X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
AS CONCEPÇÕES DE EULER E CAUCHY PARA O CONCEITO DE FUNÇÃO
CONTÍNUA NA PERSPECTIVA DE PIERRE BOUTROUX
Geslane Figueiredo da Silva Santana1
Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT
[email protected]
Michael Friedrich Otte2
Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT
[email protected]
Resumo: O presente artigo tem por objetivo estudar a evolução da matemática no
século XIX, com foco no desenvolvimento do conceito de função. Esta investigação se
resume à obra: O ideal Científico dos Matemáticos. Segundo a percepção do
matemático, filósofo e historiador Pierre Boutroux (1880-1922). Na visão de Boutroux a
matemática até o século XIX era sintética, e após, este período torna-se analítica. Podese identificar através da definição do conceito de função contínua estabelecida por
Euler, que era baseado em signos e fórmulas, a concepção sintética da matemática,
enquanto que, por meio da definição de Cauchy, fundamentada em conceitos, nota-se o
ideal analítico dos matemáticos. O ponto decisivo foi a clara distinção entre um conceito
e suas representações, uma distinção que foi percebida com maior clareza apenas no
século XIX. Para o avanço desta análise emprega-se o método histórico,
desenvolvendo-se assim uma pesquisa histórico-bibliográfica. Espera-se contribuir com
a Educação Matemática, apresentando um trabalho que possa auxiliar o professor em
sua didática, fortalecendo o espírito da criatividade na matemática.
Palavras-chave: História da Matemática; Filosofia da Matemática; Epistemologia;
Educação Matemática.
INTRODUÇÃO
No início do século XIX floresce um novo movimento, com um conhecimento
composto por novos objetos trazidos para o pensamento, e a partir desses são gerados
novos conhecimentos. O conceito de função foi uma peça fundamental, para que todas
essas idéias afluíssem, Otte afirma que este conceito “representa o verdadeiro núcleo da
famosa „revolução do rigor‟, introduzida em 1821 pelo Cours d’Analyse, de Cauchy.
Tentava-se reduzir o conceito de função ao discreto, à aritmética dos números naturais,
e assim eliminar a continuidade” (OTTE, 1993, p. 223).
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Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação – UFMT.
a
Prof . Dra. do Programa de Pós-Graduação em Educação – Orientador – UFMT.
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Essa transformação pode ser observada por meio da dificuldade que se
apresentou no desenvolvimento do conceito de função contínua, principalmente através
de como Euler o definiu. O conceito de função contínua é a peça fundamental para se
entender o desenvolvimento da matemática e as suas principais mudanças no século
XIX.
Para o matemático Pierre Boutroux “um dos mais importantes conceitos da
análise moderna é o conceito de função matemática” (BOUTROUX, 1920, p. 164). O
autor ainda escreve:
Na própria análise: temos antes todo o trabalho da concepção de
função y(x), isto é dizer, uma intuição da lei matemática após a qual,
quando escolhemos um valor arbitrário de x, encontra-se certo valor
de y para o mesmo desígnio, só depois esforçamo-nos para obter
equações que exprimam o menor mal possível desta estranha relação
das duas variáveis x e y.
(BOUTROUX, 1920, p. 206)
Segundo Boutroux (1920) o mais difícil para entender era exatamente o fato que
entre dois termos variando simultaneamente existe uma relação constante. A dificuldade
é sempre distinguir entre representação, fato ou objeto representado. Atualmente, para
os matemáticos é mais fácil aceitar o conceito de função contínua, entretanto, no ensino
esses problemas permanecem, pois o professor é seduzido a ensinar através de
exemplos, porém um exemplo só pode ser usado à base de uma representação, por isso,
nos dias atuais tem sido difícil concordar com esta concepção abstrata do conceito de
função, que transforma logo de início o próprio conceito num objeto completamente
desconhecido. Como afirma Boutroux: “a correspondência matemática não é uma
conseqüência das operações algébricas, mas é o próprio objeto que as determinam”
(BOUTROUX, 1920, p. 206). Ou seja, existe uma relação objetiva, que não deveria ser
confundida com uma representação, mas que mesmo assim pode ser introduzida na
atividade matemática através de uma representação particular
Para Boutroux (1920) na virada do século XIX a matemática deixa de ser
sintética e torna-se analítica, o autor ainda explica que a noção central da ciência de
Descartes e Leibniz era o signo ou o símbolo, onde a álgebra e a análise algébrica eram
uma arte simbólica, principalmente por este motivo é que atualmente a notação do
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Cálculo de Leibniz é mais utilizada do que a de Newton, pois a simbolização à torna
mais importante. Analisando por este prisma, tanto a matemática de Descartes e Leibniz
do século XVII e XVIII quanto à de Euler e Lagrange são baseadas na combinação de
signos, ou seja, uma matemática sintética, enquanto a matemática pura dos séculos XIX
e XX como a de Cauchy é uma ciência de conceitos, ou melhor, uma matemática
analítica.
A DISTINÇÃO ENTRE ANALÍTICO E SINTÉTICO NA CONCEPÇÃO DE PIERRE
BOUTROUX
O matemático francês Pierre Boutroux (1880-1922), foi historiador e filósofo da
matemática, o mesmo era sobrinho do matemático Henri Poincaré e filho do filósofo
Émile Boutroux. O foco das pesquisas de Boutroux é a evolução do pensamento
matemático em sua época. Em 1920, escreveu o livro O ideal Científico dos
Matemáticos, neste trabalho o autor defende a tese que houve não apenas uma
revolução, mas também uma ruptura na história da matemática ocorrida no final do
século XVIII, que apresentou como base dois eventos. No primeiro evento, a
matemática deixa de ser uma ciência sintética e torna-se uma ciência analítica, no
segundo, houve uma quebra da harmonia entre os meios e os objetos da matemática.
Segundo a visão de Boutroux (1920), a matemática dos séculos XVII e XVIII
era propriamente sintética, os matemáticos se preocupavam com o caminho para se
chegar aos resultados e se interessavam pela maneira ou pelo método.
Enquanto que a concepção analítica da matemática nos séculos XIX e XX não
está preocupada com o caminho, a tarefa ou a demonstração, mas com o próprio objeto.
Boutroux deixa bem claro isto quando afirma:
O que costumava ser mais interessante, era a demonstração, que foi os
processos e o sucesso dos cálculos; os resultados e as combinações
obtidas podendo evidentemente divergir em todos os sentidos e ser
multiplicado ao infinito, não se tinha lugar para atar um grande valor a
sua enumeração; a unidade que perseguia a ciência não podia ser uma
unidade de método. Atualmente, ao contrário, isto é que conta é o
resultado que dá ao trabalho sua unidade; os artifícios da
demonstração são apenas trabalhos de arte sem os quais, nós que não
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sabemos voar, estaríamos fora do estado de superar as dificuldades e
os acidentes do terreno que se encontram sobre nosso caminho (...).
As verdades matemáticas são fatos objetivos, independente de
nós e que descobrimos e analisamos, de certa maneira,
exteriormente (...). Inclinamo-nos, por outro lado, a ver na
demonstração o instrumento e não o fim da ciência.
(BOUTROUX, 1920, p. 211-212)
Boutroux (1920) ainda exemplifica esta mudança quando relata sobre a teoria
das equações algébricas de grau n: anxn + an-1xn-1 + ... + ax + a0 = 0, onde a resolução de
equação de grau superior à quatro não tinha solução. Até que Abel concluiu ser
impossível representar as raízes da equação geral de quinto grau, em termos de radicais.
Mas, foi graças ao trabalho de Galois que a teoria das equações repercutiria em novas
direções, para Galois “foi suficiente transmitir este impulso de modificar o enunciado
do problema posto, e „atacar de lado‟ a dificuldade que ele não podia abordar de frente”
(BOUTROUX, 1920, p. 186); desta forma, Galois não buscou uma expressão algébrica,
contudo procurou isolar certas famílias ou classes de equações tais que as raízes das
equações de uma mesma classe se exprimem por meio de fórmulas algébricas em
função umas das outras, assim todas as equações de uma classe seriam resolvidas ao
mesmo tempo.
Segundo Boutroux (1920), o objetivo do matemático da modernidade é:
“compor, a partir de elementos simples, a união cada vez mais complexa e construir a
partir das peças, sua própria indústria, o edifício da ciência, esta parece ser a tarefa do
matemático de agora em diante” (BOUTROUX, 1920, p. 182). Onde os objetos da
matemática se tornaram o próprio conceito.
A CONCEPÇÃO SINTÉTICA DE EULER
Leonhard Euler (1707-1783) nasceu na Suíça, em vida publicou cerca de 530
trabalhos entre artigos e livros. Otte afirma que Euler foi “o maior matemático do século
XVIII, uma personalidade como cientista que se sobressai na história da ciência pela
variedade e quantidade de sua produção científica” (OTTE, 1993, p. 228). Euler foi o
construtor das notações mais bem sucedidas em todos os tempos, entre estas se encontra
uma importante notação, que é a de f(x) usada para uma função de x (BOYER, 1996).
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Para as exigências da matemática do século XIX Euler não pensava em função de um
modo formal, mas na verdade confundiu a função com suas representações, sejam essas
uma curva traçada à mão livre sobre um plano ou “qualquer expressão analítica formada
daquela quantidade variável e de números ou quantidades constantes” (BOYER, 1996,
p. 306).
Este matemático escreveu um brilhante trabalho intitulado por Introduction in
Analysin Infinitorum (Introdução à Análise Infinitesimal) em 1748; que nos dias atuais
define a estrutura inicial da matemática nas universidades. Nesta obra Euler chamou de
quantidades constantes as iniciais do alfabeto a, b, c, etc. E de quantidades variável as
últimas letras do alfabeto z, y, x etc.(EULER, 1748).
Na referida obra Euler explica a diferença entre função contínua e função
descontínua segundo a sua visão, que logicamente, era baseada nos signos e na
combinação de signos e em fórmulas relacionadas à matemática de sua época. Para ele,
uma função é contínua quando é formada por uma única expressão analítica. Enquanto
as funções formadas por mais de uma expressão analítica, mesmo que o gráfico fosse
formado por apenas uma curva, eram consideradas como funções descontínuas
(PALARO, 2006).
A CONCEPÇÃO ANALÍTICA DE CAUCHY
No século XIX Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), era considerado um grande
matemático da década de 1820-30. Estudou na École Polytechnique e na Écola des
Ponts et Chaussées, formou-se em engenharia civil. Cauchy seguiu a tradição de
Lagrange se interessando por provas rigorosas e pela matemática pura em forma
elegante (BOYER, 1996).
O século XIX é considerado como: “o período do rigor na matemática”
(BOYER, 1996, p. 358); e Cauchy apresentando-se como matemático do século XIX,
que buscava o rigor, escreveu na introdução do Cours d‟Analyse de L‟Ècole Royale
Polytechnique: “Quanto aos métodos eu procurei lhes dar todo o rigor que se exige na
geometria, de maneira a jamais recorrer a argumentos deduzidos da generalidade da
álgebra”(CAUCHY, 1821, p. ij); Cauchy destaca-se como o matemático que forneceu
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uma definição satisfatória para o conceito de função contínua, ele definiu função da
seguinte forma:
Quando quantidades variáveis estão ligadas entre si, de tal modo que,
sendo fornecido o valor de uma delas, pode-se obter os valores de
todas as outras, concebe-se normalmente estas diversas quantidades
expressas por meio de uma dentre elas, que recebe, então, o nome de
variável independente; e as outras quantidades, expressas por meio da
variável independente, são as que se chamam de funções desta
variável.
(CAUCHY, 1821, p. 31)
Após definir função, Cauchy expõe uma definição para o conceito de limite e
infinitésimos, somente depois apresenta uma definição coerente para continuidade de
uma função, o próprio Cauchy relata: “Falando da continuidade das funções, eu não
pude deixar de apresentar as propriedades principais das quantidades infinitamente
pequenas, propriedades que servem de base ao cálculo infinitesimal” (CAUCHY, 1821,
p.ij). Cauchy apresenta a definição de continuidade como segue:
Seja f(x) uma função da variável x, e suponhamos que, para cada valor
de x intermediário entre dois limites dados, esta função admita
constantemente um valor único e finito. Se, partindo de um valor x
compreendido entre estes limites, atribui-se à variável x um acréscimo
infinitamente pequeno α, a própria função receberá por acréscimo a
diferença f(x+α)-f(x),que dependerá, ao mesmo tempo, da nova
variável α e do valor de x. Isto posto, a função f(x) será, entre os dois
limites atribuídos à variável x, função contínua desta variável, se, para
cada valor de x intermediário entre limites, o valor numérico da
diferença f(x+α)-f(x),decresce indefinidamente com aquele de α. Em
outros termos, a função f(x) permanecerá contínua em relação a x
entre os limites dados, se entre estes limites, um acréscimos
infinitamente pequeno dado, a variável produzir sempre um acréscimo
infinitamente pequeno da própria função.
Diz-se ainda que a função f(x) é, na vizinhança de um valor particular
atribuído à variável x, função contínua dessa variável, todas as vezes
que ela é contínua entre dois limites de x, mesmo muito próximos, que
contém o valor do qual se trata.
(CAUCHY, 1821, p. 43)
Cauchy destaca que: “Segundo a definição de Euler (...) uma simples mudança
de notação será suficiente, para transformar uma função contínua em descontínua e vice
versa (...). Assim, a característica da continuidade de funções proposta sobre o ponto de
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vista ao qual, os geômetras abordaram, é uma característica vaga e indeterminada”
(CAUCHY, 1844, p. 116-117). Neste texto, Cauchy mostrar ter total clareza de que o
modo como Euler definia função contínua era incoerente (PALARO, 2006).
Um perfeito exemplo da distinção de idéias a respeito da continuidade de função
entre Euler e Cauchy é apresentado por Belhoste:
A função
definida em
para
por
para
e
é descontínua no sentido de Euler,
porque ela é definida por várias expressões analíticas diferentes sobre
, mas ela é contínua no sentido de Cauchy.
(BELHOSTE, 1985, p. 62)
Cauchy não se satisfaz com o conceito de função de Euler baseado em símbolos,
ele pensa em função contínua a base do próprio conceito de contínuo, para tanto ele
escreveu uma definição para função contínua, totalmente por meio de conceitos.
CONSIDERAÇÕES
A concepção de analítico e sintético é largamente discutida na história e filosofia
da matemática; é relevante observar que cada pensador aplica uma definição e aponta
características na matemática que fornecem suporte a sua teoria, contudo, este artigo
procura delinear a posição de Pierre Boutroux.
Uma das principais características da concepção matemática analítica destacada
por Boutroux (1920) é exatamente a criatividade, ou seja, as várias maneiras utilizadas
para solucionar um problema, quando não se podia resolvê-lo de um modo, a
criatividade entrava em ação e um novo método se desvendava, Boutroux afirma:
Isto que nos aparece primeiramente quando comparamos a matemática
de nosso tempo com aquela da época anterior, é a extraordinária
diversidade e o aspecto imprevisto das vias e dos rodeios onde esta
ciência está empregada esta desordem aparente dentro da qual ela
executa suas marchas.
(BOUTROUX, 1920, p. 184)
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Uma das necessidades básicas da Revolução Industrial foi a formação de
engenheiros, neste contexto coube aos matemáticos a incumbência de ensinar não
apenas para um ou dois alunos, mas para turmas de engenheiros com vários alunos,
tendo assim que ampliar sua criatividade.
REFERÊNCIAS
BELHOSTE, Bruno. Cauchy: um mathématicien légitimiste au XIXe siècle. Paris:
Berlim, 1985.
BOUTROUX, Pierre. L’Idéal Sientífique des Mathématiciens: dans l‟antiquité et
dans les temps modernes. Paris: F. Alcan, 1920. 274p.
BOYER, Carl. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996. 496p.
CAUCHY, Augustin-Louis. Cours d‟Analyse de L‟École Royale Polytechnique. Paris,
1821. (re-impresso em Ouvres Completès, série 2, v.3. Paris: Gauthier-Villars, 1899).
CAUCHY, Augustin-Louis. Mémoire sur les fonctions continues. In: C. R. Acad. Sci.,
v. 18, p.116, 1844. (re-impresso em Ouvres Completès, série 1, v.8. Paris).
EULER, Leonhard. (1748). Intruduction in Analysin Infinitorum. Reprint Springer
Heidelberg, 1980.
OTTE, Michael. A Realidade das Idéias: uma perspectiva epistemológica para a
Educação Matemática. Cuiabá: Universidade Federal de Mato Grosso (no prelo) 2009.
149p.
OTTE, Michael. O Formal, o Social e o Subjetivo: uma introdução à Filosofia e à
didática da Matemática. São Paulo: Universidade Estadual Paulista, 1993. 323p.
OTTE, Michael. Complementarity, sets and numbers. In: Educational Studies in
Mathematics, v.58, p.203-228. 2003.
PALARO, Luzia. A Concepção de Educação Matemática de Henri Lesbegue. 2006.
242f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Área de concentração: Matemática –
Programa Pós-Graduação em Educação Matemática, PUC, São Paulo.
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