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Colégio
PARA QUEM CURSA A 2 a. SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2012
Disciplina:
Prova:
matemática
desafio
nota:
QUESTÃO 16
O gráfico a seguir, publicado na edição de 30/7/2008 da revista Veja, mostra as taxas de
fecundidade no Brasil e na sua população urbana e rural, nos anos de 1996 e 2006.
De acordo com os dados do gráfico, de 1996 a 2006, a taxa de fecundidade no Brasil
decresceu:
a) 7%
b) 15%
c) 18%
d) 28%
e) 33%
Resolução
1,8
Taxa em 2006
–––––––––––––– = –––– = 0,72 = 72% fi Taxa em 2006 = 72% . (Taxa em 1996)
2,5
Taxa em 1996
Portanto, a taxa de fecundidade no Brasil decresceu (100 – 72)% = 28%
Respost: D
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 17
(UFTM) – Em um laboratório, há três frascos idênticos, contendo o mesmo tipo de
medicamento. Certo dia, ao chegar ao laboratório, um funcionário percebeu que o
frasco A continha 5/6 do medicamento, o frasco B continha 2/3 e o C estava vazio,
conforme mostram os esquemas a seguir.
O funcionário decide, então, redistribuir o medicamento nos três frascos, de modo que
todos fiquem com a mesma quantidade. Nessas condições, a fração que representa a
quantidade de medicamento que ficará em cada um dos frascos é:
a) 3/4
b) 3/5
c) 1/2
d) 1/5
e) 2/5
Resolução
Se “V” for a capacidade de cada frasco, então a quantidade de medicamento que ficará
em cada frasco é:
5
2
9V
–– V + –– V
–––
6
3
9V
1
9V
V
6
–––––––––––– = ––––– = ––– . ––– = ––– = –––
3
6
3
18
2
3
––
1
Resposta: C
QUESTÃO 18
(SPM) – Pedro está rodando um triângulo em torno do ponto P, em sentido horário, tal
como se vê nas figuras a seguir.
Assinale a alternativa que indica a posição em que o triângulo estará após 17 movimentos.
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
Resolução
I. A cada 4 movimentos, voltará à posição inicial.
II. O triângulo estará, pois, nessa mesma posição após 4 movimentos, 8 movimentos,
12 movimentos, 16 movimentos etc.
III. Após 17 movimentos, estará, portanto, na posição 1.
Resposta: A
QUESTÃO 19
O valor da expressão numérica [(500 000,5)2 – (499 999,5)2]5 é
a) 1,1 . 1011
b) 1011
c) 1030
d) 1,1 . 1029
e) 1031
Resolução
[(500 000,5)2 – (499 999,5)2]5 = [(500 000,5 + 499 999,5) (500 000,5 – 499 999,5)]5 =
= [1 000 000 . 1]5 = [106]5 = 1030
Resposta: C
QUESTÃO 20
O diretor de uma tradicional escola da cidade de Teresina resolveu fazer uma pesquisa
de opinião junto aos seus 590 alunos do Ensino Médio, sobre as políticas públicas de
acesso ao Ensino Superior. No questionário, perguntava-se sobre a aprovação de Cotas,
Bolsas e ENEM como modelo de exame vestibular. As respostas dos alunos foram
sintetizadas na tabela abaixo:
Cotas,
Política
Cotas
Bolsas e
Cotas e
Cotas
Bolsas
ENEM
Bolsas e
Pública
e Bolsas
ENEM
ENEM
ENEM
Número de
aprovações
226
147
418
53
85
116
44
Sobre a pesquisa e a tabela acima, é correto afirmar que
a) a quantidade de alunos que não opinaram por nenhuma das três políticas é 12.
b) a quantidade de alunos que aprovam apenas uma política pública é 415.
c) a quantidade de alunos que aprovam mais de uma política é 167.
d) a quantidade de alunos que aprovam as três políticas é 45.
e) há mais alunos que aprovam Cotas do que alunos que aprovam somente o ENEM.
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
Resolução
Se n for o número de alunos que não optaram por nenhuma das três, então:
101 + 53 + 261 + 72 + 41 + 9 + 44 + n = 590 € n = 9
A quantidade de alunos que aprovam apenas uma política pública é
261 + 101 + 53 = 415
Resposta: B
QUESTÃO 21
Uma companhia de teatro vai iniciar uma temporada especial, a preços reduzidos. O
preço normal da entrada é de R$ 20,00. Pretende-se reduzir o preço de tal modo que a
frequência semanal aumente 50% e a receita correspondente aumente 25%. Em quantos
reais terá de ser reduzido (aproximadamente) o preço da entrada?
a) 1,80
b) 2,10
c) 3,50
d) 4,50
e) 3,30
Resolução
Se n for o número de pessoas que frenquentavam o teatro e x o valor, em reais, a ser
reduzido do preço inicial de R$ 20,00, então:
1,25 . 20
(20 – x) . 1,5 n = 1,25 . 20 . n € 20 – x = –––––––– € 20 – x @ 16,7 € x @ 3,3
1,5
Resposta: E
QUESTÃO 22
Na Olimpíada de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para justificar
sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de medalhas obtidas
pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos chineses (100). Argumentação
parecida fez o presidente do Comitê Olímpico Brasileiro para valorizar o desempenho do
Brasil.
(Adaptado da matéria “COB faz malabarismo numérico e declara
Pequim melhor da história brasileira”, publicada em 24 ago. 2008)
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue.
Brasil
China
Cuba
EUA
Ouro
3
51
2
36
Prata
4
21
11
38
Bronze
8
28
11
36
Total
15
100
24
110
Classificação
23 o.
1.o
28 o.
2.o
População aproximada
(em milhões)
191
1 331
11
303
(www.uol.com.br, 24 ago. 2008 e Almanaque Abril 2007.)
A classificação acima apresentada baseou-se, apenas, na quantidade de medalhas de
ouro. Se fosse baseada no número de medalhas de ouro por cada milhão de habitantes,
a classificação dos quatro países citados, apenas, seria
a)
1.o
Cuba
2.o
EUA
3 o.
Brasil
4 o.
China
b)
1.o
China
2.o
Cuba
3 o.
Brasil
4 o.
EUA
c)
1.o
Cuba
2.o
China
3 o.
EUA
4 o.
Brasil
d)
1.o
Cuba
2.o
EUA
3 o.
China
4 o.
Brasil
e)
1.o
EUA
2.o
Cuba
3 o.
China
4 o.
Brasil
Resolução
Medalhas de ouro por cada milhão de habitantes:
Brasil
China
Cuba
EUA
0,015
0,038
0,181
0,118
Assim, a classificação do 1.o ao 4.o colocado seria: Cuba, EUA, China e Brasil.
Resposta: D
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 23
Um sal contendo 40% de umidade foi aquecido numa estufa até ser eliminada a metade
de sua quantidade de água. Qual a porcentagem de água no sal após o aquecimento?
a) 15%
b) 17%
c) 20%
d) 25%
e) 27,5%
Resolução
Para 100 gramas de sal, por exemplo, temos:
Água (g)
Sal (g)
Água + sal (g)
Antes de aquecer
40
60
100
Depois de aquecer
20
60
80
A porcentagem de água após o aquecimento é:
1
20
––– = ––– = 0,25 = 25%
4
80
Resposta: D
QUESTÃO 24
Os discos A, B, C e D representam polias de diâmetros 8, 4, 6 e 2 cm, respectivamente,
unidas por correias que se movimentam sem deslizar. Quando o disco A dá uma volta
completa no sentido horário, o que acontece com o disco D?
a) Dá 4 voltas no sentido horário.
b) Dá 3 voltas no sentido horário.
c) Dá 6 voltas no sentido anti-horário.
d) Dá 4 voltas no sentido anti-horário.
e) Dá 3 voltas no sentido anti-horário.
Resolução
Se o disco A dá uma volta completa no sentido horário, então:
1) B dá 2 voltas completas no sentido horário.
4
2) C da ––– de volta no sentido anti-horário.
3
3) D da 4 voltas no sentido anti-horário.
Resposta: D
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 25
Júlia tem 64 peças de LEGO do tipo 2 x 2, iguais à da figura I. Sobre uma placa, quer
construir uma torre maciça com a forma de um prisma de base quadrada.
Utilizando as 64 peças, conseguiu construir quatro prismas diferentes, de base quadrada,
colocando as peças da seguinte forma:
Prisma I: 64 camadas sobrepostas, tendo cada camada uma única peça, como na figura I.
Prisma II: 16 camadas sobrepostas, tendo cada camada 4 peças, como na figura II.
Prisma III: 4 camadas sobrepostas, tendo cada camada 16 peças.
Prisma IV: 1 única camada com 64 peças.
Utilizando 100 peças, quantos prismas diferentes, de base quadrada, conseguirá
construir?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Resolução
O número de peças de cada camada deve ser quadrado perfeito e divisor de 100. Nesse
caso, as possibilidades serão 4: 1, 4, 25, 100. Assim, os resultados possíveis serão:
100 camadas de 1 peça; 25 camadas de 4 peças;
4 camadas de 25 peças; 1 camada de 100 peças.
Resposta: C
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 26
(PMSC) – A parábola representa a variação do lucro L, em reais, em função da produção
diária x de bolos de aniversário por uma doceria.
O lucro máximo obtido por essa produção é:
a) R$ 45,00
b) R$ 64,00
c) R$ 78,00
d) R$ 80,00
e) R$ 96,00
Resolução
I. L(x) = a . (x – 0) . (x – 16)
II. L(3) = a . (3 – 0) . (3 – 16) = 39 € a = – 1
III. De (I) e (II), temos:
L(x) = – 1 . (x – 0) . (x – 16) € L(x) = – x2 + 16x
IV. O lucro máximo, em reais, é:
L(8) = – 82 + 16.8 = 64
Resposta: B
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 27
(UNIT) – Um biólogo realizou um determinado experimento e constatou que a população (N) de determinada bactéria cresce segundo a lei N(t) = 900 . 30,4t, onde t representa o tempo em horas e N, o número de bactérias dessa população. O gráfico a seguir
ilustra essa função.
Sabendo-se que, no instante inicial desse experimento (t = 0) a cultura inicial contava
com 900 bactérias, o tempo necessário, e suficiente, para atingir uma população de
72900 bactérias será de:
a) 8 horas.
b) 10 horas.
c) 13 horas.
d) 16 horas.
e) 20 horas.
Resolução
N(t) = 900 . 30,4t = 72900 € 30,4t = 81 € 30,4t = 34 € 0,4t = 4 € t = 10
Resposta: B
QUESTÃO 28
(UETU) – Uma torneira enche um tanque em 8 horas. Uma segunda torneira enche
o mesmo tanque em 6 horas. Se o tanque estiver cheio, o seu ralo aberto esvazia
toda a água em 4 horas. As duas torneiras foram abertas ao mesmo tempo para
encher o tanque, que inicialmente estava vazio, e após 3 horas, inadvertidamente,
o ralo foi aberto. O tempo total para encher o tanque foi de:
a) 4 horas
b) 4,5 horas
c) 5 horas
d) 5,5 horas
e) 6 horas
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
Resolução
I. Em 3 horas, as duas torneiras, juntas, conseguem encher
冢 ––18 + ––16 冣 do tanque = 7/8
do tanque.
II. Para encher completamente o tanque falta, apenas, 1/8 de tanque.
III. Se “t” for o tempo gasto para completar essa tarefa, com as duas torneiras abertas e
o ralo também aberto, então:
t.
1
1
= ––– € t = 3
冢 ––18 + ––61 – ––41 冣 = –––18 € t . –––
24
8
IV. O tempo total para encher o tanque foi de:
(3 + 3) h = 6 h
Resposta: E
QUESTÃO 29
(FGV) – No gráfico seguinte estão representados os três primeiros trapézios de uma
sequência infinita. Pelos vértices A, B, C, D ... desses trapézios passa o gráfico de uma
5
função exponencial f(x) = ax. Se a área total dos infinitos trapézios dessa sequência é –– ,
6
então
a) f(x) =
3x.
1
d) f(x) = ––
4
冢
b) f(x) =
冢
1
––
2
x
冣.
c) f(x) =
冢
1
––
3
x
冣.
x
冣.
e) f(x) = (– 2)x.
Resolução
Observando que
f(1) = a, f(2) = a2, f(3) = a3 e assim sucessivamente, temos
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
Dessa forma, a soma das áreas dos infinitos trapézios dessa sequência é dada por
(1 + a) . 1 (a + a 2) . 1
5
(a2 + a 3) . 1
––––––––– + –––––––––– + ––––––––––– + ... = ––– €
2
6
2
2
(1 + a)
––––––
2
5
1
€ ––––––––– = ––– € 3 + 3a = 5 – 5a € a = –––
1–a
6
4
1
Portanto, f(x) = –––
4
冢
x
冣
Resposta: D
QUESTÃO 30
(UF DE SANTA MARIA-RS) – A partir de dados do Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), o Índice de Desenvolvimento da Educação
Básica (IDEB) para as séries iniciais do Ensino Fundamental da Escola Estadual Básica
Professora Margarida Lopes (Santa Maria, RS) pode ser representado pela expressão
冢
t – 1997
f(t) = 5 + log2 ––––––––
8
冣
em que f(t) representa o IDEB em função do ano t no qual o dado foi coletado. Diante
dessas informações, pode-se afirmar que o acréscimo do IDEB previsto para essa escola,
de 2005 a 2013, é de
a) 5
b) 1
c) 1/2
d) 1/4
e) 0
Resolução
冤
冢
2013 – 1997
f(2013) – f(2005) = 5 + log2 ––––––––––––
8
冣 冥 – 冤 5 + log 冢––––––––––––
冣 冥=
8
2005 – 1997
2
= [5 + log22] – [5 + log21] = [5 + 1] – [5 + 0] = 1
Resposta: B
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE