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Um circuito elétrico LC é composto por um indutor de
2 mH e um capacitor de 0,8 μF e é alimentado por uma fonte
de tensão alternada V = 9 cos 2.10 4 t V. A carga inicial do
capacitor é de 320 μC e a corrente no circuito é nula,
determine:
a) A variação da carga no capacitor;
b) A variação da corrente no circuito.
Dados do problema
•
•
•
•
•
−3
L = 2 mH = 2 . 10 H ;
−7
C = 0,8  F = 8.10 F ;
4
V = 9 cos 2.10 t V ;
−4
q 0 = 320 C = 3,2 .10 C ;
i0 = 0 .
indutor:
capacitor:
f.e.m.:
carga inicial no capacitor (t = 0):
corrente inicial no circuito (t = 0):
Esquema do problema
Admitimos que inicialmente o capacitor está
carregado com carga máxima ( q máx = q 0 ) e a corrente no
circuito é nula ( i 0 = 0 ). A partir deste instante a fonte
alimenta o circuito com uma uma corrente que varia
senoidalmente, a carga no capacitor diminui enquanto a
corrente no circuito aumenta (figura 1). Com isto escrevemos
as Condições Iniciais do problema:
q 0 = 3,2 .10
−4
i0 =
C
figura 1
d q 0
=0
dt
Solução
a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff, temos (figura 2)
n
∑V i= 0
i =1
Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por
di
VL =L
e entre os pontos C e D da d.d.p. no capacitor é dada por
dt
q
VC=
, estas devem ser igual a f.e.m. fornecida pela fonte, assim
C
V L V C−V = 0
V LV C = V
di q
L
 =V
dt C
como corrente é a variação da carga no tempo, i =
L
d
dt
 
dq
, re-escrevemos
dt
dq
q
 =V
dt
C
2
d q q
L
 =V
dt2 C
1
figura 2
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esta é uma Equação Diferencial Ordinária Não-Homogênea de 2.a Ordem. Dividindo toda a
equação pela indutância L, temos
2
d q
1
V

q=
2
L
C
L
dt
substituindo os valores dados no problema
2
d q
1
9

q=
cos 2.10 4 t
2
−3
−7
−3
dt
2.10 . 8. 10
2. 10
2
d q
1

q = 4,5 . 10 3 cos 2.10 4 t
2
−10
dt
16.10
2
10
d q 1 . 10

q = 4,5 .10 3 cos 2.10 4 t
2
16
dt
2
d q
6,25. 10 8 q = 4,5 . 10 3 cos 2.10 4 t
dt2
(I)
a solução desta equação será
q = q h q p
(II)
onde q h é a solução da equação homogênea (igualando a zero) e q p é a solução particular
levando em consideração a função do lado direito da igualdade (no caso a f.e.m. aplicada ao
circuito).
•
Solução homogênea
2
d qh
dt
2
8
(III)
6,25 . 10 q h = 0
a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
qh= e
2
dqh
t
= e
dt
t
2
d qh
dt
8
t
t
 e 6,25 .10 e = 0
t
2
8
e   6,25 .10  = 0
2
8
0
 6,25 .10 =  t
e
2
8
 6,25 .10 = 0
esta é a Equação Característica que tem como solução
2
8
 = −6,25.10
8
 =  −6,25. 10
4
 1,2 = ±2,5 .10 i
onde i =  −1 , a solução da expressão (III) é escrita como
1 t
q h = C1 e C2 e
q h = C1 e
4
2,5. 10 i t
2
2t
− 2,5 .10 4 i t
C 2 e
2
2
= e
t
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onde C 1 e C2 são constantes de integração, usando a Relação de Euler (leia-se óiler)
iθ
e = cos θi senθ
q h = C1  cos2,5 . 10 t i sen 2,5 . 10 t C2  cos2,5 .10 t−i sen 2,5 . 10 t 
q h = C 1 cos 2,5 . 10 4 t iC1 sen 2,5 . 10 4 t C2 cos2,5 .10 4 t−iC 2 sen 2,5 . 10 4 t
4
4
4
4
coletando os termos em seno e cosseno, temos
4
4
q h =  C1 C 2  cos 2,5 .10 t  iC1 −iC 2  sen 2,5 . 10 t
q h =  C1 C2  cos 2,5 . 10 4 t i  C 1−C 2  sen 2,5 .10 4 t
definindo duas novas constantes α e β em termos de C 1 e C 2, ficamos com
 ≡ C 1 C 2
 ≡ i C 1 −C 2 
e
4
4
(IV)
q =  cos2,5 .10 t sen 2,5 . 10 t
multiplicando e dividindo esta expressão por
 2 2
q h =   cos 2,5 . 10 t  sen 2,5 .10 t
4
2
q h =   
2

4
   2 2
2
2
  


4
4
cos 2,5 . 10 t 
sen 2,5 .10 t
2
2
2
2
  
  

fazendo as seguintes definições
A ≡  2  2
,
cosφ ≡

   2
e
2
sen φ ≡
4

  2
2
4
q h = A  cos φ cos 2,5 . 10 t sen φ sen 2,5 . 10 t 
Observação: lembrando da seguinte propriedade trigonométrica
oos  a−b  = cosa cos bsen a sen b
4
q h = A cos  2,5 . 10 t −φ 
•
(V)
Solução particular
2
d qp
dt
2
8
3
4
6,25 .10 q p = 4,5 .10 cos 2.10 t
(VI)
A solução deste tipo de equação é encontrada tomando-se a equação igual à função
do lado direito da igualdade. Como neste caso o lado direito é uma função cosseno, a solução
particular deve ser uma função cosseno, fazendo as seguintes substituições, onde D é uma
constante
4
q p = D cos 2.10 t
derivada primeira de
4
q p = D cos 2.10 t
3
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a função q p ( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
d q p [ v t ] d q p d v
=
dt
dv dt
com
q p v  = D cos v e v t  = 2 . 10 4 t , assim as derivadas serão
dqp
4
= −D sen v = −D sen 2 . 10 t
dv
dv
4
= 2 .10
dt
e
dqp
4
4
= −2 . 10 D sen 2.10 t
dt
(VII)
4
q p = D cos 2.10 t
derivada segunda de
2
d qh
dt
2
=
d  − 2.10 4 D sen 2.10 4 t 
dt
a função q p ( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
d q p [v t ] d q p d v
=
dt
dv dt
com
4
q p v  = −2 .10 D cos v e v t  = 2 . 10 4 t , assim as derivadas serão
dqp
4
4
4
= −2 . 10 D sen v = −2 .10 D sen 2.10 t
dv
dv
4
= 2. 10
dt
e
2
d qh
dt
2
4
4
4
8
4
(VIII)
= −2 .10 .2 . 10 D sen 2 .10 t = − 4.10 D cos 2.10 t
substituindo as expressões (VII) e (VIII) acima em (VI)
8
4
8
4
3
4
−4.10 D cos 2.10 t 6,25 .10 D cos 2.10 t = 4,5 . 10 cos 2.10 t
2,25 . 10 8 D = 4,5 . 10 3
3
4,5 . 10
D=
2,25. 10 8
−5
D = 2 .10
assim a solução particular será
q p = 2.10
−5
4
cos 2.10 t
(IX)
substituindo as expressões (V) e (IX) em (II), obtemos
4
q = A cos  2,5 . 10 t− φ  2.10
−5
4
cos 2.10 t
(X)
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais, derivando a
expressão (III) em relação ao tempo, obtemos
4
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derivação de
4
q = A cos  2,5 .10 t− φ  2.10
−5
4
cos 2.10 t
a função q( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
d q [u tv t ] d q d u d q d v
=

dt
du dt dv dt
com
q u  = cos u e u t  = 2,5 . 10 4 t−φ , assim as derivadas serão
dq
4
= −sen u = −sen  2,5 . 10 t −φ 
du
e
du
4
= 2,5 .10
dt
o segundo termo na soma do lado direito da igualdade tem a mesma forma da derivada
primeira calculada acima
dq dv
−5
4
4
4
= −2.10 . 2.10 sen 2.10 t = −0,4 sen 2.10 t
dv dt
dq
4
4
4
= − A sen 2,5 .10 t−φ . 2,5 .10 −0,4 sen 2.10 t
dt
dq
4
4
4
= −2,5 .10 A sen 2,5 .10 t−φ −0,4 sen 2.10 t
dt
(XI)
substituindo as Condições Iniciais em (X) e (XI), temos
4
−4
−5
4
q 0 = 3,2 . 10 = A cos  2,5 .10 .0−φ  2.10 cos 2.10 . 0
−4
−5
3,2.10 = A cos  −φ 2.10 cos 0
como o cosseno é uma função par temos cosφ = cos −φ  e cos0 = 1 e a expressão acima
fica
−4
−5
3,2. 10 −2.10 = A cos φ
3,2 .10 −4 −0,2.10 −4 = A cos φ
−4
3 . 10 = A cos φ
(XII)
d q 0
= 0 = −2,5 . 10 4 A sen 2,5 .10 4 .0−φ −0,4 sen 2.10 4 . 0
dt
4
0 = −2,5 . 10 A sen  −φ −0,4 sen 0
como o seno é uma função ímpar sen φ = −sen  −φ  e sen 0 = 0 ficamos com
4
0 = 2,5 .10 A sen φ
(XIII)
isolando o valor de A na expressão (XII)
−4
A=
3. 10
cosφ
(XIV)
e substituindo em (XIII), obtemos
0 = 2,5 .10 4 .
−4
3 .10
. sen φ
cosφ
5
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0 = tgφ
φ = arc tg 0
φ=0
substituindo o valor de φ em (VII)
−4
3. 10
cos0
−4
3. 10
A=
1
A = 3. 10 −4
A=
substituindo estas constantes na expressão (X), temos
q t  = 3. 10
−4
4
cos 2,5 . 10 t 2.10
−5
4
cos 2.10 t
b) A corrente será dada pela derivada da carga em função do tempo
i=
dq
dt
a derivada é dada pela expressão (XI), substituindo as constantes A e φ obtidas acima, temos
4
i t  = = −2,5 .10 .3 .10
−4
4
4
sen 2,5 . 10 t −0 −0,4 sen 2.10 t
4
4
i t  = = −7,5 sen 2,5 .10 t−0,4 sen 2.10 t
6