O TEOREMA DE BORSUK-ULAM
THE BORSUK-ULAM THEOREM
Wilson Francisco da Rocha Lima – Orientadora: Denise de Mattos
Universidade de São Paulo – USP , campus de São Carlos, Instituto de Ciências Matemáticas e Computação
Bacharelado em Matemática - [email protected] , [email protected]
Palavras chave: Topologia algébrica, Borsuk-Ulam
Keywords: Algebraic topology, Borsuk-Ulam
INTRODUÇÃO
O tempo é caprichoso. Os parâmetros que o descrevem tais como: pressão atmosférica,
temperatura e umidade variam continuamente com o tempo e de lugar para lugar. As curvas isotérmicas
e isobáricas sobre os mapas do tempo têm formas excêntricas e descrevem previsões que muitas vezes
não se confirmam.
Figura 1- Mapa do tempo
Contudo, não importa quão estranho o mapa do tempo se pareça, o seguinte teorema é sempre
verdadeiro:
Teorema do tempo: Em cada instante, existe um par de pontos diametralmente opostos (pontos
antípodas) sobre a superfície da Terra nos quais a temperatura e a pressão atmosférica coincidem.
Figura 2 - Mapa-múndi (vermelho) ao qual se sobrepôs um mapa antipodal (amarelo) a fim de fazer
sobressair o antípoda de cada ponto do globo.
Embora essa proposição tenha sido apresentada em termos meteorológicos, mais do que uma
propriedade da atmosfera, ela é na verdade uma propriedade das funções contínuas definidas sobre a
esfera. Esse teorema pertence a um campo da topologia, uma área da matemática que trata, dentre
outras coisas, com funções ou coleções de funções que são contínuas para certos conjuntos. Algumas
propriedades de tais funções são determinadas pela estrutura do conjunto sobre o qual elas estão
definidas. Por exemplo: para funções numéricas que são estudadas no ensino médio o seguinte teorema
é válido:
Teorema do zero de uma função: Se uma função f é contínua sobre o intervalo fechado [a,b] e se
essa função assume valores com sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe um ponto x0
entre a e b tal que f(x0)=0.
Embora geometricamente esse resultado pareça óbvio, a sua demonstração está longe de ser
elementar. Para o teorema ser verdadeiro são hipóteses essenciais a continuidade da função f e a
conexidade do segmento [a,b].
Vamos examinar algumas propriedades de pares de funções contínuas definidas sobre a esfera.
Antes porém, consideremos um caso mais simples: uma propriedade inesperada de funções contínuas
definidas sobre a circunferência.
1.1 O caso da circunferência: a corrida de um atleta
Suponhamos que um atleta comece a correr suavemente em uma pista de corrida circular a
partir de um ponto A e que ele pare suavemente no mesmo ponto depois de dar uma volta completa na
pista. Independentemente como a velocidade do atleta varia durante o percurso, existe um par de
pontos diametralmente opostos nos quais a velocidade do atleta é a mesma.
Figura 4– Corrida de um atleta em uma pista circular
É claro que o atleta não é a causa desse fato: na verdade essa é uma propriedade das funções contínuas
e esse resultado pode ser reformulado como segue.
O teorema do atleta: Se uma função está definida sobre uma circunferência e se ela é contínua,
existem dois pontos diametralmente opostos sobre a circunferência nos quais essa função assume
valores iguais.
A validade desse resultado pode ser verificada usando somente o teorema do zero de uma função
enunciado anteriormente.
1.2 Formulação matemática do teorema do tempo
Deixando de lado o significado meteorológico das funções f e g, podemos reformular o teorema
do tempo em termos matemáticos. Em um dado instante do tempo, cada ponto P sobre a superfície da
Terra pode ser caracterizado por dois números: a pressão f(P) e a temperatura g(P). Assim, duas
funções estão definidas sobre a esfera S2. Suponhamos que elas sejam contínuas. De fato, os valores
dessas funções não podem variar muito quando há uma pequena variação na posição do ponto P.
Apresentamos a seguir a formulação geral do teorema do tempo.
Teorema de Borsuk-Ulam [2]: Se as funções f e g estão definidas sobre a esfera S2 e são contínuas,
então existem dois pontos diametralmente opostos P0 e P1 sobre a esfera tais que f(P0) = f(P1) e g(P0) =
g(P1).
Observação 1: Esse teorema pode ser estendido para funções contínuas definidas sobre a esfera Sn. O
resultado foi primeiramente conjecturado pelo matemático S. Ulam e foi posteriormente provado pelo
matemático polonês Karol Borsuk em 1933. Desde a sua publicação, têm sido apresentadas diferentes
demonstrações, generalizações e aplicações deste famoso teorema.. Vale observar que a demonstração
do teorema de Borsuk-Uam para o caso de funções definidas sobre a esfera S2 exige ferramentas
matemáticas mais sofisticadas do que as utilizadas no teorema do atleta, que nada mais é do que a
versão do teorema de Borsuk-Ulam para funções definidas sobre a circunferência S1.
OBJETIVOS
O nosso objetivo neste trabalho é apresentar uma elegante demonstração do Teorema de
Borsuk-Ulam, na qual são utilizadas importantes técnicas da Topologia Algébrica, tais como os
conceitos do grupo fundamental e dos espaços de recobrimento.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O método da Topologia Algébrica consiste em associar invariantes algébricos a espaços
topológicos e funções contínuas. O invariante algébrico que apresentaremos aqui é um grupo algébrico
associado a um espaço topológico X, chamado o grupo fundamental de X com ponto base x0, o qual
será denotado por π1(X, x0). Uma estratégia para se calcular o grupo fundamental de certos espaços é
através da teoria dos espaços de recobrimento. Exemplos importantes de espaços de recobrimento são
dados pelo recobrimento universal da esfera S1 e, de maneira mais geral, pelo recobrimento das esferas
Sn, para n≥ 2. Esses são os principais ingredientes para a demonstração do Teorema de Borsuk-Ulam.
METODOLOGIA
O processo de aprendizado através da pesquisa foi realizado através do estudo do trabalho [1]
intitulado “The Borsuk-Ulam Theorem”, publicado na revista Quantum. Tal artigo foi escolhido pelo
fato de abordar temas importantes e relevantes de maneira intuitiva e atraente.
RESULTADOS
Os principais resultados estudados que serão utilizados na demonstração do Teorema de
Borsuk-Ulam são listados a seguir.
Teorema 1: Seja p : (E, e0) (B, b0) uma aplicação de recobrimento e f, g : I → B caminhos em B
começando em b0 tais que f ≅p g. Então, seus levantamentos são caminhos homotópicos começando em
e0. Em particular, eles possuem o mesmo ponto final.
Teorema 2: O grupo fundamental do círculo é cíclico infinito, ou seja, π1(S1, b0) é isomorfo ao grupo
dos inteiros, onde b0 = (1, 0) ∈S1.
Teorema 3: O plano projetivo RP2 é uma superfície e a aplicação p : S2 → RP2, p(x) = [x] é uma
aplicação de recobrimento.
Teorema 4: O grupo fundamental do plano real projetivo é um grupo cíclico de ordem 2, ou seja,
π1(RP2, y0) é isomorfo a Z2
Observação: O caso geral do Teorema de Borsuk-Ulam (ver observação 1) é equivalente à seguinte
afirmação: Se n > m, não existe uma função contínua f : Sn → Sm que preserva pontos antípodas.
Demonstraremos a seguinte versão deste teorema, para o caso n=2 e m=1.
Teorema de Borsuk-Ulam: Não existe uma função contínua f : S2 → S1 que preserva
pontos antípodas.
CONCLUSÕES
Este trabalho permitiu o estudo de uma interessante interpretação do Teorema de Borsuk Ulam:
o Teorema do Tempo. Além disso, através deste projeto foi possível entrar em contato com o método
da Topologia Algébrica por meio do estudo de um de seus importantes invariantes algébricos: o Grupo
Fundamental associado a um espaço topológico X.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] MKrein,. and A. Nudelman, The Borsuk-Ulan Theorem- Horsing around with continuous functions
on a circle. Quantun, 16-20, 2000.
[2] Karol Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische sphäre, Fundamenta Mathematica,
(20)177 - 190, 1933.