Programa de Pós-Graduação em Fı́sica
Curso de Inverno - 2011-2: Introdução ao Cálculo
CURSO DE INVERNO:
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Pró-Reitoria de Ensino de Graduação/UFSC
Pró-Reitoria de Ensino de Pós-Graduação/UFSC
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica - CFM/UFSC
Projeto REUNI – Reestruturação e Expansão das Universidades Federais
palavra
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica
Curso de Inverno - 2011-2: Introdução ao Cálculo
CURSO DE INVERNO:
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Elaboração:
Carlos Gentil Oro Lemos (Mestrando em Fı́sica)
Fábio Rafael Herpich (Doutorando em Fı́sica)
Luana Lacy Mattos (Doutoranda em Fı́sica)
Marcelo Ribeiro (Doutorando em Fı́sica)
Rafael Serpa (Mestrando em Fı́sica)
Coordenação:
Fábio Rafael Herpich (Doutorando em Fı́sica)
Supervisão:
Prof. Dr. Marcelo Henrique Romano Tragtenberg
(Departamento de Fı́sica - UFSC)
Edição e Diagramação:
Fábio Rafael Herpich (Doutorando em Fı́sica)
Cronograma e ministrantes:
01/08/2011 - Funções: Conceito, Domı́nio, Imagem e Gráfico e Tipos
Especiais de funções (Carlos Gentil Oro Lemos)
02/08/2011 - Funções: Operações com Funções e Função Inversa
(Luana Lacy Mattos)
03/08/2011 - Funções: Funções Exponenciais e Logarı́tmicas e Funções
Trigonométricas (Marcelo Ribeiro)
04/08/2011 - Limites: Limites de Funções, Limites Laterais e
Indeterminações (Fábio Rafael Herpich)
05/08/2011 - Limites: Limites no Infinito e Limites Infinitos, Limites
Fundamentais e Funções Contı́nuas (Rafael Serpa)
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palavr2
Sumário
1 Funções
1.1 Conceito, domı́nio, imagem e gráfico . . . . . .
1.1.1 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . .
1.2 Tipos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Paridade das funções . . . . . . . . . . .
1.2.2 Monotonicidade de funções . . . . . . . .
1.2.3 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . .
1.3 Tipos especiais de funções . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Função constante . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Função polinomial . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . .
1.4 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Operações entre funções e números reais
1.4.2 Operações entre funções (f (x) + g(x)) .
1.4.3 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . .
1.5 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . .
1.6 Funções exponenciais e logarı́tmicas . . . . . . .
1.6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . .
1.6.2 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . .
1.6.3 Função Logarı́tmica . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . .
1.7 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Funções Trigonométricas . . . . . . . . .
1.7.2 Funções Trigonométricas Inversas . . . .
1.7.3 Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . .
1.8 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . .
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5
5
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11
12
12
12
23
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26
30
33
35
39
39
40
41
42
42
43
44
46
47
48
2 Limites de funções e funções contı́nuas
52
2.1 Limites de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.1 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3
Sumário
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Limites laterais . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Exercı́cios Propostos . . . . .
Indeterminações . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Exercı́cios propostos . . . . .
Limites no infinito e limites infinitos
2.4.1 Limites no infinito . . . . . .
2.4.2 Exercı́cios Propostos . . . . .
2.4.3 Limites infinitos . . . . . . . .
2.4.4 Exercı́cios Propostos . . . . .
Limites fundamentais . . . . . . . . .
2.5.1 Primeiro limite fundamental .
2.5.2 Exercı́cios Propostos . . . . .
2.5.3 Segundo limite fundamental .
2.5.4 Exercı́cios Propostos . . . . .
2.5.5 Terceiro limite fundamental .
2.5.6 Exercı́cios Propostos . . . . .
Funções contı́nuas . . . . . . . . . . .
2.6.1 Exercı́cios Propostos . . . . .
Respostas . . . . . . . . . . . . . . .
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63
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67
67
70
70
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71
72
73
73
74
74
75
75
77
77
palavra4
Capı́tulo 1. Funções
Capı́tulo 1
Funções
1.1
Conceito, domı́nio, imagem e gráfico
Vamos apresentar aqui um dos conceitos mais importantes da Matemática.
É um conceito ue faz parte do “vocabulário”básico da Matemática.
Definição - Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou
aplicação) de A em B, representada por f : A → B; y = f (x), a
qualquer relação binária que associa a cada elemento de A à um único
elemento de B.
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se
que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B, podendo, entretanto
existir y ∈ B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente
ao conjunto A.
Observação - Na notação y = f (x), entendemos que y é imagem de x pela
função f , ou seja, y está associado a x através da função f .
palavra5
Capı́tulo 1. Funções
Exemplo - Seja a função f (x) = 4x + 3, então f (2) = 4.2 + 3 = 11, portanto,
11 é imagem de 2 pela função f ; f (5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 é
imagem de 5 pela função f , f (0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domı́nio e
Contradomı́nio) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento
do domı́nio a um e somente um elemento do contradomı́nio.
Quando D(f ) (domı́nio) ⊂ R e CD(f ) (contradomı́nio) ⊂ R, sendo
R o conjunto dos números reais, dizemos que a função f é uma função real
de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de
variável real como sendo apenas a lei y = f (x) que a define, sendo o conjunto
dos valores possı́veis para x, chamado de domı́nio e o conjunto dos valores
possı́veis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, por
1
exemplo, para a função definida por y = , temos que o seu domı́nio é
x
D(f ) = R∗ , ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que
não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R∗ , já que
1
1
se y = , então x = , portanto y também não pode ser zero. Lê-se “contido
x
y
em”.
Dada uma função f : A → B definida por y = f (x), podemos representar os pares ordenados (x, y) ∈ f onde x ∈ A e y ∈ B, num sistema de
coordenadas cartesianas. O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f ,
podemos dizer que:
a) A projeção da curva sobre o eixo dos x nos dá o domı́nio da função.
b) A projeção da curva sobre o eixo dos y nos dá o conjunto imagem da
função.
c) Toda reta vertical que passa por um ponto do domı́nio da função, intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto.
Isso pode ser verificado no na Figura 1.1.
√
Exemplo - Dada a função f : {−3, 2, 0, 5} → R, definida pela fórmula
f (x) = 2x2 + 1. Determine a sua imagem.
√
Neste exercı́cio, o domı́nio é dado, ele vale D = {−3, 2, 0, 5} e o contradomı́nio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de
um número é o elemento pertencente ao contradomı́nio que está relacionado à este número, e para achar este número devemos aplicar sua
lei de formação.
palavra6
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.1: Gráfico da função f (x).
- a imagem do −3 é também representada por f (−3), e f (−3) =
2(−3)2 + 1, então f (−3) = 19;
- f (2) = 2(2)2 + 1, então f (2) = 9;
2
- f (0)
então f (0) =√1;
√ = 2(0)√+ 1,
- f ( 5) = 2( 5)2 + 1, então f ( 5) = 11.
Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domı́nio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im = {19, 9, 1, 11}.
1.1.1
Exercı́cios Propostos
5
.
x+4
√
2. Determine o domı́nio e imagem da função f (x) = 2x + 6.
√
2x + 5
3. Dada a função f (x) =
, determine seu domı́nio.
x−2
1. Determine o domı́nio e imagem da função real y =
palavra7
Capı́tulo 1. Funções
1.2
Tipos de funções
Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomı́nio.
Função injetora
Uma função y = f (x) é injetora quando elementos distintos do seu domı́nio
possuem imagens distintas, isto é, x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
Função bijetora
Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora.
palavra8
Capı́tulo 1. Funções
Exemplo - Considere três funções f , g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada paı́s, a sua capital.
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f , g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas.
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domı́nio,
possuem imagens distintas, ou seja,
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois paı́ses distintos com a mesma capital. h é injetora, pois dois números naturais distintos possuem os seus
dobros também distintos. Assim é que concluı́mos que a alternativa
correta é a de letra c).
1.2.1
Paridade das funções
Função par
A função y = f (x) é par, quando ∀ x ∈ D(f ), f (−x) = f (x), ou seja, para
todo elemento do seu domı́nio, f (x) = f (−x). Portanto, numa função par,
elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma consequência desse
fato é que os gráficos cartesianos das funções pares são curvas simétricas em
relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas. O sı́mbolo ∀ lê-se “para todo”.
palavra9
Capı́tulo 1. Funções
Exemplo - y = x4 + 1 é uma função par, pois f (x) = f (−x), para todo x.
Por exemplo, f (2) = 24 + 1 = 17 e f (−2) = (−2)4 + 1 = 17.
Função ı́mpar
A função y = f (x) é ı́mpar, quando ∀ x ∈ D(f ), f (−x) = −f (x), ou
seja, para todo elemento do seu domı́nio, f (−x) = −f (x). Portanto, numa
função ı́mpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ı́mpares são
curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
palavra10
Capı́tulo 1. Funções
Observação - Se uma função y = f (x) não é par nem ı́mpar, diz-se que ela
não possui paridade.
O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a
curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação
à origem.
1.2.2
Monotonicidade de funções
Define se a função é crescente ou decrescente.
Definição - Sejam (A, >) e (B, >) conjuntos ordenados. Então
1. f
∀
2. f
∀
3. f
∀
4. f
∀
1.2.3
é estritamente crescente quando
x, y ∈ A, (x > y =⇒ f (x) > f (y)).
é estritamente decrescente quando
x, y ∈ A, (x > y =⇒ f (y) > f (x)).
é monótona não-decrescente quando
x, y ∈ A, (x > y =⇒ f (x) > f (y)).
é monótona não-crescente quando
x, y ∈ A, (x > y =⇒ f (y) > f (x)).
Exercı́cios Propostos
4. Determine quais das funções abaixo são pares, ı́mpares ou sem paridade.
a) sen x
b) cos x
c) tan x
d) x
e) x2
f ) x2 + 78
g) x5 + x4
h) (sen x)2 + (cos x)2 i) tan x + sen x
sen x
x2 + 3
l)
j) x2 + cos x k) 4
x + 22
x
m) |x3 + x5 |
palavra11
Capı́tulo 1. Funções
1.3
1.3.1
Tipos especiais de funções
Função constante
Uma função é dita constante quando é do tipo f (x) = k, onde k não
depende de x.
Alguns exemplos de funções constantes são as funções f (x) = 5 e f (x) = −3.
Observação - O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo
dos x.
1.3.2
Função polinomial
As funções polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. O
grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da
variável do polinômio, ou seja, é o valor de n da função
P (x) =
n
X
ai x i .
i=0
Sejam f (x) e g(x) polinômios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes leis:
a) O grau de f (x).g(x) é a soma do grau de f (x) e do grau de g(x).
b) Se f (x) e g(x) têm grau diferente, então o grau de f (x) + g(x) é igual ao
maior dos dois.
c) Se f (x) e g(x) têm o mesmo grau, então o grau de f (x) + g(x) é menor
ou igual ao grau de f (x).
palavra12
Capı́tulo 1. Funções
Funções polinomiais de primeiro grau
Uma função é dita do 1º grau, quando é do tipo y = ax + b, onde a 6= 0.
São exemplos de funções do 1º grau f (x) = 3x + 12, onde a = 3 e b = 12, e
f (x) = −3x + 1, onde a = −3 e b = 1.
Propriedade 1 - O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta.
Propriedade 2 - Na função f (x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e
se b 6= 0, f é dita função afim.
Propriedade 3 - O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f (x) = 0
b
e, portanto, no ponto de abcissa x = − .
a
Propriedade 4 - O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0, b), onde b é
chamado coeficiente linear.
Propriedade 5 - O número a é chamado coeficiente angular da reta e fornece
a inclinação da mesma.
Propriedade 6 - Se a > 0, então f é crescente.
Propriedade 7 - Se a < 0, então f é decrescente.
Exemplo - Determine a função f (x) = ax + b, sabendo-se que f (2) = 5 e
f (3) = −10.
Podemos escrever
5 = 2.a + b
−10 = 3.a + b
Fazendo a subtração da relação de cima pela de baixo, temos
palavra13
Capı́tulo 1. Funções
5 − (−10) = 2a + b − (3a + b)
15 = −a, logo,
a = −15
Substituindo o valor de a em uma das duas equações, temos
5 = 2(−15) + b
b = 35
Escolhemos a primeira equação para esta substituição, mas poderı́amos
escolher a segunda que resultado seria o mesmo. Encontrados os valores
de a e b, temos a função procurada
y = −15x + 35.
Funções polinomiais de segundo grau
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f (x) = ax2 +bx+c, com a 6= 0.
São exemplos de funções do segundo grau as funções f (x) = x2 − 2x + 1, com
a = 1, b = −2, c = 1, e y = −x2 , com a = −1, b = 0, c = 0.
Graficamente a função do 2º grau y = ax2 +bx+c é sempre uma parábola
de eixo vertical.
Suas raı́zes são encontradas utilizando-se da Fórmula de Bhaskara
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Propriedade 1 - Se a > 0, a parábola tem um ponto de mı́nimo.
Propriedade 2 - Se a > 0, a parábola tem um ponto de máximo.
palavra14
Capı́tulo 1. Funções
Propriedade 3 - O vértice da parábola é o ponto V (xv , yv ) onde
b
xv = −
2a
D
yv = − , onde D = b2 − 4ac.
4a
Propriedade 4 - A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas
x' e x'', que são as raı́zes da equação ax2 + bx + c = 0.
Propriedade 5 - A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
D
, (a < 0)
4a
D
= − , (a > 0)
4a
Propriedade 6 - ymax = −
Propriedade 7 - ymin
Propriedade 8 - Forma fatorada: sejam x1 e x2 as raı́zes de f (x) = ax2 +
bx + c, então ela pode ser escrita na forma fatorada da seguinte forma
y = a(x − x1 )(x − x2 ).
Exemplo - Esboce o gráfico da função f (x) = x2 − x − 2.
Vamos primeiro calcular as raı́zes usando Bhaskara. Os coeficientes
são: a = 1, b = −1 e c = −2. Colocando na fórmula de Bhaskara,
temos
p
√
−(−1) ± (−1)2 − 4· 1· (−2)
1± 1+8
=
x=
2· 1
2

1
+
3

0
1±3 x = 2 =2
x=
 x00 = 1 − 3 = −1
2 
2
As duas raı́zes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a
parábola corta o eixo x. No gráfico, fica
palavra15
Capı́tulo 1. Funções
Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o
c. Ele vale –2, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo y
no ponto –2. Vamos marcá-lo
Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo
b sabemos que logo após o ponto de corte com y ela tem que descer.
Traçando o esboço, temos o seguinte
Curiosidade - Como chegar na Fórmula de Bhaskara
A ideia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo à fatorá-lo num
palavra16
Capı́tulo 1. Funções
quadrado perfeito. Assim, inicialmente multiplicamos a igualdade por
4a e em seguida somamos b2 aos dois lados da igualdade
ax2 + bx + c = 0
4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0
4a2 x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2
4a2 x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac
(2ax + b)2 = b2 − 4ac
√
2ax + b = ± b2 − 4ac
√
2ax = −b ± b2 − 4ac
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Função módulo
O conceito de módulo de um número real está associado à ideia de distância
de um ponto da reta à origem. Como existe uma correspondência biunı́voca entre os pontos da reta e os números reais, pensar na distância de um
ponto à origem ou pensar no módulo de um número é exatamente a mesma
coisa.
Assim, |5| = | − 5| = 5, pois o número 5 está a uma distância de 5
unidades da origem, e -5 também está a 5 unidades da origem. De modo
geral podemos dizer que
se a > 0, |a| = a
se a < 0, |a| = −a
se a = 0, |a| = 0
palavra17
Capı́tulo 1. Funções
Definimos então uma função que, a cada número real x associa o módulo
de x, ou seja, a distância de x à origem. Temos assim
x
se x > 0
f (x)
−x se x < 0
O gráfico dessa função tem o seguinte aspecto
Pois, para os valores positivos ou zero da variável independente x, o valor
da variável dependente y é o mesmo que x, pois y = x; para valores negativos
de x o valor de y é −x, pois y = x. Dessa forma, o gráfico é constituı́do de
duas semi-retas de mesma origem. Outra maneira interessante de olhar para
o gráfico de y = |x| é considerar que ele coincide com a reta y = x para valores
de x positivos ou zero, enquanto que para valores negativos de x tomamos a
semi-reta “rebatida”, pois, nesse caso, |x| = −x. Esta semi-reta “rebatida”,
evidentemente, é simétrica da original em relação ao eixo horizontal.
palavra18
Capı́tulo 1. Funções
Essa última consideração nos permite rapidamente entender como será o
gráfico de y = |f (x)| para uma dada função f conhecida. De fato
f (x)
se f (x) > 0
|f (x)| =
.
−f (x) se f (x) < 0
Portanto, seu gráfico está sujeito às seguintes caracterı́sticas
a) Coincide com o gráfico de f para todos os valores da variável independente
x nos quais a variável dependente é positiva ou zero.
b) É o desenho da função “rebatido”, ou seja, simétrico com relação ao eixo
horizontal do gráfico de f para todos os valores da variável independente x nos quais a variável dependente é negativa.
Dada uma função f , podemos pensar na função g(x) = f (|x|).
De fato, pela definição da função valor absoluto de um número real, a
função g pode ser entendida como sendo
f (x)
se x > 0
f (x) =
f (−x) se x < 0
Observemos que para a construção desse novo gráfico só são considerados os
valores de f em que a variável x é não negativa. Isto é, para x assumindo
valores positivos ou zero, a função g coincide com a função f , e para x
assumindo valores negativos, a função g é igual à função f calculada no
oposto de x. Assim
palavra19
Capı́tulo 1. Funções
A parte do gráfico de f em que x é negativo é irrelevante para a construção
do gráfico de g, ou seja, o gráfico de g apresenta simetria em relação ao eixo
vertical.
Função Racional
Uma função racional é da forma
f (x) =
p(x)
q(x)
onde p e q são polinômios.
O domı́nio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais,
com exceção daqueles que anulam o denominador (as raı́zes de q).
O gráfico de uma função racional tem assı́ntotas verticais nestes pontos
em que o denominador se anula, quando isso ocorre. Também pode ter
assı́ntotas horizontais, que ocorrem se f (x) se aproxima de um valor finito
quando x → ±∞ ou então x → −∞.
O comportamento de uma função quando x → ±∞ é chamado limite no
infinito.
“Assı́ntotas” são retas das quais o gráfico aproxima-se cada vez mais, sem
nunca tocá-las.
Consideremos a função racional f , definida por
f (x) =
x2 − 4
x2 − 1
Nota-se que o valor x = 1 e x = −1 não estão contidos no domı́nio da
função.
palavra20
Capı́tulo 1. Funções
Função Periódica
A função f : A → R será considerada periódica se houver p ∈ R∗ tal que
f (x + p) = f (x) para todo x em A.
Se f (x + p) = f (x) para todo x em A, temos
f (x) = f (x + p) = f (x + 2p) = . . . = f (x + kp)
x ∈ A e k ∈ Z∗ .
Se f : A ∈ R for considerada uma função periódica, o menor valor positivo
de p será denominado perı́odo de f , no qual indicamos por P (f ).
Função limitada
A função f : A ∈ R será considerada limitada superiormente se houver b ∈ R
tal que f (x) > b, para todo x em A.
palavra21
Capı́tulo 1. Funções
A função f : A ∈ R será considerada limitada inferiormente se houver
a ∈ R tal que f (x) > a, para todo x em A.
A função f : A ∈ R será considerada limitada, se f for limitada inferior
e superior, isto é, ∀ x ∈ A, f : A → R é limitada se, e somente se, existe
a, b ∈ R onde a 6 f (x) 6 b.
A função f : A ∈ R será considerada limitada no gráfico cartesiano se ele
estiver inteiramente dentro de uma faixa horizontal.
palavra22
Capı́tulo 1. Funções
1.3.3
Exercı́cios Propostos
5. (UNIFOR) A função f , do 1º grau, é definida por f (x) = 3x + k. O
valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto
de ordenada 5 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. (EDSON QUEIROZ - CE) O gráfico abaixo representa a função de R
em R dada por f (x) = ax + b (a, b ∈ R). De acordo com o gráfico
conclui-se que:
palavra23
Capı́tulo 1. Funções
a) a < 0 e b > 0
b) a < 0 e b < 0
c) a > 0 e b > 0
d) a > 0 e b < 0
e) a > 0 e b = 0
7
5
7. Calcule a raiz da função y = x − .
3
8
8. (UNIFORM) O gráfico da função f , de R em R, definida por f (x) =
x2 + 3x − 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A
distância AB é igual a:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
9. (CEFET - BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só
intersecção com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Então, os
valores de a e b obedecem à relação:
a) b2 = 4a
b) −b2 = 4a
c) b = 2a
d) a2 = −4a
e) a2 = 4b
10. (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada
para baixo, tangente ao eixo das abscissas:
a) y = x2
b) y = x2 − 4x + 4
c) y = −x2 + 4x − 4
d) y = −x2 + 5x − 6
e) y = x − 3
11. (UEL) A função real f , de variável real, dada por f (x) = −x2 +12x+20,
tem um valor:
a) mı́nimo, igual a −16, para x = 6.
b) mı́nimo, igual a 16, para x = −12.
palavra24
Capı́tulo 1. Funções
c) máximo, igual a 56, para x = 6.
d) máximo, igual a 72, para x = 12.
e) máximo, igual a 240, para x = 20.
12. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado
por L(x) = 100(10 − x)(x − 4). O lucro máximo, por dia, é obtido com
a venda de:
a) 7 peças
b) 10 peças
c) 14 peças
d) 50 peças
e) 100 peças
13. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f (x) =
−2x2 + 4x + 12, o valor máximo desta função é:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 12
e) 14
14. (ACAFE) Seja a função f (x) = −x2 − 2x + 3 de domı́nio [−2, 2]. O
conjunto imagem é:
a) [0, 3]
b) [−5, 4]
c) ] − 3, 4]
d) [−3, 1]
e) [−5, 3]
15. Dada a função |x–2| = 3, ache os valores possı́veis para x.
16. Dada a função |x2 –3| = 13, ache os valores possı́veis para x.
17. Dada a função |x + 3| = 2x − 5, ache os valores possı́veis para x.
palavra25
Capı́tulo 1. Funções
1.4
Operações com funções
Podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir os números reais de
forma a encontrar novos números reais. Analogamente, também podemos
fazer estas operações com funções de forma a encontrar novas funções. Estas
operações serão definidas a seguir.
1.4.1
Operações entre funções e números reais
Aplicando certas operações entre uma função e um número real podemos encontrar novas funções cujos gráficos estão relacionados entre si por
deslocamentos, expansão ou reflexão. Isto nos capacita a fazer facilmente o
esboço de muitos gráficos de funções.
a) Translações - Consideremos inicialmente, as translações, que são deslocamentos do gráfico de uma função em k unidades (para cima, para
baixo, para a direita ou para a esquerda).
Seja f (x) uma função e k um número real positivo (k > 0). Podemos
produzir uma nova função g(x) pela soma de f (x) com k, onde g(x) =
f (x) + k. O gráfico de g(x) será igual ao gráfico de f (x) deslocado para
cima em k unidades (uma vez que cada coordenada f (x) fica acrescida
pelo mesmo número k). Ou seja, g(x) é uma translação vertical de
f (x) em k unidades para cima. Da mesma forma, se fizermos h(x) =
f (x − k), então o valor de h em x é igual ao valor de f em x − k.
Portanto, o gráfico de h(x) = f (x − k) será igual ao gráfico de f (x)
deslocado em k unidades para a direita (uma translação horizontal).
As diferentes translações (horizontais e verticais) estão resumidas abaixo
e exemplificadas na Figura 1.2.
Translações horizontais e verticais: Seja f (x)
um número real positivo (k > 0)
Translação horizontal:
g(x) = f (x) + k, desloque o gráfico de y = f (x) em
cima.
g(x) = f (x) − k, desloque o gráfico de y = f (x) em
baixo.
Translação Vertical:
g(x) = f (x + k), desloque o gráfico de y = f (x) em
a esquerda.
g(x) = f (x − k), desloque o gráfico de y = f (x) em
a direita.
uma função e k
k unidades para
k unidades para
k unidades para
k unidades para
palavra26
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.2: Exemplificações de novas funções g(x) obtidas por translações
horizontais e verticais do gráfico de f (x). (Imagem adaptada da referência:
Stewart, J., Cálculo, vol.1, 6ª edição, Cengage Learning, 2010.)
Exemplo 1.3.1 - Dado y = x, use o gráfico desta função e as transformações
para obter os gráficos de y1 = x + 2 e y2 = x–2.
Sabendo que o gráfico da função y = x é uma reta com inclinação de
45° com o eixo x. Desenhando todos os gráficos no mesmo sistema de
coordenadas, basta observarmos que y1 = y + 2, ou seja, o gráfico de
y1 é igual ao gráfico de y deslocado em 2 unidades para cima. Analogamente, observa-se que y2 = y − 2, ou seja, o gráfico de y2 é igual ao
gráfico de y deslocado em 2 unidades para baixo. Estes gráficos estão
representados na Figura 1.3.
b) Expansões e Compressões - Seja f (x) uma função e k um número real
positivo (k > 0). Podemos produzir uma nova função g(x) pela mul-
palavra27
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.3: Gráficos de y, y1 e y2 .
tiplicação de f (x) por k, onde g(x) = k· f (x). O gráfico de g(x) será
igual ao gráfico de f (x) expandido por um fator k na direção vertical
(pois cada coordenada de f (x) fica multiplicada pelo mesmo número k).
Podemos também produzir uma nova função h(x) da seguinte forma:
h(x) = f (x.k). Neste caso, o gráfico de h(x) será igual ao gráfico de
f (x) comprimido horizontalmente por um fator k, pois o valor de h em
x será igual ao valor de f em x.k.
As diferentes expansões e compressões estão resumidas abaixo.
palavra28
Capı́tulo 1. Funções
Expansões e Compressões horizontais e verticais: Seja f (x)
uma função e k um número real positivo (k > 0)
Expansão:
g(x) = k.f (x), expanda verticalmente o gráfico de y = f (x) por um
fator k.
g(x) = f ( xk ), expanda horizontalmente o gráfico de y = f (x) por um
fator k.
Compressão:
g(x) = ( k1 ).f (x), comprima verticalmente o gráfico de y = f (x) por
um fator k.
g(x) = f (k.x), comprima horizontalmente o gráfico de y = f (x) por
um fator k.
Exemplo - Dada a função cosseno (y = cos x). A Figura 1.4 ilustra as
transformações de expansão e compressão aplicadas a esta função com
k = 2. Por exemplo, para obter o gráfico de y = 2. cos x, multiplicamos
todas as coordenadas y do gráfico de cos x por 2. Isso significa que
o gráfico de y = 2. cos x é igual ao gráfico de y = cos x expandido
verticalmente por um fator 2.
Figura 1.4: Exemplificações de expansões e compressões do gráfico de y =
cos x. (Imagem adaptada da referência: Stewart, J., Cálculo, vol.1, 6ª edição,
Cengage Learning, 2010.)
c) Reflexões - Seja f (x) uma função. O gráfico de g(x) = −f (x) é o gráfico
de f (x) refletido em torno do eixo x, pois o ponto (x, y) será substituı́do
pelo ponto (x, −y). De forma análoga o gráfico de h(x) = f (−x) será
igual ao gráfico de f (x) refletido em torno do eixo y. Estas regras estão
resumidas abaixo e exemplificadas na Figura 1.5.
palavra29
Capı́tulo 1. Funções
Reflexões: Seja f (x) uma função.
g(x) = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x.
g(x) = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y.
Figura 1.5: Reflexões do gráfico de f (x).(Imagem adaptada da referência:
Stewart, J., Cálculo, vol.1, 6ª edição, Cengage Learning, 2010.)
1.4.2
Operações entre funções (f (x) + g(x))
Além das operações entre funções e números reais, também podemos
fazer operações entre duas funções de maneira a formar novas funções. Assim, dado duas funções, f (x) e g(x), podemos combiná-las para formar novas
funções através da soma, subtração, multiplicação, divisão e composição destas funções (f + g, f − g, f.g, f /g, f ◦ g). Estas novas funções serão definidas
a seguir.
palavra30
Capı́tulo 1. Funções
a) Soma e Diferença - Dadas as funções f e g, sua soma (f + g) e diferença
(f − g) são assim definidas:
i) soma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
ii) diferença (f − g)(x) = f (x) − g(x)
o domı́nio das novas funções f + g e f − g é a intersecção dos domı́nios
de f e g. Ou seja, se o domı́nio de f é A e o domı́nio de g é B, então o
domı́nio de (f + g) é a intersecção A ∩ B, pois tanto f (x) quanto g(x)
devem estar definidas.
b) Produto (multiplicação) - Dadas as funções f e g, seu produto é assim
definido:
(f.g)(x) = f (x).g(x).
O domı́nio de f.g é a intersecção dos domı́nios de f e g (A ∩ B).
c) Quociente (divisão) - Dadas as funções f e g, seu quociente é assim definido:
f (x)
f
(x) =
.
g
g(x)
O domı́nio de f /g é a intersecção dos domı́nios de f e g, excluindo-se
os pontos onde g(x) = 0, pois não podemos fazer a divisão por zero.
Assim o domı́nio de f /g é {x ∈ A ∩ B | g(x) 6= 0}.
√
√
Exemplo - Sejam f (x) = 4 − x e x − 2. As funções soma, diferença,
produto e quociente de f com g são:
√
√
(f + g)(x) = 4 − x + x − 2
(f − g)(x) =
√
4−x−
√
x−2
p
√
4 − x· x − 2 = (4 − x)(x − 2)
r
√
4−x
4−x
=
.
(f /g)(x) = √
x−2
x−2
(f.g)(x) =
√
Como o domı́nio de f é D(f ) = (−∞, 4] e o domı́nio de g é D(g) =
[4, +∞), então o domı́nio de f +g, f −g e f.g é intersecção dos domı́nios
de f e g, ou seja, é [2, 4]. O domı́nio de f /g é (2, 4], onde o ponto 2 foi
excluı́do porque g(x) = 0 quando x = 2.
d) Composição - Além das operações básicas (soma, subtração, multiplicação
e divisão), existe ainda uma outra maneira de combinar duas funções
palavra31
Capı́tulo 1. Funções
para obter uma nova função, a composição de funções. Dadas duas
funções f e g, a função composta de g com f , denotada por g ◦ f (“ g
bola f ”), é definida por:
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
O domı́nio de g ◦ f é o conjunto de todos os pontos x no domı́nio de f
tais que f (x) está no domı́nio de g. Simbolicamente temos D(g ◦ f ) =
{x ∈ D(f )/f (x) ∈ D(g)}.
Podemos também representar a função composta pelo diagrama abaixo
(Figura 1.6).
Figura 1.6: Diagrama representando a operação de composição de funções.
(Imagem retirada de função composta. In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto
Editora, 2003-2011. [Consult. 2011-07-11]).
Exemplo - Sejam f (x) = x2 e g(x) = x − 1, encontre as funções compostas
f ◦ g e g ◦ f.
Temos,
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) = (x − 1)2 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) =
g(x2 ) = x2 − 1
Obs: Note que no exemplo acima f ◦ g 6= g ◦ f . Isto acontece em geral,
ou seja, a composição de funções não é comutativa.
√
Exemplo - Sejam f (x) = 2x − 5 e g(x) = x. Encontre cada uma das
funções abaixo e seus respectivos domı́nios.
palavra32
Capı́tulo 1. Funções
a) f ◦ g
b) g ◦ f
c) f ◦ f
d) g ◦ g
Primeiro precisamos conhecer os domı́nios de f e g. O domı́nio de f é
D(f ) = (−∞, +∞) e o domı́nio de g é D(g) = [0, +∞).
√
√
a) (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 2 x − 5
O domı́nio de f ◦ g é o conjunto de todos os valores de x no
domı́nio de g tal que g(x) esteja no domı́nio de f , ou seja
D(f ◦ g) = {x ∈ D(g) = [0, +∞)/g(x) ∈ D(f ) = (−∞, +∞)} =
[0, +∞).
√
b) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x − 5) = 2x − 5
D(g ◦ f ) = {x ∈ D(f ) = (−∞, +∞)/f (x) ∈ D(g) = [0, +∞)} =
[5/2, +∞)
Pois, f (x) = 2x − 5 deve estar dentro do domı́nio de g, ou seja,
5
f (x) = 2x − 5 > 0, o que significa que 2x > 5, então x > .
2
c) (f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f (2x − 5) = 2(2x − 5) − 5 = 4x − 10 − 5 =
4x − 15
D(f ◦ f ) = (−∞, +∞).
√
d) (g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g( x) = x1/4
D(g ◦ g) = [0, +∞).
1.4.3
Exercı́cios Propostos
18. Suponha que seja dado o gráfico de y = f (x). Escreva as equações para
as novas funções g(x), cujos gráficos sejam obtidos a partir do gráfico
de f (x), da seguinte forma:
a) deslocamento de 3 unidades para cima;
b) deslocamento de 5 unidades para baixo;
c) reflexão em torno do eixo y;
d) deslocamento de 4 unidades para a esquerda;
palavra33
Capı́tulo 1. Funções
e) expansão vertical por um fator de 2;
f ) reflexão em torno do eixo x;
g) compressão vertical por um fator de 6.
19. Explique como obter, a partir do gráfico de y = f (x), os gráficos a
seguir.
a) y = 6f (x)
b) y = −f (x)
c) y = −6f (x)
d) y = 6f (x) − 2
20. Trace o gráfico de f para os 3 valores de c em um mesmo sistema de
coordenadas (utilize translações, reflexões e expansões).
a) f (x) = 3x + c com c = 0; c = 2 e c = −1
b) f (x) = 3(x − c) com c = 0, c = 2 e c = −1
21. Esboce o gráfico da função f (x) = x2 + 6x + 10. (Dica: tente completar
o quadrado e escrever esta função através de operações da função x2
com números reais adequados).
22. Dado f (x) = x3 + 2x e g(x) = 3x2 − 1.Encontre f + g, f − g, f.g e f /g
e defina seus domı́nios.
√
1
23. Dado f (x) = x − 1 e g(x) = . Encontre f.g e f /g e defina seus
x
domı́nios.
√
√
24. Sejam f (x) = x e g(x) = 2 − x. Encontre cada uma das funções
abaixo e seus respectivos domı́nios.
a) f ◦ g
b) g ◦ f
c) f ◦ f
d) g ◦ g
25. É possı́vel fazer a composição de três ou mais funções. Por exemplo a
função composta f ◦ g ◦ h pode ser encontrada calculando-se primeiro
h, então g e depois f , como a seguir: (f f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))).
x
Sabendo disso, encontre f ◦ g ◦ h dado f (x) =
, g(x) = x10 e
x+1
h(x) = x + 3.
26. Até agora usamos a composição para construir novas funções mais complicadas a partir de funções mais simples. Em cálculo, freqüentemente
palavra34
Capı́tulo 1. Funções
é útil decompor uma função mais complicada em outra mais simples.
Sabendo que f = g ◦ h, decomponha f e encontre a função h, dado
a) f (x) = x2 + 1, g(x) = x + 1
b) f (x) = 3x + 1, g(x) = x + 1
27. Sabendo que√f = g ◦ h, decomponha f e encontre a função g sabendo
que f (x) = x + 2 e h(x) = x + 2.
1.5
Função inversa
Suponha que um cientista esteja analisando a produção de mel de uma
colméia de abelhas. Ele coleta dados desta produção com o tempo, registrando a produção de mel, em litros, a cada intervalo de 1 hora. A Tabela
1.1 fornece alguns dos dados desta experiência. A produção de mel P é uma
função do tempo t: P = f (t).
Tabela 1.1: Produção de mel como função do tempo.
t (h) P (l)
0
10
1
12
2
16
3
22
4
30
5
42
Suponha agora, que outro cientista analisando a mesma colméia de abelhas, queira analisar o tempo necessário para que a produção de mel atinja
certos nı́veis em litros. Ou seja, este outro cientista está pensando em t
como uma função de P : t = f (P ) (olhando a Tabela 1.1 ao contrário). Essa
função, chamada função inversa de f , é denotada por f −1 , e deve ser lida
assim: “inversa de f ”. Logo, a representação correta é t = f −1 (P ).
A função inversa é uma função em que trocamos as variáveis dependentes
com as variáveis independentes da função. Formalmente, temos
Definição - Seja y = f (x) uma função de A (domı́nio) em B (imagem) ou
f : A −→ B. Se, para cada y ∈ B, existir exatamente um valor de
x ∈ A tal que y = f (x), então podemos definir uma função g : B −→ A
tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função
inversa de f denotada por f −1 [f –1 (y) = x].
palavra35
Capı́tulo 1. Funções
Pela definição acima, percebe-se que existem restrições para a existência
da função inversa, ou seja, nem todas as funções admitem inversa. Mais
especificamente, apenas as funções injetoras possuem funções inversas.
Definição - Uma função f é chamada de função injetora se ela nunca assume
o mesmo valor duas vezes, isto é, f (x1 ) 6= f (x2 ) sempre que x1 6= x2 .
Na Figura 1.7 temos a representação em um diagrama de flechas de uma
função injetora e uma função não injetora.
Figura 1.7: Diagrama de flechas das funções f (injetora) e g (não injetora).
(Imagem retirada da referência: Stewart, J., Cálculo, vol.1, 6ª edição, Cengage Learning, 2010.)
Graficamente, podemos determinar se uma função é injetora e portanto,
admite inversa, através do teste da reta horizontal. Passando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico da função em apenas um ponto
para que a função seja injetora, pois, se uma reta horizontal intercepta o
gráfico de f em mais de um ponto, então, isto significa que, existem números
x1 e x2 tais que f (x1 ) = f (x2 ). Ou seja, neste caso f não é uma função
injetora (Figura 1.8).
Teste da reta horizontal: uma função é injetora se nenhuma reta
horizontal intercepta seu gráfico em mais de um ponto.
palavra36
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.8: Exemplificação do teste da reta horizontal para uma função f
não injetora, pois a reta intercepta mais de um ponto do gráfico de f . (Imagem retirada da referência: Stewart, J., Cálculo, vol.1, 6ª edição, Cengage
Learning, 2010.)
Portanto, se a função f admite inversa esta função deve necessariamente
ser uma função injetora. Se f (x) = y, isto significa que f transforma x em y,
então a sua inversa, f −1 transforma y de volta em x (se f não fosse injetora,
então f −1 não seria definida de forma única). A relação entre o domı́nio e
imagem da função f é invertida para a função f −1 .
domı́nio de f −1 = imagem de f
imagem de f −1 = domı́nio de f
Agora que sabemos o que são funções inversas, vamos ver agora como
calcular estas funções. Se tivermos uma função y = f (x) (f é injetora) e
formos capazes de isolar x nessa equação escrevendo-o em função de y, então
encontramos x = f −1 (y). Se quisermos voltar a chamar a variável independente de x, devemos trocar x por y na expressão encontrada e chegamos à
equação y = f −1 (x).
Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y = x
e observarmos a simetria. O gráfico de f −1 é obtido refletindo o gráfico de f
em torno da reta y = x, como ilustrado na Figura 1.9.
palavra37
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.9: Exemplificação da simetria em torno da reta y = x dos gráficos
de f e f −1 . (Imagem retirada da referência: Stewart, J., Cálculo, vol.1, 6ª
edição, Cengage Learning, 2010.)
Exemplo - Encontre a função inversa de f (x) = x3 + 5.
(1º passo) escrevemos y = f (x)
y = x3 + 5;
(2º passo) isolamos x na equação, escrevendo-o em termos de y
x3 = y − 5 =⇒ x = (y − 5)1/3 ;
(3º passo) para expressar f −1 como uma função de x, trocamos x por
y. A equação resultante é y = f −1 (x) (função inversa de f ).
palavra38
Capı́tulo 1. Funções
f −1 (x) = (x − 5)1/3 .
Exemplo - Encontre a função inversa de f (x) = 3x + 2
(1º passo) y = 3x + 2;
y−2
;
3
x−2
.
(3º passo) f −1 (x) =
3
(2º passo) x =
1.5.1
Exercı́cios Propostos
28. a) O que é uma função injetora? b) A partir do gráfico, como dizer se
uma função é injetora?
29. Se f for uma função injetora tal que f (2) = 9, quanto é f −1 (9)?
30. Verifique se a função f admite inversa (dica: verifique se a função é
injetora).
a)
x
1
2
3
4
5
6
f (x) 1,5 2,0 3,6 5,3 2,8 2,0
b)
x
1
f (x) 1
2 3 4 5 6
2 4 8 16 32
1
c) f (x) = (x + 5)
2
d) g(x) = |x|
√
31. Dado f (x) = 10 − 3x. Encontre a fórmula para a função inversa
f −1 (x).
32. Dado f (x) =
1.6
4x − 1
. Encontre a fórmula para a função inversa f −1 (x).
2x + 3
Funções exponenciais e logarı́tmicas
Veremos agora outros dois tipos de funções que fazem parte da nossa vida
diária. Estamos falando da função exponencial e da função logarı́tmica.
palavra39
Capı́tulo 1. Funções
1.6.1
Função Exponencial
A função exponencial ocorre frequentemente em modelos matemáticos
que descrevem processos da natureza e da sociedade. Esta é utilizada na
descrição do crescimento populacional, e também no fenômeno de decaimento
radioativo.
Potenciação
Se a é um número real e n é inteiro e positivo, a expressão an representa o
produto de n fatores iguais a a, ou seja:
an = |a × a ×{za . . . × a} ,
nessa expressão a é denominado base e n o expoente.
Sendo n um número inteiro e positivo define-se:
n
1
1
−n
a =
= n.
a
a
(1.1)
(1.2)
Sendo a um número real positivo, e m e n número inteiros e positivos,
define-se:
an/m =
√
m
an
(1.3)
Propriedades - Regras básicas da potenciação
1. ax+y = ax ay
ax
2. ax−y = y
a
x y
3. (a ) = axy
4. (ab)x = ax bx
Função Exponencial
A função f : R → R é dada por f (x) = ax com a 6= 1 e a > 0 é denominada
função exponencial de base a e definida para todo x ∈ R. São exemplos de
funções exponenciais
x
1
x
,
f (x) = 3x .
f (x) = 2 ,
f (x) =
3
O número e
palavra40
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.10: Função exponencial.
Dentre todas as bases possı́veis para a função exponencial, existe uma
que é mais conveniente para aplicação em cálculo. Na escolha de uma base a
pesa muito a forma como a função y = ax cruza o eixo y. Portanto devemos
analisar a inclinação da reta tangente neste ponto. A reta tangente a uma
curva é aquela intercepta a curva em um único ponto. Quando escolhemos
a base e, a inclinação desta reta é exatamente 1. O valor correto de e até a
quinta casa decimal.
e = 2, 71828
(1.4)
Gráfico
O comportamento da função exponencial é caraterizado pela sua base.
A função é decrescente quando a base está entre (0, 1) e crescente quando
esta é maior do que a unidade. Na Figura (1.10) apresentamos o gráfico de
algumas funções exponenciais.
Note que todas as curvas se interceptam no par ordenado (0, 1), não
importando qual seja a base.
1.6.2
Exercı́cios Propostos
Resolva os seguintes exercı́cios.
palavra41
Capı́tulo 1. Funções
33. Esboce o gráfico da função y = 3 − 2x e determine seu domı́nio e
imagem.
34. Esboce o gráfico da função y = 21 e−x − 1 e estabeleça o seu domı́nio e
imagem.
35. Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias.
Encontre (a) a população após 15 horas, (b) a população após t horas.
(c) A população após 20 horas.
36. Um isótopo de sódio 24 Na, tem uma vida média de 15 horas. Uma
mostra desse isótopo tem massa 2g. Encontre (a) a quantidade remanescente após 60 horas. (b) A quantidade remanescente após t horas.
(c) Estime a quantidade remanescente após 4 dias.
1.6.3
Função Logarı́tmica
A função inversa da função exponencial é a função logarı́tmica. A função
é definida como
f (x) = loga x, a > 0, a 6= 1
(1.5)
A função logaritmo é definida pra x ∈ (0, ∞) e tem imagem Im(f ) = R.
Quando a base do logaritmo é e, chamamos logaritmo natural.
loge x = ln x
(1.6)
Propriedades - As funções logarı́tmicas tem as seguintes propriedades
1. loga (b· c) = loga b + loga c
b
= loga b − loga c
2. loga
c
3. loga (bn ) = n loga b
Na Figura (1.11) apresentamos o gráfico da função com base ln x.
1.6.4
Exercı́cios Propostos
Resolva os seguintes exercı́cios.
37. Resolva a equação e5−3x = 10.
38. Calcule log8 5.
palavra42
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.11: Função logarı́timica.
39. Esboce o gráfico da função y = ln(x − 2) − 1.
40. Se a população de bactérias em um experimento começa com 100 e
dobra a cada três horas. (a) Encontre o número de bactérias após t
horas. (b) Encontre a função inversa e explique o seu significado. (c)
Quando a população atingirá 50 000 bactérias?
1.7
Funções trigonométricas
O estudo dos ângulos e as relações angulares em figuras planas ou tridimensionais é conhecida como trigonometria. As funções trigonométricas são
mais fáceis de serem definidas utilizando um cı́rculo unitário, como mostra
a Figura (1.12). Seja θ o ângulo medido no sentido anti-horário a partir do
eixo x, ao longo do cı́rculo. Então o cos θ é coordenada horizontal do fim
do arco de cı́rculo e sua componente vertical o sen θ. A razão entre sen θ e
cos θ é definido como tan θ. As definições no cı́rculo implicam que as funções
trigonométricas são periódicas como perı́odo 2π.
Um triângulo retângulo tem três lados, os quais são identificados como
hipotenusa, adjacente a um dado ângulo θ e oposto ao ângulo. Quando a
hipotenusa é igual a um, como mostrado na Figura (1.12), sen θ e cos θ são
iguais aos lados oposto e adjacente respectivamente. Portanto, do teorema
de Pitágoras podemos tirar a identidade trigonométrica fundamental
1 = sen 2 θ + cos2 θ .
(1.7)
palavra43
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.12: Cı́rculo de raio unitário.
1.7.1
Funções Trigonométricas
A definição das funções trigonométricas através do cı́rculo de raio unitário
fornece uma interpretação geométrica para cada uma das funções trigonométricas. Entretanto podemos também fazer a definição algébrica destas
funções. Além disso, veremos que para cada função trigonométrica existe
uma correspondente que é igual a 1 sobre a função.
Função seno e cossecante
A função seno é definida como
f (x) = sen x ,
D(f ) = R ,
I(f ) = [−1, 1] .
(1.8)
Por sua vez, definimos a função cossecante como
1
, D(f ) = {x ∈ R | x 6= nπ},
sen x
com n ∈ Z , I(f ) = {R | 1 < |x|} .
f (x) = csc x =
(1.9)
Na Figura (1.15) mostramos o gráfico da função seno e cossecante.
Função cosseno e secante
Definimos a função f (x) tal que
f (x) = cos x ,
D(f ) = R ,
I(f ) = [−1, 1] .
(1.10)
palavra44
Capı́tulo 1. Funções
Figura 1.13: função sen x linha cheia e função csc x linha pontilhada.
A função secante é definida como
1
, D(f ) = {x ∈ R | x 6= n π2 },
cos x
I(f ) = {R | 1 < |x|} .
f (x) = sec x =
com n ∈ Z ,
(1.11)
Na Figura (1.14) apresentamos o gráfico das funções cosseno e secante.
Figura 1.14: Função cos x e sec x.
palavra45
Capı́tulo 1. Funções
Função tangente e cotangente
Seguindo com as definições vamos examinar a tangente e a cotangente. Definimos uma função f tal que
f (x) = tan x ,
com n ∈ Z ,
D(f ) = {x ∈ R | x 6=
π
2
+ nπ} ,
I(f ) = R .
(1.12)
Por sua vez, a função cotangente é definida a partir de
1
, D(f ) = {x ∈ R | x 6= nπ} ,
tan x
I(f ) = R .
f (x) = cot x =
com n ∈ Z ,
(1.13)
Figura 1.15: função tan x linha cheia e função cot x.
1.7.2
Funções Trigonométricas Inversas
Quando tentamos encontrar as funções inversas trigonométricas, temos
uma dificuldade. Como as funções trigonométricas não são injetivas, elas não
têm funções inversas. A dificuldade é superada restringindo-se o domı́nio dessas funções de forma a torná-las injetoras. As funções inversas são chamadas
arcsen , arccos e arctan. A inversa da função seno é a função arcsen
h π πi
f (x) = arcsen x , D(f ) = [−1.1], I(f ) = − ,
(1.14)
2 2
palavra46
Capı́tulo 1. Funções
A inversa da função cosseno é definida de modo similar
f (x) = arccos x ,
D(f ) = [−1.1],
I(f ) = [0, π]
(1.15)
A função tangente pode ser tomada no intervalo − π2 , π2 . Assim a função
inversa da tangente é definida como f (x) = arctan x. Diferentemente das
funções arcsin e arccos em que o domı́nio é definido no intervalo [−1, 1], a
função arctan tem domı́nio em todo o conjunto dos reais.
h π πi
(1.16)
f (x) = arctan x , D(f ) = R, I(f ) = − ,
2 2
A Figura (1.16) mostra as três funções trigonométricas inversas.
Figura 1.16: funções trigonométricas inversas arccos x linha cheia, arcsen x
linha tracejada vermelha e arctan x linha tracejada azul.
1.7.3
Exercı́cios Propostos
Resolva os seguintes exercı́cios
41. Se cos θ e 0 < θ < π2 , determine as outras funções para este ângulo.
42. Determine todos os valores de x no intervalo [0, 2π] tal que sen x =
sen 2x.
43. Esboce o gráfico das seguintes funções em um perı́odo: y = 4 sin(x),
y = 1 + sen x, y = sen (x − π2 ), y = cos(x − π2 ), y = 2sen ( x4 ). Determine
seu domı́nio e imagem.
palavra47
Capı́tulo 1. Funções
44. Determine o perı́odo das funções: y = sen 6x, y = sen ( x3 ), y = 5sen 4x,
y = 4sen (2x + π6 ).
pπ
1
e
tan
arcsen
(
)
.
45. Calcule: sen −1 ( 21 ), cos−1
2
3
1.8
Respostas dos exercı́cios propostos
1. D = {x ∈ R / x 6= 4}; Im{y ∈ R / y 6= 0}
2. D = {x ∈ R / x > −3}; Im{y ∈ R / y > 0}
3. D = x ∈ R / x > − 25 e x 6= 2
4. a) ı́mpar b) par c) ı́mpar d) ı́mpar e) par f) par g) sem paridade
h) par i) ı́mpar j) par k) par l) par m) ı́mpar
5. e)
6. a)
7. x =
21
40
8. d)
9. a)
10. c)
11. c)
12. a)
13. e)
14. b)
15. −1 e 5
16. ±4
17. 8
palavra48
Capı́tulo 1. Funções
18. a) g(x) = f (x) + 3
d) g(x) = f (x = 4)
b) g(x) = f (x) − 5
c) g(x) = f (−x)
e) g(x) = 2f (x)
f ) g(x) = −f (x)
1
g) g(x) = f (x)
6
19. a) expansão vertical do gráfico de f (x) por um fator 6;
b) reflexão em torno do eixo x do gráfico de f (x);
c) expansão vertical do gráfico de f (x) por um fator 6 seguida de uma
reflexão em torno do eixo x;
d) deslocamento vertical em 2 unidades para baixo do gráfico de f (x)
seguido de uma expansão vertical por um fator 6.
20. a)
b)
21.
22. (f + g)(x) = x3 + 5x2 − 1, D = (−∞, +∞)
(f − g)(x) = x3 − x2 + 1, D = (−∞, +∞)
(f.g)(x) = 3x5 + 6x4 − x3 − 2x2 , D = (−∞, +∞)
palavra49
Capı́tulo 1. Funções
f
x3 + 2x2
1
(x) =
, D = x | x 6= ± √
g
3x2 − 1
3
√
x−1
23. (f.g)(x) =
, D = [1, +∞)
x
√
(f /g)(x) = x x − 1, D = [1, +∞)
24.
a)
b)
c)
d)
(f ◦ g)(x) = p
(2 − x)1/4 ,
√
(g ◦ f )(x) = 2 − x,
(f ◦ f )(x) = p
x1/4 ,
√
(g ◦ g)(x) = 2 − 2 − x,
25. (f ◦ g ◦ h)(x) =
26. a) x2
√
27. x
D(f ◦ g) = (−∞, 2]
D(g ◦ f ) = [0, 4]
D(f ◦ f ) = [0, +∞)
D(g ◦ g) = [−2, 2]
(x + 3)10
(x + 3)10 + 1
b) 3x
28. a) Uma função f é chamada de função injetora se ela nunca assume o
mesmo valor duas vezes.
b) O gráfico deve satisfazer ao teste da reta horizontal, ou seja, qualquer
reta horizontal deve interceptar o gráfico da função no máximo em um
ponto desta.
29. 2
30. a) não
b) sim
c) sim
d) não
10
1
31. f −1 (x) = − x2 +
3
3
32. f −1 (x) =
3x + 1
4 − 2x
33.
34.
35.
36.
37.
palavra50
Capı́tulo 1. Funções
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
palavra51
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
Capı́tulo 2
Limites de funções e funções
contı́nuas
2.1
Limites de funções1
Desejamos saber o que acontece com os valores de uma função f (x)
quando x se aproxima de um dado ponto a.
Por exemplo, se
f (x) = 2x − 3
o que acontece com os valores de f (x) quando x assume valores próximos
de 4?
Se h(t) representa a altura de uma árvore no instante t, o que acontece
com os valores h(t) quando t assume valores arbitrariamente grandes?
Observe a tabela abaixo para a função f (x) = 2x − 3.
x
f (x)
3.8 3.9 3.99 4 4.01 4.1 4.2
4.6 4.8 4.98 5 5.02 5.2 5.4
Vemos nesta tabela que quanto mais próximo de 4 tomamos o ponto x,
mais o valor f (x) se aproxima de 5. Diremos que o limite de f (x) quando x
tende a 4 é 5.
Na verdade podemos fazer com que f (x) se aproxime de valores próximos
de 5 quanto desejarmos, somente aproximando os valores de x o suficiente do
valor 4.
Por exemplo, se desejamos que f (x) seja mais próximo de x que a diferença seja menos que 0.03, isto é
1
As Seções 2.1, 2.2 e 2.3 foram baseadas no livro Kuelkamp, Nilo - Cálculo I, 2ª ed.
2001, Editora da UFSC. Portanto, qualquer semelhança não é mera coincidência.
palavra52
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
|f (x) − 5|< 0.03,
Para verificar isso, vamos ver como a desigualdade acima se comporta.
Substituindo acima f (x) = 2x − 3, temos
|2x − 3 − 5|< 0.03
ou seja,
|2x − 8|< 0.03
2|x − 4|< 0.03
Isso equivale a
|x − 4|< 0.015
Disso, podemos dizer que, para aproximar f (x) mais próximos que 0.03
de 5, devemos deixar x mais próximo que 0.015 do valor x = 4. Ou seja,
f (x) − 0.03 < 5 < f (x) + 0.03 desde que x − 0.015 < 4 < x + 0.015. (2.1)
Se agora trocarmos os números 0.03 e 0.15 por dois números positivos
arbitrários ε e δ, respectivamente, na expressão 2.1, temos
f (x) − ε < 5 < f (x) + ε desde que x − δ < 4 < x + δ.
(2.2)
Assim, podemos escrever
|f (x) − 5| < ε,
(2.3)
|x − 4| < δ.
(2.4)
e
Novamente, substituindo f (x) = 2x − 3 na expressão 2.3, encontramos
ε
|x − 4|< .
2
Comparando a expressão acima com a expressão com a expressão 2.4,
vemos que
ε
δ= ,
2
palavra53
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
ou seja, para f (x) = 2x−3, aproximando x de 4 por um valor δ, aproximamos
ε
f (x) de 5 por um valor . Podemos escrever isso de outra forma do seguinte
2
modo
|x − 4|< δ ⇒ |f (x) − 5| < ε,
ou equivalente,
x ∈ (4 − δ, 4 + δ) ⇒ f (x) ∈ ( 5 − ε, 5 + ε).
Podemos representar o que foi discutido acima na forma gráfica.
6
5 +ε
5
5−ε
f(x) =2x−3
4
3
2
1
00
1
2
x
3
4−δ 4 4 + δ
5
A partir desse exemplo, obtemos a seguinte definição.
Definição - Seja a função f definida no intervalo I, com a ∈ I. Dizemos que
f (x) tem limite L quando x tenda para a, se dado ε > 0, existir δ > 0
tal que
x ∈ I e 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.
Simbolicamente, podemos escrever a definição acima da forma
palavra54
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
lim f (x) = L.
x→a
f(x)
L +ε
L
L−ε
x
a−δ
a
a +δ
Exemplo 1 - Seja f (x) = 4x2 + 5. Usando a definição vamos mostrar que
lim f (x) = 5.
x→0
Queremos encontrar δ > 0 para que obtenhamos ε > 0, tal que
0 < |x − 0| < δ ⇒ |f (x) − 5| < ε.
Para determinar um tal δ, partimos da desigualdade desejada e a transformamos sucessivamente em outras, a ela equivalentes, até que se torne fácil
de descobrir uma condição sobre |x − 0| que assegure a validade daquelas
desigualdades.
Desejamos obter
|f (x) − 5| < ε.
Para isso, substituı́mos f (x) = 4x2 + 5 na expressão acima
palavra55
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
|4x2 + 5 − 5| < ε
|4x2 | < ε
4|x2 | < ε
x2 <
ε
4
√
|x| <
|x − 0| <
ε
2
√
ε
.
2
Dessa forma, podemos ver que
√
0 < |x − 0| <
ε
2
assegura que
|f (x) − 5| < ε.
√
ε
Portanto, podemos tomar δ =
, ou qualquer outro número positivo me2
√
ε
para que obtenhamos valores tão próximos de L= 5 quanto
nor do que
2
desejarmos. Por exemplo, se queremos que o limite se aproxime de 5 mais
1
1
que
, tomamos ε =
, ou qualquer número positivo menor que esse, e
100
100
calculamos o valor de δ
r
1
1
1
100
= 10 = ;
δ=
2
2
20
1
se queremos que os valores de f (x) se aproximem mais de 5 que ε =
,
10000
r
1
1
1
10000
δ=
= 100 =
,
2
2
200
e assim por diante.
A seguir, veremos as propriedades dos limites que nos ajudam a calcular
limites sem precisar recorrer à forma usada no Exemplo 1. Cada propriedade
é alicerçada por um teorema. As demonstrações dos teoremas podem ser
encontradas no livro Kuelkamp, Nilo - Cálculo I.
palavra56
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
Propriedade 1 - (Unicidade do limite) Se lim f (x) = L e lim f (x) = M,
x→a
x→a
então L = M.
Propriedade 2 - Se f (x) = c ∀ x ∈ R, então para qualquer a ∈ R temos
lim f (x) = c.
x→a
Propriedade 3 - Se lim f (x) = L > M, então existe δ > 0 tal que
x→a
0 < |δ − a| < δ ⇒ f (x) > M.
Propriedade 4 - Se lim f (x) = 0 e g(x) é limitada no intervalo I−{a}, onde
x→a
I é o intervalo que contém o ponto a, então lim f (x).g(x) = 0.
x→a
√
3
Exemplo 2 - Sejam f (x) = x2 − 1 e g(x) = x3 + 3 x2 − 500, mostre que
lim f (x).g(x) = 0.
x→1
Vamos calcular lim f (x)
x→1
lim (x2 − 1) = 12 − 1 = 0
x→1
da propriedade 4 temos portanto que lim f (x).g(x) = 0, o que iremos
x→1
conferir a seguir
√
3
lim (x2 − 1)(x3 + 3 x2 − 500) =
x→1 √
√
3
3
lim (x5 + 3x2 x2 − 500x2 − x3 − 3 x2 + 500) = 0
x→1
Portanto, a solução satisfaz a nossa demonstração e a propriedade 4.
Propriedade 5 - Se lim f (x) = L e lim g(x) = M, então:
x→a
x→a
a) lim [f (x) ± g(x)] = L ± M.
x→a
b) Para qualquer c ∈ R, temos
lim c.f (x) = c.L
x→a
c) lim f (x).g(x) = L.M.
x→a
d) lim
x→a
f (x)
L
=
desde que M 6= 0.
g(x)
M
palavra57
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
Observação 1 - Decorre do item (c) que
h
i2
lim f (x)· f (x) = L· L = L2 → lim f (x)· f (x) = lim [f (x)]2 = lim f (x)
x→a
x→a
x→a
x→a
h
i3
lim f (x)· f (x)· f (x) = L· L· L = L3 → lim [f (x)]3 = lim f (x)
x→a
x→a
x→a
donde decorre a forma
h
in
lim [f (x)]n = lim f (x) , para qualquer n.
x→a
x→a
Exemplo 3 - Dadas f (x) = 2x + 7 e g(x) = x2 − 3, calcule os limites abaixo
usando as propriedades 5.a)-d).
1. lim f (x)
x→−1
lim (2x + 7) = 5.
x→−1
2. lim g(x)
x→−1
lim (x2 − 3) = −2.
x→−1
3. lim (x2 + 2x + 4)
x→−1
Usando a propriedade 5.a), temos
lim (x2 + 2x + 4) = lim [(2x + 7) + (x2 − 3)] = lim f (x) +
x→−1
x→−1
x→−1
lim g(x) = 5 − 2 = 3.
x→−1
4. lim (6 − 2x2 )
x→−1
Podemos usar a propriedade 5.b):
lim (6 − 2x2 ) = lim −2(x2 − 3) = −2· lim g(x) = 4.
x→−1
x→−1
x→−1
2 3 7 2
5. lim
x + x − 2x − 7
x→−1
3
3
Usaremos as propriedades 5.b) e 5.c) no cálculo deste limite
2 3 7 2
1
x + x − 2x − 7 = lim (2x3 + 7x2 − 6x − 21) =
lim
x→−1
x→−1 3
3
3
1
1
1
10
lim (2x + 7)(x2 − 3) = lim f (x)·g(x) = ·5·(−2) = − .
x→−1 3
x→−1 3
3
3
3
2
(x + x − 3x − 3)
6. lim
x→−1
(2x2 + 9x + 7)
(x3 + x2 − 3x − 3)
(x2 − 3)(x + 1)
lim
=
lim
=
x→−1
x→−1 (2x + 7)(x + 1)
(2x2 + 9x + 7)
palavra58
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
2
(x − 3)
g(x)
−2
2
= lim
=
=−
x→−1
(2x + 7)
f (x)
5
5
onde usamos a propriedade 5.d).
lim
x→−1
Propriedade 6 - Sejam a, b ∈ R, 0 < b 6= 1 e n ∈ N. Então temos
a) lim sen x = sen a
x→a
b) lim cos x = cos a
x→a
c) lim bx = ba
x→a
d) lim logb x = logb a
x→a
√
√
∀ n se a > 0
n
n
e) lim x = a,
n ı́mpar se a < 0.
x→a
Propriedade 7 - Se lim f (x) = b e lim g(y) = L, então lim (g◦ f )(x) = L,
x→a
x→a
y→b
desde que L = g(b). Em outras palavras
lim g(f (x)) = g(lim f (x)).
x→a
Exemplo 4 - Seja f (x) = x2 + 1 e g(x) =
lim f (x) = lim (x2 + 1) = 2
x→1
x→a
√
x, então
x→1
e
lim g(x) = lim
x→2
√
x→2
x=
√
2
portanto, da propriedade 7, temos
lim (g◦ f )(x) =
x→1
√
2.
Propriedade 8 - Sejam b ∈ R, 0 < b 6= 1 e n ∈ N. Se lim f (x) = L, então
x→a
a) lim sen f (x) = sen L
x→a
b) lim cos f (x) = cos L
x→a
c) lim bf (x) = bL
x→a
d) lim logb f (x) = logb L, desde que L > 0
x→a
p
√
∀ n se L > 0
n
n
e) lim f (x) = L
n ı́mpar se L < 0.
x→a
palavra59
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
Propriedade 9 - Se f (x) 6 h(x) 6 g(x) para todo x num intervalo aberto
I − {a}, e se lim g(x) = lim f (x) = L, então lim h(x) = L.
x→a
x→a
x→a
Exemplo 5 - Calcular os limites.
x2 + 5x − 1
x→1
2x − 12
x2 + 5x − 1
12 + 5· 1 − 1
5
1
lim
=
=
=−
x→1
2x − 12
2· 1 − 12
−10
2
1. lim
2. lim (x2 + cos x)
x→π
lim (x2 + cos x) = lim x2 + lim cos x = π 2 + cos π = π 2 − 1
x→π
x→π
x→π
3. lim (x3 − 2x)4
x→−2
Da observação 1, temos
4
3
4
3
lim (x − 2x) = lim (x − 2x)
x→−2
x→−2
= [(−2)3 − 2· (−2)]4
= (−8 + 4)4
= (−4)4
= 256.
√
3
x4 + 9x3 + 10x2 − x + 5
x→−3
p
3
=√
(−3)4 + 9(−3)3 + 10(−3)2 − (−3) + 5
3
= −64 = −4.
4. lim
x· sen x
x→π/2 x + 1
π
π
π
· sen
·1
π
2 = 2
=
= 2π
.
π
+
2
π+2
+1
2
2
5. lim
palavra60
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
6. lim ln(x3 − 3x2 − 30)
x→5
= ln(53 − 3· 52 − 30)
= ln 20 = ln(5· 22 ) = ln 5 + ln 22 = ln 5 + 2 ln 2.
7. lim 2x
2 +3x+5
x→−2
2 +3(−2)+5
= 2(−2)
2.1.1
= 23 = 8.
Exercı́cios propostos
4x2 − 11x + 6
. Para cara ε dado, determine δ tal que
x−2
|f (x) − 5| < ε sempre que 0 < |x − 2| < δ.
1. Seja f (x) =
a) ε = 4
b) ε = 2
c) ε = 1
d) ε = 0, 08
Sugestão: Simplifique a fração que define f por x − 2.
2. Calcule os limites.
a) lim (3x2 − 7x − 4)
x→−1
c) lim
x→−2
√
5x2 + 3x + 2
e) lim cos x· sen (x + π)
x→π
2.2
x2 − 12x + 36
x→6
x−5
b) lim
d) lim log(x4 − 3x + 10)
x→−3
f) lim esen x
x→−π
Limites laterais
Até agora, analisamos o comportamento de f (x) quando x se aproxima
de a tanto por um lado como pelo outro sem fazer distinção, ou seja, sem
determinar se x se aproxima de a pela esquerda (para valores de x menores
que a ou x : −∞ → a) ou pela direita (para valores de x maiores que a ou
x : +∞ → a). Agora analisaremos esses dois casos separadamente.
Definição - Seja f : (a, b) → R uma função.
Diremos que f (x) tem limite L quando x tende para a pela direita
palavra61
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
lim f (x) = L,
x→a+
quando, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que
x ∈ (a, b) e a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε.
Diremos que f (x) tem limite L quando x tende para b pela esquerda
lim f (x) = L,
x→b−
quando, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que
x ∈ (a, b) e b − δ < x < b ⇒ |f (x) − L| < ε.
L +ε
L
L
L−ε
a
a +δ
lim f (x) = L
x→a+
b−δ
b
lim f (x) = L
x→b−
As propriedades vistas para limites também valem para o limites laterais
e tem demonstrações análogas.
Exemplo 6 - Consideremos a função
 2
se x < 2
 x,
1,
se x = 2 .
f (x) =

4 − x, se x > 2
Então temos
lim f (x) = lim− x2 = 4
x→2−
x→2
e
lim f (x) = lim− (4 − x) = 2.
x→2+
x→2
Observe que f (2) = 1, ou seja, f (2) 6= 4 e f (2) 6= 2. Portanto os limites
laterais são ambos diferentes do valor no ponto x = 2.
palavra62
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
Propriedade 10 - Seja a ∈ I, onde I é um intervalo aberto e, seja f (x) tal
que f : I − {a} → R uma função. Então f (x) tem limite L quando x
tende a a se, e somente se, f (x) possuir limite L quando x tende a a
pela esquerda e pela direita, ou seja,
lim f (x) = L ⇐⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = L
x→a
x→a
x→a
Exemplo 7 - Seja
 3
 x + 1, se x < 1
3,
se x = 1 .
f (x) =

x + 1, se x > 1
Então temos
lim f (x) = lim+ (x + 1) = 2
x→1+
x→1
e
lim− f (x) = lim− (x3 + 1) = 2
x→1
x→1
Assim, pela propriedade 10 temos que lim f (x) = 2.
x→1
[Observe que f (1) = 3 6= 2 = lim− f (x).]
x→1
Exemplo 8 - Seja a função
2
x − 2x, se x 6 3
f (x) =
.
4 − x,
se x > 3
Então,
lim f (x) = lim+ (4 − x) = 1
x→3+
x→3
e
lim f (x) = lim− (x2 − 2x) = 3.
x→3−
x→3
Vemos que lim+ f (x) 6= lim− f (x). Assim, pela propriedade 10, não
x→3
x→3
existe limite de f (x) quando x tende a 3, ou seja,
lim f (x) = @.
x→3
2.2.1
Exercı́cios Propostos
3. Para cada função a seguir, calcule lim+ f (x), lim− f (x) e lim f (x) caso
este exista.
x→a
x→a
x→a
palavra63
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
a)
f (x) =
3 − x2 se x < 0
2x
se x > 0
a=0
b)
f (x) =
a=4
x2 − 3x − 4
x−4
c)
f (x) =
x2 − 4x − 1 se x < 2
2−x
se x > 2
a=2

 2x + 3 se x < −1
−x
se x > −1
f (x) =
d)

0
se x = −1
a = −1
2.3
Indeterminações
2x3 − 2
x→1 1 − x
Vamos agora calcular o limite lim
2.13 − 2
0
2x3 − 2
=
=
x→1 1 − x
1−1
0
lim
Vemos que neste caso não se aplica a propriedade 5, já que o denominador
possui limite 0. Resolvemos agora esse limite de uma diferente maneira
2x3 − 2
2(x3 − 1)
2(x2 + x + 1)(x − 1)
= lim
= lim −
=
x→1 1 − x
x→1 −(x − 1)
x→1
(x − 1)
lim
lim −2(x2 + x + 1) = −2.3 = −6
x→1
0
Vemos portanto, que a expressão não tem um valor determinado. Cha0
mamos a isso de indeterminação. No cálculo de limites de funções, podemos
encontrar outras expressões cujos valores não são determinados. Ao todo,
são sete os sı́mbolos de indeterminação:
0 ∞
,
, 0.∞, ∞ − ∞, 00 , 1∞ e ∞0
0 ∞
Durante o cálculo de limites, sempre que chegarmos a um destes sı́mbolos,
precisamos buscar uma alternativa para obter o valor do limite. Quando
fazemos isto, estamos fazendo o levantamento de indeterminação.
Exemplo 9 -Calcule os limites.
palavra64
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
3−3
0
x−3
= 2
= .
2
x→3 x − 9
3 −9
0
1. lim
0
Chegamos a uma indeterminação do tipo e usamos da fatoração
0
para levantá-la. Assim procedendo, temos
x−3
x−3
= lim
2
x→3 x − 9
x→3 (x + 3)(x − 3)
1
= lim
x→3 x + 3
1
=
6
lim
x3 − 4x2 + 3x
0
=
.
x→1 x2 + 3x − 4
0
2. lim
Este problema é um análogo ao anterior. Para obter a fatoração
dividiremos numerador e denominador por x − a, onde a = 1. Fazendo isso, obtemos
(x − 1)(x2 − 3x)
x3 − 4x2 + 3x
=
lim
x→1 (x − 1)(x + 4)
x→1 x2 + 3x − 4
x2 − 3x
.
= lim
x→1 x + 4
2
=−
5
lim
√
x−2
0
3. lim
= .
x→4 x − 4
0
Para resolver essa indeterminação, o produto notável a2 − b2 =
(a+b)(a−b) pode nos ajudar quando o aplicamos ao denominador
√
√
√
x−2
( x − 2) ( x + 2)
= lim
· √
lim
x→4 (x − 4)
x→4 x − 4
( x + 2)
x−4
√
= lim
x→4 (x − 4)( x + 2)
1
= lim √
x→4
x+2
1
= .
4
√
3
4. lim
x→−8
x+2
0
= .
x+8
0
palavra65
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
√
Neste problema, faremos a substituição de variável y = 3 x, donde
observamos que x = y 3 . Portanto, quando x → −8 temos y → −2.
Assim
√
3
x+2
y+2
= lim 3
lim
y→−2 y + 8
x→−8 x + 8
y+2
= lim
y→−2 (y + 2)(y 2 − 2y + 4)
1
= lim 2
y→−2 y − 2y + 4
1
= .
12
√
4
0
x−1
5. lim √
= .
6
x→1
0
x−1
Para extrair as raı́zes deste problema, faremos uma substituição
de variáveis do tipo x = y n , onde a potência n deve ser um número
que é divisı́vel tanto por 4 como por 6. O primeiro número dentro
dessa condição é 12, logo x = y 12 , onde y > 0. Assim, quando
x → 1 temos y → 1, de modo que
p
√
4
4
y 12 − 1
x−1
p
=
lim
lim √
y→1 6 y 12 − 1
x→1 6 x − 1
y3 − 1
= lim 2
y→1 y − 1
(y − 1)(y 2 + y + 1)
= lim
y→1
(y − 1)(y + 1)
(y 2 + y + 1)
= lim
y→1
(y + 1)
3
= .
2
2.3.1
Exercı́cios propostos
4. Calcule os limites.
palavra66
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
2
x + 5x − 14
a) lim
x→2
x−2
d) lim
x3 + 65x2 + 63x − 1
x→−1
x+1
f) lim
2x3 − 13x2 + 17x + 12
x→4
x2 − 6x + 8
h) lim
(a + h)2 − a2
h→0
h
j) lim
e) lim
g) lim
i) lim
t4 − 1
t→1 t − 1
√
16 − x − 4
m) lim
x→0
x
k) lim
x2 − 9x
o) lim √
x→9
x−3
√
4
x3 − 1
q) lim √
x→1 6 x − 1
p
2(x − 3) − 2
s) lim
x→5
x−5
√
√
a+h− a
, (a > 0)
u) lim
x→0
h
2.4.1
5x3 + 23x2 + 24x
x→−3
x2 − x − 12
2x2 + x − 6
x→−2
x+2
c) lim
2.4
x2 − 6x + 9
b) lim
x→3
x−3
x4 − 3x2 − 4
x→2
x−2
x5 − x3 − 5x2 + 5
x→1
x2 + x − 2
(a + h)3 − a3
h→0
h
t5 − 1
t→1 t − 1
√
3
x−3
n) lim
x→27 x − 27
√
3
x−1
p) lim √
x→1
x−1
l) lim
√
5
r) lim
x→32
x−2
x − 32
h
√
, (a > 0)
h→0 a −
a2 + h
√
√
3
a+h− 3a
v) lim
h→0
h
t) lim
Limites no infinito e limites infinitos
Limites no infinito
Nas seções anteriores deste capı́tulo analisamos o comportamento de uma
função f (x) quando x se aproxima de um ponto a. Nesta seção voltaremos
nossa atenção para duas situações.
A primeira consiste na análise do comportamento de uma função f (x)
quando x assume valores positivos arbitrariamente grandes, ou valores negapalavra67
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
tivos de módulo arbitrariamente grande.
A segunda é um caso em que o limite da função não existe, pois seu valor
não se aproxima de número algum. É o caso em que a função assume valores
(positivos ou negativos) de módulo arbitrariamente grande. Quando esses
valores são positivos, dizemos que a função tem limite +∞, e quando são
negativos, dizemos que a função tem limite −∞. Observe que −∞ e +∞
não são números; são sı́mbolos usados para indicar o que acontece com os
valores assumidos pela função.
1
Vamos analisar a função f (x) = .
x
x
−100 000 −100 −10 −1 1 10 100 100 000
f (x) −0, 00001 −0, 01 −0, 1 −1 1 0,1 0,01 0,00001
Que graficamente fica
Vemos que para x positivo muito grande (x → +∞), esta função vai a
zero (f (x) → 0), o mesmo sendo verificado para x negativo muito grande,
(x → −∞). Assim, podemos dizer que
1
= 0.
x→±∞ x
lim
Definição - Seja a função f (x) definida no intervalo (a, +∞). Então,
lim f (x) = L. Isso significa que os valores de f (x) podem ficar arbix→+∞
trariamente próximos de L tomando x suficientemente grande.
Exemplo - Encontre o limite das funções abaixo quando x → +∞.
palavra68
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
2
a) f (x) =
x −1
x2 + 1
x2
1
− 2
2
x −1
= lim x2 x
lim
x→+∞ x
x→+∞ x2 + 1
1
+ 2
2
x
x
1
1− 2
x
= lim
1
x→+∞
1+ 2
x
=1
2
b) f (x) =
4x4 − x2
3x4 + x3
4
4x4 x2
− 4
4
= lim x 4 x3
x→+∞ 3x
x
+ 4
4
x
x
1
4− 2
x
= lim
1
x→+∞
3+
x
4
=
3
2
4x − x
x→+∞ 3x4 + x3
lim
Definição - Seja a função f (x) definida no intervalo (−∞, a). Então,
lim f (x) = L. Isso significa que os valores de f (x) podem ficar arbix→−∞
trariamente próximos de L tomando x suficientemente grande em valor
absoluto, porém negativo.
Exemplo - Encontre o limite das funções abaixo quando x → −∞.
a) f (x) = 1 + ex
lim (1 + ex ) = lim 1 + lim ex
x→−∞
x→−∞
x→−∞
=1+0
=1
b) f (x) =
x
x+1
ex
palavra69
lim
x→−∞
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
x
x
x
= lim
e
. lim ex
x→−∞
x+1
x + 1 x→−∞
x


= lim  x  . lim ex
x 1
x→−∞
x→−∞
+
 x x

= lim 
x→−∞
1
1+
= 1· 0
=0
2.4.2

. lim ex
1
x→−∞
x
Exercı́cios Propostos
x3
se x → +∞.
2x3 + 7x
x
2
6. Calcule o limite de f (x) =
+ e−x se x → −∞.
x+1
5. Calcule o limite de f (x) =
2.4.3
Limites infinitos
Vamos agora analisar a seguinte função f (x) =
1
.
x
x
−100 000 −100 −10 −1 1 10 100 100 000
f (x) −0, 00001 −0, 01 −0, 1 −1 1 0,1 0,01 0,00001
Que graficamente fica
palavra70
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
Quando tomamos x indo a zero pela direita (x → 0+ ), esta função tende a
+∞ (f (x) → +∞). Já quando x vai a zero pela esquerda (x → 0− ), a função
tende a −∞ (f (x) → −∞). Assim
1
lim+
= +∞
x→0
x
1
lim−
= −∞.
x→0
x
e
Exemplo - Resolva os seguintes limites.
a) lim
tan x
π−
x→ 2
lim
tan x = lim
π−
π−
x→ 2
x→ 2
sen x
cos x
1
0
= +∞
=
b) lim (x2 + x − 1)
x→+∞
lim (x2 + x − 1) = lim x2 (1 +
x→+∞
x→+∞
= +∞
1
1
− 2)
x x
c) lim (5x3 + 2x2 − 3x + 8)
x→−∞
lim (5x3 + 2x2 − 3x + 8) = lim x3 (5 +
x→−∞
x→−∞
= 5(−∞)3
= −∞
2.4.4
3
8
2
− 2 + 3)
x x
x
Exercı́cios Propostos
7. Resolva os limites.
a) lim (x2 − 2x + 3)
x→−∞
b) lim (−3x2 + 5x)
x→−∞
2.5
Limites fundamentais
A técnica de cálculo de limites consiste, na maioria das vezes, em conduzir a
questão até que se possam aplicar os limites fundamentais, facilitando assim,
as soluções procuradas.
palavra71
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
2.5.1
Primeiro limite fundamental
Vamos analisar a função f (x) =
sen x
.
x
x
sen x
1
0,1
0,01
0,001
0,8414709
0,0998334
0,0099998
0,0009999
sen x
x
0,841470
0,998334
0,999983
0,999999
que graficamente fica
Por causa desse comportamento, podemos dizer que lim
x→0
sen x
= 1.
x
Exemplo - Calcule os limites usando o primeiro limite fundamental.
sen 4x
x→0
x
sen 4x
4sen 4x
lim
= lim
x→0
x→0
x
4x
4sen u
= lim
u→0
u
= 4· 1
=4
a) lim
onde fizemos a substituição 4x = u.
cos2 x
b) lim
x→0
x2
palavra72
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
2
cos x
1 − sen 2 x
lim
= lim
x→0
x→0
x2
x2
1
sen 2 x
= lim 2 − lim
x→0 x
x→0 x2
1
sen x 2
= lim 2 − lim
x→0 x
x→0
x
sen x 2
1
= lim 2 − lim
x→0
x→0 x
x
=∞−1
=∞
2.5.2
Exercı́cios Propostos
tan x
.
x→0
x
8. Calcule o limite lim
2.5.3
Segundo limite fundamental
Tomaremos agora a função f (x) =
1
1+
x
x
. Analisando seu comporta-
mento, temos
x
1
1+
x
2
2,59374
2,70481
2,70481
2,71814
x
1
10
100
1000
10 000
que graficamente fica
palavra73
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
Para valores de x muito grandes (x → ±∞), esta função se aproxima de
e, que é um número
irracional
chamado constante de Euler (e = 2, 71828).
x
1
Portanto, lim 1 +
= e.
x→∞
x
x
3
.
Exemplo - Calcule o limite lim 1 +
x→∞
x
3
1
Faremos a substituição = , que nos dá x = 3u.
x
u
x
3u
1
3
= lim 1 +
lim 1 +
u→∞
x→∞
x
u u 3
1
= lim
1+
u→∞
u u 3
1
= lim 1 +
u→∞
u
= e3
2.5.4
Exercı́cios Propostos
1−x
2
9. Calcule o limite lim 1 +
usando o segundo limite fundamenx→∞
x
tal.
2.5.5
Terceiro limite fundamental
bx − 1
Veremos agora o limite lim
= ln b, (0 < b 6= 1).
x→0
x
Para calcular esse limite, faremos a seguinte mudança de variável
1
u+1
bx = 1 + =
u
u
1
u
=
bx
u+ 1 u
ln b−x = ln
u + 1 u
−x ln b = ln
u+1
−1
1
u
1
u
1
1
x=−
ln
=
ln
=
ln 1 +
ln b
u+1
ln b
u+1
ln b
u
Feito isso, temos que para x → 0, u → ∞. Assim
palavra74
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
1
1+ −1
bx − 1
u
lim
= lim
x→0
u→∞ 1
1
x
ln 1 +
ln b
u
ln b
= lim
u→∞
1
u ln 1 +
u
ln b
u
= lim u→∞
1
ln 1 +
u
ln b
u = 1
ln lim 1 +
u→∞
u
ln b
=
ln e
= ln b
Exemplo - Calcule os seguintes limites usando o terceiro limite fundamental.
a) lim+
x→0
ln(x + 1)
x
Faremos a substituição ln(x + 1) = u =⇒ x = eu − 1 o que
nos dá que para x → 0 temos u → 0. Assim
lim+
x→0
2.5.6
u
ln(x + 1)
= lim u
u→0 e − 1
x
u
−1
e −1
= lim
u→0
u −1
u
e −1
= lim
u→0
u
= (ln e)−1
=1
Exercı́cios Propostos
4x − 1
usando o terceiro limite funda10. Calcule o seguinte limite lim+
x→0
2x
mental.
2.6
Funções contı́nuas
Vejamos as seguintes funções.
palavra75
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
a) f (x) = x3 − x2 − x + 2
b) f (x) = − ln(x − 1)2 + 1
c) f (x) = tan x
d) f (x) =
x + 2 se x 6= 2
1
se x = 2
Olhando para o gráfico, tente achar suas peculiaridades.
Perceba que o gráfico a) evolui de forma “suave” e sem “buracos”, no
entanto o gráfico b) apresenta um buraco para x = 1, ou seja, uma descontinuidade para este valor de x. A função apresentada
no gráfico c)
1
também apresenta descontinuidades, note que para n −
π valores de x,
2
sendo n ∈ Z, a função tan x é descontı́nua. A função do gráfico d) também
apresenta uma descontinuidade para x = 2. Em suma, se para construir o
gráfico de uma função for necessário tirarmos a caneta do papel, então esta
função apresenta uma descontinuidade neste ponto.
Definição - uma função é contı́nua no ponto a se lim f (x) = f (a).
x→a
Propriedades - Se f, g : X → R forem funções contı́nuas em a ∈ X e se c
for uma constante, então as seguintes funções também são contı́nuas
1. f + g
2. f − g
3. c.f
palavra76
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
4. f · g
f
(desde que g(a) 6= 0)
5.
g
2.6.1
Exercı́cios Propostos
11. Analise a função do gráfico a seguir e indique quais os pontos de descontinuidade e os intervalos em que a função é contı́nua.
12. Encontre as descontinuidades das seguintes funções.
3x
2
a) f (x) =
b) f (x) = e1/x
2
(x − 2)
√
c) f (x) = ln x
d) f (x) = x
2.7
Respostas
1. a) δ = 1
2. a) 6
b) δ = 0, 5
b) 0
3. a) 0; 3; @
c) 4
b) 5; 5; 5
c) δ = 0, 25
d) 2
d) δ = 0, 02
e) 0
c) 0; −5; @
f) 1
d) 1; 1; 1
4.
palavra77
Capı́tulo 2. Limites de funções e funções contı́nuas
a) 9
9
g)
2
1
m) −
8
1
s)
2
b) 0
8
h) −
3
1
n)
9
t) −2a
c) −7
d) −3
e) −64
f) 20
i) 2a
j) 3a2
2
p)
3
1
v) 2/3
3a
k) 4
9
q)
2
l) 5
1
r)
80
o) 54
1
u) √
2 a
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
palavra78
Referências Bibliográficas
[1] Flemming, D. M., Cálculo A: funções, limite, derivação, integração, 5ª
edição, Pearson Education do Brasil, 1992.
[2] Kuelkamp, Nilo - Cálculo I, 2ª ed. 2001, Editora da UFSC.
[3] Stewart, J., Cálculo, vol.1, 5ª edição, Cengage Learning, 2001.
[4] Stewart, J., Cálculo, vol.1, 6ª edição, Cengage Learning, 2010.
[5] Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analı́tica, 2ª edição, Grupo
Editorial Iberoamérica, 1989.
79