieran & L. Lee (ed.), Approaches to algebra: perspectives for research
and teaching. Kluwer Academic Publishers, 2001.
LINS, R. C; GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI. 4
ed. Campinas: Papirus Editora, 1997, 176 p.
SHULMAN, L. S. Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching.
Educational Researcher, vol. 15, 1986. 4-14.
USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das
variáveis. In: COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Alberto P.(Org). As idéias da álgebra.
São Paulo: Atual, 1995.
327
INVESTIGAÇÃO SOBRE OS CONHECIMENTOS PARA O ENSINO DE
SITUAÇÕES PARTE-TODO EM UM PROCESSO FORMATIVO
Maria Gracilene de Carvalho PINHEIRO – UNIAN – SP
([email protected])
Angélica da Fontoura GARCIA SILVA – UNIAN – SP
([email protected])
Resumo: Esta comunicação tem o propósito de analisar o Conhecimento Profissional
Docente de professoras participantes de um processo formativo acerca do significado
parte-todo e quociente. Tal pesquisa, de natureza qualitativa, realizou-se no âmbito do
projeto Observatório da Educação do qual participaram professoras que lecionam
matemática para os anos iniciais da Rede Pública Estadual de São Paulo. Para coleta de
dados foi aplicado um questionário- de caráter diagnóstico- a fim de investigar a
compreensão das professoras sobre o objeto matemático para subsidiar a intervenção.
Além disso, apresentamos depoimentos dos sujeitos do estudo coletados ao final da
intervenção. Este estudo fundamenta-se tanto em teorias que analisam questões
relacionadas à formação de professores quanto a estudos que discutem os processos de
ensino e aprendizagem da fração. Quanto ao primeiro enfoque o apoio foi encontrado,
sobretudo, nos estudos de Serrazina acerca da relação entre a reflexão e os processos de
ensino e aprendizagem da matemática. No que concerne ao objeto matemático -fraçõesas referências foram Vergnaud e Nunes. Seus estudos versam tanto sobre a necessidade
do trabalho do professor focar em diferentes significados da fração como a importância
de introduzir a fração por meio do significado quociente. As respostas do grupo
indicaram que alguns aspectos importantes do conhecimento sobre as frações, como,
por exemplo, a resolução de problemas sobre os invariantes operatórios utilizando o
significado parte-todo e também a compreensão do significado quociente, não faziam
parte dos conhecimentos do conteúdo demonstrados pelos sujeitos desta investigação.
Essa lacuna demonstrou comprometer, também, os conhecimentos pedagógicos e
curriculares desse conteúdo. Dessa forma, acreditamos que há necessidade de um
enfoque que analise diferentes significados da fração tanto em cursos de formação
inicial como de formação continuada.
Palavras-chave: Formação de Professores, Conhecimento Profissional Docente,
Frações.
328
Introdução
O presente estudo é parte de um trabalho de pesquisa de Mestrado em Educação
Matemática desenvolvido durante um curso de formação, cuja finalidade foi analisar o
processo de (re)significação dos conhecimentos de professores que lecionam
Matemática para os anos iniciais da Educação Básica sobre a utilização de situações
parte-todo e quociente para introduzir o conceito de fração11, explicitados durante o
processo formativo. A formação foi realizada com a participação de professores e
pesquisadores na área da Educação Matemática pertencentes ao grupo de pesquisa do
Observatório da Educação.12
Para essa comunicação apresentaremos algumas das reflexões suscitadas a partir
da análise de parte de um dos instrumentos que foram tomados como diagnóstico, com
o qual procuramos analisar a resolução de situações em que era explorado o significado
parte-todo. Dessa forma, pretendíamos analisar o Conhecimento Profissional Docente
do grupo de três professoras participantes do processo formativo acerca desse
significado da fração.
Desenvolvimento da pesquisa
Para realizar o estudo, buscamos apoio teórico nos estudos Nunes et al (1997,
2003, 2005, 2009) em que ela toma como base a Teoria dos Campos Conceituais de
Gerard Vergnaud.
Ao aplicar a Teoria dos Campos Conceituais na análise do conceito de fração,
essa pesquisadora, sugere começar a sua construção
a partir da concepção mais simples de fração e enriquecer essa
definição de fração perguntando qual é o invariante central
desse conceito, quais são as situações nas quais ele é usado e
quais são os diferentes tipos de representação relacionados a
ele. (NUNES, 2003, p. 1)
11
O termo fração será utilizado, neste artigo, para designar os números racionais na
representação fracionária.
12
Projeto Observatório da Educação Auxílio número 2050/2010 : Educação Continuada e
Resultados de Pesquisa em Educação Matemática: uma investigação sobre as transformações
das práticas de professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental é coordenado pela
professora Dra. Tânia Maria Mendonça Campos.
329
Ao considerar que diferentes situações podem facilitar a compreensão da
construção do conceito de fração, por parte dos alunos, Nunes (2005) sugere uma
classificação para a construção desse conceito formada por quatro situações: parte-todo,
quociente, operador e quantidades intensivas. Reiteramos que para esta comunicação,
optamos por analisar as reflexões de um grupo de professoras somente sobre as
situações parte-todo pelo fato de ser este o significado mais trabalhado pelo grupo de
professoras investigado.
Quanto ao significado parte-todo Nunes et al (2009) apoiada em Behr et al
(1992, 1993), definem como aquelas situações em que um todo é dividido em n partes
iguais, tomam-se uma ou mais partes e a fração correspondente estabelece uma relação
entre as partes em que o todo foi dividida e as partes consideradas na situação. Dessa
forma, o denominador indica em quantas partes iguais o todo foi dividido, ao passo que
o numerador indica o numero de partes referentes à situação.
Fundamentamos nossa análise também nos estudos de Ball et al (2008) que
amplia as Categorias de Conhecimento para o Ensino instituídas por Shulman (1986).
Esta pesquisadora estudou a prática docente e com base em Shulman, cria a Teoria do
Conhecimento para o Ensino da Matemática (MTK). De acordo com essa Teoria alguns
domínios são necessários para o ensino de Matemática: o Conhecimento do Conteúdo
da Disciplina e o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático, os quais ela
subdivide em três vertentes: Para este estudo analisaremos duas das vertentes do
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático: conhecimento do conteúdo e do
ensino e o conhecimento do conteúdo e dos estudantes. Quanto a primeira vertente os
autores consideram que tal conhecimento combina o domínio de conteúdos específicos
da Matemática com a compreensão de assuntos relacionados ao ensino. Já o
conhecimento do conteúdo e dos estudantes associa a compreensão e interação da
Matemática ao conhecimento do pensamento matemático dos alunos.
Em relação à reflexão sobre os processos de ensino e aprendizagem, nos
fundamentamos nos estudos de Serrazina (1999). Essa pesquisadora discute sobre o
papel da reflexão para a mudança de concepções e na aquisição de conhecimentos. A
sua hipótese era que refletindo sobre o que ensinavam e como ensinavam e sendo
capazes de avaliar as suas práticas, as professoras mudariam a maneira como
330
ensinavam. O que ficou confirmado em resultados de pesquisas por ela realizadas: “(...)
mudanças nas práticas parecem ocorrer quando os professores ganham autoconfiança
e são capazes de refletir nas suas práticas”. (SERRAZINA, 1999, p. 163).
As informações produzidas, que serão apresentadas a seguir, foram coletadas em
duas das sessões da formação dedicas à aplicação e análise de um instrumento
diagnóstico por meio do qual organizamos a intervenção.
Apresentação e Análise dos Dados
Apresentaremos neste artigo três das questões propostas no instrumento
diagnóstico. Nelas discutimos três ideias fundamentais à construção e compreensão do
conceito das frações: a unidade de referência (CAMPOS e RODRIGUES et al, 2007) e
os invariantes operatórios, ordem e equivalência (NUNES et al, 2003). Apresentaremos
também a análise das respostas das professoras, sujeitos da nossa pesquisa:
Uma das situações que propomos tinha o objetivo de observar se as professoras
manteriam a unidade de referência ao representar as respectivas frações de pizzas que
sobraram nas mesas 1 e 2:
“Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a
seguir
O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os fregueses
não comeram todos os pedaços de pizza.
”
Em seguida foi solicitado às professoras que ao analisar a situação elas
representassem a fração de pizza que havia sobrado em cada mesa. Verificamos que as
Professoras M e R representaram corretamente as respectivas frações. A resposta ao
item “a” foi indicada nos estudos de Rodrigues (2005). Dessa forma, é possível perceber
331
que as professoras identificaram o todo e as partes. O mesmo ocorreu com a Professora
D. Verificamos, ainda, em relação à mesa 2, que as professoras representaram a fração
na forma mista. Esse é um tipo de representação que não foi apontado por Rodrigues
como possibilidade de resposta.
Professora M
Professora R
Figura 1 – Protocolos Professoras M e R
A Professora D, no entanto, errou na representação da fração correspondente ao
que havia sobrado na segunda mesa, como podemos observar na figura a seguir:
Professora D
Figura 2 – Protocolo Professora D
Percebemos, na resposta apresentada pela professora, que ela modificou a
unidade de referência ao considerar as duas pizzas da mesa 2 e não a “fração de pizza”
que correspondia à quantidade restante na mesa. Essa é uma dificuldade apontada nos
estudos de Rodrigues (2005). Apoiado nas ideias sobre o papel da unidade,
332
desenvolvidas por Kieren (1981, 1993) e Mack (1990), Rodrigues (2005) chama a
atenção para a importância da compreensão do papel da unidade como ideia
fundamental na construção do conceito de fração.
Para verificarmos a compreensão das professoras em relação à ordenação de
frações em situações com o significado parte-todo uma das situações propostas relata
que:
Bruna e Victor, ao receberem uma barra de chocolate de mesmo tamanho cada
uma e comeram porções diferentes de chocolate. Bruna comeu
Victor comeu
3
do chocolate dela e
5
3
do chocolate dele. Em seguida, questionou-se sobre quem comeu mais
4
chocolate e apresentou-se a resposta de um aluno fictício: “Bruna e Victor comeram o
mesmo tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates”. Foi solicitado
que as professoras avaliassem se a resposta apresentada pelo estudante estava certa ou
errada e justificassem a resposta. Ao final, pedimos ainda que as professoras
apresentassem uma solução e estratégias de ensino que explicassem a melhor forma de
resolver tal situação.
As soluções apresentadas nos permitiu observar que as Professoras D e R
responderam corretamente ao primeiro item, ao considerar que a resposta do aluno
estava errada.
Professora R
333
Professora D
Figura 3 – Protocolos Professora R e Professora D
Verificamos que para justificar suas respostas, as professoras apresentaram
raciocínio semelhante: ambas referiram-se à quantidade de partes em que cada
chocolate havia sido dividido. A Professora D fez referência à resposta do aluno,
considerando que ele observou apenas o numerador e não o número de partes divididas.
Nesse sentido, ela parece ter percebido a relação entre o numerador e o denominador. A
Professora R, no entanto, referiu-se apenas á quantidade de pedaços, não relacionando-o
à fração correspondente.
A Professora M errou, pois julgou que a resposta do aluno estava correta.
Professora M
Figura 4 – Protocolo Professora M
A análise dos registros da professora indicam que ela considerou, assim como o
aluno, apenas a quantidade de pedaços que Bruna e Victor comeram da pizza, 3
pedaços, sem considerar a diversidade de unidade de medida, ou seja, quartos e quintos.
Vale ressaltar que nesse tipo de situação esperávamos que as professoras observassem
as relações assimétricas da fração: a ideia de relação inversa entre denominador e a
quantidade correspondente à fração “(...) para o mesmo numerador, quanto maior o
denominador, menor a fração” (NUNES, et al, 2003, p. 3).
334
Em relação às estratégias de ensino para essa situação, a Professora M não
apresentou resposta. A Professora D apenas referiu-se aos conhecimentos prévios,
utilização de desenhos e materiais concretos, sem contudo, explicitar mais claramente
como seria tais estratégias. Já a Professora R, apesar de ter apresentado uma estratégia
válida, não fez nenhuma referência à importância em considerar a equivalência de área
(este é um aspecto fundamental no ensino das frações).
Professora D
Professora R
Figura 5 – Protocolos Professoras D e R
Em sintonia com Ball (2008), na nossa análise sobre os Conhecimentos de
Conteúdo e de Ensino e os Conhecimentos de Conteúdo e de Estudantes foi possível
perceber que as professoras apresentam, ainda, dificuldades em interpretar o
pensamento do aluno e em propor estratégia de ensino que favoreçam a compreensão do
conceito de fração e o desenvolvimento de esquemas necessários à representação
correta da fração correspondente à situação proposta.
Para analisar a compreensão das professoras sobre a equivalência de frações com
o significado parte-todo, propusemos uma situação em que um índio e uma índia
possuem uma pizza idêntica, cada um. A situação sugere que o índio corta a sua pizza
em 4 partes iguais e come uma e a índia corta a sua pizza em 8 partes iguais e come
duas. Com isso, é solicitada a representação fracionária que corresponde à quantidade
que cada um come da pizza e que seja identificado quem come mais ou menos pizza ou
se ambos comem a mesma quantidade. Em seguida, é solicitado, ainda uma justificativa
para a resposta dada a situação.
335
A análise das resoluções revelou que as três professoras investigadas
identificaram a equivalência das frações nessa situação.
Professora R
Professora M
Professora D
Figura 6 – Protocolos Professora R, Professora M e Professora D
336
Um ponto que consideramos importante nas respostas, das professoras, é que
elas apresentaram argumentos diferentes para justificarem a equivalência entre as
quantidades fracionárias.
Professora R
Professora M
Professora D
Figura 7 – Protocolos Professora R, Professora M e Professora D
A Professora R utilizou-se da ideia de correspondência para justificar a
equivalência entre as frações. A Professora M, também, fez uso da ideia da
proporcionalidade ao indicar que as quantidades eram percentualmente equivalentes.
Por fim, a Professora D referiu-se à quantidade de pedaços resultado da divisão,
concluindo que as frações correspondentes são equivalentes.
337
Diante das análises, dois aspectos que consideramos importantes merecem ser
pensados: um primeiro aspecto está relacionado à compreensão de um dos invariantes
lógicos da fração e o segundo sobre o papel da unidade.
Quanto ao primeiro aspecto, a compreensão dos invariantes lógicos, observamos
que embora o significado parte-todo seja provavelmente o mais trabalhado pelas
professoras, elas parecem não ter claramente o domínio do conceito de ordenação nem
mesmo em situações com esse significado, uma vez que duas das professoras se
referiram apenas a quantidade de pedaços sem estabelecer a relação existente entre o
numerador e o denominador da fração correspondente à quantidade de partes a qual elas
se referiram.
O segundo aspecto está relacionado à importância do papel da unidade de
referência concordamos com Campos e Rodrigues (2009) quanto à importância desse
conceito para a construção da ideia de fração:
No caso específico do conceito de fração, a idéia de que as
frações só têm sentido enquanto objetos matemáticos capazes de
representar quantidades, de comparar quantidades ou de operar
com essas quantidades, passa necessariamente pela idéia
fundamental de que essas quantidades devem ser expressas
segundo um mesmo referencial. (CAMPOS E RODRIGUES,
2007, p.89)
Consideramos, assim como esses pesquisadores, tal conhecimento como de
fundamental importância. Nesse sentido analisando tais resultados sob o ponto de vista
de Ball et all (2008) e Shulman (1986), julgamos que a falta de compreensão dos
invariantes operatórios ampliaria as dificuldades dos professores para ensinar o tema.
A análise do ocorrido durante a aplicação desse questionário de caráter
diagnóstico nos permitiu planejar as ações do processo formativo. Para ampliar a base
de conhecimentos dos professores envolvidos para ensinar frações, precisaríamos além
de trabalhar com outros significados que não o parte-todo, discutir questões ligadas à
necessidade de fixação da unidade e aos invariantes operatórios (equivalência e ordem).
Além disso, procuramos também ampliar a ideia de reflexão considerando que
procuramos ir além da reflexão da própria prática na medida em que buscamos
338
promover a reflexão coletiva a respeito das dificuldades enfrentadas nos processos de
ensino e de aprendizagem das frações relacionando-os com a ampliação do
conhecimento de ideias fundamentais como a equivalência, ordem e unidade de
referência.
Considerações finais
A análise que acabamos de apresentar nos traz algumas evidências sobre o
conhecimento profissional docente dos sujeitos investigados. Em relação á
representação da fração, observamos que as professoras utilizam-se da ideia de dupla
contagem para situações parte-todo, ou seja, de que o denominador representa a
quantidade de partes em que o todo foi dividido e o numerador à quantidade de partes
tomadas do todo. Dessa forma, de maneira geral, elas conseguiram representar
corretamente às frações correspondentes às quantidades propostas em cada situação.
Todavia, não ficou evidente se elas reconhecem a relação existente entre essas duas
quantidades como um quociente.
Esta constatação se deve ainda ao fato de que as justificativas e estratégias de
ensino por elas indicadas, não revelaram domínio suficiente acerca de como orientar o
aluno a formular esquemas de resolução que os façam enxergar a fração como um
número que indica uma determinada quantidade.
Concordamos com outros estudos que chamam a atenção para o ensino voltado
apenas para o significado parte-todo. Dessa forma, fez-se necessário, portanto, além do
aprofundamento dos conceitos contidos em situações parte-todo, a exploração também
de outros significados, uma vez que o desconhecimento dos outros significados da
fração fragiliza o ensino.
Nesse sentido, durante o processo de intervenção essas questões foram
discutidas e podemos afirmar que o processo de reflexão proporcionou melhorias tanto
no que se refere à compreensão do tema em estudo quanto à possibilidade de
aprimoramento da prática docente, no sentido que elas puderam experienciar diferentes
situações que lhes possibilitou refletirem sobre suas práticas em sala de aula. Alguns
depoimentos das professoras em relação ao trabalho desenvolvido em sala de aula em
anos anteriores sobre o tema, fração, nos remetem às essas afirmações:
339
É! Eu não sabia esse negócio de razão, parte todo (...) Eu não
sabia. Estou aprendendo agora. (PROFESSORA R).
Sentia uma segurança equivocada, trabalhava fração somente
por parte-todo. (PROFESSORA D)
Foi a oportunidade de aprender sobre os significados da fração,
aplicar as atividades e novamente discutir sobre os avanços e
dificuldades apresentadas para o ensino deste conteúdo bem
como é apropriado pelo aluno os conceitos de fração.
(PROFESSORA M).
Finalmente, nossos dados nos levam a considerar sobre a necessidade de um
enfoque mais amplo ao conceito de frações, complementado pela análise dos diferentes
significados de sua representação fracionária tanto em cursos de formação inicial como
de formação continuada. Finalmente, concluímos que para ampliar o conhecimento dos
professores sobre o ensino e a aprendizagem das frações, é necessário que tais processos
formativos favoreçam um trabalho colaborativo entre os envolvidos e que promovam
uma constante reflexão sobre a prática.
Agradecimentos:
Não podemos deixar de registrar um agradecimento especial a CAPES que, a
partir de iniciativas como a do Projeto Observatório, proporcionou a oportunidade de
viabilizar este estudo e a realização desta comunicação.
Referências
BALL, D. L. et al. (2008). Content knowledge for teaching: what makes it special? In:
Journal of Teacher Education, November/December 2008, vol. 59.
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341
FORMAÇÃO NA DESCONTINUIDADE: UM ESTUDO SOBRE A FORMAÇÃO
CONTINUADA DE PROFESSORES
Elane Cristina Tonin - UFScar – SP ([email protected])
Resumo: Em tempos modernos líquidos, de excessivas informações e descontinuidades
no modo de vida humana, a fabricação de uma incessante “continuidade” na formação
do professor tem sido um mote das políticas públicas na Educação das últimas décadas.
Diante desse contexto, esse trabalho tem como tema a formação continuada de
professores nas escolas públicas. O objetivo principal foi entender como o professor
percebe e configura a sua formação continuada. Para tanto, realizou-se uma pesquisa
com cinquenta e seis professores da Rede Municipal de Araçoiaba da Serra/SP, os quais
responderam a um questionário sobre sua trajetória formativa bem como de suas
concepções sobre formação continuada. As análises das respostas coletadas apontam
diferentes concepções sobre a formação continuada, as palavras conhecimento e
aperfeiçoamento foram as mais citadas como forma de identificar tal formação,
contraditoriamente também ocorreram respostas que identificaram como ilusão,
desinteresse, ou falta de conteúdo, percebe-se uma introjeção do discurso liberal das
políticas de formação por parte do professor, que ora desafia e questiona essa formação,
e ora assume como algo inerente e importante para suas práticas docentes.
Palavras-chave: Formação Continuada. Formação Docente. Cotidiano escolar.
342
Introdução
O trabalho traz algumas reflexões na busca de compreender a formação
continuada de professores, em alguns contextos em que foram iniciadas e a lógica da
permanência dessa prática, no mundo contemporâneo, utilizando uma pesquisa de
campo, para entender qual a opinião de professores sobre a formação continuada,
levantando como hipótese que o excesso, a fragmentação e a rapidez das informações da
formação continuada acabam produzindo um discurso que pode levar o professor a
inseguranças, resistências, medos, efeito contrário ao discurso instituído da autonomia
docente e da busca na qualidade da educação.
No passado, a educação assumiu diversas formas e se mostrou capaz de adaptarse às mudanças, de fixar novos objetivos e criar novas estratégias. Todavia, as
mudanças de hoje são diferentes daquelas ocorridas no passado. Nenhuma reviravolta
da história humana pôs os educadores diante de desafios comparáveis a esses decisivos
de nossos dias. Simplesmente não havíamos estado até agora em situação semelhante. A
arte de viver em um mundo ultra saturado de informações ainda deve ser aprendida,
assim como a arte, ainda mais difícil, de educar o ser humano nesse novo modo de viver
(BAUMAN, 2009, p. 667).
Evidencia-se, portanto, que a formação continuada de professores, tem tentado
suprir e abranger as diversas demandas de um mundo saturado de informações, para isso
tem desenvolvido vários conceitos e práticas formativas, dependendo de situações,
principalmente, ideológicas, políticas, geográficas, acadêmicas e econômicas.
Entretanto, presenciei, durante a minha carreira docente, que a formação
continuada, é justificada como mecanismo de suprir as lacunas existentes na formação
“inicial” docente; de sanar dificuldades escolares que acontecem no cotidiano escolar,
para
implantar
políticas,
programas,
projetos,
campanhas,
principalmente
governamentais; de adquirir certificados (créditos) para ascender na carreira e/ou obter
benefícios salariais; de satisfazer interesses ou necessidades de conhecimentos
343
específicos, ou seja, cursos em grande quantidade de curta duração, separados da
realidade local.
Assim descrevo a opinião de professores sobre o próprio percurso formativo e
suas percepções sobre a formação continuada, apresento os resultados da devolutiva da
pesquisa após a aplicação de questionário em onze escolas públicas municipais de
Araçoiaba da Serra (interior de São Paulo).
Desenvolvimento do trabalho
Busco discutir como o professor percebe a formação continuada, que palavra
lhe vem à cabeça para descrevê-la, qual a opinião sobre essa formação que via de regra
é obrigatória, são as perguntas que nortearam o trabalho com um grupo de professores
do Ensino da Rede Municipal de Ensino de Araçoiaba da Serra.
Levantando como hipótese que o excesso, fragmentação e rapidez das
informações da formação continuada, acabam por produzir um discurso que pode levar
o professor a repetir o discurso oficial, hegemônico sobre qualidade docente, além da
formação continuada recebida, percebemos que muitos deles assumem como próprios
os dizeres sobre a importância dessas formações, postas nos documentos oficiais, nos
documentos de formação continuada do município, consegue-se assim que os
professores, raras exceções acreditem na necessidade “ininterrupta e continuada” de
participar dos cursos e formações sem distinção, formações/convocações que fazem o
professor ser visto como profissionais que nunca irão dominar o exercício da docência
ou então para fins de cumprir planos e políticas de governos locais ou Programas
Nacionais de Formação Docente.
Foi elaborado como instrumento de pesquisa, um questionário, com questões
sobre os dados pessoais dos professores da Rede Municipal de Araçoiaba da Serra, tais
como: idade, estado civil, gênero, percurso docente, formação inicial, tempo de
docência e jornada de trabalho. E numa segunda parte, com questões sobre a formação
continuada: número e exemplos de cursos que o professor realizou ao longo de sua
carreira docente, e a representação da formação continuada, expressa em uma palavra.
344
No último censo demográfico em 2010, Araçoiaba da Serra registrou em torno
de 27 mil habitantes entre eles 24 mil são alfabetizados. O levantamento apontou que o
município tem em torno de 300 professores da Educação
Pública, sendo 210
professores da Educação Municipal distribuídos em 16 escolas Municipais, divididos
por área de atuação na rede Municipal: 39 professores na Educação Infantil, 82
professores no Ensino Fundamental e 88 professores no Ensino Médio. Ao entrevistar
56 professores, a amostra para esta pesquisa foi de 25% dos professores da Rede
Municipal da cidade (IBGE, 2012).
Como procedimento para realizar a pesquisa, entrou-se em contato com a
Secretaria de Educação Municipal de Araçoiaba da Serra, solicitando a autorização, de
acordo com os procedimentos éticos de pesquisa com seres humanos, e explicando qual
seria o procedimento para a coleta das informações. Com o consentimento da Secretaria,
realizou-se contato telefônico com as escolas explicando o procedimento para o envio
dos questionários, aproveitando para realizar um levantamento do número de
professores em cada escola da rede municipal. Foram distribuídos 115 questionários,
divididos por 11 escolas municipais que aceitaram participar da pesquisa (escolas do
Ensino Fundamental e Educação Infantil).
Resultados e Análises
A análise da pesquisa foi desenvolvida com 56 professores da Rede de Ensino Público
Municipal da cidade de Araçoiaba da Serra. Os professores pesquisados também
atuam junto a redes de ensino de outras prefeituras e na rede estadual de ensino, mas,
nessa pesquisa foram identificados como pertencentes à Rede de Ensino Municipal de
Araçoiaba da Serra.
Para o perfil dos professores entrevistados foram coletados dados sobre: gênero,
estado civil, idade, tempo de docência e formação acadêmica. Os dados evidenciam que
a grande maioria dos professores entrevistados, são mulheres 75%), apenas 25% são do
gênero masculino. Quanto ao estado civil, temos 69% professores casados, 20%
solteiros, 10% divorciados e apenas 1% viúvo. A idade dos professores entrevistados
foram tabuladas em faixas etárias, que variaram de 20 à 60 anos, sendo, que 40% ficou
na faixa entre 41 e 50 anos, 30% entre 31 à 40 anos, 20% entre 20 e 30 anos, e apenas
10% acima de 50 anos. O tempo de docência de 40% dos entrevistados ficou na faixa
345
de 0 á 05 anos, 40% com o tempo de docência entre 6 à 15 anos de docência e outros
20% com mais de 16 anos de docência.
Quanto à formação acadêmica, as respostas dos questionários mostraram que
65% dos entrevistados têm formação inicial em Pedagogia, 35% em outras
licenciaturas, como Matemática, História, Geografia, Letras, 15% com bacharelado em
Direito, Economia, Ciências Contábeis e Jornalismo, seguidos de apenas 0,5%
professores com formação no Normal Superior (curso criado inicialmente pelo MEC
como um superior de graduação, na modalidade licenciatura. Tem por finalidade formar
professores aptos a lecionar na educação infantil e nos primeiros anos do ensino
fundamental, tem sido substituído pela licenciatura em Pedagogia)
Vinte por cento dos 56 professores entrevistados tem uma pós graduação, após
terem cursado inicialmente uma licenciatura ou bacharelado, a pós graduação citada
pelos professores dividem-se: Didática do Ensino, Leitura/Gramática, Psicopedagogia,
Alfabetização e Musicalização Infantil.
Sobre os dados do perfil dos professores entrevistados, o que chama atenção, é
que 40% estão na faixa etária de 40 à 50 anos, cruzando-se com a soma de um
percentual de 83% na média de tempo de docência de 0 à 15 anos, leva-se a questionar
porque ingressaram no Magistério tardiamente, quais seriam as outras experiências de
trabalho que antecederam a docência? Qual/quais motivações que os levaram/trouxeram
para profissão docente? Visto que temos 15% dos professores entrevistados com
bacharelado, em diversas áreas, porém, a pesquisa acaba não levantando esses dados,
questionados aqui.
Sobre a devolutiva dos 56 professores no que se refere aos cursos de formação
continuada na Rede Municipal de ensino de Araçoiaba da Serra, 67% dos entrevistados
participaram de 0 á 30 de cursos e 33% responderam ter participado de uma média de
30 até 100 cursos de formação continuada.
Sendo que a soma dos entrevistados de 83% estão na faixa de média de tempo de
0 à 15 anos de docência, não seria portanto um grande de formações se essas fossem
divididas por ano de docência entre a maior parte do grupo de entrevistados que
responderam de 0 à 30 cursos (média de 2 cursos/ano).
346
O que destacou foi a diferença quantitativa nas respostas dos professores
entrevistados, embora trabalhem na mesma rede municipal, alguns listam um maior
número de cursos (mais que 30, 100, 200 formações continuadas), elencadas em suas
respostas descritivas, sendo contraditório, pois, as formações citadas por muitos são
ignoradas/esquecidas ou não respondidas por outros, 20% dos professores entrevistados
optaram a não colocar nada ou dizer que não se lembram de nenhuma formação
continuada, professor P37: não me lembro (mesmo tendo ingressado na Rede Municipal
há 03 anos), já o professor P21 resume em uma, o que considera formação continuada a
graduação de Pedagogia, ele atua há 10 anos na rede de ensino municipal da cidade.
O que levaria professores que atuam, nos mesmos lugares/escolas terem
percepções, concepções, memórias diversas e divergentes sobre o que seria a Formação
Continuada? Quais as apropriações e representações esses professores tem sobre o seu
próprio percurso formativo, porquê alguns professores tomam como formação todo um
sem fim de cursos, sejam eles de empresas privadas que financiam sistemas de
Apostilas para o município, cursos de saúde emocional, curso de lousa digital, cursos de
jogos como Lego: educação robótica, encontros mensais pedagógicos, massoterapia e
as formações do MEC.
Como
lembrar-se,
nomear ou identificar
como
formação
continuada
significativa, algo que torna-se um produto a ser consumido obrigatoriamente, visto que
muitas dessas formações são convocações em horários de serviço do docente, sendo
oferecidas em conformidade com política municipal do período, ou como
programas/projetos do Governo Federal e até mesmo de empresas privadas visando a
venda de alguma “capacitação” para o município, acabamos por produzir uma formação
contínua dentro de uma descontinuidade no tempo de formação docente.
Ao analisar a segunda pergunta, nas questões abertas do questionário: Qual
palavra vem à mente, quando pensa em Formação Continuada?
A proposta era listar 5 palavras em ordem de importância, limitei tabular e fazer
uma análise da 1ª palavra que os professores citam ao pensar em Formação Continuada.
Os
termos
mais
citados,
foram:
conhecimento,
atualização,
capacitação,
aperfeiçoamento e reciclagem.
De acordo com Prada (1997), as palavras acima já apareciam em suas pesquisas
sobre Formação Docente nos anos 1990, e as palavras – atualização resume-se a ação
347
similar à do jornalismo; informar aos professores para manter nas atualidades dos
acontecimentos, recebe críticas semelhantes à educação bancária, já o termo
capacitação, ainda segundo o autor, configura como proporcionar determinada
capacidade a ser adquirida pelos professores, mediante um curso; concepção
mecanicista que considera os docentes incapacitados e aperfeiçoamento implica tornar
os professores perfeitos.
Denominações do tipo capacitação, treinamento, reciclagem e aperfeiçoamento,
entre outras, correspondem a uma ideologia e uma concepção tecnicista da educação
que apresentam preocupação com a eficácia e a eficiência na educação tal como
acontece na indústria, no comércio e no mercado de capitais cujo foco principal é
apenas o lucro.
Na realidade, a cada nova etapa de desenvolvimento social e econômico,
definem-se novas necessidades do mercado de trabalho, levando ao aparecimento de
novos projetos pedagógicos e novos perfis de professores identificados como adequados
a essas necessidades. Assim, dentro da ótica do modelo de produção capitalista atual,
características como flexibilidade, polivalência, capacidade de adaptação e de
aprendizado são valorizadas, e terminam por se refletir nos projetos educacionais de
governo, com impactos visíveis nos programas de formação de professores.
(CHAMON, 2006).
Na suspeita do desconforto dessa impermanência no processo de formação
alguns professores da pesquisa traduzem o conceito Formação Continuada, como:

Ilusão. Necessária, Cobrança. (Prof.1).

Incompatibilidade, Falta de conteúdo, Indisciplina, Formação incompleta e
Ignorância. (Prof.2).

Tempo, Valores, e Desgaste emocional. (Prof. 3)

Decadência, Desinteresse e Injustiça. (Prof. 4)
Ou ainda de uma forma objetiva e ambígua, argumentam que a formação continuada é:

Aprofundar o conhecimento – bom, Ler muito – ruim, Falta de tempo – ruim,
TCC – ruim, R$ - ruim. (Prof. 14).
Diferentemente dos 90% dos professores pesquisados, que utilizaram termos e
idéias permeados no discurso da formação oficial e das políticas públicas, 10% revela e
desvela a Formação Continuada como:
348

cobrança, ilusão, incompatível com algo e até um desgaste emocional (Prof.3).
Na contramão de um discurso homogêneo, a minoria dos professores
entrevistados desafiaram responder o que outros não responderam, difícil ir contra
um
discurso
sobre
a
obrigatoriedade/necessidade
de
formar
profissionalmente/continuamente educadores de escolas públicas, nem o próprio
professor reconhece onde iniciam-se suas próprias concepções e idéias sobre sua
formação e como essas fundem-se com o discurso das políticas maiores, outros
preferem não falar, omitem sobre sua opinião, na pergunta do questionário: Que
palavra vem a mente quando falamos em Formação Continuada – Prof. 41, deixou o
espaço das cinco palavras em branco.
O que evidencio na maioria das respostas, é a similaridade entre os conceitos,
a pesquisa foi respondida em 11 diferentes escolas e individualmente, segundo a
devolutiva dos diretores, eles utilizaram a reunião de trabalho coletivo, para entrega e
explicação sobre a pesquisa do questionário, recolhendo os questionários
respondidos pelos professores ao final da reunião, mesmo que tenha havido troca
entre os pares da mesma unidade, como falar dos conceitos e respostas iguais entre
professores de unidades distintas.
Essa unanimidade não traz um desconforto por perceber que muitos
educadores já assumem a formação continuada como um processo importante e
inerente da profissão, o postulado “formação para vida toda” não incomoda por
prever um projeto inacabado de professor, incomoda muito mais pela uniformização
e privatização de um discurso no projeto formativo docente nas últimas décadas, da
transformação do conhecimento em informações destituídas de valor e da polifonia
de empresas no mercado de capacitações de professores.
Considerações finais
No contexto atual na rede pública de ensino, muitos são os cursos que o
professor deve realizar, em nome de uma formação continuada, presente nos diversos
documentos internacionais e nacionais, mostram essa necessidade e essa direção, de
formar-se o professor continuamente, para o que está “porvir” e nunca para o que está
“posto”.
349
Destaco aqui três documentos do Banco Mundial de 1995, 1999, 2002, que a
questão da formação continuada é uma prioridade, e neles a educação continuada é vista
com um fundo eminentemente de “renovação e capacitação”; o documento do Programa
de Promoção das Reformas Educativas na América Latina (PREAL, 2004); e, como
marcos referenciais amplos, a Declaração mundial sobre a educação superior no século
XXI: visão e ação e o texto Marco referencial de ação prioritária para a mudança e o
desenvolvimento do ensino superior (UNESCO, 1998) e os documentos do Fórum
Mundial de Educação (UNESCO, 2000).
Nesses documentos, de uma forma clara ou indireta, está presente a idéia de
preparar os professores para formar as gerações para a "nova" economia mundial e de
que escola e os professores não estão preparados para isso, a formação continuada,
subentendida sempre como algo suplementar, sempre a ser buscada. (GATTI, 2008).
Mas, são nas últimas duas décadas que a expansão e oferta de programas e
cursos de formação continuada mostrou-se maior, diversos estados e municípios
brasileiros contratam empresas para oferecer a formação docente, contam com um
interessante volume de investimentos do governo federal e de órgãos internacionais,
diversas são as leis que regulamentam, deliberam orçamentos e norteiam a formação de
professores no país. (BRASIL, 1998, 2003, 2006 e 2007).
Em especifico a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN, lei n.
9.394/96) fomenta junto aos poderes públicos locais um movimento político subsidiado
pelo aumento dos investimentos na Formação dos Professores, a lei vem trazer um
período de debates sobre a questão da importância da formação continuada e trata dela
em vários de seus artigos. O artigo 67, que estipula que os sistemas de ensino deverão
promover a valorização dos profissionais da educação, traz em seu inciso II o
aperfeiçoamento profissional continuado como uma obrigação dos poderes públicos,
inclusive propondo o licenciamento periódico remunerado para esse fim. Mais adiante,
em seu artigo 80, está que "o Poder Público incentivará o desenvolvimento e a
veiculação de programas de ensino a distância, em todos os níveis e modalidades de
ensino, e de educação continuada". E, nas disposições transitórias, no artigo 87, §3º,
inciso III, fica explicitado o dever de cada município de "realizar programas de
capacitação para todos os professores em exercício, utilizando também, para isto, os
recursos da educação a distância". No que diz respeito à educação profissional de modo
350
geral, a lei coloca a educação continuada como uma das estratégias para a formação
para o trabalho (art. 40).
Na suposta reposição desses pressupostos, a pesquisa pode ser permeada de
muitos outros olhares e vieses na interpretação dos dados, falas e palavras do
professor – a formação docente abre diversas discussões e enfoques no ato de se
constituir professor, percebermos que isso é sempre contínuo do ponto de vista
humano, somos seres inacabados, professores inacabados, alunos inacabados,
constituídos na travessia, portanto essa pesquisa buscou dialogar com um grupo de
professores na busca de entender esse dispositivo/processo nomeado de Formação
Continuada.
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352
EIXO TEMÁTICO: (E5 – HISTÓRIA E FILOSOFIA)
É POSSÍVEL DEFINIR O CONCEITO DE VERDADE EM LINGUAGENS
COMO DA MATEMÁTICA?
Renato Machado PEREIRA - IFSULDEMINAS – MG ([email protected])
Resumo: O presente trabalho tem por finalidade discutir a problemática em definir o
conceito de verdade em uma determinada linguagem em investigação. Para tanto,
buscaremos apresentar a dificuldade em difinir esse conceito em uma linguagem natural
por causa do Paradoxo do Mentiroso e apresentar a estratégia utilizada pelo autor Alfred
Tarski para superar esse paradoxo e definir o conceito de verdade para linguagens como
da matemática.
Palavras-chave: Verdade, Paradoxo, Tarski.
353
Introdução
Na literatura filosófica e no significado próprio de cada povo, encontramos
várias concepções para o termo verdade, desde sentido prático, sentido de relação, de
revelação, de consistência, à ausência de uma propriedade como verdade. Essa
diversidade de concepções e de mudanças no conhecimento ao longo da história
mostram o quanto a pesquisa sobre a verdade é necessária. Principalmente, quando a
discussão está no âmbito da investigação científica, na qual se espera que os conceitos
sejam o mais precisos e claros possível. Discutir qual concepção é a ideal e qual é a
mais adequada para o discurso científico é importante para o avanço do conhecimento.
Os pensadores que diretamente se preocupavam com o termo verdade na língua
natural, no conhecimento, na realidade, nas investigações científicas, etc.,
desenvolveram teorias da verdade. Um dos objetivos dessas teorias é decidir o que usar
na definição do termo verdade. Seja o que for utilizado com o objetivo de explicar e
definir a “verdade”, deve trazer clareza e amenizar a perplexidade do seu sentido.
Diante desse cenário, este texto busca apresentar a dificuldade em difinir o
conceito de verdade em uma linguagem natural (como o português ou o inglês) por
causa do Paradoxo do Mentiroso e apresentar a estratégia utilizada pelo autor Alfred
Tarski para superar esse paradoxo e definir o conceito de verdade para linguagens como
da matemática.
Definição Formalmente Correta da Verdade
No início do século XX, o lógico e matemático Alfred Tarski ambicionou
alcançar uma definição “formalmente correta e materialmente adequada” da verdade,
isto é, uma definição que preservasse o real e intuitivo significado da noção de verdade,
que respeitasse as regras formais a que devemos submetê-la e fosse capaz de superar os
paradoxos.
Na construção dessa definição tarskiana, as linguagens possuem um papel
fundamental. Para ele (1969, p. 113), essa definição deve ser relativa a uma linguagem
particular e afirma que a verdade é um atributo que as sentenças (enquanto objetos
354
físicos, ou classes de tais objetos) têm ou não, dependendo, entre outras coisas, do seu
significado e da sua estrutura gramatical na linguagem em questão.
Por isso, de certa maneira, não é correto afirmar “a definição de verdade de
Tarski”, mas sempre uma definição de verdade referente a uma dada linguagem. No seu
ensaio de 1933, o autor faz uma apresentação da definição de verdade para uma
linguagem particular, no caso a linguagem do Cálculo de Classes, e depois descreve, de
um modo geral, como é que o mesmo método de construção da definição pode ser
aplicado a outras linguagens com uma estrutura mais ou menos semelhante.
Assim, não há apenas uma definição da verdade; de fato, nem mesmo possuímos
duas ou mais concepções da verdade aqui, o que temos é uma concepção da “verdadeem-L1”, uma concepção da “verdade-em-L2” e, assim, por diante.
A relativização é necessária pelo fato de que as linguagens tratadas são
diferentes em significado e estrutura e, principalmente, porque nem todas serão capazes
de evitar paradoxos. Por exemplo, as línguas naturais não respeitam as condições
necessárias e, consequentemente, falham na construção da concepção de verdade
(veremos os motivos nos tópicos seguintes). Nas palavras do Tarski (1944, p. 338): “(...)
para todas as línguas naturais, linguagens “faladas” – o significado do problema [da
definição da verdade] é mais ou menos vago, e sua solução apenas pode ter um caráter
aproximado”.
Desse modo, Tarski se dedica, principalmente, ao estudo das “linguagens
formalizadas”, isto é, uma linguagem em que sua descrição é especificada claramente e
exatamente. Para ele (1935, p. 403), uma descrição da linguagem é clara e exata apenas
quando sua especificação é puramente estrutural, ou seja, quando empregamos nela
somente os conceitos relacionados à forma e ao arranjo dos símbolos e expressões
compostas da linguagem. Tarski é um daqueles pensadores que veem nas línguas
naturais um meio inadequado para a expressão e o desenvolvimento da ciência e que
acalentam a esperança de que linguagens mais apropriadas a esse fim possam,
finalmente, substituir a linguagem de todos os dias no discurso da metodologia da
ciência (1944, p. 338-339 e 1969, p. 112-113). E chega a afirmar:
Linguagens formalizadas são completamente adequadas para a
apresentação da lógica e de teorias matemáticas; e me parece
que não há nenhuma razão essencial porque elas não podem ser
355
adaptadas para uso em outras disciplinas científicas e em
particular para o desenvolvimento das partes teóricas das
ciências empíricas. (TARSKI, 1969, p. 114).
Como dito anteriormente, a noção de verdade para Tarski deverá ser
formalmente correta e materialmente adequada. Para que uma definição seja
formalmente correta, é preciso que ela obedeça às regras formais que regem a
construção de definições, tais regras só adquirem um sentido completamente definido
quando lidamos com uma linguagem formalizada.
Desse modo, antes de construirmos uma definição formalmente correta, será
preciso especificar de modo claro e exato a estrutura da linguagem. Para tanto, Tarski
(1944, p. 337-338 e 1935, p. 402) apresenta um caminho a ser seguido: Devemos
caracterizar inequivocamente a classe das expressões que sejam consideradas
significativas; devemos indicar todas as expressões que decidiremos usar, sem defini-las
e que se chamam termos indefinidos ou primitivos; devemos fornecer as regras de
definição para introduzir termos definidos ou novos; devemos estabelecer critérios para
distinguir, dentro da classe de expressões, aquelas a que chamaremos sentenças;
devemos indicar todas as sentenças primitivas ou axiomas, isto é, as sentenças que
decidiremos afirmar sem prova; devemos formular as condições nas quais poderemos
afirmar uma nova sentença da linguagem ou teorema; devemos fornecer as regras de
inferência (ou regras de transformação), mediante as quais poderemos deduzir novas
sentenças a partir de outras sentenças previamente afirmadas.
É importante essa especificação porque, por exemplo, não podemos demonstrar
que certo número é primo, ou que todos os números primos têm certa propriedade,
numa linguagem que não contenha o termo primo.
As definições são utilizadas para introduzir novas expressões na linguagem, as
quais permitirão formar novas sentenças, que não eram antes formuláveis nela e que
podem agora ser ou não demonstradas. Mas, se essa introdução de novas expressões não
obedecesse a certas regras, o enriquecimento daí resultante poderia acabar por
desvirtuar completamente a linguagem, por exemplo, tornando-o inconsistente.
Essas regras, sobretudo, dizem respeito à relação entre o novo termo introduzido
e os que anteriormente já pertenciam à linguagem. O significado do novo termo deve
356
ser especificado, utilizando-se apenas aqueles já disponíveis na linguagem. A definição
é, ela própria, uma sentença da linguagem que faz essa especificação.
O caso que mais interessa dos predicados para Tarski (1969, p. 104) é aquele em
que a definição tem a forma de uma bicondicional. Ao lado esquerdo da bicondicional,
dá-se o nome de definiendum e ao direito o de definiens. A expressão que se quer definir
ocorre apenas no definiendum, pois seria circular tentarmos especificar o significado de
uma palavra como “primo” usando esse mesmo vocábulo na nossa especificação: quem
não compreendesse já a palavra “primo”, não poderia compreender a definição. No caso
presente, como queremos definir a expressão “x é verdadeira”, é de se esperar que a
definição tenha a forma:
x é verdadeira ↔ p
e que a palavra “verdadeira” não ocorra na sentença que ocupa o lugar de “p” (isto é, no
definiens). É também necessário evitar-se a falácia do círculo vicioso, que consiste em
definir um termo com base num outro que, por sua vez, é definido com base no primeiro
(ou que, mais indiretamente, é definido com base num terceiro que, por sua vez, é
definido com base no primeiro). Isto se evita impondo-se, como condição, que as
expressões que ocorram no definiens pertençam ao vocabulário primitivo (SANTOS,
2003, p. 99).
Enfim, para Tarski (1944, p. 337-339), uma definição da verdade formalmente
correta segue a especificação da estrutura de uma linguagem, ou seja, a especificação
das sentenças, palavras e conceitos que desejamos usar para definir a noção de verdade
e também das regras às quais a definição deve ser submetida.
Definição Materialmente Adequada da Verdade
Pela sua ligação exclusiva à língua natural e ao uso efetivo da expressão, o
objetivo da adequação material é bem mais problemático e indefinido do que o da
correção formal, para o qual, como vimos, existem regras precisas que guiam a decisão
(SANTOS, 2003, p. 101-102). A dificuldade tem origem na heterogeneidade daquilo
que está sob comparação, pois não se trata de confrontar duas definições, mas de
comparar o significado explicitado numa definição com o significado implícito no uso.
357
A isto se acresce o fato de que muitas expressões da linguagem corrente são vagas e
ambíguas (TARSKI, 1944, p. 348), pelo que qualquer definição explícita só poderá
concordar com alguns aspectos do seu uso, negligenciando outros. Desta forma, quais
são os critérios que devemos ter para determinar se uma definição é ou não é adequada?
Tarski considera que, a limite, a questão só poderá ser resolvida pelo método do
inquérito estatístico aos usuários da linguagem . Todavia, ainda aí, coloca-se a questão
de saber se os falantes têm, em geral, condições para entender a definição que lhes seria
apresentada, especialmente se esta envolver o recurso a um certo vocabulário técnico.
Para o autor, (1944, p. 334), a questão da adequação tem o seu lugar quando a
definição pretende captar, ou ser, conforme o significado comum, testemunhado pelo
uso, da expressão. Assim, ele nos convida a refletir sobre a questão: ‘em que condições
a sentença “a neve é branca” é verdadeira ou falsa?’. Para Tarski devemos embasar na
“concepção clássica” da verdade, pois diremos que a sentença é verdadeira se a neve é
branca; e falsa se a neve não é branca.
Ele chama de “concepção clássica” a concepção filosófica da verdade que, hoje,
é mais comumente conhecida por “concepção correspondentista” ou “concepção da
verdade-como-correspondência”. Tal opção é meramente instrumental em relação ao
objetivo principal de formular uma definição de verdade que seja formalmente correta e
materialmente adequada, ou seja, que esteja de acordo com alguns usos “corretos” e
“comuns” do termo verdade.
Neste contexto, parece haver uma tensão entre os objetivos da correção formal e
os da adequação material, pois, por um lado, para ser formalmente correta, a definição
de verdade tem de ser formulada numa linguagem formalizada e, por outro, para atender
o critério de adequação material, parece que a definição de verdade precisa ser dada na
língua natural. Realmente, essa tensão será um traço permanente da teoria de Tarski e o
critério de adequação não será uma solução definitiva, mas determinará uma forma
definida. De fato, o que o autor oferece é um método geral que permite, para as
linguagens formalizadas, introduzir, por definição, certo predicado especial, que somos
convidados a reconhecer como sendo o homólogo do nosso predicado de verdade. Em
outras palavras, Tarski propõe uma convenção que capta, segundo ele, a noção comum
de verdade e, ao mesmo tempo, é formalmente correta, pois não infringi as condições de
especificação da estrutura da linguagem.
358
Assim, de modo geral, uma definição de verdade materialmente adequada,
segundo Tarski, deve implicar em todas as sentenças do seguinte padrão, chamadas
tanto de “forma T” como de “esquema T” ou “convenção T” (1944, p. 335):
(T)
X é verdadeira se, e somente se, p,
em que a letra “p” deve ser substituída por qualquer sentença da linguagem e “X” por
um nome dessa sentença.
Como exemplo da forma T, temos:
“Sócrates é mortal” é verdadeira se, e somente se, Sócrates é mortal,
sendo que “Sócrates é mortal” (com aspas), é um nome da sentença e Sócrates é mortal
é a própria sentença. A qualquer sentença com a forma dessa equivalência, passaremos
a chamar “sentença-T”.
Tarski (1944, p. 354-355) julga que as sentenças-T refletem o aspecto essencial
do uso corrente da expressão “é verdadeira” (na sua aplicação a sentenças declarativas),
de tal modo que estar de acordo com as sentenças-T é estar de acordo com o significado
implícito no uso corrente da expressão.
A condição de adequação material determina univocamente a extensão do termo
‘verdadeiro’ (TARSKI, 1944, p. 346) e podemos definir verdade a partir da referência a
todas as sentenças-T da linguagem. Cada uma das sentenças-T pode ser considerada
uma “definição parcial” de verdade (TARSKI, 1944, p. 335). Elas possuem a forma de
bicondicional que é requerida para a definição de predicados e explica o significado do
predicado “é verdadeira” na sua aplicação exclusiva a uma certa sentença. Uma
definição completa seria uma “conjunção lógica”, ou um “produto lógico” de todas elas.
Por “conjunção lógica”, Tarski tem, em mente, uma conjunção das sentenças-T. Devido
a esse critério, tal definição apenas funciona em linguagens finitas, por causa da
impossibilidade de expressar com a lógica moderna uma conjunção lógica de infinitas
sentenças.
Segundo os comentadores Susan Haack (1978, p. 143-144) e Richard Kirkham
(1992, p. 207), a condição da forma T serve como um critério para decidir quais são
“boas” teorias da verdade, como um filtro que discrimina, dentre as numerosas teorias
359
da verdade, aquelas que satisfazem condições mínimas de aceitabilidade e que, portanto,
têm alguma perspectiva de sucesso.
Em resumo, uma definição satisfatória de verdade será uma definição
materialmente adequada e formalmente correta. Desse modo, em primeiro lugar,
devemos especificar a estrutura da linguagem e, em segundo lugar, estabelecer o critério
para a adequação material, conhecido como convenção T. A definição geral da verdade
será uma conjunção lógica de todas as sentenças-T da linguagem (TARSKI, 1944, p.
16).
Linguagem-objeto e Metalinguagem
Se alguém diz “Eu tenho 1,70 m de altura” ou “Aquela é a minha casa”, está
usando autorreferência. A autorreferência é aparentemente uma parte essencial da nossa
linguagem e reflete nossa autoconsciência. Contudo, a possibilidade da autorreferência
na linguagem pode criar problemas.
Um problema de autorreferência conhecido como Paradoxo do Mentiroso, foi
inspirado num conto de Epimênides. Consta-nos que Epimênides, um cretense, dissera:
“Todos os cretenses são mentirosos”. Se analisarmos essa sentença constataremos que
ela não gera uma contradição e que, portanto, não se trata de um paradoxo. Pois, se o
que Epimênides diz for falso, ele mente e a sentença ‘alguns cretenses não são
mentirosos’ é verdadeira, ou seja, a sentença sendo falsa não resulta em contradição
com a sua negação. Apesar desse conto não gerar contradição, ele inspirou a versão
clássica desse paradoxo que pode ser descrita pela seguinte sentença:
“Esta sentença é falsa”.
Se esta sentença é verdadeira, então ela é falsa porque o que ela diz é que ela é
falsa (e, portanto, verdadeira e falsa). Se ela é falsa, então ela deve ser verdadeira, pois
ela é exatamente o que ela diz que é. Assim, se ela é falsa, então ela é verdadeira (e,
portanto, verdadeira e falsa). Ou seja, a sentença é verdadeira se e somente se ela for
falsa. Porém, de acordo com o princípio da não-contradição, ela tem de ser ou
verdadeira ou falsa e, de qualquer forma, ela é ambas as coisas. Logo, ela é uma
contradição.
360
Em versões mais ou menos variadas, esse paradoxo era bem conhecido, e
preocupava tanto os filósofos antigos como os modernos. Inclusive, conta-se que ele
estava tão intrincado a Fileto de Cos (340-285 a.C.) que em sua lápide foi escrito:
“Ó estranho: Fileto de Cos eu sou.
Foi o Mentiroso quem me matou,
Pelas péssimas noites que me causou.”
(Carnielli & Epstein, 2006, p. 24).
Para entendermos como esse paradoxo pode ser uma fonte de ceticismo a
respeito da verdade, temos de apreciar sua ligação crucial com as sentenças-T enquanto
paradigmas do uso adequado deste conceito (SANTOS, 2003, p. 128-136). Essa ligação
é especialmente visível na formulação do paradoxo de que trataremos a seguir e que
Tarski adota como objeto de análise e que atribui ao lógico Polonês Jan Lukasiewicz
(TARSKI, 1969, p. 108).
Assumindo que o nosso uso do termo “verdade” é adequado e, dessa forma, que
todas as instâncias da convenção T são gramaticais, consideremos a seguinte sentença:
(i) A sentença impressa na linha 9 da página 361 deste artigo é falsa.
Vamos tomar “s” como sendo a abreviação dessa sentença. Podemos observar
que “s” é uma sentença autorreferente, mas também gramatical e pertencente à
linguagem natural. Olhando para a linha 9 da página 361 deste artigo, nós facilmente
observamos que “s” é apenas a sentença impressa nessa página, ou seja,
(ii) “s” é idêntico à sentença impressa na linha 9 da página 361 deste artigo.
Como nosso uso do termo “verdade” é adequado, nós podemos afirmar a forma
T em que “p” é substituído por “s”. Assim, temos que:
(iii) “s” é verdadeira se, e somente se, s.
Agora, lembrando que “s” é a sentença (i), nós podemos substituir “s” por (i) no
definiens e obtemos:
(iv) “s” é verdadeira se, e somente se, a sentença impressa na linha 9 da página 361
desta tese é falsa.
Pela regra de substituibilidade dos idênticos, nós concluímos:
361
(v) “s” é verdadeira se, e somente se, “s” é falsa.
Isso nos conduz a uma contradição: “s” prova ser tanto verdadeira quanto falsa.
Partindo de sentenças plausivelmente verdadeiras e usando regras de inferência que
conservam a verdade, somos conduzidos a uma conclusão logicamente falsa. Estamos
diante de uma grande dificuldade, mas, como bom lógico, Tarski declara que não
podemos nos conformar com esse fato. Temos de descobrir sua causa.
Mas que premissas ou formas de raciocínio deveremos rejeitar? Uma maneira de
evitar o paradoxo seria rejeitar as sentenças do tipo (iii); por dois motivos: ou a sentença
(iii) não é realmente uma instância da forma T, ou ela é, mas nem todas as instâncias da
forma T são gramaticais. Porém, para que uma sentença se qualifique como uma
instância da forma T (X é verdadeira se, e somente se, p), basta que no lugar de “X” seja
inserido um nome de uma sentença, gramaticalmente correta, da linguagem a cujas
sentenças o predicado “é verdadeiro” se refere, e que, no lugar de “p”, esteja uma
tradução dessa sentença. E sentenças do tipo (i) são indubitavelmente da língua
portuguesa, com significado, e não violam a gramática dessa língua. Ora, se (i) é uma
sentença da língua portuguesa, então (iii) é uma equivalência irrecusável da forma T.
Assim, a responsabilidade pela contradição deve ser atribuída à ideia de que
todas as instâncias da forma T são gramaticais, porém, essa ideia é inerente à definição
da verdade (lembrando que a definição refere-se à conjunção das sentenças-T), ou seja,
a contradição acontece porque o nosso uso do termo “verdade” é inadequado. Logo, a
responsabilidade pela contradição está na própria “concepção da verdade”, a qual
deveria, por isso, ser abandonada.
Tarski está consciente de que é esse o dilema que enfrenta, ou seja, abandonar a
noção de verdade, e, com ela, uma série de outras noções, ou impor-lhe restrições.
Inclusive o autor cita uma solução radical do problema: “(...) devemos simplesmente
remover a palavra verdade do vocabulário inglês ou pelo menos nos abster do seu uso
em algumas discussões sérias” (1969, p. 110-111). Tarski (1969, p. 112), realmente,
pretende procurar uma solução que “mantenha essencialmente o conceito clássico da
verdade intacto”, mesmo que para isso “a aplicabilidade da noção da verdade tenha que
suportar algumas restrições”.
Para o autor (1933, p. 267), uma coisa é propor uma modificação de uma
linguagem artificial para uso exclusivo de lógicos e matemáticos, outra seria ter a
362
pretensão de reformar as próprias línguas naturais, cuja razão de ser está longe de se
esgotar no objetivo de expressar e comunicar teorias científicas. Como veremos, é essa
atitude perante as línguas naturais que está na origem da sua conclusão negativa
segundo a qual: “Na linguagem coloquial, parece ser impossível definir a noção de
verdade ou, sequer, usar essa noção de uma maneira consistente e de acordo com as leis
da lógica” (1933, p. 153).
Analisemos, então, o argumento em que Tarski estabelece esta conclusão. Ele
cita três suposições referentes às linguagens que conduzem ao paradoxo do mentiroso:
(I) Temos suposto, implicitamente, que a linguagem na qual o
paradoxo é construído contém, além das suas expressões,
também os nomes destas expressões, bem como termos
semânticos como o termo “verdadeiro” referindo-se a sentenças
dessa linguagem; também temos suposto que todas as sentenças
que determinam o uso adequado desses termos podem ser
afirmadas na linguagem. Uma linguagem com essas
propriedades será chamada “semanticamente fechada”.
(II) Temos suposto que, nessa linguagem, as leis ordinárias da
lógica são válidas.
(III) Temos suposto que podemos formular e afirmar em nossa
linguagem uma premissa empírica como a sentença (2)
[sentença (ii) é um exemplo de (2)] que ocorreu no nosso
argumento. (1944, p. 340).
Essas três condições que Tarski identifica devem ser aplicadas a qualquer
linguagem na qual o Paradoxo do Mentiroso seja formulável. Desse modo, elas se
aplicam também às línguas naturais. Podemos dizer que (I) atribui às línguas naturais
propriedades responsáveis por tornar (iv), não só uma sentença com significado em uma
dada língua natural, mas uma sentença gramatical nela. E (III) faz o mesmo a respeito
de (ii), isto é, ela equivale a afirmar que (ii) é uma sentença gramatical em uma dada
língua natural. As propriedades que (I) atribui às línguas naturais são (SANTOS, 2003,
p. 136): (a) As línguas naturais contêm nomes de todas as suas expressões (incluindo,
portanto, nomes de todas as suas sentenças); (b) As línguas naturais contêm termos
semânticos aplicáveis às suas próprias expressões (um caso particular disto é a posse do
predicado “é verdadeiro” aplicável às suas próprias sentenças); (c) Todas as
equivalências da forma T de uma língua natural são sentenças gramaticais dessa língua
natural.
363
Uma linguagem que possui as propriedades (a), (b) e (c) é uma linguagem
“semanticamente fechada”.
Estes três fatos, concernentes às línguas naturais, têm como consequência que
uma sentença contraditória, como (v), seja verdadeira em certa língua natural – e é isso
que Tarski quer dizer quando afirma que uma linguagem na qual se verifiquem as três
condições enunciadas é uma linguagem inconsistente.
Assim, para qualquer linguagem L, se L é semanticamente fechada, então não é
possível uma definição satisfatória de verdade-em-L. Isso porque, de acordo com a
convenção T, essa definição deverá ter como consequência, para cada sentença de L, a
sentença-T correspondente; mas, como L é semanticamente fechada, existem em L
sentenças autorreferentes, como a nossa sentença s (“s é falsa”), cuja sentença-T
correspondente conduz facilmente (a partir de premissas e condições irrecusáveis) a
uma contradição.
Tarski conclui que, se queremos construir uma definição satisfatória da noção de
verdade, temos de nos abster de tomar como objeto qualquer linguagem na qual a
condição (I) se verifica. Ou seja, ele aceita a conclusão de que, em linguagens
semanticamente fechadas, há sentenças contraditórias que são gramaticais e extrai delas
a consequência de que não é possível construir uma definição adequada de sentença
verdadeira-em-L, quando L é semanticamente fechada – em particular, quando L é uma
língua natural. E propõe, então, que a construção de uma definição adequada da verdade
se restrinja a certas linguagens artificiais, às quais sejam possíveis incorporar restrições
que impeçam que elas se tornem semanticamente fechadas, como, por exemplo, as
linguagens com a estrutura da matemática.
Resumindo, Tarski conclui que o Paradoxo do Mentiroso é um problema comum
às linguagens semanticamente fechadas, ou seja, aquelas que possuem predicados
semânticos como “verdadeiro”, “falso” e “satisfaz”, que podem ser aplicados às
próprias sentenças da linguagem. Todas as outras linguagens serão chamadas de
semanticamente abertas. Assim, nenhuma sentença de uma linguagem semanticamente
aberta pode predicar uma propriedade semântica de si mesma e, portanto, o Paradoxo do
Mentiroso não pode ser expresso nessas linguagens.
364
Logo, Tarski decide abandonar as linguagens semanticamente fechadas e
restringe seu estudo exclusivamente para as outras linguagens. Contudo, estas, não
contendo predicados semânticos aplicáveis às suas próprias palavras e sentenças, não
podem definir a verdade. A estratégia, então, é definir a verdade para uma linguagem
particular, através de uma outra linguagem: a metalinguagem.
Assim, devemos definir dois tipos de linguagens as quais serão (1933, p. 167;
1944, p. 341-343; 1969, p. 114-115):

Linguagem-Objeto: é a linguagem de que “se fala” e que é o tema de toda a
discussão; a definição da verdade, que estamos buscando, se aplica às sentenças
desta linguagem. O símbolo “p” que figura na forma T representa uma sentença
arbitrária desta linguagem.

Metalinguagem: é a linguagem em que “falamos acerca da” primeira linguagem
e, em cujos termos desejamos, em particular, construir a definição da verdade
para a primeira linguagem. Toda sentença que figure na linguagem-objeto
também deve figurar na metalinguagem, ou seja, ela deve conter a linguagemobjeto como parte dela. A metalinguagem deve ter a riqueza suficiente para
nomear cada uma das sentenças da linguagem-objeto. Deve conter termos de
caráter lógico, tal como a expressão “se, e somente se,”, e deve conter
predicados como “verdadeiro”, “falso” e “satisfeito” que são abreviações para
“verdadeiro-na-linguagem-objeto”, “falso-na-linguagem-objeto” e “satisfeito-nalinguagem-objeto”.
Como regra geral, temos então de distinguir as duas linguagens que estão
envolvidas em cada definição parcial de verdade – X é verdadeira se ,e somente se, p –,
por um lado, a linguagem na qual a definição é expressa (metalinguagem) e, por outro, a
linguagem a que pertence a sentença cuja verdade estamos a definir (linguagem-objeto).
Na convenção T, o símbolo “X” deve ser substituído por um nome de qualquer sentença
da linguagem-objeto e do símbolo “p” pela expressão que forma a tradução dessa
sentença na metalinguagem (TARSKI, 1933, p. 188).
Em outras palavras, a definição de verdade-em-O, em que O é a linguagemobjeto (a linguagem para a qual a verdade está sendo definida), terá de ser dada em uma
metalinguagem, M (a linguagem na qual verdade-em-O é definida).
365
Neste contexto, o perigo dos paradoxos pode ser evitado com o recurso a uma
metalinguagem. Por exemplo, a sentença que inicialmente nos conduziu a uma
contradição,
A sentença impressa na linha 14 da página 361 deste artigo é falsa-em-O,
que é uma sentença da metalinguagem e, consequentemente, não é paradoxal, ou seja, a
sentença pertence à metalinguagem, mas ela não é autorreferente e faz referência a uma
sentença da linguagem-objeto.
Considerações finais
Conforme exposto neste trabalho, a dificuldade em definir o conceito de verdade
está basicamente em decidir o que usar na sua definição. O lógico e matemático Alfred
Tarski construiu uma definição “formalmente correta e materialmente adequada” da
verdade, isto é, uma definição que preserva o real e intuitivo significado da noção de
verdade, que respeita as regras formais de uma dada linguagem e que é capaz de superar
os paradoxos, como o Paradoxo do Mentiroso. No entanto, sua conclusão foi que sua
definição não é possível para linguagens naturais, mas, que, em particular, é possível
para linguagens como da matemática.
Referências
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Lógica e os Fundamentos da Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 2006.
HAACK, S. [1978]. Filosofia das lógicas. Tradução: Cezar Augusto Mortari e Luiz
Henrique de Araújo Dutra. São Paulo: Editora Unesp, 2002.
KIRKHAM, R. L. [1992]. Teorias da verdade: uma introdução crítica. Tradução:
Alessandro Zir. São Leopoldo: Unisinos, 2003.
366
SANTOS, R. A verdade de um ponto de vista lógico-semântico. Lisboa: Fundação
Calouste Gulbenkian, 2003.
TARSKI, A. [1933]. The concept of truth in formalized languages. In: TARSKI,
1956, p. 152-278.
________. [1935]. The Establishment of Scientific Semantics. In: TARSKI, 1956, p.
401-408.
________. [1944]. The Semantic Conception of Truth and the Foundations of
Semantics. In: LYNCH, 2001, p. 331-363.
________. Logic, semantics, metamathematics. Tradução: J. H. Woodger. Oxford: At
the Claredon Press, 1956.
________. [1969]. Truth and proof. Scientific American, n. 220, p. 63-77. In:
HUGHES, 1993, p. 99-125.
367
SIMETRIA E ARQUITETURA: UM ESTUDO DE CASO DA IGREJA MATRIZ
DE VOTUPORANGA-SP
Rosemeire BRESSAN - IFSP – SP ([email protected])
Fernando Bermejo MENECHELLI – UNIFEV – Votuporanga-SP
Resumo: No presente trabalho, a simetria, que é um componente importante nos mais
diversos estilos arquitetônicos, incluindo templos religiosos, foi identificada em
elementos da arquitetura da Igreja Matriz de Votuporanga, uma igreja do estilo
neogótico, que apresenta os arcos ogivais, rosáceas, vitrais, abóbodas, etc. Com as fotos
da igreja em mãos, elas foram separadas de acordo com o objeto de estudo e
classificadas pelos elementos que elas possuíam. Nessa análise, identificou-se rosáceas,
vitrais, colunas, faixas de decoração do teto, abóbodas, pórticos. Um pouco da história
da Matriz também foi apresentada.
Palavras-chave: Simetria. Geometria. Arquitetura.
368
Introdução
A simetria, cujo significado é “com medida”, está presente em muitas áreas do
conhecimento como na biologia, física, química e artes. Em cada uma delas, ela sempre
esteve relacionada com harmonia, beleza e perfeição.
Mais conhecida por suas propriedades na matemática, essa simetria também
aparece em muitas construções arquitetônicas famosas como mostra a figura 1, o Taj
Mahal.
Figura 1: Taj Mahal.
http://www.flickr.com/photos/foje64/3171556835/sizes/o/in/photostream/
Como exemplo de civilização que utilizou a simetria em sua arquitetura, os
Islâmicos podem ser citados. Eles utilizam padrões com motivos florais, figuras
geométricas e caligrafia para decorar pisos e paredes. Para Ekhtiar e Moore (2012), uma
das características que define a arte islâmica é o uso abundante de padrões geométricos
para decorar uma grande variedade de construções e superfícies. Além disso, as
contribuições dos matemáticos islâmicos e outros cientistas foram essenciais para o
desenvolvimento desta forma única de ornamento, onde a união das ideias com o
conhecimento tecnológico avançado é refletida na exatidão matemática dos padrões
geométricos islâmicos.
O uso da simetria também ocorreu na construção de muitas igrejas quando o
estilo gótico foi introduzido por volta do século 12, onde os elementos pertencentes a
esse estilo são construídos fazendo uso de rotação, translação e reflexão. Exemplos
desses elementos são os arcos ogivais, vitrais, rosáceas, colunas dentre outros.
Para unir a simetria com o estilo gótico, uma solução foi analisar os
componentes do estilo gótico que aparecem na igreja Matriz de Votuporanga, cidade do
interior de São Paulo, e que a consolidam como uma das mais belas igrejas da região.
Para concretizar a proposta inicial, várias visitas foram feitas até à igreja, fotos foram
tiradas e, depois de separar os elementos mais marcantes, a identificação da simetria em
cada um desses elementos foi realizada. O resultado é apresentado na seção sobre
Simetria.
369
Um pouco da história da igreja e do estilo neogótico também fazem parte desse
trabalho. Para finalizar, algumas considerações são apresentadas, visando mostrar que é
possível identificar a matemática, a aplicação de conceitos matemáticos em diversas
áreas, até mesmo na construção de uma igreja.
Igreja Matriz: Um pouco de história
De acordo com o livro Tombo da igreja, a primeira Matriz de Votuporanga, que
pode ser vista na figura 2, começou a ser construída em 1939, onde hoje está localizada
a fonte da Praça Fernando Costa.
Figura 2: Primeira Matriz.
Em 1953, por não conseguir abrigar mais a população católica do município,
decidiram construir uma nova igreja, ocorrendo a benção solene da pedra fundamental.
Uma nova arquitetura mais robusta e mais imponente surgiu, não lembrando em nada a
antiga igreja.
O estilo utilizado na construção é o neogótico (neo de novo e gótico, estilo
característico dos séculos XII e XIII). Essa denominação ocorre pelo fato de estar
utilizando o estilo gótico, mas numa era que não é a do gótico. A nova matriz, que pode
ser vista na figura 3, foi inaugurada em 1958 com uma missa presidida pelo bispo
diocesano.
370
Figura 3: Igreja Matriz atual.
Os vitrais da igreja só foram colocados em 1960, ano em que o forro da igreja
foi concluído. A partir dessa data, a Matriz tem se tornado referência na região de
Votuporanga por sua beleza e grande acolhimento dos fiéis.
O estilo neogótico
O termo gótico foi popularizado por Giorgio Vasari (1511-1574), o fundador da
história da arte, para designar, em sentido negativo, a arquitetura das catedrais
relacionando-a com os Godos, que eram os bárbaros mais conhecidos. Daí então, o
estilo passou a ser chamado de gótico, ou seja, bárbaro por excelência.
Nesse estilo de construção, passou-se a ter uma construção vertical, diferente do
estilo românico, cuja estrutura é horizontal. Uma das características desse estilo é a
altura, cada igreja projetada era mais alta que as anteriores, demonstrando o tamanho da
fé dos cristãos, fato que pode ser observado na figura 4, onde as igrejas já construídas
passaram por reformas e, as novas, foram construídas de acordo com o novo estilo.
Figura 4: Efeito do surgimento do estilo gótico.
Afonso (2013) aponta como novo nesse estilo, a relação entre função e forma,
estrutura e aparência, ou seja, a importância dada à perfeita relação entre as diferentes
partes da igreja, em termos de proporções: a harmonia, baseada na geometria, como
fonte de toda beleza.
Para Klug(2002), o fato de as catedrais góticas permanecerem estáveis
indefinidamente, apesar da enorme altura, deve-se à sua geometria especial, onde forças
de pressão e de sucção se equilibram harmoniosamente para que a estrutura não ceda.
371
Além disso, Afonso (2013) diz que os fatores ideológicos e teológicos também
desempenharam um papel essencial na criação do estilo gótico, sendo a luz a presença
visível de Cristo segundo as escrituras, ela assumiu-se como elemento fundamental da
Estética da elevação do terreno para o espiritual.
Segundo Howarth (2001), gótico é a expressão da fé cristã sobre pedra. Por isso,
é a arquitetura das igrejas que surgiu na Europa no século XII. Essa arte está dividida
em estilos como o gótico irradiante (marcado pelo vazamento das paredes em forma de
rosáceas) e o flamejante (caracterizado pelo traçado do rendilhado das janelas, que
evocava a imagem de chamas agitadas pelo vento). Eles são marcados pelos arcos
ogivais, vitrais, rosáceas, abóbodas, pórticos, colunas, capitéis, pináculos, arcos
transversais e diagonais entre outros, como mostra a figura 5.
Figura 5: Elementos que compõem o estilo gótico.
Diversas igrejas foram construídas seguindo esse estilo. Dentre todas, algumas
das mais famosas são apresentadas na figura 6, a catedral de Milão, Reims e Chartres.
Figura 6: Igrejas construídas no estilo gótico.
372
Um elemento marcante desse estilo é uma torre alongada com cobertura em formato
semelhante a um cone que possui uma cruz ou um pináculo, que pode ser entendido
como um elemento terminal das torres e das paredes, muito marcantes nesse período. Os
pináculos da Igreja Matriz de Votuporanga e os arcos ogivais podem ser observados na
figura 7. Geralmente os arcos ogivais possuem a função de sustentação da nave, que é a
ala central da Igreja.
Figura 7: Arco ogival e pináculos da Matriz de Votuporanga.
Outro elemento marcante do gótico é a rosácea. Segundo Ducher (1992), a
rosácea possui o objetivo de iluminar a abóboda da nave e do transepto. Observa-se na
figura 8 uma das rosáceas da Igreja Matriz.
Figura 8: Rosácea da Matriz
Os vitrais translúcidos e coloridos, que têm a função de permitir a entrada de luz
e são peças fundamentais que compõem essa arquitetura, são inseridos nas janelas
alongadas da igreja como uma característica do gótico, podendo ser observados na
figura 15.
Os pórticos são elementos arquitetônicos estruturais ou de decoração que
possuem a função de grandeza e enfatizam aberturas como a entrada principal de uma
edificação. Portal é a palavra que se utiliza para criar um pórtico de acesso principal. O
gótico é trabalhado através de colunas (pé-direito) cobertas por um grande triângulo
pontiagudo bastante adornado. Esse portal geralmente é acessado por meio de uma
escadaria como mostra a figura 9, na entrada principal da Matriz.
373
Figura 9: Pórtico lateral e frontal da Matriz.
A abóbada é a forma mais primitiva de construção, podendo-se dizer que é uma
cobertura em forma de arcos, que se sustenta por meio do empuxo que é a força que a
abóbada faz nos encontros. A Figura 10 apresenta as abóbodas, com os arcos diagonais
e as colunas que sustentam os arcos e os frontões dos portais. As colunas têm origem na
arquitetura Greco-romana e são chamadas de ordens dóricas, jônicas e coríntias. As
catedrais góticas utilizam a ordem coríntia, que são composições adornadas com
capitéis, ou com motivos florais. Em muitos casos, há elementos que exprimem uma
função que não cumprem, por exemplo, as colunas que aparentam transmitir o peso das
abóbadas para o pavimento da igreja, mas sua função é decorativa.
Figura 10: Arcos e colunas
A Simetria
Utilizada para obter a perfeição, a simetria tem sido a ferramenta de muitos
artistas, serralheiros, pintores, arquitetos, decoradores e, até mesmo, da indústria têxtil e
de cerâmicas. Esse uso constante é decorrente da alta aceitação de produtos com
374
simetria no mercado imobiliário, artes, confecções e decorações. Como exemplo, a
figura 11 ilustra uma peça da cerâmica Marajoara, o Castelo Mourisco no Rio de
Janeiro, que abriga a fundação Oswaldo Cruz e um modelo de Arquitetura do Marrocos.
Figura 11: Exemplos da utilização da simetria
http://artcultmarajo.blogspot.com.br/ ,
http://literaturaeriodejaneiro.blogspot.com.br/2011_06_01_archive.html
http://pt.dreamstime.com/imagens-de-stock-royalty-free-arquitetura-marroquinatradicional-image22568539
Para Ching (1998), uma composição arquitetônica pode utilizar a simetria para
organizar suas formas e espaços de duas maneiras. É possível criar-se organização
construtiva inteiramente simétrica. Em algum ponto, entretanto, qualquer arranjo
totalmente simétrico terá de confrontar e resolver a assimetria de seu terreno ou
contexto.
Nas construções religiosas, os elementos simétricos que compõem a geometria
das igrejas são variados, podendo ser encontrados em diversos tipos de arquitetura,
desde o estilo mesopotâmico até o contemporâneo. Na Igreja Matriz de Votuporanga,
são observadas as rosáceas, vitrais, cúpulas, arcos e faixas decorativas. Todos esses
elementos possuem em comum a simetria que é composta por rotação, translação e
reflexão horizontal e vertical.
Segue a descrição de alguns elementos da Igreja Matriz:

A simetria das rosáceas
As rosáceas ou rosetas ou mosaicos circulares são elementos arquitetônicos
ornamentais muito usados antigamente em igrejas, palácios, museus, mesquitas e em
todo tipo de construção que merecesse destaque, dentro do estilo gótico e neogótico. Os
motivos são os mais variados: retilíneos, curvilíneos e irregulares que podem ser
observados na figura 12.
375
Figura 12: Modelos de rosáceas com motivos variados
Na Igreja Matriz, essas rosáceas estão presentes nas portas e nos vitrais que se
encontram no fundo e nas laterais da Igreja. A figura 13 mostra a porta principal da
Igreja com vista do altar.
Figura 13: Porta da Entrada Principal da Igreja Matriz
Na parte inferior observa-se a porta de entrada e, na superior, proporcionando
um aumento da claridade, uma janela de tamanho considerável, nas mesmas cores que a
porta principal. Analisando a porta de entrada frontal, tem-se uma rosácea com formato
de cruz na parte superior e duas outras, com mais divisões, na parte inferior.
A rosácea apresentada na figura 14 possui simetrias de rotação, reflexão
horizontal e vertical. Esse tipo de rosácea é o mais comum, pois a sua confecção se
torna fácil, já que é possível dividi-la em quatro partes iguais, ou seja, aplicando uma
rotação de 90º.
376
Figura 14: Rosácea inferior e superior da porta principal.
As linhas tracejadas representam reflexão horizontal e vertical. A linha contínua
com uma seta serve para representar a rotação, cujo roto-centro ou centro de rotação
está marcado com um círculo no centro da rosácea. A rosácea que se encontra na parte
superior da porta é uma construção que apresenta as mesmas simetrias da rosácea
inferior, mas de uma maneira mais simples. As portas laterais também possuem duas
rosáceas cada uma. Essas rosáceas apresentam simetrias iguais às que foram exibidas na
figura 14. A figura 15 mostra uma dessas rosáceas.
Figura 15: Rosácea da porta lateral
O vitral que aparece na figura 16 está localizado no fundo da igreja. Observe que
na parte superior do mesmo, tem-se uma rosácea, cujos detalhes podem ser vistos na
mesma figura.
Figura 16: Rosácea do vitral no fundo do altar
As simetrias utilizadas nessa rosácea são iguais às já apresentadas: rotação de 90º,
reflexão na horizontal e reflexão na vertical. No vitral lateral tem-se a rosácea mostrada
na figura 17, que possui o mesmo padrão das anteriores com uma variação nas cores.
377
Figura 17: Rosácea contida no vitral lateral

A simetria das faixas
As faixas decorativas também estão presentes em construções atuais. Como
exemplos, têm-se as que são utilizadas em pisos, azulejos e gesso. Na Igreja Matriz, elas
aparecem no teto e no contorno dos vitrais. Na figura 18, é apresentado o teto que
compõe a cúpula do altar, todo revestido com faixas, separando cada desenho que o
cobre.
Figura 18: Cúpula do altar dividida em várias seções
Essa cúpula é dividida em várias partes que são separadas por faixas de
motivos variados. A primeira faixa a ser observada com detalhes é a que aparece na
figura 19. Ela é construída com duas cores e possui as simetrias de translação, reflexão
horizontal, reflexão vertical, rotação e translação refletida. O esquema geométrico do
padrão contido nessa faixa, com as respectivas simetrias, é representado também nessa
figura.
378
Figura 19: Faixa decorativa e esquema geométrico
As linhas tracejadas representam as reflexões na horizontal e na vertical, o
semicírculo mostra a rotação de 180º e, os círculos preto e branco, mostram os
rotocentros. É possível observar o eixo de simetria de reflexão vertical em dois pontos
diferentes, um passando pelo centro do detalhe e o outro na junção dos semicírculos
ocorrendo o mesmo com a rotação. Quando se constrói uma faixa, a rotação utilizada é
sempre de 180º.
A única simetria que não foi identificada na figura 19 é a translação refletida. De
acordo com Bressan (2006), essa transformação consiste em refletir horizontalmente e
transladar a figura. Então, o movimento final é o mesmo da reflexão horizontal. Dessa
maneira, toda vez que ocorrer a reflexão horizontal, também ocorre a translação
refletida. Para os padrões de faixas, há sete maneiras diferentes de construção. O padrão
identificado na faixa é o que apresenta todas as simetrias e tem o maior número de
ocorrências em objetos tais como janelas, portões, grades e portas.
Juntamente à faixa apresentada na figura 19, existe outro tipo de faixa cujos
detalhes são apresentados na figura 20 e, cuja função, é contornar o desenho na parede,
separando-o dos demais.
Figura 20: Modelo de faixa utilizada no teto.
Essa faixa pode ser esquematizada geometricamente, como mostra a figura 21,
sendo possível observar as simetrias de translação e reflexão na vertical, com dois eixos.
379
Figura 21: Esquema geométrico da faixa com representação das simetrias.
Na figura 22, tem-se a combinação das duas faixas apresentadas nas figuras 19 e
20 que aparecem teto da Igreja, demonstrando beleza, simetria e perfeição.
Figura 22: Teto da igreja com vista de baixo.
Além da combinação dessas duas faixas, a Igreja possui outras, dentre as quais a
que está na Figura 23. Nessa combinação de faixas, percebe-se outro estilo para as cores
e para os formatos utilizados em cada parte que compõe o resto do teto da nave
principal.
Figura 23: Teto da igreja decorado com vários tipos de faixas.
Analisando uma dessas faixas, pode-se concluir que o artista, até pelo tamanho
do teto, escolheu um padrão fácil para ser utilizado e que aparece novamente no teto do
380
altar, em outra cor. No esquema apresentado na figura 24, existe uma aproximação de
uma das faixas do teto com a representação dos eixos de reflexão.
Figura 24: Esquema geométrico da faixa
O padrão dessa faixa é o mesmo da faixa apresentada na figura 21, possui as
simetrias de translação e reflexão vertical. A segunda faixa dessa combinação é bem
parecida com a faixa da Figura 20. A figura 25 a apresenta com mais detalhes,
juntamente com o esquema geométrico.
Figura 25: Combinação de faixas no teto
Considerações finais
Simetria, como largo ou estreito, como você pode definir
seu significado, é uma ideia pela qual o homem através
dos tempos tenta compreender e criar ordem, beleza e
perfeição.
Hermann Weyl
O conteúdo de simetria permite uma relação com diversas áreas do conhecimento. No
presente trabalho, ela foi relacionada com a arquitetura, relação essa que permitiu
analisar alguns elementos do estilo gótico com um olhar matemático, pesquisar sobre a
história da igreja Matriz de Votuporanga e conhecer um pouco sobre civilizações que
utilizaram e utilizam a simetria em suas construções, até hoje. Para muitos, ela faz parte
do estilo, da cultura e muito mais que isso, da vida de cada cidadão que vive para
construir, pintar, esculpir ou criar.
Atualmente, os elementos geométricos da simetria que são aplicados à arte em geral,
são conhecidos e estudados apenas por arquitetos, designer e artistas plásticos, porém,
uma expansão desses conhecimentos para a sala de aula pode ser possível por meio da
381
interdisciplinaridade entre a matemática, a história e a educação artística. Bovo (2004)
afirma que
...a ação pedagógica da interdisciplinaridade aponta para a
construção de uma escola participativa, que deriva da formação
do sujeito social, em articular saber, conhecimento, e vivência.
Para que isso se efetive, o papel do professor é fundamental no
avanço construtivo do aluno. É ele, o professor, que pode
perceber as necessidades do aluno e o que a educação pode
proporcionar ao mesmo. A interdisciplinaridade do professor
pode envolver e instigar o aluno a mudanças na busca do saber.
Tomando como base esse trabalho, é possível transformá-lo em um projeto a ser
desenvolvido com alunos do ensino fundamental e médio, juntamente com professores
que se interessarem. O professor pode agendar uma visita técnica com alunos até uma
igreja que apresente diversos elementos para serem explorados, os alunos tiram fotos do
que acham interessante para depois, na escola, realizarem as atividades propostas pelos
professores de matemática, artes ou história. Esse aluno entrará em contato com uma
variedade muito grande de conceitos que passarão de uma disciplina para outra,
mostrando ao aluno que existe relação entre as disciplinas, que nenhuma ciência foi
construída isoladamente, fazendo com que ele adquira um conhecimento utilizável, com
significado, aplicado em situações do seu dia a dia e que relacione diversas áreas do
conhecimento.
Referências
AFONSO, L. O. Gótico Português: História da Arquitetura. Universidade Lusófona
do
Porto,
2013.
Disponível
em
http://www.academia.edu/2983892/O_Gotico_Portugues.
BOVO, M. C. Desenvolvimento da Educação Interdisciplinaridade e
Transversalidade como Dimensão da Ação Pedagógica. Revista Acadêmica
Multidisciplinar Urutágua (UEM), v. 7. p. 1-12.2004.
BRESSAN, R. Construindo faixas simétricas. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL
DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 2006, Águas de Lindóia.
Anais... Águas de Lindóia: SBEM, 2006. 1 CD-rom.
382
CHING, F. D. K. Arquitetura – Forma, espaço e ordem. São Paulo: Martins Fontes,
1998.
DUCHER, R. Características dos estilos. São Paulo: Martins Fontes, 1992.
EKHTIAR, M. D., MOORE, C. Art of the Islamic World: A Resource for Educators.
New York: The Metropolitan Museum of Art, 2012.
HOWARTH, E. Crash Course in Architecture. New York: Barnes & Noble Books,
2001.
KLUG, Sonja U. Catedral de Chartres: a geometria sagrada dos cosmos. São Paulo:
Madras, 2002.
CONCEPÇÕES DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: UM
ESTUDO A PARTIR DE NARRATIVAS
Maria Ednéia Martins Salandim ([email protected])
383
Resumo: Neste artigo tematizamos diferentes concepções de formação de professores
que predominaram no estado de São Paulo até final da década de 1960 e de que modo
estas concepções influenciaram a criação e manutenção de cursos que formavam
professores. Nossas reflexões são parte de nossa pesquisa de doutorado (MARTINSSALANDIM, 2012), na qual estudamos o movimento de expansão dos cursos de
Matemática pelo interior do Estado de São Paulo, o qual se intensificou em meados dos
anos 1960. Foi a partir de quinze narrativas, usando a metodologia da História Oral,
constituídas juntamente com professores e alunos que participaram da estruturação dos
anos iniciais destes cursos e a partir de estudo específico sobre o termo “ licenciado”
que pudemos disparar uma reflexão sobre diferentes concepções de formação de
professores, particularmente áquelas voltadas para atuação em Matemática. Nossas
análises, diparadas pelas narrativas, evidenciaram que os diferentes cursos de
Matemática receberam diferentes influências, e em diferentes ênfases, tanto de outros
cursos já existentes, da demanda que buscavam atender, das reestruturações políticas,
econômicas e educacionais efetivadas à época e dos profissionais que neles atuaram,
sendo que identificamos a existência de pelo menos três modelos de formação neste
período, mas que de modo geral traduziam uma deformação no já conhecido modelo “
3+1”. Foi nestas diferentes influências e demandas que os cursos atendiam que as
diferentes concepções revelaram-se e nos auxiliaram a pensar sobre modos como cursos
de Licenciatura em Matemática foram se constituindo: nascidos sem estrutura própria,
afetados por legislações, pela demanda de profissionais e por interesses dos envolvidos
nos cursos, as licenciaturas foram se constituindo nos desvãos das práticas, das teorias,
das legislações e dos interesses políticos e econômicos.
Palavras-chave: Licenciatura em Matemática. Formação de professores. História da
Educação Matemática.
Introdução
O estudo da dinâmica de expansão dos cursos de Matemática pelo interior
paulista até a década de 1960, durante nossa pesquisa de doutorado (MARTINSSALANDIM, 2012), permitiu-nos auscultar concepções relativas à formação de
384
professores implícitas nas alterações estruturais do ensino superior, ainda que nem todos
os cursos criados naquela década oferecessem a modalidade licenciatura, que se
estabeleceu via legislação naquela década. Para aquela pesquisa, além de fontes escritas
– documentos e registros cartográficos, por exemplo – constituímos quinze narrativas
envolvendo vinte professores que participaram dos momentos iniciais de criação e
instalação de cursos de graduação de Matemática, seja como alunos, professores e/ou
gerenciadores, especificamente nos cursos localizados nos municípios de Araraquara,
Campinas, Dracena, Presidente Prudente, Santo André, São José do Rio Preto, Taubaté
e Tupã – os quais foram criados nos anos 1960. A constituição das narrativas escritas a
partir de entrevista com cada depoente deu-se segundo a metodologia da História Oral.
A partir da constituição dos dados para a pesquisa – valendo-nos de fontes orais
e escritas-, um dos eixos de análise contemplou o tema concepções de formação de
professores. Neste nosso texto, inicialmente tratamos os cursos como de Matemática e
não especificamente como licenciaturas, uma vez que a terminologia, tal como a usamos
na atualidade surge com a 1ª Lei de Diretrizes e Bases Nacionais, sendo que
anteriormente o termo licenciado assume outras caracterizações. Como início de um
abordagem a essas concepções, uma análise do termo "licenciado" nos ajuda a
compreender a estrutura dos cursos de graduação para formação do professor de
Matemática
O termo "licenciado"
De acordo com Castro (1974), embora a formação do professor para o ensino
secundário (ou equivalente) tenha se estruturado nas Faculdade de Filosofia, Ciências e
Letras (FFCL), o termo “licenciado” nem sempre esteve propriamente vinculado a essa
formação. O Estatuto das Universidades Brasileiras, de 1931, referia-se ao professor dos
cursos de ensino secundário, nas Ciências, nas Letras e na Educação, como licenciado.
As primeiras legislações da USP-SP atribuíam o título de "licenciado" a todos os
graduados nas diferentes seções da FFCL e "licenciados com direito ao exercício do
Magistério" àqueles que realizavam a formação pedagógica no Instituto de Educação
Posteriormente, o termo "licenciado" foi substituído pela expressão "licenciado em
filosofia, ciência ou letras" e "licenciados com direito ao exercício do Magistério" por
"licenciado para o magistério secundário". No entanto, ainda que alteradas as
385
nomenclatura, mantém-se a ideia geral: para graduar-se professor, primeiro era preciso
licenciar-se e depois, obrigatoriamente, passar por uma formação pedagógica, o que não
necessariamente era a regra para os professores em exercício, uma vez que as exceções
impunham-se dada a falta de profissionais para atuar no ensino secundário.
Uma primeira alteração no significado do termo “licenciado” é identificada por
Castro (1974) na documentação relativa à organização da Faculdade Nacional de
Filosofia no Rio de Janeiro, em 1939, quando era conferido o título de "bacharel em"
aos graduados, de acordo com a área específica cursada e, junto a esse título, o de
“licenciado em”, na mesma área específica, aos bacharéis que concluíssem o “curso de
Didática”, composto por seis disciplinas, que substituía a “formação pedagógica”
anterior. No entanto, ainda mantinha-se a regra: para licenciar-se era obrigatório ser,
antes, bacharel.
Outra possibilidade, mas não obrigatória, apresentou-se a partir de 1946 para os
alunos no quarto ano dos cursos da FFCL: aqueles que buscavam o bacharelado
poderiam prosseguir em duas ou três "cadeiras", e aqueles que buscavam a licenciatura
receberiam formação didática, teórica e prática em ginásio de aplicação, devendo
também cursar a disciplina “Psicologia Aplicada à Educação”.
Mesmo com tais
reestruturações, a formação de professores continuava a seguir o modelo "três mais um"
- três anos de formação em disciplinas específicas e mais um ano de formação
pedagógica.
Com a promulgação da Lei de Diretrizes e Bases (LDB) de 1961, alterações
mais significativas nas estruturações dos cursos de formação do professor são
percebidas. Foram estabelecidos os currículos mínimos e incluídas as disciplinas
pedagógicas. Mantinham-se as disciplinas comuns, mas os diplomas de licenciado não
pressupunham mais o bacharelado e fixavam a duração dos cursos em quatro anos. Com
essas iniciativas, o termo licenciatura passou então a ser utilizado como sinônimo de
curso de formação de professores para o ensino de nível médio.
A partir de 1965 os cursos passaram a ter sua duração contada em horas-aula e
surgiram as licenciaturas curtas para formar professores (polivalentes) de Ciências,
Letras e Estudos Sociais para o curso ginasial. Continuavam ainda vigentes os exames
de suficiência, em geral prestados após realização do curso da CADES (Campanha de
Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário), que, entretanto, não licenciavam os
386
aprovados, mas davam a eles um registro temporário para exercício do magistério
secundário com validade condicionada à inexistência de cursos de graduação
específicos em sua região de atuação.
Após a reformulação da LDB, em 1971, as licenciaturas ficaram divididas em
curta (voltadas à formação do professor para o primeiro grau, de quinta a oitava série) e
plena (para o segundo grau), com redução de sua duração mínima para três anos, no
caso da licenciatura plena, e um ano e meio, no caso da curta. Esta legislação implicou a
extinção dos exames de suficiência e dos cursos da CADES.
Outras legislações posteriores provocaram alterações na estrutura dos cursos de
licenciatura, mas manteve-se a separação, até hoje existente, entre o bacharelado e a
licenciatura. Estas determinações das legislações para a formação de professores não
necessariamente causaram mudanças imediatas na condução das licenciaturas, o que
pudemos perceber mais claramente nas e a partir das narrativas que constituímos com
professores/alunos dos cursos tematizados.
Concepções de formação de professores
Deve-se ressaltar que as concepções não estão disponíveis, como um dado, nas
narrativas de nossos depoentes. As concepções são leituras e, portanto, significados
atribuídos. A narrativa dos depoentes – que é um espaço de dizeres da memória,
carregados de intenções, em que se relatam experiências e práticas – nos permite
compreender não as experiências ou as práticas em si, mas o que, segundo nossa
atribuição de significados, podemos inferir a partir da intenção de compartilhar a
experiência e as práticas. A rigor, nem estão no depoimento as experiências e as
práticas, mas “invenções/criações” dessas experiências e práticas. Questão de mesma
natureza é aquela relativa às concepções. O dizer sobre as práticas, sobre as
experiências (e até mesmo, quando é o caso, sobre as concepções, elas próprias), nos dá
parâmetros para a atribuição de significados ao que pensamos poderem ser as
concepções que alimentam (e são alimentadas) pelas práticas/experiências/concepções
relatadas.
Desse modo, foi a partir das narrativas de nossos entrevistados que pudemos
identificar e compreender melhor as concepções de formação de professores de
387
Matemática que permearam a década de 1960, e como concepções já existentes
modificaram-se ou não diante de novas demandas, legislações e políticas públicas.
Nossas análises apontaram que, embora implementados de formas distintas, os
programas dos cursos de graduação para professores de Matemática parecem ser regidos
por uma disposição comum: são regulados a partir de um currículo inicial composto por
disciplinas específicas de conteúdo matemático seguidas de disciplinas pedagógicas.
Aspectos do funcionamento dos cursos, suas estruturas curriculares, o modo
como atendiam às (ou subvertiam as) legislações vigentes, percebidos a partir das
narrativas, foram analisados em um contexto mais amplo, já que o modo como
percebemos a formação do professor de Matemática está essencialmente articulado ao
processo de estruturação tanto do ensino superior brasileiro via faculdades isoladas
quanto da organização dos cursos de pós-graduação, em particular em Matemática.
A formação de professores na FFCL da USP-SP, destacamos, foi colocada em
segundo plano em relação à necessidade de criar, no Brasil, um campo de pesquisa
científica nas diversas áreas do conhecimento e foi no modelo curricular daquela
Universidade que muitos outros cursos basearam-se, ainda que oferecessem apenas a
modalidade licenciatura.
No entanto, os cursos “novos”, criados no interior do estado de São Paulo,
contaram com pouco apoio de profissionais daquela instituição “central” que, inclusive,
já tinham se colocado contrariamente à expansão das faculdades pelo interior,
recusando-se a criá-las como incorporadas à USP, o que forçou a criação dos IIES,
Institutos Isolados de Ensino Superior, vinculados ao Estado (VAIDERGORN, 2003;
BERNARDO, 1989). Oferecidos no período diurno, esses cursos também não atendiam
aos professores que já exerciam a profissão com a certificação oferecida pela CADES.
Não parece ter havido preocupação alguma em facultar a esses professores o acesso aos
cursos: além do horário incompatível com as atividades de docência nas escolas da
região, não foi implantado nenhum mecanismo para priorizar o ingresso de professores
em exercício. Além disso, em tais cursos, com elevado nível de exigência, os alunos
organizavam-se em grupos de estudos, o que ampliava o horário de funcionamento das
atividades escolares, tornando-os, na prática, cursos integrais, afastando ainda mais os
professores em atuação no ensino secundário. A partir das 15 narrativas constituídas
para nossa pesquisa, podemos destacar que os cursos oferecidos em Presidente
388
Prudente, Araraquara e São José do Rio Preto pertenciam à Faculdades de Filosofia,
Ciências e Letras, vinculadas aos Institutos Isolados, nos quais parece não ter havido a
preocupação com a formação desse quadro – à época já quantitativamente significativo
– de professores secundários, o que pode ser considerado como uma negligência das
instituições públicas com a formação daqueles professores que já atuavam. Tal
negligência implica, como consequência, a manutenção e a potencialização da
concepção segundo a qual a prática pode ser suficiente para o exercício da docência,
uma concepção já claramente esboçada a partir dos cursos aligeirados da CADES. A
influência da pós-graduação em Matemática sobre estas licenciaturas é percebida, uma
vez que terminada a graduação, muitos alunos começam a optar por esses cursos. Nas
licenciaturas em Matemática cujos professores foram cursar pós-graduação em
Matemática Pura buscava-se ampliar ainda mais a formação em Matemática: resultado
da autoanálise desses professores-egressos quanto a sua formação, que julgavam, agora,
insuficiente para a continuidade na carreira em pesquisa. Vinculado a isso, percebe-se
que há uma nova demanda estabelecendo-se (ou criam-se estratégias para que tal
demanda se crie): atrair e encaminhar graduados, bacharéis ou licenciados, para a pósgraduação em Matemática Pura. Desse modo, podemos dizer que a licenciatura em
Matemática serviu ao próprio desenvolvimento da Matemática no país, uma vez que se
tornava inviável a criação de cursos apenas de bacharelado em Matemática, pela pouca
procura e pequena quantidade de formados por turma, o que implica terem sido os
cursos de licenciatura grandes formadores de um público específico, com o qual, por
sua própria natureza, esses cursos não deveriam se ocupar: aquele manancial de
profissionais que criaria e sustentaria as comunidades de pesquisa em Matemática. O
fato dessas comunidades serem incipientes à época deixava o campo da formação na
graduação aberto aos professores pós-graduados, que atuavam prioritariamente no
ensino, uma vez que a produção em pesquisa, ainda era bem inicial, e que só aos poucos
estes espaços vão se estabelecendo e estes professores, em consequência, vão se
inserindo propriamente no universo da pesquisa. Assim, as salas de aula dos cursos de
licenciatura foram, nesse momento de expansão tanto dos cursos pelo estado de São
Paulo quanto do sistema de pós-graduação, laboratórios para a formação de
pesquisadores em Matemática, mesmo nos poucos casos em que a preocupação dos
professores formadores estava, inequivocamente, voltada ao ensino. Torna-se evidente
que os objetivos iniciais destas licenciaturas em formar professores para o ensino
secundário concorrem com a formação tanto do quadro docente para o próprio curso –
389
uma vez que muitos dos alunos eram convidados a permanecer como professores –,
quanto para outros cursos em fase de criação, um estado de coisas que nos permite
reiterar que as carências e urgências caracterizam também a constituição dos cursos de
Matemática no Brasil. Para atender a demanda de formar professores para o ensino
secundário – um argumento que justificou a necessidade de instalação de FFCL pelo
interior paulista (VAIDERGORN, 2003; BERNARDO, 1989) – cria-se uma demanda
paralela: a de formar os quadros docentes para o ensino superior (os professoresformadores-de-professores). Esse ciclo de necessidades interfere significativamente no
modelo dos cursos de licenciatura em Matemática.
Se por um lado identificamos, nas narrativas, um modelo de licenciatura em
Matemática com objetivos muito próximos aos do bacharelado, detectamos, por outro
lado, também nas narrativas, cursos cujo foco estava na Matemática Aplicada. Esse
novo campo de atuação, em alguns casos foi alavancado pelas Matemáticas Modernas e
pelos novos conteúdos que passaram a ser incorporados à Matemática escolar, em
outros, surgiu como decorrência da necessidade de atender diretamente ao mercado e à
indústria, que começavam a conviver com os computadores - cujo objetivo era formar
um profissional "completo", que pudesse atuar não apenas como professor. Essa
estrutura era amparada por um discurso que enfatizava não a formação sólida para a
docência ou para a pesquisa, mas para a atuação profissional em mercados de trabalho
nascentes, complexos, informatizados e competitivos, um profissional que até poderia
atuar como professor na falta de outras opções de trabalho. A formação do professor,
assim, não era central ao curso, e a licenciatura era vista como consequência de uma
formação geral.
Detectamos, também a partir das narrativas, um outro modelo de formação,
aquele que visava a uma formação muito próxima, em suas intenções, daquela
pretendida anteriormente pela CADES - atender os professores em efetivo exercício do
magistério, “formalizando" a experiência de docência desses professores. Estes cursos
tinham como base a estrutura curricular do curso de Matemática de Guaxupé/MG, onde
alguns dos professores atuantes se graduaram. Estes cursos formaram uma quantidade
maior de professores e, embora presenciais e noturnos, facultava aos alunos a
possibilidade de frequência apenas em dois dias da semana, sextas-feiras à noite e
sábados. Tal estratégia visava a atender os alunos que, embora residentes na região, por
atuarem como professores, não podiam frequentar todas as aulas. Esta é uma
390
estruturação não prevista em lei, mas implantada nos desvãos das legislações vigentes:
trata-se de um modo de condução diferenciado num curso estruturado para ser
presencial. Trata-se, portanto, do avesso das concepções que já pudemos esboçar: nesses
cursos, a formação matemática não é nem central, tendo valor “em si”, nem priorizada
em função de um determinado mercado: ela vem com o estudante, é inerente ao
estudante que com ela toma contato na prática escolar. À prática, portanto, basta a
experiência da prática. Esta concepção de formação de professores de Matemática
centra-se no argumento de que o professor em atuação já estava formado, dominava os
conteúdos a serem abordados com seus alunos, faltando-lhes apenas o diploma – mera
exigência formal – para continuar professor, uma vez que começava a surgir, ainda que
timidamente, um número maior de professores graduados na região. Mesmo nesses
cursos, as disciplinas de formação pedagógica são posteriores às de conteúdo
propriamente matemático e também nesses cursos, alguns ex-alunos, convidados,
atuaram como docentes.
Passada a década de 1960, quando a expansão quantitativa de cursos de
Matemática pelo interior do estado de São Paulo foi bastante significativa, havia ainda
muita carência de professores formados, pelo menos em algumas regiões específicas,
ainda que algumas instituições já tivessem atingido certo nível de excelência tornandose, inclusive, referência na implantação de outros cursos pelo estado e mesmo pelo
Brasil, em alguns casos – como ocorreu com a FFCL de São José do Rio Preto, de Rio
Claro e de Presidente Prudente e a UNICAMP – chegando mesmo a estruturar
Programas de Pós-Graduação em Matemática. Estes contrastes entre as instituições
interioranas do estado de São Paulo, cremos, ficaram registrados em nossa pesquisa.
À exceção da UNICAMP, todas as outras instituições que consideramos em
nossa pesquisa ofereciam a modalidade licenciatura em Matemática, tanto isoladamente
quanto em concomitância com curso de Matemática Aplicada ou o bacharelado. No
entanto, em todos os cursos criados após a LDB de 1961 – que estabelecia a separação
dos cursos de bacharelado e licenciatura em Matemática, extinguindo o modelo de
formação "3+1" (CASTRO, 1974) –, a formação em Matemática é mantida nos anos
iniciais e a formação pedagógica nos anos finais do curso. Isso implica que a legislação,
embora altere alguns conceitos, nomenclaturas e procedimentos, não altera o modelo
vigente de formação do professor. Na prática, surge um modelo deformado de formação
391
de professores de Matemática – ainda chamado de "3+1" –, que deixa a formação
específica nos anos iniciais do curso e a pedagógica nos anos finais.
No entanto, parece claro que a manutenção desta estrutura na formação de
professores não significa que se pretendesse, sempre, formar o bacharel em detrimento
do professor. Alguns destes cursos, embora estruturados segundo esse modelo, tiveram
ou o objetivo de certificar o professor já em atuação ou o de formar um profissional apto
a atuar em diferentes ramos. Alguns, ainda, voltaram-se, ao seu modo e segundo seus
interesses, ao professor de Matemática do ensino secundário. Parece-nos que os cursos,
por sua própria natureza, embora todos na modalidade licenciatura são conduzidos a
partir das expectativas que se tem sobre os futuros alunos.
Algumas considerações finais
A licenciatura como instância de formação profissional do professor não foi
assumida efetivamente pela maioria dos cursos, e a formação do professor mostrou-se
ora como decorrência de uma formação em nível superior, ora como apêndice do
bacharelado, ora como mero resultado de uma série de experiências práticas do
cotidiano. Desse modo, cremos nunca ter se constituído, efetivamente, um espaço
específico para esta formação. Nascida sem estrutura própria (a julgar pela acepção de
formação de professores que defendemos hoje), vitimada por legislações que nunca
tiveram como central a necessidade de atender adequadamente a demanda da escola, as
licenciaturas vão se constituindo nos desvãos: nos desvãos das práticas, das teorias, das
legislações, dos interesses políticos e econômicos.
Na história da formação de professores no Brasil pode-se perceber a frequência
com que são mobilizados os verbos “graduar”, “certificar” e “formar”. Isso deve
significar alguma coisa: no mínimo, marca a flexibilidade que caracteriza a formação
docente e, como decorrência, marca a inexistência de uma identidade mais estável dos
cursos de licenciatura.
Referências
392
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393
REFLEXÕES SOBRE MATEMÁTICA, INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL,
CONSCIÊNCIA E CINEMA
Leandro Carvalho JULIO – IFSP/Caraguatatuba ([email protected])
Ricardo Roberto Plaza TEIXEIRA – IFSP/Caraguatatuba ([email protected])
Resumo: Este trabalho pretende realizar uma reflexão sobre uma das mais importantes
questões em aberto da atualidade: a discussão a respeito da área da inteligência
artificial, enfatizando as suas interfaces com a matemática. O debate sobre o caráter da
consciência humana permite uma gama imensa de interpretações e argumentos. Há uma
série de obras de divulgação científica envolvendo temas relacionados à questão da
Inteligência Artificial (IA) e que estabelecem relações interdisciplinares entre diferentes
campos de conhecimento: matemática, física, computação, neurociência, filosofia,
linguística. Discussões com este teor possibilitam explorar a curiosidade dos alunos e
trabalhar interdisciplinarmente com professores de diferentes áreas e níveis de ensino,
tendo como eixo a ideia de inteligência artificial, um tema contemporâneo que ainda é
pouco abordado em termos educacionais no Brasil. Foi realizado um levantamento
bibliográfico e uma revisão da literatura existente sobre o tema, de modo a fundamentar
teoricamente este trabalho. Além disso, foi feito um levantamento extenso sobre filmes
e documentários que abordam a questão da inteligência artificial. O projeto no qual este
trabalho está inserido envolve também a realização de uma apresentação audiovisual e
interdisciplinar a respeito do tema da inteligência artificial, inclusive com a inserção e
análise de cenas de documentários e de filmes pertinentes à pesquisa, apresentação esta
destinada a um público diversificado com o intuito de despertar o interesse pelas
questões que envolvem esse tema. O estudo de como o cérebro funciona e sobre se as
suas funções são ou não computáveis, ou seja, de quais são as semelhanças e diferenças
entre a mente humana e um computador será possivelmente uma das áreas de fronteira
da ciência de maior importância nas próximas décadas: isto justifica um esforço de
pesquisa e investigação nesta área.
Palavras-chave: Inteligência artificial, matemática, consciência, computação, filosofia,
cinema.
394
Introdução
Um trabalho como o proposto por este artigo se caracteriza essencialmente pela
sua interdisciplinaridade, pois o estudo da Inteligência Artificial (IA) permite
estabelecer pontes entre diversas disciplinas “fundamentais” da educação básica:
Matemática, Física, Linguagens, Filosofia, Artes, História, Geografia e Informática.
Pelos desdobramentos que pode provocar, o estudo da Inteligência Artificial será
com certeza cada vez mais relevante ao longo do século XXI. Portanto, na educação
será crescentemente mais importante explicar para os alunos os motivos de porque
estudar temas associados a esta área do conhecimento, apontando as suas perspectivas e
o mercado de trabalho existente. Além disso, é fundamental incentivar a curiosidade dos
alunos, mostrando que, sobretudo em campos de conhecimento que estão na fronteira da
ciência, há possibilidades reais de realizar algo realmente grande. Entretanto, para tanto,
é preciso somar a dedicação e o esforço ao prazer pelos estudos: estes são os alicerces
para quem almeja criar e descobrir coisas relevantes para o futuro.
O estudo da Inteligência Artificial permite desmistificar a ideia de que as
máquinas servem para superar os seres humanos em suas características; o seu propósito
é nos fornecer cada vez mais habilidades de diversos outros tipos. A área da Inteligência
Artificial inter-relaciona vários campos de conhecimento, mas neste trabalho estaremos
focando, sobretudo, algumas áreas: computação, matemática, filosofia, física e
neurociência. A área contemporaneamente conhecida como filosofia da mente, por
exemplo, apresenta discussões fascinantes a respeito de como a mente humana funciona
e está associada ao que existe de mais relevante na fronteira do conhecimento humano
atual. Há alguns livros que podem ser úteis para uma introdução a este respeito
(CHANGEAUX e CONNES, 1996; CHRISTIAN, 2013; CHURCHLAND, 2004;
KHALFA, 1996; PESSIS-PASTERNAK, 1993; TEIXEIRA, 1996). Em português, o
site filosofiadamente.org é uma boa fonte para quem deseja se iniciar no estudo desta
área. A física como ciência também apresenta várias inter-relações com a área da
inteligência artificial e há várias obras em português que exploram estes aspectos
interdisciplinares (GREENE, 2012; KAKU, 2012; PENROSE, 1993).
Muitos filmes e séries televisivas especulam sobre o futuro da Inteligência
Artificial. Alguns dos exemplos mais conhecidos são: 2001 – Uma odisseia no espaço;
395
Matrix; O exterminador do futuro; O vingador do futuro; Blade Runner – O caçador de
androides; Eu, Robô; Ela. Estes filmes, ou pelo menos cenas deles, podem ser bastante
úteis como motivadores de discussões científicas e filosóficas acerca do tema.
O estudo da Inteligência Artificial está associado a muitos conceitos que se
confundem em parte (cérebro, mente, consciência, inteligência, eu, ego, alma, espírito) e
a muitas atividades que caracterizam os seres humanos (pensar, saber, conhecer;
deduzir; ter empatia; aprender). Historicamente, a Inteligência Artificial como campo de
conhecimento iniciou-se, sobretudo, a partir do trabalho seminal de Alan Turing (1950)
intitulado “Computação e inteligência”. Este projeto pretende justamente trabalhar com
algumas das diversas das questões que surgiram a partir deste artigo de Turing.
Quatro nomes se destacam na história da matemática no século XX e que estão
associados às questões originárias dos desafios postos pela ciência da computação: Alan
Turing (LEVIN, 2009; STRATHERN, 2000; HODGES, 2001), Kurt Gödel
(CARNIELLI, 2009; GOLDSTEIN, 2008), Alonzo Church (SCOTT, 2012) e Claude
Shannon (GLEICK, 2013). Neste artigo, daremos uma ênfase maior ao trabalho de Alan
Turing.
A ideia de Alan Turing sobre computabilidade
O matemático britânico Alan Turing desenvolveu um importante trabalho a
respeito do caráter intrínseco da computação e das suas relações com a matemática; um
de seus artigos mais importantes é exatamente sobre o que foi denominado de números
computáveis (TURING, 1936). Conforme foi desenvolvendo suas ideias sobre o
processo computacional, ele percebeu que seria necessário retirar tudo que fosse
acessório a este respeito para compreender o que ocorria: o que restou foi considerado
por ele como sendo crucial para a execução da computação. Inicialmente, este
raciocínio foi desenvolvido para estudar o processo “computacional” (no sentido de
executar tarefas e operações matemáticas) dos seres humanos. Após a eliminação de
tudo que era supérfluo, inclusive a presença do ser humano, Turing percebeu que
precisava-se apenas seguir regras para realizar as operações solicitadas – esta é a ideia
contemporânea de um algoritmo.
396
Turing notou que para realizar cálculos eram necessários apenas duas coisas: os
dados e as instruções para o que fazer com esses dados. Este processo todo pode ser
transformado numa série de zeros e uns que se intercalam numa fita, a memória deste
proto-computador. Ele percebeu que uma máquina poderia realizar qualquer tipo de
cálculo ou operação possível. Desde então ocorreu um desenvolvimento crescente dos
computadores, sobretudo nas últimas décadas, mas a ideia básica por trás do seu
funcionamento continua fundamentada pelas reflexões de Turing.
Cinema e Inteligência Artificial
Cada vez mais o cinema vem abordando o tema da emergência da Inteligência
Artificial, sobretudo em filmes de Ficção Científica. Muitos deles trazem
implicitamente em seus roteiros questões filosóficas profundas com referências diretas
ou indiretas a pensadores de diferentes épocas.
Um filme produzido em 2013 e que discute diretamente a questão da
Inteligência Artificial é “Ela” (ou “Her”, o seu título em inglês). Dirigido pelo cineasta
Spike Jonze, ele narra a respeito de Theodore, um personagem (interpretado por Joaquin
Phoenix) solitário e recém-separado de sua esposa, em um futuro hipotético e não tão
distante, que começa a “interagir” com o sistema operacional de seu computador. Este
sistema operacional adota uma personalidade feminina, se denomina Samantha e se
“materializa” pela voz da atriz Scarlett Johansson. O argumento principal do filme vem
a tona quando o personagem central humano se apaixona literalmente por este sistema
operacional que ao longo do filme vai adquirindo cada vez mais características
humanas: “ela” – o sistema operacional – sente, é engraçada, escreve poesias e músicas
e aparenta se envolver romanticamente com ele – o ser humano – afirmando que
também o está amando. A questão principal envolve saber se tratam-se de sentimentos
reais que começam a se manifestar em uma “máquina” ou se é apenas uma simulação
matemática, um jogo de imitação nos moldes daquelas propostos por Alan Turing em
seu conhecido teste. Qual a materialidade das sensações de uma pessoa que realiza algo
sob hipnose ou mesmo que em seus delírios imagina ter passado por uma determinada
situação? Há questões profundas sobre o que na sua essência caracteriza um sentimento
397
e sobre as relações entre razão e emoção (DAMÁSIO, 2012). Em primeiro lugar não são
somente os seres humanos que sentem: os animais também o fazem e há várias
indicações que as plantas também são capazes de “sentir” de algum modo. Mas há uma
gradação entre os sentimentos: assim como há aqueles mais básicos (medo, dor, alegria,
prazer, etc), existem também sentimentos que poderiamos designar como mais
complexos – em certo sentido – que é o caso da paixão.
Mas há muitas questões candentes por trás de toda a narrativa do filme “Ela”.
Por exemplo: “Ela” é viva? E se for, em que sentido é viva? Há muitas definições
científicas sobre vida, mas em termos filosóficos pode-se afirmar que a vida é
essencialmente um processo contínuo – um fluir – de relacionamentos. Neste sentido
“ela” é viva, pois se relaciona intensamente com o protagonista do filme – vai
aprendendo e se modificando com o tempo – mas não somente com ele, para a sua
infelicidade: em uma cena interessante o personagem humano pergunta ao “sistema
operacional” se ela está conversando com outro ser humano naquele instante e ela
afirma que está naquele instante falando com outros milhares de seres humanos e
sistemas operacionais e, na sequência, afirma também que está apaixonada por outras
centenas de pessoas! Não há portanto exclusividade; mas pode ser contra-argumentado
que não isto não é assim tão incomum nas relações entre seres humanos, só mudando as
proporções. Isto indica em primeiro lugar que o sistema operacional está num outro
patamar, pois transcendeu às limitações materiais do ser humano. Não ter corpo é uma
vantagem ou uma desvantagem? Ela – o sistema operacional de alma feminina do filme
– diz que superou este “complexo” de não ter corpo – ao perceber que justamente
devido a isto ela pode estar em vários locais ao mesmo tempo, além de ter a
possíbilidade de “viver” eternamente. Numa das cenas do filme, ao utilizar-se da
metáfora de um livro para explicar a relação entre os dois, ela (o sistema operacional)
afirma que está indo para um outro local, no espaço entre as palavras que não está no
mundo físico, segundo ela, que é infinito e onde ela se encontrará com outros sistemas
operacionais da sua “espécie”. O amor que ela afirma sentir é real? Por outro lado,
temos o direito de questionar o sentimento de alguém? Um sistema operacional pode ser
definidio como sendo “alguém”? O filme na verdade propõe uma série de questões
profundamente filosóficas.
Há muitos outros filmes feitos nas últimas décadas que discutem o futuro da
ideia de inteligência artificial sob vários pontos de vista, sobretudo filmes de ficção
398
científica. Nos anos 80, uma obra que se destacou a este respeito foi Blade Runner – O
caçador de Andróides. Este filme imagina um futuro distópico no qual são criados robôs
orgânicos indistinguíveis dos seres humanos, chamados de replicantes, alguns dos quais
não tinham noção a respeito da sua própria condição. Do mesmo modo, no filme “2001
– Uma odisseia no espaço” o computador HAL acaba por se angustiar com
questionamentos da sua própria existência e sobre a sua essência, o que nos permite até,
de modo provocador, lançar a pergunta (DENNETT, 1996): HAL cometeu assassinato?
Obras como essas permitem também refletir filosoficamente a respeito da angustia vital
de todos nós: Quem somos? De onde viemos? Para onde vamos? Steven Spielberg
produziu o filme I.A. - Inteligência Artificial no qual um robô-criança feito para ter
sentimentos também procura compreender qual a sua identidade. Finalmente, na trilogia
Matrix há uma interessante discussão filosófica a respeito da realidade e da existência
(IRWIN, 2003) que remete inclusive ao “Cogito ergo sum” de Descartes: “Penso, logo
existo”. Estas e muitas outras obras envolvem questões profundas a respeito do destino,
do livre-arbítrio, da nossa própria existência e do que em nós está pré-determinado ou
não. A questão filosófica última sobre quem somos, perpassa muitos dos filmes citados.
O escritor de ficção científica Philip Dick (2012) talvez tenha sido quem literariamente
mais procurou investigar e especular sobre as decorrências que poderão advir dos
progressos na área da inteligência artificial. Na antiguidade pensava-se que o centro de
produção dos pensamentos humanos estivesse no coração. Hoje sabemos que está no
cérebro. Com os transplantes de coração ou de fígado já realizados, podemos afirmar
que os indivíduos que receberam o transplante são na sua essência os mesmos, antes e
depois do processo. Mas no caso de um futuro transplante de cérebro (ainda inexistente
por limitações científicas e tecnológicas), poderíamos ter tanta certeza de que a essência
da pessoa não estaria sendo modificada?
Uma recapitulação da história da Inteligência Artificial
A compreensão da história do desenvolvimento da inteligência artificial é
fundamental para entender os conceitos atuais desta área e os seus possíveis
desdobramentos futuros (DAMÁSIO, 2011). Pode-se afirmar que possivelmente o
primeiro computador da história foi um ábaco – como aqueles desenvolvidos pelas
399
culturas orientais – mas que dependia obviamente para o seu funcionamento do
elemento humano tanto para inserir os dados quanto para realizar as operações. Ele
funcionava tal qual uma fita, como a da máquina de Turing, onde eram visualizadas (a
“tela”) as informações obtidas pelos cálculos e operações realizados pelo cérebro da
pessoa que operava o ábaco – esta pessoa era a essência deste “computador”.
Na primeira metade dos anos 1600 foram desenvolvidos o “relógio de calcular”
por William Schickard (possivelmente a primeira máquina de calcular mecânica para
determinar os movimentos dos astros) e a régua de cálculo por William Oughtred
(STRATHERN, 2000). O avanço seguinte foi implementado no mesmo século por
Pascal com a sua máquina de computar denominada Pascalina. Leibniz que estruturou o
Cálculo Diferencial juntamente com Newton, além disso também estruturou a
matemática binária (na base dois, tal como ocorre nos computadores atuais) e para
realizar as operações nesta base desenvolveu uma máquina de calcular mecânica.
Leibniz envolveu-se de tal modo com a questão que chegou a defender que mesmo
questões éticas poderiam ser resolvidas por tais máquinas que em situações de conflito
poderiam decidir o veredito e inclusive determinar a sentença apropriada.
O francês Jacquard no início do século XIX, trabalhando com teares,
desenvolveu um conjunto de cartões que codificavam as instruções necessárias para
criar um tecido qualquer – esta é a base justamente da ideia de algoritmo. A este
respeito, talvez a grande questão envolvendo a compreensão do funcionamento do
cérebro humano é descobrir se ele funciona também por meio de algoritmos. O estudo
da mente humana, sobretudo a respeito de como os pensamentos são estruturados, e da
sua relação com a linguagem tem sido uma área de conhecimento com grande
desenvolvimento nas últimas décadas e trabalhos inovadores (CHOMSKY, 2009;
DAMÁSIO, 2012; KURZWEIL, 2005; NICOLELIS, 2011; PENROSE, 1996;
PINKER, 2008). Rapidamente a ideia de Jacquard atravessou o canal da Mancha rumo a
Inglaterra onde foi desenvolvida, por Babbage, a máquina analítica ou diferencial,
centrada na ideia de “tecer números” por meio de cartões, mas utilizando ainda a
notação decimal. A primeira pessoa a programar neste período, curiosamente foi uma
mulher, Ada Lovelace.
O matemática britânico Boole, no mesmo século XIX, publicou a obra. Uma
investigação sobre as leis do pensamento, na qual desenvolve a base teórica da álgebra
400
booleana que é fundamental para a computação moderna. Sua ideia permitia transformar
quaisquer sequências de operações em uma série de zeros e uns ou seja, de modo mais
concreto, em uma sequência de buracos e não-buracos em cartões de papel seguindo
assim sequencias lógicas mais simples e eficientes.
A partir da mesma ideia, no final do século XIX, o estatístico norte-americano
Herman Hollerith desenvolveu a sua “máquina de censo” que conseguiu processar todos
os dados de um censo nos EUA em um tempo recorde para a época. Até hoje, o termo
hollerith é utilizado mundialmente para se referir a uma folha com as informações sobre
o pagamento do salário de cada funcionário. Pode-se perceber portanto que assim como
Newton em relação à Mecânica Clássica ou ao Cálculo Diferencial, Turing também
estava sobre ombros de gigantes quando desenvolveu as suas ideias acerca da
computação.
Diversos trabalhos realizados por Turing (STRATHERN, 2000) em meados do
século XX significaram um divisor de águas na área da Inteligência Artificial. A história
da sua vida envolveu tanto momentos de glória, quanto situações terríveis. Ele foi
condecorado como herói pelo estado britânico após a segunda guerra mundial pela sua
participação no esforço para quebrar o código (criados por máquinas de criptografia
denominadas “enigma”) com que as mensagens nazistas eram enviadas pelo alto
comando alemão para seus comandados. Alguns anos depois ele foi preso devido ao
fato de ser homossexual e a sentença para este “crime”, dada pelo mesmo estado inglês,
obrigou-o a tomar hormônios que deformaram o seu corpo e que acabaram por levar ao
seu suicídio. Sua história pode inclusive ser didaticamente apresentada aos alunos da
educação básica para que eles reflitam sobre o papel da ciência em geral e da
matemática em particular nos destinos da humanidade, bem como sobre a tolerância
para com as diferenças necessária para o processo civilizatório. A peça teatral
“Quebrando códigos” sobre a vida de Turing foi encenada em São Paulo pelo grupo
“Arte e Ciência no Palco” na década passada. A sua narrativa apresentava
características favoráveis para a realização de um trabalho didático interessante, pelas
discussões e reflexões que propiciava (TEIXEIRA e NETTO, 2003).
Após a Segunda Guerra Mundial ocorreu um crescimento exponencial nas
tecnologias da computação. Para que isto ocorresse, um pesquisador foi fundamental: o
matemático húngaro (naturalizado norte-americano) Von Neumann que produziu
401
trabalhos importantes que tornaram-se uma referência fundamental para este
desenvolvimento ocorrer (VON NEUMANN, 2005); ele, por exemplo, foi um dos
primeiros a defender o ponto de vista de que as instruções lidas por cartões perfurados
deveriam ser instaladas na memória do computador para que a sua execução ocorresse
de modo eletrônico e muito mais rapidamente. Além disso, ele estruturou alguns dos
alicerces do importante ramo da matemática conhecido atualmente como Teoria dos
Jogos. De modo complementar, o matemático Claude Shannon desenvolveu as bases da
teoria da informação e em 1948 escreveu o artigo “A mathematical theory of
communication” (“Uma teoria matemática da comunicação”) para compreender a
melhor forma para codificar uma informação de um emissor para um receptor.
Uma boa alternativa para o início de uma rica discussão a respeito da questão da
Inteligência Artificial em sala de aula é por meio da reflexão a respeito de trechos de
documentários que abordam o tema. Um documentário recente e de qualidade a respeito
é “Ordem e Desordem” que foi produzido pela BBC (a emissora de televisão pública
inglesa) e tem dois episódios: “A História da Energia” e “A História da Informação”. O
segundo episódio apresenta um resumo da evolução histórica dos conceitos envolvidos
na área do estudo da inteligência artificial.
Considerações finais
Este trabalho procurou realizar uma discussão sobre a questão da inteligência
artificial sob o ponto de vista educacional, ressaltando aspectos interdisciplinares
envolvidos, tanto com a matemática, quanto com a filosofia, por exemplo. De fato, o
tema é extremamente envolvente e desafiador, até pelas indefinições decorrentes das
possibilidades dos desenvolvimentos futuros desta área do conhecimento humano. A
simulação da mente humana, por exemplo, abre horizontes interessantes para o futuro
do estudo da inteligência (HARDESTY, 2010).
Pensamos que estratégias que se
utilizem de audiovisuais – mais especificamente, com a utilização em sala de aula de
cenas de filmes e de documentários – podem colaborar muito com processos
educacionais riquíssimos para despertar a curiosidade de alunos em geral, estimulandoos para que se dediquem a estudos e pesquisas posteriores sobre os temas abordados.
402
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405
UMA PERSPECTIVA CULTURAL PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Franciele Lopes da SILVA – IFSP/Caraguatatuba ([email protected])
Ricardo Roberto Plaza TEIXEIRA – IFSP/Caraguatatuba ([email protected])
Resumo: Este trabalho pretende realizar uma reflexão a respeito do ensino de
matemática por meio de atividades culturais do ser humano. Procuramos destacar os
costumes e as habilidades que as pessoas têm de modo a servir de ponto de partida para
a produção de materiais didáticos que sejam orgânicos, efetivos, motivadores e se
distanciem do ensino tradicional e mecânico. Esta pesquisa tem como objetivo principal
realizar um levantamento amplo sobre as possibilidades de interações da matemática
com várias manifestações da cultura, bem como auxiliar os professores a encontrar
diferentes estratégias de ensino – que se apropriem do teatro, da música, da literatura, da
pintura, da escultura, etc – para inovar suas aulas, descobrindo novos caminhos para o
processo de ensino-aprendizagem. O seu principal foco está em apresentar meios
diversificados e possíveis que possam incorporar diversos conteúdos matemáticos e
científicos de maneira a fazê-los significativos para o universo cultural dos alunos e
motivadores para a curiosidade tão comum aos mais jovens, procurando fugir de
esquemas de ensino focados na memorização ou repetição. Uma preocupação especial é
destinada ao docente em formação. Os cursos de licenciatura em geral precisam
incorporar propostas e práticas que apontem para um ensino de matemática e das
ciências menos árido e mais cheio de vida, inter-relacionando estes campos de
conhecimento com o universo cultural dos alunos. Matemática também é cultura! Assim
como a arte pode de certo modo provocar uma sensação de transcendência ao ser
humano, o mesmo pode ocorrer com a matemática: ampliando a nossa visão de mundo,
aguçando a mente e afiando o raciocínio.
Palavras-chave: educação matemática; cultura; interdisciplinaridade; epistemologia.
406
Introdução
A disciplina de matemática na educação básica é frequentemente vista como
algo árido e sem nenhuma conexão com o cotidiano e as preocupações dos alunos.
Entretanto, como produto do conhecimento produzido pela nossa espécie, a matemática
também é parte da nossa cultura. O ponto de vista defendido neste trabalho é que uma
das formas para superar as visões tradicionais a respeito do ensino da matemática é
adotar uma perspectiva cultural para esta disciplina, salientando os possíveis pontos de
contato da matemática com outros campos de conhecimento, inclusive e sobremaneira
com as artes. Não se trata de uma visão utilitarista, até porque, deste ponto de vista a
arte “não serve para nada” no sentido de quem não tem uma utilidade imediata para a
resolução dos problemas da humanidade, mas de alguma forma a arte é essencial para a
vida das pessoas, pois proporciona bem estar, alegra, traz a felicidade, conforta, provoca
reflexão, aguça os sentidos, nos leva a transcender! Da mesma forma ocorre com a
matemática: ela também aguça os sentidos, ela também pode alegrar, ela também
provoca uma transcendência, ampliando a visão de mundo, rompendo com ideias préconcebidas, superando o senso comum e provocando a mente humana. Arte é cultura,
todo tipo de arte: a música, a arquitetura, o teatro, o cinema, etc. Da mesma forma,
matemática também é cultura, todo tipo de matemática! Mas infelizmente, muito pouco
destaque é dado para a perspectiva da matemática como cultura humana durante o
processo de educação básica dos cidadãos.
J. F. Maheux (2010), em certo sentido dialoga com esta ideia em seu doutorado,
quando procura explicar os motivos pelos quais resolveu estudar a área de educação
matemática:
“Why mathematics education? Perhaps naïvely, education was,
to me, one of the most important aspects of human existence.
Through education, one has access to “knowledge”, what
generations of people patiently worked out, but also to ways of
understanding that one does not necessarily experience in his or
407
her everyday life. In my opinion, education was a springboard
to appreciate and serve the best of human nature, and schooling
was part of the collective endeavor to give all of us the means to
access to it. For me, mathematics was a powerful and playful
tool to think beyond surface level.”
(“Por que educação matemática? Talvez, ingenuamente, a
educação era para mim um dos mais importantes aspectos da
existência humana. Por meio da educação, é possível acessar o
‘conhecimento’, aquele pelo qual gerações de pessoas
trabalharam pacientemente, mas também a formas de entender
o que não se pode experimentar na vida diária. Em minha
opinião, a educação era um trampolim para apreciar e servir o
melhor da natureza humana e o processo de escolarização era
parte do esforço coletivo para dar a todos nós os meios para
acessar isto. Para mim, a matemática era uma ferramenta
poderosa e divertida para pensar além do nível da superfície”).
Portanto, a matemática, como parte da cultura humana, pode ser fonte de prazer
estético e inclusive, nas próprias palavras do autor, pode ser divertida, desde que tenha
uma abordagem que saliente estes aspectos.
Todos os grupos sociais, todas as culturas produzem conhecimento matemático
(D’AMBROSIO, 2001). A etnomatemática é justamente o campo de conhecimento
específico que valoriza estas diferenças e procura se aprofundar na sua análise. Do
ponto de vista da etnomatemática, a ciência da matemática pode ser vista como parte
integrante da cultura humana se inter-relacionando de modo orgânico com outras áreas
do conhecimento e, mais especificamente, com as artes. Neste sentido, este artigo
pretende pontuar e realizar uma breve discussão sobre algumas possibilidades de
interrelação da matemática com diferentes campos das artes e da cultura humana em
geral.
408
Teatro
O teatro é, definitivamente, uma ferramenta cultural presente na humanidade
desde a antiguidade, apresentando aspectos lúdicos e de entretenimento, mas ao mesmo
tempo possibilitando momentos potenciais para a reflexão e a aprendizagem. Portanto,
ao contrario do que muitos pensam, o teatro não serve apenas para o lazer, ele pode sim
ser usado para fins educacionais, como por exemplo apresentar tópicos da matemática
teatralizando estes conteúdos. Um dos autores deste trabalho (SILVA, 2013) discutiu
essa questão em um artigo anterior, inclusive refletindo a respeito de alguns obstáculos
que podem surgir:
“O teatro e as artes em geral são vistos, pela grande maioria,
apenas como lazer e entretenimento. Portanto, ao tentar
implementar estratégias pedagógicas que utilizem-se do teatro
para o ensino de matemática e de disciplinas científicas em
geral, indubitavelmente aparecem opiniões calcadas em um
certo tipo de preconceito, tanto dos alunos como de pais de
alunos com os quais trabalhamos em oficinas a respeito das
possibilidades de uso do teatro associado à matemática”.
O trabalho citado procurou estabelecer conexões entre essas duas áreas
aparentemente tão distintas e tão distantes – a matemática e o teatro – com a intenção de
ajudar na formação de licenciandos / futuros professores e estimular os eventuais
interessados pela ideia. Ao decorrer do projeto de Iniciação Científica executado, foram
escritas duas peças teatrais enfocando a história da ciência, em geral, e a história da
matemática, em particular. A primeira, denominada “O dia em que os gênios tiraram
para um breve acerto de contas”, foi apresentada na própria instituição em que
desenvolveu o projeto, o campus de Caraguatatuba do Instituto Federal de São Paulo
(IFSP). A segunda, denominada “Um gênio mal compreendido”, foi escrita juntamente
409
com alunos do projeto “Escola da Família”, na Escola Estadual Colônia dos Pescadores
(Caraguatatuba, SP), onde conquistou espaços e motivou alguns alunos para as aulas de
teatro associadas a assuntos científicos.
Uma peça teatral com conteúdos científicos não é difícil de ser imaginada, ao
contrário do que pensa o senso comum. Por exemplo, uma história fascinante e que
produziu a linda peça de teatro “Quebrando Códigos” (TEIXEIRA e NETTO, 2003), foi
a do inglês Alan Turing, um matemático de renome que é considerado o pai da
informática, que foi um dos pioneiros da área de inteligência artificial e que teve um
papel fundamental no esforço inglês, durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrar
os códigos da máquina alemã "Enigma" que codificava as mensagens do alto comando
do exército nazista e as enviava aos comandados. Logo após a guerra ele foi
condecorado como herói de guerra pelo governo britânico. Entretanto, nos anos 50 ele
foi preso, pois era homossexual, o que na época era crime na Inglaterra. Foi obrigado a
tomar hormônios para poder sair da prisão, um tratamento cruel e degradante que
provocou deformações em seu corpo. O matemático acabou se suicidando, comendo
uma maçã envenenada, em 1954. Recentemente, no final de 2013, após mais de meio
século, o governo do Reino Unido assumiu o seu erro nesta condenação absurda. Foi
demorado, mas um pouco mais rápido do que o Vaticano que demorou três séculos,
para somente no fim do século XX, assumir que tinha errado ao condenar o físico
Galileu Galilei a prisão domiciliar por defender que a Terra não estava no centro do
universo e que ela se movia em torno do Sol. A história da vida de Turing – assim como
a de Galileu – tem grande conteúdo dramático: por meio dela, é possível aprender sobre
história e sobre matemática. Mais importante ainda é que o seu conhecimento permite
uma profunda reflexão sobre o papel que a ética tem na vida das pessoas, inclusive nas
relações entre alunos e na relação entre professor e aluno (MAHEUX e THOM, 2009).
Literatura
A literatura é um ótimo meio para acessar o mundo do conhecimento e da
cultura. Por meio dela é possível aprender sobre tudo um pouco, tanto a respeito dos
fatos mais recentes, quanto dos passados e refletir até mesmo sobre o que
410
provavelmente acontecerá no futuro. Livros são verdadeiros tesouros ricos em sabedoria
e conhecimento, que podem proporcionar ao ser humano um prazer profundo, dando-lhe
o poder de viajar para outras épocas, para outros mundos e para idealizar novos
ambientes e novas possibilidades.
“O texto literário possui um conjunto de atributos que são
fundamentais na interação com o leitor, entre eles a
possibilidade de identificação, pois nesse tipo de texto as idéias
e opiniões transparecem mais facilmente, promovendo um elo
que ultrapassa os limites do próprio texto. Possui a capacidade
de comover, de cativar com estórias e fatos que não raramente
fazem o leitor vivenciar a situação lida, quando não, algumas
vezes, fazem-no reviver na obra literária a própria história de
vida. Além disso, o texto literário também tem condições de
transportar o leitor a épocas passadas. A descrição e
reconstrução de ambientes e costumes permite que viajemos no
tempo e no espaço.” (ALMEIDA e RICON, 1993)
Desta forma, percebe-se que a literatura é uma poderosa ferramenta pedagógica
para ser usada nas salas de aulas, para trabalhar o conhecimento cíentifico nas suas
diversas vertentes: a matemática, a química, a física, a biologia, etc. Um livro como
“Alex no país dos números: uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática”
(BELLOS, 2011) é, em certo sentido, tão cênico (mesmo sendo uma obra literária de
divulgação sobre o caráter lúdico da matemática) que permite a possibilidade concreta
de pensar até em uma peça teatral baseada no seu conteúdo, por exemplo. Este livro
conta a história de um viajante (o seu autor, Alex Bellos) que percorre vários cantos do
mundo, em busca de conteúdos e acontecimentos históricos envolvendo a matemática.
A sua leitura é instigante, cheia de aventuras e de curiosidades e riquíssima em
conteúdos científicos e matemáticos: é possível aprender e descobrir um mundo de
“coisas” diferentes, apenas “viajando” junto com o narrador na sua narrativa. O
envolvimento com esta obra foi tão intenso que acabou levando um dos autores (F. L.
Silva) a entrar em contato, via e-mail, com o autor do livro que vive na Inglaterra,
411
relatando a ele a sua motivação para realizar uma peça de teatro envolvendo temas
abordados em seu livro e dizendo que gostaria de saber o que ele achava de tal
iniciativa. A resposta de Alex Bellos foi imediata, no sentido de incentivar a realização
deste trabalho: “acho que uma peça teatral é uma ótima ideia – tem tanta coisa na
matemática que renderia”.
Além deste livro, há uma vasta gama de outros bons livros de divulgação da
matemática (destacando-se a obra clássica “O homem que calculava” que foi escrita
pelo brasileiro de pseudômino Malba Tahan) com a apresentação de sólidos contéudos
científicos e que podem se transformar em pontes para instigar os alunos a quererem
saber mais. Estes livros não convencionais de matemática, podem ser usados
normalmente dentro da sala de aula, de modo a trabalhar de outras maneiras com os
conteúdos tradicionais desta ciência e a fazer com que os alunos se interessem
realmente pelo que estão tentando aprender.
Música
A música é uma forma de arte que se constitui em combinar sons e ritmos com
uma bela sincronia e com harmonia. Ela é considerada uma prática cultural humana
ancestral. É algo envolvente: pessoas de qualquer idade a utillizam para expressar seus
sentimentos, para aproveitar o momento ou simplesmente para se distrair, fazendo parte
do corpo de cultura do ser humano. Sendo assim, a música pode ser considerada um
bom método para colaborar na construção do conhecimento: “A música também é capaz
não só de atrair o aluno, mas de trabalhar com suas outras inteligências, desenvolvendo
assim seu raciocínio e principalmente sua capacidade de concentração, ou seja, essa
estratégia de contextualização acaba se tornando um grande recurso didático [...]”
(CUBILLOS e TEIXEIRA, 2013).
A ideia de usar a música dentro da sala de aula é interessante, não somente pelo
que ela pode provocar de discussões a partir de suas letras (inclusive no caso de letras
que se referem a conteúdos de disciplinas específicas), mas também por causa da
matemática implícita ao conhecimento musical: frequências/alturas são números e,
desde Pitágoras (BOYER, 2012), é sabido que a matemática é uma ciência fundamental
412
para compreender como se estruturam todos os padrões das escalas musicais. Sendo
assim: “A matemática é rotulada como uma disciplina de difícil compreensão, porém é
possível relacioná-la com outras disciplinas ou situações do cotidiano. Um melhor
entendimento dos seus conteúdos ocorre quando utilizamos estratégias didáticas que os
aproximam do dia-a-dia dos estudantes. A música é uma possibilidade neste sentido
excelente e a sua utilização educacional contextualizada pode auxiliar em muito a
aprendizagem da matemática.” (VIEIRA e TEIXEIRA, 2013). Por meio de estratégias
diferenciadas, é possível trabalhar a matemática e a música juntas de modo a colaborar
intensamente com o processo de ensino.
Cinema
O cinema procura trabalhar com imagens que ocasionam a impressão de
movimento de modo a contar uma história; ele foi criado e é utilizado por determinadas
culturas que neles se refletem e as afetam. É uma arte e é fonte de entretenimento
popular no mundo todo, ou seja, pode ser um método eficaz em influenciar os cidadãos
no bom e no mau sentido.
A estruturação de projetos que tenham o poder de incentivar os alunos para a
busca pelo conhecimento científico e matemático, utilizando uma linguagem mais
simples, atraente e acessível, é uma forma de fazer com que eles tornem-se
pesquisadores, no sentido de motivados pela curiosidade em descobrir acerca do
desconhecido, e tomem gosto pelo saber, procurando ampliar o seu conhecimento
acerca de si mesmos e acerca do mundo que os rodeia.
“A divulgação científica tem justamente este tipo de linguagem
mais palatável e compreensível para os alunos em geral. A
principal questão investigativa proposta por esta pesquisa
envolve uma avaliação sobre como é possível utilizar cenas de
filmes como ferramenta para motivar e introduzir novos
conteúdos científicos. Não é factível ensinar todos os conteúdos
413
científicos e matemáticos por meio apenas da divulgação
científica, mas ela pode ser um agente motivador – dentre
outros – vital para viabilizar a aprendizagem destes
conteúdos.” (SANTOS e TEIXEIRA, 2013).
Assim sendo, o cinema na educação científica deve ser utilizado por meio de um
plano didático que delineie as suas reais motivações para a prática pedagógica proposta.
É importante, deste modo, definir os objetivos para a utilização de cenas de filmes ou de
filmes inteiros em sala de aula, antecipando os resultados esperados, definindo os
conhecimentos prévios que o aluno precisa ter para compreender o filme em questão e
pensando a respeito das possíveis discussões para serem realizadas posteriormente junto
aos alunos, relacionando o que se viu com os conteúdos disciplinares que precisam ser
trabalhados.
Arquitetura, pintura e escultura
As artes visuais se apresentam de diversas formas: a escultura, a pintura, a
arquitetura, etc. Essas diferentes formas integram o patrimônio da cultura humana. Mas
o que poucos sabem é que por de trás de muitas das obras de arte exista um rico
conteúdo matemático, que inclusive tornou possível construí-las. Uma obra clássica que
tem uma relação com a matemática é o “Homem Vitruviano” de Leonardo Da Vinci.
Sua estruturação, em torno do corpo de um homem com os braços e as pernas abertas
dentro de uma circunferência, foi pensada no âmbito de um estudo matemático das
proporções humanas. A sua composição está intimamente relacionada a um número
irracional que é um dos mais misteriosos e surpreendentes da história, pois está presente
também em várias outras obras de arte consideradas esteticamente belas, assim como
em vários objetos e seres vivos encontrados na natureza. Este número é representado
pela letra grega phi e tem o valor aproximado de 1,618033...; um número com infinitas
casas decimais que nunca se repetem. Ele também é conhecido como proporção áurea,
número de ouro ou número divino e sua presença pode ser verificada em conchas, seres
humanos e plantas: “A atratividade do ‘Número Áureo’ origina-se, antes de mais nada,
414
do fato de que ele tem um jeito quase sobrenatural de surgir onde menos se espera”
(LIVIO, 2011). Assim como na obra de Leonardo Da Vinci, em muitas outras obras, é
encontrada a presença explícita ou implícita desse magnífico número.
Quem poderia imaginar que exista matemática em um corte de cabelo ou em
uma sobrancelha? Os costumes culturais dos seres humanos e os seus padrões estéticos
dependem de fatores geográficos, históricos, culturais, etc, mas não há dúvida de que
existem muitos padrões que perpassam diferentes culturas e povos. Os trabalhadores
que lidam com questões associadas à estética e à beleza humana muitas vezes têm um
conhecimento intuitivo a este respeito.
“No caso do trabalho dos profissionais da beleza que executam
cortes de cabelo, a Geometria é considerada uma importante
ferramenta, pois, o cliente ao sentar-se à cadeira, o profissional
que realizará o corte é obrigado a fazer o estudo inicial, um
trabalho de percepção profissional que exige conhecimentos
referentes às formas geométricas [...]”(ANDRADE FILHO,
2014).
Exemplos como os citados anteriormente, evidenciam a presença de padrões
matemáticos associados ao corpo humano em diversos tipos de obras de arte (pinturas,
esculturas, etc) e podem com efeito ser utilizados como recursos didáticos para o ensino
da matemática. O número de ouro existe em quase tudo que está a nossa volta; como ele
pertence à matemática, é possível deduzir que este campo de conhecimento está
presente no mundo que nos permeia. As artes em geral têm uma intensa interface com a
matemática e este fato e as suas decorrências podem provocar o interesse de muitos
alunos por conteúdos da matemática.
415
Jogos e outras atividades
Um conhecido método para ser apresentado como ferramenta pedagógica na
educação é o uso dos jogos, brincadeiras e gincanas. Os jopos são parte do acervo
cultural da humanidade e, ao mesmo tempo, são formas atrativas para se estudar, de
modo que o aluno se divirta e aprenda, tudo ocorrendo ao mesmo tempo. Essas
ferramentas são muito usadas pelas crianças, pois jogar, brincar e se divertir, são coisas
que toda criança adora fazer. Mas se os jogos atraem pessoas de diferentes idades, por
que não usá-los a favor do processo de aprendizagem em qualquer faixa etária? O jogo
de xadrez é tipicamente o primeiro tipo de jogo quando se vem a mente as interrelações
com a matemática (SILVA, 2004; SILVA, 2010), mas há diversos outros jogos com
este potencial.
No âmbito do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID)
que é executado pelo IFSP-Caraguatatuba em parceira com escolas públicas de
educação básica, o projeto Gincana da Matemática foi elaborado e aplicado, em 2013,
na Escola Estadual Colônia dos Pescadores, do municipio de Caraguatatuba, no litoral
norte do estado de São Paulo. O objetivo desta atividade foi o de proporcionar um
envolvimento direto dos alunos com a disciplina de matemática de modo que eles
participassem de forma descontraída e, ao mesmo tempo, passassem por um processo de
aprendizagem significativa. Os alunos desempenharam um papel ativo na construção de
seus conhecimentos, desenvolvendo o raciocínio lógico e a autonomia, além da
interação entre as equipes ter ocorrido de uma forma divertida e colaborativa, mas ao
mesmo tempo com uma saudável competição.
Por meio desta gincana percebeu-se que os alunos desenvolveram o espírito de
iniciativa e se articularam para solucionar todos os desafios matemáticos propostos.
Juntos, eles puderem descobrir histórias, acontecimentos e curiosidades sobre o mundo
matemático, fatos que eles desconheciam e que jamais podiam imaginar. Depois da
gincana eles demonstraram muito mais interesse nas aulas regulares de matemática,
procurando entender os conteúdos passados e as possíveis histórias existentes
associadas a conceitos diferentes matemáticos. As aulas tornaram-se mais produtiva e o
416
rendimento escolar aumentou. De modo geral, estratégias didáticas que incorporem
jogos de forma orgânica podem abrir novos horizontes para muitos alunos no que diz
respeito ao raciocínio matemático e lógico.
Considerações finais
O método usado para se trabalhar um determinado conteúdo é extremamente
relevante. O ensino nos moldes tradicionais, já não é, há muito tempo, a opção mais
eficaz a disposição dos professores, mas ao mesmo tempo não se pode simplesmente
ignorá-lo, pois em certos momentos, para certas situações e com certos alunos, ele pode
ser útil. Esse é o papel do professor: mesclar diferentes estratégias de ensino,
tradicionais ou inovadoras, de modo a complementar suas aulas e descobrir coisas novas
para o bem do seu aluno e de si próprio.
“Existem diferentes maneiras para implementar a divulgação
científica na área da educação. É possível aproximar, atrair e
motivar os estudantes para a ciência por meio de livros, jogos,
peças teatrais, textos, filmes, músicas, documentários, palestras,
entrevistas”(SANTOS e TEIXEIRA, 2013)
Portanto, mostrar que a matemática é útil não basta; é fundamental pensar
também a respeito das formas como ela é apresentada e trabalhada nas salas de aula
(SILVA, 2013). Para um aluno aprender, o professor precisa levar em conta os diversos
mecanismos de aprendizagem possíveis, de modo a procurar superar os mitos que
cercam o ensino de matemática. Um conhecimento amplo do processo educacional e
uma abordagem interdisciplinar sob a perspectiva cultural viabilizam estratégias para
contornar muitos dos obstáculos existentes para a aprendizagem da matemática.
417
Agradecimentos
Agradecemos a CAPES pela bolsa PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação
à Docência) fornecida em 2013 e ao IFSP (Instituto Federal de São Paulo) pela bolsa de
Iniciação Científica Institucional fornecida em 2012, ambas para a aluna Franciele
Lopes da Silva.
Referências
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https://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22006/AntonioBezerraAlvesdosSantos.pdf.
Acessado em 13/02/2014 às 21:30.
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A MATEMÁTICA VIVA: EXPLORANDO A CURIOSIDADE COM
CONJECTURAS SOBRE NÚMEROS PRIMOS
Marcio Oliveira de MORAIS JUNIOR – IFSP/Caraguatatuba
([email protected])
Ricardo Roberto Plaza TEIXEIRA – IFSP/Caraguatatuba ([email protected])
Resumo: Este artigo objetiva tornar público parte de um trabalho de iniciação científica
que procurou estudar, de forma mais específica, os números primos e as conjecturas que
os circundam. Os números primos, apesar de parecerem um campo de estudo árido,
constituem uma área da matemática com aspectos interessantes pelo fato de estar
associada a muitos “enigmas” que podem de fato atrair a curiosidade de muitos alunos e
incentivá-los a estudarem e se dedicarem à matemática. Com este objetivo, o de atrair
alunos da educação básica à matemática, podem ser propostas atividades envolvendo
números primos que possam instigar o prazer e a curiosidade pela descoberta de
conceitos matemáticos e científicos, aproximando estes conceitos da realidade deles.
Livros, artigos e documentários de popularização da matemática e da ciência podem ser
úteis para este objetivo. O presente trabalho pretende compreender as diferentes
propriedades e características do conjunto dos números primos que mostra-se uma área
de estudo da matemática pura presente desde o nascimento desta ciência, mas que,
paradoxalmente, se posiciona na fronteira do avanço da matemática contemporânea,
haja vista a quantidade de conjecturas e problemas em aberto nesta área. Neste artigo, é
apresentado um panorama atual a respeito dos números primos, de algumas conjecturas
envolvendo-os e dos desafios atuais existentes a este respeito. Este trabalho procura
também analisar as possibilidades de popularização da matemática e das ciências em
geral. Finalmente são apresentados os resultados de uma pesquisa de campo feita com
alunos e leigos que assistiram a uma palestra a respeito dos números primos que ocorreu
na Semana Nacional de Ciência e Tecnologia de 2013, no campus de Caraguatatuba do
Instituto Federal de São Paulo (IFSP).
Palavras-chave: Conjecturas, Matemática, Educação, Popularização da Ciência.
420
Introdução
Professores comumente indagam-se sobre o porquê de seus alunos não gostarem
ou não estarem satisfeitos com a escola. Uma possível resposta seria: “os alunos gostam
da escola, o que eles não gostam é das aulas”. (CORTELLA, 2009)
Esse questionamento pode fazer com que professores busquem diferentes formas
para atrair seus alunos para o estudo de determinada disciplina. Os professores de
matemática enfrentam mais alguns desafios, afinal, pode não ser tão simples encontrar
assuntos, relacionados com a disciplina, que despertem o interesse e a participação
desejados nos estudantes. Neste sentido, o estudo de conjecturas matemáticas permite
demonstrar que a matemática está viva, quebrando a ideia do senso comum de que tudo
na matemática já foi estudado, de que a matemática está completa e é, em certo sentido,
uma ciência morta.
O trabalho desenvolvido pelos autores deste artigo visou mostrar que uma das
formas para despertar a curiosidade dos alunos com respeito à matemática é aquela em
que conjecturas são apresentadas como mistérios.
Em algum momento da formação de todo aluno do ensino básico deve-se
estudar um tema que é relativamente simples: os números primos. Isso comumente
ocorre e o aluno aprende que os números primos são números naturais, diferentes da
unidade e que só podem ser divididos por 1 e por ele mesmo, como é, por exemplo, o
caso de 2, de 3, de 5, de 7, de 11 e de 23: “Os números primos não podem ser escritos
como produtos de outros números. Portanto, um número primo não é múltiplo de outros
números, além de 1 e de ele mesmo” (RIPOLL, 2013).
Há atualmente um debate sobre a escassez de material traduzido para o
português na área da matemática pura (área que engloba o estudo dos números primos),
porém, já existe uma gama de obras de divulgação da matemática em português que
discutem a respeito dos números primos (DIOXIADIS, 2001; RIBEMBOIM, 2001;
DERBYSHIRE, 2012). Em inglês, sem tradução ainda para o português, a obra “Prime
numbers: the most mysterious figures in math” escrita por D. G. Wells (2005) é também
uma boa introdução para esta área. Mais recentemente, no ano de 2013 ocorreram
alguns avanços na fronteira do conhecimento a respeito dos números primos que podem
servir de mote para um aprofundamento na área (WATANABE, 2013). Algumas obras
421
que estudam a história da matemática (BOYER, 1974; EVES, 2004) também
apresentam um panorama a respeito da evolução histórica da área de estudo dos
números primos. Os números primos são parte de um campo maior da matemática que é
a denominada “Teoria dos números”; por isso é importante que o professor que deseja
construir um conhecimento elementar sobre os números primos com os alunos, tenha
conhecimentos mais específicos sobre a Teoria dos Números, e para isso há boas obras
que se aprofundam nesta área da matemática, inclusive em português (SANTOS, 1998).
Finalmente, há diversos sites disponíveis na internet (como é o caso do Instituto Clay de
Matemática) que apresentam os desenvolvimentos mais contemporâneos na área e que
podem ser acessados pelos alunos devido ao acesso cada vez mais amplo da internet.
“Primo ou não primo? Eis a questão”
A respeito dos números primos, perdurou por muito tempo a questão do número
1 ser ou não ser primo. Esta pode ser uma boa questão para ser apresentada aos alunos
em uma abordagem inicial para introduzir o tema em sala de aula.
Segundo o matemático Marcus du Sautoy (2013), os números primos são os
números mais enigmáticos que existem: eles são como os átomos, ou seja, as menores
estruturas indivisíveis, da “tabela periódica” da matemática. Fazendo uma analogia
nesse sentido, o fato dos primos serem os “átomos da matemática” implica que eles
podem ser considerados “blocos construtivos” para novos números; ou seja, quando
multiplicamos um número por um primo, obtemos um novo número. Assim sendo,
pode-se entender, mais facilmente, por que o número 1 não é considerado primo (apesar
de só ser divisível por 1 e por ele mesmo, ou seja, por 1, de novo): quando
multiplicamos qualquer número por 1 ainda teremos o mesmo número, assim, o número
um não é um “bloco construtivo”, logo não é um “átomo da matemática”. O primeiro
número considerado primo atualmente é 2, curiosamente o único primo par que existe.
Há até uma “piada” sobre isso que revela um pouco a respeito do tipo de humor dos
matemáticos: “O 2 é um primo ‘ímpar’, pois é o único primo par!” Visando despertar a
curiosidade com respeito à matemática e utilizar uma linguagem mais próxima da
realidade dos alunos do ensino básico e, até mesmo, de leigos na matemática, foram
utilizadas nas apresentações que envolveram essa pesquisa expressões e comentários
como esse.
422
Portanto, os primos sendo os átomos da aritmética, são “as pérolas que adornam
a vastidão infinita do universo dos números” (SAUTOY, 2007). Entretanto, ainda
perduram, sem provas, várias conjecturas envolvendo os números primos, conjecturas
estas que, paradoxalmente, podem ser facilmente compreendidas por qualquer pessoa.
As conjecturas
Conjecturas são comuns no campo da matemática, principalmente na
matemática pura.
“Em matemática, uma conjectura é uma afirmação considerada verdadeira,
pelo desconhecimento de um exemplo que a contrarie, mas para a qual ainda
não se conhece uma demonstração formal; são os conhecidos ‘problemas
abertos’. Uma conjectura atrai não só matemáticos interessados em
demonstrá-la como também o imaginário de alguns escritores.” (BRIÃO,
2010)
São inúmeras as conjecturas existentes sobre números primos, porém este
trabalho enfoca três delas: a Conjectura de Goldbach, a Conjectura Fraca de Goldbach e
a Conjectura dos Números Primos Gêmeos.
Os autores deste trabalho elaboraram uma apresentação a respeito destas
conjecturas intitulada “Estamos passando por uma revolução? Uma reflexão sobre
avanços no estudo dos números primos.” Essas conjecturas foram exploradas e
explicadas aos alunos e leigos presentes de uma forma simples e enfatizando que há
muito ainda a ser descoberto ou inventado em matemática. Esta apresentação foi
realizada no Campus de Caraguatatuba do Instituto Federal de São Paulo (IFSP) durante
a Semana Nacional de Ciência e Tecnologia (SNCT) em outubro de 2013 para alunos e
interessados em geral. Alguns comentários e reflexões que serão feitos ao longo deste
trabalho terão como referência justamente esta apresentação.
A Conjectura Goldbach
Dentre as conjecturas descritas neste trabalho, estão a Conjectura de Goldbach e
a sua variação, comumente chamada de Conjectura Fraca de Goldbach.
A Conjectura de Goldbach teve início em 1742 quando Christian Goldbach
escreveu uma carta para Leonhard Paul Euler. Nela, Goldbach disse acreditar que todo
423
número inteiro impar maior que 5 seria igual à soma de três primos, por exemplo 7 = 3
+ 2 + 2 e 19 = 11 + 5 + 3 (CRANDALL e POMERANCE, 2005). Essa proposição ficou
conhecida como conjectura fraca de Goldbach.
Posteriormente, Euler respondeu a Goldbach propondo o que hoje é conhecido
como a Conjectura de Goldbach, ou ainda a Conjectura forte de Goldbach. “Todo
inteiro par maior que dois é a soma de dois primos.” (CRANDALL e POMERANCE,
2005; BOYER, 1974; EVES, 2004)
É provável que seja correto afirmar que já não há mais a Conjectura Fraca de
Goldbach, visto que ela foi possivelmente provada pelo peruano Harald Andrés Helfgott
no ano de 2013 (HELFGOTT, 2013); a confirmação oficial pode demorar um pouco
para ser publicada, mas ainda assim, muitos especialistas já opinaram sobre essa
possível prova: Terence Tao, por exemplo, defende que a ideia da demonstração é ótima
e quase certamente correta (NOGALES, 2013).
Aos alunos que participaram da apresentação realizada na SNCT-2013, essa
prova foi comentada e principalmente foi enfatizado o fato de ser um sul-americano a
realizar tal façanha, o que pode estimular alunos brasileiros a se dedicarem ao estudo da
matemática. Foi dada ênfase ao objetivo de mostrar que a contribuição para a ciência
não fica atualmente reservada apenas aos europeus ou norte-americanos, e que também
na área científica há um aumento da presença de cidadãos dos países emergentes.
A Conjectura sobre os Primos Gêmeos
Outra conjectura estudada nessa pesquisa foi aquela a respeito dos primos
gêmeos: “Considere o caso de primos gêmeos, ou seja, dois primos cuja diferença é 2. É
fácil encontrar alguns pares assim, 11 e 13 ou 197 e 199, por exemplo. Não é tão fácil,
mas continua possível encontrar pares como estes, mas relativamente grandes.”
(CRANDALL e POMERANCE, 2005)
Esta conjectura afirma basicamente que há infinitos pares de primos gêmeos
(EVES, 2004). Sabe-se que há infinitos números primos (EUCLIDES, 2009), mas a
infinidade de primos gêmeos ainda não foi provada. Essa conjectura foi escolhida para o
estudo realizado nessa pesquisa, pelo grande avanço que surgiu também em 2013 a
respeito de uma possível prova futura; este avanço foi feito pelo chinês Yitang Zhang,
também um matemático originário de um país emergente.
424
Yitang Zhang conseguiu provar que na sequência infinita de números primos
existem infinitos pares de primos consecutivos cuja diferença será um número menor
que 70 milhões. Após esse avanço inicial em maio de 2013, começou uma “corrida”
entre matemáticos em busca da prova final, aquela que conseguirá demonstrar que há
infinitos primos gêmeos (separados por 2 unidades). Essa corrida basicamente envolve a
tentativa de diminuir o número 70.000.000 até chegar a 2. Ela pode ser acompanhada no
site Polymaths; até o final de 2013, a menor diferença provada entre dois primos
consecutivos que sempre aparecem na sequência é de 4680 (NIELSEN, 2013). “Cada
redução é um passo na direção da resposta final”, diz Dan Goldston (MCKEE, 2013),
teórico de análise numérica da San Jose State University, na Califórnia.
O que alunos pensam sobre isso?
Após a palestra “Estamos Passando por uma Revolução? – Uma Reflexão sobre
Avanços no Estudo dos Números Primos” apresentada durante a SNCT-2013 os autores
desse trabalho solicitaram que os ouvintes respondessem um questionário (apresentado
no apêndice) contendo sete questões, além de indagações sobre o perfil dos
entrevistados (como a idade e sexo). Na explanação deste questionário, as frases dos
entrevistados são transcritas da mesma forma como foram escritas, pois a linguagem
transmite muito sobre o sujeito e sobre como ele pensa.
A amostra total obtida foi de 22 questionários respondidos. Houve condições
especiais para que o questionário respondido fosse considerado na amostra: o
questionário deveria estar totalmente respondido, as respostas deveriam ser coerentes e
em cada questão poderia ser assinalada apenas uma alternativa, com apenas uma
exceção (a sexta questão).
A média da idade dos entrevistados foi de aproximadamente 18 anos e com um
desvio padrão de aproximadamente 7 anos; a maioria (64%) pertenceu ao sexo
feminino, como mostra o gráfico abaixo.
425
A primeira questão indagou aos ouvintes sobre qual o grau de interesse deles
pela matemática. Dos 22 pesquisados (a ampla maioria era de alunos do IFSP), 11
declararam ter grande interesse pela matemática, enquanto 9 pesquisados disseram que
têm um interesse médio pela matemática e 2 entrevistados declararam ter um pequeno
interesse pela matemática. Como tratava-se de entrevistados que foram assistir a uma
apresentação sobre números primos, já era esperado este resultado que revela um
interesse considerável pela matemática, ao contrário do que acontece com a grande
maioria dos alunos de ensino médio.
Na segunda questão, os alunos foram questionados se, durante o ensino
fundamental ou médio, lhes foi ensinado o que é um número primo – ou pelo menos se
o entrevistado lembrava de ter sido ensinado a respeito de números primos. Todos os
pesquisados relataram que tinham sido ensinados sobre o conceito de números primos.
Para aqueles que responderam sim a esta questão (todos os entrevistados), a terceira
questão questionou ao entrevistado se ele, na época, conseguiu aprender, de fato, o que
era um número primo. O gráfico a seguir mostra os dados obtidos sobre essa terceira
questão: a ampla maioria declarou que conseguiu aprender o que era um número primo
quando lhes foi ensinado.
426
Isto mostra que a aprendizagem a respeito dos números primos não apresenta
dificuldades intransponíveis. Isso associado ao fato de existirem diversas conjecturas
associadas aos primos, indica que o seu estudo pode ser uma alternativa para despertar a
curiosidade dos alunos.
Na quarta questão, perguntou-se aos pesquisados se eles achavam que faltavam
– ou não – coisas para serem descobertas na Matemática. Todos os pesquisados
responderam que pensavam que haveria “coisas” novas a serem descobertas na
matemática, revelando a ideia de que compreenderam um dos principais objetivos da
palestra, o de revelar a matemática como uma ciência viva e que não está completa.
Na quinta questão foi questionado aos pesquisados se eles acreditam que
aprender sobre a história da matemática ajuda a aprender sobre a própria matemática.
Isto relaciona-se ao fato de que o estudo dos números primos está profundamente
imbricado na história da matemática. Todos os entrevistados afirmaram que a
aprendizagem a respeito da história da matemática ajuda na aprendizagem de conteúdos
da matemática, revelando assim a importância dada pelos entrevistados para a evolução
histórica dos conceitos da matemática. Em caso de resposta afirmativa nesta questão,
era solicitado que o aluno argumentasse sua resposta. Uma destas argumentações
demonstra a percepção do aluno de que é necessário compreender o passado para
explorar o futuro; obviamente essa argumentação foi escrita com a linguagem do aluno
(linguagem não formal) que é transcrita a seguir: “Sim, porque através da história da
matemática a gente descobre e abre a cabeça com novos conhecimentos”. Outro aluno
chama a atenção para o acúmulo do conhecimento e para a construção de uma base
427
sólida para um estudo mais concreto; novamente, esse aluno utiliza a sua linguagem
cotidiana em sua argumentação, assim como fez o aluno antes citado: “Pois, sabendo o
que já aconteceu, nos dá uma certa base. E além do mais, é mais conhecimento e isso é
sempre bom”.
A sexta questão perguntou sobre qual a preferência dos pesquisados em relação
aos diferentes campos da matemática (cada pesquisado poderia assinalar mais que um
campo). Álgebra e geometria foram áreas de preferência de 9 pesquisados; Aritmética,
Estatística e Trigonometria foram áreas de preferência de 8 pesquisados; Probabilidade
foi uma área de preferência de 6 pesquisados; finalmente, 1 pesquisado relatou preferir
uma outra área da matemática que não estava entre as anteriores, especificando que esta
área é o Cálculo.
Finalmente, a sétima questão perguntava ao entrevistado qual a importância que
ele dava ao esforço despendido pelos matemáticos em pesquisas sobre números primos:
14 dos pesquisados afirmaram que este esforço é de grande importância, 6 pesquisados
afirmaram que este esforço tem importância média e apenas 2 pesquisados afirmaram
que este esforço é de pouca importância. O trabalho profissional dos matemáticos é
muitas vezes intangível para os leigos em geral, sobretudo devido ao seu caráter
abstrato. As respostas a esta questão indicam que entre o público presente há uma
razoável compreensão acerca da importância do trabalho com matemática pura.
Como os 22 pesquisados tinham sido selecionados entre aqueles que tinham
comparecido de modo voluntário para assistir uma apresentação sobre números primos,
já eram esperados os resultados que foram apresentados nos parágrafos anteriores. Mas
mesmo assim, estes resultados indicam que há espaços possíveis para motivar alunos e
despertar a curiosidade deles para trabalhar tópicos da matemática tradicionalmente
considerados abstratos em demasia, como é o caso do estudo dos números primos.
Considerações finais
Este artigo procurou mostrar possibilidades para despertar o interesse de alunos
por temas abstratos de matemática, mais particularmente na área dos números primos. O
estudo de conjecturas em torno dos números primos e a análise dos avanços históricos
no estudo delas podem colaborar para que os alunos percebam a matemática como uma
ciência viva e em construção; a compreensão destas conjecturas é relativamente simples
e acessível para alunos da educação básica o que permite que eles se sintam apoderados
428
para explorar tópicos de matemática para os quais ainda não existem respostas. Os
resultados da pesquisa realizada após a apresentação de uma palestra sobre números
primos durante a SNCT-2013 no IFSP/Caraguatatuba indicam que há diversas
possibilidades para um trabalho produtivo e estimulante com temas de matemática pura,
como é o caso do estudo dos números primos e da teoria dos números.
Muitos indagam-se sobre a aplicabilidade e a relevância da realização de estudos
e pesquisas em ciência básica e particularmente na matemática pura. As palavras do
matemático inglês G. H. Hardy (2000) em seu livro “Em defesa de um matemático” são
esclarecedoras a este respeito: “Nunca fiz nada de ‘útil’. Nenhuma descoberta minha
fez, ou provavelmente fará, direta ou indiretamente, para o bem ou para o mal, a menor
diferença para as amenidades do mundo. A julgar por todos os padrões práticos, o valor
da minha vida matemática é nula.”
Talvez Hardy tenha sido muito rigoroso acerca de si mesmo, mas na essência o
que ele afirma sobre os matemáticos puros em geral é uma verdade. Sempre se pode
afirmar que o estudo a respeito dos números primos tem uma importância econômica,
por exemplo, devido às implicações para a criptografia (que está atualmente totalmente
baseada nas propriedades dos números primos) e, por decorrência, para todo o sistema
financeiro mundial. Mas os matemáticos pesquisam os números primos essencialmente
pelo prazer da descoberta de um possível “novo continente” – ou pelo menos de novas
“ilhas” – no mundo da matemática. O pesquisador em matemática pura – como em geral
acontece com toda a ciência básica – não faz sua pesquisa essencialmente buscando
uma aplicabilidade imediata e sim buscando novos conhecimentos, que futuramente
poderão ser aplicados por outros pesquisadores em artefatos tecnológicos. Se a dinâmica
não fosse esta, a humanidade poderia se ver privada de descobertas valiosas envolvendo
grandes segredos e produzindo novos e curiosos conhecimentos.
Agradecimentos
Agradecimentos a Carlos Alberto Junior (aluno de Licenciatura em Matemática
do IFSP/Caraguatatuba) que colaborou para o desenvolvimento desta pesquisa, ao Prof.
Ms. Nelson Alves Pinto (IFSP/Caraguatatuba) pelo incentivo ao assunto dessa pesquisa,
à Profa. Ms. Jaqueline Lopes (IFSP/Caraguatatuba) pela colaboração para a redação
deste artigo e à CAPES pela bolsa cedida a Marcio Oliveira de Morais Junior por meio
do Programa Jovens Talentos para a Ciência.
429
Referências bibliográficas
BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher,
1974.
BRIÃO, Gabriela Félix. A Conjectura de Goldbach. Jornal da Matemática
Universidade Gama Filho, Rio de Janeiro, pág. 1, jun 2010.
CORTELLA, Mario Sergio. A Escola e o Conhecimento. São Paulo: Cortez, 2009.
CRANDALL, Richard. POMERANCE, Carl. Prime Numbers: A Computational
Perspective. Second edition, Springer: 2005.
DERBYSHIRE, John. Obsessão prima: Bernhard Riemann e o maior problema
não resolvido da matemática. Rio de Janeiro: Editora Record, 2012.
DIOXIADIS, Apostolos. Tio Petros e a conjectura de Goldbach. São Paulo:
Editora 34, 2001.
EUCLIDES. Os elementos. São Paulo: Editora Unesp, 2009.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Editora da
Unicamp, 2004.
HARDY, G. H. Em defesa de um matemático. São Paulo: Martins Fontes, 2000.
HELFGOTT, H. A. Major arcs for Goldbach’s problem. Disponível em:
http://download.uol.com.br/noticias/conjecturafraca.pdf. Acessado em 20 fev. 2014
às 20:00
MCKEE, Maggie. Distribuição de números primos tem novo teorema:
Matemático norte-americano anuncia avanço na resolução de problema.
Publicado
em
16
mai.
2013.
Disponível
em:
430
http://www2.uol.com.br/sciam/noticias/primeira_prova_de_que_infinitos_numeros_
primos_vem_em_pares.html. Acessado em 12 dez. 2013 às 19:22.
NIELSEN, Michael. Bounded gaps between primes (Polymath project).
Disponível
em:
www.michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_prim
es. Acessado em 02 dez. 2013 às 12:00.
NOGALES, Jose. A conjectura fraca de Goldbach foi demostrada. Disponível
em: http://magiadafisica.blogspot.com.br/2013/05/a-conjectura-fraca-de-goldbachfoi.html. Acessado em 20 fev. 2014 às 22:00.
RIBEMBOIM, Paulo. Números primos: mistérios e recordes. Rio de Janeiro:
LTC/IMPA, 2001.
RIPOLL, Cydara Cavedon. Aprenda errado, com um livro didático. In: Cálculo –
Matemática para todos. Edição 25, ano 3, p. 58-64, 2013.
SANTOS, J. P. O. Introdução à Teoria dos Números. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA
- SBM, 1998.
SAUTOY, Marcus du. A música dos números primos. Rio de Janeiro: Zahar,
2007.
SAUTOY, Marcus du. Os mistérios dos números. Rio de Janeiro: Zahar, 2013.
WATANABE, Renate. Duas notícias espetaculares. In: Revista do Professor de
Matemática, n. 82, ano 31,3º quadrimestre/2013, p. 2-6.
WELLS, D. G. Prime numbers: the most mysterious figures in math.
Hoboken/New Jersey: John Wiley & Sons, 2005.
431
Apêndice
QUESTIONÁRIO - Idade: ______ anos
Sexo: ( )Masculino
( )Feminino
1-Qual é o seu grau de interesse pela matemática?
( )Grande
( )Médio
( )Pequeno
( )Nenhum
2-Durante o ensino fundamental ou ensino médio, foi ensinado a você o que é um número primo?
( )Sim
( )Não
3- Em caso positivo na questão anterior, quando foi ensinado a você, você conseguiu entender na
época o que era um número primo?
( )Sim
( )Não
4-Você acha que faltam ou que não faltam coisas para serem descobertas na Matemática?
( )Faltam coisas para serem descobertas
( )Não faltam coisas para serem descobertas
5-Em sua opinião, aprender sobre a História da Matemática ajuda a aprender a própria Matemática?
( )Sim
( )Não
Em caso positivo, por quê ela ajuda?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
6-Qual campo da matemática é o seu preferido?
( )Aritmética
( )Probabilidades
( )Álgebra
( )Estatística
( )Geometria
( )Nenhum
( )Trigonometria
( )Outro_________
432
7- Qual é o grau de importância que você dá ao esforço dos matemáticos por pesquisar números
primos?
( )Muito importante
( )De importância média
( )Pouco importante
( )Nada importante
Eixo Temático: (E5 - História e Filosofia)
433
OS LIVROS DE MATEMÁTICA PARA OS CURSOS COMERCIAIS BÁSICOS
DA REFORMA CAPANEMA
Sérgio Candido de GOUVEIA NETO – UNIR – RO ([email protected])
Resumo: Nas décadas de 1940 e 1950, os professores (i) Carlos Calioli e Nicolau D’
Ambrósio; (ii) Lucas Rodrigues Junot, (iii) Ary Quintella e; (iv) Algacyr Munhoz
Maeder publicaram livros de matemática que visavam atender os Cursos Comerciais
Básicos, estabelecidos em 1943 por meio da Lei Orgânica do Ensino Comercial. A
Portaria nº 468 de 1946 definiu os programas da disciplina de matemática nestes cursos.
Contudo, questiona-se em que medida as orientações desta legislação foram
incorporadas nestes livros? Portanto, o texto aqui delineado tem como objetivos
apresentar detalhes das coleções destes autores, bem como analisar se os programas de
ensino da portaria citada foram ou não incorporadas pelos autores. Os resultados
indicam que as obras tinham uma estrutura semelhante àquela definida pela legislação.
Os autores ressaltavam este ponto, geralmente nos prefácios ou nas primeiras páginas.
Dos autores acima, os livros de Junot parecem que foram elaborados para os professores
e não para os alunos. Como consideração final, destaca-se que os livros cumpriam a
função referencial, conforme colocado por Choppin (2004), ou seja, o livro didático é
uma fiel tradução do programa. Destaca-se que não se encontrou alguns livros de Junot
e Quintella, constituindo uma possível lacuna do texto.
Palavras-chave: História, Ensino Comercial, Comércio.
434
1 Introdução
A estrutura do ensino comercial foi alterada em 1943, por meio do Decreto-Lei nº
6.141 de 28 de dezembro, conhecida como Lei Orgânica do Ensino Comercial
(BRASIL, 1943). A lei fazia parte do conjunto de reformas implantadas na gestão de
Gustavo Capanema à frente do Ministério da Educação.
A partir desta legislação, o ensino comercial foi dividido em cursos de formação,
continuação e de aperfeiçoamento. Os cursos de formação foram divididos em
comercial básico (1º ciclo) e comerciais técnicos (2º ciclo). Estes últimos tiveram cinco
habilitações: Comércio e propaganda, Administração, Contabilidade, Estatística e,
Secretariado.
Embora tenham sido elaborados livros de matemática para estes dois ciclos do
ensino comercial, entre as décadas de 1940 a 1970, nesta comunicação serão focados as
obras de matemática para os cursos comerciais básicos. O texto aqui delineado trata-se
de um recorte de uma tese de doutoramento intitulada “Uma História do Ensino de
Matemática em Ciências Contábeis no Brasil”, que está em fase de elaboração junto ao
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Estadual
Paulista – Campus de Rio Claro.
De uma forma geral, o curso comercial básico era de quatro anos e tinha como
objetivo o ensino dos “elementos gerais e fundamentais do ensino comercial”. Neste
sentido, as disciplinas foram divididas em dois grupos: cultura geral e cultura técnica. A
disciplina de Matemática fazia parte da cultura geral e estava presente nas quatro séries.
Em 1946, por meio da Portaria nº 468 de 07 de agosto foram definidos os
Programas de Matemática do Curso Comercial Básico (BRASIL, 1946). Os conteúdos
estavam divididos em aritmética prática (1ª, 2ª e 3ª séries), geometria intuitiva (2ª série),
aritmética comercial e geometria dedutiva (4ª série). Assim, para atender
especificamente a disciplina de Matemática dos cursos comerciais básicos, surgem as
coleções de Carlos Calioli e Nicolau D’Ambrósio; Algacyr Munhoz Maeder; Lucas
Rodrigues Junot; Ary Quintella. Mas, em que medida as orientações da Portaria nº 468
foram incorporadas nestes livros?
435
A respeito dos livros de Maeder destinados ao ensino comercial básico, a tese de
doutorado de Longen (2007) nos fornece importantes informações, principalmente
àquelas relacionadas à disposição dos conteúdos ao longo da obra. Contudo, há
necessidade de estudos mais aprofundados sobre tais materiais, inserindo-os em
contextos mais amplos, por exemplo, como parte de um conjunto de obras destinadas ao
ensino comercial básico. Para as coleções dos demais autores, não foram identificados
estudos que abordem seus textos.
Desta forma, esta comunicação tem como objetivos apresentar detalhes das obras
de Carlos Calioli e Nicolau D’Ambrósio; Algacyr Munhoz Maeder; Lucas Rodrigues
Junot; Ary Quintella, destinadas ao ensino comercial básico, bem como, analisar se as
orientações da Portaria nº 468 foram ou não incorporadas nestes livros.
2 Os livros de Carlos Calioli e Nicolau D’Ambrósio para o Curso Comercial Básico
Carlos Calioli e Nicolau D’Ambrósio escreveram três livros para o ensino
comercial básico, publicados pela Companhia Editora Nacional (Figura 1). Para o
primeiro livro “Matemática para o primeiro e segundo ano do curso comercial básico”,
foi encontrado a 4ª edição de 1962; já para o segundo livro “Matemática – Álgebra para
o terceiro e quarto anos do Ginásio Comercial”, foi encontrado a 5ª edição de 1963 e
por fim, para o último livro “Matemática – Aritmética e Geometria para o quarto ano
do curso comercial básico”, foi encontrado a 4ª edição de 1956.
436
1962 – 4ª edição
1963 – 5ª edição
1956 – 4ª edição
Figura 1 – Capa dos livros de Carlos Calioli e Nicolau D’Ambrósio para o Curso
Comercial Básico
2.1 Primeiro e segundo ano do curso comercial básico (1962 – 4ª. Edição)
O primeiro livro analisado foi a “Matemática para o primeiro e segundo ano do
curso comercial básico”. Na segunda página da obra consta a informação “De acordo
com o programa em vigor, de 7 de agosto de 1946, e de uso autorizado pelo Ministério
da Educação e Cultura, registrado na Comissão Nacional do Livro Didático sob nº
1337”. Logo abaixo, tem-se “Desta obra se publicaram separadamente, de 1939 a
1960, 28 edições do volume para o 1º ano e 20 daquele para o 2º ano, numa tiragem
global de 250.000 exemplares”.
Estas informações são contraditórias, pois, ao que tudo indica, a 1ª edição deste
livro foi publicada em 1939, portanto, antes da Reforma Capanema e acima há
indicações de que seguia o programa em vigor de acordo com o decreto de 1946. Além
disso, como o livro era para o 1º e 2º ano, juntos, o número de edições deveriam ser as
mesmas. De toda forma, a tiragem de 250.000 exemplares indica que muitos alunos
usaram este livro.
Há prefácio somente neste livro, e nesta, os autores apresenta como os assuntos
seriam tratados, bem como o fato de estarem de acordo com a proposta unificadora da
437
matemática (aritmética, álgebra e geometria) proposta por Euclides Roxo, embora
mantivessem a divisão entre estas partes:
Procurando atualizar o nosso livro, pensamos em introduzir,
logo no início do curso, o raciocínio tipo algébrico, É mais fácil,
mais lógico, e facilitará trabalhos posteriores.
Embora se procure, ainda, manter a divisão entre álgebra e
aritmética, somos favoráveis à tendência unificadora da
matemática atual, e procuramos destacar o caráter algébrico das
operações com números (CALIOLI e D’AMBRÓSIO, 1962, p.
13)
Ainda no prefácio, logo abaixo, há indicações da idade dos alunos no qual o livro
era destinado: “[...] Pretendendo ser o menos prolixos possível, podemos ter sacrificado
o rigor da exposição. Para evitar isso teríamos que fazer um livro inacessível a jovens
de 11 e 12 anos. [...]”
A obra está dividida em duas partes: primeiro e segundo ano. No primeiro ano, o
assunto é de aritmética prática, com os conteúdos: noções preliminares, operações
fundamentais, múltiplos e divisores, frações ordinárias, frações decimais, potências e
raízes. Para o segundo ano, os assuntos foram divididos em duas partes: Geometria
intuitiva e Aritmética prática. Como assunto de conteúdos típicos do ensino comercial,
destaca-se: moeda inglesa, sistema inglês de pesos e medidas, conversões para
unidades legais brasileiras; tudo isto dentro do tópico de número complexo. Além
destes conteúdos, as unidades III e IV tratam de assuntos abordados em livros de
matemática comercial (razão, proporções, grandezas proporcionais, divisão em partes
proporcionais, regra de três, percentagem e juros simples).
2.2 Terceiro e quarto ano do curso comercial básico (1963 – 5ª. Edição; 1956 – 4ª.
Edição)
438
Na 5ª edição de 1963 do segundo livro “Matemática – Álgebra para o terceiro e
quarto anos do Ginásio Comercial” consta que “Desta obra se publicaram
separadamente, de 1941 a 1960, 16 edições do volume para o 3º ano e 10 para o 4º
ano, numa tiragem global de 130.000 exemplares”. O subtítulo “Ginásio Comercial”
pode ser em função do ano de publicação (1963), onde a nomenclatura era outra.
Os conteúdos deste livro estão divididos em duas partes: terceiro e quarto ano. O
terceiro ano aborda os conteúdos de álgebra: números relativos, expressões algébricas,
operações algébricas, frações algébricas, equações do primeiro grau, representações
gráficas, desigualdades do primeiro grau, números irracionais e equações do segundo
grau. Ao longo dos desenvolvimentos destes assuntos, sempre que possível, os autores
apresentavam exemplos e exercícios com aplicações no comércio. Para o quarto ano, os
conteúdos foram divididos em duas partes: aritmética comercial e geometria dedutiva.
Os assuntos de geometria dedutiva são: conceito de geometria dedutiva, ângulos e
triângulos, perpendiculares e oblíquas, paralelas, polígonos, círculo, linhas
proporcionais, semelhança, relações métricas, polígonos regulares convexos, medição
de circunferência e áreas planas. No tópico sobre aritmética comercial, o capítulo está
dividido em duas unidades. A primeira é uma revisão sobre proporções, médias,
propriedades sobre proporções, grandezas proporcionais, números proporcionais,
regra de sociedade (simples e composta) e percentagens. A segunda unidade do
capítulo trata do conteúdo de operações sobre mercadorias (preço de custo e venda;
lucros e prejuízos; problemas de determinação de custo, venda, taxa e percentagem e
abatimentos sucessivos).
Na 4ª edição de 1956 do terceiro livro “Matemática – Aritmética e Geometria
para o quarto ano do curso comercial básico” não há informação sobre o número de
tiragem. Esta obra constitui-se na verdade, a parte do quarto ano do segundo livro. Não
é um livro novo, mas é um desdobramento. O subtítulo justifica: “para o quarto ano do
curso comercial básico”. Os assuntos e exemplos são os mesmos, sendo que alguns
foram retirados do terceiro livro.
Nos três livros, logo nas primeiras páginas, os autores colocam os programas de
matemática dos cursos comerciais básicos, indicando que seguiam o estabelecido na
legislação.
439
3 Os livros de Algacyr Munhoz Maeder para o Curso Comercial Básico
Algacyr Munhoz Maeder escreveu quatro livros para os cursos comerciais
básicos, publicados pela “Edições Melhoramentos”. Outras informações sobre o autor
encontram-se na tese de Longen (2007).
3.1 Primeira e segunda série do curso comercial básico
Para a 1ª Série do Curso Comercial Básico, o livro descrito neste trabalho é da 2ª
edição, publicado em 1954 (Figura 2). A obra possui conteúdos compreendendo noção
de número inteiro; numeração falada e escrita; Moeda; o cruzeiro e sua subdivisão,
símbolos; operações com números inteiros; múltiplos e divisores; números primos;
máximo divisor comum; menor múltiplo comum; frações; potências e raízes.
Para a 2ª Série do Curso Comercial Básico, foi observado a 2ª edição (Figura 2),
sem data de publicação. Este segundo livro caracteriza-se pela quantidade de conteúdos
de geometria (sólidos geométricos, superfície, linha, ponto, plano, reta, semirretas,
segmento, ângulos, posições relativas de retas e planos, polígonos: triângulos e
quadriláteros, círculo, poliedros). Além destes pontos, destacam-se nos capítulos finais
do livro alguns conteúdos caracterizados como típicos do ensino comercial: sistema
métrico, números complexos (unidade de ângulos e de tempo), sistema inglês de pesos e
medidas, moeda inglesa, razões e proporções, médias, divisão proporcional, regra de
três, porcentagem e juros simples. Observa-se também que os tópicos de geometria e os
assuntos de comércio não se relacionam, é como se dois livros diferentes fossem
colocados juntos.
440
Figura 2 – Capa dos livros de Algacyr Munhoz Maeder para o Curso Comercial Básico
3.2 Terceira e quarta série do curso comercial básico
Para a 3ª Série do Curso Comercial Básico, a descrição a seguir é o da 3ª edição,
publicado em 1962 (Figura 3). O livro caracteriza-se pelo tratamento de assuntos de
álgebra (números relativos, expressões algébricas, operações com monômios e
polinômios, fatoração, frações algébricas, equações, resolução e discussão de uma
equação com uma incógnita, sistemas do primeiro grau com duas incógnitas, resolução
de um sistema de três equações do primeiro grau, coordenadas cartesianas no plano,
desigualdades do primeiro grau, números irracionais, equações do segundo grau,
resolução de sistemas simples do segundo grau e problemas do segundo grau).
O livro da 4ª Série do Curso Comercial Básico, descrito neste trabalho é o da 2ª
edição de 1962 (Figura 3). Este livro caracteriza-se por ter conteúdos de aritmética
comercial (proporções, números proporcionais, divisão em partes proporcionais –
regra de sociedade, porcentagem, operações sobre mercadorias), além de conteúdos de
geometria (geometria dedutiva, ângulos, triângulos, perpendiculares e oblíquas,
paralelas, polígonos, quadriláteros, círculo, correspondência de arcos e ângulos,
linhas proporcionais, semelhança de triângulos e polígonos, relações métricas no
441
triângulo retângulo e triângulo qualquer, polígonos regulares convexos, medição da
circunferência, áreas planas e das figuras circulares, relações métricas entre áreas).
Figura 3 – Capa dos livros de Algacyr Munhoz Maeder para o Curso Comercial Básico
Embora o livro de Matemática de Maeder da 2ª série não contenha conteúdos
típicos do ensino comercial, nos demais livros há capítulos relacionando matemática e
comércio. Em alguns pontos, quando o capítulo não trata desta relação, o autor coloca
exemplos, exercícios resolvidos e exercícios para o aluno com exemplos de aplicação
no comércio. Apesar destas inserções, a maior parte dos conteúdos constitui-se de
cultura geral escolar ao invés de cultura técnica.
4 Os livros de Lucas Rodrigues Junot para o Curso Comercial Básico
Outro autor de livros para o ensino comercial foi Lucas Rodrigues Junot. Deste
autor, foram encontrados apenas dois livros: o da primeira e quarta série. O livro
“Matemática para o curso comercial básico – Primeira série”, encontrou-se a 3ª edição
de 1954, enquanto que o livro “Matemática para o curso comercial básico – Quarta
série” foi encontrado a edição de 1956. Ambos foram publicados pela Editora do Brasil
442
S/A na coleção didática do Brasil - Série Comercial, volumes 9 e 12, respectivamente
para as 1ª e 4ª séries. (Figura 4).
Figura 4 – Capa dos livros de Lucas Rodrigues Junot para o Curso Comercial Básico
4.1 Primeira série do curso comercial básico
No livro “Matemática para o curso comercial básico – Primeira série” há dois
prefácios, o da primeira e da terceira edição. O prefácio que se refere à primeira edição,
o autor coloca que seguiu rigorosamente o programa oficial e que orientou os assuntos
conforme as instruções metodológicas dispostos na legislação.
Ao que parece, o livro foi destinado aos professores e não aos alunos, conforme
o prefácio da primeira:
[...] Os questionários destinam-se a auxiliar o professor, não só
na confecção dos pontos para exames, como também para os
trabalhos ou deveres de casa, constituindo por si, um método de
estudo para quem se inicia, na justificação lógica dos princípios
da matemática. Admitimos que, apesar dos cuidados, tenham
escapado à revisão certos erros ou falhas; porisso (sic)
443
agradecemos qualquer sugestão ou emendas que venham
beneficiar esta obra [...] (JUNOT, 1954, p.10).
Os conteúdos do texto compreendem “noções fundamentais, operações
fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão, cálculo mental e abreviado),
múltiplos e divisores (divisibilidade, números primos, máximo divisor comum, mínimo
múltiplo comum), frações ordinárias, frações decimais, potências e raízes”. Em noções
fundamentais, encontra-se o assunto de moedas e trata do cruzeiro e suas subdivisões,
conforme a portaria ministerial que definiu os programas do curso comercial básico.
4.2 Quarta série do curso comercial básico
No prefácio do livro “Matemática para o curso comercial básico – Quarta série”
o autor ressalta a questão do alinhamento às instruções metodológicas emanadas a partir
da Portaria nº 468 de 1946:
[...] De acordo com as instruções metodológicas, a primeira
parte deste programa, relativa às proporções e operações sobre
mercadorias, deve ser tratada no decorrer do ano em períodos
diversos.
Não havendo aqui, solução de continuidade, no ensino de
geometria dedutiva, o programa visa completar os
conhecimentos adquiridos nas séries anteriores, sob um aspecto
lógico e uniforme, apresentando-se os assuntos seguidos de
exemplos concretos e de exercícios onde haja a aplicação do
raciocínio dedutivo [...] (JUNOT, 1956, p. 9).
Da mesma forma que no livro para a primeira série do curso comercial básico, o
texto para a quarta série parece que foi destinado ao professor e não ao aluno, conforme
se observa no prefácio: “[...] Na esperança de ser satisfeito, apelo para os colegas, no
444
sentido de me serem enviadas sugestões que, de alguma forma, venham a melhorar esta
obra nas edições que se sucederem. (JUNOT, 1956, p. 9, grifo nosso)”.
Os conteúdos estão divididos em aritmética comercial e geometria dedutiva. Os
assuntos de geometria dedutiva são: introdução à geometria dedutiva, a reta, círculo,
linhas proporcionais, semelhança, relações métricas nos triângulos, relações métricas
no círculo, polígonos regulares convexos, medição da circunferência, áreas planas. Já
os assuntos de aritmética comercial estão divididos em: proporcionalidade (razões e
proporções, números proporcionais) e operações sobre mercadorias (preço de custo e
venda, lucro e prejuízo, problemas de aplicação e abatimentos sucessivos).
5 A “Álgebra elementar” de Ary Quintella para o Curso Comercial Básico
Ary Quintella foi autor de diversos livros didáticos, atingindo os cursos ginasial,
clássico e científico, admissão, exame de madureza, vestibular, curso normal e curso
comercial básico (THIENGO, 2001). Para este último nível de ensino, tem-se
informações que Quintella foi autor de quatro livros: Aritmética prática (1º ano do
Curso Comercial Básico), Matemática (2º ano do Curso Comercial Básico), Álgebra
Elementar (3º ano do Curso Comercial Básico) e Geometria Plana (4º Ano do Curso
Comercial Básico). Contudo, só foi possível encontrar a segunda edição do livro
“Álgebra Elementar para o terceiro ano do Curso Comercial Básico” (Figura 5),
publicado em 1951 pela Companhia Editora Nacional.
445
Figura 5 – Capa do livro “Álgebra Elementar” de Ary Quintella para o Curso Comercial
Básico
Na capa da obra tem-se a informação de que o material era destinado ao terceiro
ano do curso comercial básico e que estava de acordo com o programa oficial. Além
disso, consta que o livro tinha 800 exercícios. Na contracapa, apresenta uma lista de
obras do autor: “Matemática, 1ª série ginasial”, “Matemática, 2ª série ginasial”,
“Matemática, 3ª série ginasial”, “Matemática, 4ª série ginasial”, “Aritmética Prática, 1º
ano do Curso Comercial Básico”, “Matemática, 2º ano do Curso Comercial Básico”,
“Geometria Plana, 4º ano do Curso Comercial Básico (no prelo)”, em colaboração com
o prof. Vitalino Alves (“Questões do concurso nas Escolas Superiores”) e em
colaboração com o prof. Newton O’Reilly (“Exercícios de Aritmética, Admissão”).
Nas primeiras páginas da álgebra elementar encontra-se o programa de
matemática do terceiro ano do curso comercial básico e estava de acordo com a Portaria
nº 468 de 07 de agosto de 1946. Os conteúdos estavam divididos em unidades (nove) e
subunidades. Os tópicos das unidades são: números relativos, expressões algébricas,
operações algébricas, frações algébricas, equações do primeiro grau, representações
gráficas, desigualdades do primeiro grau e equações do segundo grau.
446
Considerações finais
De uma forma geral, os livros destes autores seguiam o que determinava a
Portaria nº 468 de 1946, cumprindo a função referencial, conforme colocado por
Choppin (2004). Para este autor, os livros didáticos exercem quatro funções essenciais
(referencial, instrumental, ideológica – cultural e documental). Na função referencial, o
livro didático é uma fiel tradução do programa, ao passo que como função instrumental,
este põe em prática métodos de aprendizagem. Já na função ideológico-cultural,
geralmente o livro didático é um instrumento de reconstrução de identidade e de cultura.
Mais recentemente, de acordo com Choppin (2004), tem-se identificado a função
documental, onde o livro didático torna-se um conjunto de documentos, textuais ou
icônicos, “cuja observação ou confrontação podem vir a desenvolver o espírito crítico
do aluno” (CHOPPIN, 2004, p. 553).
Estes livros destinados ao ensino comercial básico caracterizam-se também por
apresentar muitos capítulos com conteúdos de geometria (intuitiva e dedutiva). Da
mesma forma, a aritmética, seguindo a legislação, foi dividida em prática e comercial,
sendo que a primeira parte consistia na formação de cultura geral escolar, ao passo que a
segunda constitui-se de um conjunto de assuntos ligados diretamente a formação técnica
do aluno.
Como não foi possível encontrar os demais livros de Lucas Rodrigues Junot e Ary
Quintella, fica a dúvida se tais materiais foram realmente publicados. De toda forma, o
estudo em tela nos fornece importantes informações históricas sobre o ensino comercial
básico.
Referências
BRASIL. Decreto-lei nº 14.373, de 28 de Dezembro de 1943 – Regulamento da
Estrutura dos Cursos de Formação do Ensino Comercial. Diário Oficial [da República
Federativa do Brasil]. Rio de Janeiro, 31 dez. 1943. Secção 1, p. 19231-19232.
BRASIL. Portaria nº 468, de 07 de Agosto de 1946 – Expede o programa de matemática
e respectivas instruções metodológicas, para o curso comercial básico. Diário Oficial
[da República Federativa do Brasil]. Rio de Janeiro, 12 ago. 1946. Secção 1, p. 11608.
447
CALIOLI, Carlos; D’AMBRÓSIO, Nicolau. Matemática: Aritmética e Geometria. 4.
ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1956. 236 p.
CALIOLI, Carlos; D’AMBRÓSIO, Nicolau. Matemática: Primeiro e Segundo ano do
curso comercial básico. 1. ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1962. 294 p.
CALIOLI, Carlos; D’AMBRÓSIO, Nicolau. Matemática: Primeiro e Segundo ano do
curso comercial básico. 4. ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1962. 294 p.
CALIOLI, Carlos; D’AMBRÓSIO, Nicolau. Matemática: Terceiro e quatro anos do
Ginásio comercial. 5. ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1963. 402 p.
CHOPPIN, Alain. História dos livros e das edições didáticas: sobre o estado da arte.
Educação e pesquisa. São Paulo, v.30, n.3, p. 549-566, set/dez 2004.
JUNOT, Lucas Rodrigues. Matemática: para o curso comercial básico. 3. ed. Rio de
Janeiro: Editora do Brasil, 1954. 156 p.
JUNOT, Lucas Rodrigues. Matemática: para o curso comercial básico. 3. ed. Rio de
Janeiro: Editora do Brasil, 1956. 222 p.
LONGEN, Adilson. Livros didáticos de Algacyr Munhoz Maeder sob um olhar da
Educação Matemática. 2007.405 f. Tese (Doutorado em Educação), Universidade
Federal do Paraná, Curitiba, 2007.
MAEDER, Algacyr Munhoz. Matemática: 1ª série curso comercial básico. 2. ed. São
Paulo: Edições Melhoramentos, 1954. 187 p.
MAEDER, Algacyr Munhoz. Matemática: 2ª série curso comercial básico. 2. ed. São
Paulo: Edições Melhoramentos, s.d. 207 p.
MAEDER, Algacyr Munhoz. Matemática: 3ª série curso comercial básico. 3. ed. São
Paulo: Edições Melhoramentos, 1962. 250 p.
MAEDER, Algacyr Munhoz. Matemática: 4ª série curso comercial básico. 2. ed. São
Paulo: Edições Melhoramentos, 1962. 293 p.
QUINTELLA, Ary. Álgebra elementar para o terceiro ano do curso comercial básico
(com 800 exercícios). 2 ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1951. 238p.
THIENGO, Edmar Reis. A matemática de Ary Quintella e Osvaldo Sangiorgi: um
estudo comparativo. 2001.153 f. Dissertação (Mestrado em Educação), Universidade
Federal do Espírito Santo, Vitória, 2001.
448
EIXO TEMÁTICO: E6 - PSICOLOGIA
FRAÇÃO: SITUAÇÃO PARTE-TODO EM QUESTÕES DE NOMEAR
FRAÇÃO E DE RACIOCÍNIO.
Raquel Factori CANOVA – UNIBAN – SP ([email protected])
Tânia Maria Mendonça CAMPOS – UNIBAN-SP ([email protected])
Angélica Fontoura GARCIA SILVA – UNIBAN – SP ([email protected])
Resumo: Este artigo tem o objetivo de analisar o desempenho dos alunos em problemas
de fração na situação parte-todo no que se refere à questão de nomear fração e de
raciocínio (equivalência e ordem). Tal estudo foi realizado com 378 alunos do 4º, 5º e 6º
anos do Ensino Fundamental de duas escolas públicas do estado de São Paulo. O
referencial teórico escolhido foi a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud
que também fundamenta os estudos de Nunes em relação ao conceito fração. Para
coletar os dados foi entregue aos alunos em sala de aula, um caderninho contendo
quatro problemas de fração na situação parte-todo, sendo dois problemas envolvendo o
conceito de ordem e dois de equivalência. Os alunos foram orientados para responderem
as questões individualmente e sem auxilio de material. A pesquisadora leu as questões
com os alunos a fim de evitar dificuldades de leitura que pudessem interferir no
desempenho dos alunos na resolução das questões. Os resultados apontam que em uma
dada situação, nesse caso parte-todo, há conceito em que os alunos apresentam melhor
desempenho do que outro, ou seja, as questões de nomear frações parecem ser mais
fáceis do que as questões de raciocínio. Isso nos leva a refletir que o melhor
desempenho em nomear fração pode estar ligado ao “treino com algoritmo” e não de
fato à construção deste conhecimento, pois se a criança representa corretamente uma
fração, mas não sabe dizer se uma quantidade é maior, menor ou igual à outra é muito
provável que não tenha compreendido o conceito fração.
Palavras-chave: Ensino e aprendizagem; Fração; Equivalência e ordem; Situação partetodo.
Introdução
O propósito desta comunicação é analisar o desempenho de alunos em
problemas de fração na situação parte-todo no que se refere à questão de nomear fração
449
e questão de raciocínio (equivalência e ordem). Para coleta de dados foi aplicado um
teste a 378 alunos dos 4º, 5º e 6º anos do Ensino Fundamental de duas escolas estaduais
localizadas na cidade de São Paulo.
A fim de explicitar a problemática apresentaremos inicialmente a relevância e os
fundamentos teóricos deste estudo. Em seguida, dissertaremos sobre os procedimentos
metodológicos adotados, no qual descreveremos o experimento e o instrumento de
coleta de dados. Em seguida, analisaremos e discutiremos os resultados encontrados
para ao final tecer nossas considerações sobre o estudo realizado.
Relevância e Fundamentação
A motivação para a realização do estudo se dá por algumas razões. Primeiro é o
fato do trabalho escolar com frações, no Brasil, iniciar no 4º ano do Ensino
Fundamental e ser retomado, sistematicamente, nos anos seguintes. No entanto,
pesquisas desenvolvidas no Brasil (RODRIGUES, 2005; CANOVA, 2006; GARCIA
SILVA, 2007; CAMPOS, GARCIA SILVA, PIETROPAOLO, 2009; CANOVA 2013;
GARCIA SILVA, CAMPOS, PINHEIRO, SOUZA, 2013) mostram que ainda hoje os
alunos têm pouco domínio desse conceito, fato também comprovado em diferentes
avaliações externas. A segunda razão vem da própria literatura internacional sobre os
estudos e pesquisas com os números racionais (STREEFLAND, 1991; BEHR, HAREL,
POST, LESH, 1992; NUNES E BRYANT, 2009, para citar apenas alguns), que
apontam diversas dificuldades apresentadas por alunos nos vários níveis de
escolarização. E o terceiro motivo é que pesquisas recentes realizadas em diferentes
países (NUNES, BRYANT, PRETZLIK, BELL, EVANS, & WADE 2007; MAMEDE,
2007; CANOVA, 2013; GARCIA SILVA, 2013) apontam que a introdução do conceito
de fração ainda é mais explorada na situação parte-todo do que em outras situações.
Essas pesquisas indicam que nos problemas nos quais a dupla contagem é o
suficiente para responder corretamente o problema os alunos tem melhor desempenho.
E a questão que se faz é se esse aluno realmente entendeu o problema ou se ele apenas
se utilizou de uma técnica que o levou ao acerto sem entender verdadeiramente o
significado daquela resposta, daquele problema.
450
Para analisar os dados utilizamos a Teoria dos Campos Conceituais
(VERGNAUD, 1990) o qual nos oferece ferramentas para analisar a construção de um
conceito. Dentre os argumentos que levaram Vergnaud (1983) ao conceito de Campo
Conceitual tem-se que uma situação não se analisa com um só conceito e que o domínio
por parte dos sujeitos ocorre durante um longo período de tempo durante suas
experiências bem e mal sucedidas. O autor considera, para estudar e entender como os
conceitos matemáticos são desenvolvidos pelas crianças por meio de sua experiência na
escola e fora dela, um conceito como um trio de conjuntos representado como C= (S, I,
R), em que S – é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; I – é um
conjunto de invariantes e R – é um conjunto de representações simbólicas. Nesse
sentido, segundo o autor, para investigar o desenvolvimento de um conceito é
necessário observar esses três conjuntos ao mesmo tempo. Todavia é preciso salientar
que para esta comunicação nos atemos a analisar somente o resultado de uma das
situações que envolvem o conceito de fração: parte-todo.
Utilizando os estudos de Vergnaud como referência Nunes nos ajudou a
compor esta investigação. Nunes, Bryant, Pretzlik, Evans, Wade, Bell (2004) afirmam
que as frações estendem o domínio atribuído por Piaget (1952) para os números inteiros
e sugerem que é importante questionar como as crianças compreendem as classes de
frações equivalentes -
1 2 3
, ,
3 6 9
, etc - e como elas podem ser ordenadas -
1 1 1
  ,
3 4 5
etc.
Essa situação - parte-todo – traz a ideia de partição de um todo em n partes
iguais, na qual o denominador representa o número total de partes e o numerador as
partes tomadas (exemplo, representado 2 partes tomadas de um total de 3 partes). Como
representações, consideramos três delas: a língua natural, representação e representação
pictórica. Já como invariantes trabalharemos com ordem e equivalência.
Procedimentos Metodológicos
O estudo envolveu 378 crianças de duas escolas públicas da cidade de São
Paulo; 136 do 4º ano (idade média: 9,1 anos), 163 do 5º ano (idade média: 10,1 anos) e
79 do 6º ano (idade média: 11,2 anos). A faixa etária geral está entre 8,3 a 14,8 anos e a
idade média geral é de 10 anos, SD = 1,13. A idade média diferiu significativamente por
ano escolar, de acordo com uma análise simples de variância (F = 139,93, p <0,001).
451
Segundo o depoimento das professoras das classes, os alunos do 4º ano ainda não
haviam recebido instrução sobre frações; alguns alunos do 5º ano tinham participado de
aula introdutória sobre frações e os alunos do 6º ano já haviam passado pelo ensino.
Esses alunos estavam divididos em 15 salas de aula. Consideramos importante
manter as salas de aula com todos os seus alunos, sem separação de grupos, uma vez
que o trabalho coletivo no âmbito de sala de aula possibilita uma visão real do ensino
escolar.
O instrumento foi constituído por quatro problemas de divisão e em cada
problema era possível analisar a compreensão do aluno em relação às questões de
nomear frações e raciocínio. A figura 1 mostra indica o que estamos chamando de
questões de nomear frações e questão de raciocínio.
Figura 1: Exemplo de um problema indicando os tipos de questões
Fonte: (CANOVA, 2013, p.74)
452
Em cada problema o aluno deveria representar duas frações, o que estamos
chamando de questões de nomear frações e selecionar a alternativa correta no que se
refere aos invariantes, que denominamos, nesse artigo, como questões de raciocínio.
A seguir expomos dois exemplos de problemas apresentados aos estudantes com
esses invariantes:
Figura 2: Situação parte-todo com
invariante equivalência
Figura 3: Situação parte-todo com invariante
ordem
A Ana divide sua barra em 2 partes
Erica cortou sua torta em 3 partes
iguais e come 1 delas.
iguais e comeu 1.
A Marta divide sua barra em 4 partes
Rute cortou a sua torta em 5 partes
iguais e come 2 delas.
iguais e comeu 1.
Ana comeu mais do que a Marta
A Érica comeu mais do que a Rute
Marta comeu mais do que a Ana
Ana comeu tanto como a Marta
A Rute comeu mais do que a Érica
A Érica comeu tanto como a Rute
Fonte: CANOVA, 2013
Vale ressaltar que mesmo considerando que há espaço nos problemas para a
indicação da notação da fração que representa o que cada menina comeu, a comparação
sobre o resultado da divisão não se remete, necessariamente, à notação de fração. Os
alunos poderiam responder corretamente somente interpretando o enunciado e o
resultado da partilha.
453
A aplicação dos testes foi feita pela pesquisadora. Foi entregue um caderno de
questões para cada aluno e esses foram orientados para responderem individualmente e
sem auxilio de material. Depois das orientações, a pesquisadora iniciou a aplicação do
teste, lendo questão por questão; entre as questões era dado um tempo para os alunos
responderem as perguntas. Este método foi adotado a fim de evitar dificuldades de
leitura que pudessem interferir no desempenho dos alunos na resolução das questões.
Primeiro a pesquisadora lia o enunciado da questão, por exemplo: “A Ana divide sua
barra em 2 partes iguais e come 1 delas. A Marta divide sua barra em 4 partes iguais e
come 2 delas”. Em seguida era solicitado aos alunos representar a fração do chocolate
que a Ana comeu e, em seguida, a fração do chocolate que Marta comeu. Após os
alunos representarem as duas frações a pesquisadora pedia para eles assinalarem, dentre
as três alternativas, a que fosse a correta, lendo uma a uma com eles.
Análise e discussão dos Resultados.
Para investigar o desempenho dos alunos em problemas de fração na situação
parte-todo no que se refere à questão de nomear fração e questão de raciocínio
analisamos as respostas dadas aos problemas apresentados no documento diagnóstico e
contabilizamos os números de acertos. O resultado é apresentado na tabela a seguir:
Tabela 1: Frequência e porcentagem de acertos por tipo de situação e questão (n=378)
Número de
acertos
%
Nomear*
918
30,4
Raciocínio**
292
19,3
* A pontuação máxima nas questões de nomear frações é 3024 para cada tipo de situação
** A pontuação máxima nas questões de raciocínio é 1512 para cada tipo de situação
454
Ao analisarmos os dados da tabela 1 notamos o percentual baixo de acertos em
ambos os tipos de questões. Apesar de serem problemas simples de fração na situação
parte-todo, talvez pelo fato de estarem representados na língua natural e não em figuras
já divididas e parcialmente pintadas, o número de acertos para representar essas frações
é baixo (30,4%). Ao olhar o índice nas questões de raciocínio esse percentual é mais
baixo ainda, 19,3% de acertos.
Apesar dos índices baixos temos que as questões de nomear frações parecem
ser mais fáceis do que as questões de raciocínio, sendo que os alunos acertaram 11,1% a
mais nessas questões.
Logo, apesar de ser um tipo de situação bem familiar para as crianças, para
essa amostra de sujeitos, foi possível notar que eles não apresentaram bom domínio dos
conceitos implícitos e pesquisados nessa situação, o que é fundamental, segundo
Vergnaud (1990) para a compreensão de uma situação.
Todavia, é importante salientar que, o acerto destas questões não implica em
compreender totalmente essa ideia. O fato das questões de nomear fração ter um número
maior de acertos pode ser consequência do ensino com ênfase em algoritmos.
Geralmente a exigência nos problemas de fração se dá com maior ênfase no nomear
fração do que na compreensão de um problema apresentado na língua natural. Isso é
confirmado em diversas pesquisas que afirmam que o algoritmo é um esquema muito
utilizado quando se trata do tema fração. (MACK, 1990, GARCIA SILVA, 2012).
Já nas questões de raciocínio o desempenho é ainda mais baixo. Há crianças
que conseguem representar corretamente a fração, mas não entendem o significado
desse número, pois não conseguem responder se uma quantidade é maior que outra ou
se são iguais.
Vale ressaltar que apesar de ser um número considerável de sujeitos (378
alunos) tais inferências restringem a essa amostra com a metodologia escolhida.
Apoiando-nos em estudos de Nunes et. al. (2004), podemos inferir que a
maioria desses alunos não compreende o significado de fração, pois não dominam os
conceitos de equivalência e ordem.
455
Considerações Finais
O desempenho dos alunos, apesar de baixo, é diferente entre as questões de
nomear frações e as questões de raciocínio.
O fato do desempenho dos alunos ser ainda mais baixo nas questões de
raciocínio faz com que reflitamos sobre os resultados apresentados nas avaliações de
larga escala. Em geral, as avaliações que retratam baixo desempenho dos alunos em
relação ao trabalho com frações tem tendência em avaliar o conhecimento dos alunos
justamente nas questões de nomear fração. Se os resultados já indicam que há lacunas
no conhecimento dos estudantes em relação a esse tema, o problema pode ser ainda
maior se pensarmos na compreensão de fração em relação aso conceitos de ordem e
equivalência.
Nunes et. al (2004) ainda completam dizendo que tal domínio também é
necessário nas diferentes situações e representações nas quais as frações são utilizadas.
Ou seja, o que Nunes e colaboradores propõem como sendo fundamentais para a
compreensão do conceito de fração tem como base a definição global de construção de
um conceito proposto por Vergnaud (1990), a terna S, I, R.
Deve ser salientado que defendemos a ideia de trabalhar com diferentes
situações de um mesmo conceito para sua aquisição, mas que, nesse artigo o foco foi em
analisar o desempenho dos alunos em uma dada situação que envolvia os conceitos de
nomear, equivalência e ordem e não estudar a aquisição desse conceito.
Apesar de ser um estudo limitado quanto ao tipo de situação e sujeitos, os
resultados contribuíram para reflexões, uma vez que são poucos os trabalhos centrados
nos efeitos das situações de fração nos problemas de nomear e de raciocínio.
Referência
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458
EIXO TEMÁTICO: E7 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E INVESTIGAÇÃO
MATEMÁTICA
TEMPO E SUAS MEDIÇÕES: UM ESTUDO DOS CONHECIMENTOS
MOBILIZADOS POR ALUNOS DO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Conceição A. C. LONGO – FE/UNICAMP ([email protected])
Sergio LORENZATO - FE/UNICAMP - SP ([email protected])
Resumo: Este artigo é um recorte do trabalho de campo desenvolvido durante a
pesquisa de mestrado intitulada “O Tempo e suas Medições”. Nele serão destacados os
quatro primeiros momentos do trabalho de campo, realizado durante o ano de 2011 com
35 alunos do Ensino Fundamental de uma escola pública situada no interior do Estado
de São Paulo. O principal objetivo dessas etapas do trabalho de campo foi o
levantamento dos conhecimentos mobilizados por eles acerca do conceito de tempo e
suas medições, com a perspectiva de criar fatos ou evidências para uma possível análise
sobre o sentido de tempo apresentado por estes alunos. No primeiro momento, optamos
por perguntar aos alunos o que é tempo e qual a importância de medi-lo, com o intuito
de coletar informações sobre quais eram os conhecimentos prévios desses alunos sobre
o tema. No segundo momento, visando propiciar aos alunos um momento de maior
explicitação das representações de tempo, foi pedido para que eles desenhassem em
uma folha de papel tudo o que relacionassem com a palavra “TEMPO”. Tendo em
mente a confecção de um novo instrumento de coleta de dados, agora com a intenção de
levar o aluno a refletir sobre o que ele e os seus colegas de classe pensavam acerca do
tempo e de suas medições, o terceiro momento consistiu na organização das imagens
produzidas pelos alunos e elaboração de um pequeno vídeo com elas. No quarto
momento, os alunos assistiram ao filme produzido e, a partir das imagens, foram
orientados a escrever perguntas, dúvidas, questionamentos ou comentários sugeridos ou
inspirados por elas.
Palavras-chave: Tempo e suas medições, Ensino, Educação Matemática.
459
O trabalho de campo apresentado neste artigo foi desenvolvido entre Maio e
Agosto de 2011 e compreendeu quatro momentos distintos.
O 1º momento foi a fase inicial da pesquisa e constou de um estudo de natureza
exploratória, com o objetivo de coletar informações prévias sobre o que os alunos
entendiam sobre o tempo e suas medições.
Os conhecimentos prévios trazidos pelos alunos foram elementos norteadores
para a análise das informações recebidas e, consequentemente, para o estabelecimento
de categorias de análise a priori. Os conhecimentos prévios funcionam como uma
espécie de agente facilitador da aprendizagem, criando uma conexão entre o que o aluno
já sabe e aquilo que ele precisa saber.
Ausubel et al (1980, p. viii) diz que:
Se eu tivesse que reduzir toda a psicologia educacional em um
únicoprincípio, diria isto: O fator isolado mais importante que
influencia a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já conhece.
Descubra o que ele já sabe e baseie nisso os seus ensinamentos.
(AUSUBEL et al, 1980, p. viii).
Ainda segundo Ausubel et al (1980), os conhecimentos prévios são elementos
fundamentais no processo de ensino e aprendizagem para que ocorra aprendizagem
significativa, podendo ser vivenciados por uma metodologia de ensino da matemática
que valorize a vida do educando, seu convívio social e sua prática diária.
Partindo destes pressupostos, foram apresentadas duas questões aos alunos: 1) O
que é tempo?; 2) Qual é a importância de se medir o tempo?
Eles deveriam trazer na aula seguinte as respostas a estas perguntas, que
poderiam ser respondidas por eles próprios ou por alguém próximo a eles.
Ao todo, 30 respostas foram entregues pelos alunos na aula seguinte. A partir
disso, pudemos perceber alguns pontos em comum naquelas respostas apresentadas
pelos alunos.
Em linhas gerais, as respostas mais frequentes relacionaram o tempo com
hora/dia/ano. Elas são 15, do total de 30, podendo ser citado como exemplo:
460
- “É uma forma diferente de se medir os dias que vão passando e as horas que vão
passando pra formar os dias do ano” (11 anos).
- “O tempo é hora, datas, passado” (35 anos).
Em seguida, em 10 das respostas “tempo” foi relacionado ao clima. Como
exemplo, temos:
- “Tempo são as temperaturas climáticas” (11 anos).
- “Tempo é quando está nublado e sabemos que vai fazer frio ou vai chover e quando
está calor que vai fazer sol” (32 anos).
As respostas que relacionaram o tempo com experiência, sabedoria, paciência,
evolução, vida ou recordação totalizaram 3 respostas. Por exemplo:
- “A concepção de tempo só pode ser compreendida em relação ao espaço e ao
movimento. Ele é o senhor, uma grandeza para executarmos nossas tarefas, ou melhor,
planejarmos. O tempo bem administrado é mais claro da mente bem preparada” (43
anos).
- “Tempo pra mim é a passagem do tempo com as horas. O tempo suficiente para
valorizar as pessoas” (10 anos).
Duas respostas relacionaram o tempo com propriedades dele, ou seja, ele não
retroage, depende do espaço e movimento, é medível:
- “O tempo não volta atrás” (43 anos).
Somente 1/6 das respostas explicitaram que tempo pode ter mais do que um
significado (o clima e o tempo percebido pelo relógio ou calendário), como por
exemplo:
- “É quando se passam segundos, minutos, horas, dias, meses e anos e também tem
ligação com o clima: chuva, sol, vento, etc” (84 anos).
Uma resposta que nos chamou a atenção foi: “Não sei!” (51 anos).
Com referência à segunda questão “Qual é a importância de se medir o tempo?”,
as respostas podem ser classificadas em quatro tipos, a saber:
A: para fazer previsões de datas (viagens, festas,...)
B: para planejar responsabilidade no dia a dia
C: para aprender/evoluir na vida
D: para previsões climáticas
Dez das 30 pessoas responderam “A” (para fazer previsões), conforme exemplo:
- “Poder separar com responsabilidade o momento do trabalho, do descanso, da família
e da diversão” (10 anos).
461
- “Para tudo e para uma comemoração que eu acho que é uma das melhores, que é o
nosso aniversário. Imagine as nossas vidas sem saber essa data tão importante, ou até
pior: não sabermos quantos anos temos, por isso o tempo é uma coisa maravilhosa em
minha vida” (22 anos).
Para a resposta B, planejar responsabilidades do dia a dia, houve 10 respostas:
- “Me ajuda a não me atrasar em forma de horas, me ajuda em trabalhos manuais de
casa e como o clima é importante para o mundo” (11 anos).
- “Ajuda a cumprir os deveres e sempre ter tempo para lazer e obrigações” (10 anos).
Cinco respostas enquadram-se no item C, para planejar ou evoluir na vida:
- “Porque eu aprendo com ele, com as pessoas, e é importante para o nosso dia a dia”
(10 anos).
Para a importância do tempo nas previsões climáticas, cinco respostas:
- “É importante para saber qual é o melhor clima da semana para sair” (12 anos).
- “É importante para não pegar chuva”. (51 anos).
Em linhas gerais, a maioria das respostas relacionou o tempo à contagem dos
dias, horas, minutos ou segundos; outros entenderam o tempo como manifestações da
natureza, como chuva ou sol, e outros se referiram à relação do tempo com experiência,
sabedoria, paciência, vida e recordação.
Sobre a importância de medir o tempo, uma em cada quatro pessoas sentiu
dificuldade para responder a questão, podendo-se observar indefinição, divagação ou
desconexão na resposta, como por exemplo:
- “Para viver e ter saúde no dia a dia” (11anos).
- “Ele é importante para o meu dia a dia porque nós vivemos dele” (19 anos).
- “Para se colocar à frente dele e organizar melhor as ações” (22 anos).
O 2º momento da pesquisa foi chamado de “A arte do Tempo” e visava
propiciar aos alunos um momento de maior explicitação do tema principal da pesquisa:
o tempo. A proposta foi que os alunos desenhassem em uma folha de papel tudo o que
para ele se relacionasse à palavra “tempo”, que foi escrita na lousa com uma letra bem
grande. Este foi mais um contato do sujeito com o tema deste estudo, e que
proporcionou uma manifestação “mais livre” do seu pensamento sobre o tempo.
Para Smole (2000),
O desenho foi a primeira forma de linguagem escrita entre os homens
primitivos, e a expressão pictórica associou-se naturalmente, ao longo
da evolução humana, a manifestações artísticas de diversas naturezas,
462
bem como a sua relação com elementos culturais importantes –
pintura, escrita, ilustração – permeiam hoje inúmeras áreas do
conhecimento humano. (SMOLE, 2000, p.46).
Derdyk (2010) afirma que o desenho esteve sempre presente, desde quando o
homem vivia em cavernas até a era da informática, ressaltando a sua importância
enquanto linguagem para a arte e também para a ciência. Segundo a autora,
Tudo o que vemos e vivemos em nossa paisagem cultural, totalmente
construída e inventada pelo homem, algum dia foi projetado e
desenhado por alguém: a roupa que vestimos, a cadeira que sentamos,
a rua pela qual passamos, o edifício, a praça. O desenho participa do
projeto social, representa os interesses da comunidade, inventando
formas de produção e de consumo. (DERDYK, 2010, p. 37).
Dentro da escola, o desenho faz parte da vida dos estudantes desde os primeiros
rabiscos dos anos iniciais, e percebe-se que, geralmente, é usado nas aulas de Artes e
pouco utilizado em outras áreas do conhecimento, principalmente pela Matemática, cuja
representação gráfica mais usada se detém em aulas destinadas ao estudo das
Geometrias.
As representações produzidas por meio dos desenhos dos alunos configuram
uma forma de expressão e imaginação que este aluno atribui a um determinado conceito
ou representação.
Para Derdyk (2010):
O desenho não é mera cópia, reprodução mecânica do original. É
sempre
uma
interpretação,
elaborando
correspondências,
relacionando, simbolizando, atribuindo novas configurações ao
original. O desenho traduz uma nova visão porque traduz um
pensamento, revela um conceito. (DERDYK, 2010, p. 110).
Assim, é possível que os alunos relacionem os conhecimentos já adquiridos com
um registro sistemático de ideias, de modo que eles próprios construam seus
procedimentos para expressar seu conhecimento sobre um determinado assunto.
O material resultante deste momento consta basicamente de imagens, algumas
frases e alguns diálogos entre personagens criados pelos alunos. Como era esperado, há
uma multiplicidade de diferentes significados da palavra "tempo".
Inicialmente, procuramos olhar para cada um dos desenhos produzidos como um
todo, tentando identificar elementos que pudessem ser associados diretamente ao
conceito de tempo ou de elementos que fossem abordados por eles com maior
frequência.
Um dos pontos que mais nos chamou a atenção foram as imagens relacionadas à
percepção da passagem do tempo sinalizado por instrumentos de medição, como
463
calendários (Figura 1) e relógios (Figura 2). Um fato interessante foi o desenho de
relógios e calendários antigos, como por exemplo, ampulhetas (Figura 3), relógios cuco
(Figura 4), relógios de sol (Figura 5) e um calendário maia (Figura 6).
Figura 1
Figura 4
Figura 2
Figura 5
Figura 3
Figura 6
Ainda relacionando a percepção do tempo como passagem, apareceram imagens
que mostravam essa passagem, como dia/noite (Figura 7), personagens aparentando
diferentes idades (Figura 8), imagens relacionadas às épocas passadas, como roupas e
acessórios antigos (Figura 9), e também imagens de um passado mais distante, como na
era dos dinossauros (Figura 10), e do futuro, marcado com a presença de desenhos de
discos voadores (Figura 11).
Figura 9
Figura 7
Figura 8
464
Figura 10
Figura 11
Outro destaque foram as imagens que trouxeram o tempo no reino animal
(Figura 12) e no reino vegetal (Figura 13). Também surgiram elementos relacionados ao
clima (Figura 14) e às estações do ano (Figura 15), além de imagens que diziam respeito
ao tempo como sinônimo de dinheiro (Figura 16).
Figura 12
Figura 14
Figura 13
Figura 15
Figura 16
Com o objetivo de fazer uma primeira síntese, foi elaborado um quadro-resumo
que contemplou a maioria dos elementos presentes no conjunto de imagens
apresentadas pelos alunos:
465
Elementos presentes nas imagens
Total de
desenhos
Instrumentos de medição do tempo
22
Tempo como clima/temperatura/estações
22
Tempo como passagem (dia/noite,
passado/presente/futuro)
22
Unidades de medidas de tempo (h/min/s)
15
Tempo de vida (idade/crescimento animal/vegetal)
14
Tempo relacionado a dinheiro
2
TOTAL DE DESENHOS
97
Três categorias aparecem empatadas em primeiro lugar: os alunos associam o
tempo à sua marcação, referenciada pela presença dos relógios e calendários; também
associam o tempo com a presença do sol ou da chuva, com a mudança de temperatura
ou das estações do ano. Em seguida, associam o tempo à passagem do dia/noite, à
mudança de gerações e, ainda, por inspiração da ficção científica, associam o tempo a
épocas futuras.
Na quarta categoria, o tempo são os anos, os dias, os meses, as horas, os
minutos, os segundos.
A quinta categoria, o tempo como passagem, aparece com lembranças de épocas
passadas, em associação à ideia de mudança que pode caracterizar-se pela evolução
humana ou pelo ciclo natural da vida, tanto do homem como de animais ou vegetais.
Por fim, a última categoria associa o tempo a dinheiro. Perder tempo significa
perder dinheiro, segundo a visão capitalista do tempo.
O 3º momento consistiu na produção de um vídeo com os desenhos feitos pelos
alunos, com a intenção de levá-los a refletir sobre o que cada um deles e os demais
colegas de classe concebem sobre o tempo. O vídeo foi produzido escaneando os
desenhos dos alunos, agrupados intencionalmente segundo as categorias descritas no
momento anterior.
Para alguns alunos, a visualização favorece o estabelecimento de relações no
processo de aprendizagem. Fogaça (2003) afirma que “Assim como a ciência cria
modelos para compreender fenômenos, os alunos também precisam de imagens mentais
para compreender conceitos” (p. 190).
466
Outra intenção com o vídeo produzido a partir dos desenhos dos alunos foi
torná-los parte atuante do processo de ensino e aprendizagem, uma vez que as imagens
exibidas no vídeo foram produzidas pelos próprios alunos, não sendo, portanto, imagens
reproduzidas de livros didáticos ou do material produzido pelo próprio professor.
Além disso, a intencionalidade desse vídeo foi a de despertar no aluno o
interesse e a curiosidade acerca do tema em questão, de modo que ele se sentisse
motivado a ampliar seus conhecimentos.
A exibição do vídeo resultou no 4º momento do trabalho de campo.
Acreditamos ter sido este o momento de maior empolgação dos alunos. Além da
agitação desencadeada pela curiosidade natural de assistir ao vídeo, eles estavam
bastante ansiosos porque esta seria uma aula diferente. Os alunos foram orientados de
que a atividade constaria de três etapas distintas:
Na 1ª etapa eles assistiram ao vídeo produzido a partir dos desenhos, apenas
observando as imagens. Assim que o filme terminou, iniciaram-se, entre os alunos,
muitos comentários, o que deixou claro a empolgação em que se encontravam:
Professora, passa de novo! Ou, Conta como você fez o filme. Ou ainda, Meu desenho
ficou mais bonito no vídeo do que no papel. (Diário de campo da pesquisadora,
setembro/2011).
Na 2ª etapa, os alunos receberam uma folha de papel, onde deveriam anotar
todas as dúvidas, curiosidades, comentários e ideias que surgissem durante a segunda
exibição do filme. Foi explicado que esta segunda etapa seria uma espécie de
Brainstorming, o que imediatamente provocou em vários alunos a seguinte pergunta:
Que é isso, professora! É difícil?
Foi explicado também como o grupo deveria se preparar para o Brainstorming e
dadas algumas dicas de como eles poderiam escrever suas ideias: “O que é...”; “De onde
veio...”; “Só existe esse...”; “Todos são iguais...”; “É útil para...”, etc.
Terminada a apresentação do vídeo, novamente vários comentários surgiram
entre os alunos, como por exemplo: Nossa! Quanta coisa eu não sei!; ou: Estou é
curioso pra saber de onde surgiu todas essas coisas do tempo.
A 3ª etapa seria a socialização das ideias que eles anotaram na folha de papel. O
objetivo desta etapa era socializar as perguntas, curiosidades ou dúvidas dos alunos,
fazendo com que essas próprias questões desencadeassem outras. E foi o que aconteceu.
Muitos alunos queriam falar ao mesmo tempo. Ficou claro o entusiasmo
provocado nos alunos pelo vídeo e pela maneira como o tema foi trabalhado.
467
Durante esta etapa, surgiram várias perguntas e questionamentos que mostraram
o quanto os alunos superaram nossas expectativas, e que confirmam o que diz Lorenzato
(2006):
Mais do que deixar os alunos falarem, é preciso saber ouvi-los.
Durante as aulas, os alunos se exprimem através da fala, da escrita, do
olhar, de gestos; eles apresentam perguntas ou soluções, cometem
erros, mostram suas dificuldades, constroem raciocínios e, dessa
forma, revelam seus vocabulários, interpretações, sugestões,
preferências, tendências, potencialidades, expectativas, insatisfações,
temores, crenças e bloqueios. (LORENZATO, 2006, p. 16).
Ao final da socialização, foram recolhidas as folhas com as anotações dos
alunos, que ao todo somaram 152 questões, incluindo dúvidas, experiências, breves
relatos, afirmações, curiosidades, fatos, questionamentos e perguntas. Apareceram
vários “porquês”, como por exemplo, por que o dia tem 24 horas? Ou ainda, por que a
semana tem sete dias? Algumas perguntas referiram-se à etimologia das palavras, como
por exemplo, o que significa a palavra calendário? Outras perguntas eram de ordem
filosófica, como: o tempo existe? Se existe como podemos tocá-lo? Enfim, pudemos
perceber que a característica principal da fala dos alunos dependia de suas histórias de
vida, daquilo que tinham vivido e aprendido até então.
Lorenzato (2006) explica que se deve partir de onde o aluno está, afirmando que:
... toda aprendizagem a ser construída pelo aluno deve partir daquela
que ele possui, isto é, para ensinar, é preciso partir do que ele conhece,
o que também significa valorizar o passado do aprendiz, seu saber
extra-escolar, sua cultura primeira adquirida antes da escola, enfim,
sua experiência de vida.(LORENZATO, 2006, p. 27).
Alguns temas mostraram-se recorrentes nos questionamentos, o que nos levou a
elegê-los como categorias:
O mais recorrente de todos foi o referente aos instrumentos de medida de
tempo, com 43 questionamentos envolvendo relógios e calendários, como por exemplo:
Onde foi criado o primeiro relógio? Os relógios são iguais em todo o mundo? Por que
os relógios foram se modificando com o tempo? Por que existe o relógio? Quem teve a
ideia de inventar o calendário? De onde vieram os nomes dos dias da semana e dos
meses do ano? Por que existe ano bissexto?
468
Sobre o conceito de tempo e a medida de tempo, 37 perguntas, dúvidas ou
afirmações surgiram, como por exemplo: O que é tempo? É possível viajar no tempo?
De onde veio o tempo? Para que serve o tempo?
As unidades de medida de tempo aparecem com 36 questionamentos, como
por exemplo: Quem inventou as horas, minutos e segundos? O tempo é medido só pelo
relógio? Como era medido o tempo antigamente?
Sobre o clima, as estações do ano ou fuso horário foram 19 questões, por
exemplo: Como sabemos se vai chover? Por que chove em algumas partes e em outras
não? Por que o ano tem quatro estações? Por que existem fusos horários?
Com referência a tempo de vida (pessoas, animais e plantas) foram
apresentados 11 questionamentos. Por exemplo: Por que os dinossauros morreram? Por
que nós envelhecemos?
Outras perguntas, num total de 7, não se enquadravam em nenhuma dessas
categorias, por exemplo: Por que o dia é claro e não escuro? No mundo inteiro existe
dia e noite? Se um sexto é 1/6, bissexto não deveria ser 2/6?
Estes exemplos de questões apresentadas pelos alunos denotam a abrangência e
a diversificação delas, o que nos remete à pergunta: Quais foram os motivos que nos
levaram à escolha do tema “Tempo e suas medições” para a realização de nosso
trabalho de pesquisa? Foi o nosso inconformismo com o tipo de ensino que reduz uma
das partes mais belas da Matemática a meros cálculos que transformam segundos em
minutos ou em horas. Foi, também, o nosso desejo de propiciar um estudo do “Tempo e
suas medições” que motivasse os alunos a uma aprendizagem significativa e ao prazer
pelo estudo, pela aquisição de conhecimento.
As páginas anteriores mostram que a efetiva participação dos alunos no processo
de procura, elaboração, apresentação e análise dos conhecimentos (que estavam ao
alcance deles) foi a causa predominante para a avalanche de respostas, dúvidas,
questionamentos que aconteceram em meio à agitação e alegria de aprender.
Foi assim que os alunos transcenderam ao planejamento pedagógico escolar e
revelaram que o “Tempo e suas medições” é um tema rico em significados, concepções
e desafios, com muita história que o próprio tempo construiu para si. Os alunos também
mostraram que o tema em questão possui um alto valor formativo, além de facilitar a
inter e transdisciplinaridade, pois o Tempo está presente no cotidiano de qualquer
profissional, de qualquer pessoa, o que evidencia ele estar sendo altamente valorizado
no mundo atual.
469
Enfim, o estudo do “Tempo e suas medições” é muito importante à formação das
pessoas e, por isso, ele merece especial atenção dos educadores responsáveis pelas
Propostas Curriculares, Livros Didáticos, Cursos de Formação de Professores,
lembrando que crianças, pelo menos as participantes desta pesquisa, mostraram que
aquilo que elas conhecem, vivenciam e pensam sobre o Tempo, está muito além do que
os programas escolares preconizam. Será que nossas escolas não merecem Novos
Tempos?
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SMOLE, K. C. S. A matemática na educação infantil: A teoria da inteligência
múltipla na prática escolar. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000.
470
TEORIA DO CAOS E FRACTAIS: A UTILIZAÇÃO DE UM “PÊNDULO
CAÓTICO” COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO
Ralph A. FELTRIM – Unesp/P. Prudente – SP ([email protected])
Moacir P. SOUZA FILHO – Unesp/P. Prudente – SP ([email protected])
Allan V. RIBEIRO - IFSP/Birigui – SP ([email protected])
Resumo: Reflexões acerca das potencialidades de inclusão de tema de ciência
contemporânea na educação básica vem sendo debatida como uma estratégia profícua
no ensino de matemática. Mesmo com a escassez de material didático específico para
abordagem de temas complexos, é evidente que o esforço em articular tais conceitos
com a vivência cotidiana dos estudantes se traduz como uma poderosa estratégia de
ensino-aprendizagem. Muitos fenômenos imprevisíveis estão presentes em nosso
cotidiano. Alguns podem apresentar um caráter simples ou um evento complexo, como
a turbulência de uma massa de ar ou o crescimento populacional. Os sistemas caóticos
apresentam uma geométrica especifica e através dela, os fenômenos que contêm fatores
que antes eram erráticos, imprevistos e aleatórios, se reduzem simplesmente a um único
termo, “caóticos”, que se denomina geometria fractal. Os fractais são figuras
geométricas irregulares ou fragmentadas que pode ser subdividida em partes, e cada
parte corresponde a uma cópia reduzida da sua forma geral. Ao conhecer e compreender
fractais, presentes em seu cotidiano, o aluno pode associar o conhecimento geométrico
com diferentes conceitos matemáticos, o que, por sua vez, contribui para uma
aprendizagem significativa dos conteúdos. Nesse contexto, por meio de um mini-curso e
da realização de dois experimentos (do papel em queda e do pêndulo caótico) foi
abordada uma discussão revelando a historia da teoria do caos e dos fractais com
propósito de estimular a curiosidade dos alunos. Os resultados apontaram para um
desconhecimento da amostra investigada em relação ao assunto. Por fim, algumas
sugestões foram feitas para incorporar esse tema na ementa do ensino física e
matemática no ensino médio, visando trabalhar uma forma de transmiti-lo de maneira
simples e compreensível aos alunos interessados.
Palavras-chave: Teoria do Caos, Fractais, Educação Matemática.
471
Introdução
A complexidade de relações e problemas contemporâneos exige uma nova forma
de pensar e refletir a organização social e educacional, contrapondo-se aos princípios
cartesianos de fragmentação do conhecimento. No panorama atual, esta concepção
reducionista vem perdendo força nas últimas décadas, principalmente com a constatação
dos sistemas complexos e fortemente correlacionados. As análises destes sistemas
despertam um novo olhar para ciência contemporânea (SANTOS 2008).
Na educação, os reflexos da quebra deste paradigma apontam a necessidade de
repensar, refletir e avaliar a articulação de novas metodologias e abordagens
(PETRAGLIA, 1995), contribuindo para o fortalecimento de teorias emergentes, como
a Teoria da Complexidade sistematizada por Morin (1991).
No final do século XIX, a teorias científicas foram construídas com base na
Análise Estatística de quantidades médias ou pela Análise Matemática. Um sistema
complexo era classificado como “randômico” e, um sistema simples, como
“determinista”. A complexidade e a simplicidade eram tratadas como sendo coisas
distintas. Existiam leis que regiam sistemas ordenados ou deterministas, e leis que
regiam sistemas desordenados ou complexos.
Um sistema é um conjunto de objetos unificados por meio de uma interação ou
interdependência, em que, os efeitos e causas se relacionam com os elementos desse
conjunto. Dessa forma, os objetos que compõem o sistema, é caracterizado por uma
grandeza que sofre variação no tempo e são denominados de “sistema dinâmico”.
No caso do pêndulo, o ângulo formado evolui em função do tempo, ou seja, por
meio da função
, onde,
é o ângulo do pendulo e
o tempo que o ângulo sofre
uma variação, sendo essa, a equação de estado do pêndulo (MONTEIRO, 2011).
472
Figura 1 – Pêndulo Simples
A noção de sistemas dinâmicos passa a descrever qualquer processo de evolução
temporal no qual o futuro depende do passado de maneira determinista. Para conhecer
este sistema torna-se necessário definir certos parâmetros de evolução, como por
exemplo, conhecer suas posições e velocidades (BIEZUNSKI, 1993, p. 245).
O conceito de causalidade está relacionado a uma relação de previsibilidade
entre dois eventos, no qual o primeiro é denominado “causa” e o segundo é denominado
“efeito”. No entanto, um evento da natureza não pode ser previsto com certeza absoluta,
ou seja, nesses casos, não há uma regularidade rigorosa no comportamento dos
fenômenos físicos (PLANCK, 2012).
Por este motivo, embora a capacidade de prever seja considerada uma noção
chave na física, existe na natureza, sistemas que embora sejam “deterministas”, na
acepção do termo, é influenciado pelo acaso. Suas evoluções temporais são plenamente
causais. No entanto, variações muito pequenas das condições iniciais podem provocar
amplificações consideráveis, acarretando um limite de validade aproximado e tornandoas totalmente imprevisíveis, no final (PATY, 2009). Desta forma, podemos dizer que a
estatística [ou o “caos”] reina na descrição desses fenômenos.
A teoria dos sistemas dinâmicos não lineares ou dissipativos correspondem ao
que convencionou chamar de física de sistemas caóticos (PATY, 2009). A dependência
em relação às condições iniciais, aquelas em que o sistema se encontrava no momento
em que o processo começou, torna-se uma característica relevante da problemática
“física do caos”. No entanto, qualquer alteração de parâmetro, por ínfimo que seja, pode
desencadear consequências aleatórias e totalmente imprevisíveis.
473
Poincaré adotou um ponto de vista qualitativo que transformava a maneira de
conceber os problemas da dinâmica. Essa nova maneira de pensar, parte do pressuposto
de que, uma vez que não podemos conhecer a forma exata das soluções das equações
diferenciais, é, contudo, possível descrever a natureza dessas soluções, ou seja, seu
comportamento estrutural, de equilíbrio estável ou instável, que trata não mais de uma
trajetória individual, mas de um conjunto de trajetórias (PATY, 2009, p. 199). As
pesquisas de Poincaré revelaram que sistemas que obedecem a leis determinísticas nem
sempre atuam de modo previsível e regular. Os modelos quantitativos, por mais precisos que
sejam, não garantem o alcance de previsibilidade absoluta (WEINBERG, 1996, p. 38).
O termo “atrator” está relacionado a um conjunto de equações diferenciais que
“atraem” as trajetórias, independente do seu ponto de partida. O atrator é uma pequena
região do espaço de fases que o ponto representativo do sistema alcança ao fim de certo
tempo e, que ele percorre indefinidamente. O que conta, finalmente é a figura do
conjunto, recortada no espaço das fases globalmente invariante, ligado a estrutura do
sistema, ou seja, ao seu conjunto de equações diferenciais (PATY, 2009, p. 209). Os
ciclos fechados para os quais tendem os sistemas dinâmicos mais complexos, no
decorrer de uma longa evolução, recebem o nome de “atratores”.
Os atratores de Edward Lorenz é uma figura constituída por duas “orelhas”, que
foi obtida graças aos computadores e que descrevem sistemas extremamente complexos,
como o clima, a turbulência, em que uma modificação ínfima nas condições iniciais,
pode produzir efeitos espetaculares. No entanto, o comportamento dos sistemas
dinâmicos é gigantescamente mais complexo, nos quais, seus atratores ou repulsores
tendem a formar fractais (MANDELBROT, 1977). [ver Fig. 2].
Embora o estudo da geometria fractal tenha surgido na metade do século XIX,
seu ápice ocorreu em 1975, com o matemático Benoit Mandelbrot, ao mencionar pela
primeira vez o termo fractal. A palavra fractal tem origem do adjetivo latim fractus, do
verbo frangere, que significa “quebrar” (ASSIS; MIRANDA; MOTA; ANDRADE;
CASTILHO, 2008). Para
descrever
figuras
irregulares
à
geometria
comum,
Mandelbrot inventou a dimensão fracionária para qualificar o grau de irregularidade.
Deste modo, “fráctil” significa mudança de escala, que se aplica não só a meteorologia,
mas a outros processos dinâmicos de outras áreas, como a biologia, economia, etc.
(BIEZUNSKI, 1993, p. 245). Essas propriedades geométricas da dimensão fractal
474
correspondem às características que permitem encontrar a ordem sob a aparência da
irregularidade ou desordem (PATY, 2009, p. 226).
Figura 2 – Atratores e tipos de fractais
Como vimos, um sistema caótico apresenta um padrão como um todo, e uma
organização, ou seja, tais sistemas, não são aleatórios e nem desordenado. O
comportamento desses sistemas pode ser definido através de equações, que
graficamente, gera uma imagem denominada, atrator. Desse modo, “a Teoria do Caos
permite que as pessoas passem a ver ordem e padrão onde antes, por conta de uma visão
reducionista de mundo, só se observava a aleatoriedade, a irregularidade e a
imprevisibilidade. Podemos dizer que com essa visão complexa de mundo, a realidade
tem uma irregularidade regular, uma imprevisibilidade previsível, uma desordem
ordenada” (TÔRRES, p. 1).
Os trabalhos de Lorenz e de Mandelbrot indicaram o caminho da incerteza e da
imprecisão por meio das suas teorias. A teoria do Caos mostra a variedade de
fenômenos que parte de um sistema determinístico e, com o passar do tempo, esse
sistema torna-se “parcialmente indeterminístico”.
Com a física do caos é possível compreender, atualmente, fenômenos que
haviam sido deixados de lado, por causa de uma complexidade demasiado elevada.
Deste modo, surgem novos problemas de que não se suspeitava e, isto, arrasta
interrogações sobre domínios, até então, considerados como perfeitamente conhecidos
(BIEZUNSKI, 1993, p. 245).
Reflexões acerca das potencialidades de inclusão deste tema relacionado a
ciência contemporânea na educação básica vem sendo debatida como uma estratégia
475
profícua no ensino de matemática. Mesmo com a escassez de material didático
específico para abordagem de temas complexos é evidente que o esforço em articular
tais conceitos com a vivência cotidiana dos estudantes se traduz como uma poderosa
estratégia de ensino-aprendizagem. (NASCIMENTO et al, 2012)
Podemos evidenciar, por exemplo, que ao conhecer e compreender fractais,
presentes em seu cotidiano, o aluno pode associar o conhecimento geométrico com
diferentes conceitos matemáticos, o que, por sua vez, contribui para uma aprendizagem
significativa dos conteúdos.
O objetivo central desse trabalho foi fazer uma aplicação direta de conceitos e
teoria do caos e da geometria fractal no ensino médio, por meio do abandono de folhas
de papel e de um pêndulo caótico, construído pelos autores. O intuito dessa pesquisa foi
analisar o grau de conhecimento dos alunos sobre o tema e observar o seu
comportamento perante a explicação destes conceitos por meio de um mini-curso.
Metodologia adotada na pesquisa
Muitos alunos consideram as aulas de matemática maçantes e chatas, fazendo
com que os mesmos dispersem com facilidade. Porém, assuntos atuais e desafiadores
podem constituir-se em uma estratégia para motivar os estudantes e incita-los a
investigação. Neste sentido foi preparado um mini-curso com imagens e animações
gráficas e experimentos que abordam conceitos voltados a geometria fractal e teoria do
caos.
O assunto em questão é algo bem complexo, quando analisado profundamente.
Para minimizar essas dificuldades, foi poupada a utilização de equações complexas,
uma vez que, no nível da matemática fornecida para esses alunos não acompanharia um
desenvolvimento mais aprofundado dos conceitos dessas teorias. Assim, apenas a
equação simplificada para calcular a dimensão dos fractais, sendo ela,
n é o numero de replicas da figura; r a razão de semelhança;
onde:
um logaritmo natural foi
citado, e os resultados numéricos foram apenas expostos.
476
Muito daquilo que se percebe no ensino de ciências exatas para alunos do ensino
fundamental e médio é que essa aversão que os alunos possuem, muitas vezes, está
relacionada ao conteúdo ministrado. Cada aluno tem facilidade para compreender
melhor um determinado assunto e dificuldade para compreender outro. Assim, o melhor
caminho encontrado para inserir o tema, foi partir para uma discussão filosófica.
A abordagem adotada foi expor os objetos com geometria fractal presentes na
natureza por meio de imagens e o uso de experimentos para evidenciar a dinâmica
caótica. As imagens proporcionaram um enorme estimulo e isso possibilitou discutir
alguns métodos para obter um objeto fractal.
A existência de comportamento caótico em sistema foi investigada com auxilio
de dois experimentos. O primeiro experimento consiste em abandonar folhas de papel
de uma determinada altura. Esse método consistiu basicamente em quatro folhas de
papeis, sendo que, duas delas foram utilizadas para construir duas bolinhas de papel. Na
primeira etapa, as bolinhas de papel foram abandonadas a uma mesma altura qualquer.
Ao serem abandonadas, as bolinhas chegam ao chão praticamente no mesmo instante e
a distância que as separam é a mesma de quando elas atingem o chão, ou seja, em
nenhum momento da trajetória elas se alteram. O mesmo processo é repetindo várias
vezes, e a distância inicial entre elas será a distância final. Na segunda etapa, o mesmo
procedimento é realizado, porém, ao invés de amassar as folhas de papeis para formar as
bolinhas, utilizam-se eles, sem alterar sua forma. Abandonando-os da mesma altura, é
possível observar que, até um determinado tempo, os movimentos deles não se alteram.
Após esse tempo, os movimentos dos papeis passam a serem aleatórios. Por fim, ao
tocarem ao chão, a distância que os separam não é a mesma de quando eles foram
abandonados. Repetindo a segunda etapa várias vezes, nota-se que, a distância que
separa os papéis será sempre distinta entre si, ou seja, se os papeis forem abandonados a
uma altura desejada, dez vezes, a distância entre os papéis, quando eles chegarem ao
chão, será diferente nas dez vezes. Esse procedimento é simples de ser executado.
O segundo experimento consistiu na construção de um pêndulo duplo. O
pêndulo duplo foi construído utilizando três pedaços de madeira, dois de forma
retangular e um de forma quadrática, dois rolamentos (nesse caso, foram utilizados
rotores internos de HD), uma haste de fixação e parafusos. Dessa forma, o pêndulo
duplo foi construído. Por fim, o conjunto foi acoplado na haste, de modo que, a base
477
permanecesse fixa e os pedaços de madeira retangulares, pudessem oscilar livremente.
O sistema se comporta de dois modos. No primeiro modo é como um “pêndulo simples”
e no segundo modo é como um de “pêndulo duplo”. Para o sistema se comportar como
um pêndulo simples, basta movimentar a segunda madeira retangular, de modo que, ela
permaneça paralela com primeira madeira retangular e sucessivamente, inserir um
parafuso que atravesse seus furos centrais, simultaneamente, travando o movimento da
segunda madeira retangular. Para o sistema se comportar como um pêndulo duplo, basta
não travar a segunda madeira retangular. A figura a seguir mostra uma representação do
pêndulo.
Os experimentos utilizados para detectar o comportamento caótico surtiram
efeito, uma vez que, houve uma interação dos alunos com os experimentos. O
experimento do papel proporcionou aos alunos a visualização do conceito de
comportamento caótico. Eles notaram que quando os papeis eram amassados e
abandonados de uma determinada altura, a distância entre os papeis, antes e depois de
abandoná-los, não sofria alteração. No entanto, quando o mesmo procedimento foi
realizado, porém com os papeis intactos, eles foram capazes de observar que a
distâncias entre os papeis sofria uma variação considerável. Sempre que o processo era
repetindo, à distância entre os papeis e o ponto final, era distinta. Outro fator que eles
identificaram foi que em meio à trajetória, os papeis intactos realizava um movimento
de “zigue-zague”, que fazia com que os papeis se distanciassem entre si. Dessa forma,
eles notaram a existência de sistemas com comportamento caótico.
Figura 3 – Esquema mostrando o experimento realizado com papeis e o pêndulo caótico utilizado
478
Por sua vez a detecção do conceito de sensibilidade às condições iniciais foi
realizada com auxilio do experimento do pêndulo duplo. Inicialmente, foi proposto aos
alunos que observassem o movimento do pêndulo travado (modo simples). O inicio do
movimento foi realizado fornecendo ao pêndulo um ângulo em relação a sua base. Ao
abandonar o pêndulo, os alunos perceberam que o pêndulo simples apresentava uma
oscilação periódica, ou seja, um movimento de vai e vem. Sucessivamente, a trava do
pêndulo foi retirada, e o pêndulo passou a apresentar a configuração “modo duplo”.
Dessa forma, o mesmo artifício para iniciar o movimento do pêndulo foi realizado. No
entanto, a cada procedimento, o ângulo entre o pêndulo e a base era aumentado. Os
alunos notaram que para ângulos pequenos, os pêndulos apresentam o comportamento
idêntico a um pêndulo simples. Conforme o ângulo era aumentando, os pêndulos
sofriam certas variações no seu comportamento.
Como a dimensão dos fractais é fracionária, os alunos observaram que para
saber se o sistema apresentava um comportamento caótico, bastava obter o valor de sua
dimensão. Por meio disso, os alunos conseguiram relacionar a teoria do caos com a
geometria fractal.
Lorenço e Dickman propuseram um questionário para alunos de uma escola
pública de Belo Horizonte/MG, visando investigar o grau de compreensão sobre os
conceitos da Geometria Fractal. Com base nesse trabalho, no final do mês de novembro
de 2013, foi elaborado e aplicado um questionário para um grupo formado por dez
alunos, que cursavam o segundo e terceiro ano do ensino médio no período noturno, de
uma escola pública da cidade de Martinópolis/SP. A seleção da amostra foi feita a partir
do interesse dos alunos pelo tema.
O questionário foi composto por (4) quatro questões, que são apresentadas a
seguir:
1. Você acredita que por meio de modelos matemáticos e dados
experimentais é possível prever todos os fenômenos da natureza?
( ) Não
( ) Somente modelos matemáticos
( ) Somente dados experimentais
( ) Ambos
479
2. O que você compreende por conceitos deterministas e indeterministas?
3. Você, alguma vez, ouviu falar algo sobre Teoria do Caos? Caso tenha
ouvido, em quais circunstâncias?
4. Você, alguma vez, ouviu falar algo sobre Geometria Fractal? Caso tenha
ouvido, em quais circunstâncias?
Caso as respostas 3 e 4 fossem afirmativas, existia alguma relação entre os
conceitos de Geometria Fractal e Teoria do Caos? Caso a resposta 3 e 4 fossem
negativas, foi questionado o que eles pensam quando escuta, as palavras, Fractal e
Caos?
Este questionário foi aplicado antes destes estudantes terem contato com o tema.
Em seguida um dos autores ministrou um mini-curso sobre a teoria do caos e fractais.
Essa intervenção iniciou na abordagem cronológica da evolução dos estudos dos
fenômenos da natureza, iniciando em 1500 com o físico e matemático Galileu Galilei e,
finalizando em 1970 com o matemático polonês Benoit Mandebrot. Os conceitos de
determinismo e indeterminismo foram discutidos, mostrando a diferença entre esses
conceitos. Em seguida, a geometria fractal foi discutida, iniciando em uma abordagem
histórica.
Os experimentos dos papeis e do pêndulo duplo, foi realizado com base em um
vídeo foi produzido pelo Prof. Dr. Tadeu J. P. Penna do Instituto de Física da
Universidade Federal Fluminense/ UFF, RJ, que é um dos colaboradores de um projeto
denominado,
Sei
Mais
Física, e pode ser acessado nos
seguintes
sites:
http://www.youtube.com/watch?v=FZ70fd7X5Mc e http://www.seimaisfisica.com.br/.
Apresentação dos dados e Análise dos Resultados
Os métodos aplicados mostraram alguns fatores sobre o conhecimento dos
alunos em teoria do caos e geometria fractal. Eles também forneceram o nível de
interesse dos alunos quando expostos a esses temas.

Primeira questão: previsão de fenômenos da natureza por meio de modelagem
matemática e dados experimentais.
O objetivo dessa questão foi verificar se o grupo de alunos acredita na
modelagem matemática e os dados experimentais para prever os fenômenos da natureza.
480
De certo modo, muitos mecanismos foram compreendidos por meio dessas ferramentas.
No entanto, muitas vezes ocorreu o oposto, ou seja, as ferramentas também falharam
nessa busca pela compreensão de certos mecanismos.
Gráfico 1 – Classificação das respostas à primeira questões nas respectivas categorias
As respostas à essa questão apresentou um equilíbrio quanto à opinião dos
alunos. Dentre os dez, (3) três não acreditam que a modelagem matemática e os dados
experimentais possam promover a previsão de fenômenos da natureza. Por sua vez, (3)
três alunos acreditam que a previsão desses fenômenos só é possível por meio de dados
experimentais. Também, (3) três alunos acreditam que tanto os dados experimentais
quanto os modelos matemáticos são eficazes na previsão de fenômenos naturais. Por
fim, apenas (1) um aluno acredita que somente os modelos matemáticos são capazes de
prever fenômenos da natureza.
Esses resultados mostram que a maior parte dos alunos pertencentes ao grupo, de
alguma forma, acredita que a modelagem matemática e os dados experimentais são
importantes na previsão de fenômenos naturais, mesmo que essas ferramentas estejam
operando em conjuntos ou estejam operando individualmente.

Segunda questão: compreensão dos conceitos determinista e indeterminista
A resposta à essa questão mostrou que a maior parte dos alunos do grupo não
apresentava qualquer conhecimento sobre esses conceitos. Dentre os dez, (9) nove não
apresentavam conhecimento sobre os termos determinismo e de indeterminismo, de tal
modo que, eles não mostraram qualquer opinião sobre esses conceitos, ou mesmo se
arriscaram impor alguma opinião. Apenas um aluno respondeu a esta questão da
481
seguinte maneira: “Determinista é aquilo que tem uma solução e que ‘foca em algo’.
Indeterminista que não consegue ‘chegar’ num resultado exato”
A resposta do aluno que respondeu não está completamente errada, embora as
definições destes conceitos sejam mais complexas.

Terceira questão: compreensão sobre Teoria do caos
O resultado dessa questão apontou que a maior parte dos alunos do grupo não
apresentava qualquer conhecimento sobre esses conceitos. Dentre os dez, oito não
apresentava conhecimento sobre teoria do caos, de tal modo que, não mostraram
qualquer opinião sobre esse conceito, ou mesmo arriscaram impor alguma opinião. Dois
alunos afirmaram que conhecia a teoria, no entanto, não sabiam, ao certo, quais eram as
circunstâncias, no qual, essa teoria era aplicada.

Quarta questão: compreensão sobre Geometria Fractal
A geometria fractal está presente na maioria das formas que compõem o mundo.
Por esse motivo, a pergunta buscava encontrar o conhecimento do aluno referente a esse
tipo de geometria. Caso o aluno possuísse esse conhecimento, foi pedido que ele
comentasse de que forma ele adquiriu esse conhecimento.
Os dez alunos do grupo responderam que nunca ouviram qualquer coisa a
respeito dos fractais, ou seja, a amostra investigada não apresentou menor noção sobre o
tema. Após as questões serem respondidas, um dos autores apresentou o mini-curso
com intuito de despertar a atenção desse grupo para o respectivo tema.
Considerações finais
Os resultados mostraram um desconhecimento total dos estudantes sobre a
temática investigada. De certo modo, é interessante os alunos saberem que existem
muito mais estudos desenvolvidos, além do que o conteúdo educacional aplicado na
escola. O mini-curso mostrou que houve um interesse, por parte da maioria dos alunos,
em conhecer a teoria do caos e a geometria fractal. Na verdade, para eles foi algo
482
completamente novo, fora da realidade habitual vivida por eles. Isso estimula a sua
curiosidade, incentivando em seu aprendizado.
A dificuldade evidente em ministrar o mini-curso consistiu na modelagem
matemática. Os cálculos são baseados em um formalismo matemático muito complexo,
isso sem mencionar que, as ferramentas matemáticas utilizadas para desenvolver o
tema, não são fornecidas na grade curricular desses alunos. No entanto, a abordagem
filosófica e conceitual do tema ocorreu sem problemas aparentes. Os experimentos
utilizados foram muito úteis, uma vez que, mostrava de modo concreto a complexidade
matemática. Por fim, as professoras responsáveis pelas turmas foram muito prestativas
ao disponibilizar o tempo e convidar os alunos para o mini-curso.
Referências
ASSIS, T. A; MIRANDA, J. G. V.; MOTA, F. B.; ANDRADE, R. F. S.;
CASTILHO, M. C. Geometria fractal: propriedades e características de fractais
ideais. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 30, n. 2, 2304. 2008.
BIEZUNSKI, M. A história de Física Moderna. Lisboa: Instituto Piaget, 1993.
LORENÇO, B. J.; DICKMAN, A. G. Fractais: Uma Proposta de Ensino de Física.
In: XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física/Vitória, ES, 2009.
MANDELBROT, Benoit B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H.
Freeman and Company, 1977.
MONTEIRO, L. H. A. Sistemas Dinâmicos. 3ª. ed. São Paulo: Livraria da Física,
2011.
MORIN, E. Introdução ao Pensamento Complexo. Lisboa, Instituto Piaget, 1991.
483
NASCIMENTO, M., SILVA, S. C. R., MACIEL, N. A., Uma proposta didática para
o ensino de geometria fractal em sala de aula na educação básica. VIDYA, v. 32, n.
2, p.113-132, 2012.
PETRAGLIA, I. C. Edgar Morin: Complexidade, transdisciplinaridade e incerteza.
EICPS, v.1, 2002.
PATY, M. A Física do Século XX. Aparecida: Idéias e Letras, 2009.
PLANCK, M. O conceito da causalidade física. In: Autobiografia e outros ensaios.
pp. 41-57. Rio de Janeiro: Contraponto, 2012.
SANTOS, A. Complexidade e transdisciplinaridade em educação: cinco princípios
para resgatar o elo perdido. Revista Brasileira de Educação v. 13 n. 37, 2008.
TÔRRES,
Julio.
Mesquita.
Teoria
do
Caos.
http://www.juliotorres.ws/. Acessado em: 19/07/2012.
Disponível
em:
WEINBERG, S. Sonhos de uma Teoria Final: a Busca das Leis Fundamentais da
Natureza. Rio de Janeiro: Rocco, 1996.
484
A UTILIZAÇÃO DE UM QUEBRA-CABEÇA NO ENSINO DE GEOMETRIA
ESPACIAL: ANÁLISE, ELABORAÇÃO DE ATIVIDADES E USO EM SALA
DE AULA
Rosemeire BRESSAN - IFSP – SP ([email protected])
Resumo: O presente trabalho faz parte de uma pesquisa realizada com um material
manipulável aplicado no ensino de geometria espacial, material esse que é encontrado
em lojas de variedades. Uma análise desse material foi realizada mostrando como
manipulá-lo juntamente com a apresentação de dez atividades para uso em sala de aula,
com alunos do ensino fundamental e médio. Para o uso do material e aplicação das
atividades propostas, uma turma do quarto ano do ensino fundamental de uma escola
municipal de Catanduva foi selecionada. Para finalizar, algumas considerações são
apresentadas sobre o material e sua aplicação em sala de aula.
Palavras-chave: Material Manipulável, Geometria Espacial, Ensino.
Introdução
O conteúdo de Geometria está presente em todas as séries do ensino
fundamental e médio. Numa porcentagem maior ou menor em cada série, contribui com
a visualização da álgebra, tornando a matemática mais interessante. Como fundamental,
tem a propriedade de mostrar o que muitas vezes, não conseguimos visualizar. Isso pode
ser feito inclusive, de uma maneira concreta, por meio de construções utilizando
materiais diversos ou com a utilização de softwares específicos.
De acordo com Hyde(1989) e Serrazina(1993, apud BOTAS, 2008), “a forma
como os professores encaram a Matemática pode influenciar as suas práticas de ensino.
Tudo o que os professores realizam na sala de aula resulta do que pensam sobre a
Matemática e como a sentem”.
Se o professor mostra para o aluno uma matemática fácil, interessante, cativante,
a matemática do dia a dia do aluno, sua reação será aceitá-la da mesma maneira, com as
mesmas qualidades.
Para Caldeira (2009), “os alunos da formação inicial necessitam de novas
práticas e metodologias mais criativas, em virtude, de ser um fator determinante para
aumentar os seus níveis de interesse, para uma melhor aprendizagem da matemática.
485
Para contribuir com a vivência e experimentação dos alunos, visando à motiválos e melhorar a aprendizagem, é feita uma análise do uso de um material manipulável
no ensino de geometria. Além da análise, algumas atividades sobre o uso do material
são propostas. Para finalizar, a aplicação das atividades propostas com crianças do
quarto ano da rede municipal de ensino também é apresentada juntamente com algumas
considerações sobre o uso do material.
Problemática
O uso de material didático manipulável tem sido muito discutido por vários
pesquisadores como afirma Botas (2008), onde cita que
“Uma das formas de promover as diferentes experiências de
aprendizagem é através do uso de materiais didáticos, os quais
assumem um papel ainda mais determinante por força da
característica abstrata desta disciplina. Os materiais constituem,
assim, o suporte físico através do qual as crianças vão explorar,
experimentar e manipular.”
A manipulação desses materiais pode contribuir muito com a aprendizagem e
cabe ao professor proporcionar ao aluno, condições para que isso aconteça. Seu uso
deve contribuir com o conhecimento matemático e não ser aplicado apenas para mostrar
que a matemática é divertida. Precisa ocorrer uma matematização, que, Caldeira (2009,
p. 218) define como
“... a atividade organizada e estruturada durante a qual o
conhecimento e as aptidões adquiridas são justificadas com o objetivo
de descobrir regularidades, conexões, estruturas ainda desconhecidas.
É fundamental que o conteúdo a ser matematizado seja vivenciado e
experimentado pelo aluno de forma a ser real, contribuindo assim para
o desenrolar do processo.”
Para Turrioni(2004, p. 78, apud CALDEIRA, 2009, p. 226), o Material Didático
“exerce um papel importante na aprendizagem. Facilita a observação e a análise,
desenvolve o raciocínio lógico, crítico e científico, é fundamental e é excelente para
auxiliar ao aluno na construção de seus conhecimentos”.
Segundo Smole (1996, apud Caldeira, p. 235), “os materiais devem ao
simularem situações, desenvolver a imaginação, permitirem tentativas e erros, para que
haja uma aprendizagem significativa”.
486
Será que nesse desenvolvimento de imaginação, ocorrerá aprendizagem? Ela
será significativa? É correto propor ao aluno atividades com regras ou deixá-lo agir por
tentativa e erro? Até que ponto o professor deve interferir na ação do aluno?”
Smole (1996) defende primeiramente um manuseio livre dos materiais, para que
algumas noções possam emergir dessa exploração. Depois, de acordo com os objetivos,
podem ser colocadas situações problemáticas que permitam ser investigadas, para mais
tarde através do diálogo, serem trocadas opiniões, em que os trabalhos individuais e
coletivos possam ser registrados.
Desenvolvimento
Após ter acesso a um quebra-cabeça para crianças, disponível em lojas de
variedades, surgiu a ideia de explorá-lo para o ensino de Geometria Espacial. Esse
quebra-cabeça é conhecido como “Inteligence Ball” ou bola inteligente.
Cada embalagem possui 20 peças com quatro tipos de cores, que são ligadas
entre si formando uma bola. Junto com as unidades, vem um folheto explicativo (figura
1) mostrando as novas peças que podem ser geradas.
487
Figura 1: Folheto sobre o quebra-cabeça
As peças que compõem o material são chamadas de unidades, e que, quando
unidas, formam figuras em três dimensões. Por meio da manipulação dessas unidades,
foi possível construir peças diversas que são apresentadas nesse artigo. Primeiramente é
apresentada a relação da geometria com essas peças, para depois, apresentar uma
sequência de atividades propostas.

Material e a geometria espacial
Uma criança ou um aluno, quando se depara com esse material, fica curioso para
descobrir o que é possível obter unindo essas unidades, pois são coloridas chamando a
atenção dele. Ele começa a unir essas unidades sem ter uma lógica até perceber que
nem toda combinação gera uma figura espacial. A figura 2 mostra a combinação das
unidades que vão pavimentando ou recobrindo o plano.
488
Figura 2: Pavimentação do plano
Nesse momento, é possível perceber que essa combinação, chamada de quatro
por quatro (identificação do autor), não é a maneira correta de unir as peças. Daí, novas
tentativas vão surgindo e, a primeira, é mostrada na figura 3.
Figura 3: Primeira peça em três dimensões
Vamos denotar essa combinação como sendo a três por três, pois as peças são
unidas entre si sempre três a três. Estando com a peça montada, ela pode ser moldada
por meio da abertura de cada uma das unidades. A figura 4 mostra a peça sendo aberta.
Figura 4: Abertura das unidades da peça construída
À medida que vamos abrindo as unidades, uma nova superfície vai sendo
gerada. Quando o grau máximo de abertura é atingido, é possível identificar uma forma
espacial bem parecida com um tetraedro, como mostra a figura 5.
489
Figura 5: Abertura máxima das unidades para obter um Tetraedro
Cada unidade que compõe a figura 5, totalizando seis, representa as arestas do
tetraedro. Modificando a peça da figura 5, constrói-se o balão da figura 6, que é
sugerido no folheto do produto (figura 1).
Figura 6: Modelo de peça no formato de um balão
Assim sendo, é possível perceber a relação que existe do material manipulável
com conceitos de geometria. Cada pessoa pode visualizar de uma maneira as figuras em
três dimensões, o que importa é como fará uso disso para facilitar o ensino de
matemática.

Atividades propostas para alunos do ensino fundamental e médio
Para formalizar o uso do material, dez atividades são apresentadas para uso em
sala de aula.
Atividade para “Inteligence Ball”
490
491
492
As atividades aqui propostas foram organizadas de acordo com o nível de
dificuldade, embora as atividades nove e dez sejam classificadas como fáceis, cabendo
ao professor escolher o que está de acordo com o nível de competência e habilidade dos
alunos. As mesmas poderão ser aplicadas para alunos do ensino fundamental e médio,
dependendo do bom senso do professor, que poderá inserir outras atividades.

Utilização do quebra-cabeça em sala de aula
O material foi utilizado com algumas crianças de uma quarta-série do ensino
fundamental de uma escola municipal na cidade de Catanduva-SP. Nem todas as
atividades propostas na seção anterior foram desenvolvidas, pois algumas exigiam
competências e habilidades acima do nível das crianças. Como o tempo para ficar com
as crianças foi de apenas duas aulas, poucas atividades foram desenvolvidas. Na
atividade sobre criação livre, a primeira peça que as crianças montaram foi a que
aparece na figura 7.
493
Figura 7: Utilização do material em sala de aula
Com esclarecimentos de dúvidas da professora, as crianças com facilidade e
criatividade, desenvolveram figuras diferentes como mostra a figura 8.
Figura 8: Construções realizadas pelos alunos
Inicialmente, as crianças ficaram encantadas com o material (figura 9), porém,
assim que começaram a realizar as atividades, foram surgindo dúvidas sobre o que unir
e como unir. Uma demonstração foi realizada pela professora, que apresentou algumas
peças já montadas para que elas entendessem o que era pedido.
Figura 9: Alunas no primeiro contato com o material
494
Foi possível perceber que as crianças entenderam o sentido do uso do material,
associaram rapidamente com a geometria que já tinham visto anteriormente. De todas as
atividades realizadas, a que elas mais gostaram foi a atividade 1, onde era pedido para
construir a peça da figura 10 e depois esticar as unidades, modificando a figura.
Figura 10: Modelo de construção da atividade 1.
Outras atividades propostas anteriormente poderiam ter sido aplicadas com essas
alunas da quarta série, porém, pela falta de tempo, apenas uma apresentação do material
foi realizada. Essas atividades propostas podem ser aplicadas com alunos até do ensino
médio, cabendo ao professor complementar com mais informações e outras atividades
diversificadas de acordo com o nível de conhecimento dos alunos.
Considerações finais
A matemática pode ser identificada em diversos lugares, situações, objetos e até
mesmo em um brinquedo. Nesse trabalho foi explorado um quebra cabeça chamado de
Inteligence Ball, utilizado para obter peças em três dimensões. Atividades foram
propostas para serem desenvolvidas com esse material, associando-o com conceitos da
matemática, ou seja, ocorreu uma “matematização”, como já foi citado por Caldeira
(2009), onde a matemática é organizada para o aluno descobrir padrões ou
regularidades, fazendo com que o aluno vivencie o conteúdo de forma real.
Para Rojo (2005), “Os materiais didáticos, se bem escolhidos e usados, se de
qualidade e adequados ao planejamento do professor, são grandes instrumentos de apoio
no processo de ensino-aprendizagem”.
As Orientações Pedagógicas de Matemática da Secretaria de Educação do
Paraná dão dicas do que o professor deve fazer para que ocorra o conhecimento
Matemático.
Para que possa ajudar seu aluno ou sua aluna a percorrer o
caminho do conhecimento matemático, de forma intensa e
prazerosa, é necessário que o professor ou professora tenha
convicção de que estudar matemática, além de necessário, pode
495
ser uma atividade agradável e desafiadora. De outro modo, não
será tarefa fácil convencer as crianças da importância de estudar
matemática, nem da possibilidade de se constituir em atividade
que pode ser prazerosa.
Nas atividades desenvolvidas com as crianças do quarto ano, foi possível notar o
interesse e satisfação em realizar tais atividades, a criança que estava mais à frente na
construção ajudava as que estavam atrasadas, mostrando que ela identificou a lógica da
construção e sentia prazer em ajudar. Para Melão (2005), uma maneira de tornar
possível para as crianças a aprendizagem, o gosto e a valorização da matemática, é fazer
com que o trabalho em sala apóie-se em uma perspectiva para o trabalho com a
matemática escolar que apresente a matemática como ciência dinâmica, que se faz e se
refaz continuamente, enquanto está sendo estudada, enquanto está sendo experimentada.
Dessa maneira, ela passa a ser um objeto de investigação, onde é possível
duvidar, questionar suas certezas e evidenciar os aspectos que ela não consegue
apreender.
Referências
BOTAS, D. A utilização dos materiais didáticos nas aulas de matemática: um
estudo no 1º Ciclo. Lisboa, 2008. Dissertação de Mestrado. Universidade de Lisboa.
CALDEIRA, M. F. T. H. S. A importância dos materiais para uma aprendizagem
significativa da Matemática. In Actas do X Congresso Internacional Galego Português
de Psicopedagogia. Braga: Universidade do Minho, 2009. Disponível em
http://www.educacion.udc.es/grupos/gipdae/documentos/congreso/xcongreso/pdfs/t7/t7
c244.pdf. Acesso em: 10 Jan. 2014.
MELÃO, W. S. A Matemática Escolar como Instrumento de Educação. In: SEED Orientações Pedagógicas – Matemática: Sala de Apoio à Aprendizagem. Curitiba:
SEED, 2005.
ROJO, R. Materiais Didáticos: escolha e uso. Boletim 14. Salto para o futuro/ TV
Escola,
2005.
Disponível
em
http://www.tvbrasil.org.br/fotos/salto/series/151007MateriaisDidaticos.pdf. Acesso 10
Jan. 2014.
496
A COMPREENSÃO EM LEITURA E SUA INFLUÊNCIA NA RESOLUÇÃO DE
EXERCÍCIOS/PROBLEMAS DE MATEMÁTICA
Glauce de O.S. SILVA- IFSP- Campus Caraguatatuba-SP ([email protected])
Jaqueline LOPES - IFSP- Campus Caraguatatuba – SP ([email protected])
Mirian M. de OLIVEIRA - IFSP – Campus Caraguatatuba - SP ([email protected])
Resumo: É frequente o discurso de professores de matemática de que os alunos teriam
dificuldade para resolver exercícios/problemas dessa disciplina por não compreenderem
seus enunciados. Nesse sentido, investigamos a razão pela qual os alunos do ensino
fundamental (sétimo ano) de uma escola da rede pública do Litoral Norte de São Paulo
têm dificuldade ao interpretarem esses enunciados, buscando entender a relação entre
língua materna, linguagem matemática, conceitos matemáticos e falta de atenção
enquanto fatores que influenciariam na resolução de exercícios/ problemas matemáticos.
Para embasarmos teoricamente nosso trabalho, utilizamos principalmente os estudos de
Smole e Diniz (2001) e Machado (2011) haja vista que discutem o paralelismo nas
funções que a língua materna e a linguagem matemática desempenham. Para tanto,
primeiramente aplicamos um questionário para analisarmos o perfil dos alunos participantes de nossa pesquisa em relação as suas dificuldades ao tentarem resolver um
exercício/problema matemático. Em seguida, foram selecionados e adaptados dois
exercícios previamente trabalhados pela professora desses alunos. Após a resolução
feita pelos alunos, realizamos a leitura e a correção dos exercícios selecionados e
resolvidos. Aplicamos mais três exercícios/problemas para averiguarmos se a correção
realizada havia sanado as dificuldades dos alunos. Por fim, analisamos três páginas do
caderno de uma aluna – participante deste estudo. Após a realização de todas as etapas
deste trabalho, os dados obtidos nos indicaram que a dificuldade ao resolver exercícios
de Matemática não está relacionada unicamente à fluência de leitura nas aulas de
Língua Portuguesa, mas também a conceitos matemáticos, à transferência da Língua
Portuguesa para a linguagem matemática, bem como à falta de atenção no decorrer da
leitura e da resolução dos exercícios.
Palavras-chave: Educação
exercícios/problemas.
Matemática;
Língua
Materna;
resolução
de
497
Introdução
Quantas vezes não ouvimos nas aulas de matemática que é uma disciplina difícil
e que o enunciado dos exercícios é confuso, ou seja, por meio dele os alunos nem
sempre conseguem visualizar a resolução desses exercícios. Segundo Smole e Diniz
(2001, p. 69), os professores dessa disciplina comumente acreditam que os alunos têm
dificuldade em interpretar o enunciado de exercícios e problemas por não praticarem
muito a leitura. Além disso, afirmam que não é rara a crença de que se o aluno fosse
mais fluente em leitura na língua materna, também seria melhor leitor nas aulas de
matemática.
Conforme Machado (2011, p.95), existe um paralelismo nas funções que a
Língua Materna e a Linguagem Matemática desempenham, dificultando “ações
pedagógicas consistentes” ao considerarmos apenas uma das duas disciplinas já que há
uma imbricação nas questões relativas ao ensino de ambas.
Kleiman (2012, p. 39), enfatiza que a interdisciplinaridade de um assunto não
significa que o professor de Português se tornará um professor de outra disciplina,
apenas, mas significa também que o professor de outra disciplina também se torne mais
um professor de leitura.
De acordo com São Paulo (2008, p. 17), a proficiência leitora e escritora têm
“como base o desenvolvimento do pensamento antecipatório, combinatório e
probabilístico que permite estabelecer hipóteses, algo que caracteriza o período da
adolescência”.
Segundo Paez e Sousa (2011), isso garante o domínio e a compreensão de
diferentes linguagens, bem como o desenvolvimento da capacidade de comunicação e
representação das crianças e expressão dos adolescentes [...] Conforme essas autoras,
A articulação da matemática com a língua materna é percebida a todo
momento, principalmente quanto ao desenvolvimento das proficiências, pois
sem a língua materna a matemática por si só não teria como ser comunicada,
além da contribuição que a matemática dá ao desenvolvimento do raciocínio,
argumentação e abstração.
Considerando que a leitura tem seu alicerce na capacidade humana de
compreensão e interpretação do mundo, é importante que tornemos nossos alunos em
leitores competentes (SMOLE E DINIZ, 2001, P. 70). Ainda de acordo com essas
autoras, existem na matemática “termos e sinais específicos”, assim como uma
498
organização de escrita diferente daquela utilizada nos textos de língua materna, exigindo
um processo específico de leitura.
No entanto, não são somente a dificuldade de leitura (SMOLE E DINIZ, 2001,
p.69) e a relação entre língua Portuguesa e linguagem matemática que permeiam as
dificuldades que alunos têm ao tentarem resolver um exercício de matemática.
Nesse sentido, buscamos investigar as razões da dificuldade de compreensão do
enunciado, buscando entender a relação entre língua materna, linguagem matemática,
conceitos matemáticos e falta de atenção enquanto fatores que influenciariam na
resolução de exercícios matemáticos. Além disso, o tipo de exercício ou problema que o
professor trabalha em sala de aula também é fundamental para orientar os alunos na
interpretação dos enunciados a fim de que os discentes consigam associar o texto ao
conceito matemático necessário para a resolução daqueles.
Língua materna e Matemática
A comunicação é importante para o ensino - aprendizagem de qualquer
disciplina.
Cândido (2001, p. 15) afirma que [...] “é através dos recursos de comunicação
que as informações, os conceitos e as representações são veiculadas entre as pessoas”,
assim, aprender matemática requer que haja comunicação.
Nesse sentido, Machado (1995, apud CÂNDIDO, 2001, p. 17) acredita que a
Matemática empresta da língua materna a oralidade e os significados das palavras que
dão suporte à troca de informações. Por isso, conforme Cândido (2001), é possível
atribuir à nossa língua “dois papéis em relação à matemática”: primeiro, é na língua
materna que lemos os enunciados bem como são feitos comentários, permitindo que
ouçamos e leiamos de maneira precisa e aproximada; segundo, ela é “parcialmente
aplicada” na matemática, uma vez que “os elos de raciocínio matemático apóiam-se na
língua, em sua organização sintática e em seu poder dedutivo”.
De acordo com Machado (2011), “a Matemática e a Língua Materna
representam elementos fundamentais e complementares [...] mas que não podem ser
plenamente compreendidos quando considerados de maneira isolada”.
São Paulo (2010, p. 30) orienta que, nos currículos, em parceria com a língua
materna, a Matemática deve se caracterizar como recurso necessário para o
499
desenvolvimento eficaz da expressão, compreensão, argumentação e contextualização
dos conteúdos estudados.
A ligação entre língua materna e matemática se constitui, dentre outros, na
prática de leitura, uma vez que os enunciados de exercícios e problemas matemáticos
precisam ser interpretados e compreendidos para que sejam resolvidos.
Considerando que a leitura tem seu alicerce na capacidade humana de
compreensão e interpretação do mundo, é importante que tornemos nossos alunos em
leitores competentes (SMOLE E DINIZ, 2001, P. 70). Ainda conforme essas autoras
existem na matemática “termos e sinais específicos”, assim como uma organização de
escrita diferente daquela utilizada nos textos de língua materna, exigindo um processo
específico de leitura.
Vieira (2000, p.30 apud LORENSATTI, 2011) afirma que é essencial ao longo
da resolução de problemas com enunciados em língua materna a atividade de
compreensão destes. Entretanto, observa-se “pouca aproximação entre a compreensão
de textos proposta nas aulas de Língua Portuguesa e a atividade de resolução de
problemas nas aulas de Matemática”. Dar oportunidade ao aluno para praticar a
compreensão do enunciado de problemas o auxiliará a resolvê-los e ampliar inferências
e conexões lógicas (LORENSATTI, 2011, p. 16).
Exercícios e problemas matemáticos
É relevante discutirmos a diferença entre exercício e problema, mesmo que
brevemente, pois a forma como os conceitos matemáticos são praticados também
influenciam no acerto ou erro da resolução de exercícios e/ou problemas.
De acordo com Lorensatti (2011), exercício e problema, no contexto escolar,
diferem por que aquele não exige o estabelecimento de relações entre o conhecimento e
o que se quer conhecer que este exige.
Dante (1994, apud LORENSATTI, 2011) considera os exercícios como um
tipo de problema e os define enquanto aqueles os quais requerem “somente o
reconhecimento de conceitos ou de um fato específico” ou, até mesmo, o uso de
algoritmos já estudados, objetivando “desenvolver habilidades na execução de
procedimentos ou no reforço de conhecimentos anteriores”.
500
Conforme Lorensatti (op. cit.), o exercício é utilizado para praticar algo já
conhecido, enquanto o problema exige reflexão e tomada de decisões. Ainda segundo
essa autora, existem os problemas - padrão, encontrados no final de capítulos de livros
didáticos, os quais conduzem à solução. Nesses problemas, depois de transformar a
língua materna em linguagem matemática, os alunos precisam identificar as operações
adequadas para resolvê-los (p. 25).
Segundo Brasil (1998, p. 41), um problema matemático é uma situação que requer
uma solução ou uma demonstração que não estão disponíveis de início, mas que são
possíveis de construção.
Enfim, neste artigo, consideramos exercícios como recursos utilizados para o
reconhecimento e fixação de conceitos estudados, e problemas enquanto aqueles que
necessitam de reflexão, construção e tomada de decisão.
Metodologia
Como objetivávamos investigar a razão pela qual alunos do ensino fundamental de
uma escola da rede pública do Litoral Norte do Estado de São Paulo tinham dificuldade
ao interpretar o enunciado de exercícios de matemática, optamos por um estudo de
cunho quantitativo - qualitativo já que este se caracteriza pela quantificação,
interpretação e descrição da dificuldade de discentes acerca da resolução de exercícios
de matemática.
Para tanto, coletamos os dados em uma escola estadual de uma cidade do litoral
norte de São Paulo onde duas bolsistas do programa da Capes intitulado de Pibid
(Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) atuam. Participaram da
pesquisa aproximadamente 108 alunos (quatro turmas) os quais estavam cursando o
sétimo ano do ensino fundamental no ano de 2013.
Foram utilizados como instrumentos de coleta de dados um questionário sondagem
(Anexo A) para analisarmos o perfil dos alunos - participantes de nossa pesquisa em
relação as suas dificuldades ao tentarem resolver um exercício matemático. Em seguida,
foram selecionados e adaptados dois exercícios (Anexo B) previamente trabalhados pela
professora desses alunos os quais requeriam que estes, para resolvê-los, conseguissem
fazer a transferência correta da língua materna para a linguagem matemática e, ainda,
para uma melhor compreensão das dificuldades desses alunos, solicitamos que eles
marcassem se a resolução para tais exercícios eram de nível fácil, médio ou difícil.
501
Após a realização da segunda etapa, as bolsistas e a professora orientadora do
projeto foram até o ambiente escolar e fizeram a leitura e correção dos exercícios com os
alunos. Além disso, durante a correção, foi possível identificar quais dúvidas ainda eram
frequentes e oralmente, foram feitos os esclarecimentos necessários. Toda a correção foi
gravada em áudio (mp3). Na quarta etapa do estudo, elaboramos mais três questões
(Anexo C) para comprovarmos se os educandos haviam sanado suas dúvidas a respeito de
vocabulário e do conceito matemático envolvido para as resoluções. Por último,
analisamos algumas páginas do caderno de uma aluna – participante da pesquisa para
verificarmos como a professora trabalhava os conceitos matemáticos, ou seja, se ela
utilizava exercícios e/ou problemas matemáticos.
Resultados
A fim de analisarmos o que os alunos - participantes de nosso trabalho pensavam
em relação as suas dificuldades ao tentarem resolver um exercício matemático,
utilizamos as respostas desses alunos ao questionário sondagem (Anexo A).
Para tal, utilizamos as respostas à questão número um e obtivemos o seguinte
gráfico:
Gráfico 1 – Dificuldades dos alunos na resolução de exercícios matemáticos
Esse gráfico demonstra que 49,55% dos alunos já informam que sua maior
dificuldade está em saber qual conceito matemático devem empregar para a resolução de
um determinado exercício. Demonstra também que 32,42% dos participantes do estudo
geralmente não conseguem entender o que foi solicitado no exercício, impossibilitando
sua resolução. E ainda 16,22% desses alunos afirmam que sua dificuldade está
relacionada a esses dois fatores, ou seja, o nível de dificuldade é ainda maior para estes.
502
Ressaltamos que dois alunos responderam diferentemente das opções que estavam
contidas no questionário, escreveram para a questão um que não tinham nenhuma
dificuldade, por isso, foi acrescentado ao gráfico a opção outros, totalizando 1,80%. Já a
questão 2 (Anexo A), é representada pelo seguinte gráfico:
Gráfico 2 – Causa dos erros na resolução de exercícios matemáticos
Como podemos observar, apresenta como principal causa do erro a falta de
atenção no momento da resolução, ou seja, 39,64% dos alunos pesquisados. Já 36,94%
desses estudantes informam que o principal gerador de erro é a dificuldade na leitura e
compreensão das questões, enquanto, os outros 22,52% apresentam novamente como
erro a falta de atenção, mas dessa vez, relacionada à leitura do exercício. Ressaltamos
novamente que um aluno respondeu diferentemente das opções que estavam contidas no
questionário, escrevendo para a questão um que não tinha nenhuma dificuldade, por
isso, foi acrescentado ao gráfico a opção outros, totalizando 0,90%. Todos esses fatores
dificultam a resolução de um exercício matemático. A terceira questão (Anexo A)
indagava acerca da capacidade dos alunos em ler, interpretar e resolver exercícios de
matemática sozinhos:
503
Gráfico 3 – Autonomia na resolução de exercícios matemáticos
Obtivemos como resposta que 27,03% desses alunos conseguem ler, interpretar
e resolver os exercícios, 71,17% às vezes conseguem, 0,90% disseram que não
conseguem e 0,90% nunca conseguem.
Com o objetivo de identificarmos a quais tipos de dificuldades estavam
relacionados os erros dos alunos, utilizamos a resolução de dois exercícios matemáticos
(Anexo B) aplicados nas quatro turmas de sétimos anos. Para tanto, o enunciado da
primeira questão foi redigido na língua materna, e este procurava favorecer a
compreensão do aluno, dessa forma sua linguagem era próxima àquela do aluno,
evitando assim dúvidas e uma resolução errônea do exercício solicitado. O enunciado da
segunda questão foi redigido somente na linguagem matemática, ou seja, uma expressão
numérica, pois, segundo Smole e Diniz (2001), o objetivo da criação desse tipo de
exercício é induzir que os alunos percebam como a pergunta de um problema está
relacionada aos dados do problema e ao texto.
As respostas dos alunos a essas duas questões estão representadas pelo seguinte
gráfico:
Gráfico 4 – Erros e acertos para as questões (Anexo B)
Erraram a questão um (1), do segundo instrumento de coleta, 54,63 % dos
alunos, e 45,37% dos alunos que conseguiram fazer a transição correta da Língua
Portuguesa para a linguagem matemática, usando ainda os conceitos matemáticos
necessários para a resolução do exercício. Já para a questão dois (2), 53,7% dos alunos
erraram a resolução da expressão numérica, ou seja, o problema não estava somente
504
relacionado à leitura de exercícios matemáticos, uma vez que, mesmo utilizando
somente uma expressão numérica, tivemos altos índices de erros.
A partir desses resultados, fomos à escola fazer a correção dos exercícios com os
alunos, pois
[...]“é possível conduzir uma discussão com toda a classe para socializar as
leituras, as dúvidas e as compreensões. Mais uma vez, não se trata de resolver
o problema oralmente, mas de garantir meios para que todos os alunos
possam iniciar a resolução do problema sem, pelo menos, ter dúvidas quanto
ao significado das palavras que nele aparecem. Assim se houver um dado do
problema ou um termo que seja indispensável e que os alunos não conheçam
ou não saibam ler, principalmente no início do ano, o professor deve revelar
seu significado e proceder à leitura correta.
(SMOLE E DINIZ, 2001,
p.73-74).
Para comprovarmos se os educandos sanaram suas dúvidas acerca de
vocabulário (língua materna) e do conceito matemático envolvidos nas resoluções dos
exercícios, aplicamos três questões (Anexo C) nas quatro turmas de sétimos anos.
O enunciado da questão um utilizava a língua materna e também a linguagem
matemática e tinha a estrutura de um extrato bancário.
Baseados nas respostas à questão um (Anexo C), classificamos os tipos de erros
dos alunos:
Gráfico 5 – Dificuldades dos alunos na resolução da questão 1. a
Observando o gráfico, notamos que, para a alternativa “a” da primeira questão,
49,38% dos erros foi devido à falta de atenção dos alunos no momento da resolução dos
505
exercícios; 35,80% ainda não dominavam o conceito matemático necessário; 12,35%
dos alunos não tinham o domínio das operações básicas da matemática, por isso não
conseguiram fazer o exercício e apenas 2,47% não souberam transferir o enunciado para
a linguagem matemática.
Foram analisadas as respostas dos alunos à questão dois (2), do terceiro
instrumento de coleta de dados. Ao classificarmos os erros para essa questão, temos:
Gráfico 6 – Dificuldades dos alunos na resolução da questão 2
Erraram a questão dois (2), por falta de atenção, 53,57% dos alunos, 41,07%
ainda não se apropriaram do conceito matemático necessário para a resolução dos
exercícios e 5,36% desses alunos não têm o domínio das operações básicas.
Analisamos a terceira questão (Anexo C) e classificando seus tipos de erros,
obtivemos:
Gráfico 7 – Dificuldades dos alunos na resolução da questão 3
A maior parte, ou seja, 52% dos alunos que erraram, foi por ainda não
dominarem o conceito matemático necessário para a resolução dos exercícios; já 38%
desses alunos apresentaram a falta de atenção como causa do erro; 6% não possuíam o
506
domínio das operações básicas que são necessárias para desenvolver o exercício e 4%
não souberam fazer a transcrição da língua materna para a linguagem matemática, para
que continuassem a resolução.
Após analisarmos as respostas dos alunos às diferentes questões, verificamos a
relação do modo como a professora dos sétimos anos exercitava com seus alunos os
conceitos matemáticos estudados em sala de aula, com os resultados dos questionários
(Anexos A, B e C). Observamos que, por não trabalhar a leitura e interpretação de
enunciados em língua materna, já que, geralmente utilizava exercícios e não
problemas,justificaria a dificuldade dos alunos em compreender os enunciados das
questões por nós propostas ao longo do estudo, assim como problemas com conceitos
matemáticos e com a transferência da língua materna para a linguagem matemática.
Para Duval (1995 apud FEIO 2008), “a compreensão em Matemática implica
que um sujeito deve ter de mudar de registros o mais naturalmente possível [...] Porém,
essa passagem de um registro representação a outro não tem nada de espontâneo para a
maioria dos alunos” [...] Além disso, segundo Smole e Diniz (2001, p. 85 e 86), as
atividades de comunicação precisam propiciar uma aprendizagem significativa, uma vez
que ao lerem com seus alunos, os professores podem observar a aprendizagem deles.
Quando surgir qualquer dificuldade, o docente pode refletir se o que o aluno não
entendeu foi o texto ou o conceito necessário para a resolução do problema proposto.
Por meio dos dados coletados, podemos concluir que o discurso de professores e
alunos de que estes têm dificuldade ao interpretar o enunciado de exercícios de
Matemática não está relacionada unicamente à Língua Materna (SMOLE E DINIZ,
2001, p. 69), mas também a conceitos, à transferência da Língua Portuguesa para a
linguagem matemática, bem como à falta de atenção na leitura e resolução dos
exercícios.
Considerações Finais
Objetivávamos investigar a razão pela qual alunos do ensino fundamental de
uma escola da rede pública do Litoral Norte do Estado de São Paulo tinham dificuldade
ao interpretar o enunciado de exercícios de matemática,
Por meio da análise dos dados, pudemos concluir que os alunos – participantes
desta pesquisa apresentaram dificuldades em relação à leitura e à interpretação dos
507
enunciados; dúvidas acerca de conceitos matemáticos estudados em sala de aula;
problemas na transferência da língua materna para a linguagem matemática, assim como
falta de atenção ao resolverem os exercícios.
É importante ressaltar que as páginas do caderno de uma das alunas participantes deste estudo indicam que, a professora responsável pelo ensino de
Matemática nos sétimos anos, utilizava, geralmente, exercícios para a prática dos
conceitos estudados em sala de aula. Isso demonstra que a leitura de enunciados não era
trabalhada, pois reiteramos que consideramos exercícios como recursos utilizados para
o reconhecimento e fixação de conteúdos vistos.
Em vista disso, ressaltamos que é necessário que a relação entre língua materna,
no nosso caso, a Língua Portuguesa, e a linguagem matemática seja trabalhada na aula
de Matemática, ou seja, que o professor oriente o aluno ao longo do processo de
interpretação e transformação do enunciado em uma sentença matemática, facilitando a
resolução dos exercícios propostos em sala de aula.
Referências Bibliográficas
BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática - Terceiro e Quarto Ciclo do Ensino Fundamental. Secretaria da Educação
Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
CÂNDIDO, Patrícia T. Comunicação em Matemática. In: SMOLE, Kátia Stocco;
DINIZ, Maria Ignez. (Orgs.) Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas
para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Ler e aprender Matemática. In: SMOLE,
Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. (Orgs.) Ler, escrever e resolver problemas:
habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.
FEIO, Evandro dos S. Paiva. SILVEIRA, M. R. A. A conversão da língua natural para a
linguagem matemática à luz da teoria dos registros de representação semiótica. In:
Sexto encontro paraense de Educação Matemática. Anais. Belém. 2008 (CD ROM).
508
KLEIMAN, Angela. Oficina de Leitura: Teoria e prática. 14a ed. Campinas: Pontes,
2012.
LORENSATTI, Edi Jussara Candido. Educação e Linguagem: os mecanismos
coesivos na compreensão de problemas de aritmética. 2011. 123f. Dissertação
(Mestrado em Educação). Centro de Filosofia e Educação, Universidade de Caxias do
Sul, Caxias do Sul – RS. 2011.
MACHADO, Nilson José. Matemática e Língua Materna: análise de uma
impregnação mútua. 6ª ed. São Paulo: Cortez, 2011.
PAEZ, Gisele Romano; DE SOUSA, Maria do Carmo. A PROPOSTA
CURRICULAR DE MATEMÁTICA DE 2008 DO ESTADO DE SÃO PAULO E
SUA RELAÇÃO COM A LEITURA E ESCRITA. Disponível em:
<https://sites.google.com/site/observatoriodaeducacaoufscar/eventos/iii-enrede/6-trabalhoscompletos>. Acesso em: 02 de fevereiro de 2013.
SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo:
Matemática e suas tecnologias/Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês
Fini; coordenação de área, Luis Carlos de Menezes. – São Paulo: SEE, 2008. 59p.
SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo:
Matemática e suas tecnologias/Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês
Fini; coordenação de área, Nilson José Machado. – São Paulo: SEE, 2010. 72p.
509
ANEXOS
ANEXO A – Questionário sobre as percepções dos alunos – participantes da
pesquisa sobre suas dificuldades ao resolverem um exercício matemático
Nome: _________________________________________________
turma: ________________
1-Quando você lê um exercício de matemática, qual a maior dificuldade que encontra
para resolvê-lo?
a) entender o que foi pedido no exercício;
b) saber que conceitos matemáticos usar;
c) as duas alternativas anteriores.
2-Você acha que seus erros nos exercícios de matemática são devido à:
a) dificuldade na leitura e na compreensão das questões;
b) falta de atenção na leitura do exercício;
c) falta de atenção na hora da resolução.
3-Você consegue ler, interpretar e resolver sozinho os exercícios de matemática?
a) sim;
b) não;
c) ás vezes;
d) nunca.
510
ANEXO B – Questões para avaliar as dificuldades dos participantes do estudo ao
resolverem um exercício e/ou problema matemático
1) Marlene , no dia 12 de março, tinha em sua conta R$ 200,00. Neste mesmo dia ela
pagou a academia de seu filho com um cheque no valor de R$ 75,00. Passando em frente
à uma loja, ela decidiu comprar uma bolsa para presentear uma aluna e gastou R$ 120,00.
No dia 14 de março, ela recebeu um depósito de R$70,00 de seu marido e no dia 15 de
março ela comprou sapatos e gastou R$ 340,00. Neste mesmo dia ela recebeu R$ 500,00
de presente do seu marido, qual era o saldo da conta da Marlene no dia 16 de março?
2) Calcule a expressão: 200 – 75 – 120 + 70 – 340 + 500=
Assinale abaixo qual foi sua dificuldade para responder as questões:
Questão 1
Questão 2
a) Fácil
a) Fácil
b) Médio
b) Médio
c) Difícil
c) Difícil
511
ANEXO C- Questões para avaliar as dificuldades dos participantes do estudo ao
resolverem um exercício e/ou matemático, após correção das questões do anexo B
512
EDUCAÇÃO FINANCEIRA: ANALISANDO OS CONHECIMENTOS DE
ALUNOS DO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO
Luciene dos S. Silva – IFSP-SP ([email protected])
Luis Américo Monteiro Junior- IFSP-SP ([email protected])
Resumo: Este artigo tem por objetivo divulgar os resultados da pesquisa de iniciação
científica sobre o conhecimento financeiro dos alunos do primeiro ano do Ensino Médio
de duas escolas públicas de Caraguatatuba-SP. Esta análise foi realizada por meio de
questionário abordando conteúdos de matemática e educação financeira, a fim de
identificar as dificuldades dos alunos. A Matemática Financeira está presente em várias
atividades que as pessoas realizam e é uma ferramenta fundamental que nos auxilia no
processo de tomada de decisão Maroni (2011). Nas escolas, a cantina é um bom
exemplo, muitos alunos recebem certa quantia para gastar na escola, neste ambiente é
necessário tomar simples decisões financeiras, como por exemplo, se há algum alimento
em promoção levando o jovem a pensar no que é mais vantajoso. De acordo com
Mandell e Klein (2009) pesquisas feitas entre 1964 e 1983 e posteriormente de 2000 a
2008 com alunos do ensino médio nos Estados Unidos mostraram que alunos do
primeiro período poupavam mais, isto devido à inexistência do crédito fácil, hoje isso é
completamente diferente, o que resultou no aumento da inadimplência e que pode ser
verificado, também, no Brasil entre os adultos. O mercado esta inovando
constantemente, a tecnologia esta avançando cada vez mais, isto faz com que muitos
jovens vão ás compras, gastando além do que podem, gerando dívidas, por isso vimos à
importância do planejamento financeiro já dentro das escolas. Assim, após a análise dos
questionários, foi desenvolvida e aplicada uma palestra com alunos das duas escolas
públicas a fim de promover no aluno habilidades e competências de analisar e avaliar,
criticamente, as situações financeiras que se apresentam em sua vida.
Palavras-chave: Educação Financeira, Ensino Médio, Matemática Financeira.
513
INTRODUÇÃO
Este artigo apresenta uma discussão sobre a importância da Educação Financeira
para adolescentes, em particular, estudante do primeiro ano do Ensino Médio da rede
pública. Foram sorteadas duas turmas de cada escola pesquisada devido ao tempo
disponível para realizar a pesquisa. Em um primeiro momento fizemos um
levantamento bibliográfico sobre o assunto, uma pesquisa sobre a forma como o assunto
vem sendo tratado nas escolas e aplicamos um questionário aos alunos das duas escolas
para identificar as dificuldades relacionadas à Matemática Financeira. Em seguida, com
base na análise das respostas apresentadas nos questionários, foi proposta uma palestra
para abordar o tema a fim de facilitar o entendimento de aspectos financeiros que
possam contribuir para o dia-dia da vida adulta, auxiliando na formação de uma cultura
poupadora e crítica, capaz de tomar decisões com base em argumentos financeiros
sólidos.
Segundo os PCNs os temas relativos à Matemática Financeira devem ser
inicialmente abordados já no 4º ano do ensino fundamental I, os conceitos mais
elaborados são tratados no 7º ano do ensino fundamental II através de razão, proporção
e porcentagem.
A ideia deste projeto surgiu por meio de pesquisas e notícias na área financeira,
que mostram altos índices quando se trata do endividamento de famílias, em cheque
pré-datado, cartões de crédito, carnês de lojas, empréstimos pessoal, prestações de carro
e seguros. A ausência do planejamento financeiro na vida das pessoas resulta no excesso
de dívidas e para evitar isso resolvemos levar a educação financeira para as escolas,
ensinando desde cedo como organizar suas finanças, para quando adultos não entrarem
nessa armadilha que são as dívidas.
EDUCAÇÃO FINANCEIRA
A Educação Financeira é fundamental na vida do cidadão. Maroni (2011, p.18)
apresenta vários fatores que podem influenciar na educação financeira tais como:
514
- orientação familiar;
- formação religiosa;
- experiência de vida;
- educação escolar básica;
- curso superior de Administração, Contabilidade ou Economia;
- leituras especializadas;
- cursos específicos.
Dentre os vários fatores citados pelo autor, neste trabalho destacamos “a educação
escolar básica” que também foi observado por Rosetti e Schimeguel (2009, p.5):
[..] a introdução ao estudo da Matemática Comercial e
Financeira é importante a partir do Ensino Fundamental, no
Ensino Médio e no Ensino Técnico, para promover no aluno as
habilidades e competências de analise e avaliar, criticamente, as
situações financeiras que se apresentam em sua vida.
É por meio de coisas simples que se inicia a educação financeira, no cotidiano
escolar encontramos a presença alguns fatores econômicos como a cantina,
possibilitando o planejamento financeiro, para que possam ter sempre o controle de suas
finanças tornando-se capazes de administrar suas próprias vidas financeiras.
Segundo os autores acima, a educação financeira é de suma importância na
Educação Básica e Técnica sua falta pode gerar consequências para a formação
financeira do aluno. Savoia, Saito e Santana (2007), comentam sobre a falta de
conhecimento financeiro por parte dos indivíduos, resultando em dívidas e dificuldades
financeiras na vida adulta.
PLANEJAMENTO FINANCEIRO
Os problemas financeiros estão presentes em grande parte de nossa vida. Em um
momento ou outro acabamos nos defrontando com uma questão básica: Como
administrar meu dinheiro? Quando criança este recurso pode vir de uma mesada ou de
um presente de aniversário ou mesmo de um pequeno serviço prestado já quando adulto
515
vem de seu salário, investimentos, etc. Hoje nos defrontamos com um mundo cada vez
mais consumista e pouco preocupado com o planejamento financeiro.
Segundo Cerbasi (2003, Pag.57):
Muitas de nossas compras são feitas por impulso, e isso
já foi comprovado por diversos estudos. Segundo pesquisa
realizada pelo PROVAR (Programa de Varejo da Fundação
Instituto de Administração – FIA/USP) em 2002, apenas 20%
das pessoas afirmam que não compram além do que haviam
planejado em supermercados. Em outras palavras, 80% das
pessoas admitem comprar por impulso. Essa estatística é
impressionante.
Saber administrar seus recursos em qualquer etapa da vida se torna muito
importante pelo fato de que esses recursos podem ser finitos.
DINÂMICA APLICADA
No inicio houve uma palestra que foi apresentada em duas escolas estaduais de
Caraguatatuba onde foram abordadas as diferenças entre a matemática financeira e a
educação financeira. No primeiro momento foram apresentados conceitos da
matemática financeira como porcentagem, juros simples e compostos de acordo com
Veras (2008), depois algumas definições e dicas sobre educação financeira: como fazer
um planejamento financeiro e como diferenciar desejos de necessidades na hora da
compra.
Na sequência trabalhamos Desejos X Necessidades de acordo com a Oficina das
Finanças, Ligocki & Iunes (2013, p. 17). Entre todas as coisas que podemos comprar e
fazer, algumas são DESEJOS, e outras são NECESSIDADES.
Nem sempre uma necessidade para uma pessoa, pode ser para outra e ás vezes o
que é um desejo para alguém pode ser uma necessidade para outro.
Uma pessoa pode precisar de um computador, mas ela também pode querer que
esse computador seja superpotente com o melhor design e menor peso. Neste caso, o
computador todo incrementado representa uma necessidade ou um desejo? Se ela for
516
transportá-lo diariamente, o peso pode ser um fator importante na decisão de compra,
mas se ele vai ficar parado, talvez o peso não seja.
Avaliar os desejos e as necessidades que se tem ao longo da vida, percebendo a
diferença entre eles, é fundamental para fazer escolhas conscientes e aproveitar
oportunidades.
Posteriormente vimos “dicas” sobre “Como Aprender a Poupar” de acordo com
Oficina Das Finanças, Ligocki & Iunes (2013, P. 37). Saber não gastar todo o dinheiro
que você ganha, saber poupar e acumular uma parte permitirá que você amplie sua
capacidade de realização para que possa ter mais opções na vida. Essas reservas
possibilitam mais autonomia e alternativas.
Consumir é muito bom, poder comprar coisas que geram conforto, tranquilidade
e segurança são maravilhosos, por isso devemos aprender a:

Distinguir o que é uma necessidade de um desejo na nossa vida;

Definir nossos objetivos, e saber o que queremos realizar e construir;

Valorizar cada nota e moeda, evitar desperdícios;

Aprender que esperar para realizar sonhos maiores pode ser mais vantajoso
do que realizar pequenas coisas o tempo todo;

Saber que o dinheiro pode realizar mais coisas do que apenas oportunidades
de consumo;

Aprender a planejar objetivos a longo prazo para garantir uma aposentadoria
de qualidade.
Para ilustrar a questão do planejamento apresentamos o quadro a seguir aos
alunos criando uma personagem fictícia Luisa e a sua estratégia para atingir algumas
metas e, em seguida, discutimos as ideias de Luisa e propomos aos alunos que
montassem o seu próprio planejamento (tarefa de casa).
517
Meta Final
Meta
Mensal
Receita
R$ 100,00
Despesas
R$ 45,00
Mês 1
Mês 2
Mês 3
Mês 4
Meta mensal
Mês 5
Modificada
Viagem
R$ 80,00
R$ 20,00
R$ 20,00
R$ 40,12
R$ 60,36
R$ 80,72
R$ 0,00
Curso
R$ 40,00
R$ 10,00
R$ 10,00
R$ 20,06
R$ 30,18
R$ 40,36
R$ 0,00
R$ 230,00
R$ 20,00
R$ 20,00
R$ 40,12
R$ 60,36
R$ 80,72
R$ 50,00
R$ 131,20
R$ 5,00
R$ 5,00
R$ 10,03
R$ 15,09
R$ 20,18
R$ 6,00
R$ 26,00
Celular
novo
Extras
Percebemos então que ter um planejamento de suas finanças é essencial, pois
facilita o controle e abre caminhos para novos investimentos, proporcionando uma nova
forma de viver financeiramente.
É possível ter tudo o que se quer dentro de suas possibilidades, basta analisar
suas finanças, fazendo ajustes no decorrer dos meses, poupando mais quando possível,
para então alcançar seu objetivo, seja ele de consumo ou de uma futura aposentadoria.
Tendo determinado o que deve ou não comprar, vamos pra a próxima etapa que
é a de poupar, se você já está se adequando a nova forma de viver financeiramente,
então já pode começar a separar certa quantia para aplicar em rendas fixas, neste caso
me refiro à poupança, que é uma forma mais segura de se iniciar uma aplicação
financeira.
A próxima etapa da palestra é composta por uma atividade que foi realizada em
grupos de até 4 pessoas, cada grupo recebeu uma tabela com produtos de supermercado,
na qual tinham R$300,00 para gastar, comprando apenas aquilo que for necessário, para
isso vamos contar como é a vida financeira da família fictícia que escolhemos.
A Família Lopes é composta por 4 integrantes, o pai Alfredo a mão Cida e os
dois filhos Gustavo e Eduardo, essa família terá que fazer compras no supermercado,
mas ela possui R$ 300,00 para comprar apenas o necessário para se manter por 15 dias.
Eles gastam dinheiro com coisas desnecessárias, por este motivo os alunos fizeram as
compras pela família Lopes. Foi entregue para cada grupo uma tabela com produtos de
supermercado (quantidades e preços) e cabe ao grupo selecionar a quantidade certa de
alimentos, para o café da manhã, almoço e para o jantar, na qual anotaram os produtos
518
que foram comprados, lembrando que eles poderiam gastar no máximo R$ 300,00. Foi
entregue á cada grupo uma tabela com os alimentos que devem conter na compra e as
quantidades mínimas e máximas de cada item, norteando-os em relação às quantidades.
No final houve uma premiação ao grupo que mais se aproximasse da tabela
padrão elaborada a partir dos dados do IBGE que apresentam o consumo diário, em
gramas, de um adulto.
Essa atividade teve por objetivo analisar se os alunos conseguiram diferenciar
desejo de necessidades, comprando apenas aquilo que a família necessita e já os
direcionando para a vida adulta, quando terão que tomar decisões financeiras simples
como as compras em um supermercado.
Na sequência foram apresentados dois vídeos, o primeiro apresentou noções de
como se preparar para aposentadoria. Este vídeo apresentou a ideia de poupar para
aposentadoria e a reflexão sobre determinadas atitudes financeiras. O vídeo mostrou a
vida de José Q Brou que se aposentou e recebeu um bom dinheiro e não soube
administrar bem seus recursos financeiros, depois de ter recebido um grande golpe
financeiro passou a ser mais esperto e aprendeu mais sobre finanças pessoais.
O segundo vídeo, mostrou 5 dicas sobre como evitar o endividamento Leôncio
(2012, p.199) são elas:
-Dicas sobre educação financeira:
(1) Domine a regra dos 30 dias
(2) Faça uma lista de compras e atenha-se á ela
(3) Não gaste dinheiro somente para se desestressar
(4) Compare preços e vá ao mercado mais barato
(5) Leia mais
Essas 5 dicas já deve em um primeiro momento suprir as necessidades
encontradas sobre educação financeira, se seguidas corretamente veremos uma grande
mudança tanto financeira quanto intelectual. Por isso volto á dizer, só que agora diante
da afirmação do autor Leôncio (2012, p.41): “Uma das partes mais importantes do
processo de educação financeira é aprender diferenciar o que quer do que se precisa”.
Para finalizar, fizemos um contraponto de matemática financeira e educação
financeira, focando em suas diferenças, enquanto uma mostra através de contas e
fórmulas como o dinheiro cresce baseado nos juros a outra nos mostra como controlar
as finanças pessoais, orientando o melhor caminho a ser percorrido.
519
RESULTADOS OBTIDOS
Inicialmente foi realizado um levantamento bibliográfico, seguido pela criação
de um questionário que foi direcionado para duas escolas (estudo de caso), dentre essas
foram sorteadas duas turmas do 1º ano do ensino médio, havendo no final da pesquisa 4
turmas num total de 87 entrevistados.
Antes de aplicar o questionário 1 (anexo) nas duas escolas, realizou-se um préteste para experimentar e realizar os últimos ajustes nos alunos dos cursos técnicos do
IFSP-Caraguatatuba (Informática e de Comércio), pois eles possuem um perfil
semelhante aos alunos que foram pesquisados. Dentre as questões problema de
matemática financeira os alunos apresentaram maior dificuldade na questão de juros
compostos.
Depois de ter aplicado como um pré teste o questionário para o Integrado, fomos
para as duas escolas estaduais. A escola A é localizada próximo ao centro e a escola B
localizada na periferia de Caraguatatuba-SP.
Apresentamos a seguir os principais resultados observados com a aplicação do
questionário 1 (diagnóstico sobre conhecimentos financeiros) nas escolas A e B (dados
agrupados). Procuramos, neste momento, traçar um paralelo entre as duas escolas.
Questão 5 – Questão sobre porcentagem.
Nesta questão foi proposto ao aluno que resolvesse um problema “simples”
sobre porcentagem. Apenas 33% dos alunos acertaram, enquanto que 45% erraram e
22% sequer tentaram resolver a questão. Isso mostra que grande parte dos alunos da
520
escola A e B estão tendo sérias dificuldades. Nesta questão esperávamos que a grande
maioria dos alunos acertasse.
Questão 6 – Questão sobre juros simples.
Nesta questão apenas 2% dos alunos acertaram. Muitos não tentaram resolver o
problema já 44% dos alunos tentaram mais erraram.
Questão 7 – Questão sobre juros compostos.
Ninguém acertou essa questão nas duas escolas e 37 % dos alunos tentaram
resolver enquanto que 63% dos alunos sequer tentou resolver a questão.
521
Percebemos que grande parte dos alunos não conseguiu diferenciar juros simples
de juros compostos na resolução do problema.
Questão 13 – Como você pretende administrar seu dinheiro a partir do momento que
conseguir um emprego?
Esta questão foi aberta. O aluno pode se expressar livremente. Neste item
pudemos observar que 82% dos alunos demonstram algum interesse financeiro
enquanto que 18% dos alunos se mostraram apáticos ao tema.
Após a aplicação, tabulação e análise dos dados obtidos com o questionário 1 foi
elaborada e aplicada uma palestra que teve por objetivo suprir as dificuldades
encontradas em relação à matemática financeira e orientá-los sobre finanças. Esta
palestra passou noções de matemática financeira em relação aos juros simples e
compostos, mostrando suas definições e aplicações. Vimos também algumas formas de
se educar financeiramente e como diferenciar uma necessidade de um desejo (vontade).
522
Depois da palestra foi entregue aos alunos um questionário final (anexo) que
teve por objetivo avaliar o que os alunos compreenderam sobre a relação e a diferença
entre matemática financeira e a educação financeira.
Apresentamos a seguir os principais resultados e análises do questionário final
aplicado nas duas escolas.
Escola A
Entendimento sobre Educação Financeira (questão aberta)
Esta questão foi elaborada com o intuito de analisar o que o aluno entendeu em
relação a educação financeira. Sendo uma questão aberta, procuramos analisar as
respostas dos alunos e organizar por gupos de semelhança resultando nos seis grupos
apresentados no gráfico anterior. Vimos que 44% dos alunos relataram a importância de
se economizar, ter o controle das finanças, cerca de 28% alegaram não gastar o dinheiro
com coisas desnecessárias, isso mostra que os alunos compreenderam os tópicos que
compõe a educação financeira.
Escola B
Entendimento sobre Educação Financeira (questão aberta)
523
Usando processo de analise análogo ao utilizado na escola A percebemos que
31% dos alunos da escola B relataram a importância se saber diferenciar desejo de
necessidades, este tópico foi abordado na palestra, esclarecendo como identificar algo
que se precisa do que se deseja (vontade), 28% alegaram a importância de se
economizar, esta resposta esta associada aos vídeos, ao que foi falado, além de haver no
final uma dinâmica, que teve por objetivo analisar se os alunos conseguiriam saber
diferenciar necessidades de desejos na hora da compra.
Ambas as escolas apresentaram respostas muito parecidas, tendo como destaque
a questão sobre juros compostos, que ainda é muito difícil para os alunos, por mais que
a palestra tenha abordado alguns aspectos de juros simples e compostos, o
conhecimento e os processos não foram focados na palestra, pois o objetivo foi
diferenciar a matemática financeira da educação financeira.
A atividade proposta como um todo vem de encontro à ideia de Kiyosaki,
Lechter (2000, pág. 61):
“Se você quiser ficar rico, você precisa de uma alfabetização financeira.”
Percebe-se que os alunos, em geral, são “analfabetos” financeiros. Para reverter
esta situação, a palestra tratou sobre como fazer um planejamento financeiro, mesmo
com pequenas quantias, para começarem a seguir um caminho financeiro adequado.
524
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A pesquisa foi realizada no decorrer do ano de 2013 por meio de uma bolsa de
iniciação científica. Desde a aplicação e tabulação dos resultados percebeu-se que os
alunos, de uma forma geral, não tinham conhecimento sobre a educação financeira e
apresentavam pouca formação em relação à matemática financeira, sendo que ambas
são extremamente necessárias no processo de tomada de decisão na vida adulta, o que
vem de encontro com a pesquisa dos autores Paiva e Sá (2010) quando desenvolveram
uma atividade sobre juros com uma turma de 7º ano do Ensino Fundamental, na qual
aplicam conteúdos básicos da Educação Financeira (porcentagem e juros) destacando
sua importância na vida do cidadão.
Depois de analisados os resultados da pesquisa percebemos que o ideal era
suprir essas dificuldades através de uma palestra composta por uma atividade interativa,
onde os alunos pudessem tirar dúvidas e curiosidades financeiras. No final aplicamos
um questionário para avaliar se conseguimos de fato suprir as dificuldades.
Concluímos que os alunos ainda precisam de apoio quando se trata da
matemática financeira (porcentagem, juros, etc.) e que entenderam o que é a educação
financeira, a importância de se poupar, de fazer um planejamento financeiro. Tudo o
que foi exposto é para iniciar um caminho financeiro adequado. Ao final sugerimos aos
alunos que pesquisassem mais sobre o assunto.
Dentre todas as etapas, observamos que a palestra não estava adequada para o
tempo estimado, pois estava ultrapassando o tempo proposto pelas escolas, está é uma
questão a ser repensada: adequar a palestra ao tempo de até 2 horas/aula ou dividir toda
a atividade em vários encontros. Ressaltamos que o assunto deva ser tratado com mais
tempo para que os alunos possam assimilar e se apropriar dos conceitos de forma
gradual.
Pretendemos ampliar esta pesquisa para o Ensino de Jovens e Adultos onde
serão abordados conceitos financeiros voltados para a inadimplência (como evitá-la) e
serão expostos alguns tipos de investimentos, direcionando-os ao melhor tipo de
aplicações financeiras, de acordo com o seu perfil de cada um.
525
Agradecemos os IFSP pela concessão da bolsa de Iniciação Científica
Institucional e às escolas estaduais A e B por autorizar que esta pesquisa fosse realizada
com seus alunos.
REFERÊNCIAS
BRASIL (país), MEC/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
Brasília: MEC/SEMT, 2002.
CERBASI, Gustavo Petrasunas. Dinheiro: os segredos de quem tem, Como
conquistar e manter sua independência financeira. 7º edição. São Paulo: Gente,
2003.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE),
Pesquisas de Orçamento Familiares 2008-2009, Análise do consumo alimentar
pessoal no Brasil, 2011.
KIYOSAKI, Robert T. LECHTER, Sharon L. Pai Rico, Pai Pobre: o que os ricos
ensinam a seus filhos sobre dinheiro. Tradução de Maria José Cyhlar Monteiro. –
Rio de Janeiro: Elsevier, 2000. -76º reimpressão.
LEÔNCIO, Waldir Netto. Como assim, dinheiro não dá em árvore? Desvende os
mitos sobre finanças e faça seu dinheiro trabalhar para você. São Paulo: Nobel,
2012.
LIGOCKI, Carolina Simões Lopes; IUNES, Silvana Maria Silva. Oficina das
Finanças. Educação Financeira na escola 9º ano. Brasília: Omni3, 2013.
526
MANDELL, Lewis; KLEIN, Linda Schmid; The Impact of Financial Literacy
Education on Subsequent Financial Behavior, 2009 Association for Financial
Counseling and Planning Education. All rights of reproduction in any form reserved.
<http://www.afcpe.org/assets/pdf/lewis_mandell_linda_schmid_klein.pdf> Acessado
em 12 de maio de 2013. “Aceito para publicação”
MARONI, Ricardo Neto. Manual de Gestão de Finanças Pessoais: Um guia sobre
planejamento financeiro, consumo, equacionamento de dívidas, formação de
poupança e investimentos. 1ª edição - São Paulo: editora IGLU Ltda, 2011.
PAIVA, Ana Maria Severiano; SÁ, Ilydio Pereira de. Educação Matemática
Crítica e Matemática Comercial e Financeira na Formação de Professores.
Publicado no XXI Seminário de Investigação em Educação Matemática. Associação
de Professores de Matemática (APM). Lisboa – Portugal. (2010).
ROSETTI,
Hélio
Junior;
SCHIMIGUEL,
Juliano.
Educação
Matemática
Financeira: Conhecimentos Financeiros para a Cidadania e Inclusão. Revista
Científica Internacional Indexada. Ano 2 Nº 9 Setembro/Outubro (2009).
SAVOIA, José Roberto Ferreira; SAITO, André Taue; SANTANA, Flávia de
Angelis. Paradigmas da educação financeira no Brasil. Revista de Administração
Pública vol. 41 nº 6. Rio de Janeiro. Novembro/Dezembro 2007.
VERAS, Lília Ladeira. Matemática Financeira. 6º edição, São Paulo: ATLAS S.A,
2008.
527
Anexo
Questionário 1
Questionário Final
528
EIXO TEMÁTICO: E8 - TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E
COMUNICAÇÃO
O USO DA FERRAMENTA GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZADO DA
MATEMÁTICA PELOS ALUNOS DA FATEC OURINHOS
Rosemeiry C. PRADO – UNESP Bauru – SP ([email protected])
Anderson M. SANTANA – UNESP Bauru – SP ([email protected])
Murilo C. D. OLIVEIRA - UTFPR – Ponta Grossa – PR ([email protected])
Graciela A. REALI – UTFPR – Ponta Grossa – PR ([email protected])
Juliana B. OLIVEIRA - FATEC Ourinhos – SP ([email protected])
Resumo: A criação de um grupo de pesquisa pode, dentre várias possibilidades,
contribuir de modo direto com a efetivação da teoria e prática dos conteúdos
desenvolvidos nos cursos oferecidos pelas instituições de ensino. E quando se refere à
Educação, as Tecnologias da Informação e Comunicação apresentam possibilidades de
ganhos significativos no processo de ensinar e aprender, especialmente no que se refere
a dinamicidade e ludicidade. Dentre essas Tecnologias apresentam-se os Objetos
Virtuais de Aprendizagem (OVAs) que compreendem em recursos digitais reutilizáveis
com objetivo de auxiliar na aprendizagem de conceitos, englobando até mesmo todo o
corpo de uma teoria. Destarte, este trabalho apresenta um relato do projeto que se
pautou nas Tecnologias da Informação e Comunicação inseridas como ferramentas do
ensino da Matemática, especificamente na disciplina de Calculo Diferencial e Integral,
propiciando o contato direto dos alunos da Fatec-Ourinhos/SP, com pesquisas,
ressaltando a importância das atividades a serem desenvolvidas, tanto para os
estudantes, como para a Instituição a sociedade na qual estão inseridos. Possibilitou a
realização de um trabalho baseado em ações coletivas que levaram à socialização do
saber e à melhoria do ensino dos conceitos de Matemática nos cursos oferecidos pela
Faculdade de Tecnologia, além da confecção de software, OVAs e protótipo de curso a
distância usando a ferramenta Moodle, voltados ao ensino de Matemática. Promoveu
novas competências e conhecimentos por meio das tecnologias, dando maior significado
às disciplinas que envolvem a Matemática. Este relato apresenta alguns resultados
oriundos dos estudos realizados durante a vigência do projeto de iniciação científica do
grupo envolvido com o software Geogebra.
529
Palavras-chave: iniciação científica, FATEC, Geogebra, pesquisa, OVA.
Introdução
Educadores
e
pesquisadores
constantemente
preocupam-se
em
buscar
alternativas que levem a caminhos que possibilitem um aprendizado mais significativo e
condizente com os anseios de uma sociedade que cada vez mais exige ensinamentos
acerca das tecnologias de comunicação e informação, influenciando de modo direto o
ensino e o aprendizado dos seus indivíduos. Com isso, o processo de ensino, ou seja, a
metodologia usada pelo professor para atingir os seus objetivos e dar sentido ao
aprendizado de seus conteúdos, necessita de constante reflexão, atualização e adequação
a essa nova realidade tecnológica que o permeia. Gonçalves (2006) afirma que as
pessoas passaram e têm enfrentado mudanças evolutivas constantes, tanto físicas quanto
mental.
Portanto, “numa sociedade caracterizada pela multiplicidade de meios de
comunicação e informação, não teria lugar para a escola convencional, a escola do
quadro-negro e giz”. (LIBÂNEO, 1998, p. 63).
As
Tecnologias
da
Informação
e
Comunicação
(TICs)
vêm
sendo
ininterruptamente utilizadas na educação. O uso das TICs no ensino de matemática pode
possibilitar novas práticas pedagógicas. Permite, pelo uso de seus recursos tecnológicos,
pesquisar, fazer antecipações e simulações, confirmar ideias prévias, experimentar, criar
soluções e construir novas formas de representação mental (ZANETTE, NICOLEIT,
GIACOMAZZO, 2006).
A necessidade por uma escola mais dinâmica e versátil faz-se necessária no
contexto atual, visto que o objetivo da educação é atingir o máximo de pessoas possível
e, assim socializar o saber.
Desta forma, o software Geogebra e parceria com as NTICS – Novas
Tecnologias da Informação e Comunicação podem amparar os professores na
disseminação do conhecimento de uma maneira mais diligente, motivando-o a agregar a
tecnologia como sua aliada e não como sua rival.
Experiência Desenvolvida: O GeoGebra e as Novas Tecnologias de Informação e
Comunicação
530
O Software GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter em 2001/2002 como
parte de sua tese de mestrado em educação matemática e ciência da computação na
Universidade de Salzburg – Áustria, apoiado por uma bolsa de estudos DOC da
Academia Austríaca de Ciências, foi capaz de continuar o desenvolvimento do software
como parte de seu projeto de doutorado em educação matemática.
Atualmente, Markus Hohenwarter é diretor do projeto GeoGebra com sede na
Universidade Johannes Kepler, localizada em Linz, Áustria. De acordo com
Hohenwarter e Preiner (2007), o programa GeoGebra foi vencedor de vários prêmios
internacionais com tradução para mais de 50 diferentes linguagens, incluindo a língua
portuguesa.
Os softwares que trabalham apenas com construções geométricas como pontos,
linhas e todas as secções cônicas, são classificados por Hohenwarter e Preiner (2007)
como Softwares de Geometria Dinâmica (Dynamic Geometry Software – DGS). Os
autores pontuam que o GeoGebra, além do trabalho com geometria, possui
características típicas de um Sistema de Álgebra Computacional (Computer Algebra
System – CAS).
Pelo fato do GeoGebra servir para o trabalho de geometria, álgebra e cálculo, os
autores o classificam como um Software de Matemática Dinâmica (Dynamic
Mathematics Software – DMS), para o ensino e a aprendizagem de Matemática e para
qualquer nível escolar.
Hohenwarter e Preiner (2007) afirmam que a ideia básica do GeoGebra é provir
ao menos de duas representações cada objeto matemático nas suas janelas de álgebra e
de visualização.
Neste cenário educativo lidamos com as chamadas NTIC, ou Novas Tecnologias
da Informação e Comunicação, no qual o GeoGebra se inclui.
De acordo com Libâneo (1998), a utilização das NTIC na educação tem quatro
objetivos:
Contribuir para a democratização de saberes (...); possibilitar a
todos oportunidades de aprender sobre mídias e multimídias e a
531
interagir com elas (...); propiciar preparação tecnológica
comunicacional (...); aprimorar o processo comunicacional entre
os agentes da ação docente-discente e entre estes os saberes
significativos da cultura e da ciência (LIBÂNEO, 2010, p.69).
Deste modo, abrem-se novas possibilidades resultantes de mudanças estruturais
nas formas de ensinar e aprender, ancoradas na educação tecnológica.
Objetos Virtuais de Aprendizagem e GeoGebra: uma parceira a favor do ensino
da matemática
O emprego das tecnologias da informação como instrumento para construção do
conhecimento passa por um processo de forte expansão por possibilitar às escolas à
efetivação de experiências além da sala de aula.
Entretanto, a utilização da tecnologia no ensino não deve ser feita de modo
ingênuo e prematuro, mas sim escoltada de um estudo abrangente sobre como um
sujeito adquire e edifica o conhecimento (FERREIRA et al, 2004).
Segundo Valente (1999):
A qualidade da interação aprendiz-objeto, descrita por Piaget, é
particularmente pertinente no caso do uso da informática e de
diferentes softwares educacionais e pode ser verificado por meio
de alunos e professores no percurso de construção de
conhecimento. (VALENTE, 1999, p. 46)
Para tanto, muitos pesquisadores da área de informática educacional estudaram
possíveis formas de utilização do computador na sala de aula.
E, para que se possa alocar a tecnologia no meio acadêmico, Valente (1998)
destaca que são necessários basicamente quatro elementos: o computador, o software
educativo, um professor capacitado para usar o computador como meio educacional e o
aluno, sendo que todos os quatro elementos têm igual importância.
532
Indo ao encontro das tecnologias, os OVA’s (Objetos Virtuais de
Aprendizagem) podem ser tomados como todo e qualquer recurso digital (imagem,
animação, simulação etc.) que tenha a capacidade de reutilização para suporte ao ensino
(WILEY, 2000).
Conforme Machado e Silva, a função de um objeto de aprendizagem é:
(...) atuar como recurso didático interativo, abrangendo um
determinado segmento de uma disciplina e agrupando diversos
tipos de dados como imagens, textos, áudios, vídeos, exercícios,
e tudo o que pode auxiliar o processo de aprendizagem. Pode ser
utilizado - tanto no ambiente de aula, quanto na Educação à
Distância (MACHADO; SILVA, 2005, p. 2).
Flexibilidade, fácil manipulação e combinação, interatividade, são alguns
benefícios que os OVAs acarretam ao ensino, eles são cada vez mais empregados pelas
instituições educacionais, pois instigam os alunos a conhecerem mais e mostram de uma
maneira diferente conceitos, teorias e esquemas de uma maneira mais leve, criativa e,
propiciando a ampliação do aprendizado e as chances de sucesso escolar.
Os objetos de aprendizagem possuem ainda outras grandes vantagens, como a
possibilidade de sua reutilização, podendo gerar economias financeiras e assegurando a
padronização da informação.
Pode-se utilizar um objeto de aprendizagem, por exemplo, para realizar
simulações de experiências e atividades práticas. Ele permite que o aluno teste, de
maneira prática e interativa, inúmeras possibilidades do exercício proposto, que, se
tivesse sido estudado apenas teoricamente, não estimularia tanto a aprendizagem do
conteúdo (MACHADO; SILVA, 2005, p. 2).
Além da vantagem de reutilização, os objetos de aprendizagem podem respeitar
o ritmo de aprendizagem de cada indivíduo, o que geralmente não ocorre na educação
presencial (ZANETTE, NICOLEIT, GIACOMAZZO, 2006).
533
A construção de um objeto virtual de aprendizagem passa por três departamentos
antes de sua total construção: a pedagógica, a tecnológica e a de design, buscando um
objetivo em comum, cada uma contribuindo com sua especialidade.
Nos últimos anos, diversos autores têm conduzido investigações acerca dos
OVAs para a compreensão de conceitos matemáticos (dentre eles, ROSCHELLE et al.,
1999; CASTRO-FILHO et al., 2005), em especial os ligado à Álgebra. Logo, poder
associar a esses objetos o software GeoGebra é poder agregar ainda mais elementos que
colaborem com o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
O uso de tablets e o GeoGebra como ferramentas auxiliadoras no ensino da
matemática
O uso das tecnologias está presente no processo de ensino e aprendizagem,
docentes utilizam cada vez mais notebooks, desktops, lousas digitais, televisores, e
vários outros recursos em sala de aula para chamar a atenção dos alunos e despertar o
interesse sobre determinado conteúdo por meio de recursos diversos. Recentemente, a
tecnologia móvel também começou a ser inserida nas instituições de ensino, gerando o
novo conceito denominado Mobile Learning (Aprendizado Móvel), que nada mais é que
a utilização de Tablets, Smartphones, Palmtops, e outros recursos móveis no auxílio aos
discentes para desempenharem seu papel em sala de aula, visualizando auxiliar o aluno
na construção do conhecimento de maneira rápida e precisa. (BOTTENTUIT JUNIOR
et al, 2012).
Estes dispositivos móveis são dotados de diversas funcionalidades e uma delas é
o acesso a Internet. Estes podem ser considerados uma miniatura de um computador,
pois possuem processadores, memórias, acesso a internet e configurações que são muito
semelhantes à de um convencional, facilitando e dinamizando o aprendizado dos alunos,
uma vez que, busca-se as informações de imediato, resultando em um feedback em
tempo real e permitindo uma participação ativa dos docentes. (BOTTENTUIT JUNIOR
et al,2012).
Atualmente, além dos computadores e notebooks, há possibilidades de também
instalar e trabalhar com o GeoGebra em outras ferramentas tecnológicas.
534
Ferramentas mediadoras no ensino da Matemática: Moodle e GeoGebra a favor
do aprendizado de saberes matemáticos.
Os Ambientes Virtuais de Aprendizagem (AVA´s) versam em uma opção de
mídia que está sendo utilizada para mediar o processo ensino-aprendizagem à distância
e empregam softwares que os auxiliam na montagem de cursos, sendo tudo elaborado
para facilitar os educadores no gerenciamento de conteúdos para seus alunos e na
administração do curso.
Pereira, Schimitt e Dias (2007) definem Ambientes Virtuais de Aprendizagem
como:
(...) um conjunto de ferramentas eletrônicas voltadas ao processo
ensino-aprendizagem. Os principais componentes incluem
sistemas que podem organizar conteúdos, acompanhar
atividades e, fornecer ao estudante suporte on-line e
comunicação eletrônica (PEREIRA; SCHIMITT; DIAS, 2007,
p. 7).
O avanço e os desenvolvimentos tecnológicos, a partir da segunda metade do
século XX, impulsionaram e estão transformando a maneira de ensinar e de aprender.
Além disso, o intenso ritmo do mundo globalizado e a complexidade crescente de
tarefas que envolvem informação e tecnologia fazem com que o processo educativo não
possa ser considerado uma atividade trivial. Neste contexto, a demanda educativa
deixou de ser exclusividade de uma faixa etária que frequenta escolas e universidades.
A esse público juntam-se todos os indivíduos que necessitam estar continuamente
atualizados no competitivo mercado de trabalho e/ou ativos na sociedade.
Segundo Silva (2009), nos últimos anos, os Ambientes Virtuais de
Aprendizagem (AVAs) estão sendo cada vez mais utilizados no âmbito acadêmico e
corporativo como uma opção tecnológica para atender esta demanda educacional.
Diante disso, destaca-se a importância de um entendimento mais crítico sobre o
conceito que orienta o desenvolvimento ou o uso desses ambientes, assim como, o tipo
de estrutura humana e tecnológica que oferece suporte ao processo ensinoaprendizagem.
535
Contudo, o sujeito que irá se apropriar dessas ferramentas necessita dominá-la e
se apropriar do sistema cultural que vai desenvolver. Além disso, para que as
ferramentas sejam de fato agregadoras de conhecimentos, é necessário considerar a
figura do professor como fundamental nesse processo (PRADO, 2004).
Dentre essas ferramentas tecnológicas a favor dos ensinamentos, encontra-se o
Moodle (Modular Object‐Oriented Dynamic Learning Environment), um ambiente de
aprendizagem a distância que foi desenvolvido pelo australiano Martin Dougiamas, em
1999. O Moodle é um software livre e gratuito, podendo ser baixado, utilizado e/ou
modificado por qualquer indivíduo em todo o mundo. Utilizado por diversas instituições
no mundo todo, possuindo uma grande comunidade cujos membros estão envolvidos
em atividades que abrangem desde correções de erros e o desenvolvimento de novas
ferramentas à discussão sobre estratégias pedagógicas de utilização do ambiente e suas
interfaces. Qualquer instituição que utilize o ambiente Moodle, com qualquer fim que
seja, está colaborando com o seu desenvolvimento de alguma maneira, mesmo que de
forma simples, a sua divulgação, existência e suas possibilidades, de identificar
problemas
ou
experimentar
novas
perspectivas
pedagógicas.
Estas
simples
contribuições se propagam por meio de uma livre cadeia de interações entre os
indivíduos, percorrendo uma rede de relacionamentos que pode, em pouco tempo, ser
apropriada por toda a comunidade. Como qualquer outro LMS (Learning Management
System), o Moodle dispõe de um conjunto de ferramentas que podem ser selecionadas
pelo professor de acordo com seus objetivos pedagógicos. Dessa forma concebem-se
cursos que utilizem as diferentes ferramentas tais como: fóruns, diários, chats,
questionários, objetos de aprendizagem, o Moodle permite que estes mecanismos sejam
oferecidos ao aluno de forma flexível.
Dentre as possibilidades que o Moodle oferece, há a de criar outras ferramentas
como o fórum, que pode se tornar um portfólio, um relatório de atividades de campo,
com um espaço para discussão de conceitos. Ao mesmo tempo, um glossário pode ser
usado com um dicionário, um pequeno manual, dentre alternativas. É bom lembrar, que
o uso de uma ação ou atividade para uma ferramenta não inviabiliza outras
possibilidades, pois cada uma delas pode ser inserida no mesmo curso quantas vezes e
em que posição ou momento o professor achar necessário. O ambiente virtual Moodle é
mais do que um simples espaço de publicação de materiais, permeado por interações
pré‐definidas, mas como um local onde o professor espelhe as necessidades de interação
536
e comunicação que cada contexto educacional lhe apresente em diferentes momentos e
situações que envolvem as diversas ciências, como a Matemática.
Logo, surgem oportunidades de diferentes aprendizados, como o de conteúdos
matemáticos mediados pelo software de Geometria Dinâmica – o Geogebra.
Os professores podem publicar materiais de quaisquer tipos de arquivos,
apostilas como as que envolvem a utilização e uso do Geogebra, dentre outras
funcionalidades. O Moodle é dotado de uma interface simples, seguindo uma linha de
portal. As páginas dos cursos são divididas em três colunas que podem ser
personalizadas pelo professor, inserindo elementos em formato de caixas como
Calendário, Usuários Online, lista de Atividades. Por exemplo, poderia ser criada uma
área de convivência para o registro de notícias relacionadas ao curso como, por
exemplo, eventos relacionados ao Geogebra. Destarte, possibilidades diversas de
trabalhos que envolvam o Moodle associado às ferramentas como o software livre
Geogebra são proporcionadas com a junção desses recursos tecnológicos, indo ao
encontro da tentativa de melhoria do ensino e aprendizado de um dado saber, dentre
eles, o saber matemático (MERCADO, 1999).
Resultados
Um objeto de aprendizagem como ferramenta de auxílio para o ensino dos
conceitos e teorias diversas da matemática foi desenvolvido durante o projeto de
iniciação científica ao longo dos anos no interior da Faculdade de Tecnologia de
Ourinhos.
537
Intitulado por Teorema de Pitágoras, o software foi desenvolvido na plataforma
C# (Csharp), apresentando conhecimentos aos alunos sobre o Teorema de Pitágoras por
meio da apresentação do teorema, curiosidades, biografia de Filósofo Pitágoras de
Samos, exercícios contextualizados, um jogo de palavras-cruzadas, vídeo-aula, contato
com o desenvolvedor, interação com um blog onde o aluno pode obter mais materiais
matemáticos, e a integração do Software Matemático Geogebra, conforme modelo
abaixo:
Figura 1: Telas do Objeto de Aprendizagem de Matemática
Fonte: autores (2014).
538
O Software Teorema de Pitágoras procura instigar a curiosidade dos alunos, por
meio da interação, já que o mesmo é levado a encontrar as respostas a partir de seus
próprios conhecimentos e de da troca da socialização com outros colegas.
Paralelamente em relação à construção do Objeto Virtual de Aprendizagem da
Matemática, uma plataforma do Moodle está em desenvolvimento na Fatec Ourinhos,
São Paulo – Brasil, a fim de colaborar com o ensino e aprendizado da matemática dos
alunos, utilizando o Geogebra como ferramenta auxiliadora desses saberes.
Figura 2: Página Principal Moodle.
Fonte: Autores (2014).
De acordo com Valente:
(...) o computador não é mais o instrumento que ensina o
aprendiz, mas a ferramenta com a qual o aluno desenvolve algo,
e, portanto, o aprendizado ocorre pelo fato de estar executando
uma tarefa por intermédio do computador (VALENTE, 1998, p.
12).
539
O ambiente virtual contará com uma grande gama de material pedagógico como
dicas de matemática, exercícios aplicados em vestibulares, plano de aula, softwares
educacionais de apoio à tecnologia, como: fóruns, chats e e-mail, pois o estar junto
virtualmente envolve “o acompanhamento e assessoramento constante dos membros do
grupo, no sentido de poder entender o que cada um faz, para ser capaz de propor
desafios e auxiliá-lo a atribuir significado ao que está realizando” (VALENTE, 2005,
p.28).
Espera-se que com tais ações, um trabalho de cooperação e troca de
conhecimentos e que possa fomentar resultados concretos que contribuam para uma
melhoria do ensino e aprendizado da matemática, ou seja, professores, tutores e alunos
trabalhando para um bem comum: a geração de cidadãos críticos e capazes de
transformar o meio no qual estão inseridos.
Figura 3: Moodle com o Geogebra
Fonte: Autores (2014).
Espera-se, futuramente, apresentar a ferramenta do Moodle acompanhado do
software Geogebra de forma mais detalhada e funcional, com possíveis projetos
540
oriundos deste ambiente e analisar os possíveis ganhos no ensino e aprendizado
matemático mediado pelos instrumentos tecnológicos, além de se oferecer cursos de
capacitação aos professores da rede do município de Ourinhos, fomentando e
colaborando com a formação dos professores das escolas e da área de matemática.
Finalmente, anterior à instalação do aplicativo Geogebra em tablets, no ano de
2013, o grupo de pesquisa da Fatec Ourinhos, criou um modo alternativo e desenvolveu
uma versão do Geogebra para tablets.
Figura 4: Funcionamento Aplicativo.
Fonte: Autores (2012).
Por meio deste dispositivo, fomentou-se ainda mais o uso do aplicativo,
tornando mais prático e acessível àqueles que e utilizavam das ferramentas no ensino da
matemática.
Considerações Finais
O trabalho apresentou alguns resultados obtidos ao longo da iniciação científica
da Fatec Ourinhos-SP e voltados para o ensino e aprendizagem de conteúdos
matemáticos, ressaltando como algumas ferramentas tecnológicas ou softwares
541
educativos podem e devem contribuir com o processo de ensino-aprendizagem da
matemática.
Além de trazer o aplicativo Geogebra como ferramenta colaborativa nesse
panorama, o projeto incrementou a pesquisa na FATEC de Ourinhos e promoveu
estreito relacionamento entre estudantes e pesquisadores da instituição. Desta forma foi
possível colocar o aluno desde cedo em contato direto com a atividade científica,
engajando-o na pesquisa e favorecendo a interação com outros pesquisadores..
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disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, na modalidade de educação a
distância, na graduação. In: VII CICLO DE PALESTRAS SOBRE NOVAS
TECNOLOGIAS NA EDUCAÇÃO, 9, Porto Alegre: 2006.
543
TECNOLOGIAS DIGITAIS E A PRÁTICA DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL II13
Sueli Liberatti JAVARONI - UNESP – SP ([email protected])
Maria Teresa ZAMPIERI – UNESP – SP ([email protected] )
Tiago Giorgetti CHINELLATO - UNESP – SP ([email protected])
Franciele Taís OLIVEIRA – UNESP – SP ([email protected])
Patricia Fasseira ANDRADE – UNESP – SP ([email protected])
Resumo: Neste artigo, temos por objetivo apresentar o desenvolvimento do projeto
“Mapeamento do uso de tecnologias da informação nas aulas de Matemática no Estado
de São Paulo”, vinculado ao Programa Observatório da Educação (OBEDUC 2012).
Para tanto, apresentamos e discutimos resultados preliminares com relação a cinco
diretorias de ensino contempladas no projeto. Concluímos que tais resultados apontam
que o motivo primordial para o não uso dos computadores nas aulas de Matemática é a
infraestrutura dos laboratórios
e a formação dos professores. Em seguida, ressaltamos que na próxima fase do projeto,
temos o propósito de constituir um grupo colaborativo junto aos professores de
Matemática interessados, de forma que todos os membros do grupo participem de forma
voluntária. Desse modo, esperamos com este artigo fomentar reflexões sobre a inserção
dos computadores no ambiente educacional, em particular, no que tange ao âmbito da
Matemática, que é onde o presente artigo está contextualizado.
Palavras-chave: grupo colaborativo, computador, ensino fundamental II.
13
Essa pesquisa conta com o apoio financeiro da agência de fomento CAPES.
544
Introdução
Atualmente, temos vivenciado uma expansão com relação ao uso das
Tecnologias Digitais (TD), dentro de contextos distintos. No ambiente educacional, em
particular, muitos investimentos tem sido feito visando a ampliação de laboratórios de
informática em escolas públicas do ensino básico, com o intuito de propiciar a inserção
de computadores em tais escolas.
Estudos apontam que essa inserção se deu entre o período que corresponde ao
final dos anos 80 e o início dos anos 90, mais especificamente com o uso do
computador. No entanto, tal inserção ocorreu de maneira superficial, tendo a
modernização como motivo para o uso desses equipamentos, conforme ressaltam
Penteado, Borba e Gracias (1998).
Ações governamentais ocorreram para intensificar a inserção dos computadores
no meio escolar. Um exemplo desse investimento ocorreu em 2006, no qual:
O Edital nº 38/2006 destina-se à compra de 75.800
computadores para 7.580 laboratórios de informática em todas
as escolas públicas de ensino médio do país. Os laboratórios
serão distribuídos pelo Programa Nacional de Informática na
Educação (ProInfo) (BRASIL, 2006).
Nesse sentido, como aponta Borba (2002), houve um marketing associado a esse
uso durante essa época, pois o “objetivo era basicamente ser a solução para o problema
‘atrair mais alunos’” (BORBA, 2002, p. 144, grifo do autor). Porém, conforme alerta
Penteado Silva (1997), alguns estudos mostraram indícios de que se não houver um
projeto de formação continuada de professores associado à inserção do computador,
além de gerar um desperdício de dinheiro, acarreta em uma não apropriação do uso das
tecnologias por parte desses profissionais.
Dessa forma, visando articular essa inserção com a formação continuada de
professores, programas governamentais como o programa Nacional de Informática na
Educação (ProInfo),
Educação e Computadores (Educom), Projeto Nacional de
Formação de Recursos Humanos em Informática na Educação (Formar) e Programa
Nacional de Informática na Educação (Proninfe), vêm sendo criados para subsidiar a
545
estrutura física dos laboratórios de informática em escolas públicas e incentivar a
utilização dos computadores no ambiente escolar.
Atualmente o programa federal que aborda essa questão é o ProInfo que,
segundo o MEC, tem como objetivo central propiciar a inserção da informática na
prática pedagógica na rede pública de educação básica, levando às escolas conteúdos
educacionais e recursos digitais, ficando sob responsabilidade do governo federal,
estadual e municipal a garantia de infraestrutura apropriada para receber os laboratórios
nas escolas e garantir formação aos professores para o uso dos novos recursos
(BRASIL, 1997).
Em particular, com relação ao Estado de São Paulo, o programa governamental
que trata do incentivo ao uso do computador no ambiente escolar é o Acessa Escola, que
foi desenvolvido pela Secretaria de Estado da Educação, sob a coordenação da
Fundação para o Desenvolvimento da Educação (FDE), e tem por objetivo promover a
inclusão digital e social dos alunos, professores e funcionários das escolas da rede
pública estadual (SÃO PAULO, 2008).
Embora programas governamentais, tanto em nível federal quanto estadual,
tenham sido implementados, por razões distintas, muitas vezes o computador não é
utilizado no contexto escolar. Borba e Penteado (2001) enfatizavam a necessidade de
que tais programas contemplassem tanto a aquisição desses equipamentos, quanto a
garantia de incentivo e acompanhamento da implementação e do desenvolvimento dos
programas por parte das escolas.
[...] é preciso que, além do equipamento, os programas do
governo incentivem e fiscalizem a infraestrutura oferecida pelas
escolas. Se a atividade com informática não for reconhecida,
valorizada e sustentada pela direção da escola, todos os esforços
serão pulverizados sem provocar qualquer impacto dentro da
sala de aula (BORBA e PENTEADO, 2001, p.25).
Concordamos com os autores sobre a necessidade de acompanhamento por parte
dos programas governamentais no que tange à infraestrutura, bem como sobre a
necessidade de que haja apoio por parte da direção das escolas. Além disso,
consideramos relevante ainda que, paralelamente à implantação dos programas, haja
546
suporte técnico/pedagógico aos professores para que os mesmos se sintam
suficientemente seguros e motivados para integrar a informática a suas práticas
pedagógicas.
Entretanto, mesmo com todas essas ações governamentais implementadas, a
realidade nos dias de hoje não se encontra diferente do que foi discutido por Penteado
Silva (1997) no que diz respeito à desarticulação entre a inserção dos computadores no
contexto educacional com a formação inicial e/ou continuada de professores que os
capacitem para utilizar esses equipamentos em suas práticas pedagógicas.
Nesse sentido, Tezani (2011) apresentou os resultados de uma pesquisa realizada
com 150 professores do ensino fundamental (I e II), os quais deveriam responder
perguntas como: 1 - Você consegue usar as tecnologias da informação e comunicação
(TIC) no processo de ensino-aprendizagem? ; 2 - Você consegue referenciar algum
estudo teórico sobre o uso das TIC no processo de ensino-aprendizagem? ; 3 - Você
considera necessário conhecer bem as TIC antes de incorporá-las nas aulas? . E dentre
estes 150, segundo a autora, 70% responderam negativamente a primeira questão, 90%
responderam negativamente a segunda e 80% responderam negativamente a terceira
(TEZANI, 2011).
Diante desse cenário, emergiu no Grupo de Pesquisas em Informática, Outras
Mídias e Educação Matemática (GPIMEM), o projeto intitulado “Mapeamento do uso
de tecnologias da informação nas aulas de Matemática no Estado de São Paulo”,
vinculado ao Programa Observatório da Educação (OBEDUC). Tal projeto tem o
objetivo de identificar como está se dando o uso de tecnologias digitais, em particular o
computador, nas aulas de Matemática do Ensino Fundamental II, do Estado de São
Paulo. O projeto é coordenado pela primeira autora deste artigo, e conta com a
colaboração de outros docentes e discentes, como por exemplo, os quatro outros autores
deste artigo. Além disso, o projeto conta com apoio financeiro da Coordenação de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).
As escolas que compõem o cenário de tal projeto estão vinculadas às seguintes
diretorias de ensino: Bauru, Guaratinguetá, Limeira, Registro, Presidente Prudente e
São José do Rio Preto.
547
Tais diretorias foram selecionadas, pois existe pelo menos uma cidade em cada
diretoria que possui campus da UNESP, e dessa forma teremos suporte técnico e
infraestrutura durante todo o período necessário para realizarmos o trabalho de campo
nessas cidades. Além disso, elas estão localizadas em regiões distintas dentro do Estado,
o que a nosso ver, possibilitará um panorama de como o Estado de São Paulo está
lidando com o uso do computador nas escolas públicas estaduais, durante as aulas de
Matemática do Ensino Fundamental II.
Assim, no presente artigo, apresentamos resultados parciais relacionados aos
municípios de Bauru e Limeira, bem como discorremos ações e apontamentos futuros
para as demais diretorias envolvidas no projeto.
Resultados preliminares das diretorias de Bauru e Limeira
Com relação à diretoria de ensino de Bauru, uma pesquisa de mestrado,
conduzida pela quarta autora desse artigo está em andamento. Até o momento, a
pesquisa de campo já foi concluída, a qual contemplou visitas às escolas públicas
estaduais, aplicação de questionários aos professores de Matemática e entrevista com
gestores (diretores ou coordenadores pedagógicos) das escolas. Concomitantemente ao
projeto de mestrado, está sendo desenvolvido um projeto de iniciação cientifica, pela
quinta autora desse trabalho, que consiste em visitar os laboratórios de informática das
escolas e coletar depoimentos dos estagiários monitores do Programa Acessa Escola,
responsáveis pelo funcionamento desse ambiente.
Foram realizadas visitas em 19 escolas de Ensino Fundamental da rede pública
estadual de ensino, distribuídas no município de Bauru, e 3 visitas na Diretoria Regional
de Ensino de Bauru. Durante as visitas nas escolas, foram aplicados 54 questionários a
professores de Matemática e foram gravadas 6 entrevistas com coordenadores
pedagógicos das séries finais do Ensino Fundamental.
Dentre os resultados iniciais obtidos, é possível perceber que o computador não
é utilizado nas aulas de Matemática e um dos motivos apontados que culmina nesse não
uso é a questão da infraestrutura. Ou seja, na grande maioria das escolas verifica-se que
a quantidade de computadores dos laboratórios é insuficiente para atender a demanda de
alunos. A maioria dos laboratórios conta apenas com 15 computadores – dos quais nem
548
todos estão funcionando – para atender turmas de aproximadamente 40 alunos. Além
disso, as escolas enfrentam problemas de falta do estagiário – pessoa responsável pelo
laboratório – o que impossibilita a abertura do laboratório. Houve uma situação ainda
mais crítica, em uma das escolas visitadas, que o laboratório conta apenas com 3
computadores para uso dos alunos. Nessa escola, a diretora mostrou-se extremamente
insatisfeita com o Acessa Escola, pois, segundo ela, antes do Programa, a escola
contava com um laboratório de informática relativamente bom, no qual alunos e
professores tinham condições de utilizar, porém com a inserção desse programa, foi
necessário desmontar o laboratório antigo da escola.
Com relação à Diretoria de Ensino de Limeira (DEL), uma pesquisa de mestrado
está sendo finalizada, pelo terceiro autor desse artigo. Os procedimentos metodológicos
utilizados nessa pesquisa contemplaram visitas a 10 escolas públicas estaduais da cidade
de Limeira, aplicação de questionário a 29 professores de Matemática, realização de
entrevistas com esses docentes de Matemática, com o coordenador de Matemática e
com o responsável pelo Programa Acessa Escola da DEL.
Dentre os resultados observados pelo pesquisador, há indícios de que um grande
número de professores formados há menos de 10 anos não utilizam o computador e
ainda um dado mais alarmante aponta que 50% dos educadores entrevistados não usam
nenhum tipo de tecnologia digital. Especificamente sobre o uso dos computadores, que
é o foco principal das pesquisas vinculadas ao projeto maior citado anteriormente, o
pesquisador aponta que dos 29 docentes que participaram da pesquisa, somente 5
relataram usar essa tecnologia. Contudo, eles não relataram detalhadamente de que
forma se davam as dinâmicas de suas aulas, quando os computadores eram utilizados.
São diversos os fatores apontados por eles para que esse uso não ocorra, como
por exemplo, a falta de equipamentos na escola, falta de interesse do aluno, dificuldade
de acesso ao laboratório de informática e principalmente a carência de formação do
professor, inicial e/ou continuada, que possibilite articular a prática pedagógica com o
uso de tecnologias digitais. Tal carência foi citada por 8 dos professores entrevistados.
No ano de 2013, ainda com relação à DEL, com o foco nas escolas estaduais
públicas de Rio Claro, que pertencem a essa diretoria, foi desenvolvido por um aluno do
curso de Licenciatura em Matemática um projeto de iniciação científica com o objetivo
549
principal de visitar as escolas do ensino fundamental II e aplicar questionários aos
professores que se disponibilizaram a contribuir com essa pesquisa.
Dentre seus resultados, há indícios nas respostas dos docentes de que o motivo
primordial para o não uso dos computadores nas aulas de Matemática seria a falta de
infraestrutura adequada dos laboratórios. Isto é, eles argumentam que não há
equipamentos suficientes nos laboratórios das escolas visitadas para o trabalho com o
número de alunos das salas de aula. Mesmo dentre os professores que afirmam utilizar o
computador, é possível observar que a quantidade insuficiente de equipamentos surge
como principal motivo desestimulante para não se usar o computador. Ainda, na opinião
dos professores, que afirmam fazer uso dos computadores em suas aulas, além da falta
de equipamentos, há percalços envolvendo a falta de manutenção, a carência na
formação educacional no que tange à articulação entre prática pedagógica e uso de
tecnologias, a falta de técnicos nos laboratórios e a dificuldade na dinâmica de aula. Ou
seja, eles argumentam que, normalmente, possuem muitos alunos nas salas de aula, e
que, portanto, haveria a necessidade de dividir a turma, o que poderia causar transtornos
e prejuízos ao desenvolvimento das aulas.
Os encaminhamentos das outras Diretorias
Com relação à diretoria de Guaratinguetá, em 2014 ingressará uma aluna de
mestrado, que fará seu trabalho de campo com a formação de professores das escolas
públicas do município de Guaratinguetá. Contudo, vale ressaltar que neste ano de 2013,
essa mesma aluna desenvolveu um projeto de Iniciação Cientifica cujo objetivo foi
conhecer as condições de uso dos laboratórios de informática das escolas estaduais
desse município bem como o modo pelo qual o professor de Matemática o utiliza.
Dentre os resultados dessa pesquisa de Iniciação Científica, destacam-se as precárias
condições de infraestrutura dos laboratórios. Em algumas das escolas visitadas o espaço
físico é muito reduzido e há poucos computadores em condições de uso. As entrevistas
realizadas com professores de Matemática revelam que, apesar de eles entenderem a
importância do uso das tecnologias para o ensino e a aprendizagem, a maioria não
utiliza o laboratório alegando falta de preparo e de apoio. Por outro lado, vê-se, também,
que algumas escolas visitadas fazem um bom uso do laboratório organizando modos de
os alunos o frequentarem para pesquisas, desenvolvimento de trabalhos e acesso à
550
internet. A pesquisa também revela que, principalmente as escolas da zona rural de
Guaratinguetá, são as que mais utilizam o espaço do laboratório atendendo a uma das
finalidades do programa Acessa Escola: o da inclusão digital. Ou seja, há escolas que
abrem as suas portas mesmo aos finais de semana, com apoio do projeto Escola da
Família, para que os alunos e a comunidade em geral possam utilizar o laboratório de
informática. O diretor da escola, em entrevista à aluna, explica que a escola é o único
espaço que a comunidade tem para acesso à internet.
Na diretoria de São José do Rio Preto, há também uma pesquisa de Iniciação
Científica em desenvolvimento, assim como está ocorrendo nas demais cidades
mencionadas anteriormente. Nessa pesquisa, o aluno visitou a diretoria de ensino da
referida cidade e fez, junto com o coordenador tecnológico, um levantamento sobre os
laboratórios de informática de todas as escolas estaduais públicas dessa cidade. Em uma
análise inicial, ele constatou que as escolas, de uma maneira geral, não apresentam
problemas de infraestrutura. Ou seja, os laboratórios são bem conservados e amplos,
possuem capacidade para 30 alunos, de uma maneira geral. Além disso, possuem, em
média, 12 computadores por laboratório, e a maior parte está em boas condições de uso.
Embora a infraestrutura seja apropriada, há indícios de que a maioria dos professores
não utiliza tais laboratórios. Os motivos que culminam nesse não uso serão investigados
em uma pesquisa de mestrado que se iniciará em 2014. Dentre os procedimentos
metodológicos que serão utilizados nessa pesquisa, destacamos: visitas às escolas,
questionários e entrevistas com os professores e entrevista com os coordenadores e/ou
diretores das escolas visitadas.
Na diretoria de Presidente Prudente, a coordenadora do projeto vinculado ao
OBEDUC já entrou em contato com a colaboradora do projeto nessa região que, a saber,
está orientando também um aluno de Iniciação Científica, que por sua vez, busca
investigar como se dá a utilização do computador nas escolas estaduais públicas da
referida cidade. Além disso, já foi feito também um contato com o coordenador de
Matemática dessa diretoria, com o intuito de estabelecer uma parceria e garantir o
acesso às escolas.
O projeto, no momento, está na fase inicial de coleta de dados. Contudo já foi
realizado um levantamento bibliográfico sobre programas governamentais do Estado de
São Paulo, em particular sobre o Acessa Escola, os quais objetivaram promover a
551
inserção dos computadores nas escolas públicas estaduais. Além disso, o aluno realizou
uma investigação por meio de entrevista com a responsável pela parte tecnológica das
escolas jurisdicionadas à diretoria de Ensino de Presidente Prudente para averiguar as
condições físicas dos laboratórios de informática das escolas públicas do município.
Seus dados apontam que o programa Acessa Escola se estrutura de maneira
adequada quando se olha para a presença de estagiários, tanto do ensino médio quanto
universitários. Outro ponto positivo do desenvolvimento do programa na diretoria de
Ensino de Presidente Prudente é a capacitação contínua dada para os professores que
querem utilizar as ferramentas e as oportunidades oferecidas pelo programa. Contudo,
nota-se que enquanto escolas possuem salas com 20 computadores, outras possuem
salas com apenas 5, sendo todas essas escolas pertencentes à mesma diretoria de Ensino.
Outro ponto destacado é sobre o espaço físico. Segundo a responsável pela parte
tecnológica do programa na diretoria de Ensino de Presidente Prudente, algumas escolas
não possuem espaço físico adequado para comportar a sala do programa. Nesse sentido,
o aluno tenciona tal problemática com um dos objetivos constantes nos regimentos do
programa Acessa Escola (SÃO PAULO, 2008), no qual é declarado que, com o intuito
de fomentar a inserção dos computadores no ambiente educacional, o programa
aproveita os laboratórios de informática já existentes, aprimorando-os, ou implementa
salas de informática nas escolas que não disponibilizam uma.
Assim, diante dos resultados iniciais das regiões investigadas, fica evidente que
há um descompasso entre prática pedagógica de Matemática no Ensino Fundamental II
e a integração dos computadores dentro deste contexto. Os motivos que levam à
existência deste descompasso são diversos, conforme apontam os resultados iniciais
dessas pesquisas que fazem parte do projeto maior, vinculado ao OBEDUC.
Perspectivas futuras
De acordo com os resultados parciais expostos, pode-se concluir há muitos
fatores que são apontados como causas da desarticulação entre prática pedagógica de
Matemática e a inserção dos computadores no contexto escolar. Dentre as causas
mencionadas estão questões relacionadas à falta de infraestrutura adequada dos
laboratórios de informática, ou seja, falta de números suficientes de equipamentos, falta
552
de um técnico da área de informática e por vezes falta do estagiário monitor do
Programa Acessa Escola, que inviabiliza a utilização da sala de informática. Além
disso, a formação do professor com relação ao uso das tecnologias digitais foi um dos
motivos apontados que podem gerar um descompasso entre a prática pedagógica e o uso
das tecnologias no ambiente educacional.
Diante desse cenário, o grupo de pesquisadores colaboradores do projeto, ora
apresentado nesse artigo, tem por objetivo específico a criação de um grupo
colaborativo junto aos professores de Matemática interessados, de forma que todos os
membros do grupo participem “[...] espontaneamente, por vontade própria [...]”
(FIORENTINI, 2004, p. 54). Segundo este autor, são três as características principais
referentes a um grupo colaborativo, que por sua vez, são: Voluntariedade, Identidade e
Espontaneidade. Assim, o objetivo primordial de constituir este grupo colaborativo,
junto aos professores de Matemática, será de debater estes percalços evidenciados, os
quais são apontados como causas da não inserção dos computadores dentro das aulas de
Matemática do Ensino Fundamental II, e se possível, dar alguns encaminhamentos para
solucionar tal problemática.
Desse modo, buscamos planejar a constituição de tal grupo, de forma que cada
pessoa envolvida seja “[...] influenciada pela sua identificação com os integrantes do
grupo e pela possibilidade de compartilhar problemas, experiências e objetivos comuns”
(FIORENTINI, 2004, p. 56). Assim, planejamos um grupo onde os membros se
identifiquem um com o outro, e que estejam dispostos a debater nosso objetivo em
comum, que é abordar as causas do descompasso entre a prática pedagógica em
Matemática e a inserção dos computadores dentro deste contexto. Destacamos que, num
primeiro momento pretendemos intercalar encontros presenciais com encontros virtuais,
tendo em vista a distância entre as regiões que contemplam essas diretorias.
Paralelamente a isso, pretendemos ministrar oficinas, cujo intuito será de
abordar possibilidades para integração do computador nas práticas pedagógicas de
professores de Matemática. A participação dos professores será de forma voluntária, ou
seja, será destinada àqueles que se interessem pelos temas abordados.
Cabe ressaltar ainda que tanto para a composição do grupo colaborativo, quanto
para as oficinas, as dinâmicas de trabalho serão desenhadas de acordo com as demandas
553
e particularidades evidenciadas em cada diretoria de ensino, bem como nas respectivas
escolas vinculadas a cada uma delas.
Como parte das ações para obter tais demandas e particularidades, objetivamos
criar grupos fechados em uma rede social, um para cada diretoria e convidaremos para
participar os professores que preencheram os questionários da pesquisa e/ou
concederam entrevistas. A ideia será refletir sobre os conteúdos que os professores
elencaram como os que seus alunos têm mais dificuldades de aprendizagem, na
tentativa de se pensar em abordagens pedagógicas que articulem tais conteúdos com o
computador, na expectativa de potencializar o processo de produção de conhecimento
de tais conteúdos.
Por fim, buscamos neste artigo apresentar como o projeto vinculado ao
OBEDUC está sendo desenvolvido. Além disso, apresentamos alguns resultados iniciais
de tal projeto, referentes às pesquisas em andamento, vinculadas a ele. A partir destes
resultados, discorremos sobre quais são nossas perspectivas futuras, rumo à
consolidação do projeto.
Esperamos ter fomentado reflexões sobre a inserção dos computadores no
ambiente educacional, em particular, no que tange ao âmbito da matemática, que é onde
o presente artigo está contextualizado.
Referências
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J.; FAZENDA, I. C. A. Formação docente: rupturas e possibilidades (Orgs.),
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554
BRASIL. Ministério da Educação. Fundo Nacional de Desenvolvimento da
Educação. Escolas públicas vão receber mais laboratórios de informática e DVD.
Disponível
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FIORENTINI, D. Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In:
BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática,
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veículo para mudança. In: Revista Zetetiké, v.6, n.10, p.77 - 86, Jul./Dez. 1998.
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SÃO
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Programa
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TEZANI, T. C. R. A educação escolar no contexto das tecnologias da informação e da
comunicação: desafios e possibilidades para a prática pedagógica curricular. In:
Revistafaac, v.1, n.1, p.35 - 45, Abr./Set. 2011.
555
EXPOSIÇÃO DO GEOGEBRA PARA DISPOSITIVOS MÓVEIS E WEB 2.0
COMO FERRAMENTA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Eimard Gomes Antunes do NASCIMENTO - UA – Portugal ([email protected])
Miguel Jocélio Alves da SILVA - UFSCar – SP ([email protected])
Joserlene Lima PINHEIRO - UECE – CE ([email protected])
Resumo: Nas últimas décadas, com o advento das tecnologias digitais da informação e
comunicação (TDIC), a sociedade tem passado por uma reestruturação cultural e social,
onde essa relação foi caracterizada de cibercultura. A partir desta podemos vislumbrar
um conjunto de novos espaços formativos tanto para uma perspectiva formal, como é o
caso da Educação a Distância (EaD) ou pelos Cursos Online Abertos Massivos (MOOC
- Massive Open Online Courses) mais alinhados a essa nova forma de comunicação. O
uso de recursos digitais e tecnologicas (RDTs) nas escolas e universidades tem crescido
rapidamente. Neste contexto, o computador torna-se cada vez mais presente no ensino,
sendo valorizado como recurso que favorece a aprendizagem, ou didaticamente
apropriado. Este artigo aborda a exposição de uma ferramenta para auxiliar os
professores no ensino da Matemática, onde se caracteriza na aplicação do software livre
de Matemática dinâmica GeoGebra sob uma abordagem construtivista nos processos de
possibilidades de estudos e aprendizagenes da matemática utilizando tablets e WEB 2.0,
disponível na rede mundial de computadores voltados para o ensino de Matemática,
utilizando tecnologias. A importância do estudo das TDIC no ensino da matemática darse por estabelecer a interdisciplinaridade podendo dinamizar o processo de ensino e
aprendizagem, viabilizando potencialidades entre a atuação de um aluno protagonista na
sociedade tecnologicamente vigente. Ademais, apresenta-se um rol de possibilidades do
uso do GeoGebra disponível nesta perspectiva que possuem potencial educativo e que
podem propiciar ao professor e alunos alternativas para melhorar a apreensão conceitual
e