TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
No instante em que o tronco de madeira de 20 m de
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
comprimento forma um ângulo š com a vertical de 15
(Puccamp) Construída a toque de caixa pelo regime
m, o valor de cos 2š e igual a
militar, Tucuruí inundou uma área de 2 000 km£, sem
a) 3/2
que dela se retirasse a floresta. A decomposição
b) 9/8
orgânica elevou os níveis de emissão de gases, a
c) 9/16
ponto de fazer da represa, nos anos 90, a maior
d) 7/16
emissora de poluentes do Brasil. Ganhar a vida
e) 1/8
cortando
árvores
submersas
exige
que
um
mergulhador desça a mais de 20 metros, com
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.
praticamente
(Unb)
zero
de
visibilidade
e
baixas
temperaturas. Amarrado ao tronco da árvore, maneja
a motosserra.
(Adaptado de Veja. ano 37. n.23. ed. 1857.
São Paulo: Abril. p.141)
Volume de ar em um ciclo respiratório
O volume total de ar, em litros, contido nos
dois pulmões de um adulto em condições físicas
normais e em repouso pode ser descrito como
função do tempo t, em segundos, por
V(t) = 3.(1 - cos(0,4™t))/2™
1. Uma vez serrada, a árvore é puxada e amarrada a
O fluxo de ar nos pulmões, em litros por segundo, é
pedaços de madeira seca.
dado por
v(t) = 0,6 sen(0,4™t).
Os gráficos dessas funções estão representados na
figura adiante.
2.
Com base nas informações do texto, julgue os itens
a seguir.
(1) O gráfico I representa V(t) e o gráfico II, v(t).
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 1
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
(2) O volume máximo de ar nos dois pulmões é
maior que um litro.
4.
(3) O período de um ciclo respiratório completo
(inspiração e expiração) é de 6 segundos.
(4) A freqüência de v(t) é igual à metade da
freqüência de V(t).
3.
O fenômeno das marés pode ser descrito por uma
função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido
em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas
marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a
mesma altura máxima de 1,5 metros, então
a) b = (5™)/31
Com base nas informações do texto, julgue os itens
b) a + b = 13,9
a seguir, com respeito ao fluxo de ar nos pulmões.
c) a - b = ™/1,5
d) a . b = 0,12
(1) O fluxo é negativo quando o volume decresce.
e) b = (4™)/3
(2) O fluxo é máximo quando o volume é máximo.
(3) O fluxo é zero quando o volume é máximo ou
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
mínimo.
(Ufba) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos
parênteses a soma dos itens corretos.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp) O subir e descer das marés é regulado
5. Em trigonometria, é verdade:
por vários fatores, sendo o principal deles a atração
gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos
(01) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro
os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de
quadrante, então cos (x/2) = -1/5.
12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e
(02) se x + y = ™/3, então cos(3x - 3y) = 2 sen£3y - 1.
também sempre a mesma altura máxima de maré,
(04) Existe x Æ [™/4, 5™/2], tal que sen£x + 3 cosx =
por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico
3.
da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré
(08) A função inversa de f(x) = cos é g(x) = sec x.
(A) seria semelhante a este:
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 2
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
(16) Num triângulo, a razão entre dois de seus lados
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.
é 2, e o ângulo por eles formado mede 60°; então o
(Ufpe) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa
triângulo é retângulo.
a soma das riquezas e dos serviços produzidos por
uma nação) de certo país, no ano 2000+x, é dado,
Soma (
)
em bilhões de dólares, por
P(x) = 500 + 0,5x + 20cos(™x/6)
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
onde x é um inteiro não negativo.
(Cesgranrio) Uma quadra de tênis tem 23,7m de
comprimento por 10,9m de largura. Na figura a
7. Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB
seguir, está representado o momento em que um
do país em 2004.
dos jogadores dá um saque. Sabe-se que este atinge
a bola no ponto A, a 3m do solo, e que a bola passa
8. Em períodos de 12 anos, o PIB do país aumenta
por cima da rede e toca o campo adversário no ponto
do mesmo valor, ou seja, P(x+12) - P(x) é constante.
C, a 17m do ponto B.
Determine esta constante (em bilhões de dólares).
6.
9. (Uff) No processo de respiração do ser humano, o
fluxo de ar através da traquéia, durante a inspiração
ou expiração, pode ser modelado pela função F,
definida, em cada instante t, por F(t) = M sen wt.
A pressão interpleural (pressão existente na caixa
torácica), também durante o processo de respiração,
pode ser modelada pela função P, definida, em cada
instante t, por P(t) = L - F(t + a).
As constantes a, L, M e w são reais, positivas e
dependentes das condições fisiológicas de cada
Tendo em vista os dados apresentados, é possível
indivíduo.
afirmar que o ângulo ‘, representado na figura,
(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES,
mede:
J.E.M. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas,
a) entre 75° e 90°.
ed. HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)
b) entre 60° e 75°.
c) entre 45° e 60°.
Um possível gráfico de P, em função de t, é:
d) entre 30° e 45°.
e) menos de 30°.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 3
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
(16) Todos os valores de  para os quais A = B são
da forma 2k ™  ™/3, onde k é número inteiro.
Soma (
)
12. (Unicamp) Dado o sistema linear homogêneo:
[cos   sen ]x  [2sen ] y  0

[cos  ]x  [cos   sen ] y  0
a) Encontre os valores de ‘ para os quais esse
10. (Ufpe) Quantas soluções a equação
sen£x + [(sen¥x)/2] + [(sen§x)/4] + ... = 2,
cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos
termos de uma progressão geométrica, de primeiro
termo sen£x e razão (sen£x)/2, admite, no intervalo
sistema admite solução não-trivial, isto é, solução
diferente da solução x = y = 0.
b) Para o valor de ‘ encontrado no item (a) que está
no intervalo [0, ™/2], encontre uma solução não-trivial
do sistema.
[0, 20™]?
13. (Unirio) Um engenheiro está construindo um
11. (Ufpr) Considere as matrizes a seguir, onde a, b,
c e  são números reais. Assim, é correto afirmar:
obelisco de forma piramidal regular, onde cada
aresta da base quadrangular mede 4m e cada aresta
lateral mede 6m. A inclinação entre cada face lateral
e a base do obelisco é um ângulo ‘ tal que:
a) 60° < ‘ < 90°
b) 45° < ‘ < 60°
c) 30° < ‘ < 45°
d) 15° < ‘ < 30°
(01) Os valores de a e b para os quais A = B são,
e) 0° < ‘ < 15°
respectivamente, 2 e -1.
(02) Para que a matriz A seja igual à matriz B, é
necessário que c seja número negativo.
(04) Se b = 0 e c = -1, então o elemento na posição
@
@
"2 linha, 2 coluna" da matriz (A.B) é log10 Ë2.
14. (Ita) Um dos catetos de um triângulo retângulo
mede ¤Ë2 cm. O volume do sólido gerado pela
rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é ™
cm¤. Determine os ângulos deste triângulo.
(08) Se  = 0 e c = 0, então a matriz A tem inversa,
qualquer que seja o valor de b.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 4
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
15. (Unifesp) Considere a reta de equação 4x - 3y +
18. (Ufal) O mais amplo domínio real da função
15 = 0, a senóide de equação y = sen(x) e o ponto P
definida por y=log[sen(x)] é o conjunto dos números
= (™/2, 3), conforme a figura.
reais x tais que, para todo k Æ Z,
a) -k™ < x < k™
b) k™ < x < (k - 1)™
c) k™ < x < (k + 1)™
d) 2k™ < x < (2k - 1)™
e) 2k™ < x < (2k + 1)™
19. (Unicamp) Considere dois triângulos retângulos
T e T‚, cada um deles com sua hipotenusa medindo
A soma das distâncias de P à reta e de P à senóide
1cm. Seja ‘ a medida de um dos ângulos agudos de
é:
T e 2‘ a medida de um dos ângulos agudos de T‚.
a) (12 + 2™)/5
b) (13 + 2™)/5
a) Calcule a área de T‚ para ‘ = 22,5°.
c) (14 + 2™)/5
b) Para que valores de ‘ a área de T• é menor que a
d) (15 + 2™)/5
área de T‚?
e) (16 + 2™)/5
20. (Fgv) Na figura estão representados dois
16. (Ufv) Sejam as funções reais f e g dadas por:
quadrados de lado d e dois setores circulares de 90°
e raio d:
É CORRETO afirmar que:
a) f(™/4) < g(™/3)
b) f(™/6) < g(™/4)
c) f(™) . g(0) = 2
d) f(0) . g(™) = - 2
e) f(™) . g(™) = 2
Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a
17. (Ufu) Determine a soma das raízes de log‚(senx)log‚(cosx+senx)=0, contidas no intervalo [-2™, 2™].
soma dos comprimentos do segmento CF e do arco
de circunferência AD, em função de d, é igual a
a) {[2(Ë3) + ™]/6} d
b) [(3 + ™)/6] d
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 5
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
c) {[4(Ë3) + ™]/12} d
Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco
d) [(12 + ™)/24] d
A'B' (ambos medidos em cm), obtém-se:
e) {[2(Ë3) + ™]/12} d
a) 11/6.
b) 2.
21. (Unesp) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo
c) 11/3.
rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda
d) 22/3.
maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor
e) 11.
medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B
23. (Ufpe) Três coroas circulares dentadas C, C‚ e
das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao
Cƒ de raios r=10cm, r‚=2cm e rƒ=5cm
serem apoiadas no solo horizontal, podem ser
respectivamente estão perfeitamente acopladas
representadas no plano (desprezando-se os pneus)
como na figura a seguir. Girando-se a coroa C• de
como duas circunferências, de centros A e B, que
um ângulo de 41° no sentido horário, quantos graus
tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado
girará a coroa Cƒ?
na figura.
24. (Mackenzie) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x
a) Determine a distância entre os pontos de
tangência P e Q e o valor do seno do ângulo BPQ.
b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja
deslizamento, se os raios da roda maior descrevem
um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, do
ângulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule,
vale:
a) 24/7.
b) - 24/7.
c) - 8/3.
d) 8/3.
e) - 4/3.
também, quantas voltas terá dado a roda menor
quando a maior tiver rodado 80 voltas.
25. (Uel) Dos números a seguir, o mais próximo de
sen 5 é
22. (Fuvest) Considere um arco AB de 110° numa
circunferência de raio 10cm. Considere, a seguir, um
arco A'B' de 60° numa circunferência de raio 5cm.
a) 1
b) 1/2
c) 0
d) -1/2
e) -1
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 6
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
26. (Cesgranrio) Sendo A = [7 cos(5™ - x) - 3 cos(3™
+ x)]/{8 sen [(™/2) - x)]}, com x · (™/2) + k™, k Æ Z,
então:
a) A = -1
b) 2A = 1
c) 2A + 1 = 0
d) 4A + 5 = 0
e) 5A - 4 = 0
Considere que os pontos A e B da figura sejam
navios detectados pelo radar, o navio A está a 40km
27. (Fuvest) O perímetro de um setor circular de raio
do radar e o navio B, a 30km. Com base nessas
R e ângulo central medindo ‘ radianos é igual ao
informações e desconsiderando as dimensões dos
perímetro de um quadrado de lado R. Então ‘ é
navios, julgue os itens que se seguem.
igual a
a) ™/3
(1) A distância entre os navios A e B é maior que 69
b) 2
km.
c) 1
(2) Se, a partir das posições detectadas pelo radar,
d) 2™/3
os navios A e B começarem a se movimentar no
e) ™/2
mesmo instante, em linha reta, com velocidades
constantes e iguais, o navio A para o leste e o navio
28. (Unb) O radar é um aparelho que usa o princípio
B para o norte, então eles se chocarão.
da reflexão de ondas para determinar a posição de
(3) A partir da posição detectada pelo radar, caso B
um objeto que se encontra distante ou encoberto por
se movimente sobre um círculo de raio igual a 30km,
nevoeiro ou nuvem. A posição do objeto é indicada
no sentido anti-horário, com velocidade constante de
sob a forma de um ponto luminoso que aparece na
40km/h então, em 10min, o navio B percorrerá um
tela do radar, que apresenta ângulos e círculos
arco correspondente a (40/™)°.
concêntricos, cujo centro representa a posição do
radar, conforme ilustra a figura abaixo.
29. (Ufrs) Os ponteiros de um relógio marcam duas
horas e vinte minutos. O menor ângulo entre os
ponteiros é
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 7
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
e) 65°
e) 3,14 cm.
30. (Ufrs) Considere as seguintes afirmações para
33. (Ufrs) Se o ponteiro menor de um relógio
arcos medidos em radianos:
percorre um arco de ™/12 rad, o ponteiro maior
percorre um arco de
I) sen 1 < sen 3
a) ™/6 rad.
II) cos 1 < cos 3
b) ™/4 rad.
III) cos 1 < sen 1
c) ™/3 rad.
d) ™/2 rad.
Quais são verdadeiras?
e) ™ rad.
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
34. (Ufal) Se a medida de um arco, em graus, é igual
c) Apenas III é verdadeira.
a 128, sua medida em radianos é igual a
d) São verdadeiras apenas I e II.
a) (™/4) - 17
e) São verdadeiras I, II e III.
b) (64/15) ™
c) (64/45) ™
31. (Ufscar) O valor de x, 0 ´ x ´ ™/2, tal que 4 . (1 -
d) (16/25) ™
sen£ x) . (sec£ x - 1) = 3 é
e) (32/45) ™
a) ™/2.
35. (Uflavras) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo ‘
b) ™/3.
(figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio
c) ™/4.
mede
d) ™/6.
a) 90°
e) 0.
b) 112° 30'
c) 82° 30'
32. (Ufscar) Se o ponteiro dos minutos de um relógio
d) 120°
mede 12 centímetros, o número que melhor
e) 127° 30'
aproxima a distância em centímetros percorrida por
sua extremidade em 20 minutos é: (considere
™=3,14)
a) 37,7 cm.
b) 25,1 cm.
c) 20 cm.
d) 12 cm.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 8
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
38. (Ufrn) No protótipo antigo de uma bicicleta,
36. (Uflavras) A figura MNPQ é um retângulo inscrito
conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de
em um círculo. Se a medida do arco AM é ™/4 rad,
raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número
as medidas dos arcos AN e AP, em radianos,
mínimo de voltas completas da roda maior para que
respectivamente, são:
a roda menor gire um número inteiro de vezes é
a) 3™/4 e 5™/4
b) ™ e 3™/2
c) 3™/4 e 2 ™
d) ™/2 e 5™/4
e) 3™/4 e 5™/8
a) 5 voltas.
b) 7 voltas.
c) 9 voltas.
d) 11 voltas.
37. (Ufc) Sabendo que cosš = (Ë3)/2 e que senš = -
39. (Mackenzie) Um veículo percorre uma pista
1/2, podemos afirmar corretamente que cos[(š +
circular de raio 300 m, com velocidade constante de
(™/2)] + sen[š + (™/2)]
10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores
abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do
é igual a:
arco percorrido é:
a) 0
a) 90
b) [-(Ë3)/2] - (1/2)
b) 115
c) [(Ë3)/2] + (1/2)
c) 145
d) [(Ë3)/2] - (1/2)
d) 75
e) [-(Ë3)/2] + (1/2)
e) 170
40. (Ufscar) O gráfico em setores do círculo de
centro O representa a distribuição das idades entre
os eleitores de uma cidade. O diâmetro åæ mede 10
cm e o comprimento do menor arco AC é (5™/3) cm.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 9
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
O setor x representa todos os 8000 eleitores com
menos de 18 anos, e o setor y representa os
eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo número
é
a) 12000
b) 14800
c) 16000
d) 18000
Tendo em vista tais considerações, pode-se afirmar
que a distância, em quilômetro, entre as duas
cidades é de aproximadamente:
a) 2300
b) 3300
c) 4600
d) 6600
e) 9000
e) 20800
42. (Ufrs) Dentre os desenhos abaixo, aquele que
41. (Uff) A localização de um ponto qualquer na
superfície da Terra (considerada como uma esfera) é
representa o ângulo que tem medida mais próxima
de 1 radiano é
feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo
uma delas a latitude - que é o ângulo (em grau) entre
o plano que contém a linha do equador e o segmento
que une o centro da esfera ao ponto em questão.
Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de
Macapá situam-se, praticamente, no mesmo
meridiano.
Considere que a cidade de Macapá (ponto M)
localiza-se bem próximo da linha do equador (latitude
= 0°02'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre
(ponto P) é de 30°01'59" ao sul e que o valor do
diâmetro da Terra é de 12750 quilômetros. Veja
43. (Uerj) A Terra pode ser representada por uma
figura a seguir:
esfera cujo raio mede 6.400 km.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 10
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
Na representação abaixo, está indicado o trajeto de
um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.
Qualquer ponto da superfície da Terra tem
coordenadas (x ; y), em que x representa a longitude
e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C
estão indicadas na tabela a seguir.
Considerando que o ponto A deverá ser marcado
sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B
a 10 m do centro, o valor do ângulo ‘, em graus,
será igual a
a) 30
b) 36
c) 45
Considerando ™ igual a 3, a distância mínima, em
d) 60
km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual
e) 72
a:
a) 11.200
45. (Ufg) O mostrador do relógio de uma torre é
b) 10.800
dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das
c) 8.800
quais é subdividida em outras 5 partes iguais
d) 5.600
(minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm
e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a
44. (Ufg) Deseja-se marcar nas trajetorias circulares
distância AB, em função do ângulo entre os
concentricas, representadas na figura abaixo, os
ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12
pontos A e B, de modo que dois móveis partindo,
minutos?
respectivamente, dos pontos A e B, no sentido
horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram
distâncias iguais até a linha de origem.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 11
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
46. (Puccamp) Ao descrever o tipo de salto de uma
48. (Ufscar) Uma pizza circular será fatiada, a partir
ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se
do seu centro, em setores circulares. Se o arco de
seus dedos dos pés descrevessem no espaço um
cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número
arco de circunferência de 124 cm de comprimento."
máximo N de fatias idênticas, sobrando, no final,
Considerando que cada perna dessa ginasta,
uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia
juntamente com seu pé esticado, estejam em linha
N+1.
reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ângulo de
abertura de suas pernas era
(Use: ™ = 3,1)
a) -1
b) -(Ë3)/2
c) -(Ë2)/2
d) -1/2
e) 1/2
Considerando ™ = 3,14, o arco da fatia N+1, em
radiano, é
47. (Unesp) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem
a forma de um setor circular de raio 1 cm, como
mostra a figura.
a) 0,74.
b) 0,72.
c) 0,68.
d) 0,56.
e) 0,34.
49. (Ufpr) Maria e seus colegas trabalham em uma
empresa localizada em uma praça circular. Essa
praça é circundada por uma calçada e dividida em
partes iguais por 12 caminhos retos que vão da
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e
borda ao centro da praça, conforme o esquema
o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do
abaixo. A empresa fica no ponto E, há um
"monstro", em cm, é:
restaurante no ponto R, uma agência de correio no
a) ™ - 1.
ponto C e uma lanchonete no ponto L. Quando saem
b) ™ + 1.
para almoçar, as pessoas fazem caminhos
c) 2™ - 1.
diferentes: Maria sempre se desloca pela calçada
d) 2™.
que circunda a praça; Carmen sempre passa pelo
e) 2™ + 1.
centro da praça, vai olhar o cardápio do restaurante
e, se este não estiver do seu agrado, vai almoçar na
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 12
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
lanchonete, caminhando pela calçada; Sérgio
sempre passa pelo centro da praça e pelo correio,
daí seguindo pela calçada para a lanchonete ou para
o restaurante. Sabendo que as pessoas sempre
percorrem o menor arco possível quando caminham
na calçada que circunda a praça, avalie afirmativas a
seguir:
No esquema acima estão representadas as
trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X,
passam simultaneamente pelo ponto A e rumam
para o ponto B por caminhos diferentes, com
velocidades iguais e constantes. Um deles segue a
trajetória de uma semicircunferência de centro O e
raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências
I. Quando Carmen e Sérgio vão almoçar na
cujos centros são P e Q.
lanchonete, ambos percorrem a mesma distância.
II. Quando Maria e Sérgio vão almoçar na
lanchonete, quem percorre a menor distância é
Maria.
III. Quando todos os três vão almoçar no restaurante,
Carmen percorre a menor distância.
Considerando Ë2 = 1,4, quando um dos atletas tiver
percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância
entre eles será igual a:
a) 0,4 R
b) 0,6 R
c) 0,8 R
Assinale a alternativa correta.
d) 1,0 R
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
51. (Uel) Os primeiros relógios baseavam-se no
aparente movimento do Sol na abóboda celeste e no
deslocamento da sombra projetada sobre a
superfície de um corpo iluminado pelo astro.
Considere que: a Terra é esférica e seu período de
50. (Uerj)
rotação é de 24 horas no sentido oeste-leste; o
tempo gasto a cada 15° de rotação é de 1 hora; o
triângulo Brasília/Centro da Terra/Luzaka (Zâmbia)
forma, em seu vértice central, um ângulo de 75°.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 13
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
08) As coordenadas de P satisfazem à equação
x£ + y£ = 1.
16) Se x = y, então cotg(‘) = -1.
32) ‘ = ™/4 é o menor arco positivo para o qual a
equação cos£(‘ + ™) + sen£[‘ + (™/2)] = cos£[(‘ +
(™/2)] + sen£(‘ + ™) é satisfeita.
64) sen(2‘) = 2y.
A hora marcada em Luzaka, num relógio solar,
quando o sol está a pino em Brasília é:
54. (Fuvest) O valor de (tg 10°+cotg 10°)sen 20° é:
a) 5 horas.
a) 1/2
b) 9 horas.
b) 1
c) 12 horas.
c) 2
d) 17 horas.
d) 5/2
e) 21 horas.
e) 4
52. (Ufu) Encontre o valor máximo e o valor mínimo
55. (Fuvest) Dentre os números a seguir, o mais
que a função
próximo de sen50° é:
f(x) = (cos x)§ + (sen x)§ pode assumir.
a) 0,2.
b) 0,4.
Observação:
c) 0,6.
Lembre-se de que
d) 0,8.
a¤+b¤=(a+b)((a+b)£ - 3ab).
e) 1,0.
53. (Uem) Considere um ponto P(x,y) sobre a
56. (Fuvest) O menor valor de 1/ (3-cos x), com x
circunferência trigonométrica e que não esteja sobre
real, é:
nenhum dos eixos coordenados. Seja ‘ o ângulo
a) 1/6.
determinado pelo eixo OX e pela semi-reta OP, onde
b) 1/4.
O é a origem do sistema. Nessas condições,
c) 1/2.
assinale o que for correto.
d) 1.
01) A abscissa de P é menor do que cos(‘).
e) 3.
02) A ordenada de P é igual a
sen[‘ + (™/2)].
04) A tangente de ‘ é determinada pela razão entre
a ordenada e a abscissa de P.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 14
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
57. (Ita) Seja a função f: RëR definida por:
61. (Unitau) Indique a função trigonométrica f(x) de
domínio R; Im = [-1, 1] e período ™ que é
representada, aproximadamente, pelo gráfico a
onde a > 0 é uma constante. Considere
seguir:
K={y ÆR; f(y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se
que f(™/2) Æ K?
a) ™/4
b) ™/2
c) ™
d) ™£/2
e) ™£
a) y = 1 + cos x.
58. (Ita) A expressão sen š/(1+cosš),
0 < š< ™, é idêntica a:
a) sec (š/2)
b) cosec (š/2)
b) y = 1 - sen x.
c) y = sen (-2x).
d) y = cos (-2x).
e) y = - cos x.
c) cotg (š/2)
d) tg (š/2)
e) cos (š/2)
62. (Unitau) O período da função y = sen(™Ë2.x) é:
a) Ë2/2.
b) Ë™/2.
59. (Fuvest) Considere a função
f(x) = senx+ sen5x.
a) Determine as constantes k, m e n tais que
c) ™/2.
d) Ë2.
e) 2Ë2.
f(x)=k.sen(mx).cos(nx)
b) Determine os valores de x, 0´ x ´™, tais que
f(x)=0.
63. (Fuvest) A equação f(x) = -10 tem solução real se
f(x) é:
a) 2Ñ
60. (Unicamp) Encontre todas as soluções do
sistema:
 sen( x  y )  0

 sen( x  y )  0
que satisfaçam 0 ´ x ´ ™ e 0 ´ y ´ ™.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
b) log (| x | + 1)
c) sen x
d) tg x
e) x£ + 2x - 4
Página 15
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
64. (Fuvest) No estudo do Cálculo Diferencial e
Integral, prova-se que a função cos x (co-seno do
ângulo de x radianos) satisfaz a desigualdade:
f(x) = 1 - (x£/2) ´ cos x ´1 - (x£/2) + (x¥/24) = g(x)
a) Calcule o co-seno de 0,3 radianos usando f(x)
como aproximação de cos x.
A área do ÐTAB, como função de ‘, é dada por:
b) Prove que o erro na aproximação anterior é
a) (1 - sen‘) . (cos‘)/2.
inferior a 0,001 e conclua que o valor calculado é
b) (1 - cos‘) . (sen‘)/2.
exato até a segunda casa decimal.
c) (1 - sen‘) . (tg‘)/2.
d) (1 - sen‘) . (cotg‘)/2.
65. (Unicamp) Para medir a largura åè de um rio um
e) (1 - sen‘) . (sen‘)/2.
homem usou o seguinte procedimento: localizou um
ponto B de onde podia ver na margem oposta o
67. (Fuvest) O valor máximo da função f(x)=3cos
coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse 60°;
x+2sen x para x real é:
determinou o ponto D no prolongamento de èå de
a) Ë2/2
forma que o ângulo CBD fosse de 90°. Medindo
b) 3
åî=40 metros, achou a largura do rio. Determine
c) 5Ë2/2
essa largura e explique o raciocínio.
d) Ë13
e) 5
68. (Cesgranrio) Se senx - cosx = 1/2, o valor de
senx cosx é igual a:
a) - 3/16
b) - 3/8
c) 3/8
d) 3/4
e) 3/2
66. (Fuvest) Na figura a seguir, a reta r passa pelo
ponto T=(0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semi-reta Ot
forma um ângulo ‘ com o semi-eixo Ox (0°<‘<90°)
e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r
nos pontos A e B, respectivamente.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 16
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
69. (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do gráfico
da função:
a) sen x
73. (Fatec) Se sen 2x =1/2, então tg x + cotg x é
b) 2 sen (x/2)
igual a:
c) 2 sen x
a) 8
d) 2 sen 2x
b) 6
e) sen 2x
c) 4
d) 2
70. (Fuvest) Considere a função
e) 1
f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x).
a) Resolva a equação f(x) = 0 no intervalo [0,™].
74. (Fei) Sabendo que tg(x) = 12/5 e que
b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação
™ < x < 3™/2, podemos afirmar que:
y=8/5? Explique sua resposta.
a) cotg(x) = - 5/12
b) sec(x) = 13/5
71. (Cesgranrio) Se x é ângulo agudo, tg (90°+x) é
c) cos(x) = - 5/13
igual a:
d) sen(x) = 12/13
a) tg x
e) nenhuma anterior é correta
b) cot x
c) - tg x
75. (Fei) Dado o trapézio conforme a figura a seguir,
d) - cot x
o valor do seno do ângulo ‘ é:
e) 1 + tg x
72. (Ufes) O gráfico da função
f(x) = cosx + |cos x|, para x Æ [0, 2™] é:
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 17
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
78. (Unicamp) Ache todos os valores de x, no
a) 0,8
b) 0,7
c) 0,6
intervalo [0, 2™], para os quais
senx  cos x 
2 3
2
d) 0,5
e) 0,4333...
79. (Uel) O valor expressão
cos (2™/3) + sen (3™/2) + tg (5™/4) é
76. (Ita) Seja ‘ Æ [0, ™/2], tal que sen‘+cos‘=m.
Então, o valor de y=sen2‘/(sen¤‘+cos¤‘) será:
a) (Ë2-3)/2
a) 2(m£ - 1)/m(4 - m£)
b) -1/2
b) 2(m£ + 1)/m(4 + m£)
c) 0
c) 2(m£ - 1)/m(3 - m£)
d) 1/2
d) 2(m£ - 1)/m(3 + m£)
e) Ë3/2
e) 2(m£ + 1)/m(3 - m£)
80. (Uel) O valor da expressão
77. (Puccamp) Observe o gráfico a seguir.
[sen(8™/3) - cos(5™)] / tg(13™/6) é
a) ( 3 + 2Ë3 )/2
b) ( 3Ë2 + 2Ë3 )/2
c) 3 + 2Ë3
d) 3Ë2 + 2Ë3
e) 3( Ë2 + Ë3 )
81. (Ufmg) Observe a figura.
A função real de variável real que MELHOR
corresponde a esse gráfico é
a) y = cos x
b) y = sen x
c) y = cos 2x
d) y = sen 2x
e) y = 2 sen x
Nessa figura, estão representados os gráficos das
funções f e g.
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 18
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
Se h (x) = [f (2x) + g (2x + a)] / f (g(x)), então o valor
de h(a) é
a) 1 + a
b) 1 + 3a
c) 4/3
d) 2
e) 5/2
a) f(x) = sen 2x + 1
82. (Unesp) Pode-se afirmar que existem valores de
b) f(x) = 2 sen x
x Æ R para os quais
c) f(x) = cos x + 1
cos¥x - sen¥x é DIFERENTE de:
d) f(x) = 2 sen 2x
a) 1 - 2sen£x
e) f(x) = 2 cos x + 1
b) cos£x - sen£x
c) (1/2) + (1/2) cos£2x
85. (Mackenzie) I) sen 2 > sen 3
d) 2cos£x - 1
II) sen 1 > sen 30°
e) cos 2x
III) cos 2 > cos 3
83. (Unesp) Sabe-se que um dos ângulos internos de
Relativamente às desigualdades acima, é correto
um triângulo mede 120°. Se os outros dois ângulos,
afirmar que:
x e y, são tais que
a) todas são verdadeiras.
(cos x/cos y) = (1 + Ë3)/2, a diferença entre as
b) todas são falsas.
medidas de x e y é
c) somente I e II são verdadeiras.
a) 5°
d) somente II e III são verdadeiras.
b) 15°
e) somente I e III são verdadeiras.
c) 20°
d) 25°
86. (Faap) Uma placa publicitária de altura h metros
e) 30°
está colocada no alto de um edifício com a sua parte
inferior a y metros acima do nível do olho do
84. (Pucsp) O gráfico seguinte corresponde a uma
observador, conforme a figura a seguir:
das funções de IR em IR a seguir definidas. A qual
delas?
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 19
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
a) (10Ë3)/3 + 1,70
b) 10Ë3 + 1,70
c) 6,70
d) (10Ë3)/2 + 1,70
e) 15,0
88. (Mackenzie) I - Se 0 < x < ™/2, então os pontos
(sen x, -cos x), (-sen x, cos x) e (-1, cos x) sempre
são vértices de um triângulo.
A altura h (em metros) da placa publicitária pode ser
II - Se a e b são números reais tais que a > b > 0,
expressa:
então as retas x - ay + a£ = 0 e x + by + b£ = 0 nunca
a) h = d (tg ‘ - tg ’)
são paralelas.
b) h = d tg ‘
III - A reta x + y - 5Ë2 = 0 é tangente à curva
c) h = tg (‘ - ’)/d
x£ + y£ - 25 = 0.
d) h = d (sen ‘ + cos ‘)
e) h = d tg ’/2
Relativamente às afirmações acima, podemos
afirmar que:
87. (Faap) Uma placa publicitária de altura h metros
a) somente I e II são verdadeiras.
está colocada no alto de um edifício com a sua parte
b) somente I e III são verdadeiras.
inferior a y metros acima do nível do olho do
c) somente II e III são verdadeiras.
observador, conforme a figura a seguir:
d) todas são falsas.
e) todas são verdadeiras.
89. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar
de 3 metros de largura equipado com um ajustador
hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é
ajustado automaticamente de modo que os raios do
sol incidam perpendicularmente nele.
Para o nível do olho do observador a 1,70 metros
acima do nível do solo, ‘ = ™/3 e d = 10 metros, a
altura do prédio (em metros) é
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 20
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
91. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar
de 3 metros de largura equipado com um ajustador
hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é
ajustado automaticamente de modo que os raios do
sol incidam perpendicularmente nele.
O valor de y (em metros) em função de š:
a) y = 3 sen š
b) y = 3 sen š + 3
c) y = 3 tg š
d) y = 3 cos š
e) impossível de ser determinado
Para š = ™/3, o valor de x (em metros) é:
90. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar
a) 3Ë3/2
de 3 metros de largura equipado com um ajustador
b) 5/2
hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é
c) 3/2
ajustado automaticamente de modo que os raios do
d) 3
sol incidam perpendicularmente nele.
e) impossível de ser determinado
92. (Faap) Num trabalho prático de Topografia, um
estudante de engenharia Civil da FAAP deve
determinar a altura de um prédio situado em terreno
plano. Instalado o aparelho adequado num ponto do
terreno, o topo do prédio é visto sob ângulo de 60°.
Afastando-se o aparelho mais 10 metros do edifício,
seu topo para a ser visto sob ângulo de 45°.
Para š = ™/3, o valor de y (em metros) é:
Desprezando-se a altura do aparelho, a altura do
a) 3Ë3/2
edifício (em metros) é:
b) 3/2
a) 10(Ë3) + 1
c) 3Ë2/2
b) [(Ë3)/3] + 10
d) 3
c) (10Ë3)/(Ë3 - 1)
e) impossível de ser determinado
d) (3/Ë3)/(10 + Ë3)
e) (10 + Ë3)/3
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 21
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
96. (Ufpe) Comparando as áreas do triângulo OAB,
93. (Faap) Considerando 0 ´ x ´ 2™, o gráfico a
do setor circular OAB e do triângulo OAC da figura a
seguir corresponde a:
seguir, onde
0 < š< ™/2, temos:
a) y = sen (x + 1)
(
) senš < š < tanš;
b) y = 1 + sen x
(
) (senš)/š < cosš < 1;
c) y = sen x + cos x
(
) cosš < (senš)/š < 1;
d) y = sen£ x + cos£ x
(
) cosš > (senš)/š > tanš;
e) y = 1 - cos x
(
) (1/2)cosš < (1/2)™š < (1/2)senš;
94. (Ufpe) Considere a função f:(0, 49™/2) ë IR
97. (Fuvest) A tangente do ângulo 2x é dada em
definida por f(x)=(1/x)-sen x. O gráfico de f intercepta
função da tangente de x pela seguinte fórmula:
o eixo das abcissas Ox em exatamente n pontos
tg2x = 2tgx/(1-tg£x).
distintos. Determine n.
Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo
22°30'.
95. (Ufpe) Considere a função f(x)=sen(x£+2),
a) 0,22
definida para x real. Analise as seguintes afirmações:
b) 0,41
c) 0,50
(
) f é uma função periódica.
d) 0,72
(
) f é uma função par.
e) 1,00
(
) f(x)=0 exatamente para 32 valores distintos de x
no intervalo [0,10].
98. (Uel) Seja x a medida de um arco em radianos. O
(
) f(x)=2+sen£x para todo x Æ IR.
números real a, que satisfaz as sentenças
(
) A imagem de f é o intervalo [1,3].
sen x = Ë(3 - a) e cos x = (a - 2)/2 é tal que
a) a µ 7
b) 5 ´ a < 7
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 22
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
c) 3 ´ a < 5
d) f(x) = sen x
d) 0 ´ a < 3
e) f(x) = cos x
e) a < 0
103. (Cesgranrio) Se sen x=2/3, o valor de tg£x é:
99. (Uel) A expressão cos [(3™/2) + x] é equivalente
a) 0,6
a
b) 0,7
a) -sen x
c) 0,8
b) -cos x
d) 0,9
c) sen x.cos x
e) 1
d) cos x
e) sen x
104. (Fatec) Considerando as funções
trigonométricas definidas por f(x) = 2senx,
100. (Uel) A função dada por f(x) = (tg x) . (cotg x)
g(x) = sen2x e
está definida se, e somente se,
h(x) = 2 + senx, tem-se
a) x é um número real qualquer.
a) f(x) > h(x), para todo x Æ IR.
b) x · 2k™, onde k Æ Z
b) g(x) ´ h(x), para todo x Æ IR.
c) x · k™, onde k Æ Z
c) f(x) e g(x) têm períodos iguais.
d) x · k™/2, onde k Æ Z
d) f(x) e h(x) têm períodos diferentes.
e) x · k™/4, onde k Æ Z
e) g(x) ´ senx ´ f(x), para todo x Æ IR.
101. (Fuvest) Sendo sen ‘ = 9/10, com 0 < ‘ < ™/2,
105. (Mackenzie) Em [0, 2™], o número de soluções
tem-se
reais de f(x)=sen2x é:
a) sen ‘ < sen ™/3 < sen 2‘
b) sen ™/3 < sen ‘ < sen 2‘
c) sen ‘ < sen 2‘ < sen ™/3
d) sen 2‘ < sen ™/3 < sen ‘
e) sen 2‘ < sen ‘ < sen ™/3
a) 4
102. (Cesgranrio) Entre as funções reais a seguir,
b) 3
aquela cujo gráfico é simétrico em relação à origem
c) 2
é:
d) 1
a) f(x) = x¤ +1
e) 0
b) f(x) = |x|
c) f(x) = eÑ
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 23
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
106. (Fei) Sobre a função f(x) = |senx| é válido
c) Ë3/4.
afirmar-se que:
d) 3/5.
a) f (x) = f (2x)
e) 5/6.
b) f (-x) = -f (x)
c) f (x) = f (x + ™)
110. (Uff) Para š = 89°, conclui-se que:
d) f (x) = f (x + ™/2)
a) tg š < sen š < cos š
e) f (x) = f (x - ™/2)
b) cos š < sen š < tg š
c) sen š < cos š < tg š
107. (Cesgranrio) Se o cos x = 3/5 e -™/2 < x < 0,
d) cos š < tg š < sen š
então tg x vale:
e) sen š < tg š < cos š
a) -4/3.
b) -3/4.
111. (Fuvest) Qual das afirmações a seguir é
c) 5/3.
verdadeira ?
d) 7/4.
a) sen 210° < cos 210° < tg 210°
e) -7/4.
b) cos 210° < sen 210° < tg 210°
c) tg 210° < sen 210 ° < cos 210°
108. (Mackenzie)
d) tg 210° < cos 210° < sen 210°
f•(x) = sen x + cos x e f‚(x) = 3 sen x cos x
e) sen 210° < tg 210° < cos 210°
Relativamente às funções anteriores, de domínio IR,
fazem-se as afirmações.
112. (Pucmg) Na expressão
I- O período de f(x) é 2™
M = Ë(cos 2x - sen 2x + 2sen£ x), 0<x<™/4. O valor
II- O maior valor que f‚(x) pode assumir é 1,5.
de M é:
III- O conjunto imagem de f•(x) está contido no
a) cos x + sen x
conjunto imagem de f‚(x)
b) sen x - cos x
Então:
c) cos x - sen x
a) todas são verdadeiras.
d) 1 - sen 2 x
b) somente II e III são verdadeiras.
e) 1
c) somente I e III são verdadeiras.
d) somente I e II são verdadeiras.
113. (Pucmg) A soma das raízes da questão
e) somente III é verdadeira.
cosx + cos£x = 0, 0 ´ x ´ 2 ™, em radianos, é:
a) ™
109. (Cesgranrio) Se tgx = Ë5, então sen£x é igual a:
b) 2 ™
a) 1/6.
c) 3 ™
b) 1/5.
d) 4 ™
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 24
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
e) 5 ™
116. (Cesgranrio) O valor da expressão
P=1 - 4sen£x + 6sen¥x - 4sen§x + sen©x é igual a:
114. (Unesp) Sabe-se que h é o menor número
a) cos¥x
positivo para o qual o gráfico de y = sen (x -h) é
b) cos©x
c) sen£x
d) 1
e) 0
117. (Cesgranrio) Considerando sen x = (1/2) .
sen(25™/6), o valor de cos 2x será:
a) 7/8
Então, cos (2h/3) é igual a:
a) - (Ë3)/2.
b) - (Ë2)/2.
c) -1/2.
b) 5/8
c) 3/8
d) 3/4
e) 1/2
d) 1/2.
e) (Ë3)/2.
118. (Mackenzie) Em [0, 2™], a melhor
representação gráfica da função real definida por
115. (Ufrs) O gráfico a seguir representa a função
f(x)=(2-sen£x-sen¥x)/(3-cos£x) é:
real f.
Esta função é dada por:
a) f(x) = 1 - cos x
b) f(x) = 1 + cos x
c) f(x) = cos (x +1)
d) f(x) = cos (x - 1)
e) f(x) = cos (x + ™)
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 25
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
119. (Mackenzie) Dentre os valores a seguir,
assinale aquele que mais se aproxima de sen 6 + tg
(1) A função U tem período igual a (2™ - š).
3.
(2) No instante t= 2™/Ÿ, o bloco está novamente na
a) - 0,4
posição inicial.
b) - ™
(3) O maior deslocamento do bloco, em relação à
c) - ™/2
posição de equilíbrio, é igual a r.
d) 1
(4) Em qualquer intervalo de tempo que tenha
e) 0,5
duração igual a 4™/3Ÿ, o bloco passa pela posição
de equilíbrio.
120. (Fuvest) a) Expresse sen 3‘ em função de
sen ‘.
122. (Unesp) Considere as funções f(y) = Ë(1 - y£),
b) Resolva a inequação sen3‘> 2sen‘ para
para y Æ IR, -1 ´ y ´ 1, e g(x) = cos x, para x Æ IR. O
0 < ‘< ™.
número de soluções da equação (f o g)(x) = 1, para 0
´ x ´ 2™, é
121. (Unb) A função U, definida por U(t) = r cos (Ÿt -
a) 0.
š), descreve o deslocamento, no tempo t, de um
b) 1.
bloco de massa m, preso na extremidade de uma
c) 2.
mola, em relação à posição de equilíbrio, conforme a
d) 3.
figura adiante. A posição de equilíbrio, nesse caso, é
e) 4.
aquela em que U(t) = 0. A constante Ÿ depende
apenas da mola e da massa m. As constantes r e š
123. (Fuvest) Se ‘ é um ângulo tal que
dependem da maneira como o sistema é colocado
0 < ‘ < ™/2 e sen‘ = a, então tg(™-‘) é igual a
em movimento.
a) - a/Ë(1 - a£)
b) a/Ë(1 - a£)
c) [Ë (1 - a£)]/a
d) [- Ë (1 - a£)]/a
e) - (1 + a£)/a
124. (Mackenzie) Se k e p são números naturais não
nulos tais que o conjunto imagem da função
f(x) = 2k +p.cos(px+k) é [-2, 8], então o período de
f(x) é:
Com base na situação apresentada, julgue os itens
a) ™/7
que se seguem.
b) 2™/7
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 26
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
c) 2™/3
d) ™/5
e) 2™/5
125. (Mackenzie) A função real definida por
f(x)=k.cos(px), k>0 e pÆIR tem período 7™ e
conjunto imagem [-7,7]. Então, k.p vale:
a) 7
b) 7/2
c) 2
d) 2/7
e) 14
GABARITO
11. 01 + 04 + 08 + 16 =
1. [E]
20. [A]
29. [B]
29
30. [C]
2. V F F F
3. V F V
4. [A]
5. 02 + 04 + 16 = 22
6. [A]
7. 492 bilhões de
12. a) ‘ = (™/8) +
21. a) PQ = 4Ë3 dm
(k™/2), k Æ Z
sen BPQ = (Ë13)/13
31. [B]
b) 90° e 120 voltas
32. [B]
22. [C]
33. [E]
23. 82
34. [E]
24. [A]
35. [B]
25. [E]
36. [A]
26. [C]
37. [C]
27. [B]
38. [B]
28. F F V
39. [B]
b) ((Ë2) - 2; 1)
13. [A]
14. 30°, 60° e 90°.
15. [E]
16. [A]
dólares.
8. 6
17. Soma = 0
18. [E]
9. [D]
19. a) 1/4
10. 20
b) 0° < ‘ < 30°
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 27
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
82. [C]
40. [C]
57. [D]
67. [D]
83. [E]
41. [B]
58. [D]
68. [C]
84. [A]
42. [B]
59. a) (k,m,n) Æ {(2,3,-2);
69. [B]
(2,3,2); (-2,-3,-2); (-2,-3,
43. [C]
44. [E]
85. [A]
2)}
70. a) V = { 0; ™/9; ™/2;
b) {0, ™/4, ™/3, 2™/3,
5™/9; 7™/9; ™ }
3™/4 e ™}
b) O maior valor da f é
menor do que 8/5,
45. AB = Ë(1,49 - 1,4 .
60. V = { (0, 0), (0, ™),
portanto a reta de
cos 36°) m
(™, 0), (™, ™), (™/2, ™/2)
equação y=8/5 não
}
intercepta o gráfico da
46. [D]
86. [A]
87. [B]
88. [E]
função.
89. [D]
71. [D]
90. [B]
72. [A]
91. [A]
73. [C]
92. [C]
74. [C]
93. [B]
75. [A]
94. 25
76. [C]
95. F V V F F
77. [D]
96. V F V F F
78. V = { ™/6, ™/3 }
97. [B]
79. [B]
98. [D]
80. [A]
99. [E]
81. [D]
100. [D]
61. [C]
47. [E]
62. [D]
48. [C]
63. [D]
49. [B]
64. a) f (0,3) = 0,955
50. [B]
b) 0,955 ´ cos 0,3 ´
51. [D]
0,955 + 0,0003375 Ì
Ì 0 ´ cos 0,3 - 0,955 ´
52. 1/4 ´ f(x) ´ 1
0,0003375 < 0,001, logo
o erro é inferior a 0,001.
53. itens corretos: 04, 08
Como 0,9550 ´ cos 0,3 <
e 32
0,9554, o valor calculado
itens incorretos: 01, 02,
é exato até a terceira
16 e 64
casa decimal, portanto é
exato até a segunda
54. [C]
55. [D]
56. [B]
casa decimal.
65. AC = 120 m
66. [D]
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 28
TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO
101. [D]
120. a) 3.sen ‘ - 4 .
sen¤‘
102. [D]
b) S = {‘ Æ IR | 0 < ™/6
103. [C]
ou 5™/6 < ‘ < ™}
104. [B]
121. F V V V
105. [A]
122. [C]
106. [C]
123. [A]
107. [A]
124. [E]
108. [A]
109. [E]
110. [B]
111. [B]
112. [C]
113. [C]
114. [C]
115. [B]
116. [B]
117. [A]
118. [B]
119. [A]
PROFESSOR GILMAR BORNATTO
Página 29