Aula 2: Funções
.
Margarete Oliveira Domingues
PGMET/INPE
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Definição e representação
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Função
Definição:
por , e denota-se
é chamado imagem de
.
O elemento
Uma função de um conjunto em um conjunto ,
é uma correspondência que associa a cada
um único elemento
.
elemento
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Função
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Conj. Imagem
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, então
Função Injetora
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Função Sobrejetora
Imagem é o próprio contradomínio
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Função Bijetora
Injetora e sobrejetora
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Exemplos
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Esboço de algumas funções
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Esboço de algumas funções
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é limitada
Se m é um limitante inferior
Se M é um limitante superior
Limitantes
em um intervalo.
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Seqüências
Seqüências são um conjunto de muitos números
arranjados podendo ou não exibir determinados
padrões.
Uma seqüência de números reais é uma função
. Ou seja, uma seqüência pode ser
denotada por
ou
.
é representada com
A seqüência de números
Exemplo
.
a notação
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.
e/ou
Seja
Funções Contínuas
, diz–se que é contínua em
dado, existir um
;
para
se, e somente se,
em que
para toda seqüência
é contínua em um ponto
para toda sucessão
em
qualquer
e
Definição:
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Funções Contínuas
Se
e
esquerda.
é contínua em ,
é dita contínua à
se
se
se
se
.
.
é contínua à esquerda em
não é contínua à esquerda em
é dita contínua à
é contínua em ,
Se
e
direita.
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.
função contínuas em um ponto
é contínua em ;
Sejam
Então:
Funções contínuas(Operações)
,então a função
é contínua
Se
em ;
é contínua em ;
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é dito ter um máximo relativo
Se isso é válido apenas em uma vizinhança
mínimo absoluto
máximo absoluto
é um ponto de un intervalo tal que
Se
Máximo e Mínimo
é dito ter um mínimo relativo
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Máximo e Mínimo
Seja
uma função real contínua definida
em um intervalo fechado
. Então, assume um
máximo e um mínimo em [a,b].
Seja
uma função contínua em um
intervalo fechado
. Então, é limitada.
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é dita monótona não–decrescente se
é dita monótona não–crescente se
é dita monótona decrescente se
é dita monótona crescente se
tem–se que
, para
Seja
Funções monótonas
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Funções monótonas
Ex: Funções
monótona crescente
monótona não–decrescente
f(x)
x
a
b
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é
, então,
Definição:
Se é uma função de , denotada por
uma função de denotada por
Troca-se o por pode–se considerar
Funções inversas
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Funções inversas
Ramo Principal:
Se
é uma função de valor simples,
pode ser
uma função de valores múltiplos. Cada coleção desses
valores múltiplos é chamada de ramo. Ex:
, que é uma função de
múltiplos valores, desde que para cada em
existem muitos valores de .
.
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Funções Compostas
é uma função de em ,
é uma função de em ,
e
Se é uma função em
então a função composta
definida por
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Tipos de Funções
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Funções Polinomiais
é um inteiro positivo
.
em que
são constantes e
chamado de grau do polinômio se
Funções polinomiais tem a forma
como
(contando as raízes repetidas de mutiplicidade
O Teorema fundamental da álgebra
Toda a equação polinomial
possui pelo menos
uma raiz.
Se o grau de um equação é
raízes
raízes)
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definidas por
Funções Lineares
.
em um plano coordenado
Dada uma reta
para todo
, ela é o
gráfico de uma função linear se não for paralela ao eixo ;
caso contrário, a equação de retas paralelas ao eixo seria
.
da forma
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função racional algébrica
são polinômios em .
em que
satisfazem equações da
Funções algébricas
forma
Funções algébricas
função irracional algébrica
Em analogia com números reais:
polinômios correspondem aos números inteiros
funções racionais aos números racionais
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Funções Transcendentais
Função logarítmica:
.
Função exponencial:
Definição:
Funções que não são algébricas
Funções trigonométricas
Funções trigonométricas inversas
Funções hiperbólicas definidas em termos de
exponenciais
Funções hiperbólicas inversas e seus valores
principais
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Características de funções
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Esboço de algumas funções
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Limite
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Limite
com
ou
Seja uma função
,
, e um ponto não
necessariamente pertencente a . Supõem–se que exista
um número
tal que
se aproxima de , quando
se aproximar de , com
. Quando isto acontecer
diz–se que é o limite de , em , e escreve–se:
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Limite (Definição)
com
ou
Dados uma função
e um ponto de acumulação
de , diz-se que um número é limite de em , e
escreve–se:
de modo que essa relação seja válida.
dado; se
, é sempre possível encontrar
Não importa quão pequeno seja o número
tal que:
quando vale a seguinte condição:
Para todo
, existe
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.
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e
Sejam
Propriedades
local-
mente limitada em , não se pode dizer que o limite em
. Por outro lado, sendo
não existe
Se uma função não é localmente limitada no ponto , então
exista.
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Continuidade
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Definição
Uma função é contínua em um ponto significa que
existe e que leva pontos próximos de
.
Uma função
é contínua em um ponto
se,
, existe um
tal que
dado um
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,
for um intervalo,
existe
Se o domínio de
Condições de continuidade
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são contínuas em qualquer ponto
.
, para
são contínuas em
e
Ex.
.
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Derivada
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Derivada
De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada
está relacionado com o de tangência.
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Ponto de vista da Dinâmica
Derivada como taxa de variação
A velocidade escalar (instantânea) é uma derivada.
A aceleração
Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma
outra, da qual ela depende, varia..A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.
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Definição
. A função
Seja
e um ponto acumulação de
é derivável em se existir o limite
em que
é chamado de derivada de em . Há várias
notações para derivadas, sendo
têm–se por
exemplo,
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, então
é
Se f e g são deriváveis em e
derivável em e
e um ponto no interior de .
,
Seja
Funções deriváveis (Operações)
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uma função definida num intervalo , a qual
Seja
, então
um ponto
é derivavél no interior de . Se existir um máximo local em
.
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Regra da cadeia
Sejam
e
duas funções reais definidas
em intervalos
, respectivamente, tais que
e
é um ponto interior de e seja derivável no ponto .
Então, a função composta
é deriváveis em c e
vale a fórmula
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Teorema do valor médio
Seja
uma função contínua definida num
intervalo fechado
. Supõem–se que seja derivável
no intervalo aberto
. Então existe
, tal que
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Taylor
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Fórmula de Taylor
Seja
uma função contínua definida num
intervalo fechado
. Supõem–se as derivadas
existam e sejam contínuas em
.
Seja um ponto qualquer fixado em
Então, para cada
,
, existe um ponto entre e tal que:
essa fórmula expressa o Teorema do valor mé-
Para
dio.
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Polinômio de Taylor
Uma idéia básica em análise numérica é a de usar
funções simples, usualmente polinômios, para
aproximar uma dada função.
O problema é achar um polinômio o qual concorda
com uma função e algumas de suas derivadas de
ordem em um ponto dado.
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Polinômio de Taylor
Pode ser provado que se é uma função com derivada de
ordem em um ponto , então, existe um único polinômio
de grau
o qual satisfaz as
relações
A solução dessas relações é o polinômio de Taylor,
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Erro
.
em que
O erro dessa aproximação é dado por
. Se possuir derivadas contínuas de
ordem
em algum intervalo contendo , então para
cada no intervalo o erro pode ser expresso como
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Método de Newton-Rapson
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Idéias
proposto Isaac Newton em 1687
sistematizado por Joseph Rapson em 1690.
Combina: linearização e iteração.
Na linearização procura–se substituir uma certa
vizinhança de um problema complicado por uma
aproximação linear ( Taylor )
Processo iterativo, ou aproximações sucessivas,
consiste na repetição sistemática de um procedimento
até que seja atingido o grau de aproximação desejado.
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Método
(idéias)
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a linearização consiste em substituir a curva
por retas tangentes a essa curva.
Método
Seja
uma aproximação inicial da raiz, a primeira
aproximação é uma reta tangente a esse ponto. O
ponto em que essa reta intercepta o eixo é obtido
. Repete-se o processo.
um novo valor de
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(Cont.)
reorganizando os termos
na próxima iteração
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Posto isto, tem–se que
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Fim do TOMO II
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