na
MODELAGEM MATEMÁTICA E O EFEITO ESTUFA
Ângela Maria Lourenção Gerolômo1
UEL – Universidade Estadual de Londrina
[email protected]
Rodolfo Eduardo Vertuan2
UEL – Universidade Estadual de Londrina
[email protected]
Resumo
Neste trabalho apresentamos a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o
ensino e a aprendizagem da Matemática, bem como algumas atividades de Modelagem que
contemplam idéias relacionadas à função. Nesta perspectiva, realizamos, inicialmente, algumas
considerações sobre a Modelagem Matemática no âmbito da Educação Matemática. Em
seguida, abordamos um tema atual e presente no cotidiano dos alunos – a emissão de dióxido de
carbono e a neutralização deste em relação a população brasileira – por meio da Modelagem
Matemática. Nestas atividades, são discutidos conceitos matemáticos tais como função do
primeiro grau, função exponencial e função composta, conteúdos estes abordados,
principalmente, no primeiro ano do Ensino Médio.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Ensino e Aprendizagem; Funções.
1. Introdução
Ensinar
Matemática implica em buscar propiciar o desenvolvimento de
capacidades tais como a percepção, a visualização, o reconhecimento, a identificação, as
definições, a argumentação, o espírito crítico, de modo a possibilitar aos alunos
construírem aprendizagem.
Nessa perspectiva, um dos objetivos dos educadores matemáticos é fazer com
que o aluno aprenda a Matemática para ter um comportamento ativo e crítico na
sociedade em que vive.
Para isso, o campo da Educação Matemática apresenta discussões em torno de
novas alternativas pedagógicas. Tais alternativas pedagógicas são construídas frente ao
tradicionalismo comumente praticado em nossas escolas. São elas: Etnomatemática,
Resolução de Problemas, História da Matemática, Jogos Matemáticos e Modelagem
Matemática, entre outras.
1
2
Aluna do curso de Especialização em Educação Matemática – UEL.
Aluno do Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática – UEL.
2
Ao observar o cotidiano, nos deparamos com diversas situações que poderiam
ser interpretadas e compreendidas utilizando a Matemática como instrumento de análise
e reflexão, tais como: crescimento populacional, custo de um produto, lucro ao
administrar uma empresa, localização de endereços, cultivo de plantas e animais,
previsão do tempo, contagem, situações políticas e sociais e etc. Esta relação do
cotidiano do aluno com os conceitos matemáticos apresenta a Matemática Escolar de
forma significativa e pode levar os alunos a refletirem sobre qual ou quais decisões
tomar em relação à situação estudada. Para isso, pode acontecer um processo que
transforma a situação estudada (uma parcela da realidade) em uma linguagem
matemática, ou seja, um modelo matemático. Este processo recebe o nome de
Modelagem Matemática.
Neste trabalho utilizaremos a Modelagem Matemática como alternativa
pedagógica e por meio dela desenvolveremos atividades relacionadas ao tema Meio
Ambiente, tema presente e comum nas atividades escolares e na vida dos alunos.
2. Modelagem Matemática na Educação Matemática
Quando o assunto é a Matemática, observa–se, muitas vezes, uma rejeição por
parte dos alunos, os quais geralmente questionam “para que serve a matemática?”,
“onde vou usar?”, “se não vou usar para que aprender?”, e ainda comentam “não gosto”,
“Nunca aprendi, não vai ser agora que aprenderei” construindo em alguns casos um
bloqueio quanto a Matemática.
Porém, ao observar o cotidiano, nos deparamos com diversas situações que
poderiam ser interpretadas e compreendidas utilizando-se a matemática como
instrumento de análise e reflexão, tais como: crescimento populacional, custo de um
produto, lucro ao administrar uma empresa, localização de endereços, cultivo de plantas
e animais, previsão do tempo, contagem, situações políticas e sociais e etc.
Estas situações podem ser interpretadas utilizando-se para isso uma estrutura
matemática, ou ainda, um “modelo matemático” da situação, construído a partir de uma
parcela da realidade.
Para TAVARES (1996), o modelo é uma forma de representar os elementos
fundamentais de uma parte da realidade através de objetos e relações matemáticas.
Para Bassanezi (2002), um modelo matemático é um conjunto de símbolos e
relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado, ou seja,
3
representa de alguma forma uma parcela da realidade que esta sendo estudada. Como
afirma D’Ambrosio (1989, p.17) “Os modelos matemáticos são formas de estudar e
formalizar fenômenos do dia-a-dia”.
Compartilhando da mesma linha de pensamento Dias (2005) salienta que,
“um modelo matemático pode ser entendido como uma representação
da realidade. Ele contém uma série de simplificações que, na medida
do possível, descreve e possibilita uma análise da questão em estudo.
Também, pode ser aperfeiçoado de acordo com o enfoque adotado e
responder de forma satisfatória aos anseios do modelador. Um bom
modelo simplifica a realidade, suficientemente, a ponto de permitir
uma precisão da mesma e proporciona a obtenção de conclusões
consideráveis.”
(DIAS, 2005, p.27)
Este processo de análise de uma situação por meio da Matemática desde a
escolha do tema até a resposta final ao problema, passando pela construção do modelo
matemático, recebe o nome de Modelagem Matemática, a qual surge no âmbito da
Educação Matemática como uma alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem
da Matemática. Compartilham deste conceito diversos autores, dentre eles BASSANEZI
(2002) e BIEMBENGUT (2000).
Para Bassanezi a Modelagem Matemática é:
“[...] um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de
modelos matemáticos. E uma forma de abstração e generalização com
a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste,
essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em
problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na
linguagem usual.”
(BASSANEZI, 2002, p.24)
Para Biembengut a Modelagem Matemática é:
“[...] o processo envolvido na obtenção de um modelo. Este, sob certa
óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto que, para
elaborar um modelo, além de conhecimento de matemática, o
modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade
para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático
melhor se adapta e também ter um senso lúdico para jogar com as
variáveis envolvidas”
(BIEMBENGUT, 2002, p.12)
Podemos considerar, portanto, que a atividade de Modelagem consiste em
construir um modelo matemático sobre uma situação real a qual se quer estudar e
trabalhar com este modelo de maneira a obter dados significativos para interpretar estes
dados a fim de responder a situação apresentada inicialmente.
4
D’Ambrosio argumenta que:
“Através da Modelagem Matemática o aluno se torna mais consciente
da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do diaa-dia. Esse é um momento de utilização de conceitos já apreendidos. É
uma fase de fundamental importância para que os conceitos
trabalhados tenham um maior significado para os alunos, inclusive
com o poder de torná-los mais críticos na análise e compreensão dos
fenômenos diários”.
(D’AMBROSIO,1989, p.17)
Conclui-se, então, que a Modelagem Matemática é uma alternativa interessante
quando se visa uma aprendizagem matemática dinâmica, contextualizada e de formação
crítica do estudante. Por isso, apresentamos atividades relacionadas ao tema efeito
estufa, relacionando conteúdos como: Função Linear, função Exponencial e função
Composta.
3. Uma proposta de Modelagem Matemática
A Educação tem papel essencial no desenvolvimento da sociedade, na medida
em que se dedica à formação de alunos participativos, críticos e reflexivos e, neste
sentido, a Modelagem Matemática é uma alternativa para o ensino da Matemática que
contribui para essa formação.
Com a intenção de discutir atividades de Modelagem Matemática, apresentamos
trabalhos relacionados ao tema Meio Ambiente, mais especificamente, procuraremos
responder ao problema: quantas árvores devem ser plantadas, para neutralizar o
aumento de dióxido de carbono emitido de 2007 para 2008, pela população brasileira.
Para responder a esta questão procuraremos responder, antes, as seguintes questões:
Qual o crescimento populacional brasileiro nos últimos anos? Quanto a população
brasileira emite de dióxido de carbono por ano?
3.1 Desenvolvimento
Atualmente, são veiculados pelos meios de comunicação constantes e
desastrosos acontecimentos relacionados a fenômenos naturais, dos quais parte é
conseqüência do Efeito Estufa.
Mas, o que é o efeito estufa?
Segundo informações obtidas no site “ciência e química”:
5
Efeito estufa é um fenômeno que sempre existiu e sempre foi um
regulador da temperatura da terra. Sem o efeito estufa com certeza as
temperaturas médias da Terra seriam muito baixas e dificultaria a
existência de muitas formas de vida. Porém, o efeito estufa tem se
tornado cada vez mais intenso devido à poluição ambiental provocada
pelo homem, através da queima de combustíveis fósseis como
derivados de petróleo, carvão e pela queima de matérias orgânicas
como madeiras, vegetais e etc. Este efeito estufa indesejável tem
alterado consideravelmente a temperatura do globo. O efeito estufa
consiste na retenção de calor por gases como o dióxido de carbono,
metano, CFCs e outros. Sendo o principal responsável pelo efeito
estufa o dióxido de carbono. Como funciona:
1) Os raios solares atingem a Terra;
2) Parte dos raios refletem na atmosfera (camada mais superior estratosfera) e retornam para o espaço;
3) Parte dos raios atingem a crosta terrestre (atingem o solo, rios,
mares, casas, árvores e etc.);
4) Estes raios aquecem a matéria do solo, rios, mares, casas e etc. e
são convertidos em calor pela vibração dos átomos e moléculas;
5) Estes átomos e moléculas aquecidos, emitem raios infravermelhos,
os quais não enxergamos;
6) Estes raios infravermelhos não conseguem sair da Terra para o
espaço, porque os gases de efeito estufa, principalmente o dióxido de
carbono, impedem sua passagem;
7) Sendo assim quanto mais dióxido de carbono na atmosfera mais
calor fica retido e a Terra fica mais quente
<disponível em: www.cienciaquimica.hpg.com.br, capturado em
10/12/2008, às 17h 26min>
No Brasil, assim como em outros países, existem projetos sendo desenvolvidos
sobre crédito de carbono, ou seja, conforme a emissão de dióxido de carbono desse país,
o plantio de árvores pode ser utilizado para suprir essa emissão e evitar o efeito estufa
indesejável.
Com essas informações poderão surgir em sala de aula alguns questionamentos:
•
Quantos são os habitantes brasileiros atualmente?
•
Qual é o crescimento populacional brasileiro nos últimos anos?
•
Quanto dióxido de carbono emite em média um cidadão brasileiro?
•
Quanto a população brasileira emite de dióxido de carbono por
ano?
•
Quantas árvores devem ser plantadas, para neutralizar o aumento
de dióxido de carbono emitido de 2007 para 2008, pela população
brasileira?
6
Buscando responder ao último dentre os problemas acima apresentados –
quantas árvores devem ser plantadas para o aumento de dióxido de carbono de 2007
para 2008, pela população brasileira – optamos por investigar as questões anteriormente
apresentadas.
3.1.1. 1ª atividade – Qual o crescimento populacional brasileiro nos últimos anos
Segundo informações obtidas junto ao IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística, a população brasileira tem aumentado no decorrer dos últimos anos como
segue:
Tabela 1 – Quantidade de habitantes brasileiros ano a ano
Ano
Hab/milhões
n=1→2001
169,37
n=2→2002
173,39
n=3→2003
175,99
n=4→2004
182,06
n=5→2005
184,6
n=6→2006
187,23
n=7→2007
189,82
Fonte: IBGE
As variáveis utilizadas podem ser: t → tempo em anos (Variável independente) e
Q → quantidade de habitantes existentes no Brasil (Variável dependente).
Formulação das hipóteses
Tabela 2 – Razão entre o número de habitantes brasileiros de dois anos consecutivos.
Razão entre o número de
habitantes de dois anos
ANO
Hab/milhões
consecutivos
n=1→2001
169,37
n=2→2002
173,39
1,023735018 ≅ 1,02
n=3→2003
175,99
1,014995098 ≅ 1,01
n=4→2004
182,06
1,034490596 ≅ 1,03
n=5→2005
184,6
1,013951445 ≅ 1,01
n=6→2006
187,23
1,014247021 ≅ 1,01
n=7→2007
189,82
1,013833253 ≅ 1,01
De acordo com os resultados obtidos na terceira coluna da tabela podemos
apresentar a seguinte hipótese:
7
H1= A razão entre o número de habitantes de um determinado ano e do ano
imediatamente anterior é constante, ou seja, o número de habitantes de um determinado
ano é proporcional ao número de habitantes do ano imediatamente anterior.
Dedução do modelo
Como a razão entre o número de habitantes de um determinado ano e do ano
imediatamente anterior é constante, temos que
Qn+1
= k , onde n ∈ Ν e k é uma
Qn
constante de proporcionalidade. Com isso, obtemos a equação a seguir: Qn+1 = k .Qn .
Atribuindo valores para n podemos generalizar uma expressão que represente a
situação estudada:
para n=0, temos Q1 = k .Q0 .
para n=1, temos Q2 = k .Q1 = k .(k .Q0 ) = k 2 .Q0
para n=2, temos Q3 = k .Q2 = k .(k 2 .Q0 ) = k 3 .Q0
para n=3, temos Q4 = k .Q3 = k .(k 3 .Q0 ) = k 4 .Q0
para n=4, temos Q5 = k .Q4 = k .(k 4 .Q0 ) = k 5 .Q0
...
para n, temos Qn = k n .Q0
(1)
Neste momento, pode–se abrir uma discussão em sala sobre qual o conteúdo que
podemos relacionar com a expressão (1): função exponencial ou ainda, uma progressão
geométrica.
Para determinar os valores de k e Q0 , podemos utilizar os pares ordenados da
tabela (1; 169,37) e (7; 189,82). Logo, o modelo obtido é:
Qn = 1,02 n.166,05 , onde n ∈ Ν e n=t-2000, sendo t o ano (Modelo I)
8
Podemos ainda construir outro modelo para a situação, também exponencial,
realizando, para isso, a linearização dessa expressão exponencial e um ajuste linear por
meio do Método dos Mínimos Quadrados. Logo:
Qt = be a.t
(2)
ln Qt = ln(be at )
ln Qt = ln b + a.t
ln Qt = ln b + ln(e at )
Consideraremos ln Qt = z e ln b = β , obtendo a reta auxiliar para determinar a
função exponencial:
z = β + a.t
(3)
Utilizando o Ajuste linear, por meio do Método dos Mínimos Quadrados,
precisaremos de informações auxiliares. Estas são apresentadas na tabela a seguir:
Tabela 3 – Dados auxiliares para a aplicação do Método dos Mínimos Quadrados.
Número real
ti=n-2000
de habitantes
zi=ln Qi
ti^2
xi*zi
(milhões) - Qi
1
169,37
5,13
1
5,13
2
173,39
5,16
4
10,31
3
175,99
5,17
9
15,51
4
182,06
5,20
16
20,82
5
184,6
5,22
25
26,09
6
187,23
5,23
36
31,39
7
189,82
5,25
49
36,72
36,36
140
145,98
Soma=
Para determinar o valor de a e β pelo Método dos Mínimos Quadrados,
usamos:
n
n
n
n
a=
1
1
1


n.∑ (t i ) 2 − ∑ t i 
1
 1 
n
a ≅ 0,01928
n
2
n
∑ zi − a.∑ ti
n.∑ t i .zi − ∑ t i .∑ zi
e
e
β=
1
β ≅ 5,117
1
n
9
Determinados os valores de a e β , e substituindo em (3), obtemos a seguinte
equação linear:
z = 5,117 + 0,01928t
Para usarmos uma função linear, consideramos ( ln Qt = z e ln b = β ), logo:
ln b = β
b = eβ
b = e 5,117
b ≅ 166,83
Substituindo os valores de a e b em (2), obtemos o modelo II:
Qt = be a.t
Qt = 166,83.e 0, 01928.t
Qt = 166,83.(e 0, 0192 )t
Ou seja,
Qn = 1,02 n.166,83 , onde n ∈ Ν e n=t-2000, sendo t o ano (Modelo III)
Na tabela a seguir podemos verificar a validação dos três modelos construídos:
n
ano
Tabela.4 – validação dos modelos matemáticos da primeira situação.
Número
Número de
Número de
Número de habitantes
real
habitantes
habitantes
habitantes
(em milhões) dado
(em milhões) dado
(em milhões) dado
(milhões)
pelo modelo I
pelo modelo II
pelo modelo III
1
2001
169,37
169,37
169,99
170,08
2
2002
173,39
172,76
173,39
173,40
3
2003
175,99
176,21
176,86
176,78
4
2004
182,06
179,74
180,40
180,23
5
2005
184,60
183,33
184,01
183,74
6
2006
187,23
187,00
187,69
187,33
7
2007
189,82
190,74
191,44
190,98
Podemos representar estas funções por meio de um gráfico. Para isso,
utilizaremos o software graphmática, como segue:
10
Gráfico 1 – representação gráfica dos três modelos construídos.
Modelo I – em azul -
Qt = 1,02t.166,05
Modelo II – em verde -
Qt = 1,02 t .166,66
Modelo III – em vermelho -
Qt = 1,02t .166,83
Pode–se observar que os modelos matemáticos obtidos apresentam praticamente
mesmos parâmetros, o que implica gráficos quase sobrepostos no plano cartesiano.
3.1.2. 2ª atividade - Quanto à população brasileira emite de dióxido de carbono
por ano?
Neste caso, foi necessário o contato com algumas empresas de crédito de
carbono, o Instituto Brasileiro de Florestas e Carbono neutro, que nos indicou o site da
empresa carbono neutro (2008), por meio do qual obtivemos a seguinte informação:
• Um brasileiro emite em média por ano 22 toneladas de dióxido de carbono.
• 75% desse valor são emitidos pelas queimadas, porém faz parte do cálculo da
média por brasileiro.
Definição das Variáveis
As variáveis utilizadas para resolver os problemas são: q → quantidade de
habitantes existentes no Brasil no ano de estudo (Variável independente) e D →
11
quantidade de dióxido de carbono emitido pela população brasileira num determinado
ano (Variável dependente).
Formulação das hipóteses
H1= A emissão de Dióxido de Carbono depende do número de habitantes.
H2= Cada habitante brasileiro emite, em média, por ano, 22 toneladas de dióxido
de carbono.
Dedução do modelo
Este modelo é constituído multiplicando a emissão média de dióxido de carbono
por ano pelo total de habitantes no ano de estudo. Assim, temos:
Dq = 22 . q , onde q > 0 (expressão I)
Neste momento, pode–se abrir uma discussão em sala sobre qual o conteúdo que
podemos relacionar com a expressão (1) que foi encontrada: função linear.
Porém, como a variável independente q representa a população em determinado
ano, podemos substituí-la por uma função que calcula a população em determinado ano,
modelo este já construído na primeira atividade de Modelagem deste trabalho. Sendo
assim, a variável independente passará a ser n: tempo (anos):
Qn = 1,02 n.166,66 , onde n = t − 2000, onde p ≥ 2001 (Equação II)
Assim, substituindo q (equação I) por Qn (equação II), temos que:
Dn = 22 . 1,02 n.166,66
O modelo que define a emissão do dióxido de carbono é:
Dn = 3666,52 . 1,02 n , onde n ∈ Ν e n=t-2000, t ≥ 2001
Este procedimento matemático recebe o nome de composição de funções ou,
ainda, a função Dn = 3666,52 . 1,02 n é considerada função composta, podendo receber a
notação D(Qt ) .
Consideremos o ano de 2008:
D2008−2000 = 3666,52 . 1,02 2008− 2000
D8 = 3666,52 . 1,02 8
D8 = 4 295,91
12
Logo, em 2008 a população brasileira emitiu aproximadamente 4 bilhões, 295
milhões e 910 mil de toneladas de dióxido de carbono.
E em 2007:
D2007− 2000 = 3666,52 . 1,02 2007−2000
D7 = 3666,52 . 1,02 7
D7 ≅ 4 211,68
Em 2007, a população brasileira emitiu aproximadamente 4 bilhões,
211
milhões e 680 mil de toneladas de dióxido de carbono. Desta maneira concluímos que o
aumento de emissão de dióxido de carbono de 2007 para 2008 foi:
D8 − D7 = 4295,910 − 4211,68
D8 − D7 = 84,23 milhões de toneladas.
Mas quantas árvores seriam necessárias para neutralizar essa quantidade de
dióxido de carbono? Esse é o nosso próximo problema.
3.1.3 Atividade 3 – Quantas árvores devem ser plantadas, para neutralizar o
aumento de dióxido de carbono emitido de 2007 para 2008, pela população
brasileira?
No site da empresa carbono neutro (2008), foi obtido a seguinte informação: “O
plantio de 2000 mil árvores neutraliza até 400 toneladas de dióxido de carbono”.
Definição das Variáveis
As variáveis utilizadas para resolver os problemas são: d → quantidade de
dióxido de carbono emitido no ano de estudo (Variável independente) e A →
quantidade de árvores que devem ser plantadas para neutralizar o dióxido de carbono
emitido pela população brasileira num determinado ano (Variável dependente).
Formulação das hipóteses:
H1= A emissão de Dióxido de Carbono depende do número de habitantes.
H2= se 2000 mil árvores neutralizam 400 toneladas de dióxido de Carbono,
então 5 árvores neutralizam 1 tonelada.
13
Dedução do modelo
Com base nas informações o próximo modelo matemático se dará pela
multiplicação do total de dióxido de Carbono emitido pelo número de árvores que
neutralizam uma tonelada de dióxido de carbono.
Ad = 5 . d , onde d > 0 (expressão I)
Obtemos, assim, o modelo matemático, ou seja, uma função linear que
representa a situação. No entanto, podemos, ainda, calcular a quantidade de árvores a
serem plantadas para neutralizar a quantidade de emissão de dióxido de carbono, em
função do ano estudado, generalizando a situação.
Na modelagem anterior, construímos um modelo que calcula a quantidade de
emissão de dióxido de carbono por ano, como segue:
Dn = 3666,52 . 1,02 n
onde n = t − 2000, sendo p ≥ 2001
Substituindo d por Dn em Ad = 5 . d , teremos um modelo que dará a quantidade
de árvores que neutralizam uma quantidade de dióxido de carbono emitido em um ano,
o que implica em realizarmos, novamente, uma composição de funções.
A( Dt ) = 5 . ( Dt )
A(3666,52 . 1,02 t ) = 5 . 3666,52 . 1,02 t
Tem-se, então, o modelo matemático:
A(n) = 18332,6 . 1,02 n onde n ∈ Ν n = t − 2000, sendo t ≥ 2001
Com ele podemos resolver nosso problema inicial:
Quantas árvores devem ser plantadas, para neutralizar o aumento de dióxido de
carbono emitido de 2007 para 2008, pela população brasileira?
O total de árvores necessárias para neutralizar o dióxido de carbono pela
população brasileira em 2008 será:
A(2008 − 2000) = 18332,6 . 1,02 2008−2000
A(8) = 18332,6 . 1,028
A(8) = 21479,56
14
Logo, têm–se um total de, aproximadamente, 21 bilhões, 479 milhões e 560 mil
árvores.
Para 2007 têm-se:
A(2007 − 2000) = 18332,6 . 1,02 2007−2000
A(7) = 18332,6 . 1,02 7
A(7) = 21058,39
E, nesse caso, têm–se um total de, aproximadamente, 21 bilhões, 58 milhões e
390 mil árvores.
Com estas informações, podemos calcular o número de árvores que devem ser
plantadas para neutralizar o aumento de dióxido de carbono emitido de 2007 para 2008,
pela população brasileira:
A(8) − A(7) = 21479,56 − 21058,39
A(8) − A(7) = 421,17 milhões de árvores
Portanto, para neutralizar o aumento de dióxido de carbono emitido de 2007 para
2008, pela população brasileira, precisam ser plantadas cerca de 421 milhões de árvores.
4.
Considerações finais
Neste trabalho procurou-se colocar em evidência a importância da construção do
conhecimento matemático pelo aluno enquanto se discute situações presentes no
cotidiano desse aluno. Procurou-se, conseqüentemente, apresentar a Modelagem
Matemática como alternativa pedagógica que possibilita o desenvolvimento do senso
crítico e a compreensão de conceitos matemáticos num âmbito formativo e
significativo.
Esperamos que este trabalho tenha mostrado a todos os leitores possibilidades de
ensinar Matemática de maneira significativa e de modo a formar cidadãos críticos que
saibam, quando preciso, lidar em situações que utilizam de instrumental matemático
para justificar uma idéia.
Acreditamos que estas atividades podem subsidiar o ensino de função
exponencial, função linear e função composta, conteúdos estes que são, geralmente,
ensinados no primeiro ano do Ensino Médio. Além disso, podem contribuir para o
desenvolvimento de capacidades tais como a percepção, a visualização, o
15
reconhecimento, a identificação, as definições, a argumentação, o espírito crítico,
capacidades essas de fundamental importância para todos os alunos, cidadãos
conscientes e críticos que transformam a sociedade em que vivem.
5.
REFERÊNCIAS
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino – aprendizagem com Modelagem Matemática.
Editora Contexto. São Paulo, 2002. 389 p.
BIEMBENGUT, Maria S; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no ensino. São
Paulo: Editora Contexto, 2000.
D’AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. SBEM.
Ano II. N2. Brasília. 1989. P. 15-19.
DIAS, M.R. Uma experiência com Modelagem Matemática na formação
continuada de professores. 2005. Dissertação de Mestrado – Ensino de Ciências e
Educação Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina.
Em dia com o planeta, disponível em: <http://www.carbononeutro.com.br/,> capturado
em 10/12/2008.
O Efeito estufa, disponível em: <www.cienciaquimica.hpg.com.br, capturado em
10/12/2008.
TAVARES, F. Os Modelos Matemáticos e o processo de modelação matemática.
Millenium – Revista do Instituto Superior Politécnico de Viseu. n.3, 2 ed., p.30-35
,junho, 1996.